九年级培优圆与相似辅导专题训练含答案

）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，
综上所述，tan∠ MAN 的值为 1 或 4 或 【解析】【分析】（1）将 y=x2+2x+1 配方成顶点式，根据轴对称的性质，可得出翻折后的 函数解析式，再根据函数图像平移的规律：上加下减，左加右减，可得出答案。 （2）先求出抛物线 y=x2+2x+1 的顶点坐标 A，与 x 轴、y 轴的交点 D、C、B 的坐标，可得 出从点 A，C，D 三个点中任取两个点和点 B 构造三角形的有：△ ACB，△ ADB，△ CDB，再 求出它们的各边的长，得出构造的三角形是等腰三角形可能数，利用概率公式求解即可。 （3）利用待定系数法求出直线 BC 的函数解析式及△ ABC 的面积、点 M 的坐标，再分情况
（1）求函数 y=ax2+bx+c 的解析式； （2）从点 A，C，D 三个点中任取两个点和点 B 构造三角形，求构造的三角形是等腰三角 形的概率；
（3）若点 M 是线段 BC 上的动点，点 N 是△ ABC 三边上的动点，是否存在以 AM 为斜边的
Rt△ AMN，使△ AMN 的面积为△ ABC 面积的 ？若存在，求 tan∠ MAN 的值；若不存在， 请说明理由．
y= 相交于点 C．动点 P 从 O 出发在 x 轴上以每秒 5 个单位长度的速度向 B 匀速运动，点 Q 从 C 出发在 OC 上以每秒 4 个单位长度的速度，向 O 匀速运动，运动时间为 t 秒（0＜t＜ 2）．
（1）直接写出点 C 坐标及 OC、BC 长；
（2）连接 PQ，若△ OPQ 与△ OBC 相似，求 t 的值； （3）连接 CP、BQ，若 CP⊥BQ，直接写出点 P 坐标．
九年级培优圆与相似辅导专题训练含答案 一、相似
1．如图所示，将二次函数 y=x2+2x+1 的图象沿 x 轴翻折，然后向右平移 1 个单位，再向上 平移 4 个单位，得到二次函数 y=ax2+bx+c 的图象．函数 y=x2+2x+1 的图象的顶点为点 A．函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点为点 B，和 x 轴的交点为点 C，D（点 D 位于点 C 的左 侧）．
∴
，
∴
，
∴ PH=3t，OH=4t，
∴ tan∠ PCH=tan∠ CBQ，
∴
，
∴ t= 或 0（舍弃），
∴ t= s 时，PC⊥BQ． 【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出 A,B 点的坐标，解联立直线 AB,与直线 OC 的解析式组成的方程组，求出 C 点的坐标，根据两点间的距离公式即可直接 算出 OC,OB 的长； （2）根据速度乘以时间表示出 OP=5t，CQ=4t，OQ=8-4t，①当 OP∶ OC=OQ∶ OB 时， △ OPQ∽ △ OCB，根据比例式列出方程，求解得出 t 的值；②当 OP∶ OB=OQ∶ OC 时， △ OPQ∽ △ OBC，根据比例式列出方程，求解得出 t 的值，综上所述即可得出 t 的值； （ 3 ）如 图作 PH⊥OC 于 H ．根 据勾 股定 理 的逆 定 理判 断出 ∠ OCB=90°， 从 而得 出当 ∠ PCH=∠ CBQ 时，PC⊥BQ．根据同位角相等二直线平行得出 PH∥ BC，根据平行线分线段 成比例定理得出 OP∶ OB=PH∶ BC=OH∶ OC,根据比例式得出 PH=3t，OH=4t，根据等角的同 名三角函数值相等及正切函数的定义，由 tan∠ PCH=tan∠ CBQ，列出方程，求解得出 t 的 值，经检验即可得出答案。
；
③当 N 点在 AB 上，如图 3，
作 AH⊥BC 于 H，设 AN=t，则 BN= ﹣t，
由②得 AH= ，则 BH=
，
∵ ∠ NBG=∠ HBA，
∴ △ BNM∽ △ BHA，
∴
，即
，
∴ MN=
，
∵ AN•MN=2，
即 •（ ﹣t）•
=2，
整理得 3t2﹣3 t+14=0，△ =（﹣3
∴ 点 N 在 AB 上不符合条件，
∴ tan∠ MAC=
=4；
Байду номын сангаас
当 m=1 时，M 点的坐标为（1，2），N（1，0），则 AN=2，MN=2，
∴ tan∠ MAC=
=1；
②当 N 点在 BC 上，如图 2，
BC=
=2 ，
∵ BC•AN= AC•BC，解得 AN=
，
∵ S△ AMN= AN•MN=2，
∴ MN= = ，
∴ ∠ MAC=
【答案】（1）解：对于直线 y=﹣ x+ ，令 x=0，得到 y= ，
∴ A（0， ）， 令 y=0，则 x=10， ∴ B（10，0），
由
，解得
，
∴ C（ ， ）．
∴ OC=
=8，
BC=
=10
（2）解：①当
时，△ OPQ∽ △ OCB，
∴
，
∴ t= ．
②当
时，△ OPQ∽ △ OBC，
∴
，
∴ t=1，
∴ 构造的三角形是等腰三角形的概率=
（3）解：存在，
易得 BC 的解析是为 y=﹣2x+4，S△ ABC= AC•OB= ×3×4=6， M 点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2）， ①当 N 点在 AC 上，如图 1，
∴ △ AMN 的面积为△ ABC 面积的 ，
∴ （m+1）（﹣2m+4）=2，解得 m1=0，m2=1， 当 m=0 时，M 点的坐标为（0，4），N（0，0），则 AN=1，MN=4，
【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2 的图象沿 x 轴翻折，得 y=﹣（x+1）2 ， 把 y=﹣（x+1）2 向右平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得 y=﹣x2+4， ∴ 所求的函数 y=ax2+bx+c 的解析式为 y=﹣x2+4
（2）解：∵ y=x2+2x+1=（x+1）2 ， ∴ A（﹣1，0）， 当 y=0 时，﹣x2+4=0，解得 x=±2，则 D（﹣2，0），C（2，0）； 当 x=0 时，y=﹣x2+4=4，则 B（0，4）， 从点 A，C，D 三个点中任取两个点和点 B 构造三角形的有：△ ACB，△ ADB，△ CDB， ∵ AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ， ∴ △ BCD 为等腰三角形，
讨论：①当 N 点在 AC 上，如图 1；②当 N 点在 BC 上，如图 2；③当 N 点在 AB 上，如
图 3。利用△ AMN 的面积=△ ABC 面积的 ，解直角三角形、 相似三角形的判定和性质等相 关的知识，就可求出 tan∠ MAN 的值。
2．如图，在平面直角坐标系中，直线 y=﹣ x+ 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、A，与直线
综上所述，t 的值为 或 1s 时，△ OPQ 与△ OBC 相似
（3）解：如图作 PH⊥OC 于 H．
∵ OC=8，BC=6，OB=10， ∴ OC2+BC2=OB2 ， ∴ ∠ OCB=90°， ∴ 当∠ PCH=∠ CBQ 时，PC⊥BQ． ∵ ∠ PHO=∠ BCO=90°， ∴ PH∥ BC，