热传导方程的数学模型1

热传导方程的求解

热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。求解热传导方程有多种方法，下面将介绍两种常用的求解方法。

一、分离变量法

分离变量法是一种常见且简单的求解热传导方程的方法。它基于热传导方程的偏微分方程特性，将变量分离并进行独立的求解。

1. 问题设定

假设需要求解的热传导问题为一维情况，物体的长度为L，初始时刻温度分布为u(x,0)=f(x)，物体两端保持恒温边界条件u(0,t) = A，u(L,t) = B。

2. 分离变量

假设u(x,t)可表示为u(x,t) = X(x)T(t)，将u(x,t)代入热传导方程中，可得到两个方程：X''(x)/X(x) = T'(t)/αT(t)，其中α为热扩散系数。由于左侧只依赖于x，右侧只依赖于t，所以二者必须等于一个常数λ。

3. 求解分离后的方程

将上述得到的分离变量方程代入边界条件，可得到两个常微分

方程，分别是X''(x)/X(x) = λ 和T'(t)/αT(t) = -λ。这两个常微分方程

可以求解得到X(x)和T(t)。

4. 求解系数

通过使用初始条件u(x, 0) = f(x)，可以求解出常数λ的值，进

而求解出X(x)和T(t)。

5. 求解问题

最终将X(x)和T(t)重新结合，即可得到热传导问题的解u(x, t)。

二、有限差分法

有限差分法是一种数值求解热传导方程的常用方法，它通过将

连续的空间和时间离散化，将偏微分方程转化为差分方程进行求解。

1. 空间和时间离散化

将物体的空间进行网格划分，时间进行离散化，并在网格节点

上计算温度的近似值。

一维热传导方程求解例题

摘要：

I.引言

- 介绍一维热传导方程

- 说明求解例题的目的

II.一维热传导方程的数学模型

- 描述一维热传导方程的物理背景

- 给出热传导方程的数学表达式

III.求解方法

- 介绍求解一维热传导方程的常用方法

- 说明采用差分法求解的步骤

IV.求解例题

- 给出具体的求解例题

- 详细描述求解过程

V.结果与讨论

- 分析求解结果的正确性

- 说明结果的实际意义

VI.结论

- 总结求解一维热传导方程的过程

- 提出可能的改进方向

正文：

一维热传导方程是传热过程的基本数学模型，用于描述在一条方向上的温度分布情况。在实际应用中，许多场景下温度分布可以近似为一维，因此求解一维热传导方程具有重要意义。本篇文章将通过一个具体的例题，介绍如何求解一维热传导方程。

II.一维热传导方程的数学模型

考虑一个长为L 的一维热传导系统，其中两个边界分别为温度为Tw1 和Tw2 的恒温壁面，内部为温度为T1 的流体。根据热传导的基本原理，可以得到以下一维热传导方程：

$$

frac{partial T}{partial t} = alpha frac{partial^2 T}{partial x^2}

$$

其中，T 表示流体的温度，t 表示时间，x 表示空间位置，α表示热扩散系数。

III.求解方法

求解一维热传导方程的方法有很多，常见的有有限差分法、有限元法、有限体积法等。本例题将采用有限差分法进行求解。有限差分法是一种常用的数值方法，可以将连续的空间和时间离散化，从而将偏微分方程转化为离散的线性方程组。

IV.求解例题

热传导方程的求解及其应用热传导是指物质内部由高温区向低温区传递热量的过程，是自然界中十分普遍的现象。为了更好地理解和研究这一过程，我们需要借助数学模型来描述和求解热传导过程，其中最常用的数学模型就是热传导方程。

一、热传导方程的数学模型

热传导方程是描述物质内部温度变化随时间和空间的变化而变化的偏微分方程。它可以描述均质物质内部的热量传递，以及介质中的温度变化。

热传导方程的数学表示式如下：

$$ \frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \nabla^2 u $$

其中，$u$表示物质内部温度的分布，$t$表示时间，$\alpha$表示热扩散系数，$\nabla^2$表示拉普拉斯算子，表示温度分布的曲率。

二、热传导方程的求解方法

热传导方程是一个偏微分方程，需要借助一定的数学方法才能求解。下面简要介绍两种常见的求解方法：

1.分离变量法

分离变量法是求解偏微分方程的常见方法之一。对于热传导方程，我们通常采用分离变量法将其转化为两个方程：

$$ \frac{1}{\alpha}\frac{\partial u}{\partial t}= \nabla^2 u $$

设$u(x,t)=f(x)g(t)$，代入上式得：

$$ \frac{1}{\alpha}\frac{g'(t)}{g(t)}= \frac{f''(x)}{f(x)}=\lambda $$

其中，$\lambda$为待定常数，$f(x)$和$g(t)$分别为$x$和$t$的函数。

将上述两个方程分别求解，可以得到形如下面的解：

热传导的数学模型与研究

热传导是我们日常生活中经常遇到的现象。从热水壶把热水倒入杯子，到夏天

太阳照射在地面上，热量的传导无处不在。研究热传导的数学模型，不仅可以帮助我们更好地理解热力学原理，也可以应用于各种实际问题。

首先，我们需要了解热传导的基本原理。热传导是指热量从高温区域传递到低

温区域的过程。这种过程是通过分子的碰撞和传递能量来实现的。热量在物体内部的传导通常可以通过热传导方程来描述。

热传导方程是研究热传导现象的重要工具。它建立在热传导过程中热量传递的

基本原理上。数学上，热传导方程可以用偏微分方程的形式表示。通常来说，热传导方程可以分为一维、二维和三维的情况。一维热传导方程适用于直线型的物体，如杆子或棒子。二维和三维热传导方程则适用于更复杂的物体，如平板或立方体。

热传导方程的具体形式取决于物体的形状和性质。不同物体的热传导模型也有

所不同。例如，对于均匀导热的杆子或棒子，热传导方程可以简化为线性扩散方程。而对于非均匀导热的材料，我们需要考虑热导率随位置和温度的变化，以及可能的边界条件。这些参数的变化会对热传导的过程和模型产生显著影响。

除了简单的热传导方程，还有一些扩展模型和方法被开发出来，以更好地描述

和研究热传导现象。其中之一是非线性扩散方程。这个模型考虑了导热材料的非线性热传导性质，能更准确地捕捉到热传导过程中的非线性效应。另一个扩展模型是相变问题的研究。在物质发生相变时，如冰变成水或水变成蒸汽，热传导方程需要根据相变对热传导的影响进行修正。

研究热传导模型不仅可以提供对热力学原理的深入理解，也可以解决一些实际

热传导方程式（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。

物理动机

一维热方程图解(观看动画版)

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程式表达：

其中：

u=u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量t 与空间变量(x, y,z) 的函数。/是空间中一点的温度对时间的变化率。uxx, uy y与uzz温度对三个空间座标轴的二次导数。k决定于材料的热传导率、密度与热容。热方程是傅立叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。

利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式

其中的Δ 是对空间变量的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。

就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。

精心整理

热传导方程的模型

一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一样，则在温度较高的点处的热能就要向温度较低的点处流动，称为热传导。由于热能的传导过程总是表现为温

)z的

，间段

其中

体均匀且各向同性时，k为常数。式中负号出现是由于热量的流向与温度梯度的正向相反。

从时刻1t到时刻2t，通过曲面S流入区域V的全部热量为

精心整理

流入的热量使V 内温度发生了变化，在时间间隔

],[21t t 内区域V 内各点温度),,,(1t z y x u 变化到),,,(2t z y x u ，则在时间间隔],[21t t 内V 内温度升高所需的热量为： 其中c 为物体的比热，ρ为物体的密度，对均匀且各向同性的物体来说，它们都是常数。

其中

一维热传导傅里叶方程

全文共四篇示例，供读者参考

第一篇示例：

一维热传导是热传导理论中最基础的概念之一，它描述了在一维情况下热量是如何通过物体的能量传递的。而傅里叶方程则是描述空间中不同温度分布如何随时间演变的数学方程。结合一维热传导和傅里叶方程，我们可以更好地理解热传导过程，并研究如何在不同情况下控制热量的传递。本文将介绍一维热传导以及傅里叶方程的基本概念，并探讨它们在热传导领域的应用。

让我们来看一维热传导的基本概念。一维热传导是指热量在一个维度上传递的过程。在这种情况下，我们假设物体在垂直于传热方向的平面内是均匀的，也就是说物体的性质在这个方向上是不变的。然后，我们可以利用热传导方程来描述热量是如何随时间和空间的变化而变化的。

热传导方程是描述热量传递的基本方程，在一维热传导中，它可以写成如下形式：

\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

u(x, t)表示温度分布，x是空间坐标，t是时间坐标，\alpha是热扩散系数。这个方程描述了温度分布随时间变化的规律，利用这个方程，我们可以研究热量是如何在物体内部传递的。

接下来，让我们来介绍傅里叶方程。傅里叶方程描述了不同温度分布如何随时间演变的数学方程。在一维热传导中，傅里叶方程可以写成如下形式：

这个方程的解可以用傅里叶级数表示，即：

u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} [A_n \cos(\frac{n\pi x}{L}) + B_n \sin(\frac{n\pi x}{L})]e^{-\alpha(\frac{n\pi}{L})^2t}

对流传热研究中的数学模型

流传热是热力学中一个重要的研究领域，它研究的是热量在物体之间的传递过程。在工程和科学领域中，我们经常需要通过数学模型来描述和预测物体之间的热传导行为。这些数学模型在流传热研究中发挥着重要的作用，帮助我们理解热传导的机制和优化热传导过程。

在流传热研究中，最常用的数学模型之一是热传导方程。热传导方程描述了物

体内部的温度分布随时间的变化。它基于热传导定律，即热量通过物体的传导过程。这个方程通常采用偏微分方程的形式，其中包含了物体的热导率、热容量和温度梯度等物理参数。通过求解热传导方程，我们可以得到物体内部温度分布的解析解或数值解，从而了解热量在物体内部的传递方式。

除了热传导方程，还有其他数学模型被用于描述特定的热传导问题。例如，对

于非线性热传导问题，我们可以使用非线性热传导方程来描述。这个方程考虑了热导率和温度之间的非线性关系，从而更准确地描述了物体的热传导行为。另外，对于多相材料的热传导问题，我们可以使用多相热传导模型来描述不同相之间的热传导过程。这个模型考虑了不同相的热导率和体积分数等参数，从而更全面地描述了多相材料的热传导行为。

除了数学模型，数值方法也是流传热研究中的重要工具。由于热传导方程通常

是复杂的偏微分方程，很难得到解析解。因此，我们需要使用数值方法来求解这些方程。常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。这些方法将物体划分为离散的网格或元素，通过近似求解偏微分方程的离散形式来得到数值解。通过这些数值方法，我们可以更准确地预测物体的热传导行为，并优化热传导过程。

热力学与热传导的数学模型

热力学是一门研究热能转化与守恒的物理学科，而热传导则是热能在物质中的

传递过程。这两个概念虽然看似有些抽象，但是通过数学模型的建立，我们可以更好地理解和分析这些过程。

在热力学中，最基本的数学模型是热力学平衡条件。根据这个条件，一个系统

在热力学平衡时，其内部各部分的温度相等。如果我们考虑一个由多个子系统组成的复杂体系，可以利用矩阵运算来描述各个子系统的温度分布。通过矩阵的乘法和求逆运算，我们可以得到整个体系的温度分布情况。这个模型为我们理解和分析热力学平衡提供了一种数学工具。

而在热传导的研究中，常用的数学模型是热传导方程。热传导方程描述了热量

在物质中传导的过程，它是一个关于时间和空间的偏微分方程。根据这个方程，我们可以推导出物体温度随时间和空间的变化规律。通过对热传导方程的求解，我们可以预测物体在不同条件下的温度分布。这个模型在工程领域特别有应用价值，可以用来优化热器件的结构和设计。

除了基础的热力学平衡和热传导模型之外，还有一些更复杂的数学模型，用于

描述特定物质的热力学性质和热传导行为。一个典型的例子是斯特兰特公式，这个公式可以用来计算物质的热导率。热导率是一个物质传导热量的能力的度量，它描述了单位面积上单位时间内通过物质传导的热量。斯特兰特公式将热导率与物质的微观数学属性联系起来，通过这个公式我们可以计算和比较不同物质的热传导性能。

在实际应用中，热力学和热传导的数学模型常常需要结合其他物理学原理和数

学方法来求解。例如，在考虑边界条件时，我们需要引入微分几何的概念。通过对曲线、曲面和空间的特征进行数学建模，我们可以更准确地描述和求解热力学和热传导问题。这个模型拓展了数学应用的范围，使我们可以综合运用不同的数学工具进行研究和分析。

热力学中的热传导计算模型

热传导是自然界中一种常见的现象。它指物质内部的热量传递

与分布，主要表现为物质内部的温度差、热流速度的差异和热传

导系数的不同。热传导的计算模型是对热传导过程进行数学模拟

的方式，以加深我们对热理论的理解。

1. 热传导模型的基本原理

热传导模型的基本原理是从热传导的基本方程式开始推导。热

传导的基本方程式可以表示为：

q = -k · A · (dT/dx)

式中，q 表示热流速度，k 表示热传导系数，A 表示横截面积，(dT/dx) 表示温度梯度。

这个方程式是描述在没有传递界面和对流换热作用的情况下，

热从高温区向低温区传递的关系式。这个关系式可以用来解析各

种形状的体系温度分布、传热速率等问题。但是需要注意的是，

这个基本方程式只适用于均匀材料内的热传导计算。如果是非均匀材料，需要用更复杂的数学模型来解析。

2. 热传导模型的数值解法

在工程应用中，更常用的方法是使用数值解法解决热传导计算问题。数值解法可以通过离散方法，将热传导过程离散化为一系列的单元。每个单元表示一个小体积，热量的传递只涉及到该小体积的周围体积，而不考虑整个体系内部的细节。然后对每个单元内的热传导进行数值模拟，得到解析结果。这个方法可以处理各种形状的体系，而且计算速度快，精度高。

数值解法中，有一个非常重要的概念是有限元法。有限元法是目前最常用的热传导数值解法之一。有限元法将复杂的热传导问题划分成许多离散的小区域，通过求解每个小区域内的热传导问题，推导出整个体系的温度分布。有限元法不但能有效地解决热传导问题，还可以用于许多其他领域的问题解决，如电磁场、结构力学等计算。

一维瞬态热传导方程

一维瞬态热传导方程，简单来说是用来描述物体中热量传导过程的数学模型。热传导是物体内部热量传递的一种方式，它通过分子之间的相互碰撞来实现。一维瞬态热传导方程可以帮助我们理解物体在不同时间和空间上的温度变化规律。

在介绍瞬态热传导方程之前，我们先来了解一下热传导的基本概念。热传导是指在没有流体运动的情况下，物体内部的热量传递现象。热传导的速率取决于物体的热导率和温度梯度。热导率是物体传导热量的能力，温度梯度则表示物体内不同位置的温度差异。

一维瞬态热传导方程是基于热传导的基本原理和热传导定律得出的。它是一个偏微分方程，可以用来描述物体内部温度随时间和空间的变化。其数学形式如下：

∂T/∂t = α * ∂²T/∂x²

其中，T表示物体的温度，t表示时间，x表示空间坐标，α表示热扩散系数。这个方程的物理意义是，物体温度随时间的变化率等于热扩散系数与物体温度在空间上的二阶导数之积。

在求解一维瞬态热传导方程时，我们需要考虑边界条件和初始条件。边界条件是指物体在空间两端的温度情况，而初始条件则是指物体在初始时刻的温度分布。通过求解瞬态热传导方程，我们可以得到物体在不同时间和空间上的温度分布，从而更好地了解物体的热传

导过程。

在实际应用中，一维瞬态热传导方程可以用于解决各种与热传导相关的问题。例如，在工程领域中，我们可以利用瞬态热传导方程来分析材料的热传导性能，优化传热设备的设计，提高能源利用效率。在物理学研究中，瞬态热传导方程也可以用于研究热传导引起的温度变化现象，探索物质的热特性。

一维瞬态热传导方程是研究物体热传导过程的重要数学模型。通过求解这个方程，可以揭示物体内部温度随时间和空间的变化规律，为我们理解和应用热传导提供了有力的工具。在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的数值方法或解析方法来求解瞬态热传导方程，从而得到准确的结果。通过深入研究瞬态热传导方程，我们可以更好地认识物质的热性质，为工程和科学研究提供有益的指导。

热传导的数学模型

热传导是指热能从高温区域向低温区域传递的过程。在实际应用中，我们经常需要准确地描述热传导现象，以便预测和分析各种热力学系

统的行为。为此，我们可以使用数学模型来描述热传导过程。本文将

介绍几种常用的数学模型，包括傅里叶热传导定律、热扩散方程和热

传导方程。

傅里叶热传导定律是描述热传导过程中温度变化的基本规律。它的

数学表达式为：

q = -kA(dT/dx)

其中，q是单位时间内通过物体传导的热量（热流量），k是物质

的热导率，A是传热面积，dT/dx是温度随位置的变化率。这个公式表

明热流量与温度梯度成正比，热导率越大，热传导越快。

除了傅里叶热传导定律外，热扩散方程也是描述热传导过程的重要

数学模型。热扩散方程可以描述任意形状、任意材料的物体中的温度

分布随时间的变化。它的数学表达式为：

∂T/∂t = α(∇^2T)

其中，∂T/∂t表示温度随时间的变化率，∇^2T表示温度的拉普拉斯

算子，α是热扩散率。这个公式表明，温度变化率与温度分布的二阶空间导数成正比，热扩散率越大，温度分布改变越快。

对于一维情况下的热传导，可以使用更简化的热传导方程来描述。

热传导方程是一个关于温度T和位置x的偏微分方程，其数学表达式为：

∂T/∂t = α(∂^2T/∂x^2)

其中，∂^2T/∂x^2是温度T关于位置x的二阶偏导数。

除了以上几种数学模型，还有一些特殊情况下的热传导模型，如球

坐标下的热传导方程、柱坐标下的热传导方程等。这些模型在实际应

用中有着广泛的应用，可以用来解决各种热传导问题。

总结起来，热传导的数学模型有傅里叶热传导定律、热扩散方程和

电加热数学模型是描述电能转化为热能的过程的数学表达式和方程组。电加热通常用于加热流体、固体或空气，例如在加热系统、电加热炉、电热水器等设备中。下面是一个简化的电加热数学模型的构建过程：

1. 热传导方程：

首先考虑传热过程，特别是在导体中的热传导。热传导方程通常用于描述这一过程，其一维形式如下：

∂T ∂t =α∂2T

∂x2

+Q(x,t)

其中，T是温度，t是时间，x是空间坐标，α是热扩散系数，Q(x,t)是热源的分布函数。

2. 电热转换：

引入电热转换的部分，考虑电能如何被转换为热能。电能的转换可以通过焦耳热定律表示：

Q=I2R

其中，Q是产生的热量，I是电流，R是电阻。

3. 电热转换与热传导的耦合：

将电热转换的项Q引入热传导方程中：

∂T ∂t =α∂2T

∂x2

+I2R(x,t)

4. 边界条件和初始条件：

添加适当的边界条件和初始条件，以完整地描述问题。例如，指定T(x,0)和在边界上指定温度或热流。

5. 求解方法：

选择适当的数值或解析方法求解上述方程。常见的数值方法包括有限元法、有限差分法等。

6. 温度分布和效率分析：

分析模型的解，得到系统中的温度分布。还可以计算能量效率等性能指标，评估电加热系统的性能。

示例：

考虑一个简单的电加热导体棒，其中电流I通过导体，导体两端的温度受到热源和边界条件的影响。模型可以通过以下方程描述：

∂T ∂t =α∂2T

∂x2

+I2

ρ

其中，ρ是导体的电阻率。

这个模型可以根据具体情况进行扩展和调整，包括不同的材料特性、几何形状、边界条件等。解决这样的模型可以帮助工程师优化电加热系统的设计，提高效率，减少能源浪费。

瞬态传热模型公式推导过程

瞬态传热模型是用来描述物体在时间上温度变化的模型。推导

瞬态传热模型的过程涉及到热传导方程和一些基本热学原理。首先，我们从热传导方程出发，热传导方程描述了热量在物体内部的传递。对于一维情况，热传导方程可以写作：

ρc∂T/∂t = ∂/∂x(k∂T/∂x)。

其中ρ是物质密度，c是比热容，T是温度，t是时间，x是空

间坐标，k是热导率。这个方程描述了温度随时间和空间的变化关系。

接下来，我们可以利用适当的边界条件和初始条件来解这个方程。边界条件描述了物体与外界的热交换情况，初始条件则描述了

初始时刻物体的温度分布情况。

一般情况下，瞬态传热问题的解并不容易得到解析解，需要借

助数值方法进行求解。常用的数值方法包括有限差分法、有限元法等。

在实际应用中，瞬态传热模型的推导过程还会涉及到热辐射、对流传热等其他因素的影响。这些因素会进一步丰富和复杂化瞬态传热模型的推导过程。

综上所述，推导瞬态传热模型的过程涉及到热传导方程的建立和求解，以及对边界条件和初始条件的考虑。同时，实际应用中还需要考虑其他因素对热传导的影响，这些因素会进一步丰富和复杂化模型的推导过程。

热力学热传导的数学模型推导热力学热传导是研究热量在物体内部传递的过程以及温度随时间和空间的变化规律。在热力学热传导中，需要利用数学模型来描述热传导的行为。本文将详细推导热力学热传导的数学模型。

热传导方程是描述热传导行为的基本方程之一。其推导基于以下假设：物体是均匀且各向同性的媒介，热传导过程不考虑对流和辐射。根据能量守恒原理，可以得到热传导方程。

首先，我们考虑一维情况下的热传导。设物体长度为L，则可以将其划分为无数个微小的元素，每个微小元素的长度为Δx。假设该元素内的温度为T，由热力学第一定律可知，该元素内的净热流量可以表示为：

dQ = -kA(T_x)Δt

其中，dQ表示该元素内的净热流量，k为物体的热传导系数，A为该元素的横截面积，T_x表示该元素的温度梯度，Δt为时间间隔。

根据定义，温度梯度可以表示为温度对长度的导数，即：

T_x = dT/dx

将温度梯度代入热流量表达式中，可以得到：

dQ = -kA(dT/dx)Δt

对于该微小元素内的热量，可以表示为：

dQ = ρcAΔT

其中，ρ为物体的密度，c为物体的比热容，ΔT为该元素内的温度变化。

将两个表达式相等，可以得到：

-kA(dT/dx)Δt = ρcAΔT

去除A并整理后得到：

ρc(dT/dx) = -k(ΔT/Δt)

对右侧进行变量分离，左侧进行积分，可以得到：

∫(1/ρc)dT = -∫(k/Δt)dx

对两个积分进行求解，可以得到：

(T - T_0)/(ρc) = -(k/Δt)(x - x_0) + C

其中，T_0为初始温度，x_0为物体线性分布的起点，C为常数。

热传导方程得模型

一块热得物体,如果体内每一点得温度不全一样,则在温度较高得点处得热能就要向温度较低得点处流动,称为热传导。由于热能得传导过程总就是表现为温度随时间与点得位置得变化,故问题归结为求物体内温度得分布。

在三维直角坐标系下,假设在时刻点得温度为,考虑一个区域得温度,为此,在物体中任取一闭曲面,它所包围得区域记作(如图),为曲面得法向(从内指向外)。

由热传学中得Fourier实验定律可知:物体在无穷小时间段内流过一个无穷小面积得热量与时间段、曲面面积,以及物体温度沿法线方向得方向导数三者成正比,即

其中称为物体得热传导系数(),当物体均匀且各向同性时,为常数。式中负号出现就是由

于热量得流向与温度梯度得正向相反。

从时刻到时刻,通过曲面流入区域得全部热量为

流入得热量使内温度发生了变化,在时间间隔内区域内各点温度变化到,则在时间间隔内内温度升高所需得热量为:

其中为物体得比热,为物体得密度,对均匀且各向同性得物体来说,它们都就是常数。

由于热量守恒,故,即。

交换积分次序,得

0)()()(21=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰Ωdxdydzdt z u k z y u k y x u k x t u c t t ρ 由于时间间隔及区域就是任意取得,并且被积函数就是连续得,得到

如果物体就是均匀得,即为常数,得到方程:

其中。该方程称为三维得热传导方程。