4静态场边值问题解法

➢ 第一类边值问题：已知电位函数整个边界面上 的分布值。
f S
➢ 第二类边值问题：已知函数在整个边界面上的 法向导数。
f n S
➢ 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部 分边界面上的函数值，和另一部分边界面上函数的 法向导数。
S1 f1
n
S2
f2
S S1 S2
二、唯一性定理
唯一性定理内容：在场域V的边界面S上给定电位
第 4 章 静态场边值问题的解法
◇ 静电场和恒定电场的边值问题，可归结为在给定 边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。
◇ 常用的方法
解析法 数值法
直接法 间接法
本章主要内容：
静电场的唯一性定理
直接求解法 分离变量法(直角坐标系下)
间接求解法 镜像法
第一节 唯一性定理
一、边值问题 ❖存在边界面的电磁问题。 ❖根据给定边界条件对边值问题分类：
❖ 镜像法理论依据：唯一性定理。
❖ 等效电荷一般位于原电荷关于边界面的镜像点处， 故称为镜像电荷。
❖ 镜像电荷位置选择原则： 1、镜像电荷必须位于求解区域以外的空间。 2、镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件。
一、平面接地导体边界
1、点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像
原问题： 无限大接地导体平面（z=0）, 点电荷q：z=h 求空间中电位分布。
X(x) dx2
Y(y) dy2
(A 0xB 0)(C 0yD 0)＋
[A nsh(knx)B nch(knx)][C nsin(kny)D ncos(kny)]
n=1
第三节 镜像法
❖ 镜像法基本思路：在所研究的场域外的某些适当 位置，用一些虚拟电荷等效替代导体分界面上的感应 电荷或媒质分界面上的极化电荷的影响。
z
q
h
x
导体
等效问题： 要求：与原问题边界条件相同 原电荷：q:z=h 镜像电荷(等效电荷):-q->z=-h 取消导体边界面，z>0空间媒质 充满整个空间。
)
由条件（3） Dn 0
n = 1A 'nsin (n ax)sh (n ay) (A n ' A n C n)
由条件（4）
n n
u A'nsin(
n=1
a
x)sh(
b) a
将u在（0，a)区间展开为 s in ( n x ) 傅立叶级数
n a
Aufn'nna2=s1h0fa(nunfsnsininb()naaxxd)x0n4u
或者 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域 n
V内的解唯一。
说明：若对同一面积，同时给定 和 的值，则不
存在唯一解。
n
唯一性定理的意义：
1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；
2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为 结果正确性提供了判据。
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程） 的理论依据。
当k 0时：
X (x ) A s in (k x ) B c o s (k x )
Y (y ) C s h (k y ) D c h (k y )
A ,B ,C ,D 待 定
[ A s i n ( k x ) B c o s ( k x ) ] [ C s h ( k y ) D c h ( k y ) ]
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy2
仅为y坐标函数
要使对任意x,y两式相等，则须两式均为常数。令
1
d2X(x) 1
d2Y(y)k2
X(x) dx2
Y(y) dy2
分离常数
X Y
1 (x) 1 (y)
d d
2X (x dx2
2Y ( y) dy2
) k2
k
2
d
2X (x) dx2
k
2
X
(x)
0
d
2Y ( y) dy2
百度文库
k
2Y
(
y)
0
通过引入分离常数k，将二维拉普拉斯方程分解为 两个齐次常微分方程。分别解两个常微方程就可以得 出原问题的解。
解常微分方程（k取值不同解形式不同）：
当k=0时：
X(x)A 0xB 0 Y(y)C 0yD 0
A 0,B 0,C 0,D 0待 定
X ( x ) Y ( y ) ( A 0 x B 0 ) ( C 0 y D 0 )
0
2 0
2 2 2
0 x2 y2 z2
很明显， 为x,y的函数。则可令
X(x)Y(y)
代入方程得
d2X(x)
d2Y(y)
Y(y) dx2 X(x) dy2 0
X1 (x)d2dX x2 (x)Y(1y)d2 dYy(2y)0
X1 (x)d2dX x2 (x)Y(1y)d2dYy(2y)
1 d 2 X ( x) 仅为x坐标函数 X (x) dx2
x a
y
u
0 (0xa) (1) b
y0
U(0xa) (1) yb
x a
(A 0xB 0)(C 0yD 0)＋
[A nsin(knx)B ncos(knx)][C nsh(kny)D nch(kny)]
n=1
由条件（1） 由条件（2）
B A 00 0 0,,B kn n 0 na (n1,2,
n1,3,5... n2,4,6...
a
所以，接地导体槽内部电位分布为
4 un=1, 3,...nsh(1nb)sin(nax)sh(nay) a
讨论：前面的结果是在以下假设条件下得到的
X1 (x)d2d X x2 (x)Y(1y)d2 d Y y(2y)k2
若假设为：
1 d2X(x) 1 d2Y(y)k2
由于三角函数具有周期性，因此解中的分离变量k可以 取一系列特定的值kn(n=1,2,3……），即：
[A ns in (k n x ) B nc o s (k n x )][C n s h (k n y ) D n c h (k n y )]
n 1 ,2 ,3 ,… …
由于拉普拉斯方程是线性方程，因此方程的特解 的线性组合仍然是方程的解。
第二节 直角坐标系中的分离变量法
问题：如图所示无限长金属导体 y
槽，其顶面电位为u，其余三面 接地，求导体槽内电位分布。 b
u
建立求解方程：
x a
导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程，即
2 0
0 (0yb)
x0
0 (0yb) xa
0 (0xa)
y0
U (0xa) yb
用分离变量法求解过程：
将所有的特解线性组合起来，得到电位函数的通解。
(A 0xB 0)(C 0yD 0)＋
[A nsin(knx)B ncos(knx)][C nsh(kny)D nch(kny)]
n=1
解中所有未知系数和分离变量kn由边界条件确定。
2 0
0(0yb) (1 )
x 0
0(0yb ) (2 )