高中数学选修1-1 1.1.1四种命题教案

§1．1 .1 命题、四种命题【教学过程设计】：练习与测试：1．下列语句不是命题的是（ ）A ．2是奇数B ．他是学生。

C ．你学过高等数学吗？D ．明天不会下雨。

2．下列语句中是命题的是（ ）A ．语文和数学B ．0sin 451= C ．221x x +- D ．集合与元素3．命题“内错角相等，则两直线平行”的否命题为（ ）A ．两直线平行，内错角相等B ．两直线不平行，则内错角不相等C ．内错角不相等，则两直线不平行D ．内错角不相等，则两直线平行 4．命题“若a b >，则1ab>”的逆否命题为（ ） A ．若1a b>，则a b > B ．若a ≤b ，则b a≤1C ．若a b >，则b a <D ．若ba≤1，则a ≤b5．命题“正数a 的平方不等于0”是命题“若a 不是正数，则它的平方等于0”的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定命题 6命题”02≤x ”是____________(真, 假)命题7.命题”若1x =，则220x x +-=”的逆命题是_________(真, 假)命题； 8命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是_ _______________________________________________9．写出“若x 2+y 2=0，则x =0且y =0”的逆否命题： ；10．命题“不等式x 2+x -6>0的解x <-3或x >2”的逆否命题是 11．把下列命题写成“若p 则q ”的形式，并判断其真假.(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除； (4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧.12．写出命题“若a 和b 都是偶数，则a+b 是偶数”的否命题和逆否命题． 参考答案：1． C 2．B 3．C 4．D 5．B 6．真 ;7.假 8.逆否命题::圆的切线到圆心的距离等于圆的半径 9．逆否命题: 若x ≠0或y ≠0,则x 2+y 2≠0；10．若x 23≤-≥x 且,则x 2+x-60≤11．(1)原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数.这个命题是真命题. (2)原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形.这个命题是假命题.(3)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.这个命题是真命题.(4)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.这个命题是真命题.12．否命题为：若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数；逆否命题为：若a+b不是偶数，则a和b 不都是偶数。

第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系（夏琳）一、教学目标1.核心素养培养数学抽象，形成逻辑推理能力．2.学习目标（1）了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．（2）命题的四种形式．3.学习重点了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．4.学习难点明白四种命题之间的关系，会利用两个命题互为逆否命题的关系判别命题的真假．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务：阅读教材P1－P4，思考：如何判断命题的真假？四种命题之间有什么关系？2．预习自测1．判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）对数函数是增函数吗？（3）2x<15；解：（1）真命题（2）疑问句，不是命题（3）不能判断真假，不是命题2.将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等.解：（1）若两条直线相交，则有且只有一个交点；（2）若两个角是对顶角，则这两个角相等；（3）若两个三角形全等，则它们的面积相等.3．命题“若a>b,则a-1>b-1”的逆否命题是（）A.若a-1≤b-1,则a≤bB.若a<b,则a-1<b-1C.若a-1>b-1,则a>bD.若a≤b,则a-1≤b-1答案：A解析：命题“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”.（二）课堂设计1．知识回顾在生活中，我们接触了哪些具体的命题？请大家阅读教材P2中所列举的6个命题例子，并试着列举生活与学习中的命题例子．2．问题探究问题探究一命题的含义1.什么是命题？思考：三位科学家由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久发现了一只黑羊．“真有意思，苏格兰的羊都是黑的”天文学家谈论道．“这种推断不可靠”数学家应道．我们只能得出”在苏格兰有一些羊是黑色的”这样的结论．逻辑学家马上接着说我们真正有把握的不过是”在苏格兰至少有一个地方有至少一只黑羊”如何判断这些话的真假呢?阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）3>12；（3）3>12吗？（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.想一想：请大家根据以上结论，思考什么叫做命题？一般地，在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__________________叫做命题（proposition），其中判断为真的语句叫做__________（true proposition），判断为假的语句叫做__________（false proposition）．说明：（1）并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题；也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.。

1.1.四种命题-人教A版选修1-1教案
一、教学目标
1.熟练掌握命题及其基本概念。

2.掌握命题的分类与性质。

3.熟练掌握四种命题的相关知识。

4.能够运用所学知识解决有关问题。

二、教学重难点
1.命题概念的理解；
2.四种命题的认识；
3.推理方法的灵活运用。

三、教学过程
3.1.导入（10分钟）
1.引入命题的概念，并提出几个问题来探讨与命题相关的思维方式。

2.让学生自己举出几个命题，让全班同学进行讨论。

3.2.命题的分类与性质（15分钟）
1.认识简单、复合、永真、矛盾、互为否定的五种命题。

2.探究五种命题的相关性质。

3.3.四种命题（60分钟）
1.认识肯定命题、否定命题、充分必要条件命题和等价命题。

2.通过例题讲解四种命题的定义、判别方法、表达方法等。

3.讲解充分必要条件命题和等价命题的推理方法。

4.利用所学方法，解决实际问题。

3.4.课堂小结（5分钟）
1.学生进行知识点的总结和归纳。

2.教师进行课堂小结和展望。

四、教学评价
评价方式：以作业形式进行命题题型应用的解析和归纳总结。

五、教学注意点
1.知识点详略得当，明确而不啰嗦。

2.注重思维过程和方法，培养学生的逻辑思维能力。

3.善于运用问题式教学，让学生在实践中掌握知识。

1.1.2 四种命题及相互关系三维目标1.通过具体命题的例子了解命题的逆命题、否命题、逆否命题;2.会写一个命题的逆、否、逆否命题;3.会分析四种命题的关系，知道等价关系。

________________________________________________________________________________ 自学探究问题1. 请写出命题“若P，则q ”的逆命题，否命题，以及逆否命题。

问题2. 请自己举一个命题的例子，写出它的逆命题、否命题以及逆否命题并判断其真假关系。

问题3.请填写下表：【技能提炼】1.请同学们自己写一个命题并改写为“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题。

【反思】: 否定的改写需要注意什么?2.写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假。

（1）若x y <，则x m y m +<+；（2）若22a b <，则a b <；（3）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等； （4）偶函数的图象关于y 轴对称。

3．下列说法正确的是( ) ①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②③④【反思】: 四种命题中等价命题有哪些?4.证明：22若0，则x=y=0x y +=。

[。

]【思考】:反证法的步骤是什么?教师问题创生学生问题发现变式反馈1.命题“,a b 都是奇数，则a b +是偶数”的逆否命题是（ ） A 、,a b 都不是奇数，则a b +是偶数 B 、a b +是偶数，,a b 都是奇数C 、a b +不是偶数，,a b 都不是奇数D 、a b +不是偶数，,a b 不都是奇数2.若命题p 的逆命题是q ，命题r 是命题q 的否命题，则p 是r 的（ ） A 、逆命题B 、否命题C 、逆否命题D 、以上都不正确3.“若{}|1P x x =<，则0P ∈”的等价命题是 ；4．(12分)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图像与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

《1.1.1 四种命题》教学设计1教材分析本节内容是苏教版《选修 1-1》第1章“常用逻辑用语”的第1节“命题及其关系”中的第1课“四种命题”．本课内容既是初中“命题”知识的延续，又是高中后续知识的基础．教材以具体命题为例，用特殊到一般的研究方法，研究四种命题的结构关系和真假关系，为后面学习充分条件和必要条件等知识做充分的知识准备．2教学目标知识与技能了解命题的逆命题、否命题与逆否命题．明白四种命题之间的形式结构关系．会利用两个命题互为逆否命题的同真同假关系判断较复杂命题的真假过程与方法经历四种命题的构造过程，培养学生发现问题、分析问题、创造性解决问题的能力研究四种命题的真假关系，体会从特殊到一般，归纳猜想的研究方法情感与能力目标:提供情境,激发学生的学习兴趣在合作讨论中学会交流与合作,启迪思维,培养学生勤于思考,勇于探索的创新意识,感受探索的乐趣3教学重点四种命题的关系．教学难点利用四种命题的关系判断命题的真假．4教学过程情境引入德国诗人歌德在公园里散步，与一位批评家“狭路相逢”。

这位批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，高傲地说:“我从来不给蠢货让路。

”面对如此尴尬的局面，歌德笑着退到路边，礼貌地回答道:“呵呵，我恰恰相反。

”结果故作聪明的批评家，反而自讨没趣。

问题：歌德的回答具体是什么意思？（“我给蠢货让路。

”）师：简单的否定，有力的反击。

这段对话富含逻辑。

数学是思维的科学，逻辑是研究思维形式和规律的科学。

今天一起学习《选修 1-1》第1章“常用逻辑用语”的第1节“命题及其关系”中的第1课“四种命题”问题1 ：下列语句能判断它们的真假吗①你好吗？②祝你学习进步！③ 4.2.14.2.24.3.10”2a 2a 2a 2a 4.3.22a 2a 2a 2ab,则|a|>|b|逆命题：若 |a|>|b|,则a>b 否命题：若 a≤b,则|a| ≤ |b| 逆否命题：若 |a| ≤ |b|,则a≤b 例题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 1 2 3 4【小结】四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性两个命题为互逆命题或互否命题，它们没有必然的真假关系．练习： 判断下列说法是否正确：（1）一个命题的逆否命题为真，它的逆命题不一定为真 （ ） （2）四种命题中,真命题的个数是偶数 （ ） 例5判断命题“若tan α≠1，则α ≠4”的真假【小结】判断命题真假的方法1直接法2间接法（一个命题的真假不易判断时,通过判定其逆否命题的真假来判断） 课堂练习1写出命题”若a 2＝b 2 ，则a ＝b ”的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假 2命题“若与都是奇数,则是偶数”的逆否命题是 是偶数,则与不都是奇数 是偶数,则与都不是奇数 不是偶数,则与不都是奇数不是偶数,是与都不是数【注意】“都全．．．是”，不要写成“都（全）不是”．．是”的否定为“不都全变式：判断命题“若与都是奇数,则是偶数”的否命题的逆否命题的真假你能想到几种解法？解（方法1）原命题的否命题的逆否命题是原命题的逆命题：若是偶数，则与都是奇数假（方法2）∵原命题的否命题：若与不都是．．．奇数,则不是偶数∴原命题的否命题的逆否命题：若是偶数，则与都是奇数假（方法3）∵原命题的否命题：若与不都是．．．奇数,则不是偶数假∴原命题的否命题的逆否命题（假）课堂总结1四种命题2两种关系结构关系真假关系互为逆否命题的两个命题同真假。

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系一：教法分析●三维目标1.知识与技能初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．2．过程与方法培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．3．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考，勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．●重点、难点重点：四种命题之间相互的关系．难点：正确区分命题的否定形式及否命题．通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．二：方案设计●教学建议这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此采用以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练．宜采取的教学方法：(1)启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律；(2)讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高．学习方法：(1)由特殊到一般的化归方法：学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括；(2)讲练结合法：让学生知道数学重生在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想．●教学流程创设问题情境，给出四个命题，引出问题：四个命题的条件与结论有何区别与联系？⇒引导学生观察、比较、分析，得出四种命题的概念与他们之间的相互关系.⇒通过引导学生回答所提问题，层层深入地得出四种命题真假的关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握四种命题的概念及相互转化.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握四种命题真假的判断方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!三、自主导学给出以下四个命题：(1)对顶角相等；(2)相等的两个角是对顶角；(3)不是对顶角的两个角不相等；(4)不相等的两个角不是对顶角；1．你能说出命题(1)与(2)的条件与结论有什么关系吗？【提示】它们的条件和结论恰好互换了．2．命题(1)与(3)的条件与结论有什么关系？命题(1)与(4)呢？【提示】命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把两个命题叫做互否命题．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．1．为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题该如何表示？【提示】逆命题：若q，则p.否命题：若綈p，则綈q.逆否命题：若綈q，则綈p.2．原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？【提示】互逆、互否、互为逆否．四种命题的相互关系1．知识1的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的？【提示】(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．2．如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的逆否命题呢？【提示】原命题为真，其逆命题不一定为真，但其逆否命题一定为真．1．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．2．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.四、互动探究例1把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)全等三角形的对应边相等；(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.【思路探究】(1)原命题的条件与结论分别是什么？(2)把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？【自主解答】(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.（一）规律方法1．给出一个命题，写出该命题的其他三种命题时，首先考虑弄清所给命题的条件与结论，若给出的命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式．2．把原命题的结论作为条件，条件作为结论就得到逆命题；否定条件作为条件，否定结论作为结论便得到否命题；否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．（二）变式训练分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)负数的平方是正数；(2)若a＞b，则ac2＞bc2.【解】(1)原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2)逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b；否命题：若a≤b，则ac2≤bc2；逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.例2(1)菱形的对角线互相垂直；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．【思路探究】确定条件与结论→写出三种命题→判断真假【自主解答】(1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题．否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．（一）规律方法1．本例题目中命题的条件和结论不明显，为了不出错误，可以先改写成“若p，则q”的形式，再写另外三种命题，进而判断真假．2．要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间的相互关系；其次，正确利用相关知识进行判断推理．若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．3．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假来判断．（二）变式训练下列命题中正确的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．A．①②③B．①③C．②③D．①【解析】①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形．”假命题．③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程x2＋x－m＝0无实根，∴判别式Δ＝1＋4m＜0，m＜－14.故m≤0，为真命题．故正确的命题是①，③选B.【答案】 B例3若【思路探究】(1)a，b，c不可能都是奇数包含几种情况？(2)它的反面是什么？能否考虑证它的逆否命题？【自主解答】若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，所以a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2.即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真，所以若a2＋b2＝c2，则a、b、c不可能都是奇数．（一）规律方法1．因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情况，而其否定只有一种情况，即“a、b、c都是奇数，”故应选择证明它的逆否命题为真命题，以使问题简单化．2．当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略．3．四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．（二）变式训练“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”，判断其逆否命题的真假．【解】∵a，x∈R，且x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集．∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＜0，则4a－7＜0，解得a＜74.因此a＜2，原命题是真命题．又互为逆否命题的命题等价，故逆否命题是真命题.五、易误辨析因否定错误致误典例 写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”的逆命题、否命题，并判断它们的真假．【错解】 逆命题：若x ，y 全为零，则x 2＋y 2＝0，是真命题；否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为零，是假命题．【错因分析】 本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误．对“x ，y 全为零”的否定，应为“x ，y 不全为零”，而不是“x ，y 全不为零”．【防范措施】 要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，否定时一定要注意一些词语，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等．【正解】 逆命题：若x ，y 全为零，则x 2＋y 2＝0，是真命题；否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零，是真命题．六、课堂小结1．写出四种命题的方法：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．2．四种命题的真假关系：若原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，它的逆否命题一定为真；互为逆否命题的两个命题的真假性相同．因此，若一个命题的真假不易判断时，我们可借助它的逆否命题进行判断.七、双基达标1．(2013·福州高二检测)已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( ) A ．若a 2＋b 2＜12，则a ＋b ≠1 B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2＜12C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2＜12D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ＝1 【解析】 “a ＋b ＝1”，“a 2＋b 2≥12”的否定分别是“a ＋b ≠1”，“a 2＋b 2＜12”，故否命题为：“若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2＜12”． 【答案】 C2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．无关命题【解析】 从两种命题的形式来看是条件与结论换位，因此为逆命题．【答案】 A3．命题“当x ＝2时，x 2＋x －6＝0”的逆否命题是____．【解析】 原命题结论的否定作条件，条件的否定作结论，写出逆否命题即可．【答案】 当x 2＋x －6≠0时，x ≠2.4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)若mn ＜0，则方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根；(2)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.【解】 (1)逆命题：若方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根，则mn ＜0.假命题；否命题：若mn ≥0，则方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根．假命题；逆否命题：若方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根，则mn ≥0.真命题．(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0.真命题；否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0.真命题；逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0.真命题．八、知能检测一、选择题1．命题“若綈p ，则q ”是真命题，则下列命题一定是真命题的是( )A ．若p ，则綈qB ．若q ，则綈pC ．若綈q ，则pD ．若綈q ，则綈p【解析】 若“綈p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则p ”，又互为逆否命题真假性相同． ∴“若綈q ，则p ”一定是真命题．【答案】 C2．若命题p 的否命题为q ，命题p 的逆否命题为r ，则q 与r 的关系是( )A ．互逆命题B ．互否命题C ．互为逆否命题D ．以上都不正确【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．【答案】 A3．(2013·台州高二检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.【答案】 B4．(2013·大庆高二检测)下列判断中不正确的是()A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题C．“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．“若x∈N*，则(x－1)2＞0”是假命题【解析】若A∩B＝B，则有B⊆A，从而有A∪B＝A，∴A正确；B中的逆否命题：“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题∴B正确．C中的逆命题为：“已知a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2为假命题，故C不正确．D中x＝1时，(x－1)2＝0显然是假命题．故D正确．【答案】 C5．下列命题中，不是真命题的为()A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“若x2＝9，则x＝3”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题【解析】A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C中命题的否命题为“若x2≠9，则x≠3”为真命题；D中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．【答案】 D二、填空题6．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________．【答案】 若A ∪B ≠B ，则A B .7．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．【解析】 由已知得，若1＜x ＜2成立，则m －1＜x ＜m ＋1也成立．∴⎩⎨⎧m －1≤1m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 【答案】 [1,2]8．(2013·菏泽高二检测)给定下列命题：①若a ＞0，则方程ax 2＋2x ＝0有解．②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x －32是有理数，则x 是无理数”的逆否命题； ④“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题．其中真命题的序号是________．【解析】 显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x －32是有理数，则x 是无理数”为假命题，∴逆否命题为假命题．对于④中，“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1，则a ＋b ≤2”为假命题．【答案】 ①三、解答题9．设原命题是“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．【解】 原命题是真命题．逆命题是“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞b ”，是真命题．否命题是“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，是真命题．逆否命题是“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，是真命题．10．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．【解】 (1)命题p 的否命题为：“若ac ＜0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．(2)命题p 的否命题是真命题，证明如下：∵ac ＜0，专业文档∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.【证明】假设a＋b＜0，则a＜－b.∵f(x)在R上是增函数．∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．即f(a)＋f(b)＜0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.九、备课资源（一）备选例题判断命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．【解】∵m＞0，∴12m＞0，∴12m＋4＞0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝22－4×1×(－3m)＝4＋12m＞0，∴原命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又∵原命题与它的逆否命题等价，∴“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为真．（二）备选变式已知ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.【证明】设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2bc＋2cd－2ad －2bc＋2ad＝2，即(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋2ad－2bc＝2，若(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＝0，则a＝b＝c＝d＝0，于是ad－bc＜1；若(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2≠0，则(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2为正数，所以必有ad－bc＜1.综上，命题“若a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则ad－bc≠1”成立，由原命题与它的逆否命题等价，知原命题也成立，从而原命题得证.珍贵文档。

江苏省涟水县第一中学高中数学 1.1.1 四种命题教学案苏教版选修1-1教学目标：1. 通过实例理解命题的概念，会判断命题的真假；2. 了解命题的四种形式，能正确判断四种命题之间的关系．教学重点：会写命题的逆命题、否命题、逆否命题．教学难点：利用四种命题的关系判断命题的真假．教学方法：问题链导学，讲练结合．教学过程：一、问题情境我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如，如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；②如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；③如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等．④思考：命题②，③，④与命题①有什么关系？二、建构数学1．上面的四个命题都是“如果……，那么……”形式的命题，可以记为“若p则q”，其中p是命题的条件，q是命题的结论．2．在上面的例子中：命题②的条件和结论分别是命题①的结论和条件，我们称这样的两个命题互为逆命题；命题③的条件和结论分别是命题①的条件的否定和结论的否定，我们称这样的两个命题互为否命题；命题④的条件和结论分别是命题①的结论的否定和条件的否定，我们称这样的两个命题互为逆否命题．3．一般地，设“若p则q”为原命题，那么“若q则p”就叫做原命题的逆命题；“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题．（非p、非q分别表示p 和q的否定）三、数学运用例1写出命题“若a＝0，则ab＝0”的逆命题、否命题与逆否命题．思考：原命题的真假、逆命题的真假、否命题的真假与逆否命题的真假有什么关系？例2把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．（1）对顶角相等；（2）四条边相等的四边形是正方形．例3 判断下列说法是否正确：（1）一个命题的否命题为真，它的逆命题也一定为真；（2）一个命题的逆否命题为真，它的逆命题不一定为真．例4 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：（1）若||||b a =，则a ＝b ；（2）若x ＜0，则x2＞0．四、随堂练习：（1）下列语句中是命题有 ．（填上所有符合题意的序号） ①空集是任何集合的真子集；②把门关上；③垂直于同一直线的两条直线平行； ④自然数是偶数吗？（2）下列命题：①若0<m ，则方程02=+-m x x 有实根；②函数)(sin )(R x x x x f ∈=是奇函数；③已知U 为全集，若U B A = ，则B C A U =；④若直线11b x k y +=和22b x k y +=平行，则21k k =．其中，真命题有 ．（填上所有符合题意的序号）（3）一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中A 真命题的个数一定是奇数B 真命题的个数一定是偶数C 真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数D 上述判断都不正确班级：高二（ ）班 姓名：____________1．给出下列命题：①若bc ac =，则b a =；②若b a >，则b a 11<；③若0>p ，则p p >2；[来 ④对于实数x ，若02=-x ，则02≤-x ；网]⑤正方形不是菱形．其中真命题是 ；假命题是 ．（填上所有符合题意的序号）2.下列四个命题中真命题的个数是①“0x y +=若，则x,y 互为相反数”的否命题；②“若,a b 都是偶数，则a b +是偶数”的否命题；③“22,a b a b >>若则”的逆否命题；④已知,,,,,"a b c d a b c d a c b d ==+=+都是实数，“若则 的逆命题。

1.1.1命题一、教学目标1、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题；能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式。

2、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力以及分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观：通过学生参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点与难点1、教学重点：命题的概念，命题的形成。

2、教学难点: 分析命题的条件和结论，判断命题的真假。

三、教学工具：多媒体、投影、黑板四、教学方法：合作探究式、启发引导式五、教学过程1．命题的定义用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句叫做真命题．判断为假的语句叫做假命题．2．命题的结构从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．[情境导学]我们在初中已经学过许多数学命题，但还不适应我们今后学习的需要，本节开始我们深化对命题的研究．探究点一命题的定义思考1在初中，我们已学过许多数学命题，当时是如何定义命题的，你能举出一个例子吗？答判断一件事情的句子．例如，有两边相等的三角形是等腰三角形．思考2下面语句的表述形式有什么特点？(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；(2)2＋4＝7；(3)平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；(4)若x2＝1，则x＝1；(5)两个全等三角形的面积相等；(6)3能被2整除．答都是陈述句，都能判断真假．思考3数学中的定义、公理、定理、推论是命题吗？答是．小结用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．例1判断下面的语句是不是命题．(1)空集是任何集合的子集．(2)若整数a是素数，则a是奇数．(3)指数函数是增函数吗？(4)若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．(5)(－2)2＝2.(6)x>15.解(1)(2)(4)(5)是命题．(3)(6)不是命题．反思与感悟并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题．因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假．跟踪训练1判断下列语句是不是命题．(1)求证3是无理数．(2)x2＋2x＋1≥0.(3)你是高二学生吗？(4)并非所有的人都喜欢吃苹果．(5)一个正整数不是质数就是合数．(6)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.(7)x＋3>0.解(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题．探究点二命题的分类思考1命题分哪几类？答真命题和假命题．小结判断为真的语句叫做真命题；判断为假的语句叫做假命题．例2请对例1给出的命题判断真假．解(1)(4)(5)是真命题，(2)是假命题．反思与感悟要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．跟踪训练2判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，则x3>x2成立；(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．解(1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．(3)真命题：∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．思考2数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？答是．探究点三命题的结构思考1跟踪训练2中(2)(3)两个命题是什么形式？命题的常见形式是什么？答命题(2)(3)具有“若p，则q”的形式，即为命题的常见形式．小结命题由条件和结论两部分组成，它的结构形式为：“若p，则q”．也可写成：“如果p，那么q.其中p是命题的条件，q是命题的结论．思考2指出下列命题中的条件p和结论q：(1)若整数a能被2整除，则整数a是偶数；(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．答(1)条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a是偶数．(2)条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分．思考3如何把命题改写成“若p，则q”的形式．答分清条件和结论．例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)负数的立方是负数；(3)对顶角相等．解(1)若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．假命题．(2)若一个数是负数，则这一个数的立方是负数．真命题．(3)若两个角是对顶角，则这两个角相等．真命题．反思与感悟把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不唯一．跟踪训练3把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)当ac>bc时，a>b；(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．解(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数．真命题．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．假命题．(3)若ac>bc，则a>b.假命题．(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等．真命题．1．下列语句是命题的是()A．2 014是一个大数B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点C．对数函数是增函数吗D．a≤15答案 B解析A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题．2．下列命题中是真命题的是()A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C．若a2＝b2，则|a|＝|b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角答案 C解析由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是________，结论是________．答案函数为y＝2x＋1该函数是增函数4．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是________．答案 4解析①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定垂直．[呈重点、现规律]1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式，大前提应保持不变．六、课堂小结1、命题的定义2、命题的分类3、命题的结构七、作业课本后习题八、板书设计1.1.1命题一、定义二、分类三、结构。

1.1.1 命题（第一课时）教学要求：了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式.教学重点：命题的改写.教学难点：命题概念的理解.教学过程：一、复习准备：阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；>；（2）312>吗？（3）312（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.二、讲授新课：1. 教学命题的概念：①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？x<；（5）215（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨.（学生自练→个别回答→教师点评）④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式.③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等.（学生自练→个别回答→教师点评）3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式.三、巩固练习：1. 练习：教材P41、2、32. 作业：教材P9第1题。

四种命题教案教学目标进一步深化对四种命题的理解，明确互为逆否的两个命题同真同假(等价)的结论，并能在判断命题真假时，得到应用．教学重点和难点重点：对四种命题互逆、互否关系的理解，特别是对两个互为逆否命题等价的掌握和应用．难点：两个互为逆否关系命题等价的理解和应用．教学过程设计(一)提出问题，学生复习思考．问题1：写出命题的四种形式．研究它们之间的关系．问题2：若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，命题p 的逆命题为t，研究命题s与命题t间的关系．(二)引入新课教师总结学生对问题的研究结果，导入新课．我们已掌握命题的四种形式：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若非p则非q；逆否命题：若非q则非p．其中，原命题与逆命题是互逆关系；原命题与否命题是互否关系．即：用这种图形研究命题间的关系一目了然．如问题2．依照条件，分别标出互逆，互否关系．问题2中命题s与命题t间的互否关系，一目了然．后画出③．然后在s与t间出现双箭头)下面我们来研究四种命题间的关系．现在进一步研究四种命题的真值关系．由此可见：原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真．因之我们得出一条重要结论“原命题与其逆否命题等价”这在今后判断命题的真假时，十分有用．下面同学们试作：例1．原命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”写出它的逆命题，否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．[讲评]逆命题：“当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b”真命题否命题：“当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc”真命题逆否命题：“当c＞0时，若a c≤bc，则a≤b”真命题例2．设原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a=b，c=d，则a＋c=b＋d”写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．[讲评]分析：“已知a，b，c，d是实数”是大前提，在改写其它命题时，这个条件保持不动．原命题的条件是a=b，c=d，它是“r且s”的形式．(习惯上有时省去“且”字不变，而用“，”代替)，要特别注意它的否定的形式应是“(非r)或(非s)”．逆命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＋c=b＋d，则a=b，c=d”否命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a ＋c≠b＋d”逆否命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b 或c≠d”由等式性质知，原命题为真．由3＋5=2＋6，但3≠2，5≠6说明逆命题为假．由5≠7但5＋4=7＋2说明否命题为假．现在来说明逆否命题为真．若a＋c≠b＋d，可分两种情况(1)a≠b，于是命题为真．(2)a=b，从而推出c≠d(否则a＋c=b＋d，命题也为真)．(三)课堂练习1．课本练习1根据四种命题的真值图(1)，(2)两种说法都正确．2．课本练习2(1)逆命题“若两个三角形全等，则它们的三边对应相等”(真)否命题“若三角形的三边对应不等，则两个三角形不全等”(真)逆否命题“若两个三角形不全等，则这两个三角形的三边不等”(真)．(2)逆命题“若a＋c＞b＋c，则a＞b”(真)否命题“若a≤b，则a＋c≤b＋c”(真)逆否命题“若a＋c≤b＋c，则a≤b”(真)(四)小结再一次复习四种命题关系图．重点加深对“原命题与它的逆否命题”等价的理解．(五)作业习题1.7，3.4．。

四种命题教案2教学目标(1)理解“若p则q”形式的命题也是复合命题，要求学生能将其它叙述形式的命题改写为“若p则q”的形式，其中p与q都是简单命题或语句．(2)能准确识别四种命题，并能正确表述四种命题的定义．(3)能对给定的“若p则q”形式的命题，构造出它的逆命题、否命题、逆否命题．教学重点和难点重点：四种命题的定义，四种命题相互之间的联系，由一种命题形式构造出其它三种形式．难点：对四种命题定义的深刻理解，由一种命题形式构造其它命题形式．教学过程设计(一)学生阅读课文阅读思考题：(1)回忆初中学过的“命题”，它们是怎样构造的？什么是“原命题”，什么是“逆命题”．(2)“若p则q”形式的命题，是复合命题吗？怎样理解．(3)试叙述四种命题的定义．(二)引入新课教师在学生回答问题的基础上，进行总结、提高．同学们在初中学过原命题、逆命题．这些命题一般都是由“条件”和“结论”两部分组成．一般的形式是“如果……那么……”或“若……则……”如果用p表示条件(或题设)q表示结论．命题的形式是“若p 则q”．这种“若p则q”形式的命题也是复合命题．因之我们现在学习的命题形式，有“p或q”“p且q”“非p”“若p则q”等．下面仔细来研究“若p则q”这种类型的复合命题．一般来讲：如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中的一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题．如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中的一个命题叫做原命题，另一个就叫原命题的逆否命题．例如：(1)和(2)是互逆命题；(1)和(3)是互否命题．当然(2)和(4)也是互否命题，(3)和(4)也是互逆命题．如果用p表示命题的条件，q表示命题的结论．非p表示p的否定，非q表示q的否定．学生完成例题，教师讲评．例1．把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，然后判断它们的真假．(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等．解(1)原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数；(√)逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；(×)否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；(×)逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(√)(2)原命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；(√)逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；(×)否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；(×)逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．(√)例2．把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．然后判断它们的真假．(1)如果a=0，那么ab=0．解(1)原命题：若a=0，则ab=0；(√)逆命题：若ab=0，则a=0；(×)否命题：若a≠0，则ab≠0；(×)逆否命题：若ab≠0，则a≠0．(√)请同学们注意，这里“a=0且b=0”的否定是“a≠0或b≠0”而不是“a≠0且b≠0”．而“a=0或b=0”的否定是“a≠0且b≠0”并不是“a≠0或b≠0”．这点请同学们仔细去想想．同学们要熟悉四种形式的互相转换．另外请大家研究一下四种命题的真值之间有什么关系，下一节课来解决．(三)学生练习课本练习1．(1)若一个整数的末位是0，则它可以被5整除；(2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等；(3)若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，可得结果仍是等式；(4)若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不是圆的切线．2．(1)可以被5整除的整数，末位是0；(2)不在线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离不相等；(3)若式子两边都乘以同一个数，可得结果不是等式，则这个式子不是等式；(4)若一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于半径．(四)小结小结四种命题的定义，并提出四种命题的真值情况，让学生思考，为下节课做好准备．(五)作业习题1.7，1.2．。

§1．1.2 四种命题间的相互关系【学情分析】：四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．【教学目标】：（1）知识目标：理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。

（2）过程与方法目标：让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。

（3）情感与能力目标：通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力。

【教学重点】：四种命题之间的关系；【教学难点】：利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力。

，时，若时，课后练习1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（）A．真命题，B．假命题，C．不一定是真命题，D．不一定是假命题。

2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）A ．真命题的个数一定是奇数B ．真命题的个数一定是偶数C ．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D ．上述判断都不正确 3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 4．有下列四个命题：①“若1,xy =则,x y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题③“若0b ≤，则关于若x 的方程若2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题 ④“AB B =，则A B ⊇”的逆否命题其中，真命题的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ．35．用反证法证明命题“a 、b ∈N *，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）A ．a 、b 都能被5整除B ．a 、b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a 、b 有一个不能被5整除 6．下列4个命题是真命题的是（ ）①“若022=+y x 则x 、y 均为零”的逆命题 ②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若B A A =则B A ⊆”的逆否命题④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④7、命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a 、b ∈R )”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）A.3B.2C.1D.0 8．“在整数范围内，a ，b 是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 。

1.1.1四种命题[学习目标]1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义.2.会分析四种命题的相互关系.知识点一命题的定义(1)定义：能够判断真假的语句叫做命题.(2)真假命题：命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.(3)命题的一般形式：命题的一般形式为“若p则q”.通常，命题中的p是命题的条件，q是命题的结论.知识点二四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题.(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题.知识点三四种命题的真假性的判断原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真.题型一命题及其真假的判定例1判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由.(1)求证3是无理数.(2)若x∈R，则x2＋2x＋1≥0.(3)你是高二学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果.(5)一个正整数不是质数就是合数.(6)x＋3>0.解(1)祈使句，不是命题.(2)是真命题，因为x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0.对于x∈R，不等式恒成立.(3)是疑问句，不能判断真假，不是命题.(4)是真命题.(5)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数.(6)不是命题.不能判断真假.反思与感悟要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 跟踪训练1判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假，并说明理由.(1)函数y＝sin2x－cos2x的最小正周期是π.(2)若x＝4，则2x＋1<0.(3)垂直于同一条直线的两直线平行吗？(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列.(5)求证：x∈R时，方程x2－x＋1＝0无实数根.解(1)(2)(4)是命题.(3)(5)不是命题.命题(1)中，y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，显然其最小正周期为π，是真命题.命题(2)中，当x＝4,2x＋1>0，是假命题.(3)是一个疑问句，不是命题.命题(4)中，当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列，是假命题.(5)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题.题型二四种命题的概念例2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.解(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题.逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题.(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题.否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题.逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题.(3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题.否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题.逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题.(4)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题.否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题.逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题.反思与感悟(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题.(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论.跟踪训练2判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点.解(1)该命题为真命题.逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题.否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题.逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题.(2)该命题为假命题.逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点，则b2－4ac<0，假命题.否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac≥0，则该函数图象与x轴无交点，假命题.逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴无交点，则b2－4ac≥0，假命题.题型三四种命题的关系例3下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题.其中是真命题的是________.答案①②③解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题.所以真命题是①②③. 反思与感悟要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.跟踪训练3下列命题中为真命题的是________.(填序号)①“正三角形都相似”的逆命题；②“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；③“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题.答案②③解析①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题.②原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”.∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题.③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”.∵x不是无理数，∴x是有理数.又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题.正确的命题为②③.题型四等价命题的应用例4判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的真假.解原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”.判断真假如下：函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真.所以原命题为真.反思与感悟因为原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以我们可以利用这一点，通过证明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性.这种证明方法叫做逆否证法，它也是一种间接的证明方法.跟踪训练4判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假.解∵m>0，∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真.又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真.化归思想的应用例5判断命题“若x2－y2≠0，则x－y，x＋y中至少有一个不等于0”的真假.分析原命题的真假性不容易判断，可以找出其逆否命题，若其逆否命题的真假性容易判断，则根据互为逆否的两个命题的真假性之间的关系，就可以解决原命题的真假性问题了.解原命题的逆否命题：若x－y，x＋y都等于0，则x2－y2＝0.由x－y＝0，x＋y＝0，得x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0.因此，原命题的逆否命题是真命题.所以原命题是真命题.解后反思条件与结论都含有否定词的命题在判断其真假时，会有一定的困难，这时最好转化为判断其逆否命题的真假，这种化归的思想是解题的重要思想方法.根据已知集合求参数范围例6已知p：M＝{x|x2－2x－80≤0}，q：N＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0}.如果“若p，则q”为真，且“若q，则p”为假，求实数m的取值范围.分析先求不等式的解集，再根据条件建立不等式组求解即可.解p：M＝{x|x2－2x－80≤0}＝{x|－8≤x≤10}，q ：N ＝{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0}＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}.因为“若p ，则q ”为真，且“若q ，则p ”为假，所以M N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－8，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ＜－8，1＋m ≥10， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ≥9，m ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ＞9，m ≥9，解得m ＞9，即实数m 的取值范围是{}m |m ＞9.解后反思由“若p ，则q ”为真，“若q ，则p ”为假，得M ⊆N ，但N M ，故M N ，即“1－m 与－8”和“1＋m 与10”不能同时取等号.事实上，当m ＝9时，两个集合相等.1.下列语句不是命题的个数为________.①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.答案1解析①③④可以判断真假，是命题，②不能判断真假，所以不是命题.2.命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是________.答案若a ≤b ，则a －1≤b －1解析直接按否命题的构成改写.3.命题“若平面向量a ，b 共线，则a ，b 方向相同”的逆否命题是______________________________，它是________命题(填“真”或“假”).答案若平面向量a ，b 的方向不相同，则a ，b 不共线假4.给出以下命题：①“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题.其中为真命题的是________.答案③解析①否命题是“若a ，b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数”.假命题.②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题.③∵Δ＝1＋4m ，m >0时，Δ>0，∴x 2＋x －m ＝0有实根，即原命题为真.∴逆否命题为真.5.“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是________命题(填“真”或“假”).答案若α≠π6，则sin α≠12假 解析逆否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”是假命题.1.根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p ，则q ”的形式.含有大前提的命题写成“若p ，则q ”的形式，大前提应保持不变，且不写在条件p 中.3.写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定非p 和结论q 的否定非q ；(3)按照四种命题的结构写出所有命题.4.每一个命题都有条件和结论组成，要分清条件和结论.5.判断命题的真假可以根据互为逆否命题的真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.。