西安中学高三数学期中试卷.doc

陕西省西安中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.设集合A={x|（x+1）（x-2）＜0}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. B. 1, C. 0,1, D.2.命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（）A. 对任意,都有B. 不存在,使得C. 存在,使得D. 存在,使得3.在等差数列中，a2=4，a3=6，则a10=（）A. 20B. 22C. 18D. 164.下列函数中，既是偶函数又有零点的是（）A. B. C. D.5.若tanα=，则=（）A. B. C. D. 26.函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A. B. C. D.7.已知函数，则f（f（e-2））=（）A. B. 2 C. D. 48.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 59.已知（1.40.8）a＜（0.81.4）a，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.10.在直角△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是△ABC外接圆上任意一点，则的最大值为（）A. 6B. 8C. 10D. 1211.已知定义在R上的函数f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，且函数f（x+2）与函数f（x+7）都是偶函数，则f（x）在[0，2019]上的零点至少有（）个A. 404B. 406C. 808D. 81212.定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意实数x，有f（x）＞f′（x），且f（x）+2019为奇函数，则不等式f（x）+2019e x＜0的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题）13.已知，，若与平行，则m=______．14.若不等式x2+mx+2m+5≥0恒成立，则实数m的取值范围为______．15.已知a∈R，函数f（x）=|x+-a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共8小题）16.函数的递减区间为______ ．17.已知向量=（sin x，1），=，函数f（x）=的最大值为6．（1）求A；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，]上的值域．18.在△ABC角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为，求△ABC的周长．19.设函数f（x）=（ax2-2x）•e x，其中a≥0．（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）在[-1，1]上为单调函数，求a的取值范围．20.以椭圆C：=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；（2）过点P（0，m）作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O 为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．21.已知函数，曲线y=f（x）在点处的切线方程为6x+πy-2π=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断方程在（0，2π]内的解的个数，并加以证明．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．23.已知a＞0，b＞0，a+b=1．求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A={x|-1＜x＜2}；∴A∩B={0，1}．故选：A．可解出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是：“存在x0∈R，使得”．故选：D．利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可．本题考查全称命题的否定，注意量词以及形式的改变，基本知识的考查．3.【答案】A【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=4，a3=6，∴a1+d=4，a1+2d=6，解得a1=d=2，则a10=2+2×9=20．故选：A．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性和定义和函数零点的性质是解决本题的关键．根据函数奇偶性的性质和定义结合函数零点的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件；B．函数y=tan x是奇函数，不满足条件；C．y=e x+e-x≥2=2，则函数没有零点，不满足条件；D．函数的定义域为{x|x≠0}，f（-x）=f（x），函数为偶函数，由y=ln|x|=0得x=1或-1，函数存在零点，满足条件．故选D．5.【答案】A【解析】解：∵tanα=，∴===．故选：A．由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2x+3x是增函数，f（-1）=＜0，f（0）=1+0=1＞0，可得f（-1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（-1，0）．故选：B．判断函数的单调性，利用f（-1）与f（0）函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．本题考查零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．7.【答案】C【解析】解：根据题意，函数，f（e-2）=（e-2）2+1=e-4+1，f（f（e-2））=ln（e-4+1-1）=ln（e-4）=-4；故选：C．根据题意，由函数的解析式分析可得答案．本题考查分段函数解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-，平移直线y=-，由图象可知当直线y=-经过点B（1，1）时，直线y=-的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．9.【答案】A【解析】解：依题意，因为1.40.8＞1＞0.81.4＞0，又（1.40.8）a＜（0.81.4）a，所以函数y=x a在（0，+∞）上单调递减，所以a＜0．故选：A．因为1.40.8＞0.81.4，再结合幂函数y=x a的单调性处理即可．本题考查了幂的大小比较，幂函数的性质，主要考查推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：设△ABC的外心即BC中点为O，由平面向量的线性运算知，，所以=，由图可知：==3×，当时，，，故选：D．由平面向量的线性运算去分析最大值．本题主要考查平面向量的应用，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：∵y=f（x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，f（x）关于x=2和x=7对称．∴f（x+2）=f（7+x），即5是函数f（x）的一个周期．∴定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，可知3也是函数的零点，f（x）=0的根为5n+1或5n+3的形式．∴0≤5n+1≤2019，解得-0.2≤n≤403.6，共404个0≤5n+3≤2019，解得-0.6≤n≤403.2，共404个故函数y=f（x）在[0，2019]上的零点个数为808个，故选：C．根据y=f（x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，得到函数f（x）=f（5+x）即函数是周期函数，利用函数的周期性即可得到函数零点的个数．本题主要考查函数零点的个数的判断，利用函数的奇偶性得到函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．12.【答案】B【解析】解：构造函数，则，所以g（x）在R上单独递减，因为f（x）+2019为奇函数，所以f（0）+2019=0，∴f（0）=-2019，g（0）=-2019．因此不等式f（x）+2019e x＜0等价于g（x）＜g（0），即x＞0，故选：B．由题意构造函数，结合函数的单调性和函数的奇偶性求解不等式即可．本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，构造函数求解不等式的方法等知识，属于中等题．13.【答案】【解析】解：∵，，与平行，∴，解得m=．故答案为：．利用两向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】[-2，10]【解析】解：∵不等式x2+mx+2m+5≥0恒成立，∴△=m2-4（2m+5）≤0，即m2-8m-40≤0，∴-2≤m≤10，∴m的取值范围为[-2，10]．故答案为：[-2，10]．由不等式x2+mx+2m+5≥0恒成立，可得△≤0，解出m的范围即可．本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．15.【答案】（-∞，]【解析】【分析】通过转化可知|x+-a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a-5≤x+≤5，进而计算可得结论．本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．【解答】解：由题可知|x+-a|+a≤5，即|x+-a|≤5-a，所以a≤5，又因为|x+-a|≤5-a，所以a-5≤x+-a≤5-a，所以2a-5≤x+≤5，又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，所以2a-5≤4，解得a≤，故答案为：（-∞，]．16.【答案】（1，+∞）【解析】【分析】本题主要考查求对数函数的定义域、复合函数的单调性规律，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．令2x2-3x+1=（2x-1）（x-1）=t，则函数y=，（t＞0），求得函数y的定义域．根据复合函数的单调性规律，本题即求函数t在函数y的定义域内的增区间．利用二次函数的性质可得函数t在函数y的定义域内的增区间．【解答】解：令2x2-3x+1=（2x-1）（x-1）=t，则函数y=，（t＞0）．令t＞0，求得x＜，或x＞1，故函数y的定义域为{x|x＜，或x＞1}．函数的递减区间，根据复合函数的单调性规律，本题即求t=（2x-1）（x-1）在区间（-∞，）∪（1，+∞）上的增区间．利用二次函数的性质可得，函数t在函数y的定义域内的增区间为（1，+∞），故答案为（1，+∞）．17.【答案】解：（1）f（x）==A sin x cosx+cos2x=A（sin2x+cos2x）=A sin（2x+），∵函数f（x）=的最大值为6，∴A=6．（2）f（x）=6sin（2x+）y=6sin（2（x+）+）=6sin（2x+）y=6sin（4x+），则g（x）=6sin（4x+），∵0≤x≤，∴0≤4x≤，∴≤4x+≤，∴≤sin（4x+）≤1，∴-3≤6sin（4x+）≤6，即g（x）在[0，]上的值域为[-3，6]．【解析】（1）化f（x）==A sin x cosx+cos2x=A（sin2x+cos2x）=A sin（2x+），从而求A；（2）由图象变换得到g（x）=6sin（4x+），从而求函数的值域．本题考查了平面向量的数量积及三角函数的化简与其性质的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵，∴由正弦定理可得：sin A sin B=sin B cos A，∵sin B≠0，∴可得：sin A=cos A，即：tan A=，∵A∈（0，π），∴A=；（2）∵A=，a=5，∴△ABC的面积2=bc sin A=bc，可得：bc=8，∴由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A，可得：25=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-24，∴可得：（b+c）2=49，解得：b+c=7，∴△ABC的周长a+b+c=5+7=12．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得sin A sin B=sin B cos A，结合sin B≠0，可求tan A=，结合范围A∈（0，π），可求A=．（2）利用三角形的面积公式可求bc=8，由余弦定理解得：b+c=7，即可得解△ABC的周长的值．本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.【答案】解：对f（x）求导得f'（x）=[ax2+2（a-1）x-2]•e x①（I）若a=时，由，综合①，可知2（II）若f（x）为[-1，1]上的单调函数，又f'（0）=-2＜0，所以当x∈[-1，1]时f'（x）≤0，即g（x）=ax2+2（a-1）x-2≤0在[-1，1]上恒成立．（1）当a=0时，g（x）=-2x-2≤0在[-1，1]上恒成立；（2）当a＞0时，抛物线g（x）=ax2+2（a-1）x-2开口向上，则f（x）在[-1，1]上为单调函数的充要条件是，即，所以．综合（1）（2）知a的取值范围是．【解析】（Ⅰ）求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系，即可求f（x）的极值点；（Ⅱ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系，解不等式即可得到结论．本题主要考查函数的极值的求解，以及函数单调性和导数的关系，考查导数的基本运算，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．20.【答案】解：（1）椭圆C的离心率为，即c=，由c2=a2-b2，则a=2b，设椭圆C的方程为，∵椭圆C过点，∴，∴b=1，a=2，以为半径即以1为半径，∴椭圆C的标准方程为，椭圆C的“伴随”方程为x2+y2=1．（2）由题意知，|m|≥1．易知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+m，由得，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，．又由l与圆x2+y2=1相切，所以，k2=m2-1．所以=，则，|m|≥1．（当且仅当时取等号）所以当时，S△AOB的最大值为1．【解析】（1）由椭圆C的离心率，结合a，b，c的关系，得到a=2b，设椭圆方程，再代入点，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；（2）设切线l的方程为y=kx+m，联立椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB的长，由l与圆x2+y2=1相切，得到k，m的关系式，求出三角形ABC的面积，运用基本不等式即可得到最大值．本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式的运用，考查直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）直线6x+πy-2x=0的斜率为-，过点（，-1），f′（x）=，则，即a=3，f（）=b=-1，所以f（x）=-1，（Ⅱ）方程f（x）=-1在（0，2π]上有3个解．证明：令g（x）=f（x）-+1=-，则g′（x）=，又g（）=-＞0，g（）=-＜0，所以g（x）在（0，]上至少有一个零点，又g（x）在（0，]上单调递减，故在（0，]上只有一个零点，当x∈（，）时，cos x＜0，故g（x）＜0，所以函数g（x）在∈（，）上无零点，当x∈[，2π]时，令h（x）=x sinx+cos x，h′（x）=x cosx＞0，所以h（x）在[，2π]上单调递增，h（2π）＞0，h（）＜0，所以∃0∈（，2π]，使得g（x）在[，x0）上单调递增，在（x0，2π]上单调递减．又g（2π）=0，g（）＜0，所以函数g（x）在[，2π]上有2个零点．综上，方程f（x）=-1在（0，2π]上有3个解．【解析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得a，b的值，即可求出函数的解析式；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）-+1=-，求出导数，根据函数的单调性和函数零点存在定理即可判断．本题考查了函数零点存在定理和导数和函数的单调性的关系，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题．22.【答案】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【解析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】证明：（Ⅰ）===≥1，当且仅当时等号成立．（Ⅱ）（a+1）2+（b+1）2=a2+b2+2（a+b）+2=（a+b）2-2ab+4=5-2ab，∵，∴，∴，当且仅当时等号成立，从而．【解析】（Ⅰ）把不等式左边展开，把a+b=1代入，利用均值不等式证明即可；（Ⅱ）由（a+1）2+（b+1）2=a2+b2+2（a+b）+2=（a+b）2-2ab+4=5-2ab，又因为，，代入证明即可．考查不等式的证明，主要是均值不等式证明，本题重点是在运用均值不等式前的灵活变换，中档题．。

注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效,考试结束，需将答题卡交回。

第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，A ={x|0<x <2}，B ={x|x ≥1}，则A ⋂(∁U B)=( ) A. (−∞,2) B. (0,+∞) C. (−∞,1) D.(0,1)2.若复数z 满足131iz i i+=--(其中i 为虚数单位)，则z =( ) A. 2B. 3C. √10D. 43.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10 C.S n ＝2n 2－8n D.S n ＝12n 2－2n 4.给出下列四个结论：①对于命题:p x ∀∈R ，210x x ++>，则0:p x ⌝∃∈R ，20010x x ++≤ ②命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”；③“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；④若命题p q ∧为假命题，则,p q 都是假命题；其中正确结论的个数为（ ）A.1B.2C. 3D.4西安中学2020-2021学年度第一学期期中考试高三 数学（理科）试题（时间：120分钟 满分：150分）5.如图程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A. A >1000和n =n +1B. A >1000和n =n +2C. A ≤1000和n =n +1D. A ≤1000和n =n +26.在等比数列{a n }中，已知3a ，7a 是方程2610x x -+=的两根，则5a =（ ）A.1-B.1C. 1±D.3 7.某单位组织“不忘初心，牢记使命”主题教育知识比赛，满分100分，统计20人的得分情况如图所示，若该20人成绩的中位数为a ，平均数为b ，众数为c ，则下列判断错误的是（ ） A. a=92B. b=92C. c=90D. b+c<2a8.函数()2sin(2)3f x x π=-的图像为C ,以下结论中正确的是（ ） ①图像C 关于直线512x π=对称; ②图像C 关于点(,0)3π-对称; ③由y = 2sin2x 的图像向右平移个单位长度可以得到图像C. A.①B.①②C.②③D.①②③9.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是 截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体， 如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( ).. . . 10.为缓解城市道路交通压力，促进城市道路交通有序运转，减少机动车尾气排放对空气质量的影响，西安市人民政府决定：自2019年3月18日至2020年3月13日在相关区域实3πA 325B 165C 6D 3施工作日机动车尾号限行交通管理措施．已知每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行.某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两辆车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )A ．A 车周三限行B ．今天是周六C ．今天是周四D ．C 车周五限行 11.已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+≤<的图像有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．2935[,)2424 B ．2935[,]2424 C ．2935(,)2424 D ．2935(,]242412. 平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,α平面ABCD =m ,α平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为（ ）A ．2B ． 2C ．3D ．13第Ⅱ卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.若5(n x-的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x 的系数为_____.14.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________.15．2020年2月为支援武汉市抗击新型冠状病毒的疫情，计划从北京大兴国际机场空运部分救援物资，该机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题，现有4辆载有不同救援物资的车辆可以停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有________种。

市一中大学区2021-2022度第一学期期中考试高三数学试题（理）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．） 1．设集合{}|1A x x =>，集合{}2B a =+，若A B φ=，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】本题主要考查集合的运算． 因为{}|1A x x =>且AB 为空集，所以21a +≤，即1a -≤，所以当1a -≤时，满足A 与B 的交集为空集的条件． 故选A ．2．已知为i 虚数单位，若复数1i()1i a z a -=∈+R 的虚部为3-，则||z =（ ）． A ．5B 13C ．23D 10【答案】C 【解析】因为1i (1i)(1i)1(1)i 111i 2222ia a a a a a z -----+-+====-+， 所以132a+-=-，所以5a =，所以23i z =--，所以22(2)(3)13z -+- 故选C ．3．已知命题:p x ∀∈R ，12(2)0x -<，则命题p ⌝为（ ）． A ．0x ∃∈R ，120(2)0x ->B ．x ∀∈R ，12(1)0x -> C ．x ∀∈R ，12(1)0x -≥D ．0x ∃∈R ，120(2)0x -≥【答案】C【解析】解：因为原命题为全称命题，所以原命题的否定是特称命题， 即命题p x ⌝∀∈R ，20x >，的否定是：:p x ∃∈R ，20x ≤． 故选C ．4．执行如图所示的算法框图，则输出的S 值是（ ）．是否S=4i=1i=9S=22Si =i +1输出S结束开始A ．1-B ．23C ．32D ．4 【答案】D【解析】i 1=，1S =-；i 2=，23S =；i 3=，32S =； i 4=，4S =；i 5=，1S =-；；i 8=，4S =；i 9=，结束循环，输出S 的值是4．故选D ．5．设55log 4log 2a =-，2ln ln33b =+，1lg5210c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】解：∵13log 20a =<，112211log log 132b =>=，0.30110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴a c b <<． 故选A ．6．若函数()f x 满足1(1)()2f x f x +=，则()f x 的解析式在下列四式中只有可能是（ ）． A ．2x B ．12x +C ．2x -D ．12log x【答案】C【解析】本题主要考查函数的解析式． 由已知该函数具有性质1(1)()2f x f x +=，将此运用到四个选项中： A 项，1(1)2x f x ++=，1()24xf x =，不符合题意，故A 项错误； B 项，3(1)2f x x +=+，11()224x f x =+，不符合题意，故B 项错误；C 项，(1)11(1)22()22x x f x f x -+-+==⨯=，符合题意，故C 项正确； D 项，12(1)log (1)f x x +=+，112211()log log 22f x x x ==D 项错误． 故选C ．7．函数e x y x =和图象是（ ）．A ．xyOB ．yOx C ．yOx D ．yOx【答案】C 【解析】8．在区间[0,2]上随机取两个数x ，y ，则[0,2]xy ∈的概率是（ ）． A ．1ln 22- B ．32ln24- C ．1ln 22+ D ．12ln22+ 【答案】C【解析】本题主要考查微积分的基本定理和几何概型．由题意可将所求概率转化为图中阴影部分面积和正方形面积之比，故所求概率212222(ln )2d 11ln 2442x x S x P S +++====⎰阴影正方形．【注意有文字】故选C ．xy O412343219．设实数x ，y 满足22010210x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≥≤，则11y x --的最小值是（ ）．A ．5-B ．12-C ．12D ．5【答案】B【解析】(1,1)xyOy=x+44000x y x y -+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥所表示的区域如图所示 11y z x -=-表示区域中的点到点(1,1)的斜率， 故原点到点(1,1)的斜率最大． 故选B ．10．若将函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象最新y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）． A ．5π12B ．π3C ．2π3D ．5π6-【答案】A【解析】把该函数的图象右移ϕ个单位，所得图象对应的函数解析式为：π2sin 223y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又所得图象最新y 轴对称，则 π3π22πk ϕ-=+，k ∈Z ， ∴当1k =-时，ϕ有最小正值是 5π12．故选A ．11．设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）．A ．11,63⎛⎤⎥⎝⎦B ．2026,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2026,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】解：函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥的图象，如图，xO y65432143211234564321不妨设123x x x <<，则2x ，3x 最新直线3x =对称，故236x x +=，且1x 满足1703x -<<；则123x x x ++的取值范围是：12376063x x x -+<++<+，即12311,63x x x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭．故选D ．12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，满足（1）()0f x >；（2）()()2()f x f x f x '<<（其中()f x '是()f x 是导函数，e 是自然对数的底数），则(1)(2)f f 的范围为（ ）． A ．11,2e e 2⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(e,2e)D ．3(e,e )【答案】B【解析】构造函数()()e x f x g x =，(0,)x ∈+∞，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xfx f x f x f x g x ''--'==， 由已知()()f x f x '<得()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，则函数()g x 在(0,)+∞上递增， 所以(1)(2)g g <，即2(1)(2)e ef f <，又因为()0f x >，所以根据2(1)(2)e ef f <有2(1)e (2)e f f <，即(1)1(2)e f f <， 再构造函数2()()(e )x f x h x =，(0,)x ∈+∞，2242()(e )()2(e )()2()()(e )(e )x x x x fx f x f x f x g x ''⋅-'==， 由已知()2()f x f x '<，所以()0h x '<在(0,)+∞，则函数()h x 在区间(0,)+∞上单调递减， 所以(1)(2)h h >，即24(1)(2)e ef f <，又因为()0f x >， 所以根据24(1)(2)e e f f <有24(1)e (2)e f f <，即2(1)1(2)e f f <，所以21(1)1e (2)e f f <<． 故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．计算11130.7536170.027*********-⎛⎫+--= ⎪⎝⎭__________． 【答案】31【解析】原式1133316412590.33625697295-⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭3109913643553=-+-+- 31=．14．已知423401234(23)x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+=__________． 【答案】1【解析】令1x =，得401234(23)a a a a a =++++； 令1x =-，得401234(23)a a a a a -=-+-+；两式相加得22024130123402413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++⋅++--444(23)(23)(1)1=⋅-=-=．15．一个类似杨辉三角形的数阵： 则第九行的第二个数为__________．18221891177115653139【答案】见解析【解析】解：观察首尾两数都是1，3，5，7，可以知道第n 行的首尾两数均为21n -， 设第(2)n n ≥行的第2个数构成数列{}n a ， 则有323a a -=，435a a -=，547a a -=，，123n n a a n --=-，相加得232335(23)(2)(2)2n n a a n n n n +--=+++-=⨯-=-23(2)23n a n n n n =+-=-+． 因此，本题正确答案是：223n n -+．16．某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为__________． 【答案】见解析【解析】解：22534475A A 1201A A 9401206==--．三、解答题：（共70分）17．（10分）已知函数2π()3cos sin 02222f x x x x ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像经过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求()f x ．（2）在ABC △中，A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，5a =25ABC S =△，角C 为锐角且π72126C f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求C 边长． 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵2()3cos sin 222f x x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31cos(2))2x x ϕϕ-+=++ 311)cos(2)22x x ϕϕ=+-++ π1sin 262x ϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，∵图象经过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭，∴ππ1sin 21362ϕ⎛⎫⋅+-+= ⎪⎝⎭，即π1sin 22ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1cos 2ϕ=，∵π02ϕ<<，∴π3ϕ=， ∴π1()sin 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（2）∵π17sin 21226C f C ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，∴2sin 3C =， ∴45cos 19C =-， ∵112sin 525223ABC S ab C b ==⋅=△，∴6b =，∴22252cos 53625621c a b ab C =+-=+-=， ∴21c =18．（12分）已知ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍． （1）求sin sin BC∠∠．（2）若1AD =，2DC =BD 和AC 的长． 【答案】见解析．【解析】（1）1sin 2ABD S AB AD BAD =⋅△∠，1sin 2ADC S AC AD CAD =⋅△∠， 因为2ABD ADC S S =△△，BAD CAD =∠∠，所以2AB AC =， 在ABC △中，由正弦定理得：sin sin AC AB B C =∠∠，所以sin 1sin 2B AC C AB ==∠∠． （2）设ADB θ=∠，则πADC θ=-∠． 由（1）知12AC b AB c ==，所以2c b =①， 由2CD =2BD = 在ACD △中，由余弦定理，2222121π)b θ=+-⨯-⎝⎭， 即2322b θ=+②， 在ABD △中，由余弦定理，21222c θ=+-，即2322c θ=-③， 由①②③得1b =，故1AC =．19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁） [15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数 510151055赞成人数46 9 6 34（1（2）若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率．（3）在(2)在条件下，再记选中的4人中不．赞成．．“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．频率组距0.010.020.03【答案】见解析．【解析】（1）由表知年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35) 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：11122464442222510510C C C C C 424666622(2)C C C C 1025104522575P ξ==⋅+⋅=⋅+⋅==． （2） ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，226422510C C 4515(0)C C 22575P ξ==⋅==， 21112646442222510510C C C C C 41562410234(1)C C C C 1045104522575P ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅==， 124422510C C 46124(3)C C 104522575P ξ==⋅=⋅==， 所以ξ的分布列是： ξ0 1 2 3 p1575 3475 2275 475 所以ξ的数学期望65E ξ=．20．（12分）已知在直角坐标系xOy 中，圆C 参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）． （1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程． （2）已知(2,0)A -，(0,2)B ，圆C 上任意一点(,)M x y ，求ABM △面积的最大值．【答案】见解析．【解析】（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）， 所以普通方程为22(3)(4)4x y -++=，所以圆C 的及坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=．（2）点(,)M x y 到直线:20AB x y -+=的距离2d =，ABM △的面积1π|||2cos 2sin 9|22924S AB d θθθ⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以ABM △的面积的最大值为922+21．（12分）已知函数()|3|f x x =+，()2|11|g x m x =--，若2()(4)f x g x +≥恒成立，实数m 的最大值为t ．（1）求实数t ．（2）已知实数x 、y 、z 满足22236(0)x y x a a 2++=>，且x y z ++的最大值是20t ，求a 的值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）根据题意可得(4)2|411|2|7|g x m x m x +=-+-=--，若2()(4)f x g x +≥恒成立， ∴2|3|2|7|x m x +--≥，即2(|3||7|)m x x ++-≤．而由绝对值三角不等式可得2(|3||7|)2|(3)(7)|20x x x x ++-+--=≥， ∴20m ≤，故m 的最大值20t =．（2）∵实数x 、y 、z 满足222236(0)x y z a a ++=>，由柯西不等式可得2222222[(2)(3)(6)]236236236x y z x y z ⎡⎤++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦≥， ∴21)a x y z ⨯++≥(， ∴x y z a ++再根据x y z ++的最大值是120t =， 1a ，∴1a =．22．（12分）已知二次函数2()1f x x ax m =+++，最新x 的不等式2()(21)1f x m x m <-+-的解集为(,1)m m +，(0)m ≠，设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值．（2）()k k ∈R 如何取值时，函数()()ln(1)x g x k x ϕ=--存在极值点，并求出极值点． （3）若1m =，且0x >，求证：[(1)](1)22(*)n n n g x g x x +-+-∈N ≥．【答案】见解析．【解析】（1）因为最新x 的不等式2()(21)1f x m x m <-+-的解集为(,1)m m +， 即不等式22(12)0x a m x m m ++-++<的解集为(,1)m m +，所以22(12)()(1)x a m x m m x m x m ++-++=---，所以222(12)(21)(1)x a m x m m x m x m m ++-++=-+++，所以12(21)a m m +-=-+，所以2a =-．（2）由（1）得2()21()(1)111f x x x m mg x x x x x -++===-+---， 所以()()ln(1)(1)(1)1m x g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为(1,)+∞， 所以222(2)1()1(1)1(1)m k x k x k m x x x x ϕ-++-+'=--=---， 方程2(2)10x k x k m -++-+=（*）的判别式22(2)4(1)4k k m k m ∆=+---=+．①当0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为21241k k m x +-+=<，22241k k m x +++=>， 则2(1,)x x ∈时，()0x ϕ'<；2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，所以函数()x ϕ在2(1,)x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以函数()x ϕ有极小值点2x ． ②当0m <时，由0∆>，得2k m <--2k m >-2k m <-， 则21241k k m x +-+<，22241k k m x +++=>，故(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增．所以函数()x ϕ没有极值点， 若2k m >-21241k k m x +-+=>，22241k k m x +++=>， 则1(1,)x x ∈时，()0x ϕ'>；12(,)x x x ∈时，()0x ϕ'<；2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>， 所以函数()x ϕ在1(1,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增， 所以函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x ，综上所述，当0m >时，k 取任意实数，函数()x ϕ有极小值点2x ， 当0m <时，2k m >-()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x ， （其中2124k k m x +-+=2224k k m x +++=． （3）因为1m =， 所以1()(1)1g x x x =-+-， 所以1122122412211C C C C C n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x------=+⋅+⋅=+++， 令122412C C C n n n n n n n T x x x----=+++， 则122412122412C C C C C C nn n n n n n n n n n n n n n T x x x x x x---------=+++=+++， 因为0x >，所以1222441221212C ()C ()C ()2(C C C )n n n n n n n nn n n n n n T x x x x x x --------=++++++=+++12102(C C C +C C C C )2(22)n n n n n n n n n n n -=+++++-=-，所以22n T -≥，即[(1)](1)22n n n g x g x +-+-≥．。

西安中学高三年级第一学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）1．已知M={x|y=x ，x ∈R}，}R x x y |y {N 2∈==，，则M ∩N 等于（ ）A ．{（0，0），（1，1）}B ．{ x|x ∈R }C ．{y|y ≥0}D ．φ2．已知集合A={a ，b ，c}，集合B={m ，n}，设映射f ：A →B 。

如果集合B 中的元素都是A 中元素在f 下的象，那么这样的映射f 有（ ）A ．8个B ．6个C ．4个D ．2个3．奇函数y=f(x)（x ∈R ）有反函数)x (f y 1-=，则必在)x (f y 1-=的图象上的点是（ ）A ．（-f(a)，-a ）B ．))a (f a (1--，C ．（-f(a)，a ）D ．))a (f a (1-，4．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，x )31()x (f =，那么)21(f 的值是（ ）A ．33 B ．3 C ．3- D ．9 5．函数)x x 6(log )x (f 231--=的单调递减区间是（ ）A ．），∞+-21[B ．]21-∞-，（C ．），2 21[- D ．]213--，（ 6．定义在R 上的函数f(x)、g(x)都是奇函数，函数F(x)=af(x)+bg(x)+3在区间（0，+∞）上的最大值为10，那么函数F(x)在（-∞，0）上的最小值为（ ）A ．-10B ．7C ．-7D ．-47．若把函数y=f(x)的图象做平移，可以使图象的点P （1，0）变换成点Q （2，2），则函数y=f(x)的图象经过此变换后所得图象对应的函数为（ ）A ．y=f(x-1)+2B ．y=f(x-1)-2C ．y=f(x+1)+2D ．y=f(x+1)-28．若直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，那么a 与b 不可能（ ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直 9．圆台上、下底面面积分别为22cm 49cm 1和，平行于底面的截面面积为2cm 25，那么截面到上、下底面距离之比为（ ）A ．2：1B ．1：2C ．3：1D ．1：310．圆锥的高h=8，它的侧面展开图的圆心角是216°，那么这个圆锥的全面积是（ ）A ．96πB ．24πC ．84πD ．60π11．正四棱台1111D C B A ABCD -下底面为ABCD ，上底边长：侧棱长：下底边长=1：2：3，侧面对角线11BC AD 与所成角的余弦值为（ ）A ．73B ．6524C ．73-D ．75 12．三棱锥A-BCD 的高a 33AH =，H 为底面△BCD 的垂心，若AB=AC ，二面角A-BC-D 等于60°，G 为△ABC 重心，则HG 的长为（ ）A ．a 10B ．a 7C ．a 6D ．a 5二、填空题（本大题共有4道小题，每小题4分，共16分）13．若2x )1x (f =+（x ≤0），则)x (f 1-=_______________。

第一卷(选择题 共60分)一、选择题：〔本大题共12小题，每题5分，共60分. 请将正确答案填写在答题纸相应位置.〕1．集合{}=13M x x ，{}2N x x =>，那么集合()R M N =〔 〕A ．{}12x xB ．{}1x xC ．{}12x x <D ．{}23x x <2．复数21i(1i)z -=+，那么z 在复平面内对应的点位于〔 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．以下四个结论：①假设p q ∧是真命题，那么p ⌝可能是真命题；②命题“000,sin cos 1x R x x ∃∈+<〞的否认是“,sin cos 1x R x x ∀∈+≥〞； ③“5a >且5b >-〞是“0a b +>〞的充要条件； ④当0α<时，幂函数y x α=在区间()0,+∞上单调递减. 其中正确的选项是〔 〕 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④4．对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----<恒成立，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．(]2,2-D ．()2,2-5．{}n a 是等差数列，{}n b 是正项等比数列，且11=b ，223+=b b ，534a a b +=，西安中学高2021届高三期中考试数学(文科)试题6452a a b +=，那么20199a b +=〔 〕A ．2027B ．2028C ．2275D ．25316．函数2,(),x x af x x x a ⎧≥=⎨-<⎩，假设函数()f x 存在零点，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．(,0)-∞B ．()0,+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞7．函数21()sin 3sin cos 2f x x x x =++，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()y f x =的图像关于直线3x π=对称 8．如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE + x AB y AC =+，那么14x y+的最小值为〔 〕A ．32B ．2C ．92D ．99．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，那么直线1A B 与1AC 所成角的大小为〔 〕 A ．30° B ．60°C ． 90°D ． 120°10．函数)(x f 对定义域内任意x 都满足()(6)f x f x =- ，且)(x f 在[3,)+∞上单调递减，那么 1.1(0.3)a f =，0.5(3)b f =，(0)c f =的大小关系是〔 〕 A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>11．函数x ax x f +=2)(〔〕的图像不可能．．．是〔 〕A ．B ．C ．D ．12．)(x f '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当(,0]x ∈-∞时，1)(>'x f ，那么不等式(21)(2)3f x f x x --+≥-的解集为〔 〕 A ．(3,)+∞B ．[3,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,3)-∞第二卷(非选择题 共90分)二、填空题：〔本大题共4小题，每题5分，共20分。

2018-2019学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】则故选2.已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】时，成立，充分性成立，而当时，成立，不成立，必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选A.【方法点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.已知向量，，则下列向量与平行的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算，计算根据向量平行的基本定理即可判定.【详解】因为，，所以由可知与向量平行，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量共线的基本定理，属于中档题.4.下列说法正确的是（）A. “若，则”的否命题是“若，则”B. “若，则”的逆命题为真命题C. ，使成立D. “若，则”是真命题【答案】D【解析】选项A，否命题为“若，则”，故A不正确．选项B，逆命题为“若，则”，为假命题，故B不正确．选项C，由题意知对，都有，故C不正确．选项D，命题的逆否命题“若，则”为真命题，故“若，则”是真命题，所以D正确．选D．5.已知为角的终边上的一点，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，解得，故选B.考点：三角函数的定义6.下列函数中，与函数的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数是在定义域上单调递减的奇函数，用排除法依次分析选项中函数的定义域、单调性与奇偶性，即可得答案.【详解】函数是在定义域上单调递减的奇函数，；选项A，为偶函数，不符合题意；选项B，为增函数，不符合题意；选项C，，定义域为，不符合题意；选项D，为奇函数，在定义域上单调递减，符合题意.故选D.【点睛】本题考查函数的定义域、单调性和奇偶性的判断与证明，解题的关键是熟悉常见函数的图象和基本性质.7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】试题分析：由题意，为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，故选D.【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数的图象平移变换中要注意“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得的图象，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，再向左平移个单位得的图象．8.设，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的性质，对数函数的性质，以“0”和“1”为桥梁比较即可.【详解】因为，，,,所以，故选B.【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，对数函数的性质，属于中档题.9.若函数为R上的减函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分段函数在R上为减函数可知每一段上函数都是减函数，且当时，即可求解.【详解】因为函数为R上的减函数，所以,,是减函数，且当时，，故只需满足，解得，故选C. 【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，二次函数的单调性，反比例函数的单调性，属于中档题.10.若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角的余弦公式，求得的值．【详解】若，则，，故选【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．11.定义在R上的函数满足，，且当时，则，则A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】根据可知函数的周期为，故，又函数为奇函数，故，根据即可求解.【详解】因为，所以，所以函数周期,故，又函数为奇函数，故，根据可知，，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的周期性，奇偶性及对数的运算，属于中档题.12.已知c为常数和是定义在上的函数，对任意的，存在使得，，且，则在集合M上的最大值为A. B. 5 C. 6 D. 8【答案】B【解析】【分析】根据的最小值相等可得，由题意得在处有最小值，进而得到，故得，于是可得函数的解析式，再求出函数在区间上的最大值即可．【详解】因为（当且仅当时等号成立），所以，所以，所以，所以，因为在处有最小值，所以，解得，所以，所以，，所以在单调递减，在上单调递增，而，所以函数的最大值为．故选B．【点睛】解答本题的关键是读懂题意，然后结合不等式、函数等知识求解，其中转化思想方法的运用是解题的关键，考查阅读理解和应用能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】根据函数解析式可知，且，求解即可.【详解】要是函数有意义，则需，解得，故函数定义域为. 【点睛】本题主要考查了函数的定义域，对数函数的性质，属于中档题.14.已知满足若有最大值8，则实数的值为____．【答案】【解析】由图知直线过A点时取最大值8，由得，所以点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15.如图，正方形中，分别是的中点，若，则__________．【答案】【解析】试题分析：设正方形边长为，以为坐标原点建立平面直角坐标系，，故，解得.考点：向量运算．16.函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据指数函数的性质知，恒过，故有，代入可得：，利用均值不等式求最值即可.【详解】因为恒过，且点A在直线上，所以，因为，则，当且仅当，即时，等号成立. 故填.【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，均值不等式，属于中档题.三、解答题（本大题共7小题，共70分）17.已知函数的最小正周期为．（）求的值及函数的单调递增区间．（）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（），单调递增区间，；（）最大值为，最小值为．【解析】试题分析：（1）利用降幂公式降幂后，再由两角差的正弦公式和两角和的正弦公式化函数为一个三角函数形式，然后利用周期公式可得，结合正弦函数的单调性可得增区间；（2）由（1）可得函数在区间上的单调性，从而可得最大值和最小值.试题解析：（）∵∴，∴．在中，即为单调递增区间．（）由（）得，∵，∴，∴当时，即时，，当时，即时，．18.在中，角的对边分别为，满足．（1）求角的大小；（2）若，求的周长最大值．【答案】（1）（2）的周长取得最大值为9．【解析】试题分析：（1）由已知及余弦定理，化简可得则角易求；（2）由（1）得，再由正弦定理得，所以；，的周长，根据可求的周长最大值．试题解析：（1）由及余弦定理，得整理，得∵，∴（2）解：由（1）得∴，由正弦定理得，所以；的周长∵，当时，的周长取得最大值为9．考点：解三角形19.2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会简称党的“十九大”在北京召开一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在内，按成绩分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习．求这100人的平均得分同一组数据用该区间的中点值作代表；求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．【答案】（1）87.25；（2）3，2，；（3）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出这100人的平均得分（2）第3组的人数为30，第4组的人数为20，第5组的人数为10，用分层抽样能求出在这三个组选取的人数（3）记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，从这6人随机选取2人，利用列举法能写出甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.【详解】这100人的平均得分为：.第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为，故共有60人，用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，则所有选取的结果为甲、乙、甲、丙、甲、丁、甲、戊、甲、己、乙、丙、乙、丁、乙、戊、乙、己、丙、丁、丙、戊、丙、己、丁、戊、丁、己、戊、己共15种情况，其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况，故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概率，属于中档题.20.已知椭圆C：的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．求椭圆C的方程；设，是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点和，求这个平行四边形的面积最大值．【答案】（1）；（2）。

2021届陕西省西安中学高三上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．0cos330=（ ）A.12 B. 12-【答案】C【解析】()()000cos330cos 36030cos -30cos30=-===选C2．设向量()2,4a =与向量(),6b x =共线，则实数x =（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】B【解析】由题向量()2,4a =与向量(),6b x =共线，则1240,3x x -=∴= 选B 3．21i=+（ ）A. D. 1 【答案】C【解析】()()()()2121211112i i i i i i --===-=++-请在此填写本题解析!选C4．已知向量()2,4a =， ()1,1b =-，则2a b -=（ ） A. ()5,7 B. ()5,9 C. ()3,7 D. ()3,9 【答案】A【解析】由题()()()222,41,15,7a b -=--= 选A5．给出下列四个命题： ①若a b =，则a b =；②若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a b =， b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是a b =且//a b 其中正确命题的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④ 【答案】B【解析】a b =，则a b ，大小相等，但方向不一定相同，故两个向量不一定相等，故①错误；②若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC AB CD =⇔且AB CD =⇔四边形ABCD 为平行四边形，故②正确；③若a b =，则a b ，大小相等，方向相同，若b c =，则b c ，大小相等，方向相同，则a c ，大小相等，方向相同，则a c =，故③正确；④a b =的充要条件是a b =且a b ，同向，故④错误． 故正确命题的序号是：②③， 故选B6．已知ABC ∆中， ::1:1:4A B C =，则::a b c =（ ）A. 2:21:1:2 D. 1:1:4 【答案】A【解析】ABC ∆中，∵::1:1:4A B C =，故三个内角分别为30,30,120︒︒︒ ，则3030120a b c sin sin sin =︒︒︒=：：：：故选A ．7．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ） A. sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. sin2cos2y x x =+D. sin cos y x x =+ 【答案】B【解析】A. sin 2cos22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，为偶函数； B. cos 2sin2,2y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ 为奇函数，且22T ππ== C. sin2cos2y x x =+为非奇非偶函数D. sin cos y x x =+为非奇非偶函数 故选B8．若tan θ=13，则cos2θ=（ ） A. 45- B. 15- C. 15 D. 45【答案】D【解析】∵ tan θ=13，则22222211149211519cos sin tan cos cos sin tan θθθθθθθ---====+++， 故选D ．【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系等知识，解决本题的关键是熟练掌握倍角公式，敏锐的观察角间的关系． 9．将函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A. 2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. 2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. 2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D. 2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D【解析】由于函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期为22ππ=，故14个周期即4π， 故把函数函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移14个周期，即把函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位， 所得图象对应的函数的解析式为222222.46263y sin x sin x sin x πππππ⎡⎤=-+=-+=-⎢⎥⎣⎦（）（）（）故选D10．函数()sin f x x x =（[],0x π∈-）的单调递增区间是（ ） A. 5,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. ,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. ,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】()sin 23f x x x sin x π==-（），因4,333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，故由正弦函数的单调性可知1233x πππ-≤-≤-得,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即函数()sin f x x x =（[],0x π∈-）的单调递增区间是,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选C11．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2B A =， 1a =， b =c =（ ）A. 1或 D. 1 【答案】B【解析】21B A a b ===，， ∴由正弦定理a bsinA sinB=得：1sinA ===cosA ∴=由余弦定理得： 2222a b c bccosA =+-，即2133c c =+-， 解得2c = 或1c =（经检验不合题意，舍去）， 则2c = ． 故选B12．若函数()1sin2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ） A. []1,1- B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】函数()1sin2sin 3f x x x a x =-+的导数为2'123f x cos x acosx =-+（），由题意可得'0f x ≥（）恒成立，即为21203cos x acosx -+≥，即有254033cos x acosx -+≥，设11t cosx t =-≤≤（），即有25430t at -+≥， 由题意可得5430a -+≥ ，且5430a --≥， 解得a 的范围是11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选D【点睛】本题考查利用导数求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，解题时注意运用参数分离和换元法是解题的关键，． 13．已知ABC ∆的三边长分别3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于__________．【答案】733【解析】设ABC 的三边分别为357a b c ===，，，由余弦定理可得， 22292549122352a b c cosC ab +-+-===-⨯⨯，可得213114sinC cos C =-=-= ， 可得该三角形的外接圆半径为732332csinC==⨯． 故答案为73二、填空题14．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ， AB AD AO λ+=，则λ=__________．【答案】2【解析】由题2,2AB AD AC AO λ+==∴= 即答案为215．已知a 为函数()312f x x x =-的极小值点，则a =__________．【答案】2【解析】求导2'312f x x =-（）；2x ∴-＜时， '022f x x -（）＞，＜＜时， '02f x x （）＜，＞ 时， '0f x （）＞ ；2x ∴=是f x （） 的极小值点； 又a 为f x （）的极小值点； 2a ∴=． 即答案为216．已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边， 2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为__________．【解析】由题意()()()2sin sin sin b A B c b C +-=- 2222b a b c b c a b c bc ⇒+-=-⇒-=-（）（）（），又知2a = ，所以2222222212223b c a a b c bc b c a bc cosA A bc π+--=-⇒+-=⇒==⇒=，ABC ∴面积12S bcsinA ==， 而2222222244b c a bc b c bc a b c bc bc +-=⇒+-=⇒+-=⇒≤所以12S bcsinA ==≤，当且仅当2b c ==时取等号即ABC【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用等知识，解题根据题意灵活应用基本不等式是解题的关键，特别注意应用基本不等式时一定要指出等号成立的条件．三、解答题17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin 3b a C C =+. （1）求A ；（2）若a =6bc =，求ABC ∆的周长.【答案】(1) 3A π=;(2)【解析】试题分析：（1）由cos sin b a C C =，利用正弦定理可得sinB sinAcosC =+．又sinB sin A C =+（），代入化简即可得出． （2）22π3b c 2bccos 3=+-由余弦定理得，，可得到b c 3+=.则ABC ∆的周长可求试题解析：（1）b acosC =sinB sinAcosC ∴=+由正弦定理得，3sinAcosC cosAsinC sinAcosC sinAsinC ∴+=+tanA 3=即， ()A 0π∈又，， πA 3∴=（2）22π3b c 2bccos3=+-由余弦定理得，， ()2b c 3bc 3+-=即， bc 2=又， b c 3∴+=， ΔABC 3+7的周长为18．如图，在四棱锥P ABCD -中， PA ⊥面ABCD ， 4PA BC ==， 2AD =， 3AC AB ==， //AD BC ， N 是PC 的中点.（1）求证： //ND 平面PAB ； （2）求三棱锥N ACD -的体积. 【答案】(1)详见解析25【解析】试题分析：（1）取PB 中点M ，连结AM MN ，. ，推导出四边形AMND 是平行四边形，从而ND AM 由此能证明//ND 平面PAB ．（2）N 到面ABCD 的距离等于P 到面ABCD 的距离的一半，且4PA ABCD PA ⊥=面，，从而三棱锥N ACD -的高是2，由此能求出三棱锥N ACD -的体积．试题解析：(1)如图，取PB 中点M ，连结AM ，MN . ∵MN 是△BCP 的中位线,∴MN ∥12BC ，且MN =12BC . 依题意得,AD 1//2BC ,则有AD //MN ∴四边形AMND 是平行四边形,∴ND ∥AM ∵ND ⊄面PAB ，AM ⊂面PAB ， ∴ND ∥面PAB(2)∵N 是PC 的中点，∴N 到面ABCD 的距离等于P 到面ABCD 的距离的一半，且PA ⊥面ABCD ，PA =4， ∴三棱锥N −ACD 的高是2. 在等腰△ABC 中,AC =AB =3,BC =4,BC 223-2=5.BC ∥AD ,∴C 到AD 的距离为5，∴S △ADC =125=52⨯⨯. ∴三棱锥N −ACD 的体积是1252=533⨯⨯.19．某校从高一年级学生中随机抽取40中学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： [)40,50， [)50,60，…， []90,100所得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率. 【答案】(1)0.03;(2)544;(3)715. 【解析】试题分析: （1）由频率分布直方图的性质能求出a 的值．（2）先求出数学成绩不低于60分的概率，由此能求出数学成绩不低于60分的人数．（3）数学成绩在[4050，）的学生为2人，数学成绩在[]90100，的学生人数为4人，由此利用列举法能求出这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率． 试题解析：(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1. 解得a=0.03.(2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人 .(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,分别记为A,B ，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,分别记为C,D,E,F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M 包含的基本事件有：(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)=715. 【点睛】本题考查频率直方图的应用，考查概率的求法.解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的离心率2e =，椭圆过点()（1）求椭圆C 的方程； （2）直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，已知()2,1P ，求PAB ∆面积的最大值. 【答案】(1) 22182x y +=;(2)2.【解析】试题分析: （1）根据椭圆的离心率和椭圆过点()即可求出22a b ，，则椭圆C 的方程可求； （2）设直线l 方程12y x m =+，把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为PAB 的底，由点线距离公式求出PAB 的高，然后用基本不等式求最值． 试题解析：（1）∵222222c a b 3e a a 4-===∴22a 4b =∵椭圆过点()∴22a 8,b 2==22x y 182∴+= （2）1l y x m 2=+设的方程为 22x 2mx 2m 40++-=代入椭圆方程中整理得21212x x 2m,x x 2m 4∴+=-=-()2224m 42m 40m 4=-->∴<AB 则P l d =点到直线的距离22PAB1m 4m S222+-∴==≤=2m =2m 2=当且仅当，即21．已知函数()()ln 1f x x a x =+- （1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围. 【答案】(1)详见解析;(2) ()0,1. 【解析】试题分析: （1）1',0f x a x x=-（）（＞）．对a 分类讨论即可得出单调性． （2）由（1）知，当0a ≤时， f x （） 在（0，+∞）无最大值．当a ＞0时， f x （）在1x a= 取得最大值，最大值为11111f ln a lna a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此122f a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞ 等价于10lna a +-＜． 令1g a lna a =+-（）， 利用其单调性即可得到a 的取值范围.． 试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞， ， ()1f x a x'=-. 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在()0+∞，单调递增. 若0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<.所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a ≤时， ()f x 在()0+∞，无最大值；当0a >时， ()f x 在1x a=取得最大值，最大值为1111ln 1f ln a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此122f a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭等价于ln 10a a +-<. 令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在()0+∞，单调递增， ()10g =.于是，当01a <<时， ()0g a <；当1a >时， ()0g a >.因此， a 的取值范围是()0,1.22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为()2212sin 3ρθ+=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{ 6x t y t==+（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程和直线l 的普通方程；（2）已知点P 是曲线C 上一点，求点P 到直线l 的最小距离.【答案】(1)详见解析;(2) min d =【解析】试题分析: (1)由极坐标与直角坐标互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，再由{x acos y bsin θθ== （θ为参数）可得其参数方程；消去参数t 可得直线l 的普通方程；（2）设曲线C 上任意一点P为),sin αα。

2024届西安中学高三数学（理）上学期期中考试卷（时间：120分钟满分：150分）2023.11一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2340A x x x =--≤，{}220,B x xx x =+>∈Z，则A B ⋂的真子集共有（）A ．15个B ．16个C ．31个D ．32个2．若复数()1i 1iz -=+，则z =（）A ．22B ．1CD ．23．已知非零向量,a b →→满足|2|||a b a b →→→→-=+，且3a b →→⋅=，则向量b →的模长为（）A ．2BCD ．34．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间计划表，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量C （单位：A h ⋅）、放电时间t （单位：h ）、放电电流I （单位：A ）三者之间满足关系 1.5log 2C It =⋅．假设某款电动汽车的蓄电池容量为3074A h ⋅，正常行驶时放电电源为15A ，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据：1.5log 36103074⨯≈）（）A ．60hB ．45hC ．30hD ．15h 5．函数()()33sin f x x x x=-⋅的部分图象大致为（）A ．B．C ．D ．6．已知()πcos 2cos π2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．-3B ．3C ．13-D ．137．若125()3a -=，121log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>8．已知函数()sin(2)1f x x ϕ=++，||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭图象向左平移3π个单位后关于直线0x =对称，则下列说法正确的是（）A ．在区间4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有一个零点B ．关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．在区间5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间,124ππ⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值为29．在△ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC =，D 是AC 边的中点，点E 满足13BE BA=，则CE 与BD 的夹角为（）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°10．若曲线()e xxf x =有三条过点()0,a 的切线，则实数a 的取值范围为（）A ．210,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．若π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，则下列结论正确的是（）A ．π2αβ+=B ．π22βα+=C ．π22αβ-=D ．π2αβ-=12．已知函数()()()(]ln 1,0,e ln 1,,0xx f x x x ∞∞⎧∈+⎪=⎨⎪-∈-⎩，则下列说法中正确的是（）①函数()f x 有两个极值点；②若关于x 的方程()f x t=恰有1个解，则1t >；③函数()f x 的图象与直线0x y c ++=（c ∈R ）有且仅有一个交点；④若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，则()()1231x x x -+无最值.A ．①②B ．①③④C ．②③D ．①③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13．若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值是.14．已知向量(1,1)a x =- ，(,2)b y = ，其中0x >，0y >，若a b ⊥，则12x y +的最小值为．15．已知函数()f x 的定义域为R ,其导函数为()g x ,若函数(22)f x +为偶函数,函数(1)g x -为偶函数,则下列说法正确的序号有.①函数()f x 关于2x =轴对称;②函数()f x 关于(1,0)-中心对称;③若(2)1,(5)1f f -==-,则(26)(16)=3g f +-;④若当12x -≤≤时,1()e 1x f x +=-,则当1417x ≤≤时,17()e1xf x -=-.16．设函数()sin sin (0)3f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知函数()22sin 32cos f x x x=-+.(1)求()f x 的最大值和最小值;(2)设())2cos 1g x xx =-,求()()()h x f x g x =+的对称中心及单调递增区间.18．已知函数2()2x f x e x ax=-+1)若a=1,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程(2)若()f x 在R 上单调递增,求实数a 的取值范围19．记ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知()21cos 4bc A a+=.(1)证明：3b c a +=；(2)若2a =，7cos 9A =，角B 的内角平分线与边AC 交于点D ，求BD 的长.20．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在树人中学团委的组织下，高二年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的知识竞赛活动，经过激烈竞争，高二（1）班（以下简称一班）和高二（3）班（以下简称三班）进入了最后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A ，B 两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A 题库每题20分，B 题库每题30分，一班能正确回答A 、B 题库每题的概率分别为34、12，三班能正确回答A 、B 题库每题的概率均为23，且每轮答题结果互不影响.(1)若一班前两轮选A 题库，后三轮选B 题库，求其总分不少于100分的概率；(2)若一班和三班在前两轮比赛中均选了B 题库，而且一班两轮得分60分，三班两轮得分30分，一班后三轮换成A 题库，三班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X ，求X 的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？21．已知函数()()1ln 0f x x a x a x =-->，()21ln g x x x x=--.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有三个零点1x ，2x ，3x ，求证：()()()1230g x g x g x ++>.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为：ρθ=.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程.23．已知函数()=-++f x x a x b，,R a b ∈且0a b +>.(1)若函数()f x 的最小值为1，试证明点(),a b 在定直线上；(2)若1b =，[]0,1x ∈时，不等式()5f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.1．A【分析】解一元二次不等式，求出,A B ，从而求出A B ⋂，得到A B ⋂的真子集个数.【详解】由题意得，{14}A x =-≤≤，220x x +>解得：0x >或<2x -，所以{0B x x =>或}2,Z x x <-∈，所以{1,2,3,4}A B ⋂=，所以A B ⋂的子集共有4216=个，真子集有15个．故选：A ．2．B【分析】由复数的除法运算求出复数z ，然后根据复数模长公式即可求解.【详解】解：因为复数()1i 1iz -=+，所以()21i 1i 2i i 1i 22z ++====-，所以1z =，故选：B.3．B【分析】将|2|||a b a b →→→→-=+两边平方并化简，进而结合3a b →→⋅=即可求得答案.【详解】设,a b →→的夹角为θ，因为|2|||a b a b →→→→-=+，所以2222442a b a b a b a b→→→→→→→→+-⋅=++⋅，所以2236186b a b b b →→→→→=⋅=⇒=⇒=．故选：B.4．C【分析】根据题意蓄电池的容量C ，再把15A I =代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】由32log 2C It =，3074A h C =⋅,15I =时，32log 215C t =⋅；32log 2307415t ∴=⋅，32log 2307415t ∴=.又 1.5log 36103074⨯≈,3333322223332223332222log 2log 2log 2log log 3log 3log 33log 3log 222og 2g l lo 30743315151.5102161061061010103t -∴======⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯故选：C.5．D【解析】通过函数的奇偶性、区间上的函数值的符号确定正确选项.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()()333sin 3sin f x x x x x x x f x ⎡⎤-=---⋅-=-⋅=⎣⎦，所以函数()f x 为偶函数，排除B.由()()23sin f x x x x =-，可知当(x ∈时，()0f x >；当)x π∈时，()0f x <.所以D 选项符合.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，函数图象的识别的方法主要根据函数的单调性、特殊点来求解.6．C【分析】由诱导公式、商数关系求得tan α，然后由两角差的正切公式计算．【详解】因为()πcos 2cos π2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα-=-，即tan 2α=，πtantan π1214tan()π41231tan tan 4ααα---==-++．故选：C ．7．B【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质并结合“媒介”数比较大小作答.【详解】依题意，10255()()133a -=<=，212221log log 5log 225b ==>=，而23331log 3log 7log 32=<<=，即12c <<，所以a ，b ，c 的大小关系为b c a >>.故选：B 8．A【分析】通过函数()f x 的平移变换后图象关于直线0x =对称可求得ϕ值，从而可求出函数解析式，然后使用换元法画出函数图象，再逐项判断即可.【详解】函数()sin(2)1f x x ϕ=++，||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭图象向左平移3π个单位后的图象对应的解析式为：2()sin 21sin 2133f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；而()f x 图象关于直线0x =对称，且||2ϕπ<，于是232ππϕ+=，2236ππϕπ=-=-；∴()sin(2)16f x x π=-+；012f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ ，所以()f x 不关于,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 错误；当433x ππ≤≤时，则62225x πππ≤-≤，令26t x π=-，则()sin 1f t t =+，此时函数图象如图:结合图象可知，当25226t x πππ=-≤≤时，即433x ππ≤≤，()f t 与坐标轴只有一个交点，即()f x 只有一个零点，故A 正确；当51212ππx ≤≤时，则20263x ππ≤-≤，结合图象可知，此时()f t 有增有减，故C 错误；当124x ππ≤≤时，则0326x ππ-≤≤，结合图象可知，此时()f t 单调递增，所以，当4x π=时，即3t π=，函数取最大值，()sin 11332f t f ππ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，故D 错误；故选：A.9．C【分析】根据给定条件，用向量CA CB,分别表示,CE BD ，再利用向量数量积的运算律求解作答.【详解】在ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC =，12CD CA=，如图，则12BD CD CB CA CB=-=-，又13BE BA = ，则11221()()33332CE CB BE CB CA CB CA CB CA CB =+=+-=+=+ ，所以2221121()()()032234CA CB CA CB CA C CB E BD ⋅+⋅-=-== ，即CE BD ⊥ ，所以CE 与BD 的夹角为90︒.故选：C.10．B【分析】根据导数的几何意义求出过点(0,)a 的切线方程为20e x x a =，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为2()e xx g x =图象与直线y a =在R 上有3个交点，结合导数求出函数()g x 的极值，根据数形结合的思想即可求解.【详解】设该切线的切点为000(,)e x x x ，则切线的斜率为001()e x x k f x -'==，所以切线方程为000001()e e x x x xy x x -=--，又切线过点(0,)a ，则000001(0)e e x x x x a x --=-，整理得020e x x a =.要使过点(0,)a 的切线有3条，需方程20e x x a =有3个不同的解，即函数20e x x y =图象与直线y a =在R 上有3个交点，设2()e xx g x =，则(2)()e x x x g x '-=，令()002g x x '>⇒<<，令()00g x x '<⇒<或2x >，所以函数()g x 在(0,2)上单调递增，在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递减，且极小值、极大值分别为()()2400,2e g g ==，如图，由图可知，当240e a <<时，函数020e x x y =图象与直线y a =在R 上有3个交点，即过点(0,)a 的切线有3条.所以实数a 的取值范围为240e a <<.故选：B.11．C【分析】由π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，及二倍角的余弦公式可得cos (1sin )sin cos αβαβ+=，根据两角差的正弦公式可得()cos sin ααβ=-，由诱导公式及αβ，的范围，结合正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴cos 0α≠.由1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，可得22cos (1sin )2sin cos cos αβααβ+=，即cos (1sin )sin cos αβαβ+=.∴()cos sin cos cos sin sin ααβαβαβ=-=-，∴()πsin sin 2αβα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴ππ22αβ-<-<，且ππ022α<-<.由于函数sin y x =在ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增，∴π2αβα-=-，即π22αβ-=.故选:C.12．D【分析】求出分段函数的解析式以及各段导函数，得出函数的单调区间，即可得出①；作出函数图象，即可判断②；根据①求得的导函数，可推得x ∀∈R ，有()1f x '≥-恒成立，即可得出③；作图，根据图象得出()y f x =与y m =有3个交点时，m 的范围.然后用m 表示出123,,x x x ，即可得出()()12311e m x x x m m ⎛⎫-+=+⎪⎝⎭，构造函数()1e m g m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，通过导函数研究函数的单调性，得出函数的最值，即可判断④.【详解】对于①，当01x <<时，()ln ln 1e ex xf x x-===，()10f x '=>恒成立，所以()f x 在()0,1上单调递增；当1x ≥时，()ln 11exf x x ==，()210f x x '=-<恒成立，所以，()f x 在()1,+∞上单调递减；当0x ≤时，()()ln 1f x x =-，()11011f x x x -'==<--恒成立，所以，()f x 在(),0∞-上单调递减.综上所述，()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.所以，()f x在0x=处取得极小值()00f=，在1x=处取得极大值()11f=，故①正确；对于②，作出()f x的图象如下图1由图1可知，若关于x的方程()f x t=恰有1个解，则1t>或0=t，故②错误；对于③，由①知，当1x≥时，()21f xx'=-，因为1x≥，所以21x≥，所以()211f xx'=-≥-，当且仅当()11f'=-；当01x<<时，()1f x'=；当0x≤时，()11f xx¢=-，因为0x≤，所以11x-≤-，所以()111f xx'=≥--，当且仅当()01f'=-.综上所述，x∀∈R，有()1f x'≥-恒成立.又直线0x y c++=可化为y x c=--，斜率为1-，所以函数()f x的图象与直线0x y c++=（Rc∈）有且仅有一个交点，故③正确；对于④，由图2可知，当01m<<时，函数()f x的图象与y m=有3个不同的交点.则有()123ln11x mx mmx⎧⎪-=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以2131e1mx mxxm⎧⎪=⎪-=⎨⎪⎪=⎩，所以()()12311e m x x x m m ⎛⎫-+=+⎪⎝⎭，01m <<.令()1e m g m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，01m <<，则()211e 1mg m m m m ⎛⎫'=++- ⎪⎝⎭()322e 1m m m m m =++-.令()321h m m m m =++-，则()23210h m m m '=++>在()0,1上恒成立，所以，()h m 在()0,1上单调递增.又()010h =-<，()120h =>，根据零点存在定理可知，()00,1m ∃∈，使得()00h m =，且当00m m <<时，()0h m <，所以()0g m '<，所以()g m 在()00,m 上单调递减；当01m m <<时，()0h m >，所以()0g m '>，所以()g m 在()0,1m 上单调递增.所以，()g m 在0m m =处取得唯一极小值，也是最小值，无最大值，故④错误.综上所述，①③正确.故选：D.【点睛】方法点睛：遇到()()()123f x f x f x ==条件时，常设()()()123f x f x f x m===，然后根据图象得出m 的范围.根据解析式，用m 表示出123,,x x x ，将所求表达式表示为m 的函数，根据导函数研究函数的单调性、极值、最值等.13．9【解析】做出可行域，根据可行域的图像特征，即可求出线性目标函数的最大值.【详解】做出可行域如下图所示：当目标函数3z x y =+过点(3,0)A 时，取最大值为9.故答案为:9【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于基础题.14．4【分析】根据向量运算可得22x y +=，再由均值不等式求解即可.【详解】a b ⊥，(1,1)a x =- ，(,2)b y = ，220x y ∴-+=，即22x y +=，由0x >，0y >，则121121414(2)4+424222y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4y xxy =，即21y x ==时等号成立，故12x y +的最小值为4.故答案为：415．①③④【分析】根据偶函数的定义以及原函数与导函数的对称关系得出轴对称和中心对称，再得出周期，再综合利用得出的性质求解.【详解】由于函数(22)f x +为偶函数,则②(22)(22)f x f x +=-+,则函数()f x 关于2x =轴对称,①正确;进而函数()g x 关于点(2,0)中心对称,由于函数(1)g x -为偶函数,则(1)(1)g x g x -=--,则函数()g x 关于=1x -轴对称,进而函数()f x 关于(1,(1))f --中心对称,②错误;由题可得函数()f x 的周期为()42112⎡⎤⨯--=⎣⎦，()g x 的周期为41212⨯--=，故(26)(2)0,(16)(4)(0)g g f f f ====，由中心对称性(2)(0)2(1)2(5)2f f f f -+=-==-，所以(0)2(2)213f f =---=--=-，所以(16)3f =-,故(26)(16)3g f +=-,③正确;当1417x ≤≤时,1162x -≤-≤，17()(12)[4(12)](16)e 1x f x f x f x f x -=-=--=-=-,④正确.故答案为：①③④【点睛】结论点睛：若()f x 是可导的奇函数,则()f x '是偶函数；若()f x 是可导的偶函数,则()f x '是奇函数.16．710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，由x 的取值范围求出6x πω+的取值范围，令6t x πω=+，将问题转化为函数y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的极值点个数问题，数形结合来求解.【详解】解：()sin sin 3f x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin sin coscos sin33x x x ππωωω=++31sin sin cos22226x x x x x πωωωωω⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象如图所示：由于函数()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则57262ππωππ<+≤，解得71033ω<≤.故答案为：710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦17．(1)()max 12f x =-;()min 5f x =-(2)对称中心是,-2,122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用二倍角公式将函数化为()22cos 2cos 1f x x x =-+-，令cos t x =,配方即可求解.（2）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数()2sin 226h x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，然后利用正弦函数的中心对称点以及单调递增区间即可求解.【详解】解:(1)由题意得()()221cos 32cos f x x x =--+22cos 2cos 1x x =-+-,令cos t x =,则[]1,1t ∈-,则()2221f x t t =-+-211222t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.所以当12t =时,有()max 12f x =-;当1t =-时,()min 5f x =-.(2)由题得()()()1cos 2232xh x f x g x -=+=⨯-2cos 22cos x x x +-,从而()2cos 2h x x x =--22sin 226x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.由26x k ππ-=,得,122k x k Z ππ=+∈.故对称中心是,2,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭.再由222262k x k πππππ-+≤-≤+,得,63k x k k Zππππ-+≤≤+∈.所以单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了二倍角公式、辅助角公式、含有余弦型的三角函数的最值以及三角函数的性质，需熟记公式和性质，属于基础题.18．（1）10ex y -+=（2）ln 2 1.a ≥-【详解】分析：（1）求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）求出导数，若()f x 是单调递增函数，则()220x f x e x a '=-+≥恒成立，分离参数构造函数，求出函数的最值即可得到实数a 的取值范围．详解：(1)()()221x f x e x f e ''=-+∴= ()()1110y f e x ex y ∴-=-∴-+=（2）()()2202xxe f x e x a a x g x =-+≥∴≥-=' ()'10ln22xe g x x =-=∴=Q 所以()g x 在(),ln2-∞上单调递增，在()ln2,+∞上单调递减所以()()max g ln2ln21ln2 1.x g a ==-∴≥-.点睛：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，综合考查导数的应用，属于中档题．19．(1)证明见解析；(2)465.【分析】（1）利用余弦定理结合条件即得；（2）利用余弦定理结合条件可得3==b c ，然后利用角平分线定理及余弦定理即得.【详解】（1）证明：因为()21cos 4bc A a +=，所以2222142b c a bc a bc ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，所以222242b c a bc a +-+=，即()229b c a +=，所以3b c a +=；（2）由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，()222222927149b c bc b c bc bc ==+-⋅+--，又36b c a +==，所以9bc =，3==b c，由角平分线定理可得，32AB AD AC DC ==，39355AD =⨯=，在ABD △中，由余弦定理得：222997323559BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯⎪⎝⎭，所以BD =.20．(1)2164(2)分布列见解析，一班赢下这场比赛【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解；（2）由题意求出两个班的总分可能取值，然后求出对应的概率，进而列出分布列，并根据期望的概念求出期望，比较大小即可判断.【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分，其概率为313233113C C 44264⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分，其概率为22322323331119C C C 422232⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，于是一班总分不少于100分的概率为3921643264+=；（2）由条件知，随机变量X 可能取值为60，80，100，120，311(60)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21313980C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2231327100C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3327(120)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为：X 6080100120P16496427642764()192727608010012010564646464E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，设三班最后的总分为Y ，Y 可能取值为30，60，90，120，()31130327P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21312260C 339P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22321490C 339P x ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()328120327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，∴X 的分布列：Y306090120P1272949827()124830609012090279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，因为10590>，所以从总分的均值来判断，一班赢下这场比赛.21．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求得()f x '，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）先判断出2a >，将()()()123g x g x g x ++转化为()331g x g x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.【详解】（1）由()()1ln 0f x x a x a x =-->，可知定义域()0,x ∈+∞，()222111a x ax f x x x x -+'=+-=，令()()210h x x ax x =-+>，则24a ∆=-，①当02a <≤时，240a ∆=-≤，则()0h x ≥成立，即()0f x '≥成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；②当2a >时，令()210h x xax =-+=，得2ax =，记42a x =，52a x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表x()40,x 4x ()45,x x 5x ()5,x +∞()f x '+-+()f x ↗极大值↘极小值↗所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）因为函数()1ln f x x a x x =--有三个零点1x ，2x ，3x ，不妨设123x x x <<，所以2a >，即()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.由()10f =，知21x =，故12301x x x <<=<，因为()1111ln ln f x a x a x f x x x x x ⎛⎫=--=+=- ⎪⎝⎭，所以()1110f f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即311x x =，因此()()()()()()1233333111g x g x g x g x g g g x g x x ⎛⎫⎛⎫++=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()22221111111ln 1ln 2ln G x g x g x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=--+--=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()11ln G x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()1p x xx =-，则()p x 在()0,∞+上单调递减，且()10p =，()1ln q x x x x =-+，()22222131112410x x x q x x x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭'=--+==<成立，所以()q x 在()0,∞+上单调递减，且()10q =，因此()()10G x G ≥=，则()()33310g x g G x x ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以()()()1230g x g x g x ++>.【点睛】利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，要在定义域的范围内求解单调性.当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，分类标准的制定可结合二次函数的知识来进行.22．（1）曲线1:2cos C ρθ=，曲线(222:3C x y +=.（2）y =.【解析】（1）用1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩消去参数α即得1C的极坐标方程；将ρθ=两边同时乘以ρ，然后由222,sin x y y ρρθ=+=解得直角坐标方程.（2）过极点的直线的参数方程为,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭，代入到1:2cos C ρθ=和2C：ρθ=中，表示出OA OB +即可求解.【详解】解：由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得cos 1cos sin sin ρθαρθα-=⎧⎨=⎩()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得2cos ρθ=故1C ：2cos ρθ=将ρθ=两边同时乘以ρ，得2sin ρθ=因为222,sin x y y ρρθ=+=，所以220x y +-=得2C的直角坐标方程(222:3C x y +=.（2）设直线l 的极坐标方程,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭由2cos θϕρθ=⎧⎨=⎩，得||2cos OA ϕ=，由θϕρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得||OB ϕ=故2cos 4sin 6OA OB πϕϕϕ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭当3πϕ=时，OA OB +取得最大值此时直线的极坐标方程为：()3R πθρ=∈，其直角坐标方程为：y =.【点睛】考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中ρ的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.23．(1)证明见解析(2)[]3,4-【分析】（1）根据绝对值的三角不等式求出函数()f x 的最小值，结合取得最小值的条件即可得出结论；（2）由题意()11f x x a x x a x =-++=-++，则不等式()5f x x ≤+恒成立，即4x a -≤，进而可得出答案.【详解】（1）()()x a x b x a x b a b a b a b-++≥--+=--=+=+ ，当且仅当b x a -≤≤时取等号，1a b ∴+=，即点(),a b 在定直线10x y +-=上；（2）当1b =，[]0,1x ∈时，()11f x x a x x a x =-++=-++，由()5f x x ≤+得：4x a -≤，44x a ∴-≤-≤，则44x a x --≤-≤-，404413a a -≥-+=-⎧∴⎨-≤-=⎩，解得：34a -≤≤，即实数a 的取值范围为[]3,4-.。

市一中高校区2022—2021学年度第一学期期中考试 高三数学（理科）试题命题人：付 功一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）. 1. 已知集合{11}A x x =+<,1{|()20}2x B x =-≥,则=⋂B C A R ( )(A))1,2(-- (B))0,1(- (C))0,1[- (D)]1,2(--2.下列命题正确的个数是 ( )①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立； ④“平面对量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”. (A)1 (B)2 (C)3 (D)43．复数z 满足i z i 34)23(+=⋅-，则复平面内表示复数z 的点在( )（A ）第一象限 （B ）其次象限 （C ）第三象限（D ）第四象限4.将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) （A ） 12π （B ）6π （C ） 3π（D ）56π5. 已知数列{}n a 为等差数列，满足OC a OB a OA 20133+=，其中C B A ,,在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为（ ） （A ）22015（B ） 2015 （C ）2016 （D ）2013 6. 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，则[])()(22x f x f y +=的最大值为（ ）（A ）33 （B ）22 （C ） 13 （D ）67.在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 （ ）A ．（0，6π] B ．[ 6π，π） C ．（0，3π] D ．[ 3π，π）8. 在ABC∆中，060=A ，2=AB ，且ABC ∆的面积为23，则BC 的长为（ ） （A ）2 （B ）23 （C ）32 （D ）39.已知向量（，），（，），与的夹角为060,则直线021sin cos =+-ααy x 与圆()()21sin cos 22=++-ββy x 的位置 关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离 （C ）相切 （D ）随的值而定10．设动直线m x =与函数x x g x x f ln )(,)(2==的图象分别交于点N M ,，则MN 的最小值为（ ）（A ）2ln 2121+ （B ）2ln 2121- （C ） 2ln 1+ （D ）12ln - 11.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ） （A ）62 （B ）92 （C ） 122 （D ）15212．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．（A ）f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12 （B ）f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12 （C ）f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12 （D ）f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12二、填空题 :(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上). 13. 设向量)2,1(),1,(=+=b x x a ,且b a ⊥,则=x .１４．已知函数)(x f =x+sinx.项数为19的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()()(191821=++⋯++a f a f a f a f ，则当k =______时，0)(=k a f15在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足2223()4S a b c =+- 则角C 的大小为。

陕西省西安中学2020届高三数学上学期期中试题 理第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合()(){}120A x x x =+-<，{}1,0,1,2B =-，则A B =( )A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是( ) A ．对任意x R ∈，都有21x <B ．不存在x R ∈，使得21x <C ．存在0x R ∈，使得201x ≥D ．存在0x R ∈，使得201x <3．在等差数列中，a 2＝4，a 3＝6，则a 10＝( ) A ．20B ．22C ．18D ．164．下列函数中，既是偶函数又有零点的是( ) A ．12y x =B ．tan y x =C ．x xy e e -=+ D ．ln y x =5．若2tan 3α=，则2sin 3sin cos sin2αααα+=( )A ．116B ．23C ．43D ．26．函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．()2,1-- B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,27．已知函数211()ln(1)1x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，则2(())f f e -＝( )A ．2-B ．2C ．4-D ．48．若实数,x y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．59．已知()()0.8 1.41.40.8aa<，则实数a 的取值范围是( )A ．(0)-∞，B ．(01)，C ．(1)+∞，D ．[1+)∞，10．在直角ABC ∆中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是ABC ∆外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为( ) A ．6B ．8C ．10D ． 1211．已知定义在R 上的函数()f x 在[]0,7上有1和6两个零点，且函数()2f x +与函数()7f x + 都是偶函数，则()f x 在[]0,2019上的零点至少有( ) 个 A ．404B ．406C ．808D ．81212．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，都有()()f x f x '>，且()2019f x +为奇函数，则不等式()20190xf x e +<的解集为( ) A ．(),0-∞ B ．()0,+∞C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知(2,)a m =，(5,2)b m =+，若a 与b 平行，则m = ． 14．若不等式22+50x mx m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围为 ． 15．函数()212log 231y x x =-+的递减区间为 ．16．已知a R ∈，函数4()f x x a a x=+-+在区间[]1,4上的最大值是5，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知向量(sin ,1)m x =，3cos ,cos 2(0)2A n A x x A ⎛⎫=> ⎪⎭，函数()f x m n =⋅的最大值为6． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．18．（本小题满分12分）在ABC ∆角中，角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，若sin cos a B A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为5a =，求ABC ∆的周长． 19．（本小题满分12分）设函数()()xe x ax xf ⋅-=22，其中0≥a ．（Ⅰ）当34=a 时，求()x f 的极值点； （Ⅱ）若()x f 在[]1,1-上为单调函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）以椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>的中心O 为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”． 已知椭圆的离心率为23，且过点1(2．（Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随”的方程;（Ⅱ）过点()0,P m 作“伴随”的切线l 交椭圆C 于A ，B 两点，记(AOB O ∆为坐标原点)的面积为AOB S ∆，求AOB S ∆的最大值． 21．（本小题满分12分）已知函数c o s()a x f x b x =+，曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为620x y ππ+-=．（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）判断方程3()12f x π=-在(]0,2π内的解的个数，并加以证明． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩，t (为参数，)0≠t ，其中0α≤π<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：θρsin 2=，曲线3C ：ρ=θ． （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值． 23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲] 已知0a >，0b >，1a b +=．求证： （Ⅰ）3311()1a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭； （Ⅱ）229(1)(1)2a b +++≥．西安中学高2020届高三期中考试数 学（理科）参考答案一、选择题:二、填空题：13．4314．[210]-， 15．()1+∞，16．9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦三、解答题:17．解：（Ⅰ）()f x m n =⋅＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6．··········································（4分）因为A >0，由题意知A ＝6．················································（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6． 将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像；··········································································（7分）再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图像．因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3．······························································（9分）因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3，6] ．·········································（12分）18．解：（Ⅰ）由正弦定理得：sin sin cos A B B A =，························（2分）sin 0B ≠，∴tan A =···········································（4分）A 是ABC ∆的内角，∴60A ︒= ．··············································································（6分）（Ⅱ）ABC ∆的面积为∴1sin 2bc A = 由（Ⅰ）知°60A =，∴8bc =，··············································································（8分）由余弦定理得：()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，·····（10分）∴()22425b c +-=，得：7b c +=，∴ABC ∆的周长为12．·······························································（12分）19．解：对)(x f 求导得()2()212xf x ax a x e '⎡⎤=+--⋅⎣⎦ ·····························（1分）（Ⅰ）若34=a ，由()2242'()212233xx f x ax a x e x x e ⎛⎫⎡⎤=+--⋅=+-⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭令0)('=x f ，因为0x e >，则2422033x x +-=，123,12x x =-=解得 ·······（2分）所以()()x f x f ',随x 变化而变化的情况为：所以，21-=x 是极大值点，12=x 是极小值点．····························（5分） （注：未注明极大、极小值扣1分）（Ⅱ）若)(x f 为[]1,1-上的单调函数，又02)0('<-=f ，所以当[]1,1-∈x 时0)('≤x f ，即()0212)(2≤--+=x a ax x g 在[]1,1-上恒成立． ···················（6分）（1）当0=a 时，()22(1)0g x x g =--≤-=，符合题意；···················（8分）（2）当0>a 时，抛物线()212)(2--+=x a ax x g 开口向上，则()0g x ≤的充要条件是()()⎩⎨⎧≤≤-0101g g ，即⎩⎨⎧≤-≤-0430a a ，所以340≤<a ．综合（1）（2）知a 的取值范围是340≤≤a ．···································（12分）20．解：（Ⅰ）椭圆C则2a b =， 设椭圆C 的方程为222214y x b b+=∵椭圆C过点1(2，∴1414322=+bb ， ∴1=b ，2=a∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=，················································（ 3分） 椭圆C 的“伴随”方程为221x y +=．···············································（4分）（Ⅱ）由题意知，1||≥m ． ······················································（5分） 易知切线l 的斜率存在，设切线l 的方程为,y kx m =+由22,14y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(4)240k x k mx m +++-= 设A ， B 两点的坐标分别为11(,)x y ， 22(,)x y ， 则12224kmx x k +=-+， 212244m x x k -=+．··················································（7分）又由l 与圆221x y +=相切，1=，221k m -=-．·············（8分）所以||AB ==24k =+24k =+······························································（10分）2124AOBS AB k ∆==+．令[)1,t =∈+∞，则221k t =-，代入上式得：1AOB S t t∆==≤=+（当且仅当t =，即k = 所以AOB S ∆的最大值为1．···············································（12分）21．解：（Ⅰ）直线6π2π0x y +-=的斜率为π6-，过点,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()2sin cos 'a x x x f x x -+=，则26ππ2πaf -⎛⎫'==- ⎪⎝⎭，即3a =，1π2f b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()3cos 1xf x x=-．··············································（4分） （Ⅱ）方程()312πf x =-在(]0,2π上有3个解．证明：令()()33cos 312π2πx g x f x x =-+=-，则()()23sin cos 'x x x g x x-+=，又3062ππg ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，ππ3022g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 所以()g x 在0,π2⎛⎤⎥⎝⎦上至少有一个零点，又()g x 在0,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故在0,π2⎛⎤⎥⎝⎦上只有一个零点．····················（6分）当3π,22πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，故()0g x <，所以函数()g x 在π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点．················································（8分） 当3π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令()sin cos h x x x x =+，()'cos 0h x x x =>，所以()h x 在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()2π0h >，3π02h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以03π,2π2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()g x 在03π,2x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在(]0π,2x 上单调递减．又()2π0g =，3π02g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点．综上，方程()312πf x =-在(]0,2π上有3个解．··································（12分） 22．解：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，························（1分）曲线3C的直角坐标方程为22x y +-0=．·································（2分）联立2222200x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以2C 与3C 的交点的直角坐标为(0,0)和3)22．···························（4分） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θα=(R,ρ∈0)ρ≠，其中0απ≤<．····（5分） 因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα，·············（7分）所以||AB=|2sin |αα-=4|sin()|3πα-，·································（9分）当56πα=时，||AB 取得最大值，最大值为4． ·······························（10分）23．证明：（Ⅰ）33332211()a b a b a b a b b a ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭442()2a b a b ab ab+=++-442221a b a b ab +-=+222()1a b ab-=+1≥（当且仅当12a b ==时等号成立）····（5分） 也可以用柯西不等式直接证明．（Ⅱ）2222(1)(1)2()2a b a b a b +++=++++2()24a b ab =+-+52ab =-······················································（7分）1a b +≥=14ab ∴≤···················································································（9分）9522ab ∴-≥（当且仅当12a b ==时等号成立）从而229(1)(1)2a b +++≥．···························································（10分） 也可以用分析法证明．。

2019-2020学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|−1≤x <3}，N ={x|x <0}，则集合M ∩(∁R N)=( )A. {x|0≤x <3}B. {x|−1≤x <0}C. {x|x <−1}D. {x|x <−1或x ≥0}2. 若复数z =12+i ，则z 的共轭复数z −在复平面上对应的点为( )A. (12,1)B. (12,i)C. (12,−i)D. (12,−1)3. 已知命题p ：∃x 0∈R ，sinx 0≥12，则￢p 是( )A. ∃x 0∈R ，sinx 0≤12 B. ∃x 0∈R ，sinx 0<12 C. ∀x ∈R ，sinx ≤12D. ∀x ∈R ，sinx <124. 若正数m ，n 满足m +n +3=mn ，不等式(m +n)x 2+2x +mn −13≥0恒成立，则实数x 的取值范围是 ( )A. (−∞,−1]⋃[23,+∞) B. (−∞,−1]⋃[12,+∞) C. (−∞,−12]⋃[13,+∞) D. (−∞,−12]⋃[16,+∞) 5. 已知{a n }是正项等比数列，{b n }是等差数列，且a 4=b 5，则( )A. a 2+a 6≥b 3+b 7B. a 2+a 6≤b 3+b 7C. a 2+a 6≠b 3+b 7D. a 2+a 6=b 3+b 76. 已知函数f(x)={x 2+4x +m,x ⩽−1log 2(x +1),x >−1，若函数g(x)=f(x)+1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (2,+∞)B. (2,3]C. [2,3)D. (1,3)7. 已知函数f(x)=sin 2x +sinxcosx −12，则下列说法错误的是( )A. f(x)的最小正周期是πB. y =f(x)关于x =π4对称C. f(x)在[3π8,7π8]上单调递减D. f(x)的最小值为−√228. 已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则xy 的取值范围是( )A. [19,49]B. [19,14] C. [29,12] D. [29,14]9. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1底面是等腰直角三角形，AB ⊥AC ，BC =BB 1，则直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A. √36B. 23C. √32D. 1210.函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在区间(−∞,6]上递减，则a的取值范围是()A. [−5,+∞)B. (−∞,−5]C. (−∞,7]D. [5,+∞)11.函数f(x)=xx2+a的图象不可能是()A. B.C. D.12.已知函数f(x)的定义域为R，且f(1)=2.对任意x∈R，有f′(x)<1，则不等式f(2x)<2x+1的解集为()A. (1,+∞)B. (12,+∞) C. (−∞,2) D. (−∞,1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=(x+1)e x在点(0,1)处的切线方程的斜率为________．14.已知向量m⃗⃗⃗ =(1,a)，n⃗=(4a,3a+1)，若m⃗⃗⃗ //n⃗，则实数a=______．15.将函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线x=π对称，则ω的最小值为____．16.三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB+PC=4，则当三棱锥的体积最大时，球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}首项为2，其前n项和为S n，满足2S n−S n−1=4(n∈N ∗，n≥2)．(1)求a2，a3的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)设，数列{b n b n+2}的前n项和为T n，求证：T n<34．18. 在△ABC 中，AC =BC ，D 为边AC 的中点，AB =BD ．(Ⅰ)求sin C ；(Ⅱ)若△ABD 的外接圆半径为1，求△BDC 的外接圆半径．19. 某化肥厂近几年的化肥产量统计如表：(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，预测该化肥厂2019年的化肥产量．参考资料：y ̂=b ̂x +a ̂，b ∧=6i=1i −x)(y i −y)∑(6x −x)2．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过A(−1,32)、B(√3,−√32)两点，过点P(0,1)的动直线l 与椭圆交于C 、D 两点(1)求椭圆E 的标准方程；(2)当CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，求直线l 的方程．21. 设函数f(x)=(x −a)lnx +b ．(1)当a =0时，讨论函数f(x)在[1e ,+∞)上的零点个数；(2)当a >0且函数f(x)在(1,e)上有极小值时，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x +y =4，曲线C 2：{x =1+cosθy =sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)写出直线C 1与曲线C 2的极坐标方程；(Ⅱ)若射线l ：θ=α(ρ>0)分别交C 1与C 2于A ，B 两点，求|OB||OA|的取值范围．23.已知函数f(x)=|x−a|．(1)若a=2，解不等式：xf(x)<x；(2)若f(x)+f(x+2a)≥|a|−|a−1|+3对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵集合M={x|−1≤x<3}，N={x|x<0}，∴C R N={x|x≥0}，集合M∩(∁R N)={x|0≤x<3}．故选：A．推导出C R N={x|x≥0}，由此能求出集合M∩(∁R N)．本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：D解析：解：∵z=12+i，∴z−=12−i，∴z−在复平面上对应的点为(12,−1)．故选：D．由已知求得z−，则答案可求．本题复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：解：因为特称命题的否定是全称命题所以，命题p：∃x0∈R，sinx0≥12，则￢p是∀x∈R，sinx<12．故选：D．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式，灵活变换主元是解决本题的关键，属中档题．【解答】解：∵正数m，n满足m+n+3=mn，∴m +n =mn −3≥2√mn ，∴mn ≥9，当且仅当“m =n =3”时取等号． 令t =mn ，则t ≥9．(m +n)x 2+2x +mn −13≥0⇔(t −3)x 2+2x +mn −13≥0⇔(x 2+1)t −3x 2+2x −13≥0 令g (t )=(x 2+1)t −3x 2+2x −13(t ≥9)则关于t 的一次函数g (t )=(x 2+1)t −3x 2+2x −13≥0在[9,+∞)上恒成立， 所以(x 2+1)×9−3x 2+2x −13≥0， 即3x 2+x −2≥0， 解得x ≤−1或x ≥23． 故选A ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题目． 【解答】解：因为{a n }是正项等比数列，{b n }是等差数列， 所以a n =a 1·q n−1 ,b n =b 1+(n −1)d ． 又因为a 4=b 5，所以a 1q 4=b 1+4d ．a 2+a 6=a 1q +a 1q 5 ,b 3+b 7=2(b 1+4d )=2b 5=2a 4．a 2+a 6−2a 4=a 1q +a 1q 5−2a 1q 3=(a 1q 5−a 1q 3)−(a 1q 3−a 1q )=a 1q (q 2−1)2≥0． 所以a 2+a 6⩾b 3+b 7． 故选A ．6.答案：C解析： 【分析】本题考查了函数图象的运用，运用图象判断函数零点的问题，难度不大，属于中档题，关键画出图象，确定关键的点．转化为y =f(x)与y =−1图象有3个交点，画出f(x)的图象，y =−1运动观察即可． 【解答】解：∵函数f(x)={x 2+4x +m,x ⩽−1log 2(x +1),x >−1, 若函数g(x)=f(x)+1有三个零点，∴y =f(x)与y =−1图象有3个交点，结合图像即{f(−2)<−1f(−1)≥−1, f(−1)=m −3⩾−1，f(−2)=m −4<−1， 解得2⩽m <3． 故选C ．7.答案：B解析： 【分析】本题考查正弦型函数的性质，考查二倍角公式和辅助角公式，属于中档题． 利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，根据正弦型函数的性质依次判断即可． 【解答】解：f(x)=sin 2x +sinxcosx −12 =1−cos2x2+12sin2x −12=√22sin (2x −π4)， 最小正周期为2π2=π，故A 正确； 令x =π4，得，所以x =π4不是函数的对称轴，故B 错误； 当x ∈[3π8,7π8]时，2x −π4∈[π2,3π2]，∵y =sinx 在[π2,3π2]上是减函数，所以f(x)在[3π8,7π8]上单调递减，故C 正确；由解析式可得f(x)的最小值为−√22，故D 正确．故选B ．8.答案：D解析：解：D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得x +y =1，x ，y ∈[13,23]， 则xy ≤(x+y 2)2=14，当且仅当x =y =12时取等号， 并且xy =x(1−x)=x −x 2，函数的开口向下，对称轴为：x =12，当x =13或x =23时，取最小值， xy 的最小值为：29． 则xy 的取值范围是：[29,14]. 故选：D ．利用已知条件推出x +y =1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．9.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了异面直线所成角，建立空间直角坐标系即可解得答案，属于基础题． 【解答】解：以A 为原点建立空间直角坐标系，AB 为x 轴，AC 为y 轴， 所以A(0,0，0)，B 1(a,0，√2a)，B(a,0，0)，C 1(0,a ，√2a)， 所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0，√2a)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a ，√2a)，所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√36 ，故选A ．10.答案：B解析： 【分析】根据题意求出二次函数的对称轴，即可得到函数的单调减区间，再结合题意进而得到答案． 本题主要考查一元二次函数的单调区间． 【解答】解：由题意可得：函数f(x)=x 2+2(a −1)x +2， 所以函数的对称轴为x =1−a ，所以二次函数的单调减区间为(−∞,1−a]，又因为函数f(x)=x 2+2(a −1)x +2在区间(−∞,6]上递减，所以6≤1−a，即a≤−5．故选B．11.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性的应用，函数的导数的应用，赋值法的应用，考查转化思想以及计算能力．通过a的取值，判断函数的图象，推出结果即可．【解答】解：当a=0时，函数化为y=1x，函数的图象为：C；当a=1时，x=0时，y=0，x≠0时，函数化为y=1x+1x，函数的图象为：B；当a=−1时，函数化为y=xx2−1=1x−1x，当x∈(0,1)时，y=x−1x为增函数且y<0，则函数y=1x−1x是减函数，f(0)=0，可知函数的图象为：A；故选D.12.答案：B解析：【分析】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解决本题的关键是构造法的运用，属于中档题．先构造函数F(x)=f(x)−x，根据条件求出函数F(x)的单调性，结合不等式f(2x)−2x<f(1)−1，变形得到F(2x)<F(1)，根据单调性解之即可．【解答】解：令F(x)=f(x)−x，则F′(x)=f′(x)−1<0，∴函数F(x)在R上单调递减函数，∵f(2x)<2x+1，∴f(2x)−2x<f(1)−1即F(2x)<F(1)根据函数F(x)在R上单调递减函数可知2x>1，，解得：x>12故选B．13.答案：2解析：【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，正确求导是解题的关键，属于基础题．求出函数的导数，可得切线的斜率．【解答】解：因为函数f(x)=(x+1)e x的导数为：f′(x)=(x+2)e x，可得函数图象在点(0,1)处的切线斜率为：(0+2)×e0=2，故答案为2．14.答案：1解析：【分析】本题主要考查平面向量共线的充要条件，属于基础题，根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得3a+1=4，解得a的值，即可得答案．【解答】,3a+1)，解：根据题意，向量m⃗⃗⃗ =(1,a)，n⃗=(4a若m⃗⃗⃗ //n⃗，3a+1=a×4，a解可得a=1．故答案为1．15.答案：12解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得新的解析式，再利用三角函数的图象的对称性求得ω的最小值．【解答】解：将函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位后，可得函数y=sin(ωx+πω3−π6)的图象；再根据所得图象关于直线x=π对称，可得ωπ+πω3−π6=kπ+π2，k∈Z，∴当k=0时，ω取得最小值为12，故答案为12．16.答案：9π解析：【分析】本题考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P−ABC视为正四棱柱的一部分，求出△ABC外接圆的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，V=13×12×1⋅PB⋅PC≤124(PB+PC)2=23，当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P−ABC视为正四棱柱的一部分，则CD=2R，即PA2+PB2+PC2=4R2=9，可得R=32，故球的表面积是：S=4π×94=9π，故答案为：9π．17.答案：解：(1)在2S n−S n−1=4中，a1=2令n=2时，则2(a1+a2)−a1=4,解得，令n=3时，则2(a1+a2+a3)−(a1+a2)=4，解得a3=12；(2)由2S n −S n−1=4，①得2S n−1−S n−2=4(n ∈N ∗,n ≥3)，② ①−②得a n =12a n−1(n ∈N ∗,n ≥3)， 又a 2=12a 1，所以数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列． 故a n =2×(12)n−1=(12)n−2． (3)证明：因为，所以b n b n+2=1n(n+2)=12(1n −1n+2)． 故数列{b n b n+2}的前n 项和T n =12[(1−13)+(12−14)+⋯+(1n −1n +2)]=12(1+12−1n +1−1n +2) =12(32−1n +1−1n +2) =34−12(1n+1+1n+2)<34．解析：本题考查数列的运算，数列的递推关系，等比数列的通项公式以及数列求和方法，属于中档题．(1)由2S n −S n−1=4，依次令n =2，3，即可求得a 2，a 3的值；(2)把2S n −S n−1=4中n 换成n −2，得到2S n−1−S n−2=4，两式相减得到a n =12a n−1，利用等比数列的通项公式求得数列{a n }的通项公式；(3)求出{b n }的通项，得到b n b n+2=1n(n+2)=12(1n −1n+2)，利用裂项相消法求和即可证得不等式．18.答案：解：(1)连接BD ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，且a =b ，c =BD ．在△BCD ，△ABC 中由余弦定理得：{c 2=a 2+b 2−2abcosC c 2=a 2+14b 2−abcosC ⇒cosC =34⇒sinC =√74； (2)令∠ADB =α，在△ABC 中有：c 2=a 2+a 2−2a 2×34=12a 2⇒c =√22a =√22b ， 则有：cosα=b 24+c 2−c 22×b 2×c =√24⇒sinα=√144⇒c =2Rsinα=√142(R 为△ABD 的外接圆半径)，则有：2R′=csinC =2√2⇒R′=√2(R′为△BDC 外接圆半径)．解析：本题考查三角形的解法，余弦定理以及应用，考查三角形的解法，是基本知识的考查． (1)连接BD ，在△BCD ，△ABC 中由余弦定理，转化求解求sin C ；(2)令∠ADB =α，在△ABC 中通过余弦定理，求出c 与a 的关系，求出c ，然后通过正弦定理求解△BDC 的外接圆半径．19.答案：解：(Ⅰ)根据表中数据，计算x =16×(1+2+3+4+5+6)=3.5，y =16×(12.6+12.7+13+13.1+13.2+13.4)=13，∑(6i=1x i −x)(y i −y)=(−2.5)×(−0.4)+(−1.5)×(−0.3)+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，∑(6i=1x i −x)2=(−2.5)2+(−1.5)2+(−0.5)2+0.52+1.52+2.52=17.5．∴b ∧=6i=1i −x)(y i −y)∑(6x −x)2=2.817.5=0.16，∴a ∧=y −b ∧x =13−0.16×3.5=12.44， ∴y 关于x 的线性回归方程为y ∧=0.16x +12.44； (Ⅱ)由(Ⅰ)知y ∧=0.16x +12.44，当x =8时，y ∧=0.16×8+12.44=13.72， 即该地区2019年化肥产量估计值为13.72万吨．解析：本题考查了线性回归方程的计算与应用问题，是基础题． (Ⅰ)根据表中数据计算x 、y ，求出回归系数，写出回归方程； (Ⅱ)利用回归方程计算x =8时y ∧的值即可．20.答案：解：(1)将点A(−1,32)、B(√3,−√32)代入椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 得{1a 2+94b 2=13a 2+34b 2=1⇒{a 2=4b 2=3 故椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1…………………………………………(5分)(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x 1+2x 2=0…………① 若直线l 的斜率存在，可设l ：y =kx +1 则由{x 24+y 23=1y =kx +1得(4k 2+3)x 2+8kx −8=0， ∴{x 1+x 2=−8k4k 2+3x 1x 2=−84k 2+3与①联立解得k =±12若直线l 的斜率不存在，则l ：x =0，∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+1,|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3−1，∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠2PD ⃗⃗⃗⃗⃗综上可知，直线l 的方程为y =±12x +1，即x −2y +2=0或x +2y −2=0……………………………………………………(12分)解析：(1)将点A(−1,32)、B(√3,−√32)代入椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，列出方程，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，通过CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，推出x 1+2x 2=0，若直线l 的斜率存在，可设l ：y =kx +1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．21.答案：解：(1)当a =0时，f(x)=xlnx +b ，∴ f′(x)=1+lnx ≥0在[1e ,+∞)上恒成立， ∴f(x)在[1e ,+∞)上单调递增， ∴f(x)min =f(1e)=−1e+b ．当−1e +b ≤0，即b ≤1e 时，函数有唯一的零点； 当−1e +b >0，即b >1e 时，函数没有零点． (2)∵f′(x)=lnx +x−a x , x ∈(1,e)，令，∴g′(x)=1x +ax 2>0 恒成立， ∴g(x)在(1,e)上单调递增，∴当1<x <e 时，g(x)>g(1) = 1−a ， g(x)<g(e) =2−ae ， ∵函数f(x)在(1,e)上有极小值，∴{g (1)=1−a <0g (e )=2−a e >0 ， 解得1<a <2e ． 故实数a 的取值范围为(1,2e)．解析：本题主要考查利用导数研究函数极值、最值、零点个数问题，属于中档题． (1)先求导，求出最小值，再根据最小值和0的关系分类讨论可得到函数零点个数； (2)函数在(1,e)上有极小值时，函数不单调，构造函数，得到函数在(1,e)上单调递增，从而得到不等式组，求解即可．22.答案：解：(Ⅰ)由C 1：x +y =4，得直线C 1的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=4，由C 2：{x =1+cosθy =sinθ，得(x −1)2+y 2=1，即x 2+y 2=2x ，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ； (Ⅱ)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，−π4<α<π2， 则ρ1=4cosα+sinα，ρ2=2cosα，|OB||OA|=ρ2ρ1=14⋅2cosα(cosα+sinα)=14(cos2α+sin2α+1)=14[√2cos(2α−π4)+1]， ∵−π4<α<π2，∴−√22<cos(2α−π4)≤1， ∴0<14[√2cos(2α−π4)+1]≤14(√2+1)．∴|OB||OA|的取值范围是(0,14(√2+1)].解析： 【分析】(Ⅰ)直接化C 1的普通方程为极坐标方程，化C 2的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程； (Ⅱ)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，−π4<α<π2，则ρ1=4cosα+sinα，ρ2=2cosα，代入|OB||OA|，整理后利用三角函数的最值得答案．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查三角函数最值的求法，是中档题．23.答案：解：(1)a =2时，不等式xf(x)<x 可化为{x ≥2(x −2)x <x ①或{x <2−x(x −2)<x ②； 解①得2≤x <3， 解②得x <0或1<x <2；综上，原不等式的解集为{x|x <0或1<x <3}；(2)f(x)+f(x +2a)≥|a|−|a −1|+3对任意的实数x 恒成立， 可化为|x −a|+|x +a|≥|a|−|a −1|+3对任意的实数x 恒成立， ∵|x −a|+|x +a|≥|2a|， ∴|2a|≥|a|−|a −1|+3， ∴|a|+|a −1|≥3；a <0时，不等式化为−a −a +1≥3，解得a ≤−1； 0≤a ≤1时，不等式化为a −a +1≥3，不成立； a >1时，a +a −1≥3，解得a ≥2；综上，实数a 的取值范围是a ≤−1或a ≥2．解析：(1)a =2时不等式xf(x)<x 化为{x ≥2(x −2)x <x 或{x <2−x(x −2)<x ；求出不等式组的解集，再求并集；(2)由题意可化为|x −a|+|x +a|≥|a|−|a −1|+3对任意的实数x 恒成立，根据绝对值不等式|x −a|+|x +a|≥|2a|，得出|2a|≥|a|−|a −1|+3，求绝对值不等式的解集即可．本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。