2017-2018学年北京市丰台区高一(上)期中数学试卷(a卷)

1.向一定量的溶液中逐滴加入稀硫酸，直至过量，整个过程中混合溶液的导电能力（用电流表示）可近似的用下图中的曲线表示是()【答案】C【解析】解：开始时溶液中的溶质为，溶液具有导电性，加入稀硫酸时发生反应，随着稀硫酸的加入，溶液中的离子浓度不断减小，故导电性减弱，完全反应后溶液基本不导电，再加入稀硫酸，则为加入的硫酸导电，故导电能力又增强。

【来源】2014河南省开封市联考2.在下列液体中，分别加入晶体，溶液导电性变化较大的是()A. 自来水B. 盐酸C. 溶液D. 溶液【答案】A D【解析】A项中自来水导电能力很差，加入强碱后导电能力大增；B和C项原来导电能力就很强，加入强碱，生成的盐的导电能力与酸的导电能力相同，溶液的导电能力几乎不变；D项中两种均易导电的物质混合后，导电能力大增。

3.相同温度下，下列物质中导电性最强的是()A. 溶液B. 溶液C. 氨水D. 固体氯化钠【答案】B【解析】解：A、溶液中，钠离子和氯离子的浓度分别是、；B、溶液中，镁离子和硫酸根离子的浓度分别是、，C、氨水中，铵根离子和氢氧根离子的浓度均小于；D、固体中离子在静电作用的束缚下不能自由移动，所以不导电；所以自由移动离子浓度最大、离子所带的电荷数最多的是，即中物质导电能力最强。

4.某溶液中含，加入下列物质，溶液导电性增强的是()A. 固体B. 水C. 酒精D. 固体【答案】D【解析】解：离子浓度越大，离子所带电荷数越多，则溶液导电性越强，则A.与恰好反应生成硫酸钡沉淀和水，离子浓度为零，导电性变为零，故A错误；B.加入水，离子浓度减小，导电性减弱，故B错误；C.加入酒精，离子浓度减小，导电性减弱，故C错误；D.加入，离子浓度增大，导电性增强，故D正确；故选：D。

5.某学生利用如图所示装置对电解质溶液导电性进行实验探究。

下列说法中正确的是()A. 闭合开关后，电流计指针不发生偏转，证明酒精溶液是非电解质B. 闭合开关，往溶液中通入氯气，随着气体通入，电流计示数增大，故氯气是电解质C. 取用的蔗糖溶液替换酒精溶液，电流计的示数相同，说明蔗糖是非电解质D. 闭合，往烧杯中加固体，虽然固体溶解，由于不反应，故电流计指针不发生偏转【答案】C【解析】A．当开关闭合后，电流计指针不发生偏转，说明不能形成闭合回路，证明酒精溶液不导电，酒精才是非电解质，故A错误；B．闭合开关，往溶液中通入氯气，氯气与水反应生成盐酸和次氯酸，这两种酸电离出阴阳离子，随着气体通入，离子浓度增大，导电性增强，电流计示数增大，而氯气是单质，导电是两种酸电离的缘故，所以不能得出氯气是电解质的结论，氯气既不是电解质也不是非电解质，故B错误；C．取用的蔗糖溶液替换酒精溶液，电流计的示数相同，说明不能形成闭合回路，证明蔗糖溶液不导电，是因为蔗糖溶液中只存在分子，蔗糖是化合物且不能电离，则蔗糖是非电解质，故C正确；D ．闭合开关，往烧杯中加入固体，氯化钠溶于水，电离出阴阳离子，混合溶液能导电，所以电流计指针发生偏转，故D错误。

高一数学 期中测试卷试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（I ）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，则A B =A ．{2}B ．{1,2,4}C ． {1,2,4,6}D ．{2,4}2．函数y =A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞ 3．43662log 2log 98+-=A ．14B ．14-C ．12D ． 12-4．若函数2312()325x x f x x x ⎧--≤≤=⎨-<≤⎩，则方程()1f x =的解是A 2B 3C 4D 45．若函数3()f x x =，则函数)2(x f y -=在其定义域上是A ．单调递增的偶函数B ．单调递增的奇函数C ．单调递减的偶函数D ．单调递减的奇函数6．若432a =，254b =，3log 0.2c =，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<7．函数2343x x y -+-=的单调递增区间是A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[1,2]D ．[1,3]8．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s （千米）与行进时间x （秒）的函数图象的示意图，你认为正确的是9．已知(10)x f x =，则(5)f =A ．510B ．105C ．5log 10D ．lg 510．某同学在研究函数()||1xf x x =+()x ∈R 时，分别给出下面几个结论：①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 的值域为()1 1-，； ③函数()f x 在R 上是增函数； 其中正确结论的序号是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二．填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．若集合[0,2]A =，集合[1,5]B =，则A B = ． 12．函数24xy =-的零点是 ．13．函数3()log (21)f x x =-（[1,2]x ∈）的值域为 ．14．函数()31f x x =-，若[()]23f g x x =+，则一次函数()g x = ． 15．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠的反函数的图象过点)1,2(-，则a = ．16．若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值范围是 ．三．解答题（本大题共3小题，共26分） 17．（本小题满分6分）已知：函数()(2)()f x x x a =-+（a ∈R ），()f x 的图象关于直线1x =对称． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,3]上的最小值．18．（本小题满分10分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比. 已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：（Ⅰ）分别写出两类产品的收益y （万元）与投资额x （万元）的函数关系；（Ⅱ）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？19．（本小题满分10分）已知：函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--（0a >且1a ≠）. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明； （Ⅲ）设12a =，解不等式()0f x >.卷（II ）1．设集合2{|0}A x x x =-=，{|20}B x x =-=，则2{|()(2)0}x x x x --≠=A ．()AB R ð B ．()A B R ðC ．()A B R ðD ．()A B R ð 2．已知函数21311()log [()2()2]33x x f x =-⋅-，则满足()0f x <的x 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞-D ．(1,)-+∞3．下表是某次测量中两个变量x ，y 的一组数据，若将y 表示为关于x 的函数，则最可能的函数模型是A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．指数函数模型D ．对数函数模型 4．用二分法求方程21x +=已经确定有根区间为(0,1)，则下一步可确定这个根所在的区间为 ．5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，如果函数()()g x f x m =-恰有4个零点，则实数m 的取值范围是 ．6．函数()log (1)x a f x a x =++（0a >且1a ≠）在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值是 ．7．已知函数c bx x x f +-=2)(，若(1)(1)f x f x -=+，且3)0(=f ． （Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）试比较()m f b 与()m f c （m ∈R ）的大小．8．集合A 是由满足以下性质的函数()f x 组成的：对于任意0x ≥，()[2,4]f x ∈-且()f x 在[0,)+∞上是增函数．（Ⅰ）试判断1()2f x =与21()46()2x f x =-⋅（0x ≥）是否属于集合A ，并说明理由；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中你认为属于集合A 的函数()f x ，证明：对于任意的0x ≥，都有()(2)2(1)f x f x f x ++<+．答题纸班级姓名成绩卷（I）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）三．解答题（本大题共3小题，共26分）17．（本小题满分6分）18．（本小题满分10分）19．（本小题满分10分）班级姓名成绩卷（II）一．选填题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）二．解答题：（本大题共2小题，共20分）7．（本小题满分10分）8．（本小题满分10分）参考答案卷（I）C A B CD B AC D D11．[1,2]；12．2；13．[0,1]；14．3432+x ；15．12；16．(0,1)； 17．解： 2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=---，（Ⅰ）函数()f x 图象的对称轴为212ax -==，则0a =； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得22()2(1)1f x x x x =-=--，因为1[0,3]x =∈，所以min ()(1)1f x f ==-． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分18．解：（Ⅰ）投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y kx =（0x >），由题知，当1x =时，0.125y =，则0.125k =，即0.125y x =， ┈┈┈┈┈┈2分投资股票类风险型产品的收益满足函数：y k =0x >），由题知，当1x =时，0.5y =，则0.5k =，即y = ┈┈┈┈┈┈┈4分（Ⅱ）设投资债券类稳健型产品x 万元（020x ≤≤），则投资股票类风险型产品20x -万元，由题知总收益0.125y x =+020x ≤≤）， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分令t =0t ≤≤，则220x t =-，22211510.125(20)0.5(2)38228y t t t t t =-+=-++=--+，当2t =，即16x =时，max 3y =（万元） ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分19．解：（Ⅰ）由题知：1010x x +>⎧⎨->⎩， 解得：11x -<<，所以函数()f x 的定义域为(1,1)-；┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（Ⅱ）奇函数，证明：因为函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以对任意(1,1)x ∈-，()log (1)log (1())[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+---=-+--=-所以函数()f x 是奇函数； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分（Ⅲ）由题知：1122log (1)log (1)x x +>-，即有101011x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得：10x -<<，所以不等式()0f x >的解集为{|10}x x -<<． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分卷（II ）D C D 4．1(0,)2；5．10m -<<；6．12； 7．解：（Ⅰ）由已知，二次函数的对称轴12bx ==，解得2b =， 又(0)3f c ==，综上，2b =，3c =； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()23f x x x =-+，所以，()f x 在区间(,1)-∞单调递减，在区间(1,)+∞单调递增.当0m >时，321m m >>，所以(2)(3)m mf f <.当0m =时，321m m ==，所以(2)(3)m mf f =.当0m <时，321m m <<，所以(2)(3)m mf f > ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分8．解：（Ⅰ）1()f x A ∉，2()f x A ∈，理由如下：由于1(49)54f =>，1(49)[2,4]f ∉-，所以1()f x A ∉. 对于21()46()2x f x =-⋅（0x ≥）， 因为1()2x y =在[0,)+∞上是减函数，且其值域为(0,1]， 所以21()46()2x f x =-⋅在区间[0,)+∞上是增函数.所以2()(0)2f x f =-≥，且21()46()42x f x =-⋅<， 所以对于任意0x ≥，()[2,4]f x ∈-.所以2()f x A ∈ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，2131(2)46()4()222x x f x ++=-⋅=-⋅，111(1)46()43()22x x f x ++=-⋅=-⋅， 所以2(1)[()(2)]f x f x f x +-++11312[43()][46()4()]2222x x x =-⋅--⋅+-⋅31()022x =⋅>， 所以对于任意的0x ≥，都有()(2)2(1)f x f x f x ++<+. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分。

2023-2024学年北京市丰台区高一（上）期中数学试卷（A 卷）一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x ＜3}，则（ ） A ．2∈AB ．3∈AC ．0∉AD ．∅∈A2．命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定为（ ） A ．“∀x ≤2，x 2≥4” B ．“∃x 0＜2，x 02＜4” C ．“∀x ≥2，x 2＜4”D ．“∃x 0≥2，x 02＜4”3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝﹣|x |B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y =−1x4．下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＞b ，则a ﹣1＜b ﹣2 C ．若a c 2＞b c 2，则a ＞bD ．若a ＞b ，则a 2＞b 25．已知幂函数y ＝f （x ）的图象经过点(2，√2)，则f （4）等于（ ） A ．2B ．﹣2C ．√2D ．46．设x ∈R ，则“2﹣x ≥0”是“|x +1|≤1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．若指数函数f （x ）＝a x 的图象和函数g （x ）＝3x +5（x ≥﹣1）的图象相交，则（ ） A ．a ∈(0，12]B ．a ∈[12，1)C ．a ∈[12，1）∪（1，+∞）D ．a ∈（0，12]∪（1，+∞）9．如图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（ ）A ．y ＝|x |√4−x 2B ．y ＝x √4−x 2C ．y =√−x 2+2|x|D ．y =√−x 2+2x10．设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为X A ＝M ﹣m ，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知A 1，A 2，A 3，…，A n 是集合N *的元素个数均不相同的非空真子集，且X A 1+X A 2+X A 3+⋯+X A n =60，则n 的最大值为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11．函数f(x)=√x +3+1x−1的定义域是 ． 12．求值：−4−12−(278)13−（π﹣3）0＝ ．13．当x ＞3时，则y =x +4x−3的最小值为 ，当y 取得最小值时x 的值为 ． 14．写出一个使得命题“∀x ∈R ，ax 2﹣2ax +3＞0恒成立”是假命题的实数a 的值： ． 15．函数f （x ）的定义域为R ，且∀x ∈R ，都有f(−x)=1f(x)，给出下列四个结论： ①f （0）＝1或﹣1； ②f （x ）一定不是偶函数；③若f （x ）＞0，且f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ④若f （x ）有最大值，则f （x ）一定有最小值． 其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤4}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m ﹣3}． （Ⅰ）若m ＝4，求∁R A ，A ∩B ，A ∪B ； （Ⅱ）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 17．（14分）已知函数f(x)={−x +1，x ≤02x ，x ＞0．（Ⅰ）求f(f(−12))的值；（Ⅱ）画出函数f （x ）的图象，根据图象写出函数f （x ）的单调区间； （Ⅲ）若f （x ）≤8，求x 的取值范围．18．（14分）已知函数f(x)=4x +1x．（Ⅰ）判断函数f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）判断函数f （x ）在区间[12，+∞)上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）已知函数g(x)={f(x)，x ＞0，5，x =0，−f(x)，x ＜0，当x ∈[−14，t]时，g （x ）的值域为[5，+∞），求实数t 的取值范围．（只需写出答案）19．（15分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣（3a +1）x +3，a ∈R ．（Ⅰ）若f （x ）＞0的解集是{x |1＜x ＜k }，求函数f （x ）的零点； （Ⅱ）求不等式f （x ）＞0的解集．20．（14分）某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n 年（n ∈N *）的材料费、维修费、人工工资等共(52n 2+5n)万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n 年的总盈利额为f （n ）万元．（Ⅰ）写出f （n ）关于n 的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； （Ⅱ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理． 问选择哪种处理方案更合适？请说明理由．21．（15分）对于函数f（x），若f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的“不动点”；若f[f（x0）]＝x0，则称x0为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f[f（x）]＝x}．（1）设函数f（x）＝3x+4，求集合A和B；（2）求证：A⊆B；（3）设函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），且A＝∅，求证：B＝∅．2023-2024学年北京市丰台区高一（上）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1．已知集合A＝{x∈Z|x＜3}，则（）A．2∈A B．3∈A C．0∉A D．∅∈A解：集合A＝{x∈Z|x＜3}，则2∈A，3∉A，0∈A，∅⊆A．故选：A．2．命题“∀x≥2，x2≥4”的否定为（）A．“∀x≤2，x2≥4”B．“∃x0＜2，x02＜4”C．“∀x≥2，x2＜4”D．“∃x0≥2，x02＜4”解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，命题“∀x≥2，x2≥4”的否定为：“∃x0≥2，x02＜4”．故选：D．3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣|x|B．y＝x2C．y＝x3D．y=−1x解：函数y＝x3和函数y=−1x是奇函数，不符合题意，CD选项错误．函数y＝﹣|x|是偶函数，且在（0，+∞）上递减，不符合题意，A选项错误．函数y＝x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意，B选项正确．故选：B．4．下列说法正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣2C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则a2＞b2解：对于A，当c＝0时，则a＞b时，ac2＝bc2，A错误；对于B，若a＞b，则a﹣1＞b﹣1＞b﹣2，B错误；对于C，若ac2＞bc2，则c≠0，即c2＞0，故a＞b，C正确；对于D，若a＞b，不妨取若a＝﹣1＞b＝﹣2，则a2＜b2，D错误．故选：C．5．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点(2，√2)，则f（4）等于（）A ．2B ．﹣2C ．√2D ．4解：设幂函数y ＝f （x ）＝x α，根据它的图象经过点(2，√2)， 可得2α=√2，∴α=12，f （x ）=x 12=√x ，则f （4）=√4=2． 故选：A ．6．设x ∈R ，则“2﹣x ≥0”是“|x +1|≤1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由2﹣x ≥0得x ≤2， 由|x +1|≤1得﹣1≤x +1≤1， 得﹣2≤x ≤0．则“2﹣x ≥0”是“|x ﹣1|≤1”的必要不充分条件， 故选：B ．7．设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：①中，因为在集合M 中当1＜x ≤2时，在N 中无元素与之对应，所以①不是； ②中，对于集合M 中的任意一个数x ，在N 中都有唯一的数与之对应，所以②是； ③中，x ＝2对应元素y ＝3∉N ，所以③不是；④中，当x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②满足题意． 故选：B ．8．若指数函数f （x ）＝a x 的图象和函数g （x ）＝3x +5（x ≥﹣1）的图象相交，则（ ） A ．a ∈(0，12]B ．a ∈[12，1)C ．a ∈[12，1）∪（1，+∞）D ．a ∈（0，12]∪（1，+∞）解：由g （x ）＝3x +5（x ≥﹣1），当a ＞1时，指数函数f （x ）＝a x 的单调递增，且递增幅度比一次函数递增的快，所以指数函数f （x ）＝a x 的图象和函数g （x ）＝3x +5（x ≥﹣1）的图象一定会相交， 当0＜a ＜1时，指数函数f （x ）＝a x 在R 上单调递减， 所以只需a ﹣1≥g （﹣1）＝3×（﹣1）+5＝2＝（12）﹣1即可，可得0＜a ≤12，所以a 的范围为（0，12]∪（1，+∞）．故选：D ．9．如图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（ ）A ．y ＝|x |√4−x 2B ．y ＝x √4−x 2C ．y =√−x 2+2|x|D ．y =√−x 2+2x解：由已知图象可得“心形”上部分的函数的图象关于y 轴对称， 则y ＝x √4−x 2和y =√−x 2+2x 都不满足要求；而y ＝|x |√4−x 2的图象过（0，0），（﹣2，0），（2，0），但0＜x ＜2时，y ＝x √4−x 2≤x 2+4−x 22=2， 当且仅当x =√2时，y 取得最大值2，故A 不满足要求；由y =√−x 2+2|x|的图象过（0，0），（﹣2，0），（2，0），且0＜x ＜2时，y =√2x −x 2=√−(x −1)2+1≤1， 当且仅当x ＝1时，y 取得最大值1，故C 满足要求． 故选：C ．10．设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为X A ＝M ﹣m ，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知A 1，A 2，A 3，…，A n 是集合N *的元素个数均不相同的非空真子集，且X A 1+X A 2+X A 3+⋯+X A n =60，则n 的最大值为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13解：由题设A 1，A 2，A 3，…，A n 中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使n 最大，则各集合中X A n =M −m （n ∈N *）尽量小，所以集合A 1，A 2，A 3，…，A n 的元素个数尽量少且数值尽可能连续，所以不妨设X A 1=0，X A 2=1，X A 3=2，⋯，X A n =n −1，有X A 1+X A 2+X A 3+...+X A n =n(n−1)2， 当n ＝11时，X A 1+X A 2+X A 3+...+X A n =55＜60， 当n ＝12时，X A 1+X A 2+X A 3+...+X A n =66＞60，只需在n ＝11时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故n 的最大值为11． 故选：B ．二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11．函数f(x)=√x +3+1x−1的定义域是 {x |x ≥﹣3且x ≠1} ． 解：使得函数有意义的x 满足{x +3≥0x −1≠0⇒x ≥﹣3且x ≠1．函数的定义域是{x |x ≥﹣3且x ≠1}． 故答案是{x |x ≥﹣3且x ≠1}． 12．求值：−4−12−(278)13−（π﹣3）0＝ ﹣3 ．解：−4−12−(278)13−（π﹣3）0=−12−32−1＝﹣3． 故答案为：﹣3．13．当x ＞3时，则y =x +4x−3的最小值为 7 ，当y 取得最小值时x 的值为 5 ． 解：因为x ＞3，所以x ﹣3＞0，所以y =x +4x−3=x ﹣3+4x−3+3≥2√(x −3)⋅4x−3+3＝7， 当且仅当x ﹣3=4x−3，即x ＝5时取等号， 故答案为：7，5．14．写出一个使得命题“∀x ∈R ，ax 2﹣2ax +3＞0恒成立”是假命题的实数a 的值： ﹣1 ． 解：命题“ax 2﹣2ax +3＞0恒成立”是假命题，即“∃x ∈R ，ax 2﹣2ax +3≤0成立”是真命题 ①． 当a ＝0时，①不成立，当a ≠0 时，要使①成立，必须a ＜0，或{a ＞04a 2−12a ≥0，∴a ＜0或a ≥3 故答案为：﹣1．15．函数f （x ）的定义域为R ，且∀x ∈R ，都有f(−x)=1f(x)，给出下列四个结论： ①f （0）＝1或﹣1； ②f （x ）一定不是偶函数；③若f （x ）＞0，且f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ④若f （x ）有最大值，则f （x ）一定有最小值． 其中，所有正确结论的序号是 ①③ ． 解：因为∀x ∈R ，都有f(−x)=1f(x)， 所以f(0)=1f(0)，即f （0）＝1或﹣1，故①正确； 不妨取f （x ）＝1，则f(−x)=1f(x)=1，即f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，所以f （x ）是偶函数，故②错误； 设∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，则﹣x 2＜﹣x 1＜0，所以f （﹣x 2）＜f （﹣x 1），即0＜1f(x 2)＜1f(x 1)，所以f （x 1）＜f （x 2），即f （x ）在（0，+∞）上单调递增，故③正确；不妨取f(x)={ x ，x ＜01，x =0−1x ，x ＞0，则满足f(−x)=1f(x)，函数有最大值1，但是无最小值，故④错误．故答案为：①③．三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤4}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m ﹣3}． （Ⅰ）若m ＝4，求∁R A ，A ∩B ，A ∪B ； （Ⅱ）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 解：（I ）当m ＝4时，B ＝{x |3＜x ＜5}， 因为A ＝{x |﹣1≤x ≤4}， 所以∁R A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞4}， A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}， A ∪B ＝{x |﹣1≤x ＜5}；（II ）因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ， 若B ＝∅，则m ﹣1⩾2m ﹣3，解得m ≤2；若B ≠∅，则{m −1＜2m −3m −1≥−12m −3≤4，解得2＜m ⩽72；综上得实数m 的取值范围是{m |m ≤72}． 17．（14分）已知函数f(x)={−x +1，x ≤02x，x ＞0．（Ⅰ）求f(f(−12))的值；（Ⅱ）画出函数f （x ）的图象，根据图象写出函数f （x ）的单调区间； （Ⅲ）若f （x ）≤8，求x 的取值范围．解：（ I ）由函数f(x)={−x +1，x ≤02x，x ＞0，可得f(−12)=12+1=32，f(f(−12))=f(32)=232． （ II ）f(x)={−x +1，x ≤02x，x ＞0，所以f （x ）的图象如下图所示：由图可知，f （x ）的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞）；（ III ）由函数f(x)={−x +1，x ≤02x ，x ＞0， 可得{x ≤0−x +1≤8⇒−7≤x ≤0，{x ＞02x ≤8⇒0＜x ≤3， 由图象可知，满足f （x ）≤8的x 的取值范围是[﹣7，3]．18．（14分）已知函数f(x)=4x +1x ．（Ⅰ）判断函数f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）判断函数f （x ）在区间[12，+∞)上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）已知函数g(x)={f(x)，x ＞0，5，x =0，−f(x)，x ＜0，当x ∈[−14，t]时，g （x ）的值域为[5，+∞），求实数t 的取值范围．（只需写出答案）解：（I ）函数f(x)=4x +1x 为奇函数．证明：函数f(x)=4x +1x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以x ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，﹣x ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f(−x)=4(−x)+1(−x)=−(4x +1x )=−f(x)，所以，函数f(x)=4x +1x 为奇函数．（II ）函数f （x ）在区间[12，+∞)上单调递增．任取x 1，x 2∈[12，+∞)，12≤x 1＜x 2， 则f(x 2)−f(x 1)=(4x 2+1x 2)−(4x 1+1x 1) =4(x 2−x 1)−x 2−x1x 1x 2 =(x 2−x 1)⋅4x 1x 2−1x 1x 2， 因为x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0，4x 1x 2﹣1＞0，所以f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），所以函数f （x ）在区间[12，+∞)上单调递增．（Ⅲ）函数g(x)={f(x)，x ＞0，5，x =0，−f(x)，x ＜0，的图象如图：由图可得实数t的取值范围为：[0，14 ]．19．（15分）已知函数f（x）＝ax2﹣（3a+1）x+3，a∈R．（Ⅰ）若f（x）＞0的解集是{x|1＜x＜k}，求函数f（x）的零点；（Ⅱ）求不等式f（x）＞0的解集．解：（Ⅰ）因为f（x）＞0的解集是{x|1＜x＜k}，所以1是ax2﹣（3a+1）x+3＝0的一个根，所以a﹣（3a+1）+3＝0，解得a＝1，所以f（x）＝x2﹣4x+3．令f（x）＝x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以f（x）的零点为1和3；（Ⅱ）因为f（x）＞0，即ax2﹣（3a+1）x+3＞0，所以（ax﹣1）（x﹣3）＞0，当a＝0时，﹣x+3＞0，解得x＜3，当a≠0时，方程（ax﹣1）（x﹣3）＝0的两根为x1=1a，x2=3，当a＜0时，y＝f（x）开口向下，x1＜x2，解得1a＜x＜3，当0＜a＜13时，y＝f（x）开口向上，x1＞x2，解得x＜3或x＞1a，当a=13时，y＝f（x）开口向上，x1＝x2，解得x≠3，当a＜0时，y＝f（x）开口向上，x1＜x2，解得x＜1a或x＞3，综上所述，当a＝0时，解集为{x|x＜3}；当a＜0时，解集为{x|1a＜x＜3}；当0＜a＜13时，解集为{x|x＜3或x＞1a}；当a=13时，解集为{x|x≠3}；当a＜0时，解集为{x|x＜1a或x＞3}．20．（14分）某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n 年（n ∈N *）的材料费、维修费、人工工资等共(52n 2+5n)万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n 年的总盈利额为f （n ）万元．（Ⅰ）写出f （n ）关于n 的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利；（Ⅱ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．问选择哪种处理方案更合适？请说明理由．解：（I ）由前n 年的总盈利额为n 年的总收入减去投入的资金和前n 年（n ∈N *）的材料费、维修费、人工工资等，可得f(n)=55n −(52n 2+5n)−90=−52n 2+50n −90，n ∈N *；当f （n ）＞0时，即−52n 2+50n −90＞0时，2＜n ＜18，该设备从第3年开始使企业盈利；（II ）方案一：总盈利额f(n)=−52n 2+50n −90=−52(n −10)2+160，当n ＝10时，f （n ）max ＝160，所以方案一总利润为160+10＝170万元，此时n ＝10；方案二：每年平均利润为f(n)n =50−52(n +36n )≤50−52×2√36=20，当且仅当n ＝6时，等号成立．所以方案二总利润为6×20+50＝170，此时n ＝6．比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年， 故应选择第二种方案更合适．21．（15分）对于函数f （x ），若f （x 0）＝x 0，则称x 0为f （x ）的“不动点”；若f [f （x 0）]＝x 0，则称x 0为f （x ）的“稳定点”．函数f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ＝{x |f （x ）＝x }，B ＝{x |f [f （x ）]＝x }．（1）设函数f （x ）＝3x +4，求集合A 和B ；（2）求证：A ⊆B ；（3）设函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），且A ＝∅，求证：B ＝∅．解：（1）令f （x ）＝3x +4＝x ，解得x ＝﹣2，故有A ＝{﹣2}由于f [f （x ）]＝3（3x +4）+4＝9x +16，令9x+16＝x，得x＝﹣2，故有B＝{﹣2}（2）若A＝∅，则A⊆B显然成立；若A≠∅，设t∈A，则f（t）＝t，f（f（t））＝f（t）＝t，∴t∈B，故A⊆B．（3）若B≠∅．则f[f（x）]＝x有解，故f（x）＝x有解，即A≠∅，这与A＝∅矛盾，故B＝∅．。

丰区台2017-2018学年度第一学期期中考试联考高一数学（A 卷）考试时间：90分钟第I 卷（选择题共40分）・.选择题共 10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合丄2叭则如养（)A .创 B. {0丄2〕C . {-W )D . {70丄 2}丿=1站］尢2•在同一坐标系中，函数*一「与 -的图象之间的关系是（C . -■A .关于y 轴对称B .关于x 轴对称C.关于原点对称D .关于直线y=x 对称3.下列函数中是偶函数，且在区间（ 0, 1）上单调递增的是（A .孑何=-护+ 2B ./⑴二尹 C4 .下列各式中错误的是（）D .A . 30.8>30.7B . Iogo.50.4>logo.50.6 D .5 .设为常数，函数y(j) = ?-4^+3 y （畫+町为偶函数，则 等于（A .B . C. D .7 •一种放射性元素，每年的衰减率是 8%,那么二千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的-半）所需的时间 :等于（）! 05】0 92 IgO.Slg 193A .B . 1匸C4」一D . lgO.S8.设」是定义在 R 上的奇函数，当 ^卜2』）时，/W-2*-•，贝卜、的值等于（)33 11A .B. 2C.-D .75 B.- C.'或 J 匚； D .或—-229. 设•’「是定义在 R 上的偶函数，且 八丿在 丿为增函数,■ - =0,则不等式"'3的解集为（）10.己知图①中的图象对应的函数为 I -「，则图②的图象对应的函数的解析式为（的图象如右图所示，则函“ '>■:厂（其中•一 ：）A.-一[-1, o I U[l,-bOO IB.-D .A .y = fd^l)B.y=/(-I^D D .丿 一/W)；第U 卷(非选择题共60分)填空题共6小题，每小题4分，共24分.13•函数■-['< '''的定义域为A ,函数V —八「值域为B ,则 u - ___________ .14. 已知函数 〔爪+ "<2,则心&3)=_,15. 已知函数-满足?' ' ' __________ I ,且-'」_ ,则门I =.16. 设全集 -'_…」，用丁的子集可表示由组成的6位字符串，如：」’'表示的 是第2个字符为1,第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的 字符串为000000 . (1 )若1,1- ' 1'，则'''表示6位字符串为 ________________ .(2)若’'',集合二-- 表示的字符串为101001,则满足条件的集合丘的个数为 _______ 个•三•解答题本大题共4小题，共36分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明 过程•17 .(本小题9分)12.已知幕函数的图象经过点，则函数解析式已知全集u=R,集合A={r\-2<r<2}t B = (r|x>l) , C={x\^c](I)求，」；(n)求(川)若，求；的取值范围.18. (本小题9分)已知函数'I(I)用分段函数的形式表示函数"1■■;(n)在坐标系中画出函数丿的图象；g(i)-106i 工(川)在同一坐标系中，再画出函数，的图象(不用列表)，观察图象直接写出不等式■''''：'的解集.19. (本小题9分)已知函数(I)求u 1■-的值;(n)判断函数在一八上的单调性，并用定义加以证明.(川)确定二的取值范围，使得函数的图象在*轴上方.(写出结论即可)KS5UKS5U.KS5U20. （本小题9分）某旅游公司为入境游外国游客提供移动WIFI租赁服务，每台设备押金800元，最多租借30天，丢失或逾期未还押金不退•收费标准如下：租借10天以内（含10 天），按每台每天40元收费（不足一天按一天收费）；租借10天以上的部分采取优惠政策，每多租借1天, 这部分的平均日租费用减少2元，如：租借一台设备12天，则前10天按每天40元收费，后2天的平均日租费用为 1 1：----元，所以后2天按每天36元收费.（I）若某客户租借一台设备X天（1二二-小---"）,写出应收费用y关于x的函数关系式；（H）客户租借一台设备多少天时，该公司所获租借费用最高？最高为多少元？（考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上做答无效）KS5UKS5U丰台区2017—2018学年度第一学期期中联考高一数学（A卷）参考答案、选择题（每小题4分，共40 分）1 ^2KS5UKS3US5U]3 4 5 6 7 8 9 10 ABCDBCCBDC12.A''114.18.（本小题9分）fk<0I 2，（n ）略;（川）-19.（本小题9分）解：（I ）因为-... 1分13. 15.二注：16题每空2分 、解答题（共36 分） 17.（本小题9分） 解：（I ）j4UB={r|r>-2}^(JtnB)= ；x|r <lSr>2]16. (1) 100110; (2) 4..... 分 ..... 分..... 分（川）因为■「「所以 :1-1当- = -：时，小 :'>'所以c 的取值范围是解:Z（/（3）*=/ - =3所以• ■…•…£分（n ）函数在 •上单调递减证明：设 n 是|上的任意两个实数，且-（兀）=」〒—二y珂一 1 X. - 1_羽（勺一1）—画（无―1） （巧一1）（西-1） （注1—1）（花-1）由"£（*'，得庞-1啦-l ）＞0， 由% 5，得/两沁,JU k _ JC由单调性的定义可知 J'——I 在 ^上是减函数 (III ) …「：: I ,；<T<10+ S0z- 200r 10 <z^30 y =-2(7-20^ + 600所以当客户租借一台设备20天时，该公司所获租借费用最高，最高为600 丿元。

北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合}2,1,0{=A ，}3,2{=B ，则集合=B AA. }3,2,1{B. }3,2,1,0{C. }2{D. }3,1,0{2. 下列函数中，在其定义域内是减函数的是A. 3x y =B. 2x y =C. 1+-=x yD. xy 2= 3. 若0<a ，10<<b ，则有A. 2ab ab a >>B. a ab ab >>2C. 2ab a ab >>D. a ab ab >>2 4. “a=0”是“21)(x ax x f -=为奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 下列不等式中，不正确的是A. 21≥+x xB. 012>++x xC. 254522≥++x x D. 若3>x ，则531≥-+x x 6. 函数q px x x f ++=2)(满足对任意的x ，均有)1()1(x f x f -=+，那么)0(f ，)1(-f ，)1(f 的大小关系是A. )0()1()1(f f f <-<B. )1()1()0(f f f <-<C. )1()0()1(-<<f f fD. )1()0()1(f f f <<-7. 若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到0.1）为 A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.58. 已知)(x f 为定义在[-1，1]上的奇函数，且)(x f 在[0，1]上单调递减，则使不等式0)31()(<-+x f x f 成立的x 的取值范围是A. )21,(-∞ B. )21,0[ C. 21,31[ D. ),21(+∞ 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）2015°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣23．（5分）集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．M∩（N∪P）B．M∩∁U（N∪P） C．M∪∁U（N∩P） D．M∪∁U（N∪P）4．（5分）在直径为4cm的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm5．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1 7．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]8．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．129．（5分）f（x）为定义域R，图象关于原点对称，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b （b为常数），则x＜0时，f（x）解析式为（）A．f（x）=2x﹣2x﹣1 B．f（x）=﹣2﹣x+2x+1 C．f（x）=2﹣x﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2﹣x﹣2x+110．（5分）设函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3＜x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x≤3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．335 B．340 C．1680 D．201512．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（5）=．14．（5分）求值：=．15．（5分）函数的单调增区间是．16．（5分）下列几个命题中真命题的序号是．（1）已知函数f（x）的定义域为[2，5），则f（2x﹣1）的定义域为[3，9）；（2）函数是偶函数，也是奇函数；（3）若f（x+1）为偶函数，则f（x+1）=f（﹣x﹣1）；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，则实数a≥5．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），求sinα+2cosα的值；（2）已知tanβ=2，求sin2β+2sinβcosβ的值．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2a＜x＜a+4}，全集为R，（1）当a=1时，求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．19．（12分）已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．20．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？21．（12分）已知函数，且，f（0）=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求证：方程f（x）=lnx至少有一根在区间（1，3）．22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1．若对任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0都有[f（m）+f（n）]（m+n）＞0．（1）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若不等式f（x）≤3﹣|t﹣a|a对所有x∈[﹣1，1]和a∈[1，3]都恒成立，求实数t的范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）2015°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【分析】利用终边相同角的表示方法，化简即可判断角所在象限．【解答】解：由2015°=1800°+215°，并且180°＜215°＜270°，可知2015°是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查象限角与轴线角的应用，基本知识的考查．2．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【分析】设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得α的值，求出幂函数的解析式，从而求得f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，∴α=，即f（x）=，故f（2）==，故选：A．【点评】本题主要考查求幂函数的解析式，求函数的值的方法，属于基础题．3．（5分）集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．M∩（N∪P）B．M∩∁U（N∪P） C．M∪∁U（N∩P） D．M∪∁U（N∪P）【分析】根据题目所给的图形得到以下几个条件：①在集合M内；②不在集合P 内；③不在集合N内．再根据集合的交集、并集和补集的定义得到正确答案．【解答】解：根据图形得，阴影部分含在M集合对应的椭圆内，应该是M的子集，而且阴影部分不含集合P的元素，也不含集合N的元素，应该是在集合P∪N的补集中，即在C U（P∪N）中，因此阴影部分所表示的集合为M∩C U（P∪N），故选B．【点评】本题着重考查了用Venn图表达集合的关系及集合的三种运算：交集、并集、补集的相关知识，属于基础题．4．（5分）在直径为4cm的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】，再利用弧长公式l=αr即可得出．【解答】解：=（弧度）．∴36°的圆心角所对的弧长==cm．故选：B．【点评】本题考查了弧长公式l=αr，属于基础题．5．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c ＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．6．（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣2，0）∪（0，2]B．（﹣1，0）∪（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣1，2]【分析】分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．故选B．【点评】本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算能力．8．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．9．（5分）f（x）为定义域R，图象关于原点对称，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b （b为常数），则x＜0时，f（x）解析式为（）A．f（x）=2x﹣2x﹣1 B．f（x）=﹣2﹣x+2x+1 C．f（x）=2﹣x﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2﹣x﹣2x+1【分析】根据已知可得f（x）为奇函数，由f（0）=0，可得：b=﹣1，进而根据当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）得到x＜0时，f（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）为定义域R，图象关于原点对称，∴f（x）为奇函数，f（0）=20+b=0，解得：b=﹣1，当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x﹣2x﹣1，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x+2x+1，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．10．（5分）设函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}【分析】利用函数是奇函数且在（0，+∞）内是增函数，得到函（﹣∞，0）上单调递增，利用f（﹣3）=0，得f（3）=0，然后解不等式即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，f（﹣3）=0，∴f（﹣3）=﹣f（3）=0，解f（3）=0．∵函数在（0，+∞）内是增函数，∴当0＜x＜3时，f（x）＜0．当x＞3时，f（x）＞0，∵函数f（x）是奇函数，∴当﹣3＜x＜0时，f（x）＞0．当x＜﹣3时，f（x）＜0，则不等式f（x）＜0的解是0＜x＜3或x＜﹣3．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系，利用函数奇偶性的对称性，可解不等式的解集．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3＜x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x≤3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．335 B．340 C．1680 D．2015【分析】可得函数f（x）是R上周期为6的周期函数，计算f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）可得结论．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），∴函数f（x）是R上周期为6的周期函数，∵当﹣3＜x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x≤3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=f（1）+f（2）+f（3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）=1+2+3+0﹣1+0=5，∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=335×5+1+2+3+0﹣1=1680故选：C．【点评】本题考查函数的周期性，涉及函数值的求解，属基础题．12．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（5）=0．【分析】令2x+1=t，可得x=，代入所给的条件求得f（t）=﹣（t﹣1），由此求得f（5）的值．【解答】解：∵已知f（2x+1）=x2﹣2x，令2x+1=t，可得x=，∴f（t）=﹣（t﹣1），故f（5）=4﹣4=0，故答案为0．【点评】本题主要考查用换元法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．14．（5分）求值：=102．【分析】直接利用对数与指数的运算法则化简求解即可．【解答】解：=（lg2）2+（lg5）2+2lg2lg5+1+0.4﹣2×42=1+1+=2+100=102．故答案为：102．【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．15．（5分）函数的单调增区间是．【分析】由复合函数单调性和二次函数的单调性结合定义域可得．【解答】解：由﹣x2+x+6＞0可解得﹣2＜x＜3，对数函数y=log0.8t在（0，+∞）单调递减，二次函数t=﹣x2+x+6在（，+∞）单调递减，由复合函数单调性结合定义域可得原函数的单调递增区间为．故答案为：．【点评】本题考查对数函数的单调性，涉及二次不等式的解法和复合函数单调性，属基础题．16．（5分）下列几个命题中真命题的序号是（2）（4）．（1）已知函数f（x）的定义域为[2，5），则f（2x﹣1）的定义域为[3，9）；（2）函数是偶函数，也是奇函数；（3）若f（x+1）为偶函数，则f（x+1）=f（﹣x﹣1）；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，则实数a≥5．【分析】（1）由f（x）的定义域为[2，5），知2x﹣1∈[2，5），解出x的范围即为定义域；（2）求出定义域可得函数为y=0，满足f（x）=f（﹣x），也满足f（x）=﹣f（﹣x），故是偶函数，也是奇函数，（3）由f（x+1）为偶函数，由定义可知f（﹣x+1）=f（x+1）；（4）利用二次函数的对称轴可得﹣a≤﹣5，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为[2，5），∴2x﹣1∈[2，5），∴x∈[，3），故错误；（2）的定义域为{1，﹣1}，此时y=0，故是偶函数，也是奇函数，故正确；（3）f（x+1）为偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1），故错误；（4）已知函数f（x）=x2+2ax+2在区间[﹣5，5]上是单调增函数，∴﹣a≤﹣5，∴a≥5，故正确．故正确选项为（2）（4）．【点评】考查了符合函数的定义域和奇偶性，二次函数的单调性判断．属于基础题型，应熟练掌握．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），求sinα+2cosα的值；（2）已知tanβ=2，求sin2β+2sinβcosβ的值．【分析】（1）由P的坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得到结果；（2）原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanβ的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），∴sinα=﹣=﹣，cosα==，则原式=﹣+=；（2）∵tanβ=2，∴原式====．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，B={x|2a＜x＜a+4}，全集为R，（1）当a=1时，求A∪B，A∩（∁R B）；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，再求出A∪B，A∩（∁R B）；（2）若A∩B=B，则B⊆A，分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|﹣2≤x≤4}，a=1时，B={x|2＜x＜5}，∴A∪B={x|﹣2≤x＜5}，A∩（C R B）={x|﹣2≤x≤2}…（6分）（2）∵A∩B=B，∴B⊆A．B=∅时，2a≥a+4，∴a≥4；B≠∅时，，∴﹣1≤a≤0．综合：a≥4或﹣1≤a≤0…（6分）【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．19．（12分）已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．【分析】（1）法一：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立得到，从而求解，法二：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1=0，c﹣3=0，从而求解；（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式．【解答】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，f（x）min=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，f（x）min=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），∴f（x）=x2+3x+3或∴．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题．20．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？【分析】（1）根据利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润f（x）=；（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x﹣﹣20000=﹣（x﹣300）2+25000，∴当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，∴f（x）=60000﹣100×400＜25000．∴当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键．21．（12分）已知函数，且，f（0）=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求证：方程f（x）=lnx至少有一根在区间（1，3）．【分析】（1）根据f（1）和f（0）列方程，求出a，b；（2）由y=，分离2x=＞0，求得值域；（3）构造函数g（x）=f（x）﹣lnx，运用函数零点存在定理，确定函数在（1，3）存在零点．【解答】解：（1）由已知可得，，解得，a=1，b=﹣1，所以，；（2）∵y=f（x）=，∴分离2x得，2x=，由2x＞0，解得y∈（﹣1，1），所以，函数f（x）的值域为（﹣1，1）；（3）令g（x）=f（x）﹣lnx=﹣lnx，因为，g（1）=f（1）﹣ln1=＞0，g（3）=f（3）﹣ln3=﹣ln3＜0，根据零点存在定理，函数g（x）至少有一零点在区间（1，3），因此，方程f（x）﹣lnx=0至少有一根在区间（1，3）上．【点评】本题主要考查了函数解析式的求法，函数值域的求法，以及方程根的存在性及根的个数判断，属于中档题．22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1．若对任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0都有[f（m）+f（n）]（m+n）＞0．（1）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若不等式f（x）≤3﹣|t﹣a|a对所有x∈[﹣1，1]和a∈[1，3]都恒成立，求实数t的范围．【分析】（1）由奇函数的定义和单调性的定义，将n换为﹣n，即可得到；（2）由题意可得f（a+）＜﹣f（﹣3a）=f（3a），由f（x）在[﹣1，1]递增，可得不等式组，解得即可；（3）由题意可得，3﹣|t﹣a|a≥f（x）max=1，即|t﹣a|a≤2对a∈[1，3]恒成立．再由绝对值的含义，可得对a∈[1，3]恒成立，分别求得两边函数的最值，即可得到t的范围．【解答】解：（1）用﹣n代替n得：[f（m）+f（﹣n）]（m﹣n）＞0，又f（x）为奇函数，则[f（m）﹣f（n）]（m﹣n）＞0，根据符号法则及单调性的定义可知：f（x）为增函数；（2）若，即为f（a+）＜﹣f（﹣3a）=f（3a），由f（x）在[﹣1，1]递增，可得，解得；（3）由题意可得，3﹣|t﹣a|a≥f（x）max=1，即|t﹣a|a≤2对a∈[1，3]恒成立．即对a∈[1，3]恒成立，由于a﹣在[1，3]递增，可得a=3时，取得最大值；a+≥2=2，当且仅当a=取得最小值．即有．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：求最值和解不等式，考查不等式恒成立问题的解法注意转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．。

2017-2018学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A ={1，2，3}，B ={-1，3}，则A ∪B =（ ）A. B. 1，2， C. D. {3}{‒1,3}{‒1,1}{x|‒1≤x ≤3}2.函数的定义域为（ ）f(x)=1‒x +lgx A. B. C. D. (0,1)[0,1)(0,1][0,1]3.已知向量=（1，2），点B 的坐标为（-1，2），则点A 的坐标为（ ）⃗AB A. B. C. D. (‒2,0)(‒2,4)(0,4)(2,0)4.为了得到函数的图象，只要把函数y =3sin2x 图象上所有的点（ ）y =3sin(2x ‒π5)A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度π10π5C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度π10π55.下列函数中，既是奇函数又在区间(-1,1)上是增函数的是（）．A.B. C. D.y =1xy =tanx y =‒sinx y =cosx 6.已知a =，b =e 0.5，c =0.5，其中e ≈2.71828，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）1212A. B. C. D. a >b >cc >a >bb >a >c b >c >a7.已知，，则tan （π+α）=（ ）sinα=1213α∈(π2，π)A.B.C.D.125‒125512‒5128.已知弹簧振子完成一次全振动的过程中位移随时间变化的数据如表：时间0t 02t 03t 04t 05t 06t 07t 08t 09t 010t 011t 012t 0位移-20.0-17.8-10.10.110.317.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0则可以近似刻画位移y 与时间x 的函数关系是（ ）A. B.y =20cos πx12t 0 , x ∈[0,+∞)y =20sin (π x 12 t 0‒π2), x ∈[0,+∞)C.D.y =20cos πx6t 0 , x ∈[0,+∞)y =20sin (π x 6 t 0‒π2), x ∈[0,+∞)9.已知△ABC 中，点D 满足，则（ ）⃗AD=2⃗AC‒⃗AB A. 点D 不在直线BC 上 B. 点D 在BC 的延长线上C. 点D 在线段BC 上 D. 点D 在CB 的延长线上10.已知函数y =a +sin bx （b ＞0且b ≠1）的图象如图所示，则函数y =a |x |-b 的图象可能是（ ）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.已知幂函数y =f （x ）的图象经过点（2，4），则f （3）=______．12.计算=______．(0.25)12+lg2+lg513.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若角α的终边与单位圆交于点，则sinβ=______．P(m ，35)14.已知函数f （x ）=ax 2+bx -1，其中a ＞0，b ＜0．若x ∈[-a ，0]，f （x ）的值域为，则[‒2a ，9]a =______，b =______．15.已知||=，||=1，=0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC =60°，设（m ，n ∈R ），则⃗OA 3⃗OB ⃗OA ⋅⃗OB ⃗OC=m ⃗OA +n ⃗OB =______．mn 16.已知函数f(x)={x 2‒ax,x ≤1log 3x,x >1.（1）若f （1）=3，则实数a =______；（2）若函数y =f （x ）-2有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共4小题，共36.0分）17.已知对数函数y =f （x ）的图象经过点．(18，3)（Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）若f （x ）＞1，求x 的取值范围．18.已知平面向量=（3，1），=（x ，-1）．⃗a ⃗b （Ⅰ）若∥，求x 的值；⃗a ⃗b （Ⅱ）若⊥（-2），求与的夹角．⃗a ⃗a ⃗b ⃗a ⃗b 19.已知函数．f(x)=2sin(2x +π3)（Ⅰ）请用“五点法”画出函数f （x ）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；（Ⅱ）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅲ）求函数f （x ）在区间上的最小值，并写出相应x 的值．[0，π2]20.已知函数f（x）是R上的增函数，对任意实数m，n，都有f（m+n）=f（m）+f（n），且f（4）=2．（Ⅰ）求f（2）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（Ⅲ）对任意x∈[0，4]，都有f（x）-f（2a-1）＜1，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A={1，2，3}，B={-1，3}，则A∪B={-1，1，2，3}．故选：B．根据并集的定义写出A∪B．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由得0＜x≤1，故选：C．偶次根式被开方非负，对数的真数为正数．本题考查了函数的定义域及其求法．属基础题．3.【答案】A【解析】解：设A的坐标为（x，y），则向量=（-1-x，2-y）=（1，2），即，解得，∴点A的坐标为（-2，0）．故选：A．设出A的坐标，根据平面向量的坐标运算列方程组，求出点A的坐标．本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：得到函数的图象，只要把函数y=3sin2x图象上所有的点向右平移个单位长度，即可得到．即：y=3sin[2（x-）]=3sin（2x-）．故选：C．直接利用三角函数关系式的平移变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.【答案】B【解析】根据奇函数的定义可得y=tanx在（-1，1）上是奇函数，又y=tanx在（-，）为增函数可得在（-1，1）内也为增函数．本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属基础题．解：因为区间（-1，1）关于原点对称，且f（-x）=tan（-x）=-tanx=-f（x），所以y=f（x）=tanx是（-1，1）上的奇函数，又y=tanx在（-1，1）上是递增函数，故选：B．6.【答案】D【解析】解：a=，b=e0.5＞1，c=0.5=∈（，1），则a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵，，∴cos．∴tan（π+α）=tanα=．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式求得cosα，进一步求得tanα．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用，是基础题．8.【答案】D【解析】解：根据表格可得函数的最小值为-20，最大值为20，最小正周期为12t0，且x=0时，y最小，故可设y=20sin（ωx-）．∴=12t0，∴ω=，∴y=20sin（x-），故选：D．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由x=0时，y最小，求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由x=0时，y最小，求出φ的值，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：如图，延长AC到E，使C为AE中点，延长BC到D，使C为BD中点，连结AD、BE、DE，∵△ABC中，点D满足，∴2-==，∴△ABC中，点D满足，则点D在BC的延长线上．故选：B．延长AC到E，使C为AE中点，延长BC到D，使C为BD中点，则2-==，从而点D在BC的延长线上．本题考查命题真假的判断，考查向量的加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】A【解析】解：根据函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，可得此图象是由y=sinbx的图象向上平移a个单位得到的，由图象可知1＜a＜2，由图象可知函数的最小正周期＜T＜π，∴＜＜π，解得2＜b＜4．∴当x＜0时，函数y=a|x|-b单调递减，当x＞0时，函数y=a|x|-b单调递增，最小值为1-b∈（-3，-1），故选：A．先根据正弦函数的图象得到a，b的取值范围，再根据指数函数的图象和性质得到答案．本题考查了正弦函数的图象和指数函数的图象，属于中档题．11.【答案】9【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα（α∈R），其图象经过点（2，4），∴2α=4，解得α=2，∴f（x）=x2；∴f（3）=32=9．故答案为：9．设出幂函数y=f（x）的解析式，根据其图象经过点（2，4），求函数的解析式，再计算f（3）的值．本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题目．12.【答案】3 2【解析】解：=．故答案为：．直接利用有理指数幂及对数的运算性质求解即可．本题考查了有理指数幂及对数的运算性质，是基础题．13.【答案】-3 5【解析】解：角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称．若角α的终边与单位圆交于点，则sinβ=-sinα=-，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinβ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.【答案】2 -1【解析】解：函数f（x）=ax2+bx-1，其中a＞0，b＜0．则：函数的对称轴为：x=-，所以：x∈[-a，0]为单调递减区间．所以：当x=-a时，f（-a）=9，所以：a（-a）2+b（-a）-1=9①，当x=0时，f（0）=-1=-，解得：a=2，把a=2代入①，解得：b=-1，故答案为：2，-1直接利用二次函数的性质和待定系数法的应用求出结果．本题考查的知识要点：二次函数的性质的应用，待定系数法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.【答案】1 3【解析】解：依题意∠COB=30°，∵=m+n，∴•=m2+n，即||||cos60°=m||2，∴m=||，∵=m+n，∴•=m•+n2，即||||cos30°=n||2，∴n=||，∴==，故答案为：在已知等式两边分别同时乘以向量和．解得m=||，n=||，再相除可得．本题考查了平面向量的数量积的性质及其运算．属基础题．16.【答案】-2 （-1，+∞）【解析】解：（1）由f（1）=12-a=3得，a=-2；（2）当x＞1时，f（x）=log3 x，由f（x）=2得，log3 x=2，得x=9满足x＞1，当x≤1时，f（x）=x2-ax，因为y=f（x）-2有且仅有两个零点，所以f（x）=2有且仅有两个实根，所以x2-ax-2=0在（-∞，1]上有且仅有一个实根，令g（x）=x2-ax-2，则g（1）＜0，即12-a-2＜0，解得：a＞-1，故答案为：（1）-2，（2）（-1，+∞）（1）直接代入第一段表达式；（2）因为x ＞1时y=f （x ）-2 有一个零点x=9，故x≤1时，y=g （x ）=f （x ）-2有且仅有一个零点，结合二次函数图象分析可知g （1）＜0即可．本题考查了函数零点，方程实根的分布．属中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）设f （x ）=log a x （其中a ＞0且a ≠1），……………………（1分）因为函数f （x ）的图象经过点，(18，3)所以，……………………（2分）log a 18=3解得．……………………（3分）a =12所以函数解析式为．……………………（4分）f(x)=log 12x（Ⅱ）因为f （x ）＞1，所以，log 12x ＞1即．……………………（6分）log 12x ＞log 1212因为在（0，+∞）上单调递减，f(x)=log 12x 所以 ……………………（7分）x ＜12因为x ＞0，所以．……………………（8分）x ∈(0，12)【解析】（Ⅰ）可设f （x ）=log a x ，由函数f （x ）的图象经过点，可求a ，进而可求函数解析式；（Ⅱ）因为f （x ）＞1，结合对数函数的单调性可求x ．本题主要考查对数函数解析式的求解，及对数函数的单调性在解不等式中的应用．18.【答案】解：（Ⅰ）∵∥，⃗a ⃗b ∴x =3×（-1），即x =-3．（Ⅱ）依题意-2=（3-2x ，3）．⃗a ⃗b ∵⊥（-2），⃗a ⃗a ⃗b ∴•（-2）=0，⃗a ⃗a ⃗b即3（3-2x ）+3=0，解得x =2，∴b =（2，-1）．设向量与的夹角为θ，⃗a ⃗b ∴cosθ===．⃗a ⋅⃗b|⃗a ||⃗b |3×2+1×(‒1)32+1222+(‒1)222∵θ∈[0，π]，∴．θ=π4【解析】（Ⅰ）由∥，利用向量共线定理即可得出．（Ⅱ）依题意-2=（3-2x ，3）．由⊥（-2），可得•（-2）=0，解出，再利用向量的夹角公式即可得出．本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）按5个关键点列表：x‒π6π12π37π125π62x +π30π2π3π22π2sin(2x +π3)2-2……………………（2分）描点连线画图如下：……………………（4分）（Ⅱ）函数f （x ）的最小正周期T ==π．……………………（5分）2π2因为y =sin x 的递增区间为，[‒π2+2kπ，π2+2kπ](k ∈Z)所以，解得，‒π2+2kπ≤2x +π3≤π2+2kπ‒5π12+kπ≤x ≤π12+kπ所以f （x ）的单调递增区间为……………………（7分）[‒5π12+kπ，π12+kπ](k ∈Z)（Ⅲ）因为，所以，0≤x ≤π2π3≤2x +π3≤4π3所以，即，‒32≤sin(2x +π3)≤1‒3≤2sin(2x +π3)≤2所以f （x ）的最小值为，此时． ……………………（10分）‒3x =π2【解析】（Ⅰ）按5个关键点列表，进而根据五点作图法描点连线画图即可得解．（Ⅱ）利用正弦函数的周期公式可求f （x ）的最小正周期，由，即可解得，可得f （x ）的单调递增区间．（Ⅲ）由已知可求，利用正弦函数的图象和性质可求，即可得解．本题主要考查了五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）因为对任意实数m ，n 都有f （m +n ）=f （m ）+f （n ），令m =n =2，所以f （4）=f （2）+f （2）=2，解得f （2）=1；（Ⅱ）函数f （x ）为奇函数，证明如下：因为f （m +n ）=f （m ）+f （n ）对任意实数m ，n 都成立，令m =x ，n =-x ，所以f （0）=f （x ）+f （-x ）．令m =n =0，所以f （0）=f （0）+f （0），解得f （0）=0，所以f （x ）+f （-x ）=0，即f （-x ）=-f （x ），所以f （x ）为奇函数；（Ⅲ）因为对于任意x ∈[0，4]，都有f （x ）-f （2a -1）＜1，所以f （x ）＜1+f （2a -1），即f （x ）＜f （2）+f （2a -1）．又因为f （2）+f （2a -1）=f （2+2a -1）=f （2a +1），所以f （x ）＜f （2a +1），因为函数f （x ）在R 是增函数，所以2a +1＞x ．因为任意x ∈[0，4]，都有2a +1＞x 成立，所以2a +1＞（x ）max ，由此得2a +1＞4，即，a ＞32所以a 的取值范围是．(32，+∞)【解析】（Ⅰ）可令m=n=2，代入计算可得所求值；（Ⅱ）函数f （x ）为奇函数，可令m=n=0，求得f （0），再令m=x ，n=-x ，结合奇偶性的定义，即可得到所求结论；（Ⅲ）由条件和f （2）=1，可得f （x ）＜f （2a+1），再由单调性和恒成立思想，可得a 的范围．本题考查抽象函数的函数值和性质，注意运用定义法和转化思想，考查方程思想和赋值法，化简整理的运算能力，属于中档题．。

本文为word版资料，可以任意编辑修改2017-2018学年北京市丰台二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（只需从四个选项中选出唯一正确的选项，每题5分共40分）1．（5分）“ａ＞0”是“ａ＞﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）函数y=x+1是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数3．（5分）数列{2n﹣1}前10项的和是（）A．120 B．110 C．100 D．104．（5分）若S n是数列{2n}的前n项和，则S8﹣S3=（）A．504 B．500 C．498 D．4965．（5分）设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣36．（5分）某市出租汽车的车费计算方式如下：路程在3km以内（含3km）为8.00元；达到3km后，每增加1km加收1.40元；达到8km后，每增加1km加收2.10元．增加不足1km按四舍五入计算．某乘客乘坐该种出租车交了44.4元车费，则此乘客乘该出租车行驶路程的km数可以是（）A．22 B．24 C．26 D．287．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．8．（5分）若sin2α=a，cos2α=b，且tan（+α）有意义，则tan（+α）=（）A．B．C． D．二、填空题（只需填出正确答案，每题5分共30分）9．（5分）设集合M={x|y=}，集合N={y|y=x2，x∈M}，则M∩N=．10．（5分）若=（3，﹣4），=（4，3），则向量、夹角的余弦值为．11．（5分）若正数x，y的倒数和为1，则x+2y的最小值为．12．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的八条棱长都相等，SB的中点是E，则异面直线AE，SD所成角的余弦为．13．（5分）函数f（x）=2sinx+4cosx（x∈[，π]）的最大值是．14．（5分）对于E={a1，a2，…．a100}的子集X={a i1，a i2，…，a ik}，定义X的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中x i1=x i2=…ｘik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于；（2）若E的子集P的“特征数列”Ｐ1，P2，…，P100满足p1=1，p i+p i+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”ｑ1，q2，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，则P ∩Q的元素个数为．三、解答题（必须写出详细的解答过程、推理依据及正确答案；共80分）15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．16．（13分）在△ABC中，?=|﹣|=2．（Ⅰ）求||2+||2的值．（Ⅱ）当△ABC的面积S最大时，求角A的大小．17．（13分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．18．（14分）如图，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且BA=BC=BD，∠CBA=∠CBD=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC．。

北京市丰台二中2018-2019学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}2．（5分）下列函数中，与函数有相同定义域的是（）A．f（x）=lnx B．C．f（x）=x3D．f（x）=e x3．（5分）下列函数中是偶函数且在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=|x| B．y=2﹣x C．y=ln|x| D．y=x﹣24．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：x 1 2 3f（x）2 3 4x 1 2 3g（x）3 2 1则f的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．46．（5分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a7．（5分）方程lnx=2﹣x的根所在区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）8．（5分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点．现有下列集合：①{y|y=e x}，②{x|lnx＞0}，③，④．其中以0为聚点的集合有（）A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应的位置上）9．（5分）若函数f（x）=x2+bx﹣4是R上的偶函数，则实数b的值是．10．（5分）=．11．（5分）函数的定义域是．12．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则=．13．（5分）已知函数f（x）=是定义在R上的奇函数，则a+b=．14．（5分）已知f（x）=m（x﹣2）（x+m+5），若存在x∈（﹣∞，4）使得f（x）＞0，则实数m的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案填在答题卡中相应的位置上）15．（13分）已知全集U=R，集合A={x|2x+a＞0}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}．（Ⅰ）当a=2时，求集合A∩B；（Ⅱ）若A∩（∁U B）=∅，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣3a．（Ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）存在零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）分别求出当a=1和a=2时函数f（x）在上的最大值．17．（13分）已知函数y=f（x）是定义域为R的指数函数．（Ⅰ）若，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x0）=8，求的值；（Ⅲ）若f（x）在区间，且f（2x2﹣3x+1）≤f（x2+2x﹣5），求实数x的取值范围．18．（13分）某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间t（距2月1日的天数，单位：天）的部分数据如下表：时间t 50 110 250成本Q 150 108 150（Ⅰ）根据上表数据，从下列函数Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a•b t，Q=a•log b t中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，说明选择理由，并求所选函数的解析式；（Ⅱ）利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．19．（14分）已知函数f（x）=log a，且a≠1）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）当0＜a＜1时，判断函数f（x）在区间（2，+∞）上的单调性，并证明你的结论．20．（13分）已知：集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=lg∈M，求正实数a的取值范围；（3）证明：函数f（x）=2x+x2∈M．北京市丰台二中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）下列函数中，与函数有相同定义域的是（）A．f（x）=lnx B．C．f（x）=x3D．f（x）=e x考点：函数的定义域及其求法．分析：已知函数的定义域为x＞0，再对选项A、B、C、D进行一一验证；解答：解：∵函数，∴x＞0，A、∵f（x）=lnx，∴x＞0，故A正确；B、∵，∴x≠0，故B错误；C、f（x）=x3，其定义域为R，故C错误；D、f（x）=e x，其定义域为R，故D错误；故选A．点评：此题主要考查函数的定义域及其简单求法，此题是一道基础题．3．（5分）下列函数中是偶函数且在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=|x| B．y=2﹣x C．y=ln|x| D．y=x﹣2考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：本题根据函数奇偶性定义，判断函数的是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数，得到本题结论．解答：解：选项A，y=|x|是偶函数，当x＞0时，y=x在在（0，+∞）上单调递增，不合题意；选项B，y=2﹣x，记f（x）=2﹣x，则f（﹣x）=2x，f（﹣x）=﹣2﹣x，∵2x≠﹣2﹣x，∴f（﹣x）≠f（﹣x）．f（x）不是奇函数，不合题意；选项C，y=ln|x|是偶函数，当x＞0时，y=lnx在在（0，+∞）上单调递增，不合题意；选项D，y=x﹣2是偶函数，x﹣2=，y=x﹣2在在（0，+∞）上单调递减，符合题意．故选D．点评：本题考查了奇偶性与单调性，本题难度不大，属于基础题．4．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：x 1 2 3f（x）2 3 4x 1 2 3g（x）3 2 1则f的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：本题根据列表，先求出函数值g（1），再通过列表求出f，得到本题结论．解答：解：根据函数g（x）的列表，g（1）=3，根据函数f（x）的列表，f=f（3）=4．故选D．点评：本题考查了函数值的求法，本题难度不大，属于基础题．5．（5分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4考点：对数函数的单调性与特殊点．分析：因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．解答：解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D点评：本题主要考查对数函数的单调性与最值问题．对数函数当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．6．（5分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：计算题．分析：由a=log20.3＜log21=0，b=20.3＞20=1，0＜c=0.30.2＜0.30=1，知b＞c＞a．解答：解：∵a=log20.3＜log21=0，b=20.3＞20=1，0＜c=0.30.2＜0.30=1，∴b＞c＞a．故选C．点评：本题考查对数值和指数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数函数和指数函数性质的应用．7．（5分）方程lnx=2﹣x的根所在区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：令f（x）=lnx+x﹣2，函数在定义域（0，+∞）连续，且f（x）=lnx+x﹣2在（0，1]单调递增，在（1，+∞）单调递减由零点判定定理可判定函数的零点所在的区间解答：解：令f（x）=lnx+x﹣2，函数在定义域（0，+∞）连续，∵f′（x）=+1，∴f（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）单调递增．∵f（1）=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0，由零点判定定理可得函数的零点的区间是（1，2），故选：C．点评：本题主要考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础性试题．8．（5分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点．现有下列集合：①{y|y=e x}，②{x|lnx＞0}，③，④．其中以0为聚点的集合有（）A．①②B．①③C．②③D．②④考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：函数的性质及应用．分析：本题在理解新定义“聚点”的基础上，找出适合条件的函数，得到本题结论．解答：解：①{y|y=e x}，∵y=e x∈（0，+∞），∴{y|y=e x}=（0，+∞），∴对任意a＞0，都存在∈X，使得|﹣0|＜a，∴集合{y|y=e x}是0为聚点的集合；②{x|lnx＞0}，∵lnx＞0，∴x＞1，∴{x|lnx＞0}=（1，+∞），∵对＞0，不存在x∈（1，+∞），使得|x﹣0|＜，∴集合{x|lnx＞0}不是0为聚点的集合；③，∵={1，，，，…}∴对任意a＞0，都存在∈X，使得|﹣0|＜a，∴集合是0为聚点的集合；④，∵={，，，…}，∴∵对＞0，不存在x∈，使得|x﹣0|＜，∴集合不是0为聚点的集合．综上，应选①③．故选B．点评：本题考查了新定义集合，还考查了函数值域和数列的单调性，本题难度不大，属于基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应的位置上）9．（5分）若函数f（x）=x2+bx﹣4是R上的偶函数，则实数b的值是0．考点：函数奇偶性的性质；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义和性质，得到f（﹣x）=f（x），建立方程即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+bx﹣4是R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2﹣bx﹣4=x2+bx﹣4，∴﹣bx=bx，即﹣b=b，解得b=0．故答案为：0．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用奇偶性的定义得到方程f（﹣x）=f（x），是解决本题的关键．10．（5分）=．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数与对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：原式=lg5+lg2+﹣=1+﹣=．故答案为：．点评：本题考查了指数与对数的运算法则、lg2+lg5=1，属于基础题．11．（5分）函数的定义域是（0，9]．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：根据被开方数非负及对数的真数大于零，列出不等式进行求解，再用集合或区间的形式表示出来．解答：解：要使函数有意义，则有2﹣log3x≥0，解得，0＜x≤9，∴函数的定义域是（0，9]故答案为：（0，9]点评：本题考查了函数定义域的求法，即利用对数的真数大于零，分母不为零等等进行求解，注意最后要用集合或区间的形式表示，这是易错的地方．12．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设出幂函数的解析式，然后把点的坐标代入求出幂指数即可．解答：解：设幂函数为y=xα，因为图象过点，则，∴，α=﹣2．所以f（x）=x﹣2．==2﹣1=故答案为：．点评：本题考查了幂函数的概念，是会考常见题型，是基础题．13．（5分）已知函数f（x）=是定义在R上的奇函数，则a+b=2．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，f（﹣1）+f（1）=0，即可得出．解答：解：∵函数f（x）=是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，f（﹣1）+f（1）=0，∴b﹣1=0，+=0，解得b=1，a=1．∴a+b=2．故答案为：2．点评：本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．14．（5分）已知f（x）=m（x﹣2）（x+m+5），若存在x∈（﹣∞，4）使得f（x）＞0，则实数m的取值范围（﹣∞，﹣11）∪（0，+∞）．考点：二次函数的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意得到不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：m＞0时，抛物线开口向上，总会存在x∈（﹣∞，4）使得f（x）＞0，m＜0时，只需f（4）=2m（m+9）＞0，对称轴x=﹣＞4，解得：m＜﹣11，故答案为：（﹣∞，﹣11）∪（0，+∞）．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，是一道基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案填在答题卡中相应的位置上）15．（13分）已知全集U=R，集合A={x|2x+a＞0}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}．（Ⅰ）当a=2时，求集合A∩B；（Ⅱ）若A∩（∁U B）=∅，求实数a的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：规律型．分析：（Ⅰ）当a=2时，求出集合A，利用集合的基本运算求A∩B．（Ⅱ）求出∁U B，然后根据集合关系A∩（∁U B）=∅，确定a的取值范围．解答：解：由2x+a＞0得，即．由x2﹣2x﹣3＞0得（x+1）（x﹣3）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，即B={x|x＜﹣1或x＞3}．（Ⅰ）当a=2时，A={x|x＞﹣1}．∴A∩B={x|x＞3}．（Ⅱ）∵B={x|x＜﹣1或x＞3}，∴∁U B={x|﹣1≤x≤3}．又∵A∩（∁U B）=∅，∴，解得a≤﹣6．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6]．点评：本题主要考查集合的基本运算，以及利用集合关系确定参数问题，比较基础．16．（14分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣3a．（Ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）存在零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）分别求出当a=1和a=2时函数f（x）在上的最大值．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数单调性的判断与证明；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由已知得二次函数f（x）的图象的对称轴方程为x=a，根据函数y=f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，可得实数a的取值范围．（Ⅱ）由判别式△≥0，求得实数a的取值范围．（Ⅲ）①当a=1时，根据函数f（x）在上是减函数，求得f（x）max的值；②当a=2时，根据函数f（x）在上是增函数，在（2，3]上是减函数，求得f（x）max的值．解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）=﹣x2+2ax﹣3a=﹣（x﹣a）2+a2﹣3a，∵函数y=f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，所以a≥1，故实数a的取值范围是∪上是减函数，于是，f （x）max=f（1）=﹣2．②当a=2时，函数f（x）=﹣x2+4x﹣6在上是增函数，在（2，3]上是减函数，于是，f（x）max=f（2）=﹣2．点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了转化的数学思想，属基础题．17．（13分）已知函数y=f（x）是定义域为R的指数函数．（Ⅰ）若，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x0）=8，求的值；（Ⅲ）若f（x）在区间，且f（2x2﹣3x+1）≤f（x2+2x﹣5），求实数x的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）先设出函数的表达式，由f（2）=，代入求出a的值即可；（Ⅱ）根据，从而得到答案；（Ⅲ）结合函数的单调性，得到不等式2x2﹣3x+1≥x2+2x﹣5，解出即可．解答：解：设f（x）=a x（a＞0，且a≠1），（Ⅰ）因为，所以，所以所以函数f（x）的解析式的解析式为；（Ⅱ）因为f（x0）=8，所以，所以；（Ⅲ）因为f（x）是指数函数，且在区间，所以0＜a＜1，所以f（x）在R上是单调递减函数，又因为f（2x2﹣3x+1）≤f（x2+2x﹣5），所以2x2﹣3x+1≥x2+2x﹣5所以x2﹣5x+6≥0所以x≤2，或x≥3故实数x的取值范围是{x|x≤2，或x≥3}．点评：本题考查了函数的单调性，考查了考查了求指数函数的表达式，是一道中档题．18．（13分）某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间t（距2月1日的天数，单位：天）的部分数据如下表：时间t 50 110 250成本Q 150 108 150（Ⅰ）根据上表数据，从下列函数Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a•b t，Q=a•log b t中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，说明选择理由，并求所选函数的解析式；（Ⅱ）利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．考点：塞瓦定理；函数模型的选择与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是单调函数，故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据（50，150），（110，108），（250，150）代入Q，即得函数解析式；（Ⅱ）由二次函数的图象与性质可得，函数Q在t取何值时，有最小值．解答：解：（Ⅰ）根据表中数据，表述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不是单调函数，这与函数Q=at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t均具有单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数Q=at2+bt+c 进行描述．…4分把表格提供的三对数据代入该解析式得到：…6分解得，，．…9分所以，西红柿种植成本Q与上市时间t的函数关系是．…10分（Ⅱ）当t=﹣=150天时，西红柿种植成本Q最低为Q=×1502﹣×150+=100（元/100kg）． (12)分所以，西红柿种植成本Q最低时的上市天数是150天，最低种植成本为100（元/100kg）…13分．点评：本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．19．（14分）已知函数f（x）=log a，且a≠1）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）当0＜a＜1时，判断函数f（x）在区间（2，+∞）上的单调性，并证明你的结论．考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：本题（Ⅰ）利用函数的奇偶性定义加以判断，得到本题结论；（Ⅱ）利用比哦单调性的定义加以判断和证明，得到本题结论．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）是奇函数．证明如下：由得（x+2）（x﹣2）＞0，∴x＜﹣2或x＞2，∴函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．任取x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），则﹣x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∵∴函数f（x）是奇函数．（Ⅱ）任取x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2∴=，∵=，∵2＜x1＜x2+∞，∴x1﹣2＞0，x2﹣2＞0，x2﹣x1＞0，∴，即．又∵0＜a＜1，∴，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，本题难度不大，属于基础题．20．（13分）已知：集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=lg∈M，求正实数a的取值范围；（3）证明：函数f（x）=2x+x2∈M．考点：元素与集合关系的判断．专题：综合题；集合．分析：（1）集合M中元素的性质，即有f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是M的元素，若有解则此函数是M的元素；（2）根据f（x0+1）=f（x0）+f（1）和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；（3）根据定义只要证明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，转化为对应的函数，利用函数的零点存在性判定理进行判断．解答：解：（1）f（x）=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），令，整理得x2+x+1=0，△=﹣3＜0，因此，不存在x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立，所以f（x）=；（4分）（2）f（x）=lg的定义域为R，f（1）=lg，a＞0，若f（x）=lg∈M，则存在x∈R使得lg=lg+lg，整理得存在x∈R使得（a2﹣2a）x2+2a2x+（2a2﹣2a）=0．①若a2﹣2a=0即a=2时，方程化为8x+4=0，解得x=﹣，满足条件：②若a2﹣2a≠0即a∈（﹣∞，2）∪（2，+∞）时，令△≥0，解得a∈，综上，a∈；（8分）（3）f（x）=2x+x2的定义域为R，令2x+1+（x+1）2=（2x+x2）+（2+1），整理得2x+2x﹣2=0，令g（x）=2x+2x﹣2，所以g（0）•g（1）=﹣2＜0，即存在x0∈（0，1）使得g（x）=2x+2x﹣2=0，亦即存在x0∈R使得2x+1+（x+1）2=（2x+x2）+（2+1），故f（x）=2x+x2∈M．（12分）点评：本题的考点是元素与集合的关系，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力．。

2017-2018学年第一学期北京丰台十二中高一期中数学试题2017.11一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．集合{}*,5N x x x U ∈= ，{}0652=+-=x x x M ，则M C u =（ ） A ．{}4,1；B ．{}5,1；C ．{}3,2；D ．{}4,3. 2．下列各组函数中，表示同一函数的是：（ ）A ． 1-x y =与11-2+=x x y ； B ．0x y =与1=y ； C ．2)(x x f =与2)1()(+=x x g ； D ．x x x f 2)(）（=与2)()(x x x g =. 3．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A ．3)(x x f =；B ．x x f -)(=；C ．x x x f 22)(-=-；D ．x x f lg )(=4．设83)(3-+=x x x f ，用二分法求方程0833=-+x x 在内)2,1(的近似解的过程中得0)1( f ，0)5.1( f ，0)25.1( f ，则方程0833=-+x x 的根在区间A ．)25.1,1(；B ．)5.1,25.1(；C ．)2,5.1(；D ．不能确定5.三个数67.0，7.06，6log 7.0的大小关系为A ．67.0 6log 7.0 7.06；B ．67.0 7.06 6log 7.0；C ．6log 7.0 7.06 67.0；D ．6log 7.0 67.0 7.066.已知函数⎩⎨⎧≤=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则)]41([f f 的值为 A ．9-； B ．91-； C ．91； D ．9 7.已知函数)(x f 的定义域为)0,1-(，则函数)12(+x f 的定义域为A ．)1,1-(；B ．)21-,1-(；C ．)0,1-(；D ．)1,21(8.某市为鼓励市民节约用水，作出了如下规定，用户每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超出部分按每立方米m 2元收费。

2016-2017学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（A卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）若a＜b＜0，则下列各式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．C．ac＞bc D．a2＜b2 2．（4分）数列{a n}中，a1=1，且a n+1=3a n，则a5=（）A．243B．81C．27D．93．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，A=75°，B=60°，则b=（）A．B．C．4D．34．（4分）函数f（x）=x+（x＞0）的最小值是（）A．2B．C．D．35．（4分）直角三角形的两条直角边的长度分别是3，4，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，旋转一周形成几何体的体积是（）A．12πB．C．D．48π6．（4分）等差数列{a n}中，a2=2，且a4=a1+a3，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．7．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB=bcosA，a，b，c成等比数列，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．以上都不对8．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长是（）A．3B．C．D．9．（4分）函数f（x）由下表定义：若a1=5，a n+1=f（a n），则a2017=（）A．2B．3C．4D．510．（4分）如图，函数f（x）的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f（x）≥x2﹣a的解集中有且仅有1个整数，那么a取值范围是（）A．{a|﹣2≤a＜0}B．{a|﹣2＜a＜0}C．{a|0≤a＜1}D．{a|﹣2≤a＜1}二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11．（4分）已知圆柱底面半径是2，高是3，则圆柱的表面积是．12．（4分）一元二次不等式x2﹣3x+2＞0的解集是．13．（4分）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度为海拔20210m，速度为270m/s，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过100s 后又看到山顶的俯角为30°，则山顶的海拔高度为．14．（4分）已知2，a，b成等差数列，3，a+2，b+6成等比数列，那么该等差数列的公差为．15．（4分）如图所示，在边长为2的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A（B），C，D，O为顶点的四面体的体积为．16．（4分）设a＞0，b＞0，称为a，b的平方平均数，为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作圆．过点O，C分别作AB的垂线，交圆O于E，D两点．连结OD，CE．过点C作OD的垂线，垂足为F．已知图中线段OD的长度是a，b 的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数．则图中所示线段中，线段的长度是a，b的平方平均数，线段的长度是a，b 的调和平均数．三、解答题本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（9分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a，b，c成公差为2的等差数列，∠ACB=120°，点D在边AB上，且CD⊥AC．（1）求b的值．（2）求的值．18．（9分）数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（9分）已知关于x的一元二次不等式（ax+1）（x﹣2）＞0，其中a＜0．（1）若不等式的解集是，求a，b值．（2）求不等式的解集．20．（9分）已知数列{a n}中，a n＞0，且a n+12=a n+2（n∈N*）．（1）试求a1的值，使得数列{a n}是一个常数列．＞a n对于任意的n∈N*都成立．（2）试求a1的取值范围，使得a n+1（3）若a1=4，设b n=|a n+1﹣a n|（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，试证明：S n＜2．2016-2017学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）若a＜b＜0，则下列各式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．C．ac＞bc D．a2＜b2【解答】解：对于A，若a＜b＜0，则a+c＜b+c，故A项错误；对于B，函数在（﹣∞，0）上单调递减，若a＜b＜0，则，故B项正确；对于C，当c=0时，ac=bc，即不等式ac＜bc不成立，故C项错误；对于D，函数y=x2在（﹣∞，0）上单调递减，若a＜b＜0，则a2＞b2，故D项错误，故选：B．2．（4分）数列{a n}中，a1=1，且a n+1=3a n，则a5=（）A．243B．81C．27D．9【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a n+1=3a n，∴数列{a n}是首项为1，公比q为3的等比数列，∴．故选：B．3．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，A=75°，B=60°，则b=（）A．B．C．4D．3【解答】解：△ABC中，A=75°，B=60°，∴C=180°﹣A﹣B=45°，由正弦定理可得，即，∴．故选：A．4．（4分）函数f（x）=x+（x＞0）的最小值是（）A．2B．C．D．3【解答】解：∵x＞0，∴，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值是．故选：C．5．（4分）直角三角形的两条直角边的长度分别是3，4，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，旋转一周形成几何体的体积是（）A．12πB．C．D．48π【解答】解：以该直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转一周形成的几何体是两个圆锥的组合体，其中圆锥的底面半径为，高的和为5，所以该几何体的体积．故选：C．6．（4分）等差数列{a n}中，a2=2，且a4=a1+a3，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则根据题意可得，解得，∴a n=n，∴，∴数列的前n项和为．故选：D．7．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB=bcosA，a，b，c成等比数列，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．以上都不对【解答】解：∵在△ABC中，acosB=bcosA，∴sinAcosB=sinBcosA，即sinAcosB﹣sinBcosA=0，∴sin（A﹣B）=0，∴A=B，∴a=b，又a，b，c成等比数列，∴a=b=c，即△ABC是等边三角形．故选：A．8．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长是（）A．3B．C．D．【解答】解：根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是边长为1的正方体，PA⊥底面ABCD，且PA=2，易得PB=PD=，，∴该四棱锥最长棱的棱长是．故选：C．9．（4分）函数f（x）由下表定义：若a1=5，a n+1=f（a n），则a2017=（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：由题意，a1=5，a2=f（a1）=f（5）=2，a3=f（a2）=f（2）=1，a4=f （a3）=f（1）=4，a5=f（a4）=f（4）=5，则数列{a n}是周期为4的循环数列，故a2017=a1=5．故选：D．10．（4分）如图，函数f（x）的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f（x）≥x2﹣a的解集中有且仅有1个整数，那么a取值范围是（）A．{a|﹣2≤a＜0}B．{a|﹣2＜a＜0}C．{a|0≤a＜1}D．{a|﹣2≤a＜1}【解答】解：根据题意可知，不等式f（x）≥x2﹣a等价于a≥x2﹣f（x），令g（x）=x2﹣f（x），即，可得g（x）的大致图象，如图所示，又g（0）=﹣2，g（1）=1+1﹣2=0，g（﹣1）=1+2﹣2=1，∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则﹣2≤a＜0，即a取值范围是{a|﹣2≤a＜0}．故选：A．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11．（4分）已知圆柱底面半径是2，高是3，则圆柱的表面积是20π．【解答】解：由题意，圆柱的底面积是2πr2=8π，侧面积=4π×3=12π，故圆柱的表面积S=8π+12π=20π．故答案为：20π．12．（4分）一元二次不等式x2﹣3x+2＞0的解集是{x|x＜1或x＞2} ．【解答】解：不等式x2﹣3x+2＞0可化为（x﹣1）（x﹣2）＞0，解得x＜1或x＞2，∴不等式x2﹣3x+2＞0的解集是{x|x＜1或x＞2}．故答案为：{x|x＜1或x＞2}．13．（4分）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度为海拔20210m，速度为270m/s，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过100s 后又看到山顶的俯角为30°，则山顶的海拔高度为6710m．【解答】解：如图所示，AB=270×100=27000m，在等腰△ABC中，BC=AB=27000m，∴，∴山顶的海拔高度为20210﹣13500=6710m．故答案为：6710m．14．（4分）已知2，a，b成等差数列，3，a+2，b+6成等比数列，那么该等差数列的公差为2．【解答】解：设等差数列的公差为d，则a=2+d，b=2+2d，∵3，a+2，b+6成等比数列，∴（a+2）2=3（b+6），即（d+4）2=3（2d+8），解得d=2或d=﹣4，当d=﹣4时，a+2=0，3，a+2，b+6则构不成等比数列，所以d=﹣4应舍去，故d=2．故答案为：2．15．（4分）如图所示，在边长为2的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A（B），C，D，O为顶点的四面体的体积为．【解答】解：折叠后的四面体如图所示：其中OA，OC，OD两两垂直，且，AC=CD=AD=2，故该四面体的体积：．故答案为：．16．（4分）设a＞0，b＞0，称为a，b的平方平均数，为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作圆．过点O，C分别作AB的垂线，交圆O于E，D两点．连结OD，CE．过点C作OD的垂线，垂足为F．已知图中线段OD的长度是a，b 的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数．则图中所示线段中，线段CE的长度是a，b的平方平均数，线段DF的长度是a，b 的调和平均数．【解答】解：由题意得，，，∵△OCD∽△CDF，∴，即；又∵在△OCE中，，故线段CE的长度是a，b的平方平均数，线段DF的长度是a，b的调和平均数．故答案为：CE，DF．三、解答题本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（9分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a，b，c成公差为2的等差数列，∠ACB=120°，点D在边AB上，且CD⊥AC．（1）求b的值．（2）求的值．【解答】解：（1）∵a，b，c成公差为2的等差数列，∴a=b﹣2，c=b+2，在△ABC中，由余弦定理可得，，即，解得b=5．（2）由（1）可知a=3，b=5，c=7，在△ABC中，由余弦定理可得，∵CD⊥AC，∴在Rt△ACD中，，∴，∴，∴．18．（9分）数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和S n，S n=n2+n（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=1+1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n，经检验，当n=1时也满足上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2）由题意，b n==22n=4n，∴数列{b n}是以4为首项，4为公比的等比数列，∴数列{b n}的前n项和T n=．19．（9分）已知关于x的一元二次不等式（ax+1）（x﹣2）＞0，其中a＜0．（1）若不等式的解集是，求a，b值．（2）求不等式的解集．【解答】解：（1）∵不等式（ax+1）（x﹣2）＞0的解集是，∴，解得a=﹣2，b=2；（2）∵（ax+1）（x﹣2）＞0，（a＜0），∴，当，即时，不等式为（x﹣2）2＜0，则不等式的解集是∅，当，即时，解不等式得；当，即时，解不等式得；综上所述，当时，不等式的解集为∅；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．20．（9分）已知数列{a n}中，a n＞0，且a n+12=a n+2（n∈N*）．（1）试求a1的值，使得数列{a n}是一个常数列．＞a n对于任意的n∈N*都成立．（2）试求a1的取值范围，使得a n+1（3）若a1=4，设b n=|a n+1﹣a n|（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，试证明：S n＜2．【解答】解：（1）若数列{a n}是一个常数列，则a n=a n+1，又∵，∴，即，解得a n=﹣1（舍去），或a n=2．∴a1=2．（2）∵，∴，，∴，∵，∴a n+1﹣a n与a n﹣a n﹣1同号，∴要使a n+1＞a n对任意正整数n都成立，只需a2＞a1＞0，即，解得0＜a 1＜2．证明：（3）由（2）可知，当a1=4时，a n+1＜a n，故b n=|a n+1﹣a n|=a n﹣a n+1，∴S n=b1+b2+b3+…+b n﹣1+b n，=|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+|a4﹣a3|+…+|a n﹣a n﹣1|+|a n+1﹣a n|，=a1﹣a2+a2﹣a3+a3﹣a4+…+a n﹣1﹣a n+a n﹣a n+1，=a1﹣a n+1=4﹣a n+1，又，解得a n+1＞2，∴4﹣a n+1＜2，∴S n＜2．。

丰台区2017-2018学年度第一学期期中联考试卷高二文科数学（A 卷） 考试时间：90分钟第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、单选题共10小题；每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．直线2+-=x y 的倾斜角是A ．4π-B ．4πC ．43πD ．65π2．已知椭圆方程17922=+y x ，那么该椭圆的焦点坐标是 A ．(4,0)(4,0)-，B ．)20(),20(，，-C ．)4,0(),4,0(-D．( 3．已知直线:m 2)1(-+=x k y 恒过点P ，那么点P 坐标是 A ．)2,1(--B ．)2,1(C ．)2,1(-D ．)2,1(-4．经过点)1,5(，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 A ．04=--y xB ．60x y +-=C ．05=-y x 或 04=--y xD ．05=-y x 或60x y +-=5．若直线028=++y ax 平行于直线022=-+ay x ，则实数a 的值是 A ．0B ．4C ．4-D ．4±6．在平面直角坐标系中，不等式组10,20,1x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域的面积是A ．45B ．10C ．425D ．8257．已知方程1)3()2(22=+--m y m x 表示双曲线，那么实数m 的取值范围是A ．2>mB ．3-<mC ．32-<>m m 或D ．23<<-m8．已知点),(y x P 满足条件1,2,28,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩那么22y x +的最大值是A ．37B ．13C ．564D ．59. 直线03=+-m y x 与圆4:22=+y x O 在第二象限内有两个不同交点，则实数m 的取值范围是A ．432<<mB ．20<<mC ．322<<mD ．42<<m10．已知椭圆12222=+b y ax )0(>>b a 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，点P 在椭圆上，且9021=∠PF F .若这样的点P 有4个，则离心率e 的取值范围是A ．122<≤eB ．122<<eC ．220<<e D ．220≤<e第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

绝密★启用前【全国百强校】北京2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ）． A ． B ． C ． D ． 2．下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ）．A ．B ．C ．D ． 3．设，，，则（ ）．A ．B ．C ．D ． 4．满足条件{}{}11,2,3M=的集合M 的个数是A ．4B ．3C ．2D ．15．已知 是函数 的一个零点，若 ， ，则（ ）．A ． ，B ． ，C ． ，D ． ，6．已知函数，则 的值为（ ）．A ．B ．C ．D ．7．已知函数 ， 若对任意 ，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）．8．设方程 的两根为 ，则A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题9．函数 的定义域是__________．10．已知函数 （ 且 ）的图象必经过点 ，则 点坐标是__________．11．已知函数 ，若 ，则 __________．12．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 13．已知 ，若 ，则实数 的取值范围是__________．14．给定集合 ， ，若 是 的映射，且满足： ①任取 ， ，若 ，则 ；②任取 ，若 ，则有 ．则称映射 为 的一个“优映射”．例如：用表 表示的映射 是一个“优映射”． 表（ ）若 是一个“优映射”，请把表 补充完整（只需填出一个满足条件的映射）．（ ）若 是“优映射”，且 ，则 的最大值为__________． (1,2)x ∈2(1)log a x x -<a15．求下列各式的值． （ ）．（ ）．（ ）设 ，求的值．16．已知 为定义在 上的偶函数，且当 时， ． （ ）求当 时， 的解析式． （ ）解不等式 ．17．已知二次函数()f x 的最小值为1，且()()023f f ==． （1）求()f x 的解析式．（2）若()f x 在区间[]2,1a a +上不单调．．．，求实数a 的取值范围． （3）在区间[]1,1-上， ()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围．18．已知数集{}()1212,,...,1...,4n n A a a a a a a n ==<<<≥具有性质:P 对任意的()()2,,1k k n i j i j n ≤≤∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立.（1）分别判断数集{}1,2,4,6与{}1,3,4,7是否具有性质P ，并说明理由； （2）求证： 41232a a a a ≤++ ； （2）若72n a =，求n 的最小值.参考答案1．B【解析】分析：结合数轴，根据，得的取值范围.详解：∵集合，集合，，∴．故选．点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2．B【解析】分析：根据指数函数以及幂函数性质判断单调性.详解：，故错误；在上递减，在上递增，所以函数在上是增函数，故正确；在上单调递减，故错误；在上单调递减，故错误．综上所述选．点睛：本题考查指数函数以及幂函数单调性性质，考查函数性质简单应用能力.3．B【解析】分析：分别根据对数函数和指数函数单调性判断大小.详解：由对数函数和指数函数的性质可知：，，，∴．故选．点睛：比较两个函数值或两个自变量的大小时，常利用函数单调性，有时还需借助第三个数如0，1，进行比较大小.4．C 【解析】 试题分析：∵{}{}11,2,3M =∴{2,3}M =或{1,2,3}M =．考点：集合的运算 5．A【解析】分析：先确定函数单调性，再根据自变量大小确定函数值正负. 详解：∵ 是函数 的一个零点， ∴ ，又 在 上单调递增，且 ， ， ∴ ， ∴ ， ． 故选 ．点睛：利用零点存在性定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数值得符号. 6．C【解析】分析：先确定自变量服务，再代入对应解析式，根据指对数运算性质求值. 详解：∵ ，∴ ． 故选 ．点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 7．D【解析】分析：根据条件得函数 值域包含于 值域，再求根据二次函数性质与一次函数性质求值域，最后根据值域包含关系列不等式，解得实数 的取值范围. 详解∵ ， ， ∴ ，∵ ， 单调递增， ，∴，若对任意，总存在，使得，则，解得．故选．点睛：对任意存在性问题，一般转化为对应函数值域问题，即值域包含于值域.8．A【解析】此题考查方程的根设，答案 A点评：掌握对数的运算法则9．【解析】分析：先根据偶次根式下被开方数非负列不等式，再解指数不等式得结果.详解：要使函数有意义，则，解得，故函数的定义域是．点睛：具体函数定义域主要考虑：(1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.（3）对数中真数大于零.(4)零次幂得底不为零.10．【解析】分析：先根据对数函数性质得，带入解得点坐标.详解：令得，故函数的图象必过定点．点睛：对数函数恒过点，指数函数恒过点，幂函数恒过点11．【解析】分析：先根据对数方程解得，再根据对数运算法则求值.详解：∵函数，，∴ ，∴ ． 点睛：对数运算性质：12．【解析】解：∵函数y=（x-1）2在区间（1，2）上单调递增， ∴当x ∈（1，2）时，y=（x-1）2∈（0，1）， 若不等式（x-1）2＜logax 恒成立， 则a ＞1且1≤loga2 即a ∈（1，2]， 故答案为：（1，2]． 13．【解析】分析：先根据条件得方程 没有正实数解，再根据方程无解与只有非正数解两种情况讨论，解得实数 的取值范围 详解：∵ ，∴方程 没有正实数解，故 集合有两种情况： ①若 ，则 ，则 ；②若 ，则方程有两个非正数解，且 不是其解，则有： ，解得 ．综上所述， ，即实数 的取值范围是 ．点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑 是否成立，以防漏解. 14．（ ）12a <≤或或或（）．【解析】分析：（1）根据优映射定义，列出所有可能情况，（2）根据优映射定义，由得，，因此最大值为．详解：（）由优映射定义可知：，，∴，；或，．∴表有以下几种可能：或或或（）根据优映射的定义：是一个“优映射”，且，则对，只有当，时，取得最大值为．点睛：对于新定义的问题，首先正确理解新定义含义，其次根据新定义将条件转化为旧定义，充分利用熟悉知识化简与论证新定义相关内容.15．（1）-7（2）0（3）1．【解析】分析：（1）根据化简求值，（2）根据化简求值，（3）根据化简求值.详解：解：（），，，，，．（），，，，．（）设，则，，，∴，，．点睛：本体考查指数运算法则、对数运算法则以及指对数式相互转换，考查基本求解能力. 16．（1）时，．（2）．【解析】分析：(1)根据偶函数得，再根据当时，得当时，，(2)先求时不等式解集：；再根据偶函数性质得当时，解集为，两者得并集为结果.详解：解：（）∵当时，，∴当时，，，又为定义在上的偶函数，∴，综上，故时，．（）当时，等价于，∴，即，∴，解得，∴；当时，等价于，∴，即，∴，解得 ，∴ ，综上所述，不等式 的解集为 ．点睛：已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于 的方程，从而可得 的值或解析式.17．（1）()2243f x x x =-+；（2）102a <<；（3）1m <-. 【解析】试题分析：对于（1），首先根据题目信息可设，接下来将已知的点代入进行计算即可求出的值，进而确定函数的解析式；对于（2），由（1）可知的对称轴为直线，进而可得，据此即可求出的取值范围；对于（3），首先求出的表达式，进而不难得到对任意属于恒成立，令，求出的最小值，即可求出的取值范围.试题解析：（1）由已知，设， 由，得， 故.（2）要使函数不单调，则，即. （3）由已知，即， 化简，得. 设，则只要， 而解得：，即实数的取值范围是.考点：二次函数的图象和性质.18．（1）不具有（2）见解析（3）8.【解析】【试题分析】（1）直接运用题设提供的条件进行验证即可；（2）运用题设条件中定义的信息可得432i j a a a a =+≤，同理可得32212,2a a a a ≤≤，将上述不等式相加得：()2341232a a a a a a ++≤++，可获证41232a a a a ≤++；（3）借助（2）的结论可知21322,2a a a a ≤≤，又11a =，所以2345672,4,8,16,32,6472a a a a a a ≤≤≤≤≤≤<可得8n ≥，因此构成数集{}{}()1,2,4,5,9,18,36,721,2,3,6,9,18,36,72A orA ==，经检验A 具有性质P ，故n 的最小值为8.解：（1）因为211,422,624=+=+=+，所以{}1,2,4,6具有性质P ；因为不存在{},1,3,4,7i j a a ∈，使得3i j a a =+，所以{}1,3,4,7不具有性质P .（2）因为集合{}12,,...,n A a a a =具有性质P ，所以对4a 而言，存在{}12,,,...,i j n a a a a a ∈，使得4i j a a a =+，又因为12341...,4n a a a a a n =<<<<<≥，所以3i j a a a +≤，所以432i j a a a a =+≤，同理可得32212,2a a a a ≤≤，将上述不等式相加得： ()2341232a a a a a a ++≤++，所以41232a a a a ≤++.（3）由（2）可知2132,2a a a a ≤≤，又11a =，所以2345672,4,8,16,32,6472a a a a a a ≤≤≤≤≤≤<， 所以8n ≥，构成数集{}{}()1,2,4,5,9,18,36,721,2,3,6,9,18,36,72A orA ==，经检验A 具有性质P ，故n 的最小值为8.点睛：本题是一道新定义的迁移信息并利用信息的信息迁移题。