湖北省部分重点中学2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析

湖北省部分重点中学2017-2018学年度下学期期中联考高一理科数学试卷命题学校：武汉市第一中学考试时间：2018年4月24日下午3:50-5:50 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．在等差数列 中，前 项和 满足 ，则 （ ） A. 7 B. 9 C. 14 D. 182．在 中， ， ，且 的面积为，则 的长为 （ ）．A. B.C. D.3．已知 是等比数列，且 ， ，那么 的值等于（ ）．A. B. C. D.4．在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，若cos cos a A b B =，则ABC ∆为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 5.在数列 中，已知，111n n a a -=-，则 的值为（ ） A. 2018 B.C.D. 56.为了测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距m 40的楼顶处测得塔底A 的俯角为o 30，测得塔顶B 的仰角为o 45，那么塔AB 的高度是（单位：m ）( ) A. )31(40+ B. )22(20+ C. )331(40+D. 607.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。

”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地。

”问此人第4天和第5天共走了（ ）A ． 60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里8.在△ABC 中，若AB =3BC =，120C ∠= ,则AC =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 49．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A. 33个B. 65个C. 66个D. 129个10．在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，若02,45b B ==，且此三角形有两解，则a 的取值范围是（ ）A.)B. ()+∞C.)+∞ D. (2,11.平面向量a b 、、e 满足||1,a = ||2,b = 1,a b ⋅=e 为单位向量，当e 的方向变化时，a e b e ⋅+⋅的最大值是( )A. B. 6 C. D. 712.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 如果该数列的前n 项和为2的整数幂且n 800，那么整数n 的最小值是( ) A.1894 B. 1895 C.1896 D. 1897二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上.）13．数列{}n a 的前n 项和n S ，则 .14．如图，设 ， 是 内的一点，点 到 的两边的距离 和 分别为11和2，则 的长为 .第14题图 第15题图15.如图，已知,,||2,||3,OA a OB b a b ====任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，点C 为线段AB 中点，则MN OC ⋅=____________. 16. 若圆的直径AB 的长为4,该圆上的动弦CD 的长为2，则AC BD ⋅ 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分10分)已知向量a =(3,－4), b =(2,x), c =(2,y), a //b ,a ⊥c . (1) 求x,y ；(2) 求2a c -与3b -的夹角θ.18. (本小题满分12分)在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，满足 . （1）求角 ；（2）若 ， ，求 的面积.19. (本小题满分12分)如图，设 是边长为1的正三角形，点123,,P P P 四等分线段BC ． （1） 求112AB AP AP AP ⋅+⋅的值；（2）Q 为线段1AP 上一点，若112AQ mAB AC =+， 求实数m 的值.20. (本小题满分12分)已知等比数列 的公比 ， ，且 成等差数列. （1）求数列 的通项公式；（2）记2n nnb a =，求数列 的前 项和 .21. (本小题满分12分)已知在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，且满足 . （1）求证： ；（2）若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围.22. (本小题满分12分)在正项等差数列{}n a 中,其前n 项和为,n S 2314,a a +=2358.a a S ⋅=+设12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+. (1) 求数列{}n a 及数列{}n T 的通项公式；(2) 证明：11114182n T n ≤<-+. 武汉市部分重点中学2017-2018学年度下学期期中联考高一理科数学试卷参考答案1-12. BAA DDC CAB DCD13. ； 14. 14 ； 15. ； 16. – ，17解：（1）()()3,4,2,,x =-=a b a //b ，∴8,3x =-()2,,y =⊥c a c ∴……………………5分(2)由（1）得 8(2,)3=-b ，3(2,)2=c .∴()()()()23,44,31,7,36,8,-=--=---=-a c b∴(2)(3)cos 2|2||3|52θ-⋅-===--⋅-⨯a c b a c b . 0πθ≤≤……………………………………10分18．解：（1） 中，由条件及正弦定理得 ， ∴ .∵ ∴ ，∴ ，∵ ，∴………6分（2）∵ ，由余弦定理得，∴ .∴. ……12分19.解：（1）()21122111328AB AP AP AP AB AP AP AP ⋅+⋅=+⋅==………6分 （2）易知114BP BC =，即()114AP AB AC AB -=-， 即13144AP AB AC =+，因为Q 为线段1AP 上一点，设 13114412AQ AP AB AC mAB AC λλλ==+=+， 所以3411412m λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以14m = …………………………………………12分其它解法酌情给分.20．解:（1）∵数列 是等比数列， ，∴ ，∴ ， 又 成等差数列，∴ ，∴∵ ∴ ，∴ …………………………6分（2），①②①-②：，∴，∴. …………12分21．解：（1） ，由正弦定理知， 即 .因为 ，所以 ，且 ， 所以 ，所以 ， . …………………6分（2）由（1）知，.由 为锐角三角形得，得.由 得. …………………………12分其它解法酌情给分.22. 解：（1）设公差d ，则()()11112314,125548,2a d a d a d a d +=⎧⎪⎨++=+⨯⨯+⎪⎩ ∴142a d =⎧⎨=⎩或12512a d =⎧⎨=-⎩（舍去）∴22n a n =+ …………………3分 ∴23n S n n =+,111133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,∴1111111323123n T n n n ⎛⎫=++--- ⎪+++⎝⎭ 111111()183123n n n =-+++++…………………………………6分 其它结果供参考:2321131211183(6116)n n n T n n n ++=-+++，323211484918(6116)n n n n T n n n ++=+++.（2）∵1111111323123n T n n n ⎛⎫=++--- ⎪+++⎝⎭111111()183123n n n =-+++++ ∴数列{}n T 是递增数列 ∴当n=1时n T 最小∴1111111132********n T ⎛⎫≥++---=⎪+++⎝⎭ …………………8分 又∵111()182n T n --+111111111()()183123182n n n n ⎡⎤=-++--⎢⎥++++⎣⎦ 21111()()32313n n n =⋅-++++ 2122()323(1)(3)n n n n ⎡⎤+=⋅-⎢⎥+++⎣⎦ 213(1)(2)(3)n n n ⎡⎤-=⎢⎥+++⎣⎦0< ∴111182n T n <-+∴11114182n T n ≤<-+ …………………………………………12分说明：计算错误不给分，其它解法酌情给分.。

2017-2018学年湖北省联考高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（）A．{0}B．{1}C．{0，1，2}D．{0，1}2．函数f（x）=cos2x的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．3．已知函数y=f（x）+sin x为偶函数，若f（）=，则f（）=（）A．B．C．D．4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3B．2C．2D．5．阅读如图所示的程序框图，输出A的值为（）A．B．C．D．6．若，是两个单位向量，且（2+）•（﹣2+3）=2﹣1，则，的夹角为（）A．B．C．D．7．登山族为了了解某山高y（km）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：气温x（°C）181310﹣1山高y（km）24343864由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为72（km）处气温的度数为（）A．﹣10B．﹣8C．﹣4D．﹣68．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2C．2D．49．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣3，﹣5）C．（3，5）D．（2，4）10．已知等比数列{a n}满足，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．11．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．若函数f（x）=4x﹣m•2x+m+3有两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则实数m的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．（6，+∞）C．（2，6）D．（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）13．计算：cos（α+30°）cos（α﹣30°）+sin（α+30°）sin（α﹣30°）=．14．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是．15．已知定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣1）=2，则不等式f （x﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为．16．已知函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+（其中ω为常数，且ω＞0），函数g（x）=f （x）﹣的部分图象如图所示．则当x∈[﹣]时，函数f（x）的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知α，β都是锐角，tanα=，sinβ=，求tan（α+2β）的值．18．现从某校高三年级随机抽50名考生2015年高考英语听力考试的成绩，发现全部介于[6，30]之间，将成绩按如下方式分成6组：第1组[6，10），第2组[10，14），…，第6组[26，30]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）估算该校50名考生成绩的众数和中位数；（Ⅰ）求这50名考生成绩在[22，30]内的人数．19．下面有两个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，分别计算甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的？游戏1游戏22个红球和2个白球3个红球和1个白球取1个球，再取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的两个球不同色→乙胜20．设S n表示数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）若{a n}是等差数列，试证明：S n=；（Ⅰ）若a1=1，q≠0，且对所有的正整数n，有S n=，判断{a n}是否为等比数列．21．锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（2，c），=（cosC﹣sinA，cosB），已知b=，且⊥．（1）求角B；（2）求△ABC面积的最大值及此时另外两个边a，c的长．22．已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3，如果函数y=f（x）在区间（﹣1，1）有零点，求a的取值范围．2017-2018学年湖北省天门、仙桃、潜江市联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（）A．{0}B．{1}C．{0，1，2}D．{0，1}【考点】交集及其运算．【分析】直接利用交集及其运算得答案．【解答】解：由M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，得M∩N={x|﹣2≤x＜2}∩{0，1，2}={0，1}．故选：D．2．函数f（x）=cos2x的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再根据函数y=Acos（ωx+φ）+b的周期为，得出结论．【解答】解：函数f（x）=cos2x=的最小正周期为=π，故选：C．3．已知函数y=f（x）+sin x为偶函数，若f（）=，则f（）=（）A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意可得f（x）﹣f（﹣x）=﹣2sin x，结合f（）=f（2）=，f （）=f（﹣2），求得f（﹣2）的值．【解答】解：∵函数y=f（x）+sin x为偶函数，∴f（﹣x）﹣sin x=f（x）+sin x，∴f（x）﹣f（﹣x）=﹣2sin x．∵f（）=f（2）=，f（）=f（﹣2），∴﹣f（﹣2）=﹣2•=﹣，∴f（﹣2）=2，故选：A．4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3B．2C．2D．【考点】正弦定理．【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：C．5．阅读如图所示的程序框图，输出A的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A，i的值，当i=11时，不满足条件i≤10，退出循环，输出A的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得A=1，i=1A=，i=2满足条件i≤10，A=，i=3满足条件i≤10，A=，i=4满足条件i≤10，A=，i=5满足条件i≤10，A=，i=6满足条件i≤10，A=，i=7满足条件i≤10，A=，i=8满足条件i≤10，A=，i=9满足条件i≤10，A=，i=10满足条件i≤10，A=，i=11不满足条件i≤10，退出循环，输出A的值为，故选：C．6．若，是两个单位向量，且（2+）•（﹣2+3）=2﹣1，则，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件求出，代入向量的夹角公式计算．【解答】解：∵（2+）•（﹣2+3）=2﹣1，∴﹣4+3+4=2﹣1．∵==1，∴=．∴cos＜，＞==．∴＜，＞=．故选：A．7．登山族为了了解某山高y（km）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：气温x（°C）181310﹣1山高y（km）24343864由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为72（km）处气温的度数为（）A．﹣10B．﹣8C．﹣4D．﹣6【考点】线性回归方程．【分析】求出，，代入回归方程，求出a，代入，将y=72代入可求得x的估计值．【解答】解：由题意，，，代入到线性回归方程，可得a=60，∴y=﹣2x+60，由﹣2x+60=72，可得x=﹣6．故选：D．8．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2C．2D．4【考点】基本不等式．【分析】由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值【解答】解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．9．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣3，﹣5）C．（3，5）D．（2，4）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平行四边形法则，可以求出，再根据平行四边形法则可以求出结果，在运算过程中要先看清各向量的关系，理清思路以后再用坐标表示出结果．【解答】解：∵，故选B．10．已知等比数列{a n}满足，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．11．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间[0，2]的长度求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵﹣1≤log（x+）≤1∴解得0≤x≤，∵0≤x≤2∴0≤x≤∴所求的概率为：P=故选：A12．若函数f（x）=4x﹣m•2x+m+3有两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则实数m的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．（6，+∞）C．（2，6）D．（2，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用换元法，问题转化为函数f（t）=t2﹣mt+m+3有两个不同的零点，且大于1，建立不等式，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：设t=2x，∵x1+x2＞0，x1x2＞0，∴t＞1，∴函数f（t）=t2﹣mt+m+3有两个不同的零点，且大于1，∴，∴m＞6，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）13．计算：cos（α+30°）cos（α﹣30°）+sin（α+30°）sin（α﹣30°）=．【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数的化简求值．【分析】运用两角和与差的余弦函数化简求解即可．【解答】解：cos（α+30°）cos（α﹣30°）+sin（α+30°）sin（α﹣30°）=cos（α+30°﹣α+30°）=cos60°=；故答案为：．14．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是．【考点】几何概型．【分析】设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y，则（x，y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案．【解答】解：设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y，记小明爸爸离家前能看到报纸为事件A；以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明爸爸离家时间，建立平面直角坐标系，小明爸爸离家前能得到报纸的事件构成区域如图示：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明爸爸在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P（A）==，故答案为：．15．已知定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣1）=2，则不等式f （x﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为（1，2] ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意和奇函数的性质得f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，由函数的单调性化简不等式，求出不等式的解集．【解答】解：因为f（x）是在R上的奇函数，f（﹣1）=2，所以f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（x﹣1）+2≤0为：f（x﹣1）≤﹣2=f（1），所以0＜x﹣1≤1，解得1＜x≤2，所以不等式f（x﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为（1，2]，故答案为：（1，2]．16．已知函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+（其中ω为常数，且ω＞0），函数g（x）=f （x）﹣的部分图象如图所示．则当x∈[﹣]时，函数f（x）的取值范围是[﹣，+1]．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用两角差的正弦公式化简f（x）的解析式，利用正弦函数的周期性求得ω，再根据正弦函数的定义域和值域求得f（x）的取值范围．【解答】解：函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+=2sin（2ωx﹣）+（其中ω为常数，且ω＞0），根据函数g（x）=f（x）﹣的部分图象，可得=•=﹣，∴ω=1，f（x）=2sin（2x﹣）+，则当x∈[﹣]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（x﹣）∈[﹣1，]，∴f（x）的取值范围是[﹣， +1]，故答案为：．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知α，β都是锐角，tanα=，sinβ=，求tan（α+2β）的值．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由同角三角函数关系式先求出tanβ，再由倍角公式求出tan2β，由此利用正切函数加法定理能求出tan（α+2β）的值．【解答】解：∵α，β都是锐角，tanα=，sinβ=，∴cosβ====，tanβ==，tan2β===，∴tan（α+2β）===1．18．现从某校高三年级随机抽50名考生2015年高考英语听力考试的成绩，发现全部介于[6，30]之间，将成绩按如下方式分成6组：第1组[6，10），第2组[10，14），…，第6组[26，30]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）估算该校50名考生成绩的众数和中位数；（Ⅰ）求这50名考生成绩在[22，30]内的人数．【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图，能求出该校50名考生听力成绩的众数和中位数．（Ⅰ）由频率分布直方图求出后两组频率及人数，由此能求出该校这50名考生听力成绩在[22，30]的人数．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，该校这50名考生听力成绩的众数为…中位数为…（Ⅰ）由频率分布直方图知，后两组频率为（0.03+0.02）×4=0.2人数为0.2×50=10，即该校这50名考生听力成绩在[22，30]的人数为10人．…19．下面有两个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，分别计算甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的？游戏1游戏22个红球和2个白球3个红球和1个白球取1个球，再取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的两个球不同色→乙胜【考点】概率的意义．【分析】在游戏1中，分别求出取两球同色的概率和取两球异色的概率；游戏2中，分别求出取两球同色的概率和取两球异色的概率，由此能求出结果．【解答】解：在游戏1中，取两球同色的概率为：=，取两球异色的概率为：=，因此游戏1中规则不公平．游戏2中，取两球同色的概率为：=，取两球异色的概率为：=，因此游戏2中规则是公平的．20．设S n表示数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）若{a n}是等差数列，试证明：S n=；（Ⅰ）若a1=1，q≠0，且对所有的正整数n，有S n=，判断{a n}是否为等比数列．【考点】等比关系的确定；等差数列的性质．【分析】（I）利用等差数列的通项公式及其求和公式、倒序相加法即可得出．（II）利用等比数列的通项公式定义、递推关系即可得出．【解答】（Ⅰ）证明：设{a n}的公差为d，则S n=a1+a2+…+a n=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n﹣1）d]，又S n=a n+（a n﹣d）+（a n﹣2d）+…+[a n﹣（n﹣1）d]，∴2S n=n（a1+a n）∴．（Ⅰ）解：{a n}是等比数列．证明如下：∵∴，∵a1=1，q≠0，∴当n≥1时，有．因此，{a n}是以1为首项，且公比为q的等比数列．21．锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（2，c），=（cosC﹣sinA，cosB），已知b=，且⊥．（1）求角B；（2）求△ABC面积的最大值及此时另外两个边a，c的长．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）应用正弦定理求B角；（2）注意题中三角形为锐角三角形，应用化一公式求得面积最大值．【解答】解：（1）∵∴即bcosC+ccosB=2sinA2RsinBcosC+2RsinCcosB=2sinA2Rsin（B+C）=2sinA2RsinA=2sinA∴2R=2∵∴∵∴（2）S=═====∵三角形为锐角三角形∴即∴；此时∴．22．已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3，如果函数y=f（x）在区间（﹣1，1）有零点，求a的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】通过讨论a的范围，结合二次函数以及一次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）若a=0，则f（x）=2x﹣3，令f（x）=0得，不符合题意，故a≠0…（2）当a＞0时，由于f（0）=﹣3＜0，∴y=f（x）在（﹣1，1）上可有两个不同零点或一个零点，依题意需满足或即或解之得…（3）当a＜0时，f（x）在（﹣1，1）有零点需满足或无解，故a＜0时，不符合题意由（1）（2）（3）可知f（x）在（﹣1，1）上有零点，a的取值范围是祝考出好成绩。

湖北省重点名校2017-2018学年高一下学期期末学业质量监测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，在区间(0,)+∞上是减函数的是（ ）A ．2y x=-B ．2y x =C ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．23y x =【答案】C 【解析】 【分析】根据初等函数的单调性对各个选项的函数的解析式进行逐一判断 【详解】 函数2y x=-在(0,)+∞单调递增，2y x =在(0,)+∞单调递增. 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减，23y x =在(0,)+∞单调递增.故选：C 【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．2．无论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点坐标为（ ）A ．()-21，B ．()2,1--C ．()2,1D ．()2,1-【答案】A 【解析】 【分析】通过整理直线的形式，可求得所过的定点. 【详解】直线:120l mx y m +-+=可整理为()210m x y ++-=，当2010x y +=⎧⎨-=⎩ ，解得2,1x y =-=， 无论m 为何值，直线总过定点()2,1-. 故选A. 【点睛】本题考查了直线过定点问题，属于基础题型.3．在△ABC 中，三个顶点分别为A （2，4），B （﹣1，2），C （1，0），点P （x ，y ）在△ABC 的内部及其边界上运动，则y ﹣x 的最小值是（ ） A ．﹣3 B ．﹣1C ．1D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据线性规划的知识求解． 【详解】根据线性规划知识，y x -的最小值一定在ABC ∆的三顶点中的某一个处取得，分别代入,,A B C 的坐标可得y x -的最小值是011-=-． 故选B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题．4．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（ ）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-()()2462cos 112!4!6!2!nnx x x x x n -=-+-++-+其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，例如：1!12!23!6===，，．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01） A ．0.99 B ．0.98C ．0.97D ．0.96【答案】B 【解析】 【分析】利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案． 【详解】由题设中的余弦公式得()()24620.20.20.20.2cos0.2112!4!6!2!nnn =-+-++-+0.040.00160.00006410.98224720=-+-+≈，故答案为B 【点睛】本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．已知数列{}n a 的前n 项和1nn S a =-（0a ≠），那么{}n a （ ）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【答案】C 【解析】试题分析：当1a =时，110a a =-=，11120,0n n n n n n a S S a S S ----=-==-=10n n a a -∴-=，∴数列{}n a 是等差数列．当1a ≠时，11a a =-，1121112,n n n n n n n n n n a S S a a a S S a a -------=-=-=-=- 1nn a a a -∴=∴数列{}n a 是等比数列．综上所述，数列{}n a 或是等差数列或是等比数列 考点：等差数列等比数列的判定6．ABC ∆中，若cos c a B =⋅，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形 D ．直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理，得到sin sin cos C A B =，进而得到sin()sin cos +=A B A B ，再由两角和的正弦公式，即可得出结果. 【详解】因为cos c a B =⋅，所以sin sin cos C A B =，所以sin()sin cos +=A B A B ， 即sin cos cos sin sin cos +=A B A B A B ，所以cos sin 0=A B ， 又sin 0B ＞，因此cos 0A =， 所以2A π=，即三角形为直角三角形.故选D 【点睛】本题主要考查三角形形状的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型. 7．点(3,4)关于直线60x y -+=的对称点的坐标为（ ） A ．(4,3) B ．(2,9)-C ．(4,3)--D ．(2,9)-【答案】D【解析】令()3,4P ，设对称点P '的坐标为(),a b ，可得PP '的中点34,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭在直线60x y -+=上，故可得346022a b ++-+=①，又可得PP '的斜率34b a --，由垂直关系可得314b a -=--②，联立①②解得29a b =-⎧⎨=⎩，即对称点的坐标为()2,9-，故选D. 点睛：本题考查对称问题，得出中点在直线且连线与已知直线垂直是解决问题的关键，属中档题；点关于直线成轴对称问题，由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”，利用“垂直”即斜率关系，“平分”即中点在直线上这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标． 8．如图，函数tan cos 0,,22y x x x πππ⎛⎫⎡⎫⎛⎤=∈⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎝⎭的图像是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据x 的取值进行分类讨论，去掉tan x 中绝对值符号，转化为分段函数，利用正弦函数的图象即可得解. 【详解】 当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，tan cos tan cos sin y x x x x x ===； 当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，tan cos tan cos sin y x x x x x ==-=-.因此，函数tan cos 0,,22y x x x πππ⎛⎫⎡⎫⎛⎤=∈⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎝⎭的图象是B 选项中的图象. 故选：B. 【点睛】本题考查正切函数与正弦函数的图象，去掉绝对值是关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.9．已知点,,,A B C D 均在球O上，3AB BC AC ===，若三棱锥D ABC -体积的最大值为4，则球O 的体积为 A ．323πB ．16πC ．32πD ．163π【答案】A 【解析】 【分析】设M 是ABC ∆的外心，则三棱锥D ABC -体积最大时，DM ⊥平面ABC ，球心O 在DM 上．由此可计算球半径． 【详解】如图，设M 是ABC ∆的外心，则三棱锥D ABC -体积最大时，DM ⊥平面ABC ，球心O 在DM 上．∵3BA BC AC ===，∴3cos 2BCA ∠==，即30BCA BAC ∠=︒=∠，∴112sin 22AB BM BCA =⨯==∠．又13sin 3024ABC S ∆=︒=，∴1344DM ⨯⨯=，3DM =． ∵DM ⊥平面ABC ，∴DM BM ⊥，设球半径为R ，则由222BM OM OB +=得222(3)R R +-=，解得2R =， ∴球体积为3344322333V R πππ==⨯=． 故选A ．【点睛】本题考查球的体积，关键是确定球心位置求出球的半径．10．已知两个变量x ，y 之间具有线性相关关系，试验测得(x ，y)的四组值分别为(1,2)，(2,4)，(3,5)，(4,7)，则y 与x 之间的回归直线方程为( ) A ．y ＝0.8x ＋3 B ．y ＝－1.2x ＋7.5 C ．y ＝1.6x ＋0.5 D ．y ＝1.3x ＋1.2【答案】C 【解析】试题分析：设样本中线点为00(,)x y ，其中001+2+3+45245+79===4242x y ++=，，即样本中心点为5922（，），因为回归直线必过样本中心点，将5922（，）代入四个选项只有B,C 成立，画出散点图分析可知两个变量x ，y 之间正相关，故C 正确． 考点：回归直线方程 11．函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】结合正弦函数的基本性质,抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可. 【详解】当时,,当,因为在只有一条对称轴,可知,解得,故选C.【点睛】考查了正弦函数的基本性质,关键抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可. 12．已知圆22:40C x y x +-=与直线l 切于点()1,3P ，则直线l 的方程为（ ） A ．320x y -+= B ．340x y -+= C ．340x y +-= D ．320x y +-= 【答案】A 【解析】 【分析】利用点P 与圆心连线的直线与所求直线垂直，求出斜率，即可求过点()1,3P 与圆C 相切的直线方程； 【详解】圆22:40C x y x +-=可化为：()2224x y -+= ，显然过点()1,3P 的直线1x =不与圆相切，则点P与圆心连线的直线斜率为03321-=-- ，则所求直线斜率为33，代入点斜式可得()3313y x -=- ，整理得320x y -+=。

湖北省襄阳市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个选项符合题意）1．不等式x2＜x+6的解集为（）A．{x|x＜﹣2或x＞3} B．{x|x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|x＞3}2．cos75°cos15°﹣sin255°sin165°的值是（）A．B．C．D．03．下列中，正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bc B．若ac＞bc，则a＜bC．若，则a＜b D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d4．已知直线l，平面α、β、γ，则下列能推出α∥β的条件是（）A．l⊥α，l∥βB．α∥γ，β∥γC．α⊥γ，β⊥γD．l∥α，l∥β5．如果log3m+log3n≥4，那么m+n的最小值是（）A．4B．C．9D．186．设S n为公差大于零的等差数列{a n}的前n项和，若S9=3a8，则当S n取到最小值时n的值为（）A．3B．4C．5D．67．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）①测量A，C，b．②测量a，b，C．③测量A，B，a．④测量a，b，B．则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④8．在△ABC中，若sin2A=sinB•sinC且（b+c+a）（b+c﹣a）=3bc，则该三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形9．若关于x的不等式（a2﹣a）•4x﹣2x﹣1＜0在区间（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣∞，6]10．已知a、b表示不同的直线，α表示平面，其中正确的有（）①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a、b与α所成的角相等，则a∥b．A．0个B．1个C．2个D．4个11．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1a n=a n﹣1，则a2015值为（）A．2B．﹣C．﹣1 D．12．等比数列{a n}中a1=512，公比q=﹣，记T n=a1×a2×…×a n，则T n取最大值时n的值为（）A．8B．9C．9或10 D．11二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若的值为．14．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是15．定义为n个正数a1，a2，…，a n的“均倒数”，若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则a n=．16．在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个结论①②③④，其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．①=2；②1＜sinA+sinB≤；③sin2A+cos2B=1；④cos2A+cos2B=sin2C．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若a2，a7，a22成等比数列，S4=48．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．18．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且4sin2﹣cos2A=（1）求角A的大小，（2）若a=，cosB=，求△ABC的面积．19．如图，在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且．（1）若EF∥平面ABD，求实数λ的值；（2）求证：平面BCD⊥平面AED．20．已知ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB=AA1=2，AD=4，M是BC中点，N是A1D1中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面MDD1；（Ⅱ）求证：DN⊥MD1；（Ⅲ）求三棱锥A﹣MBD1的体积．21．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1，c2k+1=a2k+kb k，其中k∈N*，求数列{c n}的前n（n≥3）项的和T n．22．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？湖北省襄阳市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个选项符合题意）1．不等式x2＜x+6的解集为（）A．{x|x＜﹣2或x＞3} B．{x|x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|x＞3}考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先将原不等式x2＜x+6可变形为（x﹣3）（x+2）＜0，结合不等式的解法可求．解答：解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故选：C．点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础试题．2．cos75°cos15°﹣sin255°sin165°的值是（）A．B．C．D．0考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：把原式中减数利用诱导公式化简后，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出值．解答：解：cos75°cos15°﹣sin255°sin165°=cos75°cos15°﹣sin（180°+75°）sin（180°﹣15°）=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos（75°﹣15°）=cos60°=．故选A点评：此题考查学生灵活运用诱导公式及两角和与差的余弦函数公式化简求值，是一道基础题．3．下列中，正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bc B．若ac＞bc，则a＜bC．若，则a＜b D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d考点：不等关系与不等式；的真假判断与应用．专题：证明题．分析：对于选择支A、B、D，举出反例即可否定之，对于C可以利用不等式的基本性质证明其正确．解答：解：A．举出反例：虽然5＞2，﹣1＞﹣2，但是5×（﹣1）＜2×（﹣2），故A不正确；B．举出反例：虽然5×3＞4×3，但是5＞4，故B不正确；C．∵，∴，∴a＜b，故C正确；D．举出反例：虽然5＞4，3＞1，但是5﹣3＜4﹣1，故D不正确．综上可知：C正确．故选C．点评：熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．4．已知直线l，平面α、β、γ，则下列能推出α∥β的条件是（）A．l⊥α，l∥βB．α∥γ，β∥γC．α⊥γ，β⊥γD．l∥α，l∥β考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：根据空间中的平行与垂直关系，对选项中的问题进行判断分析，以便得出正确的结论．解答：解：对于A，当l⊥α，l∥β时，有α⊥β，或α∥β，∴A不符合条件；对于B，当α∥γ，γ∥β时，有α∥β，∴满足题意；对于C，当α⊥γ，γ⊥β时，α与β可能平行，也可能相交，∴C不符合条件；对于D，当l∥α，l∥β时，α与β可能平行，也可能相交，∴不符合条件；故选：B．点评：本题考查了空间中的平行与垂直的应用问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题目．5．如果log3m+log3n≥4，那么m+n的最小值是（）A．4B．C．9D．18考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数值大小的比较．专题：不等式的解法及应用．分析：由m，n＞0，log3m+log3n≥4，可得mn≥34=81．再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵m，n＞0，log3m+log3n≥4，∴mn≥34=81．∴m+n=18，当且仅当m=n=9时取等号．∴m+n的最小值是18．故选：D．点评：本题考查了对数的法则、基本不等式的性质，属于基础题．6．设S n为公差大于零的等差数列{a n}的前n项和，若S9=3a8，则当S n取到最小值时n的值为（）A．3B．4C．5D．6考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的前n项和与通项公式，求出a1与公差d的关系，再求出S n的解析式，得出S n取最小值时n的值．解答：解：∵等差数列{a n}中，其前n项和为S n，公差d＞0，且S9=3a8，∴9a1+9×8×=3（a1+7d），化简得a1=﹣d，∴S n=n•a1+ d=﹣nd+ d=（n2﹣6n）；∴当n=3时，S n取得最小值．故选：A．点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，是基础题目．7．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）①测量A，C，b．②测量a，b，C．③测量A，B，a．④测量a，b，B．则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：根据图形，可以知道a，b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A，B两点间的距离唯一即可．解答：解：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离．对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．对于④测量a，b，B，，sinA=，b＜a，此时A不唯一故选：A．点评：本题以实际问题为素材，考查解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接测量，注意正弦定理的应用．8．在△ABC中，若sin2A=sinB•sinC且（b+c+a）（b+c﹣a）=3bc，则该三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：根据条件应用正弦定理、余弦定理可得cosA==，故A=60°，B+C=120°，cos（B﹣C）=1，从而得到B=C=60°，故三角形是等边三角形．解答：解：若sin2A=sinB•sinC，则a2=bc．又（b+c+a）（b+c﹣a）=3bc，∴b2+c2﹣a2=bc，又cosA==，∴A=60°，B+C=120°．再由sin2A=sinB•sinC，可得=[cos（B﹣C）﹣cos（B+C）]=cos（B﹣C）+，∴cos（B﹣C ）=1．又﹣π＜B﹣C＜π，∴B﹣C=0，∴B=C=60°，故该三角形的形状是等边三角形，故选D．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，求得A=60°，及cos（B﹣C ）=1，是解题的关键．9．若关于x的不等式（a2﹣a）•4x﹣2x﹣1＜0在区间（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣∞，6]考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：令t=2x，转化为关于x的不等式（a2﹣a）•t2﹣t﹣1＜0在区间（0，2]上恒成立，通过讨论①a2﹣a=0，②a2﹣a≠0时的情况，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可．解答：解：令t=2x，∵x∈（﹣∞，1]，∴t∈（0，2]，关于x的不等式（a2﹣a）•4x﹣2x﹣1＜0在区间（﹣∞，1]上恒成立，转化为关于x的不等式（a2﹣a）•t2﹣t﹣1＜0在区间（0，2]上恒成立，①a2﹣a=0，即a=0或a=1时，不等式为：﹣t﹣1＜0在（0，2]恒成立，显然成立，②a2﹣a≠0时，令f（t）=（a2﹣a）•t2﹣t﹣1，若f（t）＜0在区间（0，2]上恒成立，只需即，解得：﹣＜a＜，故选：C．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数、一次函数的性质，考查换元思想，是一道中档题．10．已知a、b表示不同的直线，α表示平面，其中正确的有（）①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a、b与α所成的角相等，则a∥b．A．0个B．1个C．2个D．4个考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：对四个选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：①若a∥α，b∥α，则a，b相交或平行或异面，故不正确；②若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故不正确；③若a⊥α，b⊥α，利用线面垂直的性质，可得a∥b，正确；④等腰三角形所在的平面垂直平面时，等腰三角形的两个直角边和α所成的角相等，但a∥b 不成立，故不正确．故选：B．点评：本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，要求熟练掌握线面平行和垂直的定义和性质．11．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1a n=a n﹣1，则a2015值为（）A．2B．﹣C．﹣1 D．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过计算出前几项的值得出该数列周期为3，进而计算可得结论．解答：解：∵a n+1a n=a n﹣1，∴a n≠0，从而a n+1=1﹣，又∵a1=2，∴a2=1﹣==，a3===﹣1，a4===2，∴该数列是以3为周期的周期数列，∵2015=671×3+2，∴a2015=a2=，故选：D．点评：本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．12．等比数列{a n}中a1=512，公比q=﹣，记T n=a1×a2×…×a n，则T n取最大值时n的值为（）A．8B．9C．9或10 D．11考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：求出数列的通项公式a n=512•，则|a n|=512•，|a n|=1，得n=10，根据数列|n的特点进行判断即可．解答：解：∵在等比数列{a n}中，a1=512，公比q=﹣，∴a n=512•，则|a n|=512•．令|a n|=1，得n=10，∴|Πn|最大值在n=10之时取到，∵n＞10时，|a n|＜1，n越大，会使|Πn|越小．∴n为偶数时，a n为负，n为奇数时，a n为正．∵Πn=a1a2…a n，∴Πn的最大值要么是a10，要么是a9．∵Π10中有奇数个小于零的项，即a2，a4，a6，a8，a10，则Π10＜0，而Π9 中有偶数个项小于零，即a2，a4，a6，a8，故Π9 最大，故选：B点评：本题考查等比数列的通项公式的应用．求出数列的通项公式是解决本题的关键．注意合理地进行转化，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若的值为．考点：二倍角的余弦；角的变换、收缩变换．专题：计算题．分析：利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为2﹣1，再利用诱导公式化为2﹣1，将条件代入运算求得结果．解答：解：∵=cos2（+α）=2﹣1=2﹣1=2×﹣1=，故答案为：．点评：本题考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，把要求的式子化为2﹣1=2﹣1，是解题的关键．14．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，先确定最大的面，再求其面积．解答：解：由三视图可知，该几何体有两个面是直角三角形，如右图，底面是正三角形，最大的面是第四个面，其边长分别为：2，=2，=2；故其面积为：×2×=；故答案为：．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．15．定义为n个正数a1，a2，…，a n的“均倒数”，若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则a n=4n﹣1．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过“均倒数”的定义可知a1+a2+…+a n=n•（2n+1）、a1+a2+…+a n+a n+1=（n+1）•（2n+3），两者作差计算即得结论．解答：解：由题可知：=，∴a1+a2+…+a n=n•（2n+1），∴a1+a2+…+a n+a n+1=（n+1）•（2n+3），两式相减得：a n+1=（n+1）•（2n+3）﹣n•（2n+1）=4（n+1）﹣1，又∵=，即a1=3满足上式，∴a n=4n﹣1，故答案为：4n﹣1．点评：本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．16．在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个结论①②③④，其中正确的是②④（写出所有正确结论的序号）．①=2；②1＜sinA+sinB≤；③sin2A+cos2B=1；④cos2A+cos2B=sin2C．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；解三角形．分析：先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=，进而求得A+B=90°进而求得①tanA•cotB=tanA•tanA=2等式不一定成立，排除；②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，②正确；③sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函数的基本关系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，进而根据C=90°可知sinC=1，进而可知二者相等．④正确．解答：解：∵tan=sinC，∴=2sin cos，整理求得cos（A+B）=0，∴A+B=90°．∴=tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于2，①不正确．∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+45°），45°＜A+45°＜135°，＜sin（A+45°）≤1，∴1＜sinA+sinB≤，所以②正确；cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，sin2C=sin290°=1，所以cos2A+cos2B=sin2C．所以④正确．sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1不一定成立，故③不正确．综上知②④正确故答案为：②④．点评：本题主要考查了三角函数的化简求值．考查了学生综合分析问题和推理的能力，考查了运算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若a2，a7，a22成等比数列，S4=48．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过解方程组，进而计算可得结论；（Ⅱ）通过（I）、裂项可知=（﹣），并项相加即得结论．解答：解：（Ⅰ）依题意，，解得：a1=6，d=4，∴a n=6+4（n﹣1）=4n+2；（Ⅱ）由（I）知：S n=2n（n+2），∴==（﹣），∴数列{}的前n项和T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣（+）．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且4sin2﹣cos2A=（1）求角A的大小，（2）若a=，cosB=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）利用三角恒等变换公式和诱导公式，化简已知等式得到（2cosA﹣1）2=0，解之得cosA=，结合A是三角形的内角可得A=60°；（2）算出sinA==，结合正弦定理算出b==．利用诱导公式与两角和的正弦公式算出sinC=sin（A+B）=，最后利用正弦定理的面积公式即可算出△ABC 的面积．解答：解：（1）∵sin2=[1﹣cos（B+C）]=（1+cosA），cos2A=2cos2A﹣1∴由4sin2﹣cos2A=，得（2cosA﹣1）2=0，解之得cosA=∵A是三角形的内角，∴A=60°；（2）由cosB=，得sinA==∵，∴b==又∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴△ABC的面积为S=absinC=×=．点评：本题着重考查了正弦定理的面积公式、三角函数的诱导公式和三角恒等变换公式、正弦定理解三角形等知识，属于中档题．19．如图，在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且．（1）若EF∥平面ABD，求实数λ的值；（2）求证：平面BCD⊥平面AED．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题．分析：（1）因为EF∥平面ABD，所以EF⊂平面ABC，EF∥AB，由此能够求出实数λ的值．（2）因为AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥DE，由此能够证明平面BCD⊥平面AED．解答：解：（1）因为EF∥平面ABD，易得EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD=AB，所以EF∥AB，又点E是BC的中点，点F在线段AC上，所以点F为AC的中点，由得；（2）因为AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥DE，又AE∩DE=E，AE、DE⊂平面AED，所以BC⊥平面AED，而BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面AED．点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力．20．已知ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB=AA1=2，AD=4，M是BC中点，N是A1D1中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面MDD1；（Ⅱ）求证：DN⊥MD1；（Ⅲ）求三棱锥A﹣MBD1的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明：AM⊥DM，DD1⊥AM，而DD1、DM在平面MDD1内，即可证明AM⊥平面MDD1；（Ⅱ）证明DN⊥平面MM1D1，即可证明：DN⊥MD1；（Ⅲ）利用等体积转化，即可求三棱锥A﹣MBD1的体积．解答：（Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，M是BC中点，∴AM==2，DM===2，故AM2+DM2=16=AD2，即AM⊥DM又ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴DD1⊥平面ABCD∴DD1⊥AM而DD1、DM在平面MDD1内∴AM⊥平面MDD1（Ⅱ）证明：设M1是AD中点，连结MM1，则MM1∥AB∴MM1⊥平面ADD1A1，因此MM1⊥DN连结NM1，则NM1∥DD1，又DD1=AA1=2，DM=AD=2∴NM1DD1是正方形，因此DN⊥D1M∴DN⊥平面MM1D1而MD1在平面MM1D1内，∴DN⊥MD1（Ⅲ）解：三棱锥A﹣MBD1的体积=三棱锥D1﹣AMB的体积===．点评：本题主要考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1，c2k+1=a2k+kb k，其中k∈N*，求数列{c n}的前n（n≥3）项的和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过解方程组，进而计算即得结论；（Ⅱ）通过分n是奇数、偶数两种情况讨论：当n=2k+1（k∈N*）时，T2k+1=1+（c2+c4+…+c2k）+（c3+c5+…+c2k+1）=1+（a1+a2+…+a2k）+（b1+2b2+…+kb k），利用等差数列的求和公式可知a1+a2+…+a2k=4k2，通过令M=b1+2b2+…+kb k=2+2•22+3•23+…+k•2k，利用错位相减法计算可知M=（k﹣1）•2k+1+2，进而T2k+1=3+4k2+（k﹣1）•2k+1；当n=2k+2（k∈N*）时，利用T2k+2=T2k+1+c2k+2计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d＞0），数列{b n}的公比为q，则有：，解得：d=q=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=2•2n﹣1=2n；（Ⅱ）解：分n是奇数、偶数两种情况讨论：①当n=2k+1（k∈N*）时，T2k+1=c1+c2+…+c2k+c2k+1=1+（c2+c4+…+c2k）+（c3+c5+…+c2k+1）=1+（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+b1+a4+2b2+…+a2k+kb k）=1+（a1+a2+…+a2k）+（b1+2b2+…+kb k），显然，a1+a2+…+a2k==4k2，令M=b1+2b2+…+kb k=2+2•22+3•23+…+k•2k，则2M=22+2•23+…+（k﹣1）•2k+k•2k+1，两式相减得：﹣M=2+22+23+…+2k﹣k•2k+1=﹣k•2k+1=（1﹣k）•2k+1﹣2，∴M=（k﹣1）•2k+1+2，∴T2k+1=1+4k2+（k﹣1）•2k+1+2=3+4k2+（k﹣1）•2k+1；②当n=2k+2（k∈N*）时，T2k+2=T2k+1+c2k+2=3+4k2+（k﹣1）•2k+1+a2k+1=4k2+4k+4+（k﹣1）•2k+1；综上所述，T n=．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．22．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题．分析：（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．（2）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．解答：解：（1）设每吨的平均成本为W（万元/T），则（0＜x＜210），当且仅当，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．（2）设年利润为u（万元），则=．所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．点评：本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：一正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴．。

湖北省黄石市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设tanα、tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）=（）A．﹣3 B．3C．﹣1 D．12．已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，集合B={y|y=（）x}，x＜1}，则A∩B=（）A．{y|y＞} B．{y|{0＜y＜} C．{y|y＞1} D．{y|＜y＜1}3．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4，则a3=（）A．±2 B．2C．﹣2 D．±4．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5．把函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（2x+）6．在△ABC中，AB=6，O为△ABC的外心，则等于（）A．B．18 C．12 D．67．函数f（x）=log（x2﹣4x+3）的递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（3，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）8．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣9．直线xcosθ+y﹣m=0（θ∈R）的倾斜角α的范围是（）A．[0，π]B．[]C．[0，]∪[，π）D．[，）∪（，]10．已知直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0），两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＞0，且|Ax1+By1+C|＜|Ax2+By2+C|，则直线l（）A．与直线P1P2不相交B．与线段P2P1的延长线相交C．与线段P1P2的延长线相交D．与线段P1P2相交11．偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=﹣x+1，则关于x 的方程f（x）=lg（x+1），在x∈[0，9]上解的个数是（）A．7B．8C．9D．1012．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则点C到平面BED的距离为（）A．1B．C．D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的外接球体积为．14．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||=．15．函数，等比数列{a n}中，a2•a5•a8=8，则f（a1）+f（a2）+…+f（a9）=．16．已知函数y=f（x）的定义域为{x|﹣3≤x≤8，且x≠5}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}．下列关于函数y=f（x）的说法：①当x=﹣3时，y=﹣1；②点（5，0）不在函数y=f（x）的图象上；③将y=f（x）的图象补上点（5，0），得到的图象必定是一条连续的曲线；④y=f（x）是[﹣3，5）上的单调函数．⑤y=f（x）的图象与坐标轴只有一个交点．其中一定正确的说法的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2C+2cos（A+B）+=0，a+b=5，c=．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．19．某人准备租一辆车从黄石出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100km，按交通法规定，这段公路车速限制在60≤x≤120（单位：km/h）之间．假设目前油价为7.0（单位：元/L），汽车的耗油率为3+（单位：L/hH），其中x（单位：km/h）为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为141元，不考虑其它费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？（注：租车总费用=耗油费+司机的工资）20．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．21．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足且a2，a5，a14恰好是等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，（T）k≥3n﹣6恒成立，求实数k的取值范围．22．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司该如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润，最大利润是多少元？湖北省黄石市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设tanα、tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）=（）A．﹣3 B．3C．﹣1 D．1考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解答：解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，则tan（α+β）===﹣3．故选：A．点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．2．已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，集合B={y|y=（）x}，x＜1}，则A∩B=（）A．{y|y＞} B．{y|{0＜y＜} C．{y|y＞1} D．{y|＜y＜1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：分别求解对数函数和指数函数的值域化简集合A与B，取交集得答案．解答：解：∵A={y|y=log2x，x＞1}={y|y＞0}，B={y|y=（）x}，x＜1}={y|y}，则A∩B={y|y＞}．故选：A．点评：本题考查了交集及其运算，考查了指数函数和对数函数的值域，是基础题．3．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4，则a3=（）A．±2 B．2C．﹣2 D．±考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的性质进行求解即可．解答：解：在等比数列中，a1a5=（a3）2=4，∵a3=a1q2=q2＞0，∴a3=2，故选：B．点评：本题主要考查等比数列项的求解，根据等比数列的性质是解决本题的关键．注意等比数列的符号问题．4．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：A根据线面平行的性质判断．B利用线面垂直的性质判断．C利用线面平行和面面平行的判定定理判断．D利用面面垂直的性质定理判断．解答：解：A．平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面，∴A错误．B．垂直于同一平面的两条直线平行，∴B正确．C．平行于同一条直线的两个平面的不一定平行，可能相交，∴C错误．D．垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交，∴D错误．故选：B．点评：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．5．把函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（2x+）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数图象平移的法则，写出函数图象向左平移个单位，图象对应的函数解析式即可．解答：解：函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式是y=sin（2（x+）﹣），即y=sin（2x+﹣）=sin（2x+）．故选：D．点评：本题考查了三角函数图象平移的问题，解题时应明确图象平移的方法是什么（即左+右﹣），是基础题．6．在△ABC中，AB=6，O为△ABC的外心，则等于（）A．B．18 C．12 D．6考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用三角形外心的性质以及向量的数量积，得=，计算可得．解答：解：∵AB=6，O为△ABC的外心，∴==××=×36=18；故选B．点评：熟练掌握三角形外心的性质、线段的垂直平分线的性质、向量的运算法则是解题的关键．7．函数f（x）=log（x2﹣4x+3）的递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（3，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：采用换元法求函数的值域，即先令t=x2﹣4x+3，按照复合函数单调区间的求法进行即可，得到答案．解答：解：令t=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，由x2﹣4x+3＞0得x＜1或x＞3，因为函数t=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1的对称轴为x=2，开口向上，所以t=t=x2﹣4x+3在（﹣∞，1）上递减，在（3，+∞）递增，又函数y=是定义域内的减函数．所以原函数在（﹣∞，1）上递増．故选：A．点评：本题考查了复合函数单调区间的求法，一般的先求函数的定义域，然后确定内外函数并研究各自的单调性，再按照“同增异减”的原则确定原函数的单调性．8．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的求值．分析：先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案．解答：解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故选C点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．关键是根据cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]，巧妙利用两角和公式进行求解．9．直线xcosθ+y﹣m=0（θ∈R）的倾斜角α的范围是（）A．[0，π]B．[]C．[0，]∪[，π）D．[，）∪（，]考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：由直线xcosθ+y﹣m=0的斜率k=﹣cosθ∈[﹣1，1]，得﹣1≤tanα＜0或0≤tanα≤1，由此能求出直线xcosθ+y﹣m=0的倾斜角范围．解答：解：直线xcosθ+y+m=0的斜率k=﹣cosθ∈[﹣1，1]，∴﹣1≤tanα＜0或0≤tanα≤1，∴≤α＜π或0≤α≤．∴直线xcosθ+y+m=0的倾斜角范围是[0，]∪[，π）．故选：C．点评：本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的合理运用．10．已知直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0），两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＞0，且|Ax1+By1+C|＜|Ax2+By2+C|，则直线l（）A．与直线P1P2不相交B．与线段P2P1的延长线相交C．与线段P1P2的延长线相交D．与线段P1P2相交考点：点到直线的距离公式．专题：计算题；直线与圆．分析：利用题中条件：（1）（Ax1+By1+C）（Ax1+By1+C）＞0的含义：点在直线的同侧；（2）|Ax1+By1+C|＜|Ax2+By2+C|的含义：点到直线的距离的大小关系．即可得出答案．解答：解：：∵（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＞0，表示两点在直线的同一旁，又∵|Ax1+By1+C|＜|Ax1+By1+C|表示P1到直线的距离小于P2到直线的距离，所以P1P2直线不会与直线平行（否则距离相等），并且P1到直线的距离小，所以在线段P2P1方向的延长线上会与直线相交，故选B．点评：本题就是考查线性规划问题、点到直线的距离公式、二元一次不等式（组）与平面区域等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．11．偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=﹣x+1，则关于x 的方程f（x）=lg（x+1），在x∈[0，9]上解的个数是（）A．7B．8C．9D．10考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：首先有已知条件推导函数f（x）的性质，再利用函数与方程思想把问题转化，数形结合，即可得解解答：解：设y1=f（x），y2=lg（x+1）方程f（x）=lg（x+1）在x∈[0，9]上解的个数，即为函数y1=f（x），y2=lg（x+1）的图象在x∈[0，9]上交点的个数∵f（x﹣1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2）∴原函数的周期T=2又∵x∈[0，1]时，f（x）=﹣x+1由以上条件，可画出y1=f（x），y2=lg（x+1）在x∈[0，9]的图象：又因为当x=9时，y1≤1，y2=1∴结合图象可知，在[0，9]上y1=f（x），y2=lg（x+1）的图象共有9个交点∴在[0，9]上，原方程有9个根故选C点评：本题主要考查了函数的性质，同时考查了转化的思想和函数与方程思想，数形结合思想，属较难题12．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则点C到平面BED的距离为（）A．1B．C．D．2考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用等体积法求点面距离，即可求出点C到平面BED的距离．解答：解：设点C到平面BED的距离为h，则△BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S △EBD=×2×=2在三棱锥C﹣BDE中，=∴h=1故选：A．点评：本题主要考查了三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的外接球体积为．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，画出其直观图，根据正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形求得外接球的半径，代入球的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图如图：O为BD的中点，∵正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴几何体的外接球的半径为1，∴外接球的体积V=×13=．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体外接球的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的性质，求得外接球的半径．14．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||=3．考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值．解答：解：=9=9，∴||=3，故答案为：3．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．15．函数，等比数列{a n}中，a2•a5•a8=8，则f（a1）+f（a2）+…+f（a9）=﹣9．考点：等比数列的性质．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的性质求出a5=2，然后根据对数的运算法则进行化简计算即可得到结论．解答：解：等比数列{a n}中，a2•a5•a8=8，∴（a5）3=8，即a5=2，∵函数=log2x﹣2，∴f（a1）+f（a2）+…+f（a9）=（log⁡2a1+…+log⁡2a9）﹣2×9==9﹣18=﹣9，故答案为：﹣9．点评：本题主要考查等比数列的性质以及对数的运算法则，要求熟练掌握相应的运算公式和性质．16．已知函数y=f（x）的定义域为{x|﹣3≤x≤8，且x≠5}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}．下列关于函数y=f（x）的说法：①当x=﹣3时，y=﹣1；②点（5，0）不在函数y=f（x）的图象上；③将y=f（x）的图象补上点（5，0），得到的图象必定是一条连续的曲线；④y=f（x）是[﹣3，5）上的单调函数．⑤y=f（x）的图象与坐标轴只有一个交点．其中一定正确的说法的序号为②③．考点：函数的概念及其构成要素．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的概念和性质分别进行判断即可．解答：解：①当x=﹣3时，y=﹣1，不一定正确；②点（5，0）不在函数y=f（x）的图象上，正确；③将y=f（x）的图象补上点（5，0），得到的图象必定是一条连续的曲线，正确；④y=f（x）不一定是[﹣3，5）上的单调函数，因此不正确；⑤y=f（x）的图象与坐标轴交点个数不确定．综上可知：②③正确，故答案为：②③点评：本题考查了函数的图象与性质，结合函数定义域和值域之间的关系是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），利用三角函数的周期性及其求法即可得解．（2）根据（1）中函数的解析式及x∈[0，π]，求出相位角的范围，结合正弦函数的单调性，可得f（x）的单调递增区间．解答：解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x+=sin2x﹣+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴函数f（x）的最小正周期T=．（2）当x∈[0，π]时，2x﹣∈[，]∵2x﹣∈[，]和[，]时，函数为增函数，此时x∈[，]或x∈[，π]，故当x∈[0，π]时，f（x）的单调递增区间为[，]和[，π]．点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2C+2cos（A+B）+=0，a+b=5，c=．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．考点：余弦定理；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（1）根据三角形的内角和，得到A+B=π﹣C，然后结合二倍角公式化简cos2C+2cos （A+B）+=0，求出cosC的值，即可求出结果．（2）利用余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，结合条件a+b=5，求出a，b的值，再由三角形的面积公式计算可得．解答：解：（1）在△ABC中，A+B=π﹣C，由已知，得（2cos2C﹣1）+2cos（π﹣C）+=0，整理，得4cos2C﹣4cosC+1=0解得：cosC=，又∵0＜C＜180°∴C=60°；（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即（）2=a2+b2﹣2•abcos60°，①解得b=3，a=2或a=3，b=2．∴△ABC的面积S=absinC=×2×3×=．点评：本题考查了余弦定理、面积公式以及三角函数的化简，考查运算能力，属于中档题．19．某人准备租一辆车从黄石出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100km，按交通法规定，这段公路车速限制在60≤x≤120（单位：km/h）之间．假设目前油价为7.0（单位：元/L），汽车的耗油率为3+（单位：L/hH），其中x（单位：km/h）为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为141元，不考虑其它费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？（注：租车总费用=耗油费+司机的工资）考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意列出总费用的表达式，利用基本不等式计算即得结论．解答：解：根据题意，设总费用为f（x），则：f（x）=141•+7••（3+）=+2x，60≤x≤120，∵+2x≥2=360，当且仅当=2x即x=90时取等号，∴当车速为90时，租车的总费用最少，为360元．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，主要函数的定义域以及检验等号成立的条件，属于中档题．20．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明：CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；（Ⅱ）利用转换底面，V A﹣MBC=V C﹣ABM=S△ABM•CD，即可求出三棱锥A﹣MBC的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，∴S△ABD=，∵M为AD中点，∴S△ABM=S△ABD=，∵CD⊥平面ABD，∴V A﹣MBC=V C﹣ABM=S△ABM•CD=．点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥A﹣MBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键．21．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足且a2，a5，a14恰好是等比数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，（T）k≥3n﹣6恒成立，求实数k的取值范围．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由得，当n≥2时，，两式相减并化简，得数列{a n}为等差数列，再由题目中其他条件计算出{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）计算得到T n=，再进行参数分离，将题中不等式转化为：对n∈N*恒成立，令c n=，作差确定数列的单调性，求出数列的最小值即可．解答：（Ⅰ）由题意，，当n≥2时，，∴4a n=4S n﹣4S n﹣1=，，又a n＞0，∴a n+1=a n+2．∴当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列．又a2，a5，a14构成等比数列，，，解得a2=3，由条件可知，，∴a1=1，又a2﹣a1=3﹣1=2，∴{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．数列{a n} 的通项公式为a n=2n ﹣1，则b1=a2=3，b2=a5=9，b3=a14=27，且{b n}是等比数列，∴数列{b n}的通项公式为．（Ⅱ）==，∴对n∈N*恒成立，∴对n∈N*恒成立，令c n=，c n﹣c n﹣1==，当n≤3时，c n＞c n﹣1，当n≥4时，c n＜c n﹣1，∴，∴．点评：本题是对数列知识的考查，其中“迭代”思想是数列中最常见的思想，本题也不例外；在第二问的处理中，对于数列c n=，通过作差研究数列的单调性也是与数列相关的综合性题型常用的方法．22．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司该如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润，最大利润是多少元？考点：简单线性规划的应用．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：我们设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，根据题意中运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；没送一次可得利润350元，我们易构造出x，y满足的约束条件，及目标函数，画出满足条件的平面区域，利用角点法即可得到答案．解答：解：设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为z元，z=450x+350y…由题意，x、y满足关系式作出相应的平面区域如图阴影部分所示…z=450x+350y=50（9x+7y）由得交点（7，5）…∴当x=7，y=5时，450x+350y有最大值4900答：该公司派用甲型卡车7辆，乙型卡车5辆，获得的利润最大，最大为4900元…点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．。

湖北省武汉市重点名校2017-2018学年高一下学期期末质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若不等式210ax ax -+≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．04a ≤≤ B ．04a <≤C ．04a <<D ．04a ≤<【答案】D 【解析】 【分析】对a 分0,0a a =≠两种情况讨论分析得解. 【详解】当0a =时，不等式为10≤，所以满足题意；当0a ≠时，2,0440a a a a >⎧∴<<⎨∆=-<⎩， 综合得04a ≤<. 故选：D 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．过点A(3，3)且垂直于直线4270x y +-=的直线方程为 A ．122y x =+ B ．27y x =-+ C ．1522y x =+ D ．1322y x =+ 【答案】D 【解析】过点A(3，3)且垂直于直线4270x y +-=的直线斜率为12，代入过的点得到1322y x =+. 故答案为D.3．半径为1cm ，中心角为150的弧长为（ ） A ．23cm B ．23cm π C ．56cmD ．56cm π 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长公式，即可求得结果. 【详解】51506π=，55166l r cm αππ==⨯=.故选D.【点睛】本题考查了弧长公式，属于基础题型.4．若不等式2(1)0mx m x m +-+>对实数x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．1m <-或13m > B ．1m > C ．13m >D ．113m -<<【答案】C 【解析】 【分析】对m 分m≠0和m=0两种情况讨论分析得解. 【详解】由题得0m =时，x ＜0，与已知不符，所以m≠0. 当m≠0时，220(1)40m m m >∆=--<且， 所以13m >. 综合得m 的取值范围为13m >. 故选C 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移π8个单位，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．3π4B ．π4C ．π3D ．π6【答案】B 【解析】 【分析】利用函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换可得函数平移后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案． 【详解】令y ＝f （x ）＝sin （2x+φ），则f （x 8π+）＝sin[2（x 8π+）+φ]＝sin （2x φ4π++）， ∵f （x 8π+）为偶函数，∴φ4π+＝kπ2π+，∴φ＝kπ4π+，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，φ4π=．故φ的一个可能的值为4π．故选：B ． 【点睛】本题考查函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性的应用，属于中档题． 6．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．233ππ或【答案】B 【解析】 【分析】首先通过正弦定理将边化角，于是求得1cos 2C =，于是得到答案. 【详解】根据正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而sin 0C ≠，所以1cos 2C =，又为三角形内角，所以3C π=，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理的运用，难度不大.7．已知平行四边形ABCD 对角线AC 与BD 交于点O ，设AB a =，BC b =，则()12a b -=（ ） A ．OA B ．OBC ．OCD ．OD【答案】B 【解析】 【分析】根据向量减法的三角形法则和数乘运算直接可得结果. 【详解】a b AB BC AB AD DB -=-=-= ()1122a b DB OB ∴-== 本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的减法和数乘运算的应用，属于基础题.8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A 【解析】 【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ， 在Rt △1AOO 中，12AO =，由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积9．函数()32cos4f x x =-的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由1cos41x -≤≤可求得32cos4x -所处的范围，进而得到函数最大值. 【详解】1cos41x -≤≤ 22cos42x ∴-≤≤ 132cos45x ∴≤-≤()32cos4f x x ∴=-的最大值为5故选：D 【点睛】本题考查函数最值的求解，关键是明确余弦型函数的值域，属于基础题. 10．已知{}n a 是等差数列，其中11a =-，511a =，则公差d = ( )A ．1B ．3-C ．2-D ．3【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式即可构造方程求得结果. 【详解】51412a a d -== 3d ∴=故选：D 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，关键是熟练应用等差数列通项公式，属于基础题.11．已知数列{}n a 满足11a =，()*14n n a a n +=+∈N ，则数列{}n a 的前5项和5S =（ ）A ．15B ．28C ．45D ．66【答案】C 【解析】 【分析】根据()*14n n a a n +=+∈N 可知数列{}n a 为等差数列,再根据等差数列的求和性质求解即可.【详解】因为()*14n n a a n +=+∈N ,故数列{}n a 是以4为公差,首项11a =的等差数列.故()()1553555124452a a S a +===+⨯=.故选：C 【点睛】本题主要考查了等差数列的判定与等差数列求和的性质与计算,属于基础题.12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56a a +=（ ） A ．11 B ．16C ．20D ．28【答案】C 【解析】 【分析】可利用等差数列的性质2S ，42S S -，64S S -仍然成等差数列来解决． 【详解】{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，2S ∴，42S S -，64S S -成等差数列，422642()()S S S S S ∴-=+-，又24S =，416S =，64562444S S a a ∴=+-=++，5620a a ∴+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，关键在于掌握“等差数列中n S ，2n n S S -，32n n S S -⋯仍成等差数列”这一性质，属于基础题．二、填空题：本题共4小题13．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .【答案】9- 【解析】 【分析】 【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为32q =-，6q = -9. 14．点(3,4)A -与点(1,8)B -关于直线l 对称，则直线l 的方程为______． 【答案】350x y -+= 【解析】 【分析】根据A 和B 关于直线l 对称可得直线AB 和直线l 垂直且AB 中点在直线l 上，从而可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】由()3,4A -，()1,8B -得：84313AB k +==---且AB 中点M 坐标为()1,2 A 和B 关于直线l 对称 1AB l k k ∴⋅=-且M 在l 上 13l k ∴=l ∴的方程为：()1213y x -=-，即：350x y -+=本题正确结果：350x y -+= 【点睛】本题考查根据两点关于直线对称求解直线方程的问题，关键是明确两点关于直线对称则连线与对称轴垂直，且中点必在对称轴上，属于常考题型.15．已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________. 【答案】3π 【解析】 【分析】先利用周期公式求出ω，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出m 的表达式，即可求出m 的最小值． 【详解】 由2T ππω==得2ω=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位后，得到sin[2()]sin(22)33y x m x m ππ=++=++，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有2,3m k k Z ππ+=∈，则62k m ππ=-+，故m 的最小值为3π．【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()y A x ωϕ=+ 型的函数奇偶性判断条件．一般地sin()y A x ωϕ=+为奇函数，则k ϕπ=；为偶函数，则2k πϕπ=+；cos()y A x ωϕ=+为奇函数，则2k πϕπ=+；为偶函数，则k ϕπ=．16．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________.【答案】7 【解析】由程序框图，得运行过程如下：23624,3;4642,5A n A n =======；5306422017,7A n ==>=，结束循环，即输出的n 的值是7.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

武汉二中2017-2018学年下学期高一年级期末考试 数学(文科)试卷参考答案二、填空题 13.13 14 . π25 15. 22 16. (2),(3),(4)17. (1) 21tan =A ∴211tan 2tan 2cos cos sin 2cos sin 2cos 2sin 2sin 22=+=+=+A A A A A A A A A A……5分(2) 552cos ,55sin ==A A , 2103,sin sin =∴=b B b A a 又 10103225522255)sin(sin =⋅+⋅=+=B A C 427101032103321=⋅⋅⋅=∆ABC S ……5分 18. (1) 设圆的方程为0)286(462222=-+++-++y y x x y x λ即028466)1(122=--+++++λλλλy x y x ）（ 所以圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛λ+λλ+13-13-，704-1313--=λ∴=λ+λ+λ+∴， 则圆的方程为032y 7x y x 22=-+-+ …6分(2) 圆的方程为16)3()222=++-y x （设圆心），（3-2关于直线的对称点为),b a （ 则0123222,12123=+-⨯-+-=⨯-+b a a b521,58=-=∴b a所以圆的方程为16)521()5822=-++y x （ …6分 19. (Ⅰ) 由题设知, FG =GA ,FH =HD .所以GH 12AD ,又BC12AD ,故GH BC . 所以四边形BCHG 是平行四边形. …4分(Ⅱ) C 、D 、F 、E 四点共面.理由如下:由BE12AF ,G 是F A 的中点知, BE GF , 所以EF ∥BG . 由(Ⅰ)知BG ∥GH , 故FH 共面.又点D 在直线FH 上.所以C 、D 、F 、E 四点共面. …4分(Ⅲ) 连结EG , 由AB =BE , BE AG 及∠BAG =90°知ABEG 是正方形. 故BG ⊥EA .由题设知, F A 、AD 、AB 两两垂直, 故AD ⊥平面F ABE , 因此EA 是ED 在平面F ABE 内的射影, 根据三垂线定理, BG ⊥ED . 又ED ∩EA ＝E , 所以BG ⊥平面ADE .由(Ⅰ)知, CH ∥BG , 所以CH ⊥平面ADE .由(Ⅱ)知F ∈平面CDE .故CH ⊂平面CDE ,得平面ADE ⊥平面CDE . …4分20. 解(1) 由题意可知, 二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x －200≥212x ·80000x －200＝200(400≤x ≤600), 当且仅当12x ＝80000x , 即x ＝400时等号成立.故该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低, 最低成本为200元. …6分 (2) 不获利. 设该单位每月获利为S , 则S ＝100x －y＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80000 ＝－12x 2＋300x －80000＝－12(x －300)2－35000.∵400≤x ≤600,∴S max ＝－12(400－300)2－35000＝－40000, 故该单位每月不获利.需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损. …6分21. (1）0,311111≠⋅=-a a a a a 21=∴a)1(,231≥=-n S a a n n )2(,231-11-≥=-∴n S a a n n ）2(2331≥=-∴-n a a a n n n )2(31≥=∴-n a a n n132-⋅=∴n n a …6分 （2）110323432-⋅+⋅+⋅=n n n S则n n n n n S 3231-234323121⋅+⋅+⋅+⋅=-）（n n n n S 32)333(22-110⋅-++=∴-213)21-(+⋅=∴n n n S …6分22. 解: (1) 证明: 由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC .又BB 1⊥A 1B , 故BB 1⊥平面BCA 1,所以BB 1⊥A 1C .又BB 1∥CC 1, 所以A 1C ⊥CC 1. …5分 (2) 解法一：设AA1＝x.在Rt △A 1BB 1中, A 1B ＝A 1B 21－BB 21＝4－x 2.同理, A 1C ＝A 1C 21－CC 21＝3－x 2. 在△A 1BC 中,cos ∠BA 1C ＝A 1B 2＋A 1C 2－BC 22A 1B ·A 1C ＝－x 2（4－x 2）（3－x 2）,sin ∠BA 1C ＝12－7x 2（4－x 2）（3－x 2）,所以S △A 1BC ＝12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝⎛⎭⎫x 2－672＋367,所以当x ＝67＝427, 即AA 1＝427时, 体积V 取到最大值377. …7分解法二： 过A1作BC 的垂线, 垂足为D, 连接AD.由AA 1⊥BC , A 1D ⊥BC , 得BC ⊥平面AA 1D , 故BC ⊥AD .又∠BAC ＝90°,所以S △ABC ＝12AD ·BC ＝12AB ·AC , 得AD ＝2217.设AA 1＝x .在Rt △AA 1D 中,A 1D ＝AD 2－AA 21＝127－x 2, S △A 1BC ＝12A 1D ·BC ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝⎛⎭⎫x 2－672＋367,所以当x ＝67＝427, 即AA 1＝427时, 体积V 取到最大值377.。

湖北省部分重点中学2016-2017学年度下学期高一期末考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意。

1. 已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（）A. 若，，则B. 若∥，∥，则∥C. 若，，则∥D. 若∥，，则【答案】A【解析】逐一考查所给的线面关系：A. 若，，由线面垂直的定义，则B. 若∥，∥，不一定有∥，如图所示的正方体中，若取为，平面为上底面即为反例；C. 若，，不一定有∥，如图所示的正方体中，若取为，平面为上底面即为反例；D. 若∥，，不一定有如图所示的正方体中，若取为，平面为上底面即为反例；2. 直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，直线的倾斜角为，当时，直线的斜率为，据此可得直线的倾斜角的取值范围是.本题选择B选项.点睛：直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．3. 若，则下列结论不正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取，则，据此可得选项C错误.本题选择C选项.4. 若的图像是两条平行直线，则的值是（）A. 或B.C.D. 的值不存在【答案】A【解析】结合两直线平行的充要条件可得关于实数m的方程： , 即：，解方程可得：或 .本题选择A选项.5. 设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，那么（）A. 8B. 36C. 45D. 72【答案】B【解析】由韦达定理可得：，结合等差数列的前n项和及性质有：.本题选择B选项.6. 在正方体中，分别为棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线【答案】C【解析】连结EH,HC1，则EH∥A1D1,又A1D1∥FC1，∴FC1∥EF，∴四边形FC1HE是梯形，∴EF与HC1相交。

2017--2018学年度第二学期高一年级期末联考理科数学试卷本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为( ）A. B. C. D.2.若点到直线的距离为，则( ）A. B. C. D.3.圆台的体积为，上、下底面的半径分别为和，则圆台的高为( ）A. B. C. D.4.给出下列四种说法：① 若平面，直线，则；② 若直线，直线，直线，则；③ 若平面，直线，则；④ 若直线，，则. 其中正确说法的个数为( ）A. 个B. 个C. 个D. 个5.设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,等于A. B. C. D.6.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是( ）A. B. C. D.7.如图，在中，，为所在平面外一点，，则四面体中直角三角形的个数为( ）A. B. C. D.8.已知水平放置的用斜二测画法得到平面直观图是边长为的正三角形，那么原来的面积为( ）A. B. C. D.9.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A. B.C. D.10.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知的顶点,若其欧拉线方程为, 则顶点的坐标为( ）A. B. C. 或 D.11.若动点分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是( ）A. B. C. D.12.中，角的对边长分别为，若，则的最大值为( ）A. B. C. D.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将最后答案填在答题卡的相应位置.13.直线过定点，定点坐标为________．14.正方体中，异面直线与所成角的大小为________．15.若直线与互相平行，则的值是_________．16.三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤，本大题共6小题，70分.17.如图，圆柱的底面半径为，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．(Ⅰ) 计算圆柱的表面积；(Ⅱ）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．18.光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.(1)求点关于直线对称点的坐标；(2)求反射光线所在直线的一般式方程．19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，若，,.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求△ABC的面积.20.设正项等比数列的前项和为，且满足，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列，求的前项和.21.已知我国华为公司生产某款手机的年固定成本为万元，每生产万只还需另投入万元.设公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且. (Ⅰ)写出年利润(万元）关于年产量(万只）的函数的解析式；(Ⅱ)当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大？并求出最大利润.22.已知斜三棱柱的底面是直角三角形，,侧棱与底面成锐角，点在底面上的射影落在边上．(Ⅰ) 求证：平面；（Ⅱ) 当为何值时，，且为的中点？(Ⅲ) 当，且为的中点时，若，四棱锥的体积为，求二面角的大小．。

2017～2018学年度期末考试高一数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.若向量，，则（）A. B. C. D.3.在等差数列中，，，则数列的公差（）A. 2B. 1C.D.4.如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积为（）A. B. C. D.5.过点且与直线：平行的直线的方程是（）A. B.C. D.6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.7.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（）A. 或B.C. 或D.8.若函数在区间上的最大值为6，则（）A. 2B. 4C. 6D. 89.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.10.已知钝角的三边长分别为，，，则的取值范围为（）A. B. C. D.11.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中，.若将它们的斜边重合，让三角形以为轴转动，则下列说法不正确的是（）A. 当平面平面时，，两点间的距离为B. 当平面平面时，与平面所成的角为C. 在三角形转动过程中，总有D. 在三角形转动过程中，三棱锥的体积最大可达到12.已知为数列的前项和，，若存在唯一的正整数使得不等式成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设，满足约束条件，则的最大值为__________．14.函数的对称中心为__________．15.已知，：，若一条光线过点，经过反射到轴结束，则这条光线经过的最短路程是__________．16.已知数列的前项和，数列满足，若，则__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线：，直线：.（1）若，求与的距离；（2）若，求与的交点的坐标.18.在中,角所对的边分别为,且.(1)求角的大小(2)若,求的值.19.已知向量，，且.（1）求的值；（2）若，且，求的值.20.已知四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，与交于点，为的中点，，为中点，为上一点，且.（1）证明：平面；（2）若点到平面的距离为，求的值.21.已知函数.（1）求关于的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围.22.已知正项数列的前项和为，且对任意恒成立. （1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）若，数列是递增数列，求的取值范围.。

2017-2018学年湖北省武汉二中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={（x，y）|y﹣3=3（x﹣2），x∈R}，B={（x，y）|ax﹣2y+a=0}，A∩B=∅，则a=（）A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．2或62．直线l：ax+y﹣2﹣a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．﹣2或13．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|＞|b| B．C．D．b2﹣a2＜04．在等比数列{a n}中，a5•a13=6，a4+a14=5，则等于（）A．或B．3或﹣2 C．D．5．在三角形ABC中，A=45°，a=，＜b＜2，则满足条件的三角形有（）个．A．1 B．2 C．0 D．与c有关6．a，b，c是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，以下结论成立的个数是（）①a∥b，b∥c⇒a∥c②a⊥b，b⊥c⇒a∥c③α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ④α⊥β，α∩β=a，b⊥a⇒b⊥βA．1 B．2 C．3 D．47．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣28．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d=，当S n取最小值时，n的最大值为10，则数列的首项a1的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．10．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．1611．三棱锥S﹣ABC的顶点S在平面ABC内的射影为P，给出下列条件，一定可以判断P 为三角形ABC的垂心的有（）个①SA=SB=SC②SA，SB，SC两两垂直③∠ABC=90°，SC⊥AB④SC⊥AB，SA⊥BC．A．1 B．2 C．3 D．412．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinA，且B＞，则sinA+sinC的最大值是（）A．B．C．1 D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上13．数列前10项的和为______．14．三棱锥S﹣ABC中，正三角形ABC的边长为，SA=SB=2，二面角S﹣AB﹣C的平面角的大小为60°，则SC=______．15．若数列{a n}的前n项之积等于n2+3n+2，（n∈N+），则数列{a n}的通项公式为______．16．动直线y=a与圆x2+y2=1及直线2x+y﹣4=0分别交于P、Q两点，则|PQ|的最小值为______．三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．三角形ABC三边长分别为n，n+1，n+2，n∈N+，最大角C是最小角A的两倍．（1）求cosA（用n表示）（2）求正整数n的值．18．求证：两条平行线与同一个平面所成角相等已知：a∥b，平面α求证：a，b与平面α所成角相等．19．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n+3，n∈N++1（1）求证：数列{a n+3}是等比数列；（2）求数列{n（a n+3）}的前n项和T n．20．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D与平面A1BC1交于H点，E是DD1的中点，．（1）求证：EF∥平面A1BC1（2）证明：H为三角形A1BC1的重心．21．已知圆O的方程为x2+y2=9，圆内一点C（2，1），过C且不过圆心的动直线l交圆O 于P、Q两点，圆心O到直线l的距离为d．（1）用d表示△OPQ的面积S，并写出函数S（d）定义域；（2）求S的最大值并求此时直线l的方程．22．已知圆C与直线y=﹣x+2相切，圆心在x轴上，且该圆被直线y=x截得的弦长为4．（1）求圆C的方程；（2）过点N（﹣1，0）作斜率为k（k≠0）的直线l与圆C交于A，B两点．若直线OA与OB的斜率之积为﹣（3+）k2，求•的值．2017-2018学年湖北省武汉二中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={（x，y）|y﹣3=3（x﹣2），x∈R}，B={（x，y）|ax﹣2y+a=0}，A∩B=∅，则a=（）A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．2或6【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集为空集，确定出a的值即可．【解答】解：A={（x，y）|y﹣3=3（x﹣2），x∈R}={（x，y）|y=3x﹣3，x∈R}，B={（x，y）|ax﹣2y+a=0}={（x，y）|y=x+}，∵A∩B=∅，∴两直线平行，∴=3，解得a=6，故选：B．2．直线l：ax+y﹣2﹣a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．﹣2或1【考点】直线的截距式方程．【分析】先求出直线在两个坐标轴上的截距，由在两个坐标轴上的截距相等解方程求得a的值．【解答】解：由直线的方程：ax+y﹣2﹣a=0得，此直线在x轴和y轴上的截距分别为和2+a，由=2+a，得a=1 或a=﹣2，故选D．3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|＞|b| B．C．D．b2﹣a2＜0【考点】不等式比较大小．【分析】由a＜b＜0，可得|a|＞|b|，，a2﹣b2＞0，，即可判断出正误．【解答】解：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|，，即，a2﹣b2＞0，因此A，C，D正确．对于B：∵0＞a﹣b＞a，∴，即，因此B不正确．故选：B．4．在等比数列{a n}中，a5•a13=6，a4+a14=5，则等于（）A．或B．3或﹣2 C．D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意a4，a14是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，从而得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2，又由====，能求出结果．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a5•a13=6，a4+a14=5，∴a4•a14=6，∴a4，a14是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，解方程x2﹣5x+6=0，得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2，∴====，∴当a4=2，a14=3时，=，当a4=3，a14=2时，=．故选：A．5．在三角形ABC中，A=45°，a=，＜b＜2，则满足条件的三角形有（）个．A．1 B．2 C．0 D．与c有关【考点】正弦定理．【分析】由已知可求A为锐角，且bsinA＜a＜b，即可判断满足条件的三角形的个数为2个．【解答】解：∵A=45°，a=，＜b＜2，∴可得：bsinA=b∈（，），∴A为锐角，且bsinA＜a＜b，故有两组解．故选：B．6．a，b，c是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，以下结论成立的个数是（）①a∥b，b∥c⇒a∥c②a⊥b，b⊥c⇒a∥c③α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ④α⊥β，α∩β=a，b⊥a⇒b⊥βA．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线线，面面的位置关系，即可得出结论．【解答】解：①a∥b，b∥c，根据平行公理可得a∥c，正确；②a⊥b，b⊥c，则a∥c，a，c相交或异面，不正确；③α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ，α，γ相交，不正确；④α⊥β，α∩β=a，b⊥a，b⊂β，则b⊥β，不正确．故选A．7．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由（2，5）在圆内，故过此点最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦，所以由圆心坐标和（2，5）求出直线AB的斜率，再根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线CD的斜率，进而求出两直线的斜率和．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标为（3，4），∴过（2，5）的最长弦AB所在直线的斜率为=﹣1，又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直，∴过（2，5）最短弦CD所在的直线斜率为1，则直线AB与CD的斜率之和为﹣1+1=0．故选A8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d=，当S n取最小值时，n的最大值为10，则数列的首项a1的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意，由此能求出数列的首项a1的取值范围．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，当S n取最小值时，n的最大值为10，∴，∵公差d=，∴﹣≤a1≤﹣．∴数列的首项a1的取值范围是[﹣，﹣]．故选：B．9．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，据此可求出该几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，因此该几何体的体积V==．故选：C．10．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．16【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，故选：A11．三棱锥S﹣ABC的顶点S在平面ABC内的射影为P，给出下列条件，一定可以判断P 为三角形ABC的垂心的有（）个①SA=SB=SC②SA，SB，SC两两垂直③∠ABC=90°，SC⊥AB④SC⊥AB，SA⊥BC．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】棱锥的结构特征．【分析】由斜线相等得到射影相等判断①；利用线面垂直的判定和性质结合垂心概念判断②③④．【解答】解：如图，对于①，由SA=SB=SC，可得PA=PB=PC，可得P为底面三角形ABC的外心；对于②，SA，SB，SC两两垂直．由SB⊥SA，SB⊥SC，可得SB⊥平面SAC，则SB⊥AC，又SP⊥平面ABC，∴SP⊥AC，则AC⊥平面SPB，则PB⊥AC．同理可得PA⊥BC，则P 为底面三角形ABC的垂心；对于③，由∠ABC=90°，得AB⊥BC，又SC⊥AB，得AB⊥平面SBC，∴平面ABC⊥平面SBC，则S在底面的射影P在BC上，不一定为底面三角形的垂心；对于④，SC⊥AB，SA⊥BC．由SP⊥平面ABC，得SP⊥AB，又SC⊥AB，则AB⊥平面SPC，则AB⊥PC，同理可得AC⊥PB，可得P为底面三角形的垂心．∴可以判断P为三角形ABC的垂心的有2个．故选：B．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinA，且B＞，则sinA+sinC的最大值是（）A．B．C．1 D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理化简得出A，B的关系，用A表示出C，利用三角函数恒等变换化简得出sinA+sinC关于sinA的函数，求出此函数的最大值即可．【解答】解：∵acosA=bsinA，∴，又由正弦定理得，∴sinB=cosA=sin（），∵B，∴π﹣B=．∴B=A+．∴C=π﹣A﹣B=．∴sinA+sinC=sinA+cos2A=﹣2sin2A+sinA+1=﹣2（sinA﹣）2+．∵0，，∴0，∴0＜sinA．∴当sinA=时，sinA+sinC取得最大值．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上13．数列前10项的和为．【考点】数列的求和．【分析】通过裂项可得a n=（﹣），并项相消计算即可．【解答】解：∵a n==（﹣），∴S10= [（1﹣）+（）+（）+（）+…+（）]=（1+﹣﹣）=，故答案为：；14．三棱锥S﹣ABC中，正三角形ABC的边长为，SA=SB=2，二面角S﹣AB﹣C的平面角的大小为60°，则SC=．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取AB中点O，连结AO、CO，推导出SO=1，CO=3，∠SOC是二面角S﹣AB﹣C 的平面角，由此利用余弦定理能求出SC的长．【解答】解：取AB中点O，连结AO、CO，∵三棱锥S﹣ABC中，正三角形ABC的边长为，SA=SB=2，∴SO⊥AB，CO⊥AB，且SO==，CO===3，∴∠SOC是二面角S﹣AB﹣C的平面角，∵二面角S﹣AB﹣C的平面角的大小为60°，∴∠SOC=60°，∴SC===．故答案为：．15．若数列{a n}的前n项之积等于n2+3n+2，（n∈N+），则数列{a n}的通项公式为a n=．n∈N*．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：a1a2•…•a n=n2+3n+2，（n∈N+），n=1时，a1=6．n≥2时，a1a2•…•a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1）+2，相除即可得出．【解答】解：由题意可得：a1a2•…•a n=n2+3n+2，（n∈N+），∴a1=6．n≥2时，a1a2•…•a n=（n﹣1）2+3（n﹣1）+2=n2+n，（n∈N+），﹣1∴a n==．∴a n=．n∈N*．故答案为：a n=．n∈N*．16．动直线y=a与圆x2+y2=1及直线2x+y﹣4=0分别交于P、Q两点，则|PQ|的最小值为2﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出与直线2x+y﹣4=0平行的圆的切线方程，分别计算切线方程、直线2x+y﹣4=0与x轴交点的横坐标，即可得出|PQ|的最小值．【解答】解：设与直线2x+y﹣4=0平行的直线方程为2x+y+k=0，则圆心O（0，0）到该直线的距离为d==1，解得k=±；应取k=﹣，所以切线方程为2x+y﹣=0；令y=0，得x=，直线2x+y﹣4=0中，令y=0，得x=2；所以|PQ|的最小值为2﹣．故答案为：2﹣．三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．三角形ABC三边长分别为n，n+1，n+2，n∈N+，最大角C是最小角A的两倍．（1）求cosA（用n表示）（2）求正整数n的值．【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）设n所对角为A，n+2所对角为C，运用三角形的余弦定理，化简可得cosA；由正弦定理和二倍角的正弦公式，化简整理可得cosA；（2）由（1）可得n的方程，可得，解方程可得n的值．【解答】解：（1）根据大角对大边及大边对大角可知，设n所对角为A，n+2所对角为C，由余弦定理得：，由正弦定理得：及C=2A 得 ==，可得；（2）由（1）可得得（n +2）2=n （n +5）， 解得n=4．18．求证：两条平行线与同一个平面所成角相等 已知：a ∥b ，平面α求证：a ，b 与平面α所成角相等．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】分类讨论，利用线面角的定义，即可证明．【解答】证明：如果a ，b 都在平面α内，由线面角的定义可知，它们与平面α所成角都是0°；如果a ⊂α，b ⊄α，a ∥b ⇒b ∥α，由线面角的定义可知，它们与平面α所成角都是0°； 如果a ，b 都与平面α平行，它们与平面α所成角都是0°；如果a ，b 都与平面α垂直，由线面角的定义可知，它们与平面α所成角都是90° （一种情况1分）如果a ，b 与平面α斜交，设其交点分别为A 、B ，分别过a ，b 上的点作α的垂线，CE ，DF如图所示，连接AE 、BF ，由线面角的定义可知a ，b 与平面α所成角分别为∠CAE ，∠DBF ，因为CE ⊥α，DF ⊥α⇒CE ∥DF ，又AC ∥BD ，所以∠ACE=∠BDF ，所以∠CAE=∠DBF综上，两条平行线与同一个平面所成角相等．19．已知数列{a n }的首项a 1=1，且a n +1=2a n +3，n ∈N + （1）求证：数列{a n +3}是等比数列； （2）求数列{n （a n +3）}的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【分析】（1）a n +1+3=2a n +3+3，即a n +1+3=2（a n +3），由等比数列的定义，即可证数列{a n +3}是等比数列；（2）根据（1）由等比数列的通项公式，求出a n +3，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式，求出前n 项和T n ．【解答】解：（1）a n +1+3=2a n +3+3，即a n +1+3=2（a n +3）， ∴，又a 1+3=4≠0，∴数列{a n +3}是首项为4，公比为2的等比数列； （2）由（1）得a n +3=4•2n ﹣1=2n +1， ∴n （a n +3）=n •2n +1，T n =1×22+2×23+3×24+…+n •2n +1，①2T n =1×23+2×24+…+（n ﹣1）•2n +1+n •2n +2，② ①﹣②得：﹣T n =4+23+24+…+2n +1﹣n •2n +2=4+﹣n •2n +2=﹣4+（1﹣n ）•2n +2， ∴T n =2n +2（n ﹣1）+4．20．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，B 1D 与平面A 1BC 1交于H 点，E 是DD 1的中点，．（1）求证：EF ∥平面A 1BC 1（2）证明：H 为三角形A 1BC 1的重心．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接B 1D 1交A 1C 1于O ，O 为A 1C 1的中点，连接AC 交BD 于O 1，O 1是BD 的中点，连接D 1O 1，证明OB ∥D 1O 1，证明EF ∥OB ，即可证明以EF ∥平面A 1BC 1 （2）证明BH=2HO ，又BO 为三角形A 1BC 1的中线，推出H 为三角形A 1BC 1的重心． 【解答】证明：（1）连接B 1D 1交A 1C 1于O ，O 为A 1C 1的中点， 连接AC 交BD 于O 1，O 1是BD 的中点，连接D 1O 1，在长方体中，OD 1∥BO 1且OD 1=BO 1，所以BOD 1O 1为平行四边形，所以OB ∥D 1O 1， 又，所以F 为DO 1的中点，E 为DD 1的中点，所以EF ∥D 1O 1 EF ∥OB ，OB ⊂平面A 1BC 1，EF ⊄平面A 1BC 1， 所以EF ∥平面A 1BC 1（2）在矩形BB 1D 1D 中，B 1D ∩B 1D=M ，M ∈B 1D 且M ∈BO ⊂平面A 1BC 1， 所以M 为直线B 1D 与平面A 1BC 1的公共点，所以M 点就是H 点． 又在矩形BB 1D 1D 中，三角形B 1OH 相似于三角形BDH ， 又，所以BH=2HO ，又BO 为三角形A 1BC 1的中线，所以H 为三角形A 1BC 1的重心．21．已知圆O的方程为x2+y2=9，圆内一点C（2，1），过C且不过圆心的动直线l交圆O 于P、Q两点，圆心O到直线l的距离为d．（1）用d表示△OPQ的面积S，并写出函数S（d）定义域；（2）求S的最大值并求此时直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出OC的长度，得到d的范围，再由垂径定理把弦长用d表示，可得△OPQ 的面积S的表达式；（2）利用基本不等式求得S的最大值，得到相应的d值，再由点到直线距离公式求得直线的斜率得答案．【解答】解：（1）如图，∵圆内一点C（2，1），∴|OC|=，则圆心O到直线l的距离为d∈（0，]．∵圆O的半径为3，∴|PQ|=2，则S（d）==．函数定义域为（0，]；（2）由S（d）==．得S的最大值为，当且仅当9﹣d2=d2，即，d=∈（0，]．此时直线l的斜率存在，设为k，则直线方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1=0．由d=，解得k=﹣1或k=﹣7．∴直线l的方程为：x+y﹣3=0或7x+y﹣15=0．22．已知圆C与直线y=﹣x+2相切，圆心在x轴上，且该圆被直线y=x截得的弦长为4．（1）求圆C的方程；（2）过点N（﹣1，0）作斜率为k（k≠0）的直线l与圆C交于A，B两点．若直线OA与OB的斜率之积为﹣（3+）k2，求•的值．【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系．【分析】（1）设出圆心C的坐标为（a，0），半径为r，根据圆C与y=﹣x+2相切，被直线y=x截得的弦长为4，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线y=x的距离d，根据弦长的一半，弦心距d及圆的半径r构成直角三角形，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而得到a与半径的值，写出圆C的方程即可．（2）直线l的方程为y=k（x+1），联立直线与圆的方程，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能求解即可．【解答】解：（1）设圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=r2，此时圆心坐标为（a，0），半径为r，圆C与直线y=﹣x+2相切，∴r=…①，该圆被直线y=x截得的弦长为4．∵圆心C到直线y=x的距离d=，弦长的一半为，∴根据勾股定理得： +8=r2，…②，解①②得a=﹣，r=3．圆C的标准方程为（x+）2+y2=3．（2）（2）直线l的方程为y=k（x+1），联立，得（k2+1）x2+（2k2+2）x+k2﹣7=0，直线l与圆C交于A，B两点，△=（2k2+2）2﹣4（k2+1）（k2﹣7）=（8+24）k2+36＞0恒成立…设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=k2[x1x2+（x1+x2）+1]，∴=1+==﹣（3+）k2，故k2=9…则x1x2═，x1+x2═，y1y2=9×（++1）=﹣，故•=x1x2+y1y2=﹣．…2018年9月27日。

武汉市部分重点中学2017-2018学年度下学期期末联考高一数学试卷（理科）试卷满分：150分★祝考试顺利★一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。

)1. ,a b R ∈，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）A. 0b a ->B. 330a b +< C. 220a b -< D. 0b a +> 2.若,,a b c 为实数，则下列正确的是（ ）A.若a b >，则22ac bc > B. 若0a b <<，则22a ab b >> C. 若0a b <<，则11a b < D. 若0a b <<，则b aa b> 3.规定记号“”表示一种运算，定义：ab ab a b =++（,a b 为正实数），若213k <，则k 的取值范围是（ ）A. 11k -<<B. 01k <<C. 10k -<<D. 02k << 4.不等式2(2)20(0)ax a x a -++≥<的解集为（ ） A. 2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 21,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [)2,1,a⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦D. (]2,1,a ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭5.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′=1，那么原△ABO 的面积是A. B.22C. D.226.如图所示的是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60角；④ DM 与BN 是异面直线．以上四个中，正确的序号是（ ）A. ①②③B. ③④C. ②④D. ②③④7.如图，取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R 的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S 圆和S 圆环，那么（ ）A ． S 圆＞S 圆环B ． S 圆=S 圆环C ． S 圆＜S 圆环D ． 不确定8.已知一个棱锥的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个棱锥的侧面积是（ ）A.24cm B. 212cm C. 2(842)cm + D. 2(44223)cm ++9.已知54x >，则函数1445y x x =+-的最小值为（ ） A.-3 B. 2 C. 5 D. 710.若α、β是两个相交平面，则在下列中，真的序号为（ ）①若直线m ⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m ⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m ⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m ⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④11.如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M ，N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个： ①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′； ②当且仅当x=12时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长L=f （x ），x ∈[0，1]是单调函数； ④四棱锥C ′﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数； 以上中假的序号为（ ） A ．①④ B ．② C ．③ D ．③④12.设函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的增函数，实数a 使得2(1)(2)f ax x f a --<-对于任意[]0,1x ∈都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),1-∞ B. []2,0- C. ()222,222---+ D. []0,1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。

武汉市重点名校2017-2018学年高一下学期期末综合测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．ABC ∆中，30A ∠=︒，AB =1BC =，则ABC ∆的面积等于（ ）A B ．4 C D 4 【答案】D【解析】【分析】先根据余弦定理求AC ，再根据面积公式得结果.【详解】因为2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，所以22133+2=01AC AC AC AC AC =+--⋅∴=或2，因此ABC ∆的面积等于111sin 1222AB AC A ⋅⋅=⨯=或等于112222⨯=， 选D.【点睛】 本题考查余弦定理与三角形面积公式，考查基本求解能力，属基础题.2．若()1,1a =，() 2,0b =，那么a 在b 方向上的投影为（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1- 【答案】C【解析】【分析】根据定义可知，a 在b 方向上的投影为||cos ||a b a b θ=，代入即可求解． 【详解】 (1,1)a =，(2,0)b =，那么a 在b 方向上的投影为1210||cos 12||a b a b θ⨯+⨯===． 故选：C ．【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础试题．3．如图所示四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥平面ABCD 则下列结论中不正确的是（ ）A ．AC SB ⊥B ．//AB 平面SCDC ．直线SA 与平面SBD 所成的角等于30°D ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角【答案】C【解析】【分析】 根据空间中垂直关系的判定和性质，平行关系的判定和性质，以及线面角的相关知识，对选项进行逐一判断即可.【详解】对A ：因为底面ABCD 为正方形，故AC ⊥BD ，又SD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故SD ⊥AC ，又BD ⊂平面SBD ，SD ⊂平面SBD ，故AC ⊥平面SBD ，又SB ⊂平面SBD ，故AC SB ⊥.故A 正确；对B ：因为底面ABCD 为正方形，故AB//CD ，又CD ⊂平面SCD ，故AB//平面SCD.故B 正确.对C ：由A 中推导可知AC ⊥平面SBD ，故取AC 与BD 交点为O ，连接SO ，如图所示：则ASO ∠即为所求线面角，但该三角形中边长关系不确定，故线面角的大小不定，故C 错误；对D ：由AC ⊥平面SBD ，故取AC 与BD 交点为O ，连接SO ，则,ASO CSO ∠∠即为SA 和SC 与平面SBD 所成的角，因为SOA SOC ≅，故ASO CSO ∠=∠，故D 正确.综上所述，不正确的是C.故选：C.【点睛】本题综合考查线面垂直的性质和判定，线面平行的判定，线面角的求解，属综合基础题.4．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若7AB =，2DE =，则线段BD 的长为（ )A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5【答案】A【解析】【分析】 设BD x =，可得2AD x =+，求得120ADB ∠=︒，在ABD ∆中，运用余弦定理，解方程可得所求值．【详解】设BD x =，可得2AD x =+，且18060120ADB ∠=︒-︒=︒，在ABD ∆中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-∠， 即为22149(2)2(2)()2x x x x =++-+-， 化为22150x x +-=， 解得3(5x =-舍去）， 故选A ． 【点睛】本题考查三角形的余弦定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 5．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】，当且仅当与异号时等号成立． ∵关于的不等式的解集为空集， ∴，即， 解得.∴实数的取值范围为．选D ． 6．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．12B ．56 C ．76 D ．712 【答案】B【解析】 分析：初始化数值1,1k s ==，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值1,1k s ==循环结果执行如下： 第一次：1111(1),2,2322s k k =+-⋅===≥不成立； 第二次：2115(1),3,33236s k k =+-⋅===≥成立，循环结束，输出56s =， 故选B. 点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.7．函数()2+ln f x x x =的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】【分析】先判断函数为偶函数排除BC ；再根据当0x →时，()f x →-∞ ，排除D 得到答案.【详解】()()()222ln ln ln ()f x x x x f x x x x f x =+-=-+=+=-∴，偶函数，排除BC ；当0x →时，()f x →-∞ ，排除D故选：A【点睛】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.8．已知点A(－1,1)和圆C ：（x ﹣5）2+（y ﹣7）2=4,一束光线从A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是 A ．2－2B ．8C ．6D ．10 【答案】B【解析】【分析】点A （﹣1，1）关于x 轴的对称点B （﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的路程最短，最短为|BC|﹣R ．【详解】由反射定律得 点A （﹣1，1）关于x 轴的对称点B （﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，最短距离为|BC|﹣R=()()225171+++﹣2=10﹣2=1，故光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的最短路程为 1．故选B ．【点睛】本题考查光线的反射定律的应用，以及两点间的距离公式的应用．9．执行下图所示的程序框图，若输出的0y =，则输入的x 为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或e【答案】C【解析】【分析】 根据程序框图,分两种情况讨论,即可求得对应的x 的值.【详解】当输出结果为0y =时.当0x ≤,则0x y xe ==,解得0x =当0x >,则ln 0x y x==,解得1x= 综上可知,输入的0x =或1x=故选:C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,指数方程与对数方程的解法,属于基础题.10．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ）A ．3B ．0C ．1-D ．1【答案】C【解析】【分析】求得直线所过的定点Q ，当PQ 和直线垂直时，距离取得最大值，根据斜率乘积等于1-列方程，由此求得m 的值.【详解】直线120mx y m -+-=可化为()21y m x =-+，故直线过定点()2,1Q ，当PQ 和直线垂直时，距离取得最大值，故2111,132PQ m k m m m -⋅=⋅=⋅=-=--，故选C. 【点睛】本小题主要考查含有参数的直线过定点的问题，考查点到直线距离的最值问题，属于基础题.11．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．33B ．23C ．3D ．3【答案】A【解析】【分析】首先根据三视图画出几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：故：V 11321332=⨯⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．12．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．92，2B ．92，2.8C ．93，2D ．93，2.8 【答案】B【解析】【分析】由平均数与方差的计算公式，计算90，90， 93，94，93五个数的平均数和方差即可.【详解】90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后是90，90， 93，94，93， 所以其平均数为9090939493925++++=， 因此方差为()()()()()222229092909293929492939244141 2.855-+-+-+-+-++++==. 故选B【点睛】本题主要考查平均数与方差的计算，熟记公式即可，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题13．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=_______【答案】20【解析】【分析】 设等差数列{}n a 的公差为d ，用1a 与d 表示等式13920a a a ++=，再用1a 与d 表示代数式574a a -可得出答案。

10．武汉市部分重点中学高一下学期期末测试数 学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第1卷（选择题 共60分）一、选择III （本大题共12小题．每小题5分，共6分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式01232<--x x 的解集是)1,31.(-A ),1.(+∞B ),1()31,.(+∞--∞ C )31,.(--∞D2．如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图．则该几何体的侧视图是3．已知,0,0>>b a 则b a ab 336++的最小值是( )10.A 212.B 12.C 20.D4．长方体1111D C B A ABCD -中，,1,21===AD AA AB 则异面直线1BC 与AC 所成角的余弦值为( )1010.A 51.B 510.C 21.D5．如果b a >>0且,0>+b a 那么以下不等式正确的个数是( );32b b a <① ② ;101b a >> ③;23ab a < ④;22b a >A.1B.2C.3D.46．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若,2222c b a =+则cosC 的最小值为( )23.A 22.B 21.C 21.-D7．在正项等比数列}{n a 中2312,21,3a a a 成等差数列，则20172016a a a a --等于( )8．在△ABC 中，,6,1,34π===B AC B 则△ABC 的面积等于( )23.A 4323.或B 43.C 323.或D 9．已知数列}{n a 满足：,711=a 对于任意的),1(27,1*n n n a a a N n -=∈+则=-888999a a ( ) 72.-A 72.B 73.-C 73.D 10.在函数)(x f y =的图象上有点列),,(n n y x 着数列}{n x 是等差数列，数列}{⋅n y 是等比数列，则函数 )(x f y =的解析式可能为( )12)(+=⋅x x f A 24)(x x f B =⋅ x x f C 3log )(=⋅ x x f D )43()(=⋅ 11.如图，直线L ⊥平面α，垂足为点0，已知边长为22的等边三角形ABC 在空间做符合以下条件的自由运动：,,α∈∈C l A ②①则B ，0两点间的最大距离为( )26.-A 262.-B 26.+C 262.+D12.-艘轮船从海面上A 点出发，以40 km/h 的速度沿着北偏东o 30的方向航行，在A 点正西方有一点=AB B ,,10km 该船1小时后到达C 点并立刻转为南偏东o 60的方向航行，3小时后到达D 点，整个航行过程中存在不同的三点到B 点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是( ) 43.A 2.B 6.c 10.D 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上】13．在等差数列}{n a 中，若,24151421=+++a a a a 则=8a ________14.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若inB C ms bc b a 832,322==- ，则A=_______ 15．若4,3,2+++a a a 是钝角三角形的三边长，则a 的取值范围是__________16．设L ，m ，n 为三条不同的直线，βα,为两个不同的平面，给出下列四个判断：①若,,,βα⊥⊥⊥m l m l 则;βα⊥②若n m ,β⊂是L 在β内的射影，,m n ⊥则;l m ⊥其中正确的为____．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知,0<a 解关于x 的不等式.02)2(2<---x a ax18．（本小题满分12分） 已知函数,18322)(-∞+-=x nx xx x f 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边是a ，b ，c ，满足.1)(=A f (I)求角A 的值；(Ⅱ)若ABC c B ∆=,sin 3sin 的面积为,433求a 边的长．在如图所示的多面体ABCDE 中，ACD AD AB DE AB ∆⊥,,//是正三角形，BC AB DE AD ,22=== F ,5=是CD 的中点．(I)求证：AF∥平面BCE ；(Ⅱ)求多面体ABCDE 的体积．已知数列}{n a 的前n 项和为,n s 首项,11=a 且对于任意⋅∈*N n 都有⋅=+n n S na 21 (I)求}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,13.1n ++=a ab n 且数列}{n b 的前n 项之和为n T ．求证：⋅<125n T如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是梯形，⊥PA 底面ABCD ，其中AC BC AD AD BA ,//,⊥ 与BD 交于点O ，M 是AB 边上的点，且,31BA BM =已知.2,3,4==⋅==BC AB AD PA (I)求平面PAD 与平面PMC 所成锐二面角的正切值； (Ⅱ)已知N 是PM 上一点，且//ON 平面,PCD 求PN PM 的值，22.（本小题满分12分）已知等比数列}{n a 满足),(4,24321a a a a -==数列}{n b 满足⋅-=n n a b 2log 23 (I)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (Ⅱ)令,nn n a bc =求数列}{n c 的前n 项和,n T (Ⅲ)若,0>λ求对所有的正整数乃都有n n b a k 2222>+-λλ成立的K 的范围．答案。

湖北省黄冈市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7C．6D．2．（5分）对于实数a，b，c，下列正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则D．若a＜b＜0，则3．（5分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．4．（5分）已知x＞2，则函数y=的最小值是（）A．5B．4C．8D．65．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．76．（5分）关于直线m，n与平面α，β，有以下四个：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．（5分）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1），若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB没有交点，则k的取值范围是（）A．B．k≤﹣2 C．，或k＜﹣2 D．9．（5分）设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．C．（，）D．10．（5分）若正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4 B．a b有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值11．（5分）点M（x，y）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x﹣y+m≥0恒成立，则的取m值范围是（）A．m≥3﹣2B．m≥3 C．m≥0 D． m≥1﹣2 12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．A C⊥BEB．E F∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置. 13．（5分）经过点P（3，﹣1），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是．14．（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是．15．（5分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠A=60°，a=，b=x．若满足条件的三角形有两个．则x的范围是．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．18．（12分）设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（1）求A，C；（2）若S△ABC=，求a，c．20．（12分）已知直线方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0．（1）证明：直线恒过定点；（2）m为何值时，点Q（3，4）到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．21．（12分）A、B两仓库分别有编织袋50万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运40万个到甲地，20万个到乙地．已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个、180元/万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个、150元/万个．问如何调运，能使总运费最小？总运费的最小值是多少？22．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）求二面角A﹣ED﹣B的正弦值．湖北省黄冈市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7C．6D．考点：等比数列．分析：由数列{a n}是等比数列，则有a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10．解答：解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选A．点评：本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．2．（5分）对于实数a，b，c，下列正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则D．若a＜b＜0，则考点：的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．解答：解：A，当c=0时，有ac2=bc2 故错．B 若a＜b＜0，则a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，a2＞ab；ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，ab＞b2，∴a2＞ab＞b2故对C 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知，故错．D 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知，故错故选B．点评：本题考查真假，用到了不等式性质，特值的思想方法．3．（5分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．考点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题；分类讨论．分析：先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由≠，解得a的值．解答：解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由≠，解得：a=．综上，a=0或，故选：C．点评：本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．4．（5分）已知x＞2，则函数y=的最小值是（）A．5B．4C．8D．6考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据分式函数的特点，进行整理，结合基本不等式的性质即可得到结论．解答：解：y===（x﹣2）+，∵x＞2，∴x﹣2＞0，则由基本不等式可得y=（x﹣2）+≥，当且仅当x﹣2=，即x﹣2=2，解得x=4时取等号，故函数的最小值为4，故选：B点评：本题主要考查函数最值的求解，利用分式函数的特点，结合基本不等式是解决本题的关键．5．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．7考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个全等的三棱锥，由此求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为2的正方体，在相对的两个顶点处各截去一个直三棱锥，如图所示；∴该几何体的体积为23﹣2×××12×1=．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．6．（5分）关于直线m，n与平面α，β，有以下四个：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案．解答：解：若m∥α，n∥β且α∥β，则m，n可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m，n一定垂直，故②正确；若m⊥α，n∥β且α∥β，则m，n一定垂直，故③正确；若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m，n可能相交、平行也可能异面，故④错误故选D．点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：余弦定理的应用．专题：综合题．分析：先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得A．解答：解：∵sinC=2sinB，∴c=2b，∵a2﹣b2=bc，∴cosA===∵A是三角形的内角∴A=30°故选A．点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．8．（5分）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1），若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB没有交点，则k的取值范围是（）A．B．k≤﹣2 C．，或k＜﹣2 D．考点：两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：由已知条件画出图象并求出直线l与线段AB相交的条件，进而即可求出答案．解答：解：如图所示：由已知可得k PA=，．由此可知直线l若与线段AB有交点，则斜率k满足的条件是，或k≥﹣2．因此若直线l与线段AB没有交点，则k满足以下条件：，或k＜﹣2．故选C点评：熟练掌握直线的斜率与直线的位置之间的关系是解决问题的关键．9．（5分）设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．C．（，）D．考点：数列与三角函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出sin（a3﹣a6）=1，或sin（a3+a6）=0，由仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，推导出．由此能求出该数列首项a1的取值范围．解答：解：∵等差数列{a n}满足=1，∴（sina3cosa6﹣sina6cosa3）（sina3cosa6+sina6cosa3）=sin（a3+a6）=（sina3cosa6+sina6cosa3），∴sina3cosa6﹣sina6cosa3=1，即sin（a3﹣a6）=1，或sin（a3+a6）=0（舍）当sin（a3﹣a6）=1时，∵a3﹣a6=﹣3d∈（0，3），a3﹣a6=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=，d=﹣．∵=+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴﹣=9，化为．∴=．故选：C．点评：本题综合考查了等差数列的通项公式及其性质、三角函数的平方关系和倍角公式、特殊角的三角函数等基础知识与基本技能方法，属于难题．10．（5分）若正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4 B．a b有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由于==2+≥4，故A不正确．由基本不等式可得a+b=1≥2，可得ab≤，故B不正确．由于=1+2≤2，故≤，故C 正确．由a2+b2 =（a+b）2﹣2ab≥1﹣=，故D不正确．解答：解：∵正实数a，b满足a+b=1，∴==2+≥2+2=4，故有最小值4，故A不正确．由基本不等式可得a+b=1≥2，∴ab≤，故ab有最大值，故B不正确．由于=a+b+2=1+2≤2，∴≤，故有最大值为，故C正确．∵a2+b2 =（a+b）2﹣2ab=1﹣2ab≥1﹣=，故a2+b2有最小值，故D不正确．故选：C．点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．11．（5分）点M（x，y）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x﹣y+m≥0恒成立，则的取m值范围是（）A．m≥3﹣2B．m≥3 C．m≥0 D．m≥1﹣2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合将不等式恒成立转化为求最值问题，即可得到结论．解答：解：若2x﹣y+m≥0总成立⇔m≥y﹣2x总成立即可，设z=y﹣2x，即求出z的最大值即可，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=y﹣2x得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线经过点C（0，3）时，直线的截距最大，此时z最大，此时z=3﹣0=3，∴m≥3，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，将不等式恒成立转换为求目标函数的最值是解决本题的关键．12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．A C⊥BEB．E F∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：利用证线面垂直，可证AC⊥BE；判断A正确；根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B正确；根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，可判断C正确；例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D错误．解答：解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；故选D．点评：本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置. 13．（5分）经过点P（3，﹣1），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是x+2y﹣1=0或x+3y=0．考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a=0时，b=0，当a≠0时，a=2b，由此利用题设条件能求出直线l的方程．解答：解：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a=0时，b=0，此时直线l过点P（3，﹣1），O（0，0），∴直线l的方程为：，整理，得x+3y=0；当a≠0时，a=2b，此时直线l的斜率k=﹣=﹣，∴直线l的方程为：y+1=﹣（x﹣3），整理，得x+2y﹣1=0故答案为：x+2y﹣1=0或x+3y=0．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不要丢解．14．（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是．考点：球的体积和表面积；余弦定理；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，求出圆锥的高，利用体积相等，求出2θ的余弦值即可．解答：解：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高H=R•ctgθ圆锥的体积V1=πR2•H=πR3ctgθ半球的体积V2=πR3∵V1=V2即：πR3ctgθ=πR3∴ctgθ=2∴cos2θ=故答案为：．点评：本题考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，考查计算能力，是基础题．15．（5分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠A=60°，a=，b=x．若满足条件的三角形有两个．则x的范围是（，2）．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由已知条件A的度数，a及b的值，根据正弦定理用x表示出sinB，由A的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个B的范围，然后根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinB的范围，进而求出x的取值范围．解答：解：由正弦定理得：，即，变形得：sinB=，由题意得：当B∈（60°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得：＜x＜2，则a的取值范围是（，2）．故答案为：（，2）．点评：此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值．要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件，属于基本知识的考查．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．考点：数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由累加法求出a n=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．解答：解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2+33=33+n2﹣n所以设f（n）=，令f′（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为点评：本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，由韦达定理可得方程组，解出即可；（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，按照对应方程的根2、c的大小关系分三种情况讨论可得；解答：解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，则，∴a=1，b=2．（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．点评：该题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解题关键．18．（12分）设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a n；（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=，再由（Ⅰ）可求得b n，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得T n；解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a5，a14构成等比数列，∴=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=0（舍去），或d=2．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由已知，，n∈N*，当n=1时，=；当n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=．∴=，n∈N*．由（Ⅰ），知a n=2n﹣1，n∈N*，∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，则T n=++…++．两式相减，得T n=+（++…+）﹣=﹣﹣，∴T n=3﹣．点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题．19．（12分）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（1）求A，C；（2）若S△ABC=，求a，c．考点：余弦定理的应用；两角和与差的余弦函数；正弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin（B﹣A）=cosC可求出答案．（2）先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案．解答：解：（1）因为所以左边切化弦对角相乘得到sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB，所以sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．所以C﹣A=B﹣C或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立）即2C=A+B，C=60°，所以A+B=120°，又因为sin（B﹣A）=cosC=，所以B﹣A=30°或B﹣A=150°（舍），所以A=45°，C=60°．（2）由（1）知A=45°，C=60°∴B=75°∴sinB=根据正弦定理可得即：∴a=S=acsinB==3+∴c2=12∴c=2∴a==2点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用．对于三角函数这一部分公式比较多，要强化记忆．20．（12分）已知直线方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0．（1）证明：直线恒过定点；（2）m为何值时，点Q（3，4）到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．考点：点到直线的距离公式；恒过定点的直线．专题：计算题；转化思想．分析：（1）证明：利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可；（2）点Q（3，4）到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，设出直线的方程，求出A，B，然后求出△AOB面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．解答：（1）证明：直线方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，可化为（2x+y+4）+m （﹣x+2y+3）=0，对任意m都成立，所以，解得，所以直线恒过定点（﹣1，﹣2）；（2）解：点Q（3，4）到直线的距离最大，可知点Q与定点（﹣1，﹣2）的连线的距离就是所求最大值，即=2．（3）解：若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，直线方程为y+2=k（x+1），k ＜0，则A（，0），B（0，k﹣2），S△AOB===2+≥2+2=4，当且仅当k=﹣2时取等号，面积的最小值为4．此时直线的方程为2x+y+4=0．点评：本题是基础题，考查直线系过定点，零点的距离公式，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想．21．（12分）A、B两仓库分别有编织袋50万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运40万个到甲地，20万个到乙地．已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个、180元/万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个、150元/万个．问如何调运，能使总运费最小？总运费的最小值是多少？考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为z元，建立约束条件，利用线性规划进行求解即可．解答：解：设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为z元．那么需从B仓库调运（40﹣x）万个到甲地，调运万个到乙地．从而有，则z=120x+180y+100（40﹣x）+150=20x+30y+7 000，作出以上不等式组所表示的平面区域（如图所示），即可行域．令z′=z﹣7 000=20x+30y．作直线l：20x+30y=0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M（30，0），且与原点距离最小，即x=30，y=0时，z=20x+30y取得最小值，从而z=z′+7 000=20x+30y+7 000亦取得最小值，z min=20×30+30×0+7 000=7 600（元）．答：从A仓库调运30万个到甲地，从B仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地，可使总运费最小，且总运费的最小值为7 600元．点评：本题主要考查线性规划的应用问题，根据条件建立约束条件，利用数形结合是解决本题的关键．22．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）求二面角A﹣ED﹣B的正弦值．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．专题：计算题．分析：（1）通过已知条件可知，AC⊥底面BCED，再求出梯形BCED的面积，根据三棱锥的体积公式即可求出体积．（2）先找到异面直线所成的角，可过B作DE的平行线，则角ABF便是异面直线所成的角，根据条件求出即可．（3）先找出二面角的平面角，过C作CG⊥ED，并交ED于G，连接AG，则∠AGC即是所找的二面角的平面角，根据条件求出即可．解答：解：（1）∵∠ACE，∠ACB都是直角，∴AC⊥BC，AC⊥CE，CB∩CE=C，CB⊂平面BCED，CE⊂平面BCED；∴AC⊥平面BCED．∴V=．（2）取CE中点F，连接BF，则BF∥DE，则∠ABF即异面直线DE与AB所成的角，连接AF．在△ABF中，AB=4，BF=，AF=；∴由余弦定理得：cos∠ABF=；异面直线DE与AB所成角的余弦值是．（3）过C作CG⊥DE，交DE于G，连接AG，∵AC⊥平面BCED，ED⊂平面BCED，∴AC⊥ED；∴ED⊥平面ACG，AG⊂平面ACG，∴ED⊥AG，∴∠AGC是二面角A﹣ED﹣B的平面角；在Rt△ACG中，AC=4，CG=，∠ACG=90°；∴tan∠AGC=，sin．点评：求异面直线所成角时，通过作另一直线的平行线，找出这个角，然后把它放在一个三角形里去求即可．求二面角时，先找到二面角的平面角，然后把它放在一个三角形里去求即可．。