精品课程-logistic回归分析

b /(a b)
d /(c d )
该暴露因素的优势比： OR = a /(a b) c /(c d ) ad
b /(a b) d /(c d )
bc
相对危险度RR的本质是暴露组与非暴露组发病率之比或发病概率 之比。但病例对照研究不能计算发病率，只能计算比值比OR值。 OR与RR的含义是相同的，也是指暴露组的疾病危险性为非暴露组 的多少倍。当疾病发病率小于5%时，OR是RR的极好近似值。 OR>1,说明 该因素是疾病的危险性增加，为危险因素； OR<1,说明 该因素是疾病的危险性减小，为保护因素；
多个因变量 (y1,y2,…yk)
路径分析
结构方程模型分析
• logistic回归（logistic regression）是研究因变量为二分类或 多分类观察结果与影响因素（自变量）之间关系的一种多 变量分析方法，属概率型非线性回归。 • 在流行病学研究中，常需要分析疾病与各种危险因素间的 定量关系，同时为了能真实反映暴露因素与观察结果间的 关系，需要控制混杂因素的影响。 （1）Mantel-Haenszel分层分析：适用于样本量大、分析因 素较少的情况。当分层较多时，由于要求各格子中例数不 能太少，所需样本较大，往往难以做到；当混杂因素较多 时，分层数也呈几何倍数增长，这将导致部分层中某个格 子的频数为零，无法利用其信息。
设 Z 0 1 X 1 2 X 2 m X m ，则 Z 与 P 之间关系的 logistic 曲线如下图所示 。
可看出：当 Z 趋于 时， P 值渐进于 1；当 Z 趋于 时， P 值渐进于 0； P 值的变化在 0~1 之间，并且随 Z 值的变 化以点（0,0.5）为中心成对称 S 形变化。
由于 OR j 值与模型中的常数项 0 无关，因此 0 在危 险因素分析中常常被视为无效参数。对于发病率很低 的慢性疾病如心脑血管病、恶性肿瘤等，优势比可作 为相对危险度（relative risk ,RR）的近似估计。
P (1 P ) P 1 1 RR 即 OR 1 P0 (1 P0 ) P0
（二）病例与对照匹配---条件logistic回归 1、成组匹配（category matching）：匹配的因素所占的比例，在对照组 和在病例组一致。如病例组中男女各半，65岁以上者占1/3，则对照组 也是如此。 2、个体匹配（individual matching）：以病例和对照的个体为单位进行 匹配叫个体匹配。1:1匹配又叫配对（pair matching）， 1:2，┅ ，1:m 匹配时称为匹配。 匹配的特征必须是已知的混杂因子，或者有充分的理由怀疑其为混 杂因子，否则不应匹配。 （三）巢式病例对照研究 也称为队列内的病例对照研究，是将队列研究和病例对照研究相结合的 方法。
i 1
n
（15.7）
式中为对数似然函数，对其取一阶导数求解参数。对 于参数 j （ j 1, 2,, m ） ，令 ln L 的一阶导数为 0， 即
ln L 0 ，用 Newton-Raphson 迭代方法解方程组， j
得出参数 j 的估计值 b j 和 b j 的渐进标准误 Sb j 。
研究，先按疾病状态确定调查对象，分为病例(case)和对照 (control)两组，然后利用已有的记录、或采用询问、填写调查表 等方式，了解其发病前的暴露情况，并进行比较，推测疾病与 暴露间的关系。
调查方向：收集回顾性资料
比较 a/(a+b)
人数 a b c
暴露 +
疾病 病例
+ 对照 -
c/(c+d) d
ln[exp( 0 1 X1 2 X 2 m X m )]
0 1 X1 2 X 2 m X m
（15.2）
模型参数的流行病学含义
当各种暴露因素为 0 时： P ln( ) 0 1 X 1 2 X 2 m X m 1 P 0 1 0 m 0 0 可看出：常数项 0 是当各种暴露因素为 0 时，个体发病 与不发病概率之比的自然对数值。 偏回归系数 j （ j 1,2, , m ）表示在其它自变量固定的 条件下，第 j 个自变量每改变一个单位时 logit (P) 的改变 量。它与比数比（优势比） OR （odds ratio）有对应关系。
P logit 变换：logit P = ln 为 P 的 logit 变换， 1 P 通过 logit 变换之后，就可将 0 P 1 的资料转换为
log it ( P) 的资料。
作 logit 变换后，logistic 回归模型可以表示成如下 的线性形式：
exp( 0 1 X 1 2 X 2 m X m ) 1 exp( 0 1 X 1 2 X 2 m X m ) P ln( ) ln[ ] exp( 0 1 X 1 2 X 2 m X m ) 1 P 1 1 exp( 0 1 X 1 2 X 2 m X m )
(15.6)
其中， Pi 表示第 i 例观察对象处于暴露条件下时阳 性结果发生的概率。阳性结果时， Yi 1 ；阴性结 果时， Yi 0 。
根据最大似然原理，似然函数 L 应取最大值。 对似然函数取对数形式：
ln L [Yi ln Pi (1 Yi ) ln(1 Pi )]
优势比估计
自变量 X j 不同水平 c1 和 c0 优势比的估计值：
ˆ OR j exp[b j (c1 c0 )]
当样本含量 n 较大时， b j 的抽样分布近似服从 正态分布，若 X j 只有暴露和非暴露 2 个水平， 则优势比 OR j 的 100(1 )%可信区间为：
exp(b j u 2 Sb j )
在其它影响因素相同的情况下，某危险因素 X j 两个 不同暴露水平 c1 和 c 0 发病优势比的自然对数为：
P1 (1 P1 ) P0 P1 ln OR j ln ) ln( ) = ln( 1 P1 1 P0 P0 (1 P0 )
= j (c1 c0 ) 则该因素的优势比： OR j exp[ j (c1 c 0 )] 式中 P1 和 P0 分别表示在 X j 取值为 c1 和 c 0 时的发病 概率， OR j 为调整后优势比（adjusted odds ratio）, 表示扣除了其它自变量影响后危险因素 X j 的作用。
二、 logistic回归模型的参数估计
logistic 回归模型的参数估计常采用最大似然估计。 其基本思想是先建立似然函数与对数似然函数， 求使对数似然函数最大时的参数值，其估计值即 为最大似然估计值。 建立样本似然函数：
L PiYi (1 Pi )1Yi
i 1
n
（ i 1, 2,, n ）
（2）线性回归分析：由于因变量是分类变量，不能满足 其正态性要求；有些自变量对因变量的影ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ并非线性。
logistic回归:不仅适用于病因学分析，也可用于其他方面的研究，研
究某个二分类（或无序及有序多分类）目标变量与有关因素的关 系。
logistic回归的分类：
（1）二分类资料logistic回归： 因变量为两分类变量的资料，可用非 条件logistic回归和条件logistic回归进行分析。非条件logistic回归 多用于非配比病例-对照研究或队列研究资料，条件logistic回归多 用于配对或配比资料。 （2）多分类资料logistic回归： 因变量为多项分类的资料，可用多项 分类logistic回归模型或有序分类logistic回归模型进行分析。
病例对照原理示意图
是否暴露 暴 露 组 未暴露组 合计
病例 a c a+c
对照 b d b+d
合计 a+b(n1) c+d(n2) n
比数比（odds ratio、OR） ：病例对照研究中表示疾病与暴露间 联系强度的指标，也称比值比。 比值（odds） ：某事物发生的可能性与不发生的可能性之比。 病例组暴露的比值 a /(a b) 、对照组暴露的比值 c /(c d )
设 X j 为两分类变量： c1 =1 为暴露， c 0 =0 为非暴露， 则暴露组和非暴露组发病的优势比为： OR j exp j 当 j =0 时， OR j =1，表示因素 X j 对疾病的发生不起 作用； j >0 时， OR j >1，表示 X j 是一个危险因素；
j <0 时， OR j <1，表示 X j 是一个保护因素。
例15-1
表 15-1 为吸烟、饮酒与食管癌关系的病例-对照研究调查 资料，试进行 logistic 回归分析。
第十五章 logistic回归分析
Logistic Regression Analysis
山东大学公共卫生学院
回归分析的分类
连续型因变量 (y) --- 线性回归分析
一个 因变 量y
分类型因变量 (y) ---Logistic 回归分析
生存时间因变量 (t) ---生存风险回归分析
时间序列因变量 (t) ---时间序列分析
第一节
logistic 回归模型:
logistic回归
设因变量Y 是一个二分类变量，其取值为 Y =1 和 Y =0。 影响 Y 取值的 m 个自变量分别为 X 1 , X 2 , , X m 。在 m 个自变量（即暴露因素）作用下阳性结果发生的条件 概率为 P P(Y 1 X 1 , X 2 , , X m ) ，则 logistic 回归模 型可表示为： exp( 0 1 X 1 2 X 2 m X m ) P （15.1） 1 exp( 0 1 X 1 2 X 2 m X m ) 其中， 0 为常数项， 1 , 2 , , m 为偏回归系数。