3.1 简谐近似和简正坐标、一维单原子链

第二卷固体物理知识点（参考黄昆的书，学有余力也建议学习韦丹固体物理，各有特色）第一章晶体结构1.1 晶格的相关概念及几种不同晶格1.2 理解原胞概念1.3 晶面晶向的标定1.4 倒易点阵的定义及相关性质1.5 立方体、正四面体、正六角柱的对称操作1.6 五种旋转对称的推导1.7 十四种布拉伐格子，结合材料科学基础，弄清楚。

1.8 表1-2记住，材科基会考第二章固体的结合2.1 离子性结合的特点，推导马德隆常数，系统内能的表示，求平衡距离和体变模量2.2 共价结合的特点2.3 金属性结合的特点，排斥作用来源2.4 范德瓦尔斯结合的特点，Lennard-Jones 势的相关推导第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 了解简谐近似、简正坐标、振动模的概念3.2 格波、声子概念，一维单原子链的色散关系等计算，q 的范围，长波极限特点3.3 一维双原子链相关推导，q 的取值范围，声学波光学波的概念，长波极限的特点3.4 声学波，光学波的数量判断，q 的分布密度，第一布里渊区的概念，画法3.5 了解LST 关系3.6 确定色散关系的几种方法及其原理3.8 爱因斯坦模型和德拜模型的假设、结果、适用范围、缺陷及全部推导过程3.9 不同条件下推导晶格振动模式密度3.10 热膨胀产生原因3.11晶格热传导原理，热导率的影响因素，N、U过程，不同温度下晶格热导原理第四章能带理论4.1 布洛赫定理内容，简约波矢概念4.2 一维周期长中求带隙大小，解释其成因4.3 三维周期场的布里渊区和能带，SC、BCC、FCC的简约布里渊区及相关数据。

结合2015年十一题和课后4.8弄懂图4-114.5 紧束缚近似的概念，该近似下求SC、BCC、FCC的能带函数E（k）4.7 不同维度下求能态密度，近自由电子的等能面，费米面，费米半径的相关计算第五章晶体中电子在电场和磁场中的运动5.1 波包概念，E、F、v、a、m*的相关公式及计算5.2 恒定电场下电子的运动过程，振荡频率5.3 导体、半导体、绝缘体的能带特点5.4 了解廊道能级概念5.5 回旋共振的应用5.6 德·哈斯-范·阿尔芬效应的原理及作用第六章金属电子论（可参考材科学习辅导第九章：功能材料基础）6.1 电子热容量公式（掌握大致证明过程），电子热容量与晶格热容量大小比较及原理6.3 了解定态导电过程中的玻尔兹曼方程6.4 了解弛豫时间的概念及电导率公式6.5 了解对各向同性散射过程中弛豫时间表达式的理解6.6 晶格散射的 U 过程和 N 过程，弛豫时间公式中包含的两个重要结论第七章至第十一章：出现频率极低，搞懂相关真题，学有余力关注其中一些概念即可。

《固体物理学》教学大纲（适用于本科物理学专业）课程编码：140613040学时：64学分：4开课学期：第七学期课程类型：专业必修课先修课程：理论力学，电动力学，热力学与统计物理，量子力学教学手段：多媒体一、教学目的与任务：本课程是物理学专业本科生的专业选修课。

通过本课程的学习，使学生了解固体物理学发展的基本情况，以及固体物理学对于近代物理和近代科技的发展起的作用，培养学生的科学素质和科学精神；了解固体物理所研究的基本内容和固体物理研究前沿领域的概况，培养学生的现代意识和科学远见；掌握固体物理学的基本概念和基本规律，培养掌握科学知识的方法；掌握应用固体物理学理论分析和处理问题的手段和方法，培养科学研究的方法。

二、课程的基本内容：1.晶体的结构2.固体的结合3.晶格振动与晶体的热学性质4.能带理论5.晶体中电子在电场和磁场中的运动6.金属电子论三、课程的教学要求：（1）掌握晶体的空间点阵，晶体基矢的表达，倒易点阵，晶面、晶向的概念以及正点阵和倒易点阵的关系。

（2）掌握晶体的结合类型和结合性质。

（3）掌握一维晶体振动模式的色散关系，晶格振动的量子化、声子的概念。

爱因斯坦模型和德拜模型解释固体的比热性质。

（4）掌握自由电子气的概念，自由电子气的费密能量，布洛赫波以及自由电子模型。

（5）掌握布里渊区的概念以及近自由电子近似和紧束缚近似方法计算能带的理论。

（6）了解晶体的对称操作类型，了解非谐效应，确定振动谱的实验方法以及晶格的自由能。

（7）了解金属中电子气的热容量，金属、半导体、绝缘体以及空穴的概念。

四、课程学时分配：第一章晶体结构(8学时)【教学目的】通过本章的教学，使学生了解晶格结构的一些实例；理解和掌握晶体结构的周期性特征及其描述方法；理解和掌握晶体结构的对称性特征及其描述方法；理解和掌握倒格子的定义及其与正格子的关系。

【重点难点】重点：晶体结构的周期性特征及其描述方法、晶体结构的对称性特征及其描述方法、倒格子及其与正格子的关系。

第一部分晶体结构和晶体缺陷1. 原子的负电性：原子得失价电子能力的一种度量。

其定义为：负电性＝0.18（电离能＋亲和能）2. 共价键的定义和特性能把两个原子结合在一起的一对为两个原子所共有的自旋相反配对的电子结构，称为共价键。

3.金刚石结构为什么要提出杂化轨道的概念？金刚石中的C原子不是以单独C原子的基态为基础的，每个C原子与周围形成四个等价的共价键。

4．V、VI、VII族元素仅靠共价键能否形成三维晶体？Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ族元素也可以形成共价键，但由于共价键的饱和性，Ⅴ族元素只能形成三个共价键，Ⅵ、Ⅶ族元素则只能分别形成二个，一个共价键，但仅有三个、二个、一个共价键不能形成三维晶体。

所以对Ⅴ族元素三个共价键常在一个平面上，形成层状结构，而各原子间则靠范德瓦尔斯力结合，对Ⅵ族元素，二个共价键常形成环状结构，各个环之间依靠范德瓦尔斯力结合；对于Ⅶ族元素，常由一个共价键先组成分子，而分子之间依靠范德瓦尔斯力形成分子晶体。

5．.晶体结构，空间点阵，格点，布拉菲格子、单式格子和复式格子之间的关系和区别。

（课本第3页）晶体结构＝基元＋空间点阵6．配位数的定义是什么？点阵中和一个原子相邻的原子数称为配位数（CN）7．晶体中有哪几种密堆积，密堆积的配位数是多少？8．晶向指数，晶面指数是如何定义的？（课本第14页）9．七种晶系和十四种B格子是根据什么划分的？（课本第8页）10．肖特基缺陷、费仑克尔缺陷、色心、F心、V心是如何定义的？色心是一种非化学计量比引起的空位缺陷。

该空位能够吸收可见光使原来透明的晶体出现颜色，因而称它们为色心,最简单的色心是F心。

所谓F心是离子晶体中的一个负离子空位束缚一个电子构成的点缺陷。

（课本第84-89页）11．刃位错和螺位错分别与位错线的关系如何？刃型位错的特点是位错线垂直于滑移矢量；螺型位错的特点是位错线平行于滑移矢量。

12．位错线的定义和特征如何？1.滑移区与未滑移区的分界线；2.位错线附近原子排列失去周期性；3.位错线附近原子受应力作用强，能量高，位错不是热运动的结果；4.位错线的几何形状可能很复杂，可能在体内形成闭合线，可能在晶体表面露头，不可能在体内中断。

《固体物理》课程教学大纲一、课程基本信息课程编号:13103104课程类别:专业核心课程适应专业:材料物理总学时:64学时总学分:3学分课程简介:固体物理学是研究固体的结构及其组成粒子之间相互作用与运动规律的学科,也是材料物理的重要基础课程。

固体物理学研究的对象是由大量粒子组成的复杂系统。

这些大量粒子之间存在着复杂的相互作用,但同时也包含了丰富的物理现象。

对于这种复杂的系统,人们必须作近似处理,找出描述某种现象的物理本质。

这对学生的抽象、假设、创造力的培养是非常重要的。

授课教材:《固体物理学》,黄昆、韩汝琦,高等教育出版社,1988,1996年获国家科学技术进步二等奖、全国第二届优秀教材特奖参考书目:[1]《固体物理引论》,基特耳著、万纾民等译,人民教育出版社,1962年。

[2]《固体物理学》,H.E.Hall,刘志远等译,高等教育出版社,1983年。

[3]《固体物理学》,谢希德等,上海科学技术出版社,1961年。

[4]《固体物理学》,顾秉林、王喜坤,清华大学出版社,1989年。

[5]《固体物理》,徐毓龙、阎西林,西安电子科技大学出版社,1990年。

[6]《固体物理学》,陈长乐,西北工业大学出版社出版,2000年。

二、课程教育目标固体物理学是物理学中的重要分支,本课程是材料物理学的基础理论课,是物理专业及其相近专业非常重要的基础课、必修课。

课程强调对固体物理学的科学方法、物理图象的理解。

学生通过本课程的学习要求掌握固体物理学的基本概念、基本模型和方法,了解它们在各类技术中的应用,为进一步学习专业课,为毕业后从事科研和高新技术工作打下坚实的基础。

三、教学内容与要求第一章晶体结构教学重点:晶体结构,空间点阵,倒移点阵晶向、晶面指数教学难点:倒格子,晶体对称操作教学时数:10学时教学内容:一些晶格的实例,晶格的周期性,晶向、晶面和它们的标志,倒格子,晶体的宏观对称性。

教学方式:课堂讲授教学要求:(1)掌握晶体的空间点阵,晶体基矢的表达,倒易点阵,晶面、晶向的概念以及正点阵和倒移点阵的关系。

华中科技大学固体物理本次课的讲课内容第三章：晶格振动3.1简谐近似和简正坐标3.2一维单原子链3.3一维双原子链3.4三维晶格振动3.5确定晶格振动的试验方法3.1简谐近似和简正坐标晶格振动的研究最早从晶体的热学性质开始的，高温情况下热熔符合杜隆柏悌定则。

低温情况下，晶体热熔符合3T 律（涉及量子理论），研究晶体晶格振动的意义不限于热学性质，还包括晶体的电学性质，光学性质，超导电性，磁性，及结构相变，，，，从经典力学的观点看，晶格振动是典型的小震动问题，即，，，如果晶体包括N 个原子，平衡位置为n R ，偏离平衡位置的位移矢量为：()n t μ，则原子的实际位置矢量：()()'n n n R t t R μ=+，选用广义坐标系：位移矢量n μ用分量表示，N 个原子的位移矢量共有3N 个分量，写成：()1,2,......,3i i N μ=，以此作为广义坐标系，则整个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数：23301,1001......2NN i i j i i j i i jV V V V μμμμμμ==⎛⎫⎛⎫∂∂=+++∑∑⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 零表明是平衡位置时所具有的值。

可以设00V =,且有:00i V μ⎛⎫∂=⎪∂⎝⎭ 略去二阶以上的高阶项，就得到：23,1012N i j i j i jVV μμμμ=⎛⎫∂=∑⎪ ⎪∂∂⎝⎭,略去高阶项是有一定意义的，这称为简谐近似。

考虑到高阶项的作用，称为非简谐近似。

N 个原子体系的动能函数：203112N i i i T m μ==∑每个谐振子的波动方程的形式以及对应的能量本征值的形式，一定要记熟。

。

3.2一维单原子链晶体具有周期性，因而，晶格的振动模具有波的形式，称为格波。

将单原子链看做是一个最简单的晶格，平衡时相邻原子的距离为a ，每个原胞只含有一个原子，质量为m ，原子限制在沿链的方向移动，偏离格点的位移用：11......,,......n n n μμμ-+表示，只有相邻原子间存在相互作用，相互作用能可以一般写成：()()21 (2)a a νδνβδ+=++δ表示相对平衡位置a 的偏离。

第九讲：晶体振动上一维单原子链简谐近似和简正坐标布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶体中形成各种模式的波，称为格波。

只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。

由于晶体的平移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。

通常用一系列独立的简谐振子来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。

势能和动能函数设简单晶格晶体包含N 个原子，平衡位置为R n ，偏离平衡位置的位移矢量为µn (t )，则原子的位置为()()R R n n n t t '=+µ。

将位移矢量µn (t )用分量表示，写成µi ( i = 1, 2, ..., 3N )。

N 个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数：⋅⋅⋅++ +=∑∑==j i N i N j i j i i i V V V V µµ∂µ∂µ∂µ∂µ∂03131,20021 (3-1) 下标0表示为在平衡位置时所具有的值。

可以设V 0 = 0，而且在平衡位置相互作用力为零：0 0=i V ∂µ∂ (3-2) 忽略二阶以上的非简谐项可得：j i N j i ji V V µµ∂µ∂µ∂031,221∑==(3-3) N 个原子体系的动能函数为：∑==Ni ii m T 31221µ(3-4)简正坐标 为了使问题简化，引入简正坐标N Q Q Q 321 , , ,⋅⋅⋅简正坐标和原子的位移坐标 µi 之间通过正交变换相互联系：∑==Nj jij i i Qa m 31µ (3-5)引入简正坐标后体系的势能函数和动能函数为：∑==Ni iQT 31221(3-6)∑==N i ii QV 312221ω (3-7)由于动能函数T 是正定的，根据线性代数的理论，总可以找到这样的正交变换，使势能函数和动能函数同时化为平方项之和。