第7讲_用倒推法解分数应用题

六年级奥数专项用倒推法解题Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】用倒推法解题【知识与方法】：倒推法，即从后面的已知条件（结果）入手，逐步向前一步一步地推算，最后得出所需要的结论。

这种方法对于解答一些分数应用题同样适用。

【例题精讲】例题1：有一条铁丝，第一次剪下它的12又1米；第二次剪下剩下的13又1米；此时还剩下15米。

这条铁丝原来长多少米模仿练习1：一堆水泥，第一次用去它的12又3吨，第二次用剩下水泥的13又3吨，第三次又用去第二次余下的14又3吨，这时这堆水泥正好剩下3吨。

这堆水泥原来有多少吨例2：甲、乙两仓库各存粮若干，先将乙仓库中存粮的15运到甲仓库，再将甲仓库此时存粮的14运到乙仓库，这时甲仓库有粮食600吨，乙仓库有粮食720吨。

那么，原来甲仓库和乙仓库中各存粮多少吨模仿练习2：三只猴子分一筐桃，第一只猴子分得全部桃子的27多12个，第二只分到余下的23少4个，第三只分到20个。

这筐桃子共有多少个（竞赛决赛试题）例3：李老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数1、2、3、……。

后来擦掉其中一个，剩下的数的平均数是。

那么，被擦掉的那个自然数是多少模仿练习3：☆黑板上写着从1开始的若干个连续自然数，擦去其中的一个后。

其余各数的平均数是35517。

擦去的数是多少（奥赛初赛A卷试题）例4：有一种细胞，每秒钟分裂成2个，两秒钟可分裂成4个，3秒钟可分裂成8个…在瓶中开始放进1个这样的细胞，刚好1分钟后就充满整个瓶。

如果一开始就放进8个这样的细胞，要充满整个瓶的41，需要多少秒 模仿练习4：一种微生物，每小时可增加一倍，现在有一批这样的微生物，10小时可增加到100万个。

那么增加到25万个需要多少小时【巩固与提高】1、小明今年的岁数加上10后，再扩大5倍，然后减去5，再缩小5倍，刚好是20岁。

小明今年多少岁2、甲、乙、丙三个数，从甲数中取出17加到乙数，从乙数中取出19加到丙数，从丙数中取出15加到甲数，这时三个数都是153，甲数原来是多少3、一只猴子摘了一堆桃子，第一天它吃了这堆桃子的17 ，第二天它吃了余下桃子的16，第三天它吃了余下桃子的15 ，第四天它吃了余下桃子的14 ，第五天它吃了余下桃子的13 ，第六天它吃了余下桃子的12 ，这时还剩12只桃子，那么第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是多少（奥赛初赛试题）4、学校将一批糖果发给甲、乙、丙、丁四个班。

分数应用题(二)一、知识点概述我们已经学习了几种常见的分数应用题的解答方法，会根据题目提供的信息分析数量关系，选择合适的方法解答分数应用题，今天我们重点探究“总量与部分量”这一类分数应用题的解答方法。

二、重点知识归纳及讲解(一)“总量与部分量”这一类分数应用题的基本特点：这一类分数应用题往往是把总量(如：一条路的全长、一项工程、一个班级的总人数、一本书的总页数等)看作单位“1”，部分量作为分率的对应量，反映的是总量与部分量之间的关系。

(二)解答这一类分数应用题同样要用到下面的数量关系：对应量÷单位“1”的量=分率单位“1”的量×分率=对应量对应量÷分率=单位“1”的量(三)解答这一类分数应用题常用的几种方法：1、已知单位“1”的量(即总量)，求分率的对应量，往往运用依次递进的方法解决问题。

2、已知分率的对应量，求单位“1”的量(即总量)，一般运用倒推还原的方法解决问题。

3、如果单位“1”的量不统一，我们一般先统一单位“1”，再解决问题。

三、难点知识剖析例1、一条公路，全长300千米，一辆汽车第一小时行了全长的，第二小时行了全长的多5千米，这时离全程的中点还有多少千米？解析：本例以公路的全长为单位“1”，已知单位“1”，用乘法解决问题。

解答：答：这时离全程的中点还有35千米。

例2、一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，还剩66页没有看完，已经看了多少页？解析：本例以一本书的总页数为单位“1”，要解决后面的问题，应该先求单位“1”的量，所以首先应该找到剩下的“66页”所对应的分率。

如下图：解答：答：已经看了42页。

例3、一段公路，已修的比全长的还多80千米，还剩200千米没有修完，这条公路全长多少千米？解析：本例以一段公路的全长作单位“1”，要求单位“1”，关键是找准未修的与整体做比较，找出量(200＋80)与对应分率(1－)。

如下图：解答：答：这条公路全长360千米。

解决应用题的神兵利器
——倒推法和图示法
例1
(★★)
孙果果发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到他的身上使他身上的钱增加一倍，孙果果很高兴；但是当他走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；他一连走了3个来回后，箱子里的钱和他身上的钱都是64个铜板，那么原来孙果果身上有多少个？
箱子里有多少个？
例2
(★★)
孙果果去果园采桃子，第一天孙果果吃了一个桃子，并摘下了剩下桃子的一半，第二天孙果果吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后一天孙果果吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半，这时果园里刚好还剩四个桃子。

原来果园一共有几个桃子？
例3
(★★★)
甲、乙两个油桶各装了15千克油，孙果果卖了14千克。

后来，孙果果从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍。

问：孙果果从两个桶里各卖了多少千克油？
例4
(★★★)
口渴的师徒三人分别捧着一个水罐。

最初，师父的水最多，并且有一个徒弟没水喝，于是师父把自己的水全部平均分给了大、小两个徒弟；接着，大徒弟又把自己的水全部平均分给师父和师弟；然后，小徒弟又把自己的水全部平均分给了师父和师兄。

就这样，三人轮流谦让了一阵。

结果太阳落山时，师父的水罐里有10升水，小徒弟的水罐则装着20升水。

请问：最初大徒弟的水罐里有多少升水？。

小学数学倒推法练习题对于小学生来说，学习数学是一个重要且有挑战性的任务。

其中，倒推法作为数学解题中常用的方法之一，可以帮助学生培养逻辑思维和解决问题的能力。

本文将提供一些小学数学倒推法练习题，帮助学生掌握和巩固倒推法的应用。

一、简单倒推法练习题1. 小英参加了一个拔河比赛，她站在第五个位置上。

如果她的队伍有11人，问小英所在队伍的前面还有几个人？解析：根据题意可知，小英所在队伍的前面有4个人。

因此，可以使用倒推法得到结果。

2. 小明乘坐地铁去动物园，他从第六站下车，并且在第十站上车。

如果小明乘坐了5站地铁，问他在动物园坐了几站？解析：小明乘坐地铁的总站数为10站，而他下车的站数为6站，因此，在动物园坐了4站。

二、数字运算倒推法练习题1. 有一些连续的整数，将其中的奇数全部相加，和是255。

问这些连续整数中一共有多少个奇数？解析：假设这些连续整数的首个奇数为x，那么第二个奇数为x+2，第三个奇数为x+4，以此类推。

由题意可知，若共有n个奇数，则它们的和为n * (x + (x + 2n - 2)) / 2 = 255。

化简方程可得n * (2x + 2n - 2) =510。

根据倒推法，我们可以从小到大依次尝试n的值，找到满足方程的整数解。

2. 一个三位数的数字由4、6、8组成，如果把这个三位数的百位数与个位数对调，得到一个新的三位数。

问这个新的三位数比原来的三位数多多少？解析：首先，根据题意可知这个三位数为468。

当把百位数与个位数对调后，得到一个新的三位数为864。

新的三位数比原来的三位数多864-468=396。

三、推理倒推法练习题1. 当小明放学后，他回家的路上看到了一只猫。

小猫的主人告诉小明，这只猫的年龄相当于人的7岁。

已知这只猫比小明的妈妈年龄大2岁，那么猫的年龄是多少岁？解析：根据题意可得，小明的妈妈年龄为7*2 + 2 = 16岁。

因此，这只猫的年龄也是16岁。

2. 甲、乙两人同时从相距60公里的A、B两地相向而行，相距4小时后，两人相遇在C地，甲到达B地时，乙到达A地。

小学奥数之倒推法例题讲解例题：商店购进一种商品来销售，第一天卖出总数的17又8个，第二天卖出余下的14又5个，第三天卖出余下的25又15个，正好卖完。

求这种商品原有多少个？分析：有时候一些应用题里面有多个单位“1”，或者说单位“1”不统一，这时候我们该怎么办呢？就像上面这题，“原来的商品个数”是一个单位“1”，第二天余下的商品是另一个单位“1”，第三天余下的商品又是另一个单位“1”。

这个时候我们就可以运用“倒推法”，从结果出发一步步往前推。

首先我们画出线段图：先推理①的数量：根据题意“第三天卖出余下的25又15个，正好卖完。

”，可知15个占了①的（1-25），因此我们用除法可以求出①的数量。

15÷（1-25）=15÷35=25（个）再推理②的数量：根据题意“第二天卖出余下的14又5个”，可知②的数量+5，就占了②的（1-14），因此我们用除法可以求出②的数量。

（25+5）÷（1-14）=40（个）最后推理③的数量：根据题意“第一天卖出总数的17又8个”，可知③的数量+8，就占了③的（1-17），因此我们用除法可以求出③的数量。

（40+8）÷（1-17）=56（个）答：这种商品原有56个。

老司机的话：这种题型虽然也可以用初中的“一元一次方程”做出来，但小学生不好理解。

我们灵活运用“线段图”和“倒推法”，可以有效率地提高小学生的思维能力，促进他们智力的开发。

“倒推法”在其他领域也有不少用处，例如名侦探查案的时候，可以根据现场的蛛丝马迹查出坏人是谁。

是一种很有趣的方法呢~。

二年级倒推法的例题一、简单数字运算类。

1. 一个数加上5，再减去3，结果是8，这个数是多少？- 解析：我们从结果8开始倒推。

因为是先减去3得到8的，所以在减3之前的数是8 + 3=11；而这个11是一个数加上5得到的，那么这个数就是11 - 5 = 6。

2. 一个数先乘2，再除以4后是3，这个数是多少？- 解析：从结果3开始倒推。

因为是除以4后得到3的，所以在除以4之前的数是3×4 = 12；而12是这个数乘2得到的，所以这个数是12÷2 = 6。

3. 某数加上7，乘7，减去7，除以7，结果还是7，这个数是多少？- 解析：从最后的结果7开始倒推。

因为是除以7得到7的，所以在除以7之前的数是7×7 = 49；49是减去7得到的，那么在减7之前是49+7 = 56；56是乘7得到的，所以原来的数是56÷7 = 8；8是加上7得到的，所以这个数是8 - 7 = 1。

4. 一个数减去8后，再加上10，结果是15，这个数是多少？- 解析：从结果15开始倒推。

因为是加上10得到15的，所以在加10之前的数是15 - 10 = 5；而5是这个数减去8得到的，所以这个数是5+8 = 13。

5. 一个数除以3后，再乘5得到25，这个数是多少？- 解析：从结果25开始倒推。

因为是乘5得到25的，所以在乘5之前的数是25÷5 = 5；而5是这个数除以3得到的，所以这个数是5×3 = 15。

二、图形表示数类（用简单图形代表数）6. 如果□+5 - 3 = 9，那么□里的数是多少？- 解析：从结果9开始倒推。

因为是先减去3得到9的，所以减3之前是9+3 = 12；12是□加5得到的，所以□里的数是12 - 5 = 7。

7. 已知△×3÷2 = 6，求△代表的数。

- 解析：从结果6开始倒推。

因为是除以2得到6的，所以除以2之前是6×2 = 12；12是△乘3得到的，所以△代表的数是12÷3 = 4。

倒推法在分数计算中的应用
在有些小学应用题中，如果涉及事情发展的先后顺序，在解题过程中可以考虑从后向前逐步分析，最终得到问题的初始状态，这个思路我们可以称为倒推法。

【例】水果店售卖一批水果，第一天卖了全部的1
2多1
2
千克，第二天卖了余
下的1
3多1
3
千克，第三天卖了第二天余下的1
4
多1
4
千克，第四天卖了第三天
余下的1
5多1
5
千克，第五天卖了剩余的19千克，那么水果店原有水果多少？
【分析】题中涉及多个“单位1”，而且出现了量和率共同存在的现象，我们采用倒推的想法。

【解答】第三次余下：11
(19)(1)24
55
+÷-=（千克）
第二次余下：1197
(24)(1)
443
+÷-=（千克）
第一次余下：9711
()(1)49
333
+÷-=（千克）
全部水果：11
(49)(1)99
22
+÷-=（千克）。

用 倒 推 法 解 题【知识与方法】：倒推法，即从后面的已知条件（结果）入手，逐步向前一步一步地推算，最后得出所需要的结论。

这种方法对于解答一些分数应用题同样适用。

【例题精讲】例题1：有一条铁丝，第一次剪下它的12 又1米；第二次剪下剩下的13又1米；此时还剩下15米。

这条铁丝原来长多少米？模仿练习1：一堆水泥，第一次用去它的12 又3吨，第二次用剩下水泥的13 又3吨，第三次又用去第二次余下的14 又3吨，这时这堆水泥正好剩下3吨。

这堆水泥原来有多少吨？例2：甲、乙两仓库各存粮若干，先将乙仓库中存粮的15 运到甲仓库，再将甲仓库此时存粮的14 运到乙仓库，这时甲仓库有粮食600吨，乙仓库有粮食720吨。

那么，原来甲仓库和乙仓库中各存粮多少吨？模仿练习2：三只猴子分一筐桃，第一只猴子分得全部桃子的27 多12个，第二只分到余下的23 少4个，第三只分到20个。

这筐桃子共有多少个？（竞赛决赛试题）例3：李老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数1、2、3、……。

后来擦掉其中一个，剩下的数的平均数是10.8。

那么，被擦掉的那个自然数是多少？模仿练习3：☆黑板上写着从1开始的若干个连续自然数，擦去其中的一个后。

其余各数的平均数是35517 。

擦去的数是多少？（奥赛初赛A 卷试题）例4：有一种细胞，每秒钟分裂成2个，两秒钟可分裂成4个，3秒钟可分裂成8个…在瓶中开始放进1个这样的细胞，刚好1分钟后就充满整个瓶。

如果一开始就放进8个这样的细胞，要充满整个瓶的41，需要多少秒？模仿练习4：一种微生物，每小时可增加一倍，现在有一批这样的微生物，10小时可增加到100万个。

那么增加到25万个需要多少小时？【巩固与提高】1、小明今年的岁数加上10后，再扩大5倍，然后减去5，再缩小5倍，刚好是20岁。

小明今年多少岁？2、甲、乙、丙三个数，从甲数中取出17加到乙数，从乙数中取出19加到丙数，从丙数中取出15加到甲数，这时三个数都是153，甲数原来是多少？3、一只猴子摘了一堆桃子，第一天它吃了这堆桃子的17 ，第二天它吃了余下桃子的16 ，第三天它吃了余下桃子的15 ，第四天它吃了余下桃子的14 ，第五天它吃了余下桃子的13 ，第六天它吃了余下桃子的12 ，这时还剩12只桃子，那么第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是多少？（奥赛初赛试题）4、学校将一批糖果发给甲、乙、丙、丁四个班。

第7讲用倒推法解分数应用题知识要点在数学问题中，当顺着题目的条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变一下思考的顺序，从问题的最后结果出发，一步一步倒推着思考，一步一步地往回算，加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，那么问题就很容易解决，这种解题的方法，我们称之为倒推法。

能用倒推法解决的数学问题常常须满足如下三个条件：（1）最初的数据是未知的；（2）中间的每个步骤是明确的；（3）最后的结果数据是已知的。

对于一些较复杂的还原问题，还要学会用线段图和列表的方法处理，借助线段图、表格来倒推，既能弄清数量关系，又便于验算。

小明看一本书，第一天看了这本书的1/2还多6页，第二天看了余下的1/3，这时还剩下42页。

这本书一共有多少页？我是这样想的：由第二天看了余下的1/3后，还剩42页，可知：余下的页为：42÷（1-1/3）=63（页）全书页数的1/2为：63+6=69（页）全书的页数为：69÷1/2=138（页）解：42÷（1-1/3）=63（页）（63+6）÷（1-1/2）=138（页）答：这本书一共有138页。

例题精讲1修路队修一条路，第一天修了全长的13，第二天修了余下的13，还剩180米没有修，问这条路全长多少米？2某仓库有橡胶原料若干，运出52后，剩下的橡胶原料全部分给了甲、乙、丙三个工厂，甲厂分得21，乙厂分得31，丙厂分得7吨。

问：该仓库原有橡胶原料多少吨？3修路队修一条路，第一周修了全长的12还多2千米，第二周修了余下的27还多1千米，第三周修了9千米刚好修完这条路，问这条路全长多少千米？4山坡上有一棵桃树，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了110，以后八天分别偷吃了当天树上桃子的11111,,,,,98732，偷了九天，树上还剩下10个桃子，这棵树上原有多少个桃子？5有一堆桃，第一个猴子拿走了这堆桃的21多21个，第二个猴子又拿走了剩下桃的21多21个，第三个猴子又拿走了最后剩下桃的21多21个，这时桃子正好被拿光。

《倒推法的妙用》自学教材在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法。

这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发,利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题.例1 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10,再除以7，最后乘以4，得56。

”小朋友,你知道于昆得多少分吗？【分析】这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来。

如果用倒推法进行分析,就像剥卷心菜一样层层深入,直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10,再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？把一个数用□来表示,根据题目已知条件可得到这样的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56。

如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去。

因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14。

14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88。

88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96。

这样倒推使问题得解.解：｛［(□－8）＋10］÷7｝×4＝56［(□－8)＋10〕÷7＝56÷4答：于昆这次数学考试成绩是96分.通过以上例题说明,用倒推法解题时要注意：①从结果出发,逐步向前一步一步推理.②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算。

③列式时注意运算顺序，正确使用括号.例2马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111。

问正确答案应是几?【分析】马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7-1＝6，而把十位上的7看成1,使差增加70—10＝60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.解：111－(70—10)＋（7—1)＝57答：正确的答案是57。

例3树林中的三棵树上共落着48只鸟。

用倒推法巧解分数应用题如东县曹埠镇曹埠小学六年级王翀宇(226402)最近我们学习了分数应用题, 通过学习, 我发现了有些分数应用题, 我们可以用倒推的方法, 也就是按照题目中叙述过程的相反顺序来思考、分析, 从而比较顺利地求出了结果。

例如: 一只猴子在山上摘桃子吃。

第一天吃了一棵树上桃子数的1/10, 以后两天分别吃了当天这棵树上剩下桃子数的1/5.1/3。

这样, 这棵树上还留下48个桃子。

这棵树上原有多少个桃子？我想：从已知条件的最后结果出发, 倒推过去思考。

由猴子在第三天吃剩下桃子数的1/3后, 树上还有48个桃子这个条件出发, 可以知道, 猴子吃了2天后树上的桃子数为：48÷（1-1/3）=72（个）同理推出, 猴子第一天吃了以后树上的桃子数为:72÷（1-1/5）=90（个）树上原有的桃子数为:90÷（1-1/10）=100（个）答: 这棵树上原有桃子100个。

比如: 小明看一本书, 第一天看了这本书的1/2还多6页, 第二天看了余下的1/3, 这时还剩下42页。

这本书一共有多少页？我是这样想的：由第二天看了余下的1/3后, 还剩42页, 可知：余下的页为: 42÷（1-1/3）=63（页）全书页数的1/2为: 63+6=69（页）全书的页数为: 69÷1/2=138（页）解: 42÷（1-1/3）=63（页）（63+6）÷（1-1/2）=138（页）答: 这本书一共有138页。

还有这样一题: 白兔、黑兔各采蘑菇若干千克, 白兔拿出1/5给黑兔, 黑兔再拿出现有蘑菇的1/4给白兔, 这时它们都有蘑菇18千克。

它们原来各采蘑菇多少千克？这道题我是这样想的：从题目中的最后一个条件去想, 黑兔拿出现有蘑菇的1/4后还剩18千克, 那么它在未拿出之前应有蘑菇是：18÷（1-1/4）=24（千克）。

这也就是说, 黑兔拿出了24-18=6（千克）蘑菇给白兔, 白兔在得到黑兔蘑菇之前应有蘑菇是: 18-6=12（千克）。