高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案：第二讲第2节第1课时椭圆的参数方程-含答案

参数方程复习课考点要求1 了解参数方程的定义。

2 分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。

会选择适当的参数，写出他们的参数方程。

并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。

3掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。

考点与导学1参数方程的定义：在取定的坐标系中。

如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x (t ∈T) （1） 这里T 是)(),(t g t f 的公共定义域。

并且对于t 的每一个允许值。

由方程（1）所确定的点 ),(y x M 。

都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t 叫做参数。

2过点),,(000y x p 倾斜角为α的直线l 的参数方程（I ）⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） （i ）通常称（I ）为直线l 的参数方程的标准形式。

其中t 表示),,(000y x p 到l 上一点),(y x p 的有向线段p p 0的数量。

t>0时，p 在0p 上方或右方；t<0时，p 在0p 下方或左方，t=0时，p 与0p 重合。

（ii ）直线的参数方程的一般形式是：⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00（t 为参数）这里直线l 的倾斜角α的正切b a =αtan （00900==αα或时例外）。

当且仅当122=+b a 且b>0时. （1）中的t 才具有（I ）中的t 所具有的几何意义。

2 圆的参数方程。

圆心在点),,(00'y x o 半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）3 椭圆12222=+b y a x 的参数方程。

⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数） 4 双曲线12222=-b y a x 的参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）5 抛物线px y 22=的参数方程。

第2课时 圆的参数方程[核心必知]如图，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω，以圆心O 为原点，OM 0所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．(1)在t 时刻，M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝yr，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．[问题思考]1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝R 2，即(x R )2＋(yR)2＝1，令⎩⎨⎧xR ＝cos θ，y R＝sin θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ.2．若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程是什么？提示：圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ.(0≤θ<2π)点M 在圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r >0)上，O 为原点，x 轴的正半轴绕原点旋转到OM 形成的角为φ，以φ为参数．求圆的参数方程．[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法，解答此题需要借助图形分析圆上点M (x ，y )的坐标与φ之间的关系，然后写出参数方程．如图所示，设圆心为O ′，连接O ′M①当M 在x 轴上方时，∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ. ②当M 在x 轴下方时，∠MO ′x ＝－2φ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos （－2φ），y ＝－r sin （－2φ）. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ. ③当M 在x 轴上时，对应φ＝0或φ＝±π2.综上得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(φ为参数且－π2≤φ≤π2)(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程表示的曲线却可以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.φ的意义就改变了．1．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________． 解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0 得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2，∴参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2.答案：⎩⎨⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)已知点P (2，0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？[精讲详析] 本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求法．解答本题需设出PQ 的中点M 的坐标为(x ，y )，然后利用已知条件中的参数分别表示x ，y ，从而求出轨迹方程，根据方程说明轨迹的形状．设中点为M (x ，y )，⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎨⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ.它是圆的参数方程，表示以(1，0)为圆心，以12为半径的圆．解决此类问题的关键是利用已知圆的参数方程中所含的参数表示出所求点的坐标，求得参数方程，然后根据参数方程说明轨迹所表示的曲线．2．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹的参数方程． 解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝cos θ（cos θ＋sin θ），y 1＝sin θ（cos θ＋sin θ），(θ为参数) 即为所求的参数方程．已知点P (x ，y )是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)上的动点，(1)求3x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题，解决本题需要正确求出圆x 2＋y 2＝2y 的参数方程，然后利用参数方程求解问题(1)、(2)．(1)∵P 在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ上，∴3x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＋1＝2sin (θ＋π3)＋1∴－2＋1≤3x ＋y ≤2＋1.即3x ＋y 的取值范围为[－1，3]． (2)∵x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0， ∴a ≥－(cos θ＋sin θ)－1.又－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin (θ＋π4)－1≤2－1，∴a ≥2－1即a 的取值范围为[2－1，＋∞)．(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．3．设方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)表示的曲线为C ，求在曲线C 上到原点O 距离最小的点P 的坐标．解：∵OP 2＝(1＋cos θ)2＋(3＋sin θ)2＝5＋23sin θ＋2cos θ＝5＋4sin (θ＋π6)．当θ＝2k π＋43π，k ∈Z 时，OP 最小，此时点P 的坐标为(12，32)．高考模拟中常利用圆的参数方程考查直线与圆、圆与圆的位置关系．本考题将直线的极坐标方程与圆的参数方程相结合，考查直线与圆的交点问题，属低档题．[考题印证]已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 和圆C 的交点的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查圆的参数方程与直线的极坐标方程．[解析] 由圆的参数方程知圆心的坐标为(0，1)，半径r ＝1，由直线l 的极坐标方程可知直线l 的方程为y ＝1，则根据图象可知直线l 和圆C 的交点为(－1，1)，(1，1)．答案：(－1，1)，(1，1)一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(2，0) 解析：选D 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. 故圆心坐标为(2，0)．2．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但不过圆心解析：选D 圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，∴圆心坐标为(0，0)，半径r ＝2，点(0，0)到直线3x －4y －9＝0的距离为d ＝|－9|32＋42＝95<2，∴直线与圆相交，而(0，0)点不在直线上． 3．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)(tan φ＝34，φ为锐角)．∴最大值为36.4．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2θ，y ＝sin 2θC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θD.⎩⎨⎧x ＝12cos 2θ，y ＝12sin 2θ解析：选C 设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ.P (x ，y )则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ. 二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)表示的图形是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，且cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.∴该参数方程表示以(0，1)为圆心，以1为半径的圆． 答案：圆6．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，则实数a 的取值范围为________．解析：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)． ∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2. 答案：[1－2，1＋2]7．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋4＝0的距离的最小值是________．解析：由P 在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)．由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|2＝|2cos （α＋π4）＋6|2，当cos (α＋π4)＝－1时，d 最小，d min ＝－2＋62＝－1＋3 2. 答案：－1＋3 28．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________．解析：设P (x ，y )为动圆的圆心，由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0得：(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ三、解答题9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．10．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求t ＝x ＋y 的最大值． 解：方程x 2＋(y －1)2＝1表示以(0，1)为圆心，以1为半径的圆．∴其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ为参数)∴t ＝x ＋y ＝cos θ＋sin θ＋1 ＝2sin(θ＋π4)＋1 ∴当sin (θ＋π4)＝1时t max ＝2＋1.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的参数方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解：(1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0，0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ≤2π)．(2)由直角坐标与极坐标关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，又由(1)知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0，0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋（－1）2＝12＝22， 所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22.。

2.2.1 椭圆的参数方程学案【学习目标】：1. 知识与技能：了解椭圆的参数方程及参数的的意义2. 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程3. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识【学习重点】：椭圆参数方程的定义和方法【学习方法】：分组讨论学习法、探究式；【学习过程】：一、课前准备复习1：圆的参数方程及参数的几何意义是什么?圆x 2+y 2=r 2(r>0)的参数方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的参数方程:其中参数的几何意义为:复习2：圆的参数方程是怎样推导出来的呢?二、新课导学学习探究探究任务一：圆的参数方程问题1：你能仿此推导出椭圆的参数方程吗？问题2：你能仿此推导出椭圆 的参数方程吗？提问3：把下列普通方程化为参数方程,把参数方程化为普通方程.194)1(22=+y x 116)2(22=+y x【典型例题】12222=+a y b x 为参数）ϕϕϕ(sin 5cos 3)3(⎩⎨⎧==y x 为参数）ϕϕϕ(sin 10cos 8)4(⎩⎨⎧==y x【例1】：如下图，以原点为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.反思： 椭圆 的参数方程为的几何意义是什么？知识点小结：1.在椭圆的参数方程中，常数a 、b 分别是椭圆的 和 . （其中a>b ）2.ϕ称为离心角，规定参数ϕ的取值范围是3. 当焦点在X 轴时椭圆的参数方程为： 当焦点在Y 轴时椭圆的参数方程为： 知识归纳名称参数方程各元素的几何意义圆椭圆)0(12222>>=+b a b ya x 其中为参数)(sin cos ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x ϕ,,b a【例2】：设P 是椭圆223641y x +=在第一象限部分的弧AB 上的一点，求使四边形OAPB 的面积最大的点P 的坐标。

第1课时 参数方程的概念[核心必知]1．参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程．联系变量x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．普通方程相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．[问题思考]1．参数方程中的参数t 是否一定有实际意义？提示：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1，y ＝2t （t ∈R ）和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ＋1，y ＝m (m ∈R ) 都表示直线x ＝2y ＋1.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0，－1)和M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．[精讲详析] 本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关系．解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在．(1)把点M 1的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1， 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t ，－1＝3t 2－1，∴t ＝0.即点M 1在曲线C 上．把点M 2的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t ，10＝3t 2－1，方程组无解．即点M 2不在曲线C 上． (2)∵点M (2，a )在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t ，a ＝3t 2－1.∴t ＝1，a ＝3×12－1＝2.即a 的值为2.已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上．1．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ<π)，则下列各点A (1，3)，B (2，2)，C (－3，5)在曲线上的点是________．解析：将A (1，3)点代入方程得θ＝0；将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故B 、C 点不在曲线上．答案：A (1，3)如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．[精讲详析] 本题考查曲线参数方程的求法，解答本题需要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x 和y .法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q . 如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP .取OB ＝t ，t 为参数(0＜t ＜a )． ∵|OA |＝a 2－t 2，∴|BQ |＝a 2－t 2.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t ，(0＜t ＜a ) 法二：设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数(0＜θ＜π2)，则∠ABO ＝π2－θ.在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos (π2－θ)＝a sin θ.在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. ∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a （sin θ＋cos θ），y ＝a sin θ.(θ为参数，0＜θ＜π2)．(1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系，设(x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．(2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来．2.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA 交OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹的参数方程．解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ，由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA ·cos 2θ＝2a cos 2θ，y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ，θ∈(－π2，π2)．曲线参数方程的应用，是高考模拟的热点内容．本考题以实际问题为背景考查了曲线参数方程的实际应用，是高考模拟命题的一个新亮点．[考题印证]已知弹道曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t cos π6，y ＝2t sin π6－12gt 2.(t 为参数)(1)求炮弹从发射到落地所需时间； (2)求炮弹在运动中达到的最大高度．[命题立意] 本题主要考查曲线参数方程中参数的实际意义及其应用． [解] (1)令y ＝0，则2t sin π6－12gt 2＝0，解之得t ＝2g.∴炮弹从发射到落地所需要的时间为2g .(2)y ＝2t sin π6－12gt 2＝－12gt 2＋t＝－12g (t 2－2g t )＝－12g [(t －1g )2－1g 2]＝－12g (t －1g )2＋12g ，∴当t ＝1g 时，y 取最大值12g.即炮弹在运动中达到的最大高度为12g .一、选择题1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝sin 2θ(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( )A ．(1，1) B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫32，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32，－12 解析：选C 将点的坐标代入方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝sin 2θ，解θ的值．若有解，则该点在曲线上．2．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t ，y ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离是( )A ．|t 1|B ．2|t 1| C.2|t 1| D.22|t 1| 解析：选C ∵P 1(a ＋t 1，b ＋t 1)，P (a ，b )， ∴|P 1P |＝（a ＋t 1－a ）2＋（b ＋t 1－b ）2＝t 21＋t 21＝2|t 1|.3．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋4cos θ，y ＝5tan θ－3(θ为参数，π≤θ＜2π)．已知点M (14，a )在曲线C 上，则a ＝( )A ．－3－5 3B ．－3＋5 3C ．－3＋53 3D ．－3－53 3解析：选A ∵(14，a )在曲线C 上，∴⎩⎨⎧14＝6＋4cos θ， ①a ＝5tan θ－3. ②由①得：cos θ＝12，又π≤θ＜2π.∴sin θ＝－1－（12）2＝－32，∴tan θ＝－ 3.∴a ＝5·(－3)－3＝－3－5 3.4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝－2(t 为参数)所表示的曲线是( )A ．一条射线B ．两条射线C ．一条直线D ．两条直线解析：选B 因为x ＝t ＋1t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，即x ≤－2或x ≥2，故是两条射线． 二、填空题5．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹的参数方程为________．解析：由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得： (x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2.设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)6．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R )．点M (5，4)在该曲线上，则常数a ＝________．解析：∵点M (5，4)在曲线C 上∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝1＋2t ，4＝at 2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.∴a 的值为1.答案：17．曲线(x －1)2＋y 2＝4上点的坐标可以表示为________(填序号)． ①(－1＋cos θ，sin θ)，②(1＋sin θ，cos θ)， ③(－1＋2cos θ，2sin θ)，④(1＋2cos θ，2sin θ)解析：分别将①、②、③、④代入曲线(x －1)2＋y 2＝4验证可知，只有④使方程成立． 答案：④8．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1，1)，则点M 的参数方程为________．解析：设M (x ，y )，则在x 轴上的位移为：x ＝1＋9t ，在y 轴上的位移为y ＝1＋12t .∴参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t 为参数)三、解答题9．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s ，运动开始时质点位于A (2，0)，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ又θ＝π60·t ，故参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t (t 为参数)．10．过M (0，1)作椭圆x 2＋y 24＝1的弦，试求弦中点的轨迹的参数方程．解：设过M (0，1)的弦所在的直线方程为y ＝kx ＋1，其与椭圆的交点为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，设中点P (x ，y )则有：x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1得：(k 2＋4)y 2－8y ＋4－4k 2＝0 ∴y 1＋y 2＝8k 2＋4，x 1＋x 2＝－2k k 2＋4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k k 2＋4，y ＝4k 2＋4. (k 为参数)这就是以动弦斜率k 为参数的动弦中点的轨迹的参数方程．11．舰A 在舰B 的正东，距离6千米；舰C 在舰B 的北偏西30°，距离4千米．它们准备围捕海中某动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号，A 于是发射麻醉炮弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹初速度为 203g3千米/秒，其中g 为重力加速度，空气阻力不计，求舰A 炮击的方位角与仰角．解：以BA 为x 轴，BA 中垂线为y 轴建立直角坐标系(如图)，则B (－3，0)，A (3，0)，C (－5，23)．设海中动物为P (x ，y )．因为|BP |＝|CP |，所以P 在线段BC 的中垂线上，易知中垂线方程是y ＝33(x ＋7)．又|PB |－|P A |＝4，所以P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是x 24－y 25＝1.从而得P (8，53)．设∠xAP ＝α，则tan α＝k AP ＝3，∴α＝60°，这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A 为原点，AP 为x ′轴建立坐标系x ′Ay ′，(如图)．|P A |＝10，设弹道曲线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝v 0t cos θ，y ′＝v 0t sin θ－12gt 2，(其中θ为仰角)将P (10，0)代入，消去t 便得sin 2θ＝32，θ＝30°或60°这样舰A 发射炮弹的仰角为30°或60°.。

椭圆的参数方程各位评委老师好！今天我说课的题目是《轴对称现象》。

我将从说教材、说学情、说教法学法教学手段、说教学过程设计、说板书设计这五个方面来进行我的说课。

首先进入我的第一个环节：说教材一、说教材（一）说地位及作用本节《椭圆的参数方程》来自人教版高中数学《选修4-4 极坐标与参数方程》第二讲第二节的内容。

相对于曲线的一般方程，参数方程是曲线的另一种代数表现形式，在某些方面具有一定的优越性，而椭圆的参数方程是其中一个重要的内容。

从教材的编排看，椭圆的参数方程被安排在圆的参数方程与双曲线的参数方程的中间，它起着衔接、过渡、承上启下的作用。

（二）说教学目标1、知识与技能目标：了解并掌握椭圆的参数方程及其参数的几何意义，有利于更好地运用公式解决问题；2、过程和方法目标：通过探究了解椭圆的参数方程的参数的几何意义，区分与圆的参数方程中参数的几何意义的不同点，加深对椭圆的参数方程的理解，能用椭圆的参数方程解决问题；3、情感态度和价值观目标：通过观察、探索、发现的过程，培养数形结合思想，探究能力，发散思维和创新意识。

（三）教学重点：掌握椭圆的参数方程，理解参数的几何意义，应用椭圆的参数方程解决问题。

（四）教学难点：探究并理解椭圆的参数方程中的参数的几何意义。

二、说学情对于高二年的学生来说，在学习椭圆的参数方程以前，就已经掌握了椭圆的标准方程、图像和性质，能够解决一些相关问题，但是对于一些求最值的问题，还是会感受到计算的困难和繁杂。

因此，本节课椭圆的参数方程的教学应该帮助学生解决好以下几点问题：1、能类比圆的参数方程中参数的几何意义得出椭圆的参数方程中参数的几何意义；2、通过探究参数几何意义的过程，了解参数的几何意义；3、能利用参数方程解决问题，并从中体会其中的优势。

其中理解椭圆参数的几何意义是这节课的难点。

三、说教法：启发式，合作探究及讲练结合1、启发式：从学生熟悉的问题出发引导学生发现椭圆的参数方程中参数的几何意义。

高中数学选修4-4全套教案第二章 参数方程【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。

3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

第一课时 参数方程的概念一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？2．分析探究理解： （1）、斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。

说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

（3）平抛运动：xyOv=v 0xy 500O Av=100m/s为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== （4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。

（二）、应用举例：例1、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)（1）判断点1M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。

分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。

学生练反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。

第2课时 双曲线、抛物线的参数方程[核心必知]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ．2．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt，t ∈R ． (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[问题思考]1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x 对应的参数形式是a sec φ，则焦点在x 轴上； 如果y 对应的参数形式是a sec φ，则焦点在y 轴上．3．若抛物线的参数方程表示为⎩⎨⎧x ＝2ptan 2α，y ＝2p tan α.则参数α的几何意义是什么？提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M ，以射线OM 为终边的角．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.[精讲详析] 本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解．设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2 得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，34)．参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点． 证明：设双曲线为x 2－y 2＝a 2，取顶点A (a ，0)，弦B ′B ∥Ox ，B (a sec α，a tan α)，则B ′(－a sec α，a tan α)．∵k B ′A ＝a tan α－a sec α－a ，k BA ＝a tan αa sec α－a，∴k B ′A ·k BA ＝－1.∴以BB ′为直径的圆过双曲线的顶点．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[精讲详析] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M 、P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．设M (x 、y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在抛物线的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2，变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y .表示的为抛物线．在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标2．已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t 得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x . 又∵M 点的纵坐标为2，∴M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又∵抛物线的准线方程为x ＝－12.∴由抛物线的定义知|MF |＝2－(－12)＝2＋12＝52.即点M 到抛物线焦点的距离为52.如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[精讲详析] 本题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可．∵x 216－y 29＝1， ∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)． 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，∴a ＝5，c ＝4，b ＝3.∴方程为x 225＋y 29＝1.设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为3x －4y ＝0，∴点P 到直线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin （θ－φ）|5(tan φ＝54)．∴d max ＝3415.对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．3．(广东高考)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得x ＝54y 2.联立方程可得⎩⎨⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y 2则5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，则x ＝54y 2＝1.又y ≥0，所以其交点坐标为(1，255)．答案：(1，255)本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化．天津高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题．[考题印证](天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________．[命题立意] 本题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用． [解析] 由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在Rt △EF A 中，|EF |＝2|F A |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：2一、选择题1．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：选D 注意参数范围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C.2．下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 解析：选B 由x ＝3sec θ得，x 2＝3cos 2θ＝3（sin 2θ＋cos 2θ）cos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适．3．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )条( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t2y ＝4t得y 2＝8x .∴点M (2，4)在抛物线上．∴过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．4．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －2－t，y ＝2t＋2－t (t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的上支 C ．双曲线下支 D ．圆解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得： x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4， 即y 2－x 2＝4.又注意到2t >0，2t ＋2－t ≥22t ·2－t ＝2，即y ≥2.可见与以上参数方程等价的普通方程为： y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支． 二、填空题5．(陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t(t 为参数)的焦点坐标是________．解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y 2＝4x ，则焦点坐标为(1，0)． 答案：(1，0)6．已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数)设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O不重合)，P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 的轨迹普通方程为________．解析：抛物线的普通方程为y 2＝2x ，设点P (x ，y )，点M 为(x 1，y 1)(x 1≠0)，则x 1＝2x ，y 1＝2y .∵点M 在抛物线上，且点M 与O 不重合， ∴4y 2＝4x ⇒y 2＝x .(x ≠0) 答案：y 2＝x (x ≠0)7．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是________．解析：双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的标准方程为y 236－x 212＝1，焦点在y 轴上，c 2＝a 2＋b 2＝48. ∴焦点坐标为(0，±43)． 答案：(0，±43)8．(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝ t ，得y ＝x ，又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1) 三、解答题9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A 、B 是双曲线同支上相异两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)，求证：|x 0|>a 2＋b 2a.证明：设A 、B 坐标分别为(a sec α，b tan α)，(a sec β，b tan β)，则中点为M (a2(sec α＋sec β)，b2(tan α＋tan β))，于是线段AB 中垂线方程为y －b2(tan α＋tan β) ＝－a （sec α－sec β）b （tan α－tan β）[x －a 2(sec α＋sec β)]．将P (x 0，0)代入上式，∴x 0＝a 2＋b 22a (sec α＋sec β)．∵A 、B 是双曲线同支上的不同两点， ∴|sec α＋sec β|>2. ∴|x 0|>a 2＋b 2a.10．过点A (1，0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M 、N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)，则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.∴k AP ＝4（t 1＋t 2）4（t 21＋t 22）－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t 21＋t 22），y ＝4（t 1＋t 2），则y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16(x 4－14)＝4(x －1)． ∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．11．已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P 、Q 两点距离的最小值．解：设Q (sec θ，tan θ)，|O 1P |＝1， 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2 ＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3. 又|PQ |≥|O 1Q |－|O 1P | ∴|PQ |min ＝3－1.。

数学新人教A版选修4-4 第二讲《参数方程》全部教案曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动：练习：斜抛运动：2．参数方程的概念（见教科书第22页）说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。

（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C的参数方程是 (t 为参数)（1）判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值。

A、一个定点B、一个椭圆C、一条抛物线D、一条直线二．圆的参数方程说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？[来源:Z三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

注意，在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y 的取值范围保持一致。

例3．（教科书第25页例3）例4．（教科书第26页例4）2．你能回答教科书第26页的思考吗？四．课堂练习（教科书第26页习题）五．巩固与反思1．本节学习的数学知识2．本节学习的数学方法巩固与提高1．与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程（t为参数）是（D）A． B．C． D．2．下列哪个点在曲线上（C）[来源:]A．(2,7)B．C．D．(1,0)3．曲线的轨迹是（D）A．一条直线B．一条射线C．一个圆D．一条线段4．方程表示的曲线是（D）A．余弦曲线B．与x轴平行的线段C．直线D．与y轴平行的线段5．曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）A．B．C．1D．6．方程(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线7．直线与圆相切，那么直线的倾斜角为（A）A．或B．或C．或D．或8．曲线的一个参数方程为。

第二讲 参数方程一、内容及其解析本节课要学习的内容有参数方程的概念，圆、椭圆、双曲线、抛物线及直线的参数方程形式，参数方程与普通方程的互化。

学生已经理解掌握了三角函数、解方程组、各种曲线的普通方程的形式，本节课的内容就是在此基础上的延伸与发展。

学习的重点是参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化、圆、椭圆及直线的参数方程的形式特点，其核心是参数方程与普通方程的互化，解决核心的关键是参数方程的概念。

二、目标及其解析目标定位：1.理解参数方程的概念、理解掌握参数方程与普通方程的互化；2.了解直线、圆、椭圆的参数方程的形式特点。

目标解析：目标定位1就是理解曲线上的任一点的横坐标x 与纵坐标y 均可表示为某个变数t 的函数；将参数方程通过消参就可以得到普通方程，将x,y 同时用一个变数t 的函数来表示就是将普通方程转化为参数方程； 目标定位2就是指用一个变数t 来表示直线、圆、椭圆，并根据形式来了解方程的特点。

三、教学过程问题1.什么是参数方程？设计意图：通过案例让学生理解参数方程的概念及意义。

师生活动：1.引例： 一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？救援物资做何运动？你能用物理知识解决这个问题吗？2100,1500.2x t y gt =⎧⎪⎨=-⎪⎩2.你能说说下面这个方程的特征吗？（1）有几个变量？（2）x ，y 都可以用什么来表示？（3）给定t 的一个值，方程中x ，y 的值确定吗？3.参数方程的概念：一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x, y 都是某个变数t 的函数()(2)()x f t y g t =⎧⎨=⎩并且对于t 的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y 的变数t 叫做参变数, 简称参数。

曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。

)0,1(21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

《椭圆的参数方程》（第一课时）教学设计一、教学内容分析教科书通过推广前一节例4，得出椭圆的参数方程（与椭圆的标准方程相对应）．这个参数方程实际上是通过纯粹的代数和三角变换得到的，参数ϕ的几何意义并不明确．为此，教科书利用“思考”，引导学生类比圆的参数方程中参数的几何意义，探究椭圆参数方程中参数的几何意义．参数ϕ不是x轴正半轴沿逆时针方向旋转到OM的位置时所转过的角度(称为OM的旋转角)，这一点与圆的参数方程中的参数有着显著差异．离心角ϕ容易与点M和中心O连∠混淆．线的倾斜角xOM应当说，由学生独立获得椭圆参数方程中参数的几何意义是困难的，因此教科书采用了直接讲解的方法．二、学情分析学生是在学习了选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》、选修4-4《第一讲坐标系》2．平面直角坐标系中的伸缩变换与《第二讲参数方程》1．参数方程的概念、2．圆的参数方程等知识之后，自然而然地要研究椭圆的参数方程，而前面知识就作了相应的知识基础准备．其次，教学对象是我们学校高2013级的A层次的班级2班，学生的学习习惯较好，有较强的动手操作能力，有一定的自主学习基础与能力，也善于合作研究、讨论学习．这为学习新知提供了一定的能力基础．三、学习目标1．通过类比圆的参数方程，选择参数写出椭圆的参数方程，理解参数的几何意义．2．体会参数法的应用，能用椭圆参数方程解决一些简单问题，建立椭圆参数方程与代数变换、三角函数之间的联系．3．进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，从不同的角度认识椭圆的几何性质．四、教学重点和难点重点：根据问题的条件（椭圆的几何性质）引进适当的参数，写出椭圆的参数方程，体会参数的意义、椭圆参数方程的应用；难点：根据椭圆的几何性质选取恰当的参数，建立椭圆的参数方程以及椭圆的参数方程中参数的几何意义．1/ 72 / 7五、教学基本流程六、教学情景设计3/ 74/ 75/ 76/ 7（3）在椭圆中，还可以选取其它变量作为参数吗？请将你选取的参数与离心角作为参数进行比较．七、板书设计八、课后反思1．椭圆的参数方程一、1．圆的参数方程2．椭圆的参数方程参数的几何意义θM0rM(x, y)yxOMBAOyx三、课堂小结与作业布置三、应用举例[例]已知椭圆C的方程为22194x y+=．若2392z x y=+-，其中(),x y是椭圆C上的点．求z的最大值和最小值．xy23O7/ 7。

第1课时 椭圆的参数方程[核心必知]椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．[问题思考]1．中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的参数方程是什么？ 提示：由⎩⎨⎧y 2a 2＝sin 2φ，x 2b 2＝cos 2φ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ. 即参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ为参数)． 2．圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同吗？ 提示：圆的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)中的参数θ是动点M (x ，y )的旋转角，但在椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA ＝a (或OB ＝b )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．已知椭圆x 2100＋y 264＝1有一内接矩形ABCD ，求矩形ABCD 的最大面积． [精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出A 点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B 、C 、D 的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．∵椭圆方程为x 2100＋y 264＝1， ∴可设A 点的坐标为(10cos α，8sin α)．则|AD |＝20|cos α|，|AB |＝16|sin α|，∴S 矩形＝|AB |·|AD |＝20×16|sin α·cos α|＝160|sin 2α|.∵|sin 2α|≤1，∴矩形ABCD 的最大面积为160.利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为：(1)求出椭圆的参数方程；(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；(3)借助三角函数的知识求最值．1．已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2y 的最大值与最小值． 解：椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)． 代入目标函数得z ＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos (φ＋φ0) ＝89cos (φ＋φ0)(tan φ0＝85)． 所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89.。

第1课时 椭圆的参数方程[核心必知]椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．[问题思考]1．中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的参数方程是什么？提示：由⎩⎨⎧y 2a2＝sin 2φ，x 2b 2＝cos 2φ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ.即参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ为参数)．2．圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同吗？提示：圆的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)中的参数θ是动点M (x ，y )的旋转角，但在椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA ＝a (或OB ＝b )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．已知椭圆x 2100＋y 264＝1有一内接矩形ABCD ，求矩形ABCD 的最大面积．[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出A 点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B 、C 、D 的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．∵椭圆方程为x 2100＋y 264＝1，∴可设A 点的坐标为(10cos α，8sin α)． 则|AD |＝20|cos α|，|AB |＝16|sin α|，∴S 矩形＝|AB |·|AD |＝20×16|sin α·cos α|＝160|sin 2α|. ∵|sin 2α|≤1，∴矩形ABCD 的最大面积为160.利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为： (1)求出椭圆的参数方程；(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)； (3)借助三角函数的知识求最值．1．已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2y 的最大值与最小值．解：椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)．代入目标函数得 z ＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos (φ＋φ0)＝89cos (φ＋φ0)(tan φ0＝85)．所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89.已知A ，B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即C 点的坐标，然后利用重心坐标公式表示出重心G 的坐标即可求得轨迹．由题意知A (6，0)、B (0，3)．由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标设为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ.消去参数θ得到（x －2）24＋(y －1)2＝1.利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用θ表示点的坐标，再利用sin 2θ＋cos 2θ＝1进行消参，本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．2．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程． 解：(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4，得2a ＝4， 即a ＝2.又点A (1，32)在椭圆上，因此14＋（32）2b 2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02，所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得(x ＋12)2＋4y 23＝1.已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答本题需要先确定B 1、B 2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出M 点的坐标，然后用参数表示出|OP |·|OQ |即可．设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0，1)． 则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.即|OP |·|OQ |＝4为定值．(1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明． (2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围．3．求证：椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a >b >0)上一点M 与其左焦点F 的距离的最大值为a ＋c (其中c 2＝a 2－b 2)．证明：M 、F 的坐标分别为(a cos θ，b sin θ)、(－c ，0) |MF |2＝(a cos θ＋c )2＋(b sin θ)2 ＝a 2cos 2θ＋2ac cos θ＋c 2＋b 2－b 2cos 2θ ＝c 2cos 2θ＋2ac cos θ＋a 2 ＝(a ＋c cos θ)2∴当cos θ＝1时，|MF |2最大，|MF |边最大，最大值为a ＋c .椭圆的参数方程及参数方程在求最值中的应用，是高考命题的重点考查对象，新课标全国卷以解答题的形式考查了椭圆参数方程在求最值中的应用，是高考命题的一个新动向．[考题印证](新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 1上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．[命题立意] 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．[解] (1)由已知可得A (2cos π3，2sin π3)，B (2cos (π3＋π2)，2sin(π3＋π2))，C (2cos (π3＋π)，2sin(π3＋π))，D (2cos (π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)， 令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52]．一、选择题1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.45B.35 C.34 D.15解析：选B 由椭圆方程知a ＝5，b ＝4，∴c 2＝9，c ＝3，e ＝35.2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0，2π]，则椭圆上的点(－a ，0)对应的θ＝( )A ．π B.π2C ．2π D.32π解析：选A ∵点(－a ，0)中x ＝－a ，∴－a ＝a cos θ. ∴cos θ＝－1.∴θ＝π.3．若P (x ，y )是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，则x ＋22y 的最大值为( ) A ．2 6 B ．4C.2＋ 6 D ．2 2解析：选D 椭圆为x 26＋y 24＝1，设P (6cos θ，2sin θ)，x ＋22y ＝6cos θ＋2sin θ＝22sin (θ＋π3)≤2 2. 4．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3，4) B.⎝⎛⎭⎫322，22 C ．(－3，－4) D.⎝⎛⎭⎫125，125解析：选D 因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34.所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为(125，125)．二、填空题5．二次曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析：原方程消去参数θ，得普通方程为x 225＋y 29＝1.它是焦点在x 轴上的椭圆，a 2＝25，b 2＝9，c 2＝a 2－b 2＝16，c ＝4.所以左焦点坐标是(－4，0)． 答案：(－4，0)6．已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 、N 在椭圆上，对应参数分别为π3，π6，则直线MN 的斜率为________． 解析：当t ＝π3时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，即M (1，23)，同理N (3，2)．k MN ＝23－21－3＝－2.答案：－27．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b 的取值范围是________．解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f (θ)＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ＋φ)(tan φ＝12)．∴－25≤f (θ)≤2 5. ∴－25≤b ≤2 5. 答案：[－25，25]8．直线x ＋y ＝23被椭圆⎩⎨⎧x ＝23cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)截得的弦长为________．解析：把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23cos φ，y ＝2sin φ代入x ＋y ＝23得3cos φ＋sin φ＝ 3.即sin (φ＋π3)＝32，于是φ＝0或φ＝π3，得两交点M (23，0)，N (3，3)，|MN |＝3＋3＝ 6.答案： 6 三、解答题9．(福建高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 解：(1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得P (0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos （α＋π6）＋42＝2cos(α＋π6)＋2 2.由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.10．P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的点，求P 到直线l ：3x －4y －24＝0的距离的取值范围．解：设P 的坐标为(4cos θ，3sin θ)，则P 到l 的距离为 d ＝|12cos θ－12sin θ－24|5＝|122cos （θ＋π4）－24|5＝24－122cos （θ＋π4）5当cos (θ＋π4)＝－1时，d 取最大值为24＋1225；当cos (θ＋π4)＝1时，d 取最小值为24－1225.所求的取值范围为[24－1225，24＋1225]．11．椭圆x 29＋y 24＝1上一动点P (x ，y )与定点A (a ，0)(0＜a ＜3)之间的距离的最小值为1，求a 的值．解：设动点P (3cos θ，2sin θ)，则 |P A |2＝(3cos θ－a )2＋4sin 2θ ＝5(cos θ－35a )2－45a 2＋4.最新K12教育教案试题 ∵0＜a ＜3，∴0＜35a ＜95. 若0＜35a ≤1，则当cos θ＝35a 时， |P A |min ＝－45a 2＋4＝1，得a ＝152(舍去)； 若1＜35a ＜95，则当cos θ＝1时， 由|P A |min ＝a 2－6a ＋9＝1，得|a －3|＝1，∴a ＝2，故满足要求的a 值为2.。

《椭圆的参数方程》
赵县实验中学 赵连霞
学习了椭圆的参数方程，能够更好的利用椭圆的性质，而且为解决最值问题提供更好的方法 【知识与能力目标】
了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；
【过程与方法目标】
通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分
析问题和解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

【教学重点】
椭圆的参数方程
【教学难点】
椭圆参数方程中参数的理解.
1.复习椭圆的普通方程
2.了解椭圆规的使用
第一课时 椭圆的参数方程
一．复习引入： 1.焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22
221(0)x y a b a b
+=>> 2.焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22
221(0)y x a b a b
+=>> 3.问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆。

设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。

过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹
参数方程.
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标
是(x, y)。

那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。

由于点A,B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有
||cos cos x OA a ϕϕ==，
||sin cos y OB b ϕϕ==。

当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是。

庖丁巧解牛知识·巧学一、椭圆的参数方程中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：(1)椭圆=1(a>b>0)的参数方程是(θ为参数，且0≤θ<2π）.(2)椭圆=1(b>a>0)的参数方程是(θ为参数,且0≤θ<2π).以(x0，y0)为中心，半长轴为a，半短轴为b，焦点连线平行于x轴的椭圆的参数方程是（θ是参数）.方法点拨在利用研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作(acosθ,bsinθ).二、双曲线的参数方程中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况：(1)双曲线=1的参数方程为（φ为参数）；(2)双曲线=1的参数方程为（φ为参数）.以(x0，y0)为中心，半实轴为a，半虚轴为b，焦点连线平行于x轴的双曲线的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π，θ≠,).方法点拨在利用研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(asecφ,btanφ).三、抛物线的参数方程顶点在坐标原点的抛物线参数方程：抛物线y2=2px(p>0)的参数方程：(p>0,t为参数,t∈R),其中参数t可视为该抛物线y2=2px(p>0)上任一点P与抛物线顶点O所连直线OP的斜率的倒数.设抛物线上任一点P(x,y),则t=.以(x0，y0)为顶点，焦参数为p，对称轴平行于x轴的抛物线的参数方程是（t是参数）,其中参数t是抛物线上任意一点与顶点连线的斜率的倒数.辨析比较抛物线y2=-2px(p>0)的参数方程：x=(p>0,t为参数,t∈R)；抛物线x2=2py(p>0)的参数方程：(p>0,t为参数,t∈R)；抛物线x2=-2py(p>0)的参数方程：(p>0,t为参数,t∈R).问题·探究问题1 举一些现实生活中的例子,说明圆锥曲线的参数方程同圆锥曲线的普通方程相比有何特点，圆锥曲线的参数方程在解题中有什么样的作用?探究：弹道曲线是炮弹飞行的轨迹.在军事上，当炮弹发射出去后，需要知道各个时刻炮弹的位置，很显然相应的位置与炮弹发射出去后的时间有着密切的关系，通过建立适当的坐标系，选择时间作为参数，很容易建立起相应的参数方程，这比根据已知条件直接去找炮弹飞行的普通方程方便得多，并且根据实际军事需要，这样也容易知道各个时刻炮弹所处的位置，有利于为现代战争赢得时间.这正是抛物线的参数方程在实际生活中的具体应用.当然圆锥曲线的参数方程的应用还不止这些，再比如：在研究人造地球卫星的运行轨道时，常常也用其参数方程的形式来予以研究.问题2 在使用圆锥曲线的参数方程解题时，需要能够正确地把普通方程转化为参数方程.那么，在把普通方程转化为参数方程时，是否会出现不同的结果呢?探究：会.例如:椭圆=1的参数方程可以是x=的形式，也可以是的形式，它们二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆(通过消参数即可看出)，同样，对于双曲线、抛物线亦是如此.典题·热题例1已知A、B分别是椭圆=1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程.思路分析：本题有两种思考方式，求解时把点C的坐标设为一般的(x1,y1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cosθ,3sinθ)的形式，从而予以求解.图2-2-1解：由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cosθ,3sinθ).点G的坐标为(x,y)，则由题意可知点A(6，0)、B(0，3).由重心坐标公式,可知有由此消去θ,得到+(y-1)2=1即为所求.深化升华本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.例2实数x、y满足=1，试求x-y的最大值与最小值，并指出何时取得最大值与最小值.思路分析：本题的思考方式也许容易想到由已知方程予以变形代换，但容易看到会出现开方，很不利于求x-y的最大值与最小值.这时，根据已知条件可考虑借助于相应的参数方程来求解，借助于正弦、余弦的有界性从而把问题解决.解：由已知可设则x-y=(4cosθ+1)-(3sinθ-2)=(4cosθ-3sinθ)+3=5cos(θ+α)+3，其中cosα=,sinα=.当cos(θ+α)=1,即θ+α=2kπ,k∈Z时，cosθ=cos(2kπ-α)=cosα=，sinθ=sin(2kπ-α)=-sinα=.∴x=4×+1=,y=3×()-2=时，x-y的最大值为8.同理,当x=,y=时，x-y的最小值为-2.误区警示本题易错点主要有两点:(1)对于椭圆的参数方程不会转化而直接使用普通方程；(2)在使用参数方程运算时不考虑α的实际取值.例3点P在圆x2+(y-2)2=上移动，点Q在椭圆x2+4y2=4上移动，求PQ的最大值与最小值，及相应的点Q的坐标.思路分析：点P与点Q都是动点，PQ的表达式中会有两个参变量，最大值与最小值都难求.点P在圆上，圆是一个中心对称图形.当椭圆上的点到圆心距离最远时，它到圆上的点也会是最远，故先将求PQ转化为求圆心O′与Q的距离.点Q在椭圆上，可利用椭圆的参数方程表示点P的坐标.解：设Q(2cosα,sinα),O′(0,2),则O′Q2=(2cosα)2+(sinα-2)2=4cos2α+sin2α-4sinα+4=-3(sinα+)2+8+，故当sinα=时，O′Q2取最大值为，此时，O′Q=.当sinα=1时，O′Q2取最小值为1，此时，O′Q=1.又圆的半径为，故圆上的点P与Q的最大距离为PQ=+.P与Q的最小距离为PQ=1-=.PQ取最大值时，sinα=,cosα=，Q的坐标为()或(,)；PQ取最小值时，sinα=1,cosα=0，点Q的坐标为(0,1).深化升华本题的解法再次体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,并且对于椭圆的参数方程要求更高了，因为所给方程不是椭圆的标准方程的形式.运用参数方程显得很简单，运算更简便.例4设P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一点，求使四边形OAPB的面积最大的点P的坐标.思路分析：由于P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一动点，因此四边形OAPB的形状不定，则不能用特殊四边形的面积公式来求其最值，只能考虑把四边形分解为几个三角形，利用三角形的知识来求其面积的最大值.解：∵点P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一点,∴设P(6cosθ,2sinθ),θ∈(0,)(图略).法一:直线AB方程为=1,即x+3y-6=0.欲使S OAPB最大,只需P到AB的距离最大.∵d P-AB=θ∈(0,),∴sin(θ+)>0.∴当θ=时,d max=.∴(S△APB)max==6(-1).∴(S OAPB)max=·6·2+6(-1)=.法二:S OAPB=S△POA+S△POB=·2·6cosθ+·6·2sinθ=6(sinθ+cosθ)=sin(θ+),θ∈(0,),∴当θ=时,(S OAPB)max=,此时点P的坐标为(,2).拓展延伸分析本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求S△POA+S△POB，S OAPB 的最大值或者求点P到AB的最大距离，或者求S OAPB的最大值.。