(最新整理)因式分解法(十字相乘法).ppt

学习目标
1. 理解十字相乘法的概念和意义
2. 会用十字相乘法把形如x2＋px＋q的 二次三项式分解因式
3. 培养学生的观察、分析、抽象、概括 的能力，训练学生思维的灵活性和层次 性渗.
1、口答计算结果
(1)(x+3)(x+4)
(2)(x+3)(x-4)
(3) (x-3)(x+4)
(4) (x-3)(x-4)
将下列各式用十字相乘法进行因式分解 (1)X2-7x+12 (2)x2-4x-12 (3)x2+8x+12 (4)x2-11x-12 (5)x2+13x+12 (6)x2-x-12
对于x2+px+q：（1）当q＞0时，a、b同﹍号﹍， 且a、b的符号与p的符号﹍相﹍同。 （2）当q＜0时，a、b﹍异﹍号， 且a﹍、﹍b中﹍绝﹍对﹍值﹍较﹍大的因数与p的符号相同。
试一试：把x2+3x+2分解因式
十字相乘法公式：
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
十字相乘法的要
顺口溜：
领是：“头尾分
竖分常数交叉验，
解，交叉相乘，求 横写因式不能乱。
和凑中，观察试验”
注意：
当常数项是正数时，分解的两个 数必同号，即都为正或都为负，交叉 相乘之和得一次项系数。当常数项是 负数时，分解的两个数必为异号，交 叉相乘之和仍得一次项系数。因此因 式分解时，不但要注意首尾分解，而 且需十分注意一次项的系数，才能保 证因式分解的正确性。

《分解因式-十字相乘法》ppt 课件
《分解因式-十字相乘法》ppt 课件
*小提示： 整式乘法中，有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(1)(x+3)(x+4) (2)(x+3)(x-4)
(3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
提问： 你有什么快速计算类似以上多项式的方法吗？
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的 特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和 恰好等于一次项的系数。
3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的分解因数 有多种情况，所以通常要经过多次的尝试才能确定采用 哪组分解来进行分解因式。
1. 若x2+mx-12能分解成两个整系数的一次因式 乘积，则符合条件的整数m个数是多少？
两个一次二项式相乘的积 整式乘法 一个二次三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
因式分解
两个一次二项式相乘的积
如果二次三项式x2+px+q中的常数项 系数q能分解成两个因数a、b的积，而 且一次项系数p又恰好等于a+b，那么 x2+px+q就可以进行如上的因式分解。

将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 (2)x2-3x-4 (3)x2+6xy-16y2 (4)x2-11xy+24y2 (5)x2y2-7xy-18 (6)x4+13x2+36 ）（a+b）2-4(a+b)+3 （7）（ ）（ ） （8） x4-3x3 -28x2 ） (9) (10) 2x2-7x+3 5x2+6xy-8y2
一个二次三项式 一个二次三项式
如果二次三项式x 中的常数项系数q能分 如果二次三项式 2+px+q中的常数项系数 能分 中的常数项系数 解成两个因数a、 的积 而且一次项系数p又恰好 的积， 解成两个因数 、b的积，而且一次项系数 又恰好 就可以进行如上的因式分解。 是a+b，那么 2+px+q就可以进行如上的因式分解。 ，那么x 就可以进行如上的因式分解
1.十字相乘法分解因式的公式： 1.十字相乘法分解因式的公式： 十字相乘法分解因式的公式 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的 2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的 特点：常数项能分解成两个数的积， 特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和 恰好等于一次项的系数。 恰好等于一次项的系数。 3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的 3.在用十字相乘法分解因式时， 在用十字相乘法分解因式时 分解因数有多种情况， 分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的 尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。 尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。

启后
义务三：学习教材第121页，完成以下标题. 1. 将式子x2-x-6分解因式. 这个式子的二次项系 数是1，常数项-6=2×〔-3〕，一次项系数-1=2+ 〔-3〕，这个过程可用十字相乘的方式笼统地表示： 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角 和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的 右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其 等于一次项系数〔如图X14-45-1所示). 这种分解二次三项式的方法叫“十字相 乘法〞. 所以x2-x-6=〔x+2〕〔_x_-_3_〕.
∠BAD=∠CAE, AD=wenku.baidu.comE, ∴△BAD≌△CAE〔SAS〕. ∴BD=CE=15(cm)，∠ACE=∠B=60°. ∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60°， BC=BD-CD=15-6=9(cm〕.
课堂小测
当堂高效测
1. 〔10分〕假设多项式x2-mx+6分解因式的结果是
〔x-3〕〔x+n〕，那么m，n的值分别是〔 C 〕
4. 〔10分〕分解因式： 〔1〕x2+5x+6；〔2〕a2-6a+8.
解：〔1〕原式=〔x+2〕〔x+3〕. 〔2〕原式=〔a-2〕〔a-4〕.
5. 〔10分〕分解因式： 〔1〕x2+12x-13；〔2〕x2-9x-10.

3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
答案 (2x－1)(5x＋8)
5、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是： 头尾分解，交叉相乘，求和凑中
1、8x2-22x+15 2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2 4、10(y+1)2-29(y+1)+10
把来自百度文库列各式分解因式
x2-5x+6 x2-5x-6 X2+5x-6 X2+5x+6
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12 4. x2-5x-14 5. y2-11y+24
例4 将 2(6x 2＋x) 2－11(6x 2＋x) ＋5 分
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x 2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
十字相乘法因式分解徐斌 ppt课件
十字相乘法分解因式
例2 分解因式 3x2－10x＋3
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
－1

1x2+1x1=3
结果写成( x 1 )( x 2 )
新课讲解
因式分解之十字相乘法（二次项系数为一）
x2 3x 2
二次项系数
常数项
1
2
分别分解为两数相乘
来自百度文库
1
-1
1
-2
步骤
①竖分二次项与常数
②交叉相乘，再相加等于 一次项系数
③检验确定，横写因式
1x(-2)+1x(-1)=-3
结果写成( x 1 )( x 2 )
新课讲解
因式分解之十字相乘法（二次项系数不为一）
通过对二次项系数为一的情况进行分析，得出十字相 乘的计算方法，那么这种方法能否推广到二次项系数 不为一呢？
3x2 8x 3和8x2 6x 35
是否可以通过十字相乘法因式分解呢？
我们可以通过利用上述的步骤，进行计算， 分析验证。
新课讲解
因式分解之十字相乘法（二次项不系数为一）
3x2 8x 3
二次项系数
①常数项 ②常数项
③常数项
3
-3
-3
-3
分别分解为两数相乘
1
-1
-3
1
④常数项
-3 3
3
3
1
-3
-1
①1x3+3x(-1)=0不成立 ②1x1+3x(-3)=-8不成立 ③1x(-3)+3x1=0不成立

( 4 ) 2x2+5xy - 12y2
( 5 ) 6x2 - 7xy – 5y2
完整版课件
8
(6)（x+y）2 + 4(x+y) - 5 (7) 2（a+b）2 + 3(a+b) – 2 (8) 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5
完整版课件
9
分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、 去括号等一些变换达到因式分解的目的。
x2 7x 12 x2 3x 10
小结：
当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一 定同号,符号与一次项系数相同；
当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异 号，绝对值大的数与一次项系数同号
完整版课件
4
练一练：将下列各式分解因式
x2 +7 x 10 x 2 -2x 8 y2 7 y 12 x2 7 x 18
=(2x －3xy－2y )＋3x＋4y－2
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)
2
1
(2x＋y)
－1
1
－2 (x－2y)
2
－4＋1=－3
2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
完整版课件
18
待定系数法
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。

罗目中学
教师：何慧敏
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
1、口答计算结果
(1)(x+3)(x+4)
(2)(x+3)(x-4)
(3) (x-3)(x+4)
(4) (x-3)(x-4)
2、提问：你有什么快速计算类似 以上多项式的方法吗？
整式的乘法
两个一次二项式相乘的积
2+(a+b)x+ab (x+a)(x+b)=x
(4)x2-11x-12
(5)x2+13x+12
(6)x2-x-12
对于x2+px+q
同号 相同 （1）当q＞0时，a、b﹍﹍，且a、b的符号与p的符号﹍﹍。 异号 a、b中绝对值较大的因数 （2）当q＜0时，a、b﹍﹍，且﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍与p的符号相同。
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 （7）（a+b）2-4(a+b)+3
(2)x2-3x-4
(3)x2+6xy-16y2
（8） x4-3x3 -28x2
(9) Baidu Nhomakorabea10) 2x2-7x+3 5x2+6xy-8y2
(4)x2-11xy+24y2

拓展：计算 (2 x 3)(x 1)
反之2 x 5x 3
2
2x
2
2x x
3 1
3
3x 2 x 5 x
则2x 5x 3 (2 x 3)(x 1)
2
2.首项系数非1的整系数二次 三项式的因式分解 2
ax bx c (a1 x c1 )(a2 x c2 )
1. 计算
(1) (2) (3) (4)
( x 3)(x 2) x 5 x 6
2
( x 4)(x 3) x x 12
2
( x 6)(x 7) x 13x 42
2
( x 5)(x 2) x 3x 10
2
( x a)(x b) x a bx ab
验证：ax + bx = px
x px q x a bx ab x ax b
------ 分解常数项 ------ 和为一次项系数 十字交叉线 ∴ x2+px+q = (x+a) (x+b)
x
b
十字相乘法：利用十字交叉来分解系数，把二次 三项式分解因式的方法叫十字相乘法。
分析a和b各是多少？
即：8x+(-10x)＝ -2x
∴x2 -2x-80＝(x+8)(x-10)

由多项式乘法法则可知，若（x +a）(x + b) = x2 + px + q ，则p = a + b, q = ab; 反之， x2 + px + q = （x +a）(x + b) ，要将多项式 x2 + px + q进行分解，关键是找到两个数a,b 使a + b = p, ab = q ，对多项式x2 – 3x + 2， 有p = --3, q = 2 ，此时(--1) + (--2) = -- 3， ( --1) (--2) = 2,则a = -- 2 ，b = -- 1, 所以 x2 – 3x + 2可分解成(x – 1)(x—2)， x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x—2) 。
q可能取值的个数有什么规律？
问题1：如果所给的式子是
多项式 p qq
a
bb 分解结果
x2 9x 20 9 20 4
5 （x+4)(x+5)
x2 9x 20 --9 20 --4 --5 （x--4)(x--5)
Байду номын сангаас
x2 x 20 1 --20 --4
5 （x--4)(x+5)
x2 x 20 --1 --20
4
--5 （x+4)(x--5)

因式分解(十字相乘)ppt课 件
因式分解是数学中重要的概念之一，它能够帮助我们解决各种代数问题，本 课程将详细介绍因式分解的定义、基本方法、常见公式和解题技巧。
因式分解的概念和定义
因式分解是将一个多项式拆分成多个较简单的乘积的过程，通过因式分解， 我们可以更好地理解一个多项式的结构和性质。
因式分解的基本方法和步骤
3
例题三
应用因式分解，计算多边形的面积。
因式分解的技巧和窍门
在进行因式分解时，需要灵活运用一些技巧和窍门，如提取公因式时寻找最大公约数，或使用配方法时查找合 适的形式进行配对。
因式分解的注意事项和常见错误
注意事项
仔细检查每个步骤，确保没有遗漏或出错。
常见错误
混淆了公因式和公倍式的概念，导致进行错误的因式分解。
wenku.baidu.com
3 三项平方差公式
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
应用因式分解解决问题的例题
1
例题一
利用因式分解，求解二次方程2x² + x - 6 = 0的解。
2
例题二
利用因式分解，化简表达式(4x + 3)(2x - 5) + 7x。
总结和提醒
因式分解是解决代数问题的重要工具，通过学习和掌握因式分解的方法和技巧，我们可以更加轻松地解决各种 数学难题。