高中数学第一章导数及其应用15定积分的概念说课稿新人教A版选修2 20712229

定积分和微积分要点讲解一、定积分的概念教材上从求曲边梯形的面积和变速运动的路程出发引入了定积分的概念：如果函数()f x 在区间[],a b 上是连续的，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ（1,2,,i n =），作和式()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即()()1li m nbi an i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰． 对这个概念我们应从如下几个方面进行理解１．对区间[],a b 分割的绝对任意性：在定义中我们将区间[],a b 进行等分是为了计算上的方便，实际上对区间[],a b 的分割是任意的，这时只要这些区间中长度最大的区间的长度趋向于零即可．２．在每个小区间[]1,i i x x -上取点的绝对任意性：在教材上的两个例题是为了计算的方便将点取小区间[]1,i i x x -的端点，实际上我们可以在区间[]1,i i x x -上任意取点，如取中点等．３．当n →∞时，和式()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑无限接近某个常数的唯一确定性．它不依赖于对区间[],a b 的分割方法，也不依赖于在每个小区间[]1,i i x x -上取点的方式．即()baf x dx ⎰是一个客观上存在的仅仅依赖于积分上下限和被积函数的唯一确定的常数．同时它也与积分变量无关，即()()b baaf x dx f t dt =⎰⎰．４．数学思想上的划时代意义．产生定积分概念的＂以直代曲＂＂以匀速代变速＂和＂无限逼近＂的数学思想，使人类在认识数学世界的观念上有了重大突破，在数学的发展史上具有重大意义．我们要仔细理解体会这种思想，可以说这才是我们在高中阶段学习定积分的真正目的．例如在求曲边梯形的面积的课本例１中，我们把区间[]0,1等分成n 个小区间，在每个小区间上＂以直代曲＂就将曲边问题转化为直边问题，随着n 的增大这些小区间的宽度越来越小，这时在每个小区间上直边形的面积已经和曲边形的面积非常接近，我们就可以以这些小直边形的面积之和近似代替曲边形的面积，而当n →∞时这些小直边形就几乎变成了线段，这时小直边形的面积几乎就等于小曲边形的面积，这无穷个几乎变成了线段的直边形的面积之和就是所求的曲边形的面积了．我们常说＂线动成面＂，对课本例１，我们也可以这样形象的理解：就将小直边形的宽度变成零，使其成为线段，这时小直边形和小曲边形的就完全重合了，而将这些线段从0到1运动就形成了()2f x x =，1x =， x 轴所围成的曲边形，将这些线段的＂面积＂积累起来就是所求的曲边形的面积． 二、微积分基本定理的应用作变速直线运动的物体如果其运动方程是()S t ，那么该物体在时间区间[],a b 内通过的路程是()()S b S a -，另一方面由导数的物理意义，该物体在任意时刻的瞬时速度为()()'S t s t =，我们把该物体运动的时间区间[],a b 无限细分，在每个小时间段上，将其速度看作匀速，就能求出该物体在每个小时间段上通过的路程，将这无限个小时间段上的路程加起来，就是该物体在时间区间[],a b 上通过的路程，由定积分的定义可知，这个数值是()bas t dt ⎰．由此可知()()()()'b baaS t dt s t dt S b S a ==-⎰⎰．一般地有如下结论：如果()f x 是[],a b 上的连续函数，并且有()()F x f x '=，则()()()baf x dx F b F a =-⎰．这就是微积分基本定理，是微积分学最为辉煌的定理，是数学发展史的一个重要里程碑，利用这个定理可以很方便的计算定积分，其关键是找到一个函数使其导数等于被积函数，下面举例说明它在计算定积分上的应用．例１ 计算定积分()1xx ee dx --⎰分析：()'x x e e =，()'x x e e --=-，故()'x x x x e e e e --+=-．解：()()11'112xxxx xx eedx eedx ee e e---⎡⎤-=+=+=+-⎣⎦⎰⎰．点评：关键是找()F x ，使()'x xF x e e -=-，可以通过求导运算求探求．例２ 计算定积分220cos sin 22x x dx π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰．分析：被积函数比较复杂，我们可以先化简，再探求．由于222cos sin cos 2cos sin sin 1sin 222222x x x x x x x ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，而'1x =，()cos 'sin x x =-，故()2cos '1sin cos sin 22x x x x x ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．解：()()[]2'2222000cos sin 1sin cos cos 2212x x dx x dx x x dx x x πππππ⎛⎫-=-=+=+ ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰点评：被积函数较为复杂时要先化简在求解． 掌握如下的定积分计算公式对解题是有帮助的．①111bm m ab x dx xa m +=+⎰（,1m Q m ∈≠-），②1ln bab dx x a x =⎰，③b x x a b e dx e a =⎰，④ln x n xm n a a dx ma =⎰，⑤cos sin bab xdx xa=⎰，⑥()sin cos babxdx x a=-⎰．例如 例３ 计算定积分()1223x x dx -⎰．分析：先展开再利用上面的定积分公式． 解：()1223xx dx -⎰=()104269xxxdx -⋅+⎰=146920ln 4ln 6ln 9x x x ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭ 3108ln 4ln 6ln 9=-+． 点评：根据定积分公式结合定积分的运算性质是计算定积分的根本．从上面不难看出利用微积分基本定理计算定积分比用定义计算要方便的多，在实际解题中要注意对被积函数的化简展开以及有意识的利用定积分的三条运算性质，以起到化难为易的作用．三、定积分的三条性质根据定积分的定义不难得到定积分的三条性质 性质1．常数因子可提到积分号前，即：()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数）；性质2．代数和的积分等于积分的代数和： 即：()()()()bb bx aa a f x g x dx f x d g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰；性质3．（定积分的可加性）如果积分区间[],a b 被点c 分成两个小区间[],a c 与[],c b ， 则：()()()bc daacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰。

1.5定积分的概念教学目标：1、通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2、借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3、理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：1．2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

1.5 第二课时 定积分的定义一、课前准备 1.课时目标1. 借助几何图形直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；2. 会用定积分的几何意义求积分值；3. 能熟练应用定积分的性质解题。

2.基础预探1.如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式________，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的________，记作________，即________，区间[a ，b ]叫做________，函数f (x )叫做________. 2．当f (x )≥0时，定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由________所围成的曲边梯形的________.当f (x )≤0时，⎠⎛ab f (x )dx 是________(填“正数”或“负数”)．3．(1)⎠⎛a b kf (x )dx ＝________(k 为常数)； (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝________；(3)⎠⎛ab f (x )dx＝________(a <c <b )．二、学习引领1.定积分含义的理解求曲边梯形的面积与变速直线运动物体的路程，一个是几何问题，一个是物理问题，尽管问题的背景不同，所要解决的问题也不相同，但是反映在本质上，都利用了“分割-----代替----求和-------取极限”这种方法，体现了由曲化直，由变转化不变的思想．若抛开问题的具体意义，抓住它们在数量关系以及思想方法上共同的本质特征加以概括，抽象出其中的数学思想并且形成概念，这样就得到了定积分的定义． 2.定积分应注意问题(1)定积分⎠⎛ab f (x )dx 是“和式”的极限值，它的值取决于被积函数f (x )的积分上限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛a b f (u )du ＝⎠⎛ab f (t )dt ＝…．(2)当定积分的上限和下限相同时，定积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号．在定积分⎠⎛a b f (x )dx 的定义中，总是假设a <b ，而当a ＝b 及a >b 时，不难验证，⎠⎛aa f (x )dx＝0，⎠⎛a b f (x )dx ＝－⎠⎛ba f (x )dx .(3)定积分的值可以是正数、零或负数，定积分的值也不一定等于曲边梯形的面积． 3.函数的奇偶性与定积分的关系根据定积分的几何意义知，若f (x )是区间[－a ，a ](a >0)上的连续函数，则 (1)当f (x )是偶函数时，⎠⎛-a a f (x )dx ＝2⎠⎛0a f (x )dx ;(2)当f (x )是奇函数时，⎠⎛-aa f (x )dx ＝0.三、典例导析题型一 利用定积分定义求值例1 利用定积分定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)dx 的值．思路导析：类似于上节的问题，本题需分割、以直代曲(近似代替)、求和、取极限四个步骤解决． 解析：（1）令f (x )＝3x ＋2，在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋i n ](i ＝1,2，…，n )。

高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念讲义新人教A 版选修221．定积分的概念一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上□01连续，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式□02∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －a nf (ξi )． 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，那么这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：□03⎠⎛ab fx d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝□04lim n →∞∑ni ＝1 b －a n f (ξi )．2．定积分的相关名称3．定积分的几何意义(1)前提条件：函数f (x )在区间[a ，b]上连续，f (x )≥0.(2)定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义：由y ＝0，曲线f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 围成的曲边梯形的□12面积． 4．定积分的基本性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝□13k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． (2)⎠⎛a b [f (x )±g(x )]d x ＝□14⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛ab g(x )d x . (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝□15⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c<b)．用定积分求曲边图形面积时，不判断曲边图形位于x 轴上方、还是下方，直接求解而出现错误．避免出错的措施为：(1)当对应的曲边图形位于x 轴上方时(图①)，定积分的值取正值，且等于曲边图形的面积；(2)当对应的曲边图形位于x 轴下方时(图②)，定积分的值取负值，且等于曲边图形面积的相反数；(3)当位于x 轴上方的曲边图形面积等于位于x 轴下方的曲边图形面积时，定积分的值为0(图③)，且等于位于x 轴上方的曲边图形面积减去位于x 轴下方的曲边图形面积．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t)d t .( )(2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛ab (x 2＋2x )d x ＝⎠⎛a b x 2d x ＋⎠⎛ab 2xd x .( )答案 (1)√ (2)× (3)√探究1 利用定义计算定积分例1 利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)d x 的值．[解] 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n . (2)近似代替、求和 取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )， 则S n ＝∑ni ＝1f (n ＋i －1n)·Δx ＝∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n ＋i －1n ＋2·1n＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3i －1n 2＋5n ＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n . (3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132. 拓展提升利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这一过程．其中： (1)在近似代替时，可以选取每个小区间的左端点、右端点、区间中点、区间端点的几何平均数等相应的函数值来代替该区间的函数值；(2)将“近似代替、求和”作为一个步骤来处理，其条理性更强．【跟踪训练1】 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0与曲线f (x )＝x 2＋2x ＋1围成曲边梯形的面积．解 将区间[0,1]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，等i 个小区间的面积为ΔS i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·1n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ＋1·1n，S n ＝∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ＋1·1n＝1n 3(12＋22＋32＋…＋n 2)＋2n2(1＋2＋3＋…＋n )＋1＝1n3·n n ＋12n ＋16＋2n2·n n ＋12＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n 6＋1n＋2，S ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n 6＋1n ＋2＝73， 所以所求的曲边梯形的面积为73.拓展提升b f(x)d x的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，利用定积分所表示的几何意义求⎠⎛a直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．解 (1)如图1，阴影部分面积为2＋5×12＝72，从而 ⎠⎛01(3x ＋2)d x ＝72.图1 图2探究3 利用定积分的性质求定积分例3 已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ；(2)⎠⎛14(6x 2)d x ； (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .[解] (1)⎠⎛02(3x 3)d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛14(6x 2)d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126. (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛12(2x 3)d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝7－152＝－12.拓展提升【跟踪训练3】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2，4－x ，x ∈[2，3，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．1.求阴影部分面积可分两类：(1)规则图形：按照面积的相关公式直接计算；(2)不规则图形：转化为规则图形或曲边梯形，再求面积的和或差，曲边梯形面积利用定积分来计算；改变积分变量，使问题简化.2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.1．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象在x轴上方，且图象从左至右上升，则求由曲线y ＝f(x)，直线x＝a，x＝b(a≠b)及x轴围成的平面图形的面积S时，将区间[a，b]n等分，用每个小区间的左端点的函数值计算出面积为S1，用每个小区间的右端点的函数值计算出面积为S2，则有( )A．S1<S<S2B．S1≤S<S2C．S1≤S2≤S D．S1≤S≤S2答案 A解析 由题意知，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i－1n ，i n 上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n，所以S 1＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·1n <∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·1n ＝S 2，则S 1<S <S 2.答案 D3.⎠⎛06(2x －4)d x ＝________.答案 12解析 如图A(0，－4)，B(6,8)，M(2,0)，S △AOM ＝12×2×4＝4，S △MBC ＝12×4×8＝16，所以⎠⎛06(2x －4)d x ＝16－4＝12.4．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为 ________．答案 ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x解析 如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛12x d x －⎠⎛121xd x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x . 5．根据定积分的几何意义求定积分⎠⎛13(x －2)d x ，⎠⎛13|x －2|d x .解 根据定积分的几何意义，所求定积分表示直线x ＝3，x ＝1，y ＝0分别与函数y ＝x －2，y ＝|x －2|的图象所围成的图形的面积，即如图的阴影部分的面积．∴⎠⎛13(x －2)d x ＝－12×1×1＋12×1×1＝0. ⎠⎛13|x －2|d x ＝12×1×1＋12×1×1＝1.。

高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念（第1课时）课堂探究 新人教A 版选修2-2探究一 求曲边梯形的面积1．求曲边梯形的面积时要按照分割—近似代替—求和—取极限这四个步骤进行． 2．近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替．3．求和时要用到一些常见的求和公式，例如：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6等．【典型例题1】求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积S . 思路分析：严格按照分割—近似代替—求和—取极限这四个步骤进行计算求解． 解：(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将它等分为n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则小曲边梯形面积的和为S ＝∑i ＝1nΔS i .(2)近似代替记f (x )＝x 2＋2x ，当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，可以认为f (x )的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点i n处的函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n .从图形上看就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，用小矩形的面积ΔS ′i 近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈ΔS ′i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n·Δx ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n . (3)求和小曲边梯形的面积和S n ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1nΔS ′i＝∑i ＝1n 1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n2＋22n2＋…＋n 2n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2n ＋…＋n n ＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n .(4)取极限分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，可以看到，当n 趋向于无穷大，即Δx趋向于0时，S n 越来越趋向于S ，从而有S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝43. 即由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积等于43.探究二 汽车行驶路程的计算问题把变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的问题，采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限，通过这样的背景问题，能更好的体会后面所要学习的定积分的概念．【典型例题2】一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻t 的速度v (t )＝6t2，求汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程s .思路分析：选定区间→分割→近似代替→求和→取极限→得到结果 解：(1)分割．把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1，2，…，n )，每个区间的长度Δt＝1n，每个时间段行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )．故路程和s n ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替．ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )．Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δt ＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋i －12·1n＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 2·1n ＝6n (n ＋i －1)2≈6n(n ＋i －1)(n ＋i )(i ＝1,2,3，…，n )． (3)求和．s n ＝∑i ＝1n6n(n ＋i －1)(n ＋i )＝6n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n＝6n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n .(4)取极限．s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞6n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝3.所以这段时间内运动的路程s 为3.。

1.5 定积分的概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P38～P47的内容，回答下列问题．观察教材图1.5－2，阴影部分是由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形．(1)通常称这样的平面图形为什么图形？提示：曲边梯形．(2)如何求出所给平面图形的面积近似值？提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和．(3)如何更精确地求出阴影部分的面积S?提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确．2．归纳总结，核心必记(1)连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数．(2)曲边梯形的面积①曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．②求曲边梯形面积的方法与步骤：(ⅰ)分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；(ⅱ)近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；(ⅲ)求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；(ⅳ)取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．(3)求变速直线运动的位移(路程)如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .(4)定积分①定积分的概念如果函数f (x )在某个区间[a ，b ]上连续，用分点a=当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．②定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a bf (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义．③定积分的基本性质(ⅰ)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)；(ⅱ)⎠⎛a b[f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a bf 1(x )d x ±⎠⎛a bf 2(x )d x ；(ⅲ)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛cb f(x)d x(其中a ＜c ＜b)．[问题思考](1)曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．(2)求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样才能减小误差？提示：不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大，为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到面积的误差越小．(3)在“近似代替”中，如果取任意ξi ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 处的函数值f(ξi)作为近似值，求出的S 有变化吗？提示：没有变化．(4)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些共同点？提示：求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．(5)⎠⎛a bf(x)d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a bf(x)d x 与积分变量有关系吗？提示：由定义可得定积分⎠⎛a bf(x)d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f(x)d x ＝⎠⎛a b f(t)d t ＝⎠⎛a bf(u)d u.(6)在定积分的几何意义中f(x)≥0，如果f(x)<0，⎠⎛a bf(x)d x 表示什么？提示：如果在区间[a ，b]上，函数f(x)<0，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图所示)，由于Δx i >0，f(ξi )<0，故f(ξi )·Δx i <0，从而定积分⎠⎛a bf(x)d x<0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，即⎠⎛a b f(x)d x ＝－S 或S ＝－⎠⎛a bf(x)d x.(7)⎠⎛024－x 2d x 的几何意义是什么？提示：是由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝4－x 2所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的14圆的面积即⎠⎛024－x 2d x ＝π.[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)连续函数的定义是什么？； (2)求曲边梯形面积的方法和步骤是什么？；(3)求变速直线运动的位移(路程)的方法和步骤是什么？； (4)定积分的概念、几何意义是什么？有哪些基本性质？．.讲一讲1．如图所示，求直线x ＝0，x ＝3，y ＝0与二次函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3所围成的曲边梯形的面积．(提示：12＋22＋32＋…＋n 2＝16n·(n＋1)(2n ＋1))[尝试解答](1)如图，分割，将区间[0,3]n 等分，则每个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n，3i n (i ＝1,2，…，n)的长度为Δx ＝3n.分别过各分点作x 轴的垂线，把原曲边梯形分成n 个小曲边梯形．(2)近似代替以每个小区间的左端点函数值为高作n 个小矩形．则当n 很大时，用n 个小矩形面积之和S n 近似代替曲边梯形的面积S. (3)求和S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫－n Δx ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－－2n2＋2×－n＋3×3n ＝－27n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋18n2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋9＝－27n 3×16(n －1)n(2n －1)＋18n 2×n n －12＋9＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋9. 所以S≈S n ＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋9.(4)取极限＝－9(1－0)(1－0)＋9(1－0)＋9 ＝9，即所求曲边梯形的面积为9.求曲边梯形面积的思想和步骤(1)求曲边梯形面积的思想是“以直代曲”，即用小矩形的面积来代替小曲边梯形的面积；“逐步逼近”，即用n 个小矩形的面积的和S n 来逼近曲边梯形的面积S.(2)求曲边梯形面积的步骤：分割、近似代替、求和、取极限．练一练1．求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．解：因为y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，所以所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝4得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2(x≥0)围成的曲边梯形的面积． (1)分割将区间[0,2]n 等分，则Δx ＝2n ，取ξi ＝－n.(2)近似代替求和S n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n2·2n ＝8n 3[12＋22＋32＋…＋(n －1)2]＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n . (3)取极限所以所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.所以2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形面积为323.[思考] 求变速直线运动的路程与求曲边梯形的面积有什么相似之处？ 名师指津：与求曲边梯形面积类似，将变速直线运动的路程问题转化为小区间上近似做匀速直线运动的路程问题，求得各小区间上路程和的极限即为变速直线运动的路程．讲一讲2．已知汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v(t)＝－t 2＋2t(单位：km /h )，求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？[尝试解答] 将时间区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n ，在第i 个时间段的路程近似为Δs i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n，i ＝1,2，…，n.所以s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n)2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n]＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋＋6－＋＋6＋2n 2·＋1＋2＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n，所以这段时间行驶的路程为23 km .求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．练一练2．已知作自由落体运动的物体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．解：①分割．将时间区间[0，t]等分成n 个小区间，其中第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n (i ＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段Δt ＝it n －i －1n t ＝tn，在各小区间内物体下落的距离，记作Δs i .②近似代替． 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n 上取ξi ＝i －1n t ，则v(ξi)＝g·i －1n t ，因此在每个小区间内所经过的距离可近似表示为Δs i ≈g·i －1n t·tn(i ＝1,2，…，n)． ③求和．∑i ＝1nΔs i ≈∑i ＝1ng ·i －1n t·tn＝gt 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝12gt 2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n .④取极限．讲一讲3．求下列定积分的值： (1)⎠⎛12(x ＋1)d x ；(2)⎠⎛－3 39－x 2d x.[尝试解答] (1)法一：(定义法)f(x)＝x ＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成n 个小区间1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n)，每个区间的长度为Δx ＝1n，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取ξi＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n)，∴f(ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n，∴∑i ＝1nf(ξi )·Δx ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i －1n ·1n＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋n －12n ＝2＋12－12n ＝52－12n，法二：(几何意义)⎠⎛12(x ＋1)d x 表示如图所示阴影部分的面积．由于梯形的面积S ＝12(2＋3)×1＝52，故⎠⎛12(x ＋1)d x ＝52.(2)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心、以3为半径的上半圆如图所示，其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛－3 39－x 2d x ＝92π.(1)用定义求定积分⎠⎛ab f(x)d x 的一般方法是：①分割：将区间[a ，b]n 等分，记第i 个小区间为[x i －1，x i ]，区间长度Δx ＝x i －x i －1；②近似代替、求和：取点ξi ∈[x i －1，x i ]，⎠⎛abf(x)d x≈∑i ＝1nf(ξi )Δx ；(2)利用几何意义求定积分的方法利用定积分所表示的几何意义求⎠⎛ab f(x)d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f(x)，直线x ＝a ，直线x ＝b 及x 轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．练一练3．求下列定积分的值：(1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎛12x d x ；(3)⎠⎛－1 11－x 2d x. 解：(1)⎠⎛012d x 表示的是图①中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.(2)⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x＝32. (3)⎠⎛－111－x 2d x 表示的是图③中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2.讲一讲4．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求下列各式的值：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ；(2)⎠⎛14(6x 2)d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x.[尝试解答] (1)⎠⎛02(3x 3)d x ＝3⎠⎛02x 3d x ＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2)⎠⎛14(6x 2)d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛12(2x 3)d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.(1)定积分性质的推广①⎠⎛a b[f 1(x)±f 2(x)±…±f n (x)]d x ＝⎠⎛a bf 1(x)d x±⎠⎛a bf 2(x)d x±…±⎠⎛a bf n (x)d x ；(2)奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分①若奇函数y ＝f (x )在[－a ，a ]上连续，②若偶函数y ＝g (x )在[－a ，a ]上连续，练一练4．已知⎠⎛a b[f(x)＋g(x)]d x ＝12，⎠⎛abg(x)d x ＝6，求⎠⎛abd x.解：∵⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛a b g(x)d x ＝⎠⎛ab [f(x)＋g(x)]d x ，∴⎠⎛a b f(x)d x ＝12－6＝6，∴⎠⎛ab 3f(x)d x ＝3⎠⎛ab f(x)d x ＝3×6＝18.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是定积分的几何意义及定积分的性质，难点是定积分的概念． 2．本节课要重点掌握的规律方法(1)会用定义或定积分的几何意义求定积分，见讲3； (2)会用定积分的性质求定积分，见讲4. 3．在利用定积分的几何意义求定积分时，要注意积分上、下限及积分函数f(x)的符号，这是本节课的易错点．课下能力提升(九)[学业水平达标练]题组1 求曲边梯形的面积1．在求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1nC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i n D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i n，i ＋n解析：选C 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i n .2．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19B.125C.127 D.130解析：选A 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为S ＝03·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233·13＝981＝19.3．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积． 解：(1)分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1， 记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －n＝1n.把每个小曲边梯形的面积记为 ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替根据题意可得第i 个小曲边梯形的面积 ΔS i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n ·⎝⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n＝i －1n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i －1n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这n 个小矩形的面积的和S n ＝∑i ＝1n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx＝∑i ＝1ni －1n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i －1n＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2， 从而得到所求图形面积的近似值S ≈16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2.(4)取极限即直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积为16.题组2 求变速直线运动的路程4．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12C. 1D.32解析：选B 曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．5．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2在0≤t ≤a 内经过的路程为9，求a 的值．解：将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为a i －n，ai n(i ＝1,2，…，n )，此区间长为a n，用小矩形面积⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫ai n 2·a n ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n 近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．∴a33＝9，解得a ＝3. 题组3 定积分的计算及性质 6．下列等式不成立的是( )解析：选C 利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立． 例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022xd x ＝4，但⎠⎛022xd x ≠⎠⎛02xd x ·⎠⎛022d x .7．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )A.⎠⎛012xd x B.⎠⎛01(2x－1)d xC .⎠⎛01(2x ＋1)d x D.⎠⎛01(1－2x )d x解析：选B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x －1)d x.8．S 1＝⎠⎛01x d x 与S 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．S 1＝S 2B ．S 21＝S 2C ．S 1>S 2D ．S 1<S 2解析：选C ⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛01x 2d x表示的是由曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x∈[0,1]内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2的上方，所以S 1>S 2.9．已知⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛021d x ＝2，则⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝________.解析：由定积分的性质可知⎠⎛02(x 2＋1)d x＝⎠⎛02x 2d x ＋⎠⎛021d x＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋2＝13＋73＋2＝143. 答案：14310．用定积分的几何意义计算下列定积分：而S ＝52×52＝254，(2)令y ＝4－x 2＋2，则y ＝4－x 2＋2表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆的上半圆，[能力提升综合练]1．若⎠⎛a b f(x)d x ＝1，⎠⎛a b g(x)d x ＝－3，则⎠⎛a b[2f(x)＋g(x)]d x ＝( )A ．2B ．－3C ．－1D ．4解析：选C ⎠⎛a b [2f(x)＋g(x)]d x ＝2⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛a bg(x)d x ＝2×1－3＝－1.2．若f(x)为偶函数，且⎠⎛06f(x)d x ＝8，则等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：选D ∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y 轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．3．定积分⎠⎛13(－3)d x 等于( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3 解析：选A∵⎠⎛133d x 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，∴⎠⎛13(－3)d x ＝－⎠⎛133d x ＝－6.又y ＝sin x 与y ＝2x 都是奇函数，故所求定积分为0. 答案：0解析：由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y≥0)，其图象如图．等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－ 3.S 矩形＝AB·BC＝2 3.答案：2π3＋ 36．用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y ＝|sin x|，y ＝0，x ＝2，x ＝5；解：(1)曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S，(2)曲线所围成的平面区域如图所示．解：如图，。

1.5.3 定积分的概念学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．知识点一 定积分的概念思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理 一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃbaf (x )d x ，即ʃb af (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －anf (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 知识点二 定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？ 答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52.思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等．梳理 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃba f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义．注意：f (x )<0(图象在x 轴的下方)时，ʃba f (x )d x <0，－ʃba f (x )d x 等于曲边梯形的面积． 知识点三 定积分的性质思考 你能根据定积分的几何意义解释ʃba f (x )d x ＝ʃca f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )吗？ 答案 直线x ＝c 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S 是两个小曲边梯形的面积S 1，S 2之和，即S ＝S 1＋S 2.梳理 (1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃba f (x )d x (k 为常数)． (2)ʃba [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃba f 1(x )d x ±ʃba f 2(x )d x . (3)ʃba f (x )d x ＝ʃca f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )．1．ʃba f (x )d x ＝ʃba f (t )d t .( √ )2．ʃb a f (x )d x 的值一定是一个正数．( × )3．ʃb a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x d x ＝ʃb a x 3d x ＋ʃb a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x d x .( √)类型一 利用定积分的定义求定积分例1 利用定积分的定义，计算ʃ21(3x ＋2)d x 的值． 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 解 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n. (2)近似代替、求和 取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，则 S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n ＋i －1)n ＋2·1n＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i －1)n2＋5n ＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n.(3)取极限ʃ21(3x ＋2)d x ＝lim n →∞ S n ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132. 反思与感悟 利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ32(x ＋2)d x . 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 解 令f (x )＝x ＋2.将区间[2,3]平均分为n 个小区间，每个小区间的长度为Δx i ＝1n，[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋i －1n ，2＋in ，i ＝1,2，…，n . 取ξi ＝x i ＝2＋i n，则f (ξi )＝2＋in＋2＝4＋i n.则∑ni ＝1f (ξi )Δx i ＝∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋i n ·1n ＝∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋i n 2＝n ·4n＋1＋2＋…＋n n2＝4＋n ＋12n. ∴ʃ32(x ＋2)d x ＝lim n →∞⎝⎛⎭⎪⎫4＋n ＋12n ＝92. 类型二 利用定积分的性质求定积分例2 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用 解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x＝3()ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x＝6()ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x ＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0. (2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .跟踪训练2 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x，0≤x ≤1，且ʃ0－1(2x －1)d x ＝－2，ʃ10e －xd x ＝1－e －1，求ʃ1－1f (x )d x . 考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－1(2x －1)d x ＋ʃ10e －xd x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．类型三 利用定积分的几何意义求定积分 例3 用定积分的几何意义求下列各式的值． (1)ʃ1－14－x 2d x ； (2)π2π-2sin d x x ⎰.考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用解 (1)由y ＝4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图所示．ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和，S 弓形CED ＝12×π3×22－12×2×3＝2π3－3， S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝23，∴ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是奇函数， ∴π2π-2sin d x x ⎰＝0.跟踪训练3 求定积分：ʃ20(4－(x －2)2－x )d x . 考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用解 ʃ204－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即ʃ204－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.ʃ20x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积， 即ʃ20x d x ＝12×22＝2.∴原式＝ʃ204－(x －2)2d x －ʃ20x d x＝π－2.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n(i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞ ∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 C解析 ②③成立．2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( ) A ．被积函数为y ＝2，a ＝6 B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6 C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6D．被积函数为y＝2，a＝－6考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案 C解析由定积分的概念可知，ʃ2－1(－2)d x中的被积函数为y＝－2，由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x等于由直线x＝－1，x＝2，y＝0，y＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴ʃ2－1(－2)d x＝－2×3＝－6.3．已知定积分ʃ60f(x)d x＝8，且f(x)为偶函数，则ʃ6－6f(x)d x等于( )A．0 B．16C．12 D．8考点定积分的几何意义及性质题点定积分性质答案 B解析ʃ6－6f(x)d x＝2ʃ60f(x)d x＝16.4．由函数y＝－x的图象，直线x＝1，x＝0，y＝0所围成的图形的面积可表示为( ) A．ʃ10(－x)d x B．ʃ10|－x|d xC．ʃ0－1x d x D．－ʃ10x d x考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案 B解析由定积分的几何意义可知，所求图形的面积为S＝ʃ10|－x|d x.5．计算ʃ3－3(9－x2－x3)d x.考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用解如图所示，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2.1．定积分ʃb af (x )d x 是一个和式∑i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．一、选择题1．根据定积分的定义，ʃ20x 2d x 等于( )A.∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n B ．lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1nC.∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2i n 2·2nD ．lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 D解析 根据定积分的定义，ʃ20x 2d x ＝lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n.2．下列定积分的值等于1的是( ) A ．ʃ101d xB ．ʃ10(x ＋1)d x C ．ʃ1012d xD ．ʃ10x d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 A解析 D 项，ʃ10x d x ＝12，C 项，ʃ1012d x ＝12，B 项，ʃ10(x ＋1)d x ＝32，A 项，ʃ101d x ＝1，故选A.3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa－a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃba f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且ʃba f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正 考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 D解析 A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大． 4．与定积分3π2x ⎰相等的是( )A.3π20sin d x x ⎰B.3π2sin d x x ⎰C ．ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰D.π3π22π02sin d sin d x x x x +⎰⎰考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 C解析 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π，3π2时，sin x <0. ∴由定积分的性质可得，3π2sin d x x ⎰＝ʃπ0|sin x |d x ＋3π2πsin d x x ⎰＝ʃπ0sin x d x ＋()3π2πsin d x x -⎰＝ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝ʃba [f (x )－g (x )]d x 求出的是( )考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 B解析 定积分S ＝ʃba [f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，B 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方，故选B.6．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( ) A ．ʃ10[(1－y )－y ]d y B ．()121d x x x -+-⎡⎤⎣⎦⎰ C ．()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰D ．ʃ10[x －(－x ＋1)]d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C 解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. 由图知阴影部分的面积可表示为()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰.7．设a ＝ʃ113x d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a ＝b >cD ．c >a >b考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 答案 A解析 根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <ʃ1013x d x ，即a >b >c ，故选A.8．若ʃa－a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( ) A ．6 B ．56 C ．36D ．2 016考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 答案 A解析 由ʃa －a |56x |d x ＝56ʃa－a |x |d x ≤2 016，得ʃa－a |x |d x ≤36，∵ʃa －a |x |d x ＝a 2，∴a 2≤36，即0<a ≤6. 故正数a 的最大值为6. 二、填空题9．若ʃ1012f (x )d x ＝1，ʃ0－13f (x )d x ＝2，则ʃ1－1f (x )d x ＝________.考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用答案 83解析 ∵ʃ1012 f (x )d x ＝12ʃ10f (x )d x ＝1， ∴ʃ10 f (x )d x ＝2.又ʃ0－13f (x )d x ＝3ʃ0－1 f (x )d x ＝2，∴ʃ0－1f (x )d x ＝23. ∴ʃ1－1 f (x )d x ＝ʃ0－1 f (x )d x ＋ʃ10 f (x )d x＝23＋2＝83. 10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．考点 定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 ʃ2－4x 22d x11．定积分ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝________.考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 2＋π4解析 原式＝ʃ102d x ＋ʃ101－x 2d x . 因为ʃ102d x ＝2，ʃ101－x 2d x ＝π4， 所以ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4. 12．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且ʃ10f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为________． 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 f (x )＝65x ＋25解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝a ʃ10x d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.三、解答题13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ∈[0，2)，4－x ，x ∈[2，3)，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 如图画出函数f (x )的图象．由定积分的几何意义得ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ʃ32(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ʃ53⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1. 所以ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ ʃ53⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92. 四、探究与拓展14．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成的图形的面积．y ＝－x 2－2x 是一个以(－1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，所以m ＝－1. 15.如图所示，抛物线y ＝12x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π，求ʃ20⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x .考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2.∴阴影部分的面积为ʃ2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x .∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是 8π·⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋16π＝2π＋43.由定积分的几何意义得， ʃ20⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x＝12ʃ2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x ＝π＋23.。

1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程【学习目标】1. 了解曲边梯形面积的求法和变速运动行驶的路程的求法.2. 体会“以曲代直”, “以不变代变”的思想方法. 【重点难点】重点：以曲代直”, “以不变代变”的思想方法. 难点： “以曲代直”, “以不变代变”的思想方法. 【学法指导】注意体会“以曲代直”, “以不变代变”的思想方法 【学习过程】 一.课前预习预习教材1.5.1节思考下列问题: ①面积的分割求和, 以直代曲的原则 ②路程的分割求和, 以不变代变的原则 二．课堂学习与研讨1：探究点一 求曲边梯形的面积问题1 如何计算下列两图形的面积？问题2 如图，如何求由抛物线y ＝x 2与直线x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S?思考1 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？思考2 能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)思考3 在“近似代替”中，如果认为函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )上的值近似地等于右端点i n 处的函数值f (i n)，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ξi ∈[i －1n ，in]处的函数值f (ξi )作为近似值，情况又怎样？1. 分割: 把区间[0, 1]平均分成n 等份, 得到n 个曲边梯形, 每部份的宽都是____,2. 近似代替: 在第i 个部份取f(x i )作为这部份的"高", 从而分成了n 个小矩形,这样n 个小矩形的面积之和就近似地等于曲边梯形的面积S3. 求和: 第i 个小矩形的面积= 1)ni f(x , 则n 个小矩形的面积之和 S n =11()ni i f x n =∑, x i 取右端点时S n = 11()ni i f n n =∑ 。

4. 取极限: 我们可以想象, 随着n 的不断增大, 小矩形的面积之和与相应的曲边梯形的面积的误差会越来越小, 当n →∞时, 误差→0, 所以当n →∞时S n 的极限就是曲边梯形的面积S, 即 S=∞→n LimS n =11lim()ni n i f x n→∞=∑（二）. 汽车行驶的位移: 汽车以速度v 作匀速直线运动时, 经过时间t 所行驶的位移S=vt. 如果汽车作变速运动, 在时刻t 的速度为v(t)=-t 2+2（t 的单位：h ，v 的单位：km/h ）， 那么在[a, b]这段时间内汽车行驶的位移怎样求呢? 为了直观, 我们求时间[0, 1]这段时间内的路程s （单位：km ）.1. 分割: 把区间[0, 1]平均分成n 等份, 每个时间段的长度都是____2. 近似代替:在第i 个区间取v(x i )作为这段时间内汽车的平均速度, 则第i 个时间段行驶的路程 = __________3. 求和: 这n 段时间内汽车行驶的路程S n =________________4. 取极限: 当n 不断增大时, S n 与汽车实际行驶的路程S 的误差不断缩小, 当n →∞时, 误差→0, 所以当n →∞时S n 的极限就是汽车行驶的路程S, 即S=∞→n LimS n =11lim()nin i v x n →∞=∑课堂学习与研讨21. 用定义求曲边梯形: x=0, x=1, y=0, y=-x 2+1的面积. (提示: 12+22+32+…+n 2=)1n 2)(1n (n 61++, x i 取右端点ni)【当堂检测】1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为 ( ) A ．1nB ．2nC ．3nD ．12n2．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n很大时，f (x )的值变化很小3．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 【课堂小结】求曲边梯形面积和变力做功的步骤 （1）分割：n 等分区间[a ，b ]；（2）近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；（3）求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an； （4）取极限： S ＝lim n →＋∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).【课后作业】1.求曲边梯形: x=0, x=2, y=0, y=x 2的面积的近似值, 其中平均分成10个小区间, x i 取区间的中点. 2.在区间内插入9个等分点后,每个小区间的长度等于 ,第4个小区间是 .3. 由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x 2+2x 围成的图形的面积为 .将区间n等分,每个区间长度为,区间右端点函数值y=+2·.作和i2+i=n(n+1)(2n+1)+,故所求面积S=.4. 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,如果在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位:km/h),那么该汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?(1)分割.在时间区间上等间隔地插入n-1个分点,将它等分成n个小区间,则第i个小区间为(i=1,2,…,n),其长度为Δt=,每个时间段上行驶的路程记为Δs i(i=1,2,…,n),则显然有s=Δs i.(2)近似代替.取ξi=(i=1,2,…,n).于是Δs i≈v·Δt=(i=1,2,…,n).(3)求和.s n=(12+22+…+n2)+4=+4=81+1++4.(4)取极限.s=s n==8+4=12.所以这段时间内行驶的路程为12 km.。

1.5 第二课时 定积分的定义一、课前准备 1.课时目标1. 借助几何图形直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；2. 会用定积分的几何意义求积分值；3. 能熟练应用定积分的性质解题。

2.基础预探1.如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式________，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的________，记作________，即________，区间[a ，b ]叫做________，函数f (x )叫做________. 2．当f (x )≥0时，定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由________所围成的曲边梯形的________.当f (x )≤0时，⎠⎛ab f (x )dx 是________(填“正数”或“负数”)．3．(1)⎠⎛a b kf (x )dx ＝________(k 为常数)； (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝________；(3)⎠⎛ab f (x )dx＝________(a <c <b )．二、学习引领1.定积分含义的理解求曲边梯形的面积与变速直线运动物体的路程，一个是几何问题，一个是物理问题，尽管问题的背景不同，所要解决的问题也不相同，但是反映在本质上，都利用了“分割-----代替----求和-------取极限”这种方法，体现了由曲化直，由变转化不变的思想．若抛开问题的具体意义，抓住它们在数量关系以及思想方法上共同的本质特征加以概括，抽象出其中的数学思想并且形成概念，这样就得到了定积分的定义． 2.定积分应注意问题(1)定积分⎠⎛ab f (x )dx 是“和式”的极限值，它的值取决于被积函数f (x )的积分上限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛a b f (u )du ＝⎠⎛ab f (t )dt ＝…．(2)当定积分的上限和下限相同时，定积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号．在定积分⎠⎛a b f (x )dx 的定义中，总是假设a <b ，而当a ＝b 及a >b 时，不难验证，⎠⎛aa f (x )dx＝0，⎠⎛a b f (x )dx ＝－⎠⎛ba f (x )dx .(3)定积分的值可以是正数、零或负数，定积分的值也不一定等于曲边梯形的面积． 3.函数的奇偶性与定积分的关系根据定积分的几何意义知，若f (x )是区间[－a ，a ](a >0)上的连续函数，则 (1)当f (x )是偶函数时，⎠⎛-a a f (x )dx ＝2⎠⎛0a f (x )dx ;(2)当f (x )是奇函数时，⎠⎛-aa f (x )dx ＝0.三、典例导析题型一 利用定积分定义求值例1 利用定积分定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)dx 的值．思路导析：类似于上节的问题，本题需分割、以直代曲(近似代替)、求和、取极限四个步骤解决． 解析：（1）令f (x )＝3x ＋2，在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋i n ](i ＝1,2，…，n )。

高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念（第1课时）课堂探究 新人教A 版选修2-2探究一 求曲边梯形的面积1．求曲边梯形的面积时要按照分割—近似代替—求和—取极限这四个步骤进行． 2．近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替．3．求和时要用到一些常见的求和公式，例如：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6等．【典型例题1】求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积S . 思路分析：严格按照分割—近似代替—求和—取极限这四个步骤进行计算求解． 解：(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将它等分为n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则小曲边梯形面积的和为S ＝∑i ＝1nΔS i.(2)近似代替记f (x )＝x 2＋2x ，当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，可以认为f (x )的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点i n处的函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n.从图形上看就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，用小矩形的面积ΔS ′i 近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈ΔS ′i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·Δx ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n2＋2·i n . (3)求和小曲边梯形的面积和S n ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1nΔS ′i＝∑i ＝1n 1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n2＋22n2＋…＋n 2n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2n ＋…＋n n ＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n .(4)取极限分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，可以看到，当n 趋向于无穷大，即Δx趋向于0时，S n 越来越趋向于S ，从而有S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝43. 即由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积等于43.探究二 汽车行驶路程的计算问题把变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的问题，采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限，通过这样的背景问题，能更好的体会后面所要学习的定积分的概念．【典型例题2】一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻t 的速度v (t )＝6t2，求汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程s .思路分析：选定区间→分割→近似代替→求和→取极限→得到结果 解：(1)分割．把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1，2，…，n )，每个区间的长度Δt＝1n，每个时间段行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )．故路程和s n ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替．ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )．Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δt ＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋i －12·1n＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 2·1n ＝6n (n ＋i －1)2≈6n(n ＋i －1)(n ＋i )(i ＝1,2,3，…，n )． (3)求和．s n ＝∑i ＝1n6n(n ＋i －1)(n ＋i )＝6n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n＝6n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n .(4)取极限．s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞6n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝3. 所以这段时间内运动的路程s 为3.。