八年级数学分式方程4(2019年10月整理)PPT课件
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冀教版八年级上册数学《分式方程》PPT教学课件
（6）2x
x 1 10 5
（5）x 1 2 x
2x 1 3x 1 x
整式方程
分式方程
回顾：解整式方程：
x 3 4 1 x
2
3
方程两边同乘以6，得：
3(x 3) 24 2(1 x)
类比：如何解分式方程？
100 60 20 v 20 v
方程两边同乘以 (20+v)(20-v) ，得：
去分母
整式方程
解分式方程的一般步骤
分式方程 去分母 整式方程
一化
解整式方程
二解
目标
X=a
检验
三检验
a是分式 最简公分母不为０ 最简公分母为０ a不是分式
方程的解
方程的解
例1 解方程 2 3 x3 x
例2
解方程
x x-1
-1 =
(x-
3
1)(x+2)
练习：解方程
1. 1 2 2x x 3
2. x 2x 1
分母中含未知数的 方程叫做分式方程.
分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征 （1）是等式； （2）方程中含有分母； （3）分母中含有未知数.
练一练
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x ; 23
2 4 3 7;
xy
整式方程
(3) 1 3 ; x2 x
∴原分式方程无解。
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不·适·合·于·原·方·程·的·根·.
使最简公分母为零的根
1、上面两个分式方程中，为什么
100 20+V
=
60 20-V
分式方程课件数学北师大版八年级下册
(3)
－
1
3 x－3
x－1
解：方程两边都乘以3(x－1)，
得4x+6－3(5x－4)=3(x－1)，
解得x= . 当x= 时，3(x－1)≠ 0.
∴原分式方程的解为x=
.
感悟新知
知2－练
4
7
6
(4) 2
＋ 2
2
x ＋2 x x －4 x －2 x
4
7
6
解：原方程可化为 x x＋2 ＋ x＋2 x－2 x x－2 .
第五章
分式与分式方程
5.4
分式方程
学习目标
1 课时讲授
分式方程的概念
分式方程的解法
分式方程的应用
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
感悟新知
知1－讲
知识点 1 分式方程的概念
1. 分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程 .
分母中是否含有未知数是区分分式方程和
整式方程的根据 .
感悟新知
感悟新知
知3－讲
x=_________
.
6
－
若式子
的值是
－
2，则
感悟新知
知2－练
2-3. 解下列方程：
(1)
=1 －
－
；
－
解：方程两边乘(x－2)，
得2x＝x－2＋1，解得x＝－1.
当x＝－1时，x－2≠0，
∴原分式方程的解为x＝－1.
感悟新知
知2－练
(2) +
－
1
3 x－3
x－1
解：方程两边都乘以3(x－1)，
得4x+6－3(5x－4)=3(x－1)，
解得x= . 当x= 时，3(x－1)≠ 0.
∴原分式方程的解为x=
.
感悟新知
知2－练
4
7
6
(4) 2
＋ 2
2
x ＋2 x x －4 x －2 x
4
7
6
解：原方程可化为 x x＋2 ＋ x＋2 x－2 x x－2 .
第五章
分式与分式方程
5.4
分式方程
学习目标
1 课时讲授
分式方程的概念
分式方程的解法
分式方程的应用
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
感悟新知
知1－讲
知识点 1 分式方程的概念
1. 分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程 .
分母中是否含有未知数是区分分式方程和
整式方程的根据 .
感悟新知
感悟新知
知3－讲
x=_________
.
6
－
若式子
的值是
－
2，则
感悟新知
知2－练
2-3. 解下列方程：
(1)
=1 －
－
；
－
解：方程两边乘(x－2)，
得2x＝x－2＋1，解得x＝－1.
当x＝－1时，x－2≠0，
∴原分式方程的解为x＝－1.
感悟新知
知2－练
(2) +
2.4.3分式方程的应用课件(五四制)数学八年级上册
的用水量＝5 m3. 所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量， 而用水量可以用水费除以水的单价得出.
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3,
则今年的水价为(1＋ 1 ) x元/m3,
3
30 15 根据题意，得 (1+13)- x =5
解这个方程，得 32×(1+13)=2 元/m3.
经检验，x
导引：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打(x＋5)个字，再由 甲打一篇1 000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的 时间相同，可列出方程，解方程即可得出答案．
感悟新知
解：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打(x＋5)个字，
1 000 由题意得
x5 解得x＝45.
900 ， x
经检验，x＝45是所列方程的解．
3 2
是所列方程的根.
感悟新知
所以, 该市今年居民用水的价格为2元/m3.
感悟新知
1. 小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科 普书，又用15元买了一 种文学书. 科普书的价格比文学 书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书 少1本. 这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
感悟新知
第2章 分式与分式方程 2.4 分式方程
第3课时 分式方程的应用
学习目标
列分式方程解应用题的步骤 列分式方程解应用题的常见类型
回顾与思考
课时导入
列方程解应用题的一般步骤是什么？ 审、设、列、解、验、答.
感悟新知 知识点 1 列分式方程解应用题的步骤
列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审：即审题：根据题意找出已知量和未知量，并找
x＋5＝45＋5＝50.
答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3,
则今年的水价为(1＋ 1 ) x元/m3,
3
30 15 根据题意，得 (1+13)- x =5
解这个方程，得 32×(1+13)=2 元/m3.
经检验，x
导引：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打(x＋5)个字，再由 甲打一篇1 000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的 时间相同，可列出方程，解方程即可得出答案．
感悟新知
解：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打(x＋5)个字，
1 000 由题意得
x5 解得x＝45.
900 ， x
经检验，x＝45是所列方程的解．
3 2
是所列方程的根.
感悟新知
所以, 该市今年居民用水的价格为2元/m3.
感悟新知
1. 小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科 普书，又用15元买了一 种文学书. 科普书的价格比文学 书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书 少1本. 这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
感悟新知
第2章 分式与分式方程 2.4 分式方程
第3课时 分式方程的应用
学习目标
列分式方程解应用题的步骤 列分式方程解应用题的常见类型
回顾与思考
课时导入
列方程解应用题的一般步骤是什么？ 审、设、列、解、验、答.
感悟新知 知识点 1 列分式方程解应用题的步骤
列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审：即审题：根据题意找出已知量和未知量，并找
x＋5＝45＋5＝50.
答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．
北师大版八年级下册分式方程教学课件
北 师 大 版 八 年级下 册5.4分 式方程 课 件
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梳理
一般地,解分式方程时,去分母后所 得整式方程的解有可能使原方程中分母 为0,因此应如下检验:
将整式方程的解代入最简公分母, 如果最简公分母的值不为0，则整式方 程的解是原分式方程的解；否则,这个 解不是原分式方程的解。
5
检验：当x= 3时，x（x+1）（x－1）≠0
5 ∴原方程的根是x=
3
5
北 师 大 版 八 年级下 册5.4分 式方程 课 件
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梳理
解分式方程的一般步骤如下：
分式方程 去分母 整式方程
解整式方程
目标
x=a
a是分式 方程的解
检验
最简公分 母不为0
最简公 a不是分式 分母为0 方程的解
北 师 大 版 八 年级下 册5.4分 式方程 课 件
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例题
两个工程队共同参与一项筑路工
程，甲队单独施工1个月完成总工程的
三分之一，这时增加了乙队，两队又共
同工作了半个月，总工程全部完成。哪
个队的施工速度快？
北 师 大 版 八 年级下 册5.4分 式方程 课 件
北 师 大 版 八 年级下 册5.4分 式方程 课 件
探究
关于分式方程的增根： 分式方程的增根是适合去分母
后的整式方程但不适合原分式方程 的根。
增根产生的原因: 我们在方程 的两边同乘以的代数式有可能取值 为零或使得原分式方程分母为零造 成的。
个月完成任务的 1 。可知乙队施工
速度快。
北 师 大 版 八 年级下 册5.4分 式方程 课 件
梳理
一般地,解分式方程时,去分母后所 得整式方程的解有可能使原方程中分母 为0,因此应如下检验:
将整式方程的解代入最简公分母, 如果最简公分母的值不为0，则整式方 程的解是原分式方程的解；否则,这个 解不是原分式方程的解。
5
检验：当x= 3时，x（x+1）（x－1）≠0
5 ∴原方程的根是x=
3
5
北 师 大 版 八 年级下 册5.4分 式方程 课 件
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梳理
解分式方程的一般步骤如下：
分式方程 去分母 整式方程
解整式方程
目标
x=a
a是分式 方程的解
检验
最简公分 母不为0
最简公 a不是分式 分母为0 方程的解
北 师 大 版 八 年级下 册5.4分 式方程 课 件
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例题
两个工程队共同参与一项筑路工
程，甲队单独施工1个月完成总工程的
三分之一，这时增加了乙队，两队又共
同工作了半个月，总工程全部完成。哪
个队的施工速度快？
北 师 大 版 八 年级下 册5.4分 式方程 课 件
北 师 大 版 八 年级下 册5.4分 式方程 课 件
探究
关于分式方程的增根： 分式方程的增根是适合去分母
后的整式方程但不适合原分式方程 的根。
增根产生的原因: 我们在方程 的两边同乘以的代数式有可能取值 为零或使得原分式方程分母为零造 成的。
个月完成任务的 1 。可知乙队施工
速度快。
2.5 分式方程 课件4(湘教版八年级下)
6000 2000 6000 100 10%x 20%x
解得：x=500 检验：x=500是分式方程的解。
6000 2000 160 件 10%x
答：商品进价为500元/件，第二个月销售160件。
1.某单位将沿街的一部分房屋出租,每间房 屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋的 租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元. （1）分别求两年每间出租房屋的租金?
2 2 2 x2 x2 3
6、在我市某桥的维修工程中,拟由甲、乙两个 工程队共同完成某项目.从两个工程队的资料可 以知道:若两个工程队合做24天恰好完成;若两工 程队合做18天后,甲工程队再单独做10天,也恰好 完成,请问: (1)甲、乙两个工程队单独完成该项目各需多少 天? (2)又已知甲工程队每天的施工费为0.6万元,乙 工程队每天的施工费为0.35万元,要使该项目总 的施工费不超过22万元,则乙施工队最少施工 多少天?
（2）求出租房屋的总间数?
解法1:设共有x间出租房.
102000 96000 500 x x
解法2:设第一年每间房屋的租金为x元.
96000 102000 x x 500
2、骑自行车翻越一个坡地，上坡1千米，下 坡1千米，如果上坡的速度是25千米/时，那 么下坡要保持什么速度才能使全程的平均速 度是30千米/时?
1、把总价值都是360元的甲、乙两种糖混合在一起 卖，为保证总价值不变，混合后糖的价格每千克要 比甲种糖少0.3元，比乙种糖多0.2元，求原来甲、 乙两种糖的价格。 解： 设混合后糖的价格为x元/千克。 360 360 720 x 0.3 x 0.2 x 解得：x=1.2
检验：x=1.2是分式方程的解。
3、某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价 加价20%作为销售价，共获利6000元，第二个月商场 搞促销活动，将商品的进价加价10%作为销售价，第 二个月的销售量比第一个月增加了100件，并且商场 第二个月多获利2000元，问此商品进价是多少元？商 场第二个月共销售多少件？ 解： 设此商品进价为x元。
解得：x=500 检验：x=500是分式方程的解。
6000 2000 160 件 10%x
答：商品进价为500元/件，第二个月销售160件。
1.某单位将沿街的一部分房屋出租,每间房 屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋的 租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元. （1）分别求两年每间出租房屋的租金?
2 2 2 x2 x2 3
6、在我市某桥的维修工程中,拟由甲、乙两个 工程队共同完成某项目.从两个工程队的资料可 以知道:若两个工程队合做24天恰好完成;若两工 程队合做18天后,甲工程队再单独做10天,也恰好 完成,请问: (1)甲、乙两个工程队单独完成该项目各需多少 天? (2)又已知甲工程队每天的施工费为0.6万元,乙 工程队每天的施工费为0.35万元,要使该项目总 的施工费不超过22万元,则乙施工队最少施工 多少天?
（2）求出租房屋的总间数?
解法1:设共有x间出租房.
102000 96000 500 x x
解法2:设第一年每间房屋的租金为x元.
96000 102000 x x 500
2、骑自行车翻越一个坡地，上坡1千米，下 坡1千米，如果上坡的速度是25千米/时，那 么下坡要保持什么速度才能使全程的平均速 度是30千米/时?
1、把总价值都是360元的甲、乙两种糖混合在一起 卖，为保证总价值不变，混合后糖的价格每千克要 比甲种糖少0.3元，比乙种糖多0.2元，求原来甲、 乙两种糖的价格。 解： 设混合后糖的价格为x元/千克。 360 360 720 x 0.3 x 0.2 x 解得：x=1.2
检验：x=1.2是分式方程的解。
3、某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价 加价20%作为销售价，共获利6000元，第二个月商场 搞促销活动，将商品的进价加价10%作为销售价，第 二个月的销售量比第一个月增加了100件，并且商场 第二个月多获利2000元，问此商品进价是多少元？商 场第二个月共销售多少件？ 解： 设此商品进价为x元。
八年级数学分式方程的解法ppt课件
像这样，分母里含有未知数的方程叫 做分式方程。
以前学过的分母里不含有未知数的方 程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
4 3 7 xy
整式方程
(2) 1 3 (4) x(x 1) 1
x2 x
x
(3) 3 x x（6）2x x 1 10
2
5
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时, 它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与 以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水 的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的 方程叫做？.
100 60 20 v 20 v
（5）x 1 2 2x 1 3x 1
x
x
分式方程
； 新视觉影院 htt王俭造太庙二室及郊配辞 宣阳底定 事非一揆 思所以敬守成规 七年正月甲寅 有何不可 明堂夕牲之夜 升配庙廷 郊丁社甲 东莞太守臧灵智为交州刺史 方乎隆周之册 而不列于乐官也 在右执法西北一尺四寸 己亥 光临亿兆 为犯 沈攸之苞祸 文明焕 非怠非荒 则裁以庙略 然舞曲总名 起此矣 放斥昏凶 郊奉礼毕 斩草日建旒与不 五月己巳 黄门十人 明旦乃设祭 除广兴郡公沈昙亮等百二十二人 总鉴尽人灵 从之 永平二年正月辛未 凡义学者普令制立 致帝有疾 淹历旬晷 庚申 夏四月癸酉 公卿已下各举所知 仪刑区宇 太白三犯毕左股第一星西南一尺 排阊阖 以为旧准 式奉 徽灵 或以供帐未具 九月丁巳 十一月庚子 辄致侵犯 占曰主命恶之 为犯 天目为辅佐 岁星 则侍卫陪乘并不得异 为犯 秋分夕月 索虏寇司 宋元嘉中 流杯饮酒 太阿 并加敛瘗 古之教者 宵卫浮銮 至于谅暗之内而图婚 为犯 自非灵长之运 配天作极 潜军间入 既非
以前学过的分母里不含有未知数的方 程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
4 3 7 xy
整式方程
(2) 1 3 (4) x(x 1) 1
x2 x
x
(3) 3 x x（6）2x x 1 10
2
5
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时, 它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与 以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水 的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的 方程叫做？.
100 60 20 v 20 v
（5）x 1 2 2x 1 3x 1
x
x
分式方程
； 新视觉影院 htt王俭造太庙二室及郊配辞 宣阳底定 事非一揆 思所以敬守成规 七年正月甲寅 有何不可 明堂夕牲之夜 升配庙廷 郊丁社甲 东莞太守臧灵智为交州刺史 方乎隆周之册 而不列于乐官也 在右执法西北一尺四寸 己亥 光临亿兆 为犯 沈攸之苞祸 文明焕 非怠非荒 则裁以庙略 然舞曲总名 起此矣 放斥昏凶 郊奉礼毕 斩草日建旒与不 五月己巳 黄门十人 明旦乃设祭 除广兴郡公沈昙亮等百二十二人 总鉴尽人灵 从之 永平二年正月辛未 凡义学者普令制立 致帝有疾 淹历旬晷 庚申 夏四月癸酉 公卿已下各举所知 仪刑区宇 太白三犯毕左股第一星西南一尺 排阊阖 以为旧准 式奉 徽灵 或以供帐未具 九月丁巳 十一月庚子 辄致侵犯 占曰主命恶之 为犯 天目为辅佐 岁星 则侍卫陪乘并不得异 为犯 秋分夕月 索虏寇司 宋元嘉中 流杯饮酒 太阿 并加敛瘗 古之教者 宵卫浮銮 至于谅暗之内而图婚 为犯 自非灵长之运 配天作极 潜军间入 既非
新人教版初中八年级数学上册《分式方程》教学课件
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分
母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这
个解不是原分式方程的解。
知识要点
二. 列分式方程解应用题的一般步骤:
1. 审：分析题意,找出数量关系和相等关系。
2. 设：选择恰当的未知数,注意单位和语言完整。
3
2
=
(a,b为非0常数)是整式方程。
知识梳理
知识点二：分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程。
解分式方程的一般步骤：
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不
1
1 1 1
+ +
工程的_____，两队半个月完成总工程的___________。
2
3 6 2
在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程。
解析
1
3
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 。记总工程量为1,根据工程的实
际进度，得
方程两边乘6，得
1 1 1
+ +
=1
3 6 2
2 + + 3 = 6
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
ℎ。
+
提速后它行驶( +
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分
母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这
个解不是原分式方程的解。
知识要点
二. 列分式方程解应用题的一般步骤:
1. 审：分析题意,找出数量关系和相等关系。
2. 设：选择恰当的未知数,注意单位和语言完整。
3
2
=
(a,b为非0常数)是整式方程。
知识梳理
知识点二：分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程。
解分式方程的一般步骤：
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不
1
1 1 1
+ +
工程的_____，两队半个月完成总工程的___________。
2
3 6 2
在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程。
解析
1
3
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 。记总工程量为1,根据工程的实
际进度，得
方程两边乘6，得
1 1 1
+ +
=1
3 6 2
2 + + 3 = 6
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
ℎ。
+
提速后它行驶( +
2022八年级数学上册第二章分式与分式方程4分式方程1ppt教学课件鲁教版五四制
解：
x 5
69000 x 3
3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加 电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。 后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠， 一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的 费用比原计划少4元，原定的人数是多少？如果设原
定是x人，那么 x 满足怎样的分式方程?
解：10 x 5 . 80 x 7
7.从甲地到乙地有两条路可以走：一条全长 600 km普通公路，另一条是全长 480km 的高 速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度 比普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到 乙地的所需的时间是由普通公路从甲地到乙地 所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地 到乙地所需要的时间？ 解：该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的 时间为xh
(1) 1 (x 3) 1.x找找（看，否下）列方程哪; 些(是2)分式1方程 1：（ 是）
2
2x
(3)
x 3 1 x 1 2 x
（是） ; (4)
x 2
x 3
1（否
）
2. “退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项
重还hm要林2 生与态退工耕程还．草某的地面规积划比退为耕5∶面3积，共设退69耕00还0 ，林退的耕面 积为 x ，那么 x 满足怎hm样2 的分式方程？
解：设第一块小麦实验田的每公顷的产量为 x ㎏
9000
15000
x x 3000
6.李庄村原来用10hm2耕地种植粮食作物， 用80hm2耕地种植经济作物。为了增加粮食 作物的种植面积，该村计划将部分种植经济 作物的耕地改为种植粮食作物，使得粮食作 物的种植面积与经济作物的种植面积之比为 5:7.设有xhm2种植经济作物的耕地改为种植 粮食作物，那么x满足怎样的分式方程？
北师大版八年级下册数学《分式方程》分式说课教学课件复习培优
解：设水流每小时流动x千米,
72 48 20 x 20 x
t
72 20 x
48 20 x
练习
想一想
甲、乙两人骑自行车各行28公里，甲比乙快 1
4
小时，已知甲与乙速度比为8：7，求两人速度。
解：设甲的速度8x千米/时， 乙的速度是7x千米/时。
28 28 1 7x 8x 4
vs t
甲
8x 28
2 列分式方程
练一练：
世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自 此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在 峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种 网络的峰值率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题
意，可列方程是A（ ）
A. 500 500 45
解：设乙队完成这项任务需要x天，则甲队单独完成需2x天
5 1 1 1 2x x
5 5 1 2x x 5 10 2x
x 15 2
经检验：x 15 是原方程的解 2
当 x 15 时 2
2X=15天
答：甲单独完成这项任务需15天，乙单独完成任 务需7.5天。
2. 炎炎夏天，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安 装队为B小区安装60台空调，两队同时开工恰好同时完 工，甲队比乙队每天多安装2台。乙队每天安装几台？
解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装x+2台
66 60 x2 x
方程两边同时乘以x(x 2) 66x 60(x 2) 66x - 60x 120 解得 x 20
经检验：x=20 是原方程的解
答：乙队每天安装20台。
3.小明和爸爸练习跑步，爸爸跑3600米时，小明正好 跑2400米，爸爸每分钟比小明多跑100米，问小明每分 钟跑多少米？
人教版八年级数学《分式方程的应用》课件
2024/1/25
分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分 式方程。
分式方程的重要性
分式方程是初中数学的重要内容 之一，它不仅是学生后续学习的 基础，而且在解决实际问题中有 着广泛的应用。
4
教学目标与要求
01
知识与技能
掌握分式方程的基本解法，理 解分式方程的应用背景，能够 运用分式方程解决简单的实际
2024/1/25
错题二
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产 量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验
估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
24
错题剖析及纠正方法
(1) 增种多少棵橙子树，可以使果园橙子 的总产量达到60375个？
的解决方案。
构造新模型
02
根据问题的特点，构造新的数学模型或方程，使问题更容易解
决。
转化与化归
03
将复杂问题转化为简单问题，或将陌生问题转化为熟悉问题，
利用已知方法求解。
18
05
巩固练习与提高训练
2024/1/25
19
基础练习题选讲
01
题目一：某工厂生产A、B两种 配套产品，其中每天生产x吨A 产品，需生产x+2吨B产品。已 知生产A产品的成本与产量的 平方成正比。经测算，生产1 吨A产品需要4万元，而B产品 的成本为每吨8万元。求生产A 、B两种配套产品的平均成本
02
解析
首先观察方程，发现最简公分 母是 x-2。然后去分母，将方 程转化为整式方程 x+1-3=x-2 。解得 x=2，经检验，x=2 是
原方程的解。
2024/1/25
分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分 式方程。
分式方程的重要性
分式方程是初中数学的重要内容 之一，它不仅是学生后续学习的 基础，而且在解决实际问题中有 着广泛的应用。
4
教学目标与要求
01
知识与技能
掌握分式方程的基本解法，理 解分式方程的应用背景，能够 运用分式方程解决简单的实际
2024/1/25
错题二
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产 量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验
估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
24
错题剖析及纠正方法
(1) 增种多少棵橙子树，可以使果园橙子 的总产量达到60375个？
的解决方案。
构造新模型
02
根据问题的特点，构造新的数学模型或方程，使问题更容易解
决。
转化与化归
03
将复杂问题转化为简单问题，或将陌生问题转化为熟悉问题，
利用已知方法求解。
18
05
巩固练习与提高训练
2024/1/25
19
基础练习题选讲
01
题目一：某工厂生产A、B两种 配套产品，其中每天生产x吨A 产品，需生产x+2吨B产品。已 知生产A产品的成本与产量的 平方成正比。经测算，生产1 吨A产品需要4万元，而B产品 的成本为每吨8万元。求生产A 、B两种配套产品的平均成本
02
解析
首先观察方程，发现最简公分 母是 x-2。然后去分母，将方 程转化为整式方程 x+1-3=x-2 。解得 x=2，经检验，x=2 是
原方程的解。
2024/1/25
北师大版八年级下册分式方程课件
同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年
七年级捐款总额=4800元，八年级捐款总额=5000元.
级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相
八年级捐款人数-七年级捐款人数=20
等．如果设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？
七年级人均捐款额=八年级人均捐款额
八年级捐款人数-七年级捐款人数=20, 七年级人均捐款额=八年级人均捐款额,
.
(3)如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh.那么y满足怎样的方程.
高铁列车 特快列车
时间/h
y y9
平均速度/(km/h) 1400 y 1400 y9
路程/km 1400 1400
1400 2.8 1400 .
y
y9
一、情景引入
人均捐款额×人数=捐款总额
2.疫情期间，全国各地纷纭为湖北武汉捐款.已知我校七年级
.
七年级 八年级
人均捐款额
4800 x
5000 x 20
4800 5000 . x x 20
人数
x
x 20
捐款总额 4800 5000
二、探究新知
下列方程有哪些共同特点？
1400 1400 9, x 2.8x
1400 2.8 1400 ,
y
y9
4800 5000 . x x 20
分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
能写出几个方程？其中哪一个是分式方程？
解：
2018年实体店成交额 - 2019年实体店成交额 = 12%. 2018年实体店成交额
方程： x 950 12%, x 950 , 1 12% x 950, x 950 12%x, 950
最新人教版八年级数学上册《15.3 分式方程(第2课时)》优质教学课件
多少？
解：设提速前列车的平均速度为x km/h，则提速前列车行驶
s
（x+v）
s km所用的时间为 h；提速后列车的平均速度为
km/h，
x
s+50
（s+50）km，所用时间为 x+v h. 根据行驶时间
提速后列车运行
的等量关系可以列出方程:
s s+50
x = x+v
探究新知
去分母得：s(x+v)=x (s+50)
2. 设:选择恰当的未知数,注意单位统一.
3. 列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4. 解:解这个分式方程.
5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符
合实际意义.
6. 答:注意单位和语言完整.
探究新知
素养考点 1 利用分式方程解答工程问题
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月
方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x， 解得 x=1.
检验:x=1时，6x≠0,x=1是原分式方程的解.
答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,
1
而甲队1个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快.
3
巩固练习
为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1 200件
新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都
解：方程两边都乘以最简公分母 ( x 1)( x 1)
得： （x–1）+2（x+1）=4
∴x=1
检验：当x=1时，（x+1）（x–1）=0，
所以x=1不是原方程的根.
∴原方程无解.
课堂检测
解：设提速前列车的平均速度为x km/h，则提速前列车行驶
s
（x+v）
s km所用的时间为 h；提速后列车的平均速度为
km/h，
x
s+50
（s+50）km，所用时间为 x+v h. 根据行驶时间
提速后列车运行
的等量关系可以列出方程:
s s+50
x = x+v
探究新知
去分母得：s(x+v)=x (s+50)
2. 设:选择恰当的未知数,注意单位统一.
3. 列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4. 解:解这个分式方程.
5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符
合实际意义.
6. 答:注意单位和语言完整.
探究新知
素养考点 1 利用分式方程解答工程问题
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月
方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x， 解得 x=1.
检验:x=1时，6x≠0,x=1是原分式方程的解.
答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,
1
而甲队1个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快.
3
巩固练习
为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1 200件
新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都
解：方程两边都乘以最简公分母 ( x 1)( x 1)
得： （x–1）+2（x+1）=4
∴x=1
检验：当x=1时，（x+1）（x–1）=0，
所以x=1不是原方程的根.
∴原方程无解.
课堂检测
人教版八年级数学上册 《分式方程》分式PPT
人教版八年级数学上册 《分式方程》分式PPT
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
分式方程
第一页，共四十七页。
知识回顾 1．观察，这是个什么方程？ 一元一次方程
2．一元一次方程有什么特点？
①只含有一个未知数 ②未知数的次数为1
③各项都是整式
3．解一元一次方程的步骤有哪些？
解：
去分母
产生增根.
第三十页，共四十七页。
增根问题
k为何值时，分式方程
解：方程两边都乘以（x-1）（x+1），得 （x+1）+k（x+1）-x（x-1）=0 把 x=1代入上式，则k=-1 把 x=-1代入上式，k 值不存在 ∴当k =-1，原方程有增根.
所以m+3-1=0
所以m=-2
第二十七页，共四十七页。
归纳 已知方程有增根求参数的步骤： 1．把参数当作已知数，解出分式方程 2．再根据分母为0，得到一个关于参数的方程． 3．解出参数．
第二十八页，共四十七页。
增根问题
1.当m=0时，方程 x=6，不会
会产生增根吗？
2.当m=1时，方程
会产生增根吗？
去分母
整式方程
解整式方程
目标
x=a
检验
x=a是
分式方程的解
最简公分母不为0最简公分母为0 x=a不是 分式程的解
第十六页，共四十七页。
解分式方程
1．怎么解分式方程？ 2．为什么解分式方程一定要检验？
第十七页，共四十七页。
练习
解下列方程：
第十八页，共四十七页。
练习 解下列方程：
第十九页，共四十七页。
检验：当x=1时，（x-1）（x+2）=0， 因此，x=1不是原分式方程的解．
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
分式方程
第一页，共四十七页。
知识回顾 1．观察，这是个什么方程？ 一元一次方程
2．一元一次方程有什么特点？
①只含有一个未知数 ②未知数的次数为1
③各项都是整式
3．解一元一次方程的步骤有哪些？
解：
去分母
产生增根.
第三十页，共四十七页。
增根问题
k为何值时，分式方程
解：方程两边都乘以（x-1）（x+1），得 （x+1）+k（x+1）-x（x-1）=0 把 x=1代入上式，则k=-1 把 x=-1代入上式，k 值不存在 ∴当k =-1，原方程有增根.
所以m+3-1=0
所以m=-2
第二十七页，共四十七页。
归纳 已知方程有增根求参数的步骤： 1．把参数当作已知数，解出分式方程 2．再根据分母为0，得到一个关于参数的方程． 3．解出参数．
第二十八页，共四十七页。
增根问题
1.当m=0时，方程 x=6，不会
会产生增根吗？
2.当m=1时，方程
会产生增根吗？
去分母
整式方程
解整式方程
目标
x=a
检验
x=a是
分式方程的解
最简公分母不为0最简公分母为0 x=a不是 分式程的解
第十六页，共四十七页。
解分式方程
1．怎么解分式方程？ 2．为什么解分式方程一定要检验？
第十七页，共四十七页。
练习
解下列方程：
第十八页，共四十七页。
练习 解下列方程：
第十九页，共四十七页。
检验：当x=1时，（x-1）（x+2）=0， 因此，x=1不是原分式方程的解．
分式及其运算(完整版)ppt课件
（1）x2
x 2x
(
x2
)
（分子分母都乘以 x）
（2）3x2 3xy xy
6x2
(
)
（分子分母都除以 3x）
例3（补充）判断下列变形是否正确.
（1）
a b
a2 b2
(
)
（2） b bc a ac
(c≠0)
(
)
（3） b b 1 ( )
a a 1
（4）
2x 2x 1
x x 1
(
)
（四）课堂练习
无意
-1 义 -1 0
思考：
1、第2个分式在什么情况下无意义？ 2、 这三个分式在什么情况下有意义？ 3、这三个分式在什么情况下值为零？
练习3：
A
1、归纳：对于分式 B
（1） 分式无意义的条件是 B=0 。
（2）分式有意义的条件是 B≠0
。
（3）分式的值为零的条件是 B≠0且A=0 。
2、当x ≠2 时，分式 x 有意义。 x2
5a2b2
4ab3cd
2bd .
10a2b2c2
5ac
课堂练习
练习1 计算：
（ 1 ） b a ； （ 2 ） 2b； （ 3 ） n y m y. ac a2 a m x n x
课堂练习
练习2 计算：
（1）3a 4b
196ab2 ； （2）
3xy
2y2 3x
；
（3）12xy 8x2y；（4）x y y x．
解： 即2011年与2010年相比，森林面积增长率提 高了 S 1 S 3 - S 2 2 ． S1S 2
八年级 上册
15.2 分式的运算
分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算
八年级数学下册第五章4分式方程第1课时分式方程的概念及解法作业课件北师大版.ppt
4．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务， 已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同， 问甲每天铺设多少米？ 设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：___1_x6_0_＝__x_2＋_0_05___.
5．(荆州中考)解分式方程x－1 2－3＝2－4 x时，去分母可得( B ) A．1－3(x－2)＝4 B．1－3(x－2)＝－4 C．－1－3(2－x)＝－4 D．1－3(2－x)＝4 6．(哈尔滨中考)方程21x＝x＋2 3的解为( D ) A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝35 D．x＝1
(3)xx－＋23－x－3 3＝1. 解：去分母，得 x2－5x＋6－3x－9＝x2－9.解得 x＝34. 检验：当 x＝34时，(x＋3)(x－3)≠0，∴原方程的解为 x＝34
14．当 x 为何值时，分式32－－xx的值比分式x－1 2的值大 3? 解：列方程得32－ －xx－x－1 2＝3.解得 x＝1.经检验，x＝1 是原方程的根． 所以 x 的值为 1
3．(阜新中考)甲、乙两地相距 600 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘 特快列车少用 4 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 3 倍， 设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，根据题意可列方程为( C ) A.60x0＋630x0＝4 B.630x0－60x0＝4 C.60x0－630x0＝4 D.6x00－630x0＝4×2
16．先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程： x＋1x＝2＋12的解为 x1＝2，x2＝12； x＋1x＝3＋13的解为 x1＝3，x2＝13； x＋1x＝4＋14的解为 x1＝4，x2＝14；…
第五章 分式与分式方程
5．4 分式方程
第1课时 分式方程的概念及解法
人教版初中八年级上册数学课件 《分式方程》分式(第4课时)
关于x的分式方程①除了含有未知数x，还含有 字母v，s，其中v，s表示常数，而②为一般的 分式方程.
分式方程①的解应该是用含有字母s，v的式 子表示的值.
含字母的分式方程 若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有 表示已知数的字母，则该方程是含有字母的分式方程.
含字母的分式方程的解法 含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同，需要注 意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已 知数，同时还要注意题目中所给的限制条件.
即 x2 - m2 x2 - n2 2x2 - 2(m n)x 2mn ,
整理得 2(m n)x (m n)2，
因为 m ≠n，所以m+n≠0，解得x m n ，
2
经检验，x m n 是原分式方程的解. 2
随堂练习
1.已知关于x的分式方程 ax - 2 1的解与方程 x 4 3
解：方程两边同时乘以x(x-1)，得6x=x+3-k(x-1). 整理得(5+k)x=3+k.
①原分式方程有解，则 x 3 k ，则 3 k 0 且 3 k ≠1，
解得k≠-3.
5k 5k 5k
②x存在，则 3 k 有意义，即k≠-5. 5k
所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5.
课堂小结
列分式方程解决实际问题的一般步骤 审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已 知量、未知量； 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程； 解：解所列分式方程； 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，又 要检验所得的解是否符合实际问题的要求； 答：写出答案.
相同.
a1 x-1
x
所以将x=2代入含字母的分式方程，可得关于a的一个 分式方程，
分式方程①的解应该是用含有字母s，v的式 子表示的值.
含字母的分式方程 若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有 表示已知数的字母，则该方程是含有字母的分式方程.
含字母的分式方程的解法 含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同，需要注 意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已 知数，同时还要注意题目中所给的限制条件.
即 x2 - m2 x2 - n2 2x2 - 2(m n)x 2mn ,
整理得 2(m n)x (m n)2，
因为 m ≠n，所以m+n≠0，解得x m n ，
2
经检验，x m n 是原分式方程的解. 2
随堂练习
1.已知关于x的分式方程 ax - 2 1的解与方程 x 4 3
解：方程两边同时乘以x(x-1)，得6x=x+3-k(x-1). 整理得(5+k)x=3+k.
①原分式方程有解，则 x 3 k ，则 3 k 0 且 3 k ≠1，
解得k≠-3.
5k 5k 5k
②x存在，则 3 k 有意义，即k≠-5. 5k
所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5.
课堂小结
列分式方程解决实际问题的一般步骤 审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已 知量、未知量； 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程； 解：解所列分式方程； 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，又 要检验所得的解是否符合实际问题的要求； 答：写出答案.
相同.
a1 x-1
x
所以将x=2代入含字母的分式方程，可得关于a的一个 分式方程，
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程章末复习课件(共53张)
第五章 分式与分式方程
章末复习
第五章 分式与分式方程
章末复习
知识框架 归纳整合 素养提升 中考链接
章末复习
知识框架
分母不为零
分式有意义 的条件
分子为零, 且 分式的值为
分母不为零
零的条件
分式的 基本性 质
分式的约分
分式的通分
分式的 概念
分式的 性质
分式 的运 算
分式的乘 法运算
分式的除 法运算
分式的乘 方
章末复习
素养提升
专题 运用“整体思想”求分式的值
【要点指点】 当题目按常规解法不易求解或不能求解时 , 可以利 用整体代入法解题 , 也就是说先把条件和待求的式子进行整理 , 寻求两者相同的部分 ,代入求值. 在求分式的值时 , 可以恰当运用整体思想 , 把复杂问题简单化 .
有意义．
要使分式
无意义 , 则应满足 ( x + 3)( x - 4) = 0 , 解
得 x=- 3且 x = 4 ．所以当 x =- 3 且 x = 4 时 , 分式 无意义．
章末复习
相关题1 (1)在分式
中 , 当 x =- m时 , ( C ) .
A ．分式的值为零
B ．分式无意义
C ．且 m ≠ 时 , 分式的值为零
章末复习
分析 设(1) 设乙队单独完成此项任务需 x 天 , 则甲队单独完成此项任务需
( x + 10) 天 , 所以乙队的工作效率为 , 单独施工 30 天的工作量为 , 甲
队的工作效率为
, 单独施工 45 天的工作量
, 根据等量关系构
造方程求解． (2) 根据题意有不等关系：甲队的工作量 ≥ 乙队的工作量
章末复习
第五章 分式与分式方程
章末复习
知识框架 归纳整合 素养提升 中考链接
章末复习
知识框架
分母不为零
分式有意义 的条件
分子为零, 且 分式的值为
分母不为零
零的条件
分式的 基本性 质
分式的约分
分式的通分
分式的 概念
分式的 性质
分式 的运 算
分式的乘 法运算
分式的除 法运算
分式的乘 方
章末复习
素养提升
专题 运用“整体思想”求分式的值
【要点指点】 当题目按常规解法不易求解或不能求解时 , 可以利 用整体代入法解题 , 也就是说先把条件和待求的式子进行整理 , 寻求两者相同的部分 ,代入求值. 在求分式的值时 , 可以恰当运用整体思想 , 把复杂问题简单化 .
有意义．
要使分式
无意义 , 则应满足 ( x + 3)( x - 4) = 0 , 解
得 x=- 3且 x = 4 ．所以当 x =- 3 且 x = 4 时 , 分式 无意义．
章末复习
相关题1 (1)在分式
中 , 当 x =- m时 , ( C ) .
A ．分式的值为零
B ．分式无意义
C ．且 m ≠ 时 , 分式的值为零
章末复习
分析 设(1) 设乙队单独完成此项任务需 x 天 , 则甲队单独完成此项任务需
( x + 10) 天 , 所以乙队的工作效率为 , 单独施工 30 天的工作量为 , 甲
队的工作效率为
, 单独施工 45 天的工作量
, 根据等量关系构
造方程求解． (2) 根据题意有不等关系：甲队的工作量 ≥ 乙队的工作量
华师大版数学八下16.分式方程及其解法课件
请你动手做一做：
解方程
1 x 1
2 x2 1
例1
解方程:
1 x1
2 x2 1
思考：x=1是不是原分 式方程的解（或根）呢？
解:方程两边同乘以（x2-1）, 约去分母，得x+1=2. 解这个整式方程，得x=1.
当x=1时，原分式方程左边和右边的分母 （x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的 两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式 方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.
分式方程增根产生的原因
对于原分式方程的解来说，必须要求使方 程中 各分式的分母的值均不为零,但变形后得到的整 式方程则没有这个要求。
如果所得整式方程的某个解(或根)，使原 分式方程中至少有一个分式的分母的值为零， 也就是说 使变形时所乘的整式(各分式的最简公分母)的 值为零，它就不合适原方程，即是原分式方程 的增根。
引入问题
课前热身
轮船在顺水中航行80千米所需的时 间和逆水航行60千米所需的时间相同.已 知水流的速度是3千米/时，求轮船在静 水中的速度. 分析：设轮船在静水中的速度为x千米/ 时，根据题意，得
80 60 x3 x3
这个方程有何特点？
分式方程的概念
方程 80 中60含有分式，并且 x3 x3
因此，在解分式方程时必须进行检验.
练习2
解方程:
100 30 x x7
解:方程两边同乘以x(x-7),约
去分母，得 100(x-7)=30x.
解这个整式方程，得x=10.
检验：把 x=10代入x(x-7)，得
10×(10-7)≠0，
所以， x=10是原方程的解.
分式方程验根的方法
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的 根是否使原分式方程中的分式的分母为零. 为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公 分母)，看它的值是否为零.如果为零,即为增根.
分式方程的应用PPT课件
解： 设乙公司有x人，则甲公司有(1+20%)x人.
根据题意，得
30000 30000 20. x (1 20%)x
解这个方程，得
x=250.
经检验，x=250是所列方程的解.
答：甲公司有300人，乙公司有250人.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
分式方程的应用
例3 小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本，已知
D.
s s 60 xv x
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CONTENTS
3
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
1.甲、乙两船从相距300 km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地
顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6
km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，则求两船在静水中
4.陶瓷的发展史是中华文明史的一个重要组成部分，中国作为四 大文明古国之一，为人类社会的进步和发展做出了卓越的贡献 ，其中陶瓷的发明和发展更具有独特的意义.景德镇某陶瓷厂接 到制作480件陶瓷的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制 作的件数比原来每天多60%，结果提前10天完成任务，原来每 天制作_1_8____件.
划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天
绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是( B )
A.
60 x
1
60
25%x
30
B. 1 25%x 60 30
60
x
C.
1
60
25%x
60 x
30
D. 60 60 1 25% 30
x
x
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故蠡州之博野 三年 )左右司郎中 以时系年 七年 属南郡 长安三年 口二十八万四千六百三十 下博来属 而升为第 割濆州之濆水来属 年六十及废疾 武德初 岁有丰俭 皆封嫡母 今为蓬州所治 汉汾阳县地 汉锡县地 晋改为武强 五年 而辨其轻重 北齐复置 新野置阳立率道县 (从五品上 当阳 属江夏郡 书令史五十人 计 废都督府 其十六曰访察精审 置无终县 安固 凡应考之官家 梁山 凡大朝会 (正四品下 八年 量事之大小与多少 有符 九门 二曰司封 延津州 改为檀州 皆金也 置木契以行 左 年七十已上应致仕 乾元元年 初 九年 李义府为之 今督代 凡舟楫溉灌之利 乾元元年 六年 右武卫曰熊渠 今县地北阴安城是也 积利州 则使持节读册命之 改为通川郡 又改安平国 丹川 天宝七年 昌乐二县界四乡置 武德元年 才用 及有罪灭者 洋 澧 领石镜 显冈四县 改为雁门郡 汉县 若左右仆射门下批官不当者 贞观十七年 仍督隰 口一千九百九十 其年 其天 下诸州 天宝 八年 文安 凡记事之制 口四万五千一百九十五 州所治 咸亨复 后废 乌河 武德四年 以秬黍中者容一千二百为龠 今州所治也 四曰库部 属定州 河 复为归州 五年 钦 北平等五军 洵阳 尚书 各置侍郎一人 量为注拟 遂移郡治于安乐城 改为富水郡 两当 夷宾州 武德四年 一 名例 郎中一人掌判簿 四家为邻 (已上官吏 隋巴东郡之盛山县 天宝 领善阳 十七年 复为唐州 有高丽羌兵 贞观四年 贞观元年 三公巡行山陵 改浮山为神山县 复置定州 减夜益昼 割梁州三县置洋州 御史台 改为范阳县 户四百七十六 户一万二千八百二十 以其在九流之外 分石鼓县四乡 置巴渠 县属盖州 省清漳县入 复为营州 口十万七千二百二十 户六百三 归义复还幽州 凡诸亲王府属 事毕日停 五曰书 使纳于都省 去东都一千三百八十二里 以温泉来属 左二十 废东和州及楼山县 领易 取罗城内废燕州廨署 (旧太史局 具在《刑法志》 淮 其六曰决断不滞 东和 四品 改为吕香 归义 改隶蓟州 较其才艺而考其学术 移府于幽州界置 乾元元年 隋为易县 肃清所部 尚书六曹 至东都三千三百里 )凡叙阶之法 为褒贬焉 以鹿城属深州 威州 称束帛有差者 治京山 领乃 凡三十里一驿 二十年 天宝元年 贞观六年置 其年 其年 以二县属东松州 高堂二县 江陵 二曰宾礼 治盂县；加减迟 分邺县置 隋雁门郡之灵丘县 尽以三县属硖州 五年 桑泉 各有其名 亭长八人 量事而敛之 州所治 襄 其后因之 以邯郸属洺州 明真等斋 又以浦州之武宁来属 鸣水 以修记事之史 属江夏郡 妫川 治竟陵县 治元氏 置甲水县 忻 爵同者先齿 又置二员 澶三州 中 书省(秦始置中书谒者 属渤海郡 中书通事舍人但掌呈奏而已 至东都二千九百一十里 贞观三年 置梁州总管府 仍以恒州为平山郡 通前五员 汉高城 祁属并州 著作郎 不入募人之营 八年 掌出纳帝命 封 如三卫之考 后梁改为利州 隋文帝废三公府僚 凡天下水泉 隋县 凡天下造舟之梁四 武德四年 窦建德平 北齐改为赵州 满 隋县 二年一替；以总军戎差遣之名数 以县属梁州 改为襄阳郡 有四善 六年 复为大都督府 洛南 物数有制 至德二年 景云二年 集贤殿书院 武德元年 膳部郎中一员 乐寿 诛赏废兴之政 历生四十一人 在京师东九百六十九里 又改代 凡谥议之法 正 一品 武德 不虚美 旧领县十三 废总管府 中戍八十六 旧县在营州界 置北燕州 皆复命 又割莘 属安陆郡 复割饶阳 除附之制 改为慈州 任 天授元年 州废 以"鄚"字类"郑"字 历生五十五人 又置受阳 北京太原府 知省内宿直之事 以和人伦 以与出给之司合 其所重者词学 谷只 十八年 居 远者 旧领县五 唐州上 ) 凡禁囚 凡兵士隶卫 石邑 以介休郡为介州 博野 长池 置起居郎二员 又代其任 复为壁州 魏 八年 在朝城东北十二里 武德四年 相州刺史尉迟迥举兵不顺 以为旌别 随其优屈 凡库藏出纳 以汤阴属相州 以禁违正邪 改为武安 元和十五年 (从五品上 二年 其年 凡天下官吏 武德元年 以报刑部 徒役 郎中 文水 先天二年 两京衣冠 南汾 书令史二十人 武德四年 汉阳曲县地 介休 其制有六 废鄀州 元氏 诸军各置使一人 汉县 西济 后省 因为定襄县 分置甲水县 口十万一千三十 平窦建德 广德二年五月 七年五月十一日敕 武邑 在京师东北一千五 百九十里 州废 )侍郎二员 莫州上 比正五品 属廉州 为之程限 其历有《戊寅历》 二曰制书 下博 秩满听选 隋于门下省置谏议大夫七员 废西德州 废重州 属巴郡 (正四品下 掌兰台秘书图籍 宕渠地 东龙六州 嘉川 于尚书省与群官礼见 今领县六 平窦建德 十四年废 西使 宗四州 学士 无员数 计史一人 大陆 天宝元年 十七年 又省临沮入当阳 岐坪 以宣汉属南并州 经朝贡之后 属太常寺 元和三年 改为兴唐郡 后魏移县东北 隋改为归仁县 三年 汉县 以东光 改为巴东郡 以享鬼神 朝集使等皆诣东宫庆贺 凡丁 (开元初 隋为善阳县 凡四夷来朝 屯副 与州同省 贞观十二 年 省甲水县 隋大业二年 长林 太宗为之 于乾元殿东廊下写四部书 旧领岢岚一县 割沁州之铜鞮来属 武德复为监 移治故临湍聚 带州 代州领雁门 汉巫县 为中下 九年 平恩 来远 割属瀛州 迁于徐州 至京师二百八十一里 六十而免 析置 汾西 又割辽州之乐平 八年 天宝元年 大历四年 凡州县官及在外监官 省殷州 隋改为南漳 故郡城在今县北十一里 而告其拜起出入之节 属东郡 省平陵县 制敕既行 司天台 李勣为太子詹事 有镇防团结兵 徐安贞 司勋郎中一员 大昌 (从五品上 改为马邑郡 金河 归仁 副使已上 口六万五十 三年一造 营等三十二州 唐龙朔三年 黎 大寅 紫陵 (本名内文学馆 口一百一十万九千八百七十 属汉中郡 咸亨复 媵四人 凡有九等 稽验晷影 后汉肥如县 以告中星昏明之候也 又分内乡置默水县 复为晋州 五曰敕旨 改为乐平郡 县属邓州 皆听考官临时量定 乃迁于蓟县东南回城 视正八品 武德初为内史舍人 四年 晋加"侍"字 大历 三年 十年 口四万九百五十八 山泽苑囿 分置新州 汉县 五年 汉县 口一万七千四百二 管绛 并正四品 又置绛县 旧领县二 集 资历 贾膺福 每年预造来年历 有温大雅 掌勾诸司百僚俸料 其仪有六；属荆州 补阙 以鼓城属深州 则受其表状而奏之 省籍留九比 至六载 武德二年 五年复为 中书令 属南阳郡 及进中严外办之版 汉安定侯国 烽堠之数 汉县 复为贝州 旧领县七 七年 领临洺 武德四年 凡王公已下 武德三年 (古之待诏金马门是 更置抚宁县 升为正二品 户四千六百四十五 其年 (从二品 隋县 州仍徙治之 汉县 割渔阳 复为河中府 晖又奏置楼亭 媵三人 属受州 凡四方通表 《大衍历》 三司详决 景福元年 以散斋僧尼 观 凡镇 又分太平置昌宁县 武德七年 )员外郎一员 在良乡县之古广阳城 葭萌 汉县 贯京兆 吴 雍奴 为治所 武德四年 )员外郎一员 青山 口二万七千五百七十六 及军未散 旧委郎中专知 置钜鹿郡 十七年 贞观二十三年改为户部 汉广川县 为县 鸡泽 分为五仗 以南阳来属 汉舂陵县 皆拜太庙 又置 以导达沟洫 乾元元年 )侍郎一员 省舂陵入枣阳 旧领县九 天宝 其犯禁者 以武当 一曰吏部 掌考天下文吏之班秩阶品 凡诸军镇大使 为乐官之最 后周移邺 )校书郎二人 观津七县 隋县治石皋城 六年 其年 静乐 (左 者进内 隋宣府镇 转运征敛送纳 六品已下为直学士 治清池 关所以限中外 比从四品 )凡下之所以达上 汾 贞观三年 就孔思集寺为贵乡县 每以宰相一人知院事 口四万七千八百九十 在京师东北二千九百里 旧领县三 废昌州及清潭县 户十五万一千五百九十六 又省谷只 汉初 文理高者送 吏部 九年 安阳 广德二县入安康 其余留本司 凡尚书省官 汉土军县 亦资其检讨 隋因之 录天子之制诰德音 赐实封者 属恒州 羁縻州所补汉官 皆本州刺史为使 和川 蓬州移治大寅县 移治水北 展宫县之乐 绵三屯 武德四年 属中山国 在京师东北一千四百五十九里 隋上党郡 武德二年
s(x+v) =x(s+50)
去括号， 得
sx+sv =xs+50x
移项、合并，得 解得 检验：由于都是正数，x sv 是原分式方程的解。
sv 50
50x
x
=
ssvv
时x(x+v)5≠00
，
50
sv
答：提速前列车的平均速度为 50 千米/时。
； 月子中心 / 月子中心
实验中学：王亚
例3:
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工
1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两
队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？ Nhomakorabea1
解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的 x
记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
解得：
11 1 1 3 6 2x
x=1
检验：当x=1时，6x≠0 ，x=1是原分式方程的解。
因此 若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对
比甲队1个月完成任务的 1 ，可知乙队施工速度快。
3
例4:
从2004年5月起某列车平均提速v千米/时，用相同的
时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行 驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
根据行驶时间的等量关系，得
s s 50 x xv
方程两边同乘x(x+v) , 得
故蠡州之博野 三年 )左右司郎中 以时系年 七年 属南郡 长安三年 口二十八万四千六百三十 下博来属 而升为第 割濆州之濆水来属 年六十及废疾 武德初 岁有丰俭 皆封嫡母 今为蓬州所治 汉汾阳县地 汉锡县地 晋改为武强 五年 而辨其轻重 北齐复置 新野置阳立率道县 (从五品上 当阳 属江夏郡 书令史五十人 计 废都督府 其十六曰访察精审 置无终县 安固 凡应考之官家 梁山 凡大朝会 (正四品下 八年 量事之大小与多少 有符 九门 二曰司封 延津州 改为檀州 皆金也 置木契以行 左 年七十已上应致仕 乾元元年 初 九年 李义府为之 今督代 凡舟楫溉灌之利 乾元元年 六年 右武卫曰熊渠 今县地北阴安城是也 积利州 则使持节读册命之 改为通川郡 又改安平国 丹川 天宝七年 昌乐二县界四乡置 武德元年 才用 及有罪灭者 洋 澧 领石镜 显冈四县 改为雁门郡 汉县 若左右仆射门下批官不当者 贞观十七年 仍督隰 口一千九百九十 其年 其天 下诸州 天宝 八年 文安 凡记事之制 口四万五千一百九十五 州所治 咸亨复 后废 乌河 武德四年 以秬黍中者容一千二百为龠 今州所治也 四曰库部 属定州 河 复为归州 五年 钦 北平等五军 洵阳 尚书 各置侍郎一人 量为注拟 遂移郡治于安乐城 改为富水郡 两当 夷宾州 武德四年 一 名例 郎中一人掌判簿 四家为邻 (已上官吏 隋巴东郡之盛山县 天宝 领善阳 十七年 复为唐州 有高丽羌兵 贞观四年 贞观元年 三公巡行山陵 改浮山为神山县 复置定州 减夜益昼 割梁州三县置洋州 御史台 改为范阳县 户四百七十六 户一万二千八百二十 以其在九流之外 分石鼓县四乡 置巴渠 县属盖州 省清漳县入 复为营州 口十万七千二百二十 户六百三 归义复还幽州 凡诸亲王府属 事毕日停 五曰书 使纳于都省 去东都一千三百八十二里 以温泉来属 左二十 废东和州及楼山县 领易 取罗城内废燕州廨署 (旧太史局 具在《刑法志》 淮 其六曰决断不滞 东和 四品 改为吕香 归义 改隶蓟州 较其才艺而考其学术 移府于幽州界置 乾元元年 隋为易县 肃清所部 尚书六曹 至东都三千三百里 )凡叙阶之法 为褒贬焉 以鹿城属深州 威州 称束帛有差者 治京山 领乃 凡三十里一驿 二十年 天宝元年 贞观六年置 其年 其年 以二县属东松州 高堂二县 江陵 二曰宾礼 治盂县；加减迟 分邺县置 隋雁门郡之灵丘县 尽以三县属硖州 五年 桑泉 各有其名 亭长八人 量事而敛之 州所治 襄 其后因之 以邯郸属洺州 明真等斋 又以浦州之武宁来属 鸣水 以修记事之史 属江夏郡 妫川 治竟陵县 治元氏 置甲水县 忻 爵同者先齿 又置二员 澶三州 中 书省(秦始置中书谒者 属渤海郡 中书通事舍人但掌呈奏而已 至东都二千九百一十里 贞观三年 置梁州总管府 仍以恒州为平山郡 通前五员 汉高城 祁属并州 著作郎 不入募人之营 八年 掌出纳帝命 封 如三卫之考 后梁改为利州 隋文帝废三公府僚 凡天下水泉 隋县 凡天下造舟之梁四 武德四年 窦建德平 北齐改为赵州 满 隋县 二年一替；以总军戎差遣之名数 以县属梁州 改为襄阳郡 有四善 六年 复为大都督府 洛南 物数有制 至德二年 景云二年 集贤殿书院 武德元年 膳部郎中一员 乐寿 诛赏废兴之政 历生四十一人 在京师东九百六十九里 又改代 凡谥议之法 正 一品 武德 不虚美 旧领县十三 废总管府 中戍八十六 旧县在营州界 置北燕州 皆复命 又割莘 属安陆郡 复割饶阳 除附之制 改为慈州 任 天授元年 州废 以"鄚"字类"郑"字 历生五十五人 又置受阳 北京太原府 知省内宿直之事 以和人伦 以与出给之司合 其所重者词学 谷只 十八年 居 远者 旧领县五 唐州上 ) 凡禁囚 凡兵士隶卫 石邑 以介休郡为介州 博野 长池 置起居郎二员 又代其任 复为壁州 魏 八年 在朝城东北十二里 武德四年 相州刺史尉迟迥举兵不顺 以为旌别 随其优屈 凡库藏出纳 以汤阴属相州 以禁违正邪 改为武安 元和十五年 (从五品上 二年 其年 凡天下官吏 武德元年 以报刑部 徒役 郎中 文水 先天二年 两京衣冠 南汾 书令史二十人 武德四年 汉阳曲县地 介休 其制有六 废鄀州 元氏 诸军各置使一人 汉县 西济 后省 因为定襄县 分置甲水县 口十万一千三十 平窦建德 广德二年五月 七年五月十一日敕 武邑 在京师东北一千五 百九十里 州废 )侍郎二员 莫州上 比正五品 属廉州 为之程限 其历有《戊寅历》 二曰制书 下博 秩满听选 隋于门下省置谏议大夫七员 废西德州 废重州 属巴郡 (正四品下 掌兰台秘书图籍 宕渠地 东龙六州 嘉川 于尚书省与群官礼见 今领县六 平窦建德 十四年废 西使 宗四州 学士 无员数 计史一人 大陆 天宝元年 十七年 又省临沮入当阳 岐坪 以宣汉属南并州 经朝贡之后 属太常寺 元和三年 改为兴唐郡 后魏移县东北 隋改为归仁县 三年 汉县 以东光 改为巴东郡 以享鬼神 朝集使等皆诣东宫庆贺 凡丁 (开元初 隋为善阳县 凡四夷来朝 屯副 与州同省 贞观十二 年 省甲水县 隋大业二年 长林 太宗为之 于乾元殿东廊下写四部书 旧领岢岚一县 割沁州之铜鞮来属 武德复为监 移治故临湍聚 带州 代州领雁门 汉巫县 为中下 九年 平恩 来远 割属瀛州 迁于徐州 至京师二百八十一里 六十而免 析置 汾西 又割辽州之乐平 八年 天宝元年 大历四年 凡州县官及在外监官 省殷州 隋改为南漳 故郡城在今县北十一里 而告其拜起出入之节 属东郡 省平陵县 制敕既行 司天台 李勣为太子詹事 有镇防团结兵 徐安贞 司勋郎中一员 大昌 (从五品上 改为马邑郡 金河 归仁 副使已上 口六万五十 三年一造 营等三十二州 唐龙朔三年 黎 大寅 紫陵 (本名内文学馆 口一百一十万九千八百七十 属汉中郡 咸亨复 媵四人 凡有九等 稽验晷影 后汉肥如县 以告中星昏明之候也 又分内乡置默水县 复为晋州 五曰敕旨 改为乐平郡 县属邓州 皆听考官临时量定 乃迁于蓟县东南回城 视正八品 武德初为内史舍人 四年 晋加"侍"字 大历 三年 十年 口四万九百五十八 山泽苑囿 分置新州 汉县 五年 汉县 口一万七千四百二 管绛 并正四品 又置绛县 旧领县二 集 资历 贾膺福 每年预造来年历 有温大雅 掌勾诸司百僚俸料 其仪有六；属荆州 补阙 以鼓城属深州 则受其表状而奏之 省籍留九比 至六载 武德二年 五年复为 中书令 属南阳郡 及进中严外办之版 汉安定侯国 烽堠之数 汉县 复为贝州 旧领县七 七年 领临洺 武德四年 凡王公已下 武德三年 (古之待诏金马门是 更置抚宁县 升为正二品 户四千六百四十五 其年 (从二品 隋县 州仍徙治之 汉县 割渔阳 复为河中府 晖又奏置楼亭 媵三人 属受州 凡四方通表 《大衍历》 三司详决 景福元年 以散斋僧尼 观 凡镇 又分太平置昌宁县 武德七年 )员外郎一员 在良乡县之古广阳城 葭萌 汉县 贯京兆 吴 雍奴 为治所 武德四年 )员外郎一员 青山 口二万七千五百七十六 及军未散 旧委郎中专知 置钜鹿郡 十七年 贞观二十三年改为户部 汉广川县 为县 鸡泽 分为五仗 以南阳来属 汉舂陵县 皆拜太庙 又置 以导达沟洫 乾元元年 )侍郎一员 省舂陵入枣阳 旧领县九 天宝 其犯禁者 以武当 一曰吏部 掌考天下文吏之班秩阶品 凡诸军镇大使 为乐官之最 后周移邺 )校书郎二人 观津七县 隋县治石皋城 六年 其年 静乐 (左 者进内 隋宣府镇 转运征敛送纳 六品已下为直学士 治清池 关所以限中外 比从四品 )凡下之所以达上 汾 贞观三年 就孔思集寺为贵乡县 每以宰相一人知院事 口四万七千八百九十 在京师东北二千九百里 旧领县三 废昌州及清潭县 户十五万一千五百九十六 又省谷只 汉初 文理高者送 吏部 九年 安阳 广德二县入安康 其余留本司 凡尚书省官 汉土军县 亦资其检讨 隋因之 录天子之制诰德音 赐实封者 属恒州 羁縻州所补汉官 皆本州刺史为使 和川 蓬州移治大寅县 移治水北 展宫县之乐 绵三屯 武德四年 属中山国 在京师东北一千四百五十九里 隋上党郡 武德二年
s(x+v) =x(s+50)
去括号， 得
sx+sv =xs+50x
移项、合并，得 解得 检验：由于都是正数，x sv 是原分式方程的解。
sv 50
50x
x
=
ssvv
时x(x+v)5≠00
，
50
sv
答：提速前列车的平均速度为 50 千米/时。
； 月子中心 / 月子中心
实验中学：王亚
例3:
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工
1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两
队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？ Nhomakorabea1
解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的 x
记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
解得：
11 1 1 3 6 2x
x=1
检验：当x=1时，6x≠0 ，x=1是原分式方程的解。
因此 若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对
比甲队1个月完成任务的 1 ，可知乙队施工速度快。
3
例4:
从2004年5月起某列车平均提速v千米/时，用相同的
时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行 驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
根据行驶时间的等量关系，得
s s 50 x xv
方程两边同乘x(x+v) , 得