2013年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2013•广州二模）对于任意向量、、，下列命题中正确的是（）|•|=||||+|=||+丨•）=（••=||2
=||||cos，∴|||
|+||+||，只有当同向时取
）是向量，其方向与向量相同，（）与向量的方向相同，∴
=|||
22
的距离为
3．（5分）（2013•广州二模）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px+q=0（p、q∈R）的一个解，
，解得
4．（5分）（2013•广州二模）已知函数y=f（x）的图象如图l所示，则其导函数y=f'（x）的图象可能是（）B
5．（5分）（2013•广州二模）若函数的一个对称中心是，则ω×）+=k+
解：∵函数的一个对称中心是
ω×）+，
6．（5分）（2013•广州二模）一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l：7的上、下两部分，则截面的面积为．
B
的小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方，，
，
=
7．（5分）（2013•广州二模）某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即
，利用基本不等式即可求得这辆汽车报废的最佳年限．
=15+1.5n++
=0.15n++1.65=2
0.15n=取得最小值．
及年平均费用
8．（5分）（2013•广州二模）记实数x1，x2，…，x n中的最大数为max{x1，x2，…，x n}，最小数为min{x1，
2
B
，抛物线
解方程组（，
x+6}}=
故答案为
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
9．（5分）（2013•广州二模）某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次为2：3：4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n=54．
=12
10．（5分）（2013•广州二模）已知α为锐角，且，则sinα=．
）的值，所求式子
∈，
），
）=
）﹣）cos﹣+sin=××=故答案为：
11．（5分）（2013•广州二模）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成216个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．
=120不排在个位，它又不能排在万位，故有三个位置可排，有
中选三个在在其他三个位置自由排列，有
所以共有=72
，在其他四个位置自由排列，有
12．（5分）（2013•广州二模）已知函数f（x）=x2﹣2x，点集M={（x，y）|f（x）+f（y）≤2}，N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则M∩N所构成平面区域的面积为2π．
其面积为圆面积的一半，即为
13．（5分）（2013•广州二模）数列{a n}的项是由l或2构成，且首项为1，在第k个l和第k+1个l之间有2k﹣1 个2，即数列{a n} 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列{a n}的前n项和为S n，则S20=36；S2013=3981．
14．（5分）（2013•广州二模）（几何证明选讲选做题）
在△BC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE=BD，延长AE交BC于点F，则的
值为．
利用平行线分线段成比例定理即可得出
，∴=．
故答案为
15．（2013•广州二模）（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距
离为d，则丨PA丨+d的最小值为．
，
故答案为：
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（12分）（2013•广州二模）某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m，BC=70m，CA=50m．假定A、B、C、O四点在同一平面内．
（1）求∠BAC的大小；
（2）求点O到直线BC的距离．
，求得cosA===
=，解得
的距离
17．（12分）（2013•广州二模）已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA 的中点．
（1）在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足|PH|＜的概率；
（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．
|PH|
这八个点中，随机选取两个点，共可得到
的所有可能取值分别为
|PH|
=
．
的概率为
这八个点中，随机选取两个点，共可得到
；长度等于
；长度等于；长度等于
，
=，）====
=
18．（14分）（2013•广州二模）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足
（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C （如图2）．
（1）求证：A1D丄平面BCED；
（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为600？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．
中，根据，从而得到
x x PB=时，直线
，且==
=
