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相互独立的随机变量的方差公式相互独立的随机变量，是指两个或多个随机变量完全独立，即当其中一个随机变量发生变化时，另一个随机变量不会受到影响。
它也被称为“完全独立的随机变量”，是概率论中比较重要的概念。
如何用方差公式衡量相互独立的随机变量？方差公式可以用来衡量相互独立的随机变量，方差公式是指：当一组随机变量X1，X2，X3，……，Xn服从某一分布模型，其期望值为μ，则X1，X2，X3，……，Xn的方差公式可以定义为：σ^2=E[(X1-μ)^2+(X2-μ)^2+...+(Xn-μ)^2]。
另外，如果有两个相互独立的随机变量X和Y，则它们的方差之和可以用如下的方式计算：σ^2X+σ^2Y=E[(X-μx)^2] + E[(Y-μY)^2]。
计算相互独立的随机变量的方差公式计算相互独立的随机变量的方差公式，可以使用以上提到的两个公式，即：σ^2=E[(X1-μ)^2+(X2-μ)^2+...+(Xn-μ)^2]和σ^2X+σ^2Y=E[(X-μx)^2] + E[(Y-μY)^2]。
例如，如果有三个相互独立的随机变量X1, X2, X3，则方差公式为：σ^2=E[(X1-μ)^2+(X2-μ)^2+(X3-μ)^2]。
又例如，如果有两个相互独立的随机变量X和Y，则它们的方差之和可以用公式σ^2X+^2Y=E[(X-μx)^2] + E[(Y-μY)^2]来计算。
相互独立的随机变量的方差公式的应用在统计学和概率论中，方差公式是计算分布和数据的偏差的重要参数。
它能够准确反映样本空间的分布情况。
进一步来讲，方差公式也可以用来计算相互独立的随机变量之间的关系。
例如，通过计算不同变量之间的方差比，我们可以比较这些变量之间的相关性。
另外，它还可以用来估计待检变量的方差，从而检验样本的变异性，这在实际的科学研究中也非常有用。
本文所介绍的方差公式对于研究相互独立的随机变量之间的关系也非常有用。
它能够帮助我们精确地计算和比较变量之间的差异，从而使实验结果更加准确。
§3.4相互独立的随机变量
定义1 设(,)F x y 及(),()F x F y X Y
分别是二维随机变量(,)X Y 的分布函数及边缘分布函数，若对所有,x y 有
{}{}{},P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤
即(,)()()F x y F x F y X Y
= 则称随机变量X 和Y 是相互独立的
例1、设（X,Y ）的分布函数：
(),0,0,0,x y y x A e e e x y F x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-+----+>>=其它
求:1)A ; 2)边缘分布函数； 3） X 与Y 是否独立.
一、二维离散型随机变量的相互独立性
设二维离散型随机向量（X,Y ）的联合概率分布为
,,,1,2,P X x Y y p i j i j ij
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==== ，
若
,,,1,2,P X x Y y P X x P Y y i j i j i j
⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
====== . 则称X,Y 相互独立
例2 、设二维离散型随机向量（X,Y ）的联合概率分布为
证明：X,Y 相互独立
例3、设二维离散型随机向量（X,Y ）的联合概率分布为
2 问α，β取何值时，X,Y 相互独立。
二、二维连续型随机变量的相互独立性 定理：设X,Y 的分布密度分别为()f x X ，()f y Y ，(),X Y 的联合分布密度为(),f x y ，
则X,Y 独立的充要条件是()()(),f x y f
x f y X Y
=，任意()2,x y R ∈
例4 、一负责人到达办公室的时间均匀分布在8～12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7～9时．设他们两人到达的时间是相互独立的，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（1/12小时）的概率 ．
例5、 设()22,,,,,1212X Y N μμσσρ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ,则X 和Y 相互独立的充要条件为0ρ=.
例6、设()(),1,01
,10X Y N ；；，求()0p XY Y -<.
例7、设(),X Y 的联合分布密度为
()()1,0,02,0,f x y x y e x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-++>>=其它 判断X,Y 是否独立.
例8、设(),X Y 在由曲线22
x y =和y x =所围的有限区域内均匀分布.
（1）求(),X Y 的联合分布密度；
（2）计算()f x X ，()f y Y
； （3）X,Y 是否独立。
.
随机变量的独立性可以推广到n 维随机变量的情况。
设(,,,),()(1,2,,)12F x x x F x i n n i X i
= 分别是n 维随机变量(,,,)12
X X X n 的分布函数和边缘分布函数，若对任意实数,,,12x x x n ，有 (,,,)()()()121212
F x x x F x F x F x n n X X X n =
则称,,,12
X X X n 是相互独立的。
故连续型随机变量,,,12X X X n 相互独立的充要条件是
(,,,)()()()121212f x x x f x f x f x n n X X X n = 离散型随机变量,,,12X X X n 相互独立的充要条件是
{},,,11221122P X x X x X x n n P X x P X x P X x n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭=======。
