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《一元二次不等式的应用》课件1(北师大版必修5)

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北师大版必修5__3[1]2《一元二次不等式》课件ppt

北师大版必修5__3[1]2《一元二次不等式》课件ppt

x2+bx+c=0
根
等实根
的根
x1,x2(x1<x2) x1=x2
ax2+bx的+c解>集0（a>0﹛）x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
ax2+bx+c<0 的解集
(a>0)﹛x|x1<x<x2 ﹜
Φ
无实根 R Φ
例：解不等式：3x2 5x 2 0
例：解不等式： 9x2 6x 1 0
例：解不等式： x2 4x 5 0
例：解不等式： 2x2 x 1 0
例：解不等式： x2 4x 4 0
典例精讲：
例2：已知不等式 ax2 bx的解1 集0
是
，x求3 实x数 4 的值. a, b
例：设A，B分别是不等式3x2 6 19x
与不等式 2x2 3x的 5解集0 ，试求
x 3
研究二次函数y=x2-2x-3的图象,图像如下：
(1).当x取 _____x_=__-1__或3时，y=0？ 当x取 ______-1_<_x_<_3 时，y<0？ 当x取 ___x_<_-_1__或__ x时>3，y>0?
问题探究：
(2).由图象写出 不等式x2-2x-3 <0 的解集
为
﹛x|-1<x<3﹜
例：已知ax2 (1 a)恒x 成1 立0，
求a的取值范围。
解： 不等式恒成立，即解集为R
y
y ax2 (1 a)x 1的大致图像如图：
O
x
a 0, 0
由 (1 a)2 4a 0解得：3 2 2 a 3 2 2
又a 0

高中数学 第一部分 第三章 §2 2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5

高中数学 第一部分 第三章 §2 2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5
①(－∞，0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2，＋∞)．
提示：①f(x)＜0；②f(x)＞0；③f(x)＜0；④f(x)＞0.
高次不等式的解法
对于形如(x－a)(x－b)(x－c)＞0(＜0)的不等式，可
以把函数f(x)的图像与x轴的交点形象地看成“ 针眼 ”， 函数f(x)的图像看成“ 线 ”，穿线后观察图像得到不等式 解集的方法称为 穿针引线法 ．
于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2 000＞0，
解得x＞40或x＜－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车
的车速超过40 km/h，超过规定限速．综上所述，甲车无 超速现象，而乙车有超速现象．
8．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成
本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为 1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品 档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增 加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比 例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.
母的正负进行讨论．
2．应用一元二次不等式解决实际问题 的关键是把实际问题转化为数学模型，解
不等式时，要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意变量的实际意义．
答案：(－4,2)
x＋1 3．解不等式 ≤2. x－2
x＋1 解：法一：移项得 －2≤0， x－2 左边通分并化简得 －x＋5 x－5 ≤0，即 ≥0， x－2 x－2
x－2x－5≥0， 可转化为 x－2≠0
∴x＜2 或 x≥5， ∴原不等式的解集为{x|x＜2，或 x≥5}．
[一点通]
一元高次不等式f(x)＞0用穿针引线法
求解，其步骤是
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；

《2.2 一元二次不等式的应用》课件1-优质公开课-北师大必修5精品

《2.2 一元二次不等式的应用》课件1-优质公开课-北师大必修5精品

2- x
C ).
2 已知集合 A={x|3x-2-x <0},B={x|x-a<0}且 B⊆A,则 a 的取值 2 范围是( A ). A.a≤1 B.1<a≤2 C.a>2 D.a≤2
【解析】由题意得 A={x|x<1 或 x>2},B={x|x<a}, ∵B ⊆ A,∴a≤1.
3 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,
������ ������
2 2
x 2 -8x+20
简单的高次不等式解法 解不等式:(x-1)(3-x)(x+ )<0.
2 1
������ ������
【解析】将原不等式化为(x-1)(x-3)(x+ )>0, 令 y=(x-1)(x-3)(x+ ),则 y=0 的根为 1,3,- ,将其分别标在数轴
《2.2 一元二次不等式的应用》
课件1
1.熟悉简单的一元高次不等式和分式不等式的解法. 2.理解一元二次方程根的分布问题.
3.会用一元二次不等式解决实际问题.
上一课时我们共同学习了一元二次不等式的解法,并 能解简单的一元二次不等式,一元二次不等式及其解法是 一种重要的数学工具,是集合、函数、不等式等知识的综 合交汇点,地位重要,这一讲我们将共同探究一元二次不
一点画曲线(注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又
过);
(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律,写出
不等式
的解集
.
由上归纳出重要步骤:①化标(化成标准形式);②找根;③标根 ;④串根(奇透偶不透).
问题2
f(x)·g(x) ≥ 0, (3)g (x )≥0⇔ g(x) ≠ 0. f(x)·g(x) ≤ 0, f (x ) (4) ≤0⇔ g (x ) g(x) ≠ 0.

高中数学第三章不等式2.2一元二次不等式的应用课件北师大版必修5

高中数学第三章不等式2.2一元二次不等式的应用课件北师大版必修5
2 S乙＝0.05x乙＋0.005 x乙 >10.
解答
2 甲 >12，
分别求解，得x甲<－40或x甲>30，x乙<－50或x乙>40. 由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
类型二 例2 解下列不等式： x－3 (1) <0； 解答 x＋2
分式不等式和高次不等式的解法
x－3 <0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， x＋2 ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}.
x＋1 (2) ≤1； 解答 2x－3
x＋1 x＋1 －x＋4 x－4 ∵ ≤1，∴ －1≤0，∴ ≤0，即 3≥0. 2x－3 2x－3 2x－3 x－2
3 此不等式等价于(x－4)x－2 ≥0
1 1 ∴x<－3或 x≥2，
1 1 ∴原不等式的解集为xx<－3或x≥2 .
2 －x ≥0. 3x＋1
解答
类型三
不等式的恒成立问题
例3 设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围； 解答 要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0，满足题意；
知识点二
穿针引线法解高次不等式
思考
分别画出y＝x－1，y＝(x－1)(x－2)，y＝(x－1)(x－2)(x－3)的 图像，并观察它们与相应的 x － 1>0 ， (x － 1)(x － 2)>0 ， (x － 1)(x－2)(x－3)>0的关系.
答案
梳理
一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a<b<c)的图像是一条连续不断的曲线，且

3.2.2一元二次不等式的应用 课件(北师大版必修五)

3.2.2一元二次不等式的应用 课件(北师大版必修五)

必修5
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 资 源
BS ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修5
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
1. 会求解方程根的存在性问题和不 课标解读 等式恒成立问题(重点、难点). 2. 会解简单的分式不等式和简单的 高次不等式(重点).
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜
单
BS ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修5
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
●教学建议 解分式不等式的关键是转化， 根据实数运算的符号法则， 分式不等式的同解变形有如下几种： f （x ） f （x ） (1) >0⇔ f (x )g(x )>0；(2) <0⇔ f (x )g(x )<0； g（x ） g（x ） f （x ） f （x ） (3) ≥ 0⇔ f (x )g(x ) ≥ 0 且 g(x ) ≠ 0 ； (4) ≤ g（x ） g（x ） 0⇔ f (x )g(x )≤0 且 g(x )≠0.
必修5
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
BS ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修5
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源

高中数学必修五北师大版 一元二次不等式的应用 课件(60张)

高中数学必修五北师大版 一元二次不等式的应用 课件(60张)

不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．
规律方法 解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一 定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特 值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的 点应去掉；③总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次 方根只穿，但不过”，如上图.
解不等式(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0. 【分析】 如果多项式f(x)可分解为n个一次或二次因
【尝试解答】 设f(x)＝x2＋(a＋1)x＋2a. (1)若方程的两根均大于1，如图1所示，则有 Δ≥0 f1>0 a＋1 － 2 >1 a＋12－8a≥0 ⇒2＋3a>0 a<－3
a≥3＋2 2或a≤3－2 2 2 ⇒a>－3 a<－3 解得a∈∅，即不存在．
高次不等式的解法
【例2】
解下列不等式．
(1)x3－2x2＋3<0； (2)(x＋1)(1－x)(x－2)>0； (3)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.
【思路探究】
通过因式分解，把高次不等式化为一
元一次不等式或一元二次不等式的积问题，然后再依据相 关性质解答．
【尝试解答】
(1)原不等式可化为(x＋1)(x2－3x＋
第三章
不等式
§2
一元二次不等式
2.2 预习篇
一元二次不等式的应用
巩固篇
课堂篇
课时作业 提高篇
学习目标
1.掌握一元二次方程根的分布问题. 2.会解简单的分式不等式与一元高次不等式. 3.能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题.
重点难点
重点：让学生体会问题的转化过程. 难点：体现在形式的转化与方法的转化.

3.2.2《一元二次不等式的应用》课件(北师大版必修5)

3.2.2《一元二次不等式的应用》课件(北师大版必修5)

• ． • 2．若ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是∅，则a，b，
c满足的条件是 . a＞0，b2－4ac＜0 • 3．二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(x∈R)的部分对应 值如表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
1 {2} 1．不等式4x2－4x＋1≤0的解集是
解析：
原不等式等价于(2x－1)(3x＋1)＞0，
1 1 ∴x＜－3或 x＞2.
答案： A
x－1 2．不等式 log2 x ≥1 的解集为( A．(－∞，－1] C．[－1,0)
)
B．[－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
x－1 x＋1 解析： 由已知得 x ≥2，即 x ≤0， 由此解得－1≤x＜0.
其解集如图的阴影部分．
• ∴原不等式解集为{x|x<－5或－5<x<－4或
x>2}．
x2－4x＋1 x2－4x＋1－3x2＋7x－2 (2) 2 <1⇔ <0 3x －7x＋2 3x2－7x＋2 －2x2＋3x－1 2x－1x－1 ⇔ 2 <0⇔ >0 3x －7x＋2 3x－1x－2 ⇔(2x－1)(x－1)(3x－1)(x－2)>0.
[题后感悟]
(1)数形结合法解恒成立问题，
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) ①f(x)＞0 在 x∈R
a＞0 上恒成立⇔ Δ＜0 a＜0 上恒成立⇔ Δ＜0
；
②f(x)＜0 在 x∈R
；
③a＞0 时，f(x)＜0
fα＜0 在区间[α，β]上恒成立⇔ fβ＜0
1.解不等式： (1)(x＋4)(x＋5)2(2－x)3＜0； x2－4x＋1 (2) 2 ＜1； 3x －7x＋2 x2－2x＋1 (3) 2 ≥0. x ＋9x－10

一元二次不等式的应用(一)课件(北师大版必修五)

一元二次不等式的应用(一)课件(北师大版必修五)

返回
即f(x)>0，其中f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an，将f(x)分解为 若干个一次因式的积
a0(x-x1)(x-x2)…（x-xk）>0， 其中a0>0，x1<x2<…<xk-1<xk(1≤k≤n)，如图所示.
这个k值将数轴分为k+1个区间（xk，+∞）,(xk1,xk),(xk-2,xk-1),…这k+1个区间从右到左依次编号为第 1，2，3，…，k+1号，那么f(x)>0的解集为第1，3， 5，…奇数号区间的并集.
【分析】对于高次不等式f(x)<0(或f(x)>0)的题目，若f(x)
可分解为几个含x的一次因式，则可利用列表法或穿针 引线法.
返回
【解析】 (1)解法一：∵(x-6)2≥0, ∴x2-4≤0, 解x2-4≤0，得-2≤x≤2,但x=6符合题意，
{x|-2≤x≤2}, 又∵6
∴原不等式的解集为{x|-2≤x≤2或x=6}.
x+2 x-1 x-5 x-6
(x - 1)(x - 5) (x 2)(x - 6)
+
-
+
-
+
由上表可知，原不等式解集是{x|x<-2或1<x<5或x>6}.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
返回
【分析2】这是一个分式不等式，其左边是两个关于x二次 式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：

x2-6x+5<0 12+4x-x2>0
3.不等式的应用问题包括实际应用问题、根的分布问
题、恒成立问题等.

高中数学 第三章 不等式 2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5.pptx

高中数学 第三章 不等式 2.2 一元二次不等式的应用课件 北师大版必修5.pptx

fx·gx≤0， gx≠0 ；
fx (3) gx
≥a⇔
fx－agx gx
≥0.
6
知识点二 穿针引线法解高次不等式
思考
分别画出y＝x－1，y＝(x－1)(x－2)，y＝(x－1)(x－2)(x－3)的 图 像 ， 并 观 察 它 们 与 相 应 的 x － 1>0 ， (x － 1)(x － 2)>0 ， (x － 1)(x－2)(x－3)>0的关系. 答案
13
பைடு நூலகம்
反思与感悟
一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准 确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应 注意变量具有的“实际含义”.
15
跟踪训练1 在一个限速40 km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行， 发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车 距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲，乙两种车型的 刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2， S乙＝0.05x＋0.005x2.问谁应负超速行驶主要责任. 解答
10
梳理
一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝ f(x)在区间[a，b]上的图像全部在x轴 上 方.区间[a，b]是不等式f(x)>0的 解集的子集 . 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即： 若f(x)有最大值，则k≥f(x)恒成立⇔k≥ f(x)max ； 若f(x)有最小值，则k≤f(x)恒成立⇔k≤ f(x)min .
x－3 (1)x＋2<0； 解答 x－3 x＋2 <0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}.

3.2.2《一元二次不等式的应用》课件(北师大版必修5)

3.2.2《一元二次不等式的应用》课件(北师大版必修5)
• 2.2 一元二次不等式的应用
• 1.会求解方程根的存在性问题和恒成立问题． • 2.会解一元三次不等式及可化为一元二次(或三
次)不等式的分式不等式． • 3.能从实际情境中抽象出一元二次不等式模型， 并加以解决.
• 1.对解分式不等式及恒成立问题的考查是本节
的热点． • 2.本节内容常与方程、函数、图像结合命题． • 3.三种题型均可能出现.
2x2＋x－1x2＋2x－3≥0 即为 2 x ＋2x－3≠0 2x－1x＋1x＋3x－1≥0 即等价变形为 x≠－3且x≠1
如下图所示，可得原不等式解集为
1 xx<－3或－1≤x≤ 或x>1 2
.
2x2＋x－1 (也可将 2 ≥0 转化为不等式组得 x ＋2x－3
[题后感悟]
(1)数形结合法解恒成立问题，
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) ①f(x)＞0 在 x∈R
a＞0 上恒成立⇔ Δ＜0 a＜0 上恒成立⇔ Δ＜0
；
②f(x)＜0 在 x∈R
；
③a＞0 时，f(x)＜0
fα＜0 在区间[α，β]上恒成立⇔ fβ＜0
g0＞0 可得 g4＞0
x2－4x＋4＞0 ，即 2 x ＞0
，
解得 x≠0 且 x≠2， 即 x 的取值范围为{x|x∈R 且 x≠0，x≠2}
• (2)解分式不等式注意的问题： • ①解分式不等式一定要等价变形为标准形式，
就是右边为零，左边为分式再等价转化为不等 式组或高次不等式来求解． • ②若分式不等式含等号，等价转化为整式不等 式时，其分母不为零最易丢掉，这一点一定要 注意． • ③当分式不等式分母正负不确定时不可通过不 等式两边同乘以分母的方法转化为整式不等 式．

一元二次不等式的应用北师大版ppt课件

一元二次不等式的应用北师大版ppt课件
例 9 m 为何值时 ,方程 x2 (m 3) x m 0 有实数解 ? 解 方程 x2 (m 3)x m 0 有实数解,等价于 (m 3)2 4m 0 ,
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
2.解不等式 (x－1)(x＋2)(2x－1)≥0 解析：如图所示，由穿针引线法可知原不等式
1 的解集为[－2，2]∪[1，＋∞)．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
∴原不等式的解集为{x|x≤1，或 x>2}．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
(2)原不等式可改写为24xx－ －13＋1<0，即64xx－ －43<0， ∴(6x－4)(4x－3)<0， ∴23<x<34， ∴原不等式的解集为{x|23<x<34}．
-1 o 1 2 3 x
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用

高中数学 第三章 一元二次不等式课件 北师大版必修5

高中数学 第三章 一元二次不等式课件 北师大版必修5

求得x2-2x-3＝0的两根为x1=-1，x2=3 所以二次函数y=x2-2x-3的图象如图:
y y=x2-2x-3
-1
o
3
x
问题探究：
研究二次函数y=x2-2x-3的图象,图像如下： (1).当x取 当 x取 当 x取
x= -1 或3 __________ -1<x<3 __________ x<-1 或 x>3 __________
练一练
• P78－练习1第3题 • P80－练习2第3题
小结
（1）不等式的解集的运算：注意利用数轴进 行集合的交集和并集的运算 （2）含参变量的不等式问题： 注意区分自变量和参变量 注意比较两根的大小，利用分类 讨论的数学思想 求参变量的取值问题，借助二次 函数的图像，利用数形结合的数学思想
x
y
0
y
0
x
x
O
x1
x2
O
b 2a
O
一元二次不等式定义：
定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数
是二次的不等式叫做一元二次不等式. 形如: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)
问题：如何解一元二次不等式呢？
例：解一元二次不等式x2-2x-3<0
分析：
令 y=x 2 -2x-3，得到一元二次函数。
2
解： 不等式恒成立，即解集为R
O
y
y ax2 (1 a) x 1 的大致图像如图：
a 0, 0
x
由 (1 a) 2 4a 0解得：3 2 2 a 3 2 2
又a 0

北师大版高中数学必修五课件一元二次不等式的应用

北师大版高中数学必修五课件一元二次不等式的应用

式不等式.
解:(1)由 ������+2 < 0, 得 ������+2 > 0,
1-������
������-1
此不等式等价于(x+2)(x-1)>0,
解得 x<-2 或 x>1,
故原不等式的解集为{x|x<-2 或 x>1}.
目标导航
Z知识梳 H理ISHISHULI
D典例透析 IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二 解一元高次不等式 【例2】 解不等式:(1)x(x-1)(x-2)(x+3)>0; (2)(x2+2x-3)(x-1)(-8x+24)≤0. 分析:本题考查一元高次不等式的解法问题.一般利用穿针引线 法,先将原式化为标准式,再用数轴标根法,求出解集.(2)中最高次项 的系数为负,应先转化为正. 解:(1)把各因式的根在数轴上标出来,如图所示.
解得 x<2 或 x≥5.
故原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.
方法二:原不等式可化为
������ ������
--52≥0,
此不等式等价于 ������-5 ≥ 0, 或 ������-5 ≤ 0, ������-2 > 0 ������-2 < 0,
解得 x≥5 或 x<2.
故原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.
由图可知原不等式的解集为{x|x<-3或0<x<1或x>2}.
目标导航
Z知识梳 H理ISHISHULI
D典例透析 IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN

2019-2020学年数学北师大版必修5课件：3.2.2 一元二次不等式的应用

2019-2020学年数学北师大版必修5课件：3.2.2 一元二次不等式的应用

即������������--52>0, 此不等式等价于(x-2)(x-5)>0,所以 x<2 或 x>5.
所以原不等式的解集为{x|x<2 或 x>5}.
方法二:原不等式可化为������������--52>0,
此不等式等价于 ������-5 > 0,①或 ������-5 < 0,②
������-2 > 0
此不等式等价于
������ + 3 ≥ 0,解得 ������-2 ≠ 0,
x≥-3,且
x≠2.
所以原不等式的解集为{x|x≥-3,且 x≠2}.
-13-
2.2 一元二次不等式的应用
探究一
探究二
探究三
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探究二 一元高次不等式的解法
【例2】 求下列不等式的解集; (1)x(x-1)(1-2x)>0; (2)x(x+1)(x-3)(x-2)2<0; (3)x3-2x2+3<0; (4)-������������22++2���������+���-36<0.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
-9-
2.2 一元二次不等式的应用
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探究一 分式不等式的解法
【例 1】 (1)���3���+-���7��� <0;(2)������������+-21≤2.
分析:先把分式不等式化为标准分式不等式,再转化为整式不等 式进行求解.
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分析：
令y=x 2 -2x-3，得到一元二次函数。
求得x2-2x-3＝0的两根为x1=-1，x2=3 所以二次函数y=x2-2x-3的图象如图:
y y=x2-2x-3
-1
o
x 3
问题探究：
研究二次函数y=x2-2x-3的图象,图像如下： (1).当x取 当x取 当x取
x= -1 或3 __________ -1<x<3 __________ x<-1 或 x>3 __________
（2）确定不等式的解集：
ax2 bx c 0 的解集就是确定函数 y ax2 bx c
图像在X轴下方时，其x的取值范围
2 的解集就是确定函数 y ax bx c ax bx c 0
2
图像在X轴上方时，其x的取值范围
一元二次不等式解集表（a>0)
⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程 x2+bx+c=0 的根 ⊿>0
例：求x 2 x 3 0的根
2
方法一：
(2) (2) 4 (3) x 1 2 x1 1, x2 3 2
2
方法二： 2
x 2x 3 ( x 1) 4 0,( x 1) 4
2 2
x 1 2,即x 1 2, x1 1, x2 3
2
例：解不等式：9 x 6 x 1 0
2
例：解不等式： x 4 x 5 0
2
例：解不等式：
2x x 1 0
2
例：解不等式：
x 4x 4 0
2
典例精讲：
例2：已知不等式 ax bx 1 0 的解集是 x 3 x 4 ，求实数 a, b 的值.
又a 0
a的取值范围为 3 2 2 a 3 2 2
练一练
• P78－练习1第3题 • P80－练习2第3题
小结
（1）不等式的解集的运算：注意利用数轴进 行集合的交集和并集的运算 （2）含参变量的不等式问题： 注意区分自变量和参变量 注意比较两根的大小，利用分类 讨论的数学思想 求参变量的取值问题，借助二次 函数的图像，利用数形结合的数学思想
当a<0时图像 y 0
x
y
0
y 0
O
x1
x2
O
b 2a
x
O
x
一元二次不等式定义：
定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数
是二次的不等式叫做一元二次不等式. 形如: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)
问题：如何解一元二次不等式呢？
例：解一元二次不等式x2-2x-3<0
2.2-1 一元二次不等式
复习一元二次方程 复习一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)
0方程有两个不等的根 0方程有一个根
0方程没有根
求根的方法： （1）公式法 X=
b 2 4ac b 2 0 （2）配方法，化为顶点式 a( x 2a ) 4a
（3）十字相乘法
x1 m, x2 m 1
m m 1
原不等式的解集为x m x m 1
例：解关于x的不等式：
x (1 a) x a 0
2
解：
方程x (1 a) x a 0的解为：
2
x1 1, x2 a (1)当a 1时， 原不式的解集为（ ,1); a (2)当a 1时， 原不式的解集为
( (3)当a 1时， 原不式的解集为1, a)
例：已知 ax (1 a) x 1 0 恒成立， 求a的取值范围。
2
解： 不等式恒成立，即解集为R
a 0, 0
O
y
y ax2 (1 a) x 1 的大致图像如图：
x
由 (1 a) 2 4a 0解得：3 2 2 a 3 2 2
时，y=0？ 时，y<0？ 时，y>0?
y y=x2-2x-3 y>0
(2).由图象写出 不等式x2-2x-3 <0 的解集 为 ———————— 不等式x2-2x-3<0 的解集
﹛x|-1<x<3﹜
o
-1 y<0 3
x
为
﹛x|x<-1或x>3﹜
————————
归纳:
（1）先画出对应函数的图像
如何利用二次函数解二次不等式 ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 呢？
方法三： 2
x 2x 3 ( x 1)(x 3) 0, x1 1, x2 3
复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图像 y
y y
O
x1
x2
x
O
b 2a
x
O
x
0
0
0
复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)


2
例：设A，B分别是不等式 3x 6 19x 与不等式 2 x 2 3x 5 0 的解集，试求 A B, A B.
2
解：由3x 2 6 19x，得3x 2 19x 6 0
1 解得：A＝ x x 6 3 2 由－2 x 3x 5 0解得 B x 1 x
y
⊿=0
y
⊿<0
y
x1
x2
x
x1(x2) x 无实根
x
有两个不等实 有两个相 根 等实根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 ax2+bx+c>0（a>0） ﹛x|x<x1或x>x2﹜ ﹛x|x≠x1﹜ 的解集
R ΦΒιβλιοθήκη ax2+bx+c<0 (a>0) ﹛x|x1<x<x2﹜ 的解集
Φ
例：解不等式：3x 5x 2 0
5 2
1 5 A B x x A B x 1 x 6 2 3


例：解关于x的不等式： 2 2 x (2m 1) x m m 0
解：
含参变量 的不等式
方程x 2 (2m 1) x m 2 m 0的解为：

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