离散数学连结词逻辑运算

联结词----条件复合命题是用“联结词”将原子命题联结起来构成的.归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联结词：(1)否定“⌝”(2)合取“∧”(3) 析取“∨”和异或“”∨(4) 条件（蕴涵）“→”(5)双条件（等价）“∆”或记做“↔”四.条件 (蕴涵)“→”表示“如果… 则… ”“只要… 就…”,“若…则…”等.例： P表示：缺少水分.Q表示：植物会死亡.P→Q：如果缺少水分，植物就会死亡.P→Q：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”，“如果P则Q”.也说成P是P→Q 的前件，Q是P→Q的后件.还可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件.P→Q的真值：P→Q的真值为假，当且仅当P为真，Q为假. 注意：当前件P为假时， P→Q为T.关于充分条件和必要条件的说明：•充分条件：就是只要条件成立，结论就成立，则该条件就是充分条件.上例中，“缺少水分”就是“植物会死亡”的充分条件.在自然语言中表示充分条件的词有：如果…则… ，只要… 就…，若…则… .•必要条件：就是如果该条件不成立，那么结论就不成立, 则该条件就是必要条件.上例中，“植物死亡”就是“缺少水分”的必要条件(植物未死亡，一定不缺少水分).在自然语言中表示必要条件的词有 :只有…才… ；仅当…，… ; …, 仅当….例1令：P：天气好. Q：我去公园.1).如果天气好，我就去公园. 2).只要天气好，我就去公园.3).天气好，我就去公园. 4).仅当天气好，我才去公园.5).只有天气好，我才去公园. 6).我去公园，仅当天气好.命题1)、2)、3)写成： P→Q .命题4)、5)、6)写成： Q→P.可见“→”既表示充分条件（即前件是后件的充分条件）；也表示必要条件（即后件是前件的必要条件）.这一点要特别注意!!!它决定了哪个作为前件，哪个作为后件.例2. 将下列命题符号化:（1）如果小明学日语，小华学英语，则小芳学德语.P：小明学日语；Q：小华学英语；R：小芳学德语.则原命题可表示为：(P∧Q)→R.（2）只要不下雨，我就骑自行车上班.P：天下雨.Q：我骑自行车上班.则原命题可表示为：⌝P→Q.（3）只有不下雨，我才骑自行车上班.P：天下雨.Q：我骑自行车上班.则原命题可表示为： Q →⌝P .7。

离散数学-----命题逻辑逻辑：是研究推理的科学。

公元前四世纪由希腊的哲学家亚里斯多德首创。

作为一门独立科学，十七世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。

逻辑可分为：1. 形式逻辑（是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。

）→数理逻辑（是用数学方法研究推理的形式结构和规律的数学学科。

它的创始人Leibniz，为了实现把推理变为演算的想法，把数学引入了形式逻辑中。

其后，又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为一门专门的学科。

）2. 辩证逻辑（是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。

）一、命题及其表示方法1、命题数理逻辑研究的中心问题是推理,而推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。

基本概念：命题：能够判断真假的陈述句。

命题的真值：命题的判断结果。

命题的真值只取两个值:真（用T(true)或1表示）、假（用F(false)或0表示）。

真命题：判断为正确的命题，即真值为真的命题。

假命题：判断为错误的命题，即真值为假的命题。

因而又可以称命题是具有唯一真值的陈述句。

判断命题的两个步骤：1、是否为陈述句；2、是否有确定的、唯一的真值。

说明：（1）只有具有确定真值的陈述句才是命题。

一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如感叹句、祁使句、疑问句等都不是命题。

（2）因为命题只有两种真值，所以“命题逻辑”又称“二值逻辑”。

（3）“具有确定真值”是指客观上的具有，与我们是否知道它的真值是两回事。

2、命题的表示方法在书中，用大写英文字母A,B,…,P,Q或带下标的字母P1,P2,P3 ,…,或数字(1),*2+, …,等表示命题，称之为命题标识符。

命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元之分。

命题常量：表示确定命题的命题标识符。

命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标志，就称为命题变元。

联结词----否定、合取复合命题是用“联结词”将原子命题联结起来构成的.归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联结词：(1)否定“⌝”(2)合取“∧”(3) 析取“∨”和异或“”∨(4) 条件（蕴涵）“→”(5)双条件（等价）“∆”或记做“↔”一. 否定“⌝”表示：“…不成立”，“不…”.用于：对一个命题P的否定，写成⌝P，并读成“非P”.⌝P的真值：与P真值相反.例 P：2是素数.⌝P：2不是素数. P ¬P F T T F例1. P: 天津是一个城市.Q: 3是偶数.于是: ⌝ P: 天津不是一个城市.⌝ Q: 3不是偶数.例2. P:济宁学院处处清洁.Q:这些都是男同学.(注意,不是处处不清洁)⌝ P:济宁学院不处处清洁.⌝ Q:这些不都是男同学.二. 合取“∧”表示：“并且”、“不但…而且...”、“既…又...” “尽管…还…”.例 P：小王能唱歌.Q：小王能跳舞.P∧Q：小王能歌善舞. P∧Q读成P合取Q.P∧Q的真值为真，当且仅当P和Q的真值均为真.P Q P∧Q F F F F T F T F F T T T例3. 将下列命题符号化:(1)李平既聪明又用功.(2)李平虽然聪明, 但不用功.(3)李平不但聪明,而且用功.(4)李平不是不聪明,而是不用功.解: 设P:李平聪明. Q:李平用功.则 (1) P∧Q (2) P∧⌝ Q(3) P∧Q (4) ⌝(⌝ P)∧⌝ Q例4. 翻译下列命题的合取.(1) P: 我们在C403教室. Q: 今天是星期二.(2) S：李平在吃饭. R：张明在吃饭.解: (1) P∧Q :我们在C403教室且今天是星期二.(2) S∧R:李平与张明在吃饭.“∧”与日常语言中“与”“和”的不同之处：（1）逻辑学中允许两个相互独立无关，甚至相反的原子命题生成一个新命题.（2）自然语言中有时在不同意义时可以同时使用“与”“和”，但是不能都用“∧”翻译.（如：我和你是好朋友.李敏和李华是姐妹.）说明：“∧”属于二元运算符.合取运算特点：只有参与运算的二命题全为真时，运算结果才为真，否则为假.自然语言中的表示“并且”意思的联结词，如“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”、“一面…一面…”、“…和…”、“…与…”等都可以符号化为∧.。

离散数学知识点总结及应用
知识点1: 集合论
- 集合的定义和表示方法
- 集合的运算：并、交、差、补
- 集合的基本性质和定律
知识点2: 逻辑与命题
- 命题的定义和特性
- 命题的联结词：与、或、非
- 命题的真值表和逻辑运算
- 命题的充分条件和必要条件
知识点3: 关系与函数
- 关系的定义和性质
- 关系的类型：自反、对称、传递、等价
- 函数的定义和基本概念
- 函数的特性和图像
知识点4: 图论
- 图的基本概念和术语
- 图的存储结构：邻接矩阵、邻接表
- 图的遍历算法：深度优先搜索、广度优先搜索
- 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法
知识点5: 组合数学
- 排列和组合的基本概念
- 排列和组合的计算方法
- 随机变量和概率分布
- 组合数学在密码学等领域的应用
知识点6: 布尔代数
- 布尔代数的基本运算：与、或、非
- 布尔函数的最小化方法
- 布尔代数的应用：逻辑电路设计、编码器等
知识点7: 计算理论
- 自动机的基本概念和分类
- 正则语言和正则表达式
- 文法的定义和性质
- 上下文无关文法和巴科斯范式
知识点8: 数论
- 整数的性质和基本运算
- 质数和分解定理
- 同余关系和同余方程
- 数论在加密算法中的应用
以上是离散数学中的一些主要知识点和应用场景的简要总结，希望对你的研究有所帮助。

高三离散数学知识点归纳离散数学是一门重要的数学学科，它针对离散对象及其相互关系展开研究，对于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力具有重要作用。

在高三阶段，学生需要系统学习离散数学的知识点，为高考备战做好准备。

本文将对高三离散数学知识点进行归纳，包括集合论、命题逻辑、组合数学等内容。

一、集合论1. 集合的基本概念集合是由确定的、无序的、互异的对象组成的总体。

集合的元素可以是数字、字母、符号等。

2. 集合的运算交集、并集、差集和补集是集合的四种基本运算，它们分别表示两个集合的共有元素、所有元素和剩余元素。

3. 集合的关系包含关系、相等关系和互斥关系是集合之间的三种常见关系，它们描述了集合之间的包含、相等和互斥的关系。

二、命题逻辑1. 命题与命题联结词命题是陈述句，它可以为真或者为假。

命题联结词包括非、与、或、蕴含和等价等，用于描述命题之间的逻辑关系。

2. 命题的真值表和逻辑运算真值表是描述命题与命题联结词之间关系的表格，通过真值表可以确定复合命题的真假性。

3. 命题的等价和蕴含两个命题等价表示它们具有相同的真值，而一个命题蕴含另一个命题表示当前者为真时，后者一定为真。

三、组合数学1. 排列与组合排列是从一组元素中取出若干元素进行排序，组合是从一组元素中取出若干元素不考虑排序。

排列和组合分别具有不同的计算公式。

2. 二项式定理二项式定理描述了两个数的幂展开的结果，它在组合数学中有重要应用。

四、图论1. 图的基本概念图由顶点和边组成，可以分为有向图和无向图。

顶点之间的边表示两个顶点之间的联系。

2. 图的遍历算法深度优先搜索和广度优先搜索是两种常见的图的遍历算法，用于查找图中的特定路径或者寻找与某个顶点相关的其他顶点。

五、数理逻辑1. 数理逻辑的基本概念数理逻辑是研究逻辑的形式系统化的学科，主要包括语言、公式、推理规则等内容。

2. 形式系统和推导规则形式系统是由一组公理和一组推导规则组成的，通过推导规则可以从公理出发推导出其他命题。

命题逻辑的基本概念命题与联结词命题：非真即假的陈述句。

真值：命题的陈述句所表达的判断结果，真值只取真或假两种情况。

假命题：真值为假的命题。

真命题：真值为真的命题。

简单命题（原子命题）：无法继续拆分的命题。

复合命题：多个原子命题通过联结词联结而成的命题。

悖论：自相矛盾的陈述句。

否定联结词：符号﹁（复合命题非p称作p的否定式，记作﹁p）合取联结词：符号∧（复合命题p且q称作p与q的合取式记作p∧q）析取联结词：符号∨（复合命题p或q称作p与q的析取式记作p∨q）蕴涵联结词：符号→（复合命题如果p，则q称为p与q的蕴涵式记作p→q，p为蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件）蕴涵联结词的使用及判定方法：使用：1：因为p所以q这类直抒胸臆的表达时可以直接看作：p→q2：只有p才q这类具有转折性的表达时可以直接看作：q→p判定：1：同假时为真2：后件为真前件为假时为真3：后件为真前件为真时为真其他情况皆为假等价联结词：符号↔（复合命题p当且仅当q称为p与q的等价式）等价联结词的判定：1：当p与q同时为真时为真2：当p与q同时为假时为假命题公式及其赋值命题常项（命题常元）：可以直接理解为原子命题或简单命题命题变项（命题变元）：真值可以变化的陈述句，因此命题变项不是命题合式公式：命题变项使用联结词组合成的符号串（可以当作命题用联结词组合成的复合命题）合式公式层数的判定：下面p和q都是公式或者命题常项1：当个命题变项为0层公式。

2：﹁p为1层公式3：p∧q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）4：p∨q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）5：p→q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）6：p↔q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）赋值（解释）：对公式中的命题变项指定一个真值，真值为1即该命题变项为成真赋值，真值为0即该命题变项为成假赋值。

重言式（永真式）：即该合式公式在任意赋值下取值都是真矛盾式（永假式）：即该合式公式在任意赋值下取值都是假可满足式：即至少存在一种赋值下取值为真故重言式必是可满足式，可满足式不一定是重言式，可满足式必不是矛盾式，矛盾式必不是可满足式。

离散数学知识点总结（1）-命题逻辑⼀、命题命题：陈述句，有唯⼀真值/⾮真既假（不⼀定知道）简单命题/命题常元：真值确定。

命题变元p：常⽤来表⽰命题。

只有明确表⽰某个命题时才有具体的含意和确定的真值。

命题联结词/命题运算符：否定联结词┐、合取联结词∧、析取联结词∨、蕴含联结词→、与⾮联结词、或⾮联结词p→q：当且仅当p真q假时，p→q为假（因此它和┐p∨q等值）。

即p为假时，p→q必定为真⟷：当且仅当、充要条件、反之亦然⼆、命题公式命题公式/命题形式/合式公式/公式：（1）可满⾜式：⾮重⾔的可满⾜式重⾔式/永真式（2）⽭盾式/永假式（不存在成真指派）命题公式不是命题，只有当公式中的每⼀个命题变项都被赋以确定的真值时，公式的真值才被确定，从⽽成为⼀个命题。

三、命题逻辑的等值演算A⟺B：A和B有等值关系。

对任意真值指派，A与B取值相同。

A⟷B为永真式。

等值关系⼀般通过真值表法或者等值演算法得到。

⽽不等值，只能通过真值表法，找到某个真值指派使得⼀个为真⼀个为假德摩根律：┐(A∨B)⟺┐A∧┐B、┐(A∧B)⟺┐A∨┐B蕴含等值式：A→B⟺┐A∨B吸收律：A∨(A∧B)⟺A、A∧(A∨B)⟺A归谬式：(A→B)∧(A→┐B)⟺┐A例题：p→(q→r)⟺┐p∨(┐q∨r)⟺(┐p∨┐q)∨r⟺┐(p∧q)∨r⟺(p∧q)→r四、范式由有限个⽂字的析取所组成的公式称为析取式；由有限个⽂字的合取所组成的公式称为合取式形如A1∨A2∨…∨A n的公式称为析取范式DNF（其中A i为合取式）；形如A1∧A2∧…∧A n的公式称为合取范式CNF（其中A i为析取式）任⼀命题公式都存在着与之等值的析取范式和合取范式，但析取范式和合取范式可能不是惟⼀的。

极⼩项q1∧q2∧…∧q n：⼀共2n种解释，每个极⼩项只在⼀个解释下为真。

每个极⼩项对应⼀个⼆进制数，该⼆进制数正是该极⼩项真值为真的指派，即m0可表⽰┐q1∧┐q2∧…∧┐q n极⼤项q1∨q2∨…∨q n：⼀共2n种解释，每个极⼤项只在⼀个解释下为假。

最简单的离散数学教程
以下是一份简单的离散数学教程大纲：
1. 集合和逻辑：
- 集合的基本概念和符号
- 集合的运算：并、交、差、补集
- 集合的属性：空集、全集、子集、幂集
- 逻辑运算：命题、联结词、真值表、逻辑等价、析取范式和合取范式
2. 图论：
- 图的基本概念：顶点、边、路径、环
- 图的表示：邻接矩阵、邻接链表
- 图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索
- 最小生成树：Prim算法、Kruskal算法
- 最短路径：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法
3. 组合数学：
- 排列与组合：基本计数原理、乘法原理、加法原理
- 二项式定理和多项式展开
- 递归关系和递归计数
- 基本图形计数：点、线、平面、多面体
4. 离散数学的应用：
- 布尔代数：逻辑电路、布尔函数化简
- 网络和通信：编码理论、错误检测和纠正、图的路由
- 计算机科学：算法分析和设计、数据结构、图算法
请注意，这只是一个简单的离散数学教程大纲，你可以根据自己的需要和学习水平来进一步扩展和深入学习相关的内容。

C语言与离散数学在计算机科学中起着至关重要的作用，而命题、公式、逻辑联结词及真值表是离散数学中的重要概念，在C语言中也有着广泛的应用。

本文将介绍C语言与离散数学中命题、公式、逻辑联结词及真值表的相关概念，并讨论它们在程序设计与计算机科学中的应用。

一、命题在离散数学中，命题是指可以明确判断真假的陈述。

在C语言中，命题通常被用于控制程序的流程，例如条件语句中的判断条件。

命题通常具有以下特点：1. 命题具有唯一的确定性，即任何一个命题要么为真，要么为假；2. 命题可以由自然语言或符号表示；3. 命题可以进行逻辑运算，如与、或、非等。

二、公式公式是离散数学中的重要概念，它由命题和逻辑联结词组成。

在C语言中，公式通常被用于逻辑表达式的表示，例如在循环或条件语句中的判断条件。

公式具有以下特点：1. 公式由命题和逻辑联结词组成；2. 公式可以通过推理和演绎来进行逻辑推理；3. 公式可以用真值表来进行验证。

三、逻辑联结词在离散数学中，逻辑联结词是用来连接命题，构成公式的重要符号。

在C语言中，逻辑联结词通常被用于逻辑表达式中，用来表示逻辑运算的关系。

常见的逻辑联结词有：1. 与（）：表示逻辑与运算，只有所有命题都为真时，整个公式才为真；2. 或（||）：表示逻辑或运算，只要有一个命题为真，整个公式就为真；3. 非（!）：表示逻辑非运算，将真变为假，假变为真。

四、真值表真值表是用来验证公式真假的一种方法，在离散数学中具有重要意义。

在C语言中，真值表通常被用于逻辑表达式的验证。

真值表具有以下特点：1. 真值表由多个命题和对应的公式真假组成；2. 真值表可以通过逻辑联结词来进行推理和验证；3. 真值表可以用来确定公式的真假和逻辑关系。

总结：C语言与离散数学中的命题、公式、逻辑联结词及真值表都是非常重要的概念，在程序设计与计算机科学中有着广泛的应用。

掌握这些概念不仅可以帮助我们更好地理解程序的运行原理，也可以提高我们的逻辑推理能力。

离散数学联结词
嘿，朋友们！今天咱来聊聊离散数学里超有意思的联结词呀！
你说这联结词像不像我们生活中的那些关系纽带呀？就好比与朋友之间的友谊，把大家联结在一起。

离散数学里的联结词呢，就起着类似的作用，把各种命题巧妙地联结起来，形成更复杂但也更有趣的逻辑表达。

咱先说说“且”这个联结词吧。

这就好像你去超市买东西，你既想要巧克力，又想要薯片，这两个条件都得满足才行，这就是“且”的作用呀！想象一下，你说“我今天既完成了作业，又看了喜欢的电影”，是不是只有这两件事都做到了，这句话才成立呢？这就是“且”在帮忙呀！
还有“或”呢，它就像是给了你更多的选择。

比如说你周末可以选择去爬山，或者去逛街，只要其中一个实现了，那“或”的条件就满足啦。

它可没那么死板，给了你很大的灵活性呢。

“非”就更有意思啦！就像你原本觉得一件事是对的，“非”一下，嘿，就变成错的啦！这多神奇呀。

比如你说“今天天气很好”，那“非今天天气很好”不就是说今天天气不好嘛。

这些联结词呀，就像生活中的调味剂，让逻辑变得丰富多彩。

它们能帮我们把复杂的事情梳理清楚，搞明白其中的关系。

你看，要是没有这些联结词，那逻辑表达得多无趣呀！就好像一道菜没有了调料，那还有啥滋味呢？它们让我们能更准确地表达自己的想法，也能更好地理解别人的意思。

在学习离散数学的时候，可别小瞧了这些联结词哦！它们虽然看起来简单，但是用处可大着呢！就像一颗颗小螺丝钉，看似不起眼，却是整个机器运转不可或缺的一部分。

所以呀，大家要好好理解和掌握这些联结词呀，它们会给你带来意想不到的收获呢！这可不是我在瞎忽悠，你自己去试试看就知道啦！。