浙江省名校协作体高考数学等比数列专题复习(专题训练)

2022学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科（答案在最后）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知()1,2,3A -，则点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是（）A.()1,2,3-- B.()1,2,3 C.()1,2,3- D.()1,2,3--【答案】B 【解析】【分析】根据坐标平面的对称性求解．【详解】点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是(1,2,3)，故选：B ．2.与双曲线2214x y -=有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（）A.22194x y += B.22149x y +=C.22196x y += D.22169x y +=【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，结合椭圆长轴长和,,a b c 的关系可得椭圆方程.【详解】由双曲线方程可得焦点坐标为：()，∴椭圆焦点在x 轴上，且c =，又长轴长为6，即26a =，3a ∴=，2224b a c ∴=-=，∴椭圆方程为：22194x y +=.故选：A.3.在数列{}n a 中，425a =2=，则6a =（）A.121B.100C.81D.64【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得数列是公差为2的等差数列，即可得到结果.2=2=，故数列是公差为2的等差数列，因为425a =22449=⨯=+=，则681a =.故选：C4.直线10x y +-=与圆()2224x y -+=的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离判断即可.【详解】由()2224x y -+=可知圆心为(2,0)，半径为2，则圆心到直线的距离22d ==<，故直线与圆相交.故选：B5.正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“2021202320222S S S +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用数列前n 项和的意义，正项等比数列的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，2021202320222023202220222022201232022S S S S S S S a a +⇔>>->⇔-，而{}n a 是公比为q 的正项等比数列，因此20232022202220221a a a q a q >⇔>⇔>，所以“1q >”是“2021202320222S S S +>”的充要条件.故选：C6.已知抛物线22y px =，点()1,2A 在抛物线上，斜率为1的直线交抛物线于B 、C 两点．直线AB 、AC 的斜率分别记为1k ，2k ，则1211k k +的值为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由点坐标求得p ，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为y x m =+，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理，此结论代入1211k k +后化简可得．【详解】由题意2221p =⨯，2p =，抛物线方程为24y x =，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为y x m =+，由24y x y x m⎧=⎨=+⎩得2440y y m -+=，16160m ∆=->，1m <，124y y +=，124y y m =，1212242x x y y m m +=+-=-，2212121212()()()x x y m y m y y m y y m m =--=-++=，所以12122112121211(1)(2)(1)(2)1122(2)(2)x x x y x y k k y y y y ----+--+=+=----211212121212()2()42()4x y x y y y x x y y y y +-+-++=-++2112()()2(42)44x m x x m m m x +++--=-12122()8444x x m x x m m ++-+=-22(42)8444m m m m m +--+=-88244m m -==-．故选：B ．7.已知长方体1111ABCD A B C D -，其中1AA =，AB AD ==P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E 且PA PE =，设1A P 与平面ABCD 所成的角为θ，则θ的最大值为（）A.π4B.π2C.π6 D.π3【答案】D 【解析】【分析】确定1A PA ∠是1A P 与平面ABCD 所成的角，不妨设PA PE x ==，求出PC ，利用PA PC AC +≥求得x 的最小值，再由1tan AA APθ=得θ的最大值．【详解】1AA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面ABCD ，所以1AA PA ⊥，又1PE A C ⊥，PA PE =，所以1PAA 1PEA ≅!，11A E AA ==1AC ==11EC AC A E =-=所以P 点轨迹是对角线1AC 的中垂面与底面ABCD 的交线，为一条线段．由1AA ⊥平面ABCD 知1A PA ∠是1A P 与平面ABCD 所成的角，不妨设PA PE x ==，则1A P =，PC =，PA PC x AC +=≥=得3x ≥，2tan xθ=≤π3θ≤，即θ的最大值为π3，故选：D ．8.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的面积为1，把图①，图②，图③，图④，……的面积依次记为1234,,,,S S S S ⋅⋅⋅，则满足()*3N 2n S n ≥∈的n 最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ，由图形归纳出113n n a a -=，14n n b b -=，21134n n n n S S b a --=+⨯．由累加法结合等比数列前n 项和公式得求得n S 的表达式，从而得出结论．【详解】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ．由图形作法可知113n n a a -=，14n n b b -=，21134n n n n S S b a --=+⨯．即2221112122121333,,,444n n n n n n n n S S a b S S a b S S a b -------=⋅-=⨯⋅⋅⋅⋅-=⨯⋅利用累加法可得()22211122134n n n n n S S a b a b a b ----=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅因为数列{}n a 是以13为公比的等比数列，数列{}n b 是以4为公比的等比数列，所以{}21n n a b -⋅是以49为公比的等比数列．因为11S =，即21314a =，此时2133a =，224327a =，13b =，所以112212221122144131994519n n n n n n a b a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅==-，所以1834559n n S -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．由183435592n n S -⎛⎫=-⨯≥⎪⎝⎭，得4n ≥．所以n 的最小值是4.故选：C ．【点睛】方法点睛：记第n 个图形为n P ，相应量用一个数列表示，如本题中三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ，然后由前后两个图形根据归纳推理得出数列的递推关系，再结合数列知识求解．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，50a =则（）A.370a a += B.280a a <C.100S = D.当且仅当4n =时，n S 取最大值【答案】AB 【解析】【分析】由等差数列的性质可判断A ，B ，D ；由等差数列的前n 项和公式可判断C .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37520a a a +==，故A 正确；因为10a >，50a =，()()2222855533990a a a d a d a d d =-+=-=-<，故B 正确；因为10a >，50a =，所以0d <，故60a <，()()11010566105502a a S a a a +==+=<，故C 错误；由10a >，50a =可知，1234,,,0a a a a >，50a =，67,,0a a < ，故4,5n =时，n S 取最大值，故D 错误.故选：AB .10.已知直线l ：10mx y m +--=，m ∈R 和圆O ：224x y +=，下列说法正确的是（）A.直线l 与圆O 可能相切B.直线l 与圆O 一定相交C.当1m =时，圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1D.直线l 被圆O 截得的弦长存在最小值，且最小值为2【答案】BC 【解析】【分析】由直线方程得出直线l 过定点(1,1)P ，它在圆内，由此易得直线与圆的位置关系，可判断AB ，由PO =利用到直线l 的距离为1的直线与圆的位置关系判断C ，由直线l 与PO 垂直时，弦长最小判断D ．【详解】由直线l 方程知直线l 过定点(1,1)P ，又221124+=<，因此P 在圆O 内部，所以直线l 一定与圆O 相交，A 错，B 正确；1m =时，圆心(0,0)O 到直线l的距离为2d ==<12>，因此与直线l 距离为1的两条直线，一条与圆O 相交，一条与圆O 相离，所以圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1，C 正确；又PO =l 与PO垂直时，弦长为=l 被圆O 所截得的弦长的最小值为，D 错．故选：BC ．11.设M 为双曲线C ：2213x y -=上一动点，1F ，2F 为上、下焦点，O 为原点，则下列结论正确的是（）A.若点()0,8N ，则MN 最小值为7B.若过点O 的直线交C 于,A B 两点（,A B 与M 均不重合），则13MA MB k k =C.若点()8,1Q ，M 在双曲线C 的上支，则2MF MQ +最小值为2D.过1F 的直线l 交C 于G 、H 不同两点，若7GH =，则l 有4条【答案】BCD 【解析】【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案.【详解】由双曲线C ：2213x y -=，得12(0,2),(0,2)F F -，设()00,M x y ，则MN =，当且仅当02y =时取等号，所以MN 最小值为，故A 错误；设,A B 两点坐标分别为11(,)x y ，11(,)x y --，所以2201010122010101MA MBy y y y y y K K x x x x x x +--=⋅=+--，又因为222201133,33x y x y =-=-，所以2222010122220101133(33)3MA MBy y y y K K x x y y --===----，故B 正确；211222MF MQ MF MQ QF +=++≥+=+，故C 正确；由双曲线C ：2213x y -=，可得通径长为2267b a=<，且实轴长227a =<，所以这样的直线l 有4条，故D 正确.故选：BCD12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为边AB ，CD ，DA 的中点，P ，Q 分别为线段1BB ，1C D 上的动点，下列结论正确的是（）A.BD 与1D F 所夹角的余弦值为10B.二面角11A BD A --的大小为3πC.四面体11A D PF 的体积的最大值为43D.直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹长度为2【答案】ABC 【解析】【分析】由11//BD B D 得出异面直线所成的角，由余弦定理计算后判断A ，设1A D ，1AD 交于K ，证明1A K ⊥平面1ABD ，根据定义作出二面角的平面角，计算后判断B ，利用平行线性进行体积转换后，111111*********333F A D P E A D P D A EP A EP A EP A EB V V V A D S S S ---===⋅⋅=≤!!!，从而求得体积的最大值判断C ，作出直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹线段MN （如图）由余弦定理计算出线段长判断D ．【详解】A ．因为1BB 与1DD 平行且相等，所以11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，从而11B D F ∠是异面直线BD 与1D F 所成的角或其补角，在正方体中，1D F =，11D B =，13B F =，1110cos 10B D F ∠==．A正确；B ．设1A D ，1AD 交于K ，则11A K AD ⊥，由AB ⊥平面11ADD A ，1A K ⊂平面11ADD A ，得1AB A K ⊥，而1,AB AD ⊂平面1ABD 且1AB AD A = ，所以1A K ⊥平面1ABD ，1BD ⊂平面1ABD ，则11A K BD ⊥，作11A L BD ⊥，同理1A K KL ⊥，垂足为L ，连接KL ，因为11,A K A L ⊂平面1A KL 且111A K A L A = ，所以1BD ⊥平面1A KL ，又KL ⊂平面1A KL ，所以1BD KL ⊥，所以1A LK ∠是二面角11A BD A --的平面角，正方体中，1A K =，111113A D A B A L BD ⋅===，直角1A KL !中，1113sin 23A K A LK A L ∠==，1π3A LK ∠=，B 正确；C ．由已知11//EF AD A D ∥，EF ⊄平面11A D P ，11A D ⊂平面11A D P ，则//EF 面11A D P ，11111111111112243333212232F A D P E A D P D A EP A EP A EP A EB V V V A D S S S ---===⋅⋅=≤==⨯⨯⨯!!!，当P 与1B 重合时达到最大值．C 正确；D ．由已知11////EG BD B D ，1B ，1D ，G ，E 四点共面，设11A C 与11D B 交于M ，1A D 与1D G 交于N ，则MN 即为直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹．1112A N A D ND DG ==，1124233A N A D ==，12A M =，又11A DC △为正三角形，所以160MA N ∠=︒，由余弦定理，22211111262cos 9MN A M A N A MA N MA N =+-∠=，263MN =．D 错．故选：ABC ．【点睛】求空间角一般有两种方法，一是,空间向量法，二是定义法，本题图形是在正方体中，我们用定义法求异面直线所成的角和二面角，主要是正方体中平行线与垂线较多，容易作出异面直线所成的角和二面角的平面角，从而再解三角形可得．三棱锥的体积问题，常常利用换顶点（换底）法进行转化，目的是使得棱锥的高与底面积易求解．非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．13.两条直线1l ：20x y -=；2l ：240x y -+=．则1l 与2l 之间的距离为___________．【答案】455【解析】【分析】根据两平行线间的距离公式，即可求得本题答案.【详解】因为两条直线1l ：20x y -=；2l ：240x y -+=，所以两平行线间的距离122222404551(2)C C d A B --===++-.故答案为：5514.若圆1C ：224x y +=与圆2C ：()()2216x a y a -+=∈R 相交于A 、B 两点，且两圆在A 点处的切线互相垂直，则线段AB 的长是___________．【答案】855##855【解析】【分析】画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解.【详解】如图，由两圆在A 点处的切线互相垂直可知，两条切线分别过两圆的圆心，由相交圆公共弦的性质可知1AB OO ⊥，由切线性质可知1OA AO ⊥，在1Rt OAO 中，1||2,||4OA AO ==，所以1||OO ==又1Rt OAO 斜边上的高为1||2AB ，由等面积法可知，11111||||||||222AO AO AB OO ⋅=⨯，即124||2AB ⨯=⨯，解得||5AB =.故答案为：85515.已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且212PF PF c ⋅= ，则此椭圆离心率的取值范围是________．【答案】,32⎢⎣⎦【解析】【分析】设(,)P x y ，由数量积的坐标表示得出222212PF PF x c y c ⋅=-+= ，再由点P 在椭圆上得出22222b y b x a=-，联立两个方程得出()222223c a a x c -=，再由220,x a ⎡⎤∈⎣⎦化简得出22223c a c ≤≤，结合离心率的公式即可求解.【详解】设(,)P x y ，则222212(,)(,)PF PF c x y c x y x c y c ⋅=---⋅--=-+=①将22222b y b x a=-代入①式解得()()22222222223c b a c a a x c c --==又220,x a ⎡⎤∈⎣⎦，即()2222230ca a a c -≤≤22223c a c∴≤≤32,32c e a ∴=∈⎣⎦.故答案为：,32⎢⎣⎦【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率的取值范围，属于中档题.16.如图，在三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是正三角形，2BA BP ==，90CBP ∠=︒，120ABP ∠=︒，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥P BEF -的体积取得最大值时，三棱锥P BEF -的外接球表面积为___________．【答案】19π2【解析】【分析】利用均值不等式求出体积最大时,E F 的位置，建立空间直角坐标系，建立方程组求出球心坐标，得球半径即可.【详解】要使三棱锥P ―BEF 的体积最大，则底面△BEF 的面积最大，设BF =a ，则2BE a =-，23323(2)4424BEFx x S x x +-⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭△，当且仅当2x x =-，即1x =时取得最大值，即E ，F 分别为棱的中点．此时，FA BC ⊥，三棱锥P BEF -的体积取得最大值．如图，以BC 中点O 为原点，OA ，OB 分别为x ，y轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0F，)A，()0,1,0B ，()0,1,0C -，1,,0)22E ．设(),,P x y z ，由28PC =，24PB =，212PA =，解得x =1y =，z =．设外接球球心(,,)O m n t '，由O B O E O F O P ''''===，则22222222222222222231(1)()()22(1)2326((1)()33m n t m n t m n t m n t m n t m n t ⎧+-+=-+-+⎪⎪⎪+-+=++⎨⎪⎪++=++-+-⎪⎩，解得1,,6212m n t ===即1,62O ⎛⎫'⎝，故三棱锥P BEF -的外接球半径222198R O F O O ''===．所以，三棱锥P BEF -的外接球表面积为19π2．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.圆M 经过点()1,2A ，()9,2B -，且圆心M 在直线5y x =-上．（1）求圆M 的方程．（2）过点A 作直线l ，直线l 与圆M 的另一个交点是D ，当4AD =时，求直线l 的方程．【答案】（1）()22520x y -+=（2）1x =或3450x y -+=【解析】【分析】（1）根据圆的性质，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）根据垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可.【小问1详解】圆心M 在直线5y x =-上，不妨设圆心M 为(),5a a -，则()()()()2222152952a a a a -+--=-+-+，得5a =，故圆M 的方程为()22520x y -+=；【小问2详解】①当直线l 斜率不存在时，l 方程为1x =,()2215202y y -+=⇒=±，显然满足4AD =，②当l 斜率存在时，设l ：()21y k x -=-即20kx y k -+-=，由（1）可知：圆M的半径为4AD =，所以点M 到l距离344d k ===⇒=．综上，l 的方程为1x =或3450x y -+=．18.已知数列{}n b 是公比大于0的等比数列，1212b b +=，其前4项的和为120．（1）求数列{}n b 通项公式；（2）记21n n nc b b =+，*N n ∈，求数列{}22n n c c -前n 项和．【答案】（1）3nn b =（2）133n +-【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式，前n 项和公式进行求解即可；（2）根据等比数列前n 项和公式进行求解即可【小问1详解】设数列{}n b 的公比为q ，通项公式为11n n b b q-=⋅，若公比1q =，由1211266n b b b b +=⇒=⇒=，所以前4项的和为24，不符合题意，故1q ≠()21121121b q b b q-+==-，前4项和为()4111201b q q-=-，于是相除得2110q +=，即29q =，又因为0q >，故3q =，13b =，3nn b =；【小问2详解】221133n n n n n c b b =+=+，22244422221111333233233333n n n nn nn n n nn nc c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+⋅+-+=⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭前n 项和为()()21333233323313n n n +-⋅++⋅⋅⋅+=⋅=--．19.已知椭圆C ：2212x y +=．（1）直线l ：y x =交椭圆C 于P ，Q 两点，求线段PQ 的长；（2）A 为椭圆C 的左顶点，记直线AP ，AQ ，l 的斜率分别为1k ，2k ，k ，若121k k k+=-，试问直线PQ 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】（1）3（2）直线PQ 过定点()0,0【解析】【分析】（1）将l 与椭圆联立得到2P x 、2Q x 、2P y 和2Q y ，进而得到||PQ ；（2）设直线l ：y kx m =+，联立椭圆与直线得到韦达定理以及∆，利用1k =进而得到2k ，由121k k k+=-得到m 的值，最后舍去不符合题意的m 即可.【小问1详解】将直线l 与椭圆方程联立，即2212y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2223p Q x x ==，即2223pQ y y ==，故||3PQ ==；【小问2详解】设直线l ：y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由()22222,21422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩得，12221224212221km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，()()()2222221642122821k m k m k m ∆=-+-=+-，又1k ==，2k =故12k k +=++++==，由121k k k+=-，得20m =，故()0m m m -=⇒=或0m =，①当m =时，直线l ：(y kx k x =+=+，过定点()A ，与已知不符，舍去；②当0m =时，直线l ：y kx =，过定点()0,0，()2228211680k m k ∆=+-=+>，符合题意．20.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，243a =，()1121239n n n a a a n +-=-≥，13n n n b a -=，()*N n ∈．（1）求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）证明：对任意的2n >，1234n a a a a a +>++⋅⋅⋅+．【答案】（1）1323n n n a --=，32n b n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得()1122n n n b b b n +-+=≥，即{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，可求出{}n b ，进而求出{}n a ；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由错位相减法求出n S ，只要证明2n >时，()1220n S a a -+<即可.【小问1详解】因为11a =，243a =，13n n n b a -=，∴11b =，24b =，又∵()1121239n n n a a a n +-=-≥，13n n n b a -=，∴()111221233393n n n n n n b b b n +---=⋅-⋅≥∴()1122n n n b b b n +-+=≥．∴{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列．∴32n b n =-，1323n n n a --=．【小问2详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，∵2147321333n n n S --=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+①2311473233333n n n S -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+②②得：21233332133333n n n n S --=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，所以12111121113232331313133333313n n n n nn n S --⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥--⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+⨯+++-=+⨯- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ，1231325651113233223n n n nn n S --+⎛⎫⎛⎫=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11565443n n n S -+=-⋅，当2n >时，()1211156541165221044331243n n n n n S a a --++⎛⎫-+=--+=--< ⎪⋅⋅⎝⎭∴1234n a a a a a +>++⋅⋅⋅+．21.如图所示，已知四棱锥P ABCD -，满足E 为BD 中点90BAD BCD ∠=∠=︒，AD =，PA PB PD ==．（1）求证PE ⊥平面ABCD （2）若PA 与BD夹角的余弦值为4，且CE AB ∥，求PC 与平面PAD 夹角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）取AD 中点为F ，连接AE ，FE ，FP ，EP ，易证AD ⊥平面PEF ，得到PE AD ⊥，从而PE ⊥平面ABCD ；（2）以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设面APD 的法向量为(),,n x y z =，则sin cos ,PC nPC n PC nθ⋅==⋅.【小问1详解】取AD 中点为F ，连接AE ，FE ，FP ，EP ，∵PB PD =，E 为BD 中点，∴PE BD ⊥∵PA PD =，F 为AD 中点，∴PF AD ⊥，又因为EF AD ⊥，EF PF F = ，,EF PF ⊂ 平面PEF ，AD ∴⊥平面PEF ，∴PE AD ⊥．PE BD ⊥ ，AD BD D = ，,AD BD ⊂ 平面ABCD PE ∴⊥平面ABCD ．【小问2详解】解：以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设1AB =，AD ∴=，设PE h =，,//CE AB EF AB ∥Q ，所以,,C E F 三点共线，在ABD △中，AD =，90BAD ∠=︒，πtan ,(,π),DAB DAB DAB ∴∠=∠∈∴∠=303πBEC FED ABD ∴∠=∠=∠=3，在Rt BCD 中，E 为BD 中点，BE EE BD ∴==12得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，33(,,0)22C ，(0,3,0)D ，13(,,0)22E ，13,,22P h ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，有13,,22AP h ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,3,0BD =-，∴221|cos ,|421BD AP BD AP BD AP h ⋅===+得1h =．所以(,,),(,,),(,,)PC AP AD =-==13101103022设面APD 的法向量为(),,n x y z = ，∴0n AD n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，3013022y x y z ⎧=⎪∴⎨++=⎪⎩，令1z =有()2,0,1n =- ，设PC 与面PAD 的夹角为θ，则3310sin cos ,1025PC nPC n PC nθ⋅====⋅．22.已知双曲线E ：221x y -=，双曲线C 与E 共渐近线且经过点()5,1-（1）求双曲线C 的标准方程．（2）如图所示，点P 是曲线C 上任意一动点（第一象限），直线PA x ⊥轴于点A ，PB y ⊥轴于点B ，直线AB 交曲线E 于点Q （第一象限），过点Q 作曲线E 的切线交PB 于点K ，交y 轴于点J ，求KQA BQJ S S +△△的最小值．【答案】（1）224x y -=（2）2【解析】【分析】（1）由题意设C ：22x y m -=，将()代入解方程即可得出答案.（2）设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，设AQ QB λ=，表示出Q 点坐标，代入E ：221x y -=方程，即可求得,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，进一步求出,K J 的坐标，而KQA BQJ BKJ S S S += ，而12BKJ S KB JB =⋅ ，代入化简结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】由题意设C ：22x y m -=，将()代入得到4m =，∴曲线C ：224x y -=．【小问2详解】设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，(),Q x y ，则224m n -=（*）设AQ QB λ=，则()(),,AQ x m y QB x n y λλ=-==-- ，解得：,,,1111m n m n x y Q λλλλλλ⎛⎫== ⎪++++⎝⎭，代入E ：221x y -=方程，得()()2221m n λλ-=+，结合（*）式可知()()21130n λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦由于0λ>，则()2130n λλ+++>，所以1λ=．所以Q 是A 、B 的中点，,22m n Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为四边形OAPB 是矩形，(),0A m ，,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以Q 为四边形OAPB 的中心，所以AQ BQ =，在AQK 与BQK △中，AQ BQ =，分别以,AQ BQ 为底时，高相同，所以KQA KQB S S = ，则KQA BQJ KQB BQJ BKJ S S S S S +=+=△△△△△，因为过双曲线221x y -=上一点,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为122m n x y -=，所以直线KJ 的方程为：122m nx y -=即2mx ny -=，因为K B y y n ==，所以22,n K n m ⎛⎫+⎪⎝⎭，令0x =，所以20,J n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()222211221222BKJn n S KB JB n m n mn++=⋅=⋅+===，，令222t n =+>，BKJS ==△，令240s t =->，2BKJ S==≥△．当且仅当16s s=，即4s =，28t =，22n =-时，取得最小值．。

2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟：2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1A x x =≥,{}22530B x x x =--<∣则A B =∪（ ）A ．{}1x x ≥12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C ．312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{}13x x ≤<2．已知复数z 满足5382i z z +=-，则z =（ ）A ．1B ．2C D ．3．已知等比数列{}n a 的前2项和为12，136a a -=, 则公比q 的值为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．34．已知平面向量,m n 满足：2m n == ，且m 在n上的投影向量为12n，则向量m 与向量n m - 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1505．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足π1,3f ⎛⎫=⎪⎝⎭最小正周期为π，函数()sin2g x x =，则将()f x 的图象向左平移（ ）个单位长度后可以得到()g x 的图象A ．π12B ．π6C ．5π6D ．11π126．已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（）A ．7π4B ．2πC ．9π4D ．5π27．已知,A B 是椭圆22143x y +=与双曲线22143x y -=的公共顶点，M 是双曲线上一点，直线,MA MB 分别交椭圆于,C D 两点，若直线CD 过椭圆的焦点F ，则线段CD 的长度为（ ）A ．32B ．3C ．D8．正三棱台111ABC A B C -中，11122AB A B AA ===，点D 为棱AB 中点，直线l 为平面111A B C 内的一条动直线．记二面角C l D --的平面角为θ，则cos θ的最小值为（ ）A ．0B ．18C D ．17二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．已知随机变量X 服从正态分布()2,,N μσσ越小，表示随机变量X 分布越集中B ．数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9C ．线性回归分析中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越弱D ．已知随机变量17,,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭则()72E X =10．设函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()2f x '+为偶函数，()()110f x f x +--=，则（）A ．()()11f x f x +='-'B ．()30f '=C ．()20250f '=D ．()()()2222f x f x f ++-=11．已知正项数列{}n a 满足()()()*121211,,n n n n n n a a a a a a a n N ++++=-=-∈记12231n n n T a a a a a a +=+++ ，124T =． 则（ ）A ．{}n a 是递减数列B ．202462029a =C ．存在n 使得43n T =D ．100110ii a=>∑非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．13．已知正实数a 满足a<a 的取值范围是______．14．将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）已知在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足,a a c =>，()()sin cos cos ;A B C B C ++=-（1）求角C 的值；（2）若ABC △的面积为14，求ABC △的周长。

2023学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.三、填空题:本大题共4小题，单空题4分，多空题6分，共20分. 把答案填在答题卡中的横线上. 13. ()(),04,−∞+∞；14.； 15. 27416. e四、解答题:本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解:(1)化简得1cos 21()2sin(2)2226x f x x x π−=−=−+ ………………………………………………………………………………………………3分令Z k k x k ∈+≤+≤+,2326222πππππ, 得到Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ 所以()f x 的增区间为Z k k k ∈++],32,6[ππππ …………………………………………………………………………………………5分 (2)由23)(=A f , 得1)62sin(−=+πA , 由于613626πππ<+<A , 所以2362ππ=+A得到32π=A ………………………………………………………………………7分2(sin 2sin )2sin())4cos sin 3a b c B C B B B A π+=+=+−=…………………………………………………………………………………………9分由于30π<<B , )4,2(cos 42∈=+B c b …………………………………………10分18.解:(1)等腰梯形ABCD 中, 4=AB , 2==DC AD , 得到AD BD ⊥,……………………………………………………………………………………………2分32=BD .由22216BE DE BD ==+, 得到DE BD ⊥,且AD DE D =，因此BD ⊥平面ADE , …………………………………………………………………4分 又因为BD ⊂平面ABCD ，故平面ADE ⊥平面ABCD ……………………………5分(2)方法一：由(1)知ADE BD 面⊥, 得到ADE BDE 面面⊥.作DE AH ⊥于H 点, 有BDE AH 面⊥. AFH ∠即为直线AF 与BDE 面所成角 ……………………………………………………………………………………………8分在直角三角形AHF 中, 由3=AH 和60AFH ︒∠=, 得到1=FH……………………………………………………………………………………………10分由1EH FH ==，60HEF ∠=︒得1=FE ，又=4EB ，所以存在41=λ. ……………………………………………………………………………………………12分 方法二:以点D 为坐标原点, DA 为x 轴, DB 为y 轴,建立如图所示空间直角坐标系.其中(0,0,0)D ，(2,0,0)A，B，E………………………………………………………………………………………………6分得到DB =, DE =, 设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DE n DB n ,得⎩⎨⎧=+=03032z x y ,不妨设1−=z ,则取)1,0,3(−=n ………………………………………………………………………………………………8分 又)3,32,1(−−=EB, )3,32,(λλλλ−−==EB EF ,(1,0,3)(,)()AF AE EF λλ=+=−+−=−−则cos ,sin 6022AF n AF n AF n⋅<>===︒=A第18题答案（图1）x………………………………………………………………………………………………10分41)(0或舍去=λ所以,41=λ.……………………………………………………………12分 19解：(1)由231n n S a =−，得()112312n n S a n −−=−≥，两式相减得13(2)n n a a n −=≥．………………………………………………………………………………………………2分 令11, 1n a ==，∴数列{}n a 成等比数列，∴13n n a −=………………………………………………………………………………………………4分(2)由于113,3,n n n n n b n n −−⎧+⎪=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数.0242229113521)(3333)8n n S n n −−=+++⋅⋅⋅+−++++⋅⋅⋅+=+奇数项（……………………………………………………………………………………………7分1352123436323n S n −=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅偶数项①，则35721923436323n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅偶数项②，①—②得：132121213(19)82(333)2322319n n n n S n n −++⋅−−=++⋅⋅⋅+−⋅=−⋅−偶数项2(243)3332n n S −⋅+=偶数项……………………………………………………………11分∴2n T =2918n n −++2(243)3332n n −⋅+=2n +2(241)3132n n +⋅− ……………………………………………………………………………………………12分20. 解：（1）因为对60名学生明显有效运动是否与性别有关的调查，其中女生与男生的人数之比为1:2，女生中明显有效运动的人数占12 ，男生中明显有效运动的人数占34，得到…………………………………………………………………………………………………2分 给定假设0H ：明显有效运动与性别没有关系. 由于222() 3.75 2.706(0.100)()()()()n ad bc P a b c d a c b d χχ−==>=≥++++ ，则根据小概率值0.100α=的2χ独立性检验，有充分的证据推断假设0H 不成立，因此认为明显有效运动与性别存在差异.…………………………………………………………………………………………………4分 （2）由样本数据可知，不明显有效运动的频率为13，用样本的频率估计概率，所以不明显有效运动的概率为13，……………………………………………………………………6分设11人不明显有效运动的人数为X ，则1~11,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以111111()1(0,1,2,11)33kkk P x k C k −⎛⎫⎛⎫==−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………………………………………………8分 假设11人中不明显有效运动的人数最有可能是k ,则1111011111111121111111111133331111113333k k k kk k k k k kk k C C C C −+−+−−−−⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−≥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪−≥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩………………………………………10分得34k ≤≤ 所以11人中不明显有效运动的人数最有可能是3或4.………………………………………………………………………………………………12分21. 解：（1）设00(,)P x y ， 2200221x y a b−=，则2220022y x a b a −=，又(,0)A a −，(,0)B a ， ∴2200022200013PA PB y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅===+−−，……………………………………3分 又焦点到其一条渐近线0bx ax +=1b ==，解得：a =1b =. 所以双曲线C 的方程：2213x y −=……………………………………………………6分（2）设直线MN 的方程为x my t =+，()11,M x y ，()22,N x y .由2233x my t x y =+⎧⎨−=⎩得222(3)230m y mty t −++−=，∴12223mt y y m +=−−， 212233t y y m −=− …………………………………………………………………………………………………8分()),,A B直直线:AM y x =+直，则直线AM 直在y 直轴上的距距为，直线:BN y x =，则直线BN 在y，=又13AM BMk k ⋅==，113x y =.所以11x y=1212(0x x y y −+=，…………………………………………………………………………………………………10分∴1212(0my t my t y y +++=，∴221212(1)(()(0m y y t m y y t ++++=，∴2222232(1)((033t mtm t m tm −−+⋅+⋅+=−−，化简得：t =或t =. 若t =，直线MN 过顶点，舍去. t ∴=.则直线MN 的方程为x my =+，所以直线MN 过定点E .………………………………………………………………………………………………12分22 解：（1）由于'()e 2(1)x f x a e x =−−,…………………………………………………2分由题知()0f x '=有两个不同实数根,即2(1)xe x a e −=有两个不同实数根.令2(1)()xe x g x e −=，则2(2)'()0x e x g x e −=≥，解得2x ≤，故()g x 在(,2]−∞上单调递增，在[2,)+∞直上单调递减，且lim ()x g x →−∞=−∞直，lim ()0x g x →+∞=直，2(2)g e=直，故()g x 直的图如如图所示，………………………………………………………………………………………………4分当20,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f 1x ≤或2x x ≥，故()f x在1(0,]x ()f x 的极大值点为1x ，极小值点为2x .故()e (x f x a e =−2e ⎫⎪⎭.5分 (2)由于211222111))(e 21)()1(ex x x λ−≥+−−− …………………………………………………………………………………………………6分若设111t x =−，22121(0)t x t t =−<<，则上式即为1212(2)et e t t t λ+−≥⋅由(1)可得1212e 20e 20t t a t a t ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩,两式相除得2121e t t t t −=,即1221ln 0t t t t −=>,由1212(2)et e t t t λ+−≥⋅得()[]22112121(2)ln t et e t t t tt t λ−+−≥…………………………………………………………………………………………………9分所以2112212(e 2)e ln t t t t t t λ+−−⋅≤,令211t t t =>,2(2)()(1)ln e e t t h t t t +−−=>， 则()h t λ≤在(1,)+∞恒成立,由于2222(2)ln 2(2)()ln e t e t t e t eh t t t⎡⎤−+−−−+⎣⎦'=, ………………………………………………………………………………………………10分令22()(2)ln 2(2)t e t e t t e t e ϕ⎡⎤=−+−−−+⎣⎦,则()2(2)ln 2(2)e t e t t e t tϕ'=−−−−+, 2()2(2)ln 2(2)2et e t e e tϕ''=−+−−−+,显然()t ϕ''在(1,)+∞递增，又有1(1)20,(e)3e 60eϕϕ''=−<''=−−> ,所以存在0(1,)t e ∈直得得()00t ϕ''= ,且易得()t ϕ'直在()01,t 直递减,()0,t +∞直递增,又有2(1)0,(e)e 2e 10ϕϕ'='=−−> ,所以存在1(1,e)t ∈直得得()10t ϕ= ,且易得()t ϕ直在()11,t 直递减,()1,t +∞直递增,又(1)(e)0ϕϕ== ,则1e x <<直时,()0,()0,e t h t x ϕ<'<>时,()0,()0t h t ϕ>'>,所以易得()h t 在(1,e)上递减,在(e,)+∞上递增,则2min ()(e)(e 1)h t h ==−, 所以λ的取值范围为2](,(1)e −∞−.………………………………………………………………………………………………12分。

2023年2月６日浙江名校协作体高三考试试卷一，选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{}2|30,{1,2,3,4,5}A x x x B =-<=，则()R A B =ðA ．{1,2}B ．{4,5}C ．{3,4,5}D ．{2,3,4,5}2．已知复数z 满足：(2i)1i z -=-，则||z =A B C D3．若向量,a b满足()2,a b a a b ==⊥- ，则a 与b 的夹角为A ．4πB ．3πC ．23πD ．34π4．设,x y 为正实数，若5224x y xy ++=，则2x y +的最小值是A ．4B ．3C ．2D ．15.刍甍是如图所示五面体ABCDEF ，其中////AB CD EF ，底面ABCD 是平行四边形。

《九章算术·商功》对其体积有记载：“求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。

”意思是：若EF c AB a ==，，AB CD 、之间的距离是h ，直线EF 与平面ABCD 之间的距离是H ，则其体积()26Hh a c V +=。

现有刍甍ABCDEF ，13EF AB ==，，AB CD 、之间的距离是2，EF 与平面ABCD 之间的距离是4。

过AE 的中点G ，作平面//α平面ABCD ，将该刍甍分为上下两个部分，则上、下体积之比为（）。

A.13：。

B.17：。

C.57：。

D.523：。

6.已知抛物线24y x =，过焦点F 的直线与抛物线交于A B 、两点，若()1613AB AF FB λλ==> ，则λ=（）A.3B.4C.5D.67．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，两个等式()02f x f x π⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，()02f x f x π⎛⎫--= ⎪⎝⎭对任意的实数x 均成立，()f x 在5,828ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为A ．17B ．16C ．15D ．13８，对于任意正整数对(),h k ，定义函数(),f h k 如下：()()()()()1,1,11,,f j i f i j j i f i j =++=-，i j ≤，则A，()1,1f i j +=B，()1,2i jf i j C -=C，()()21,21jji jf i j j =⎡⎤⋅=⋅-⎣⎦∑D，()11,22jn nj i j f i j n ==⋅=+-⎡⎤⎣⎦∑∑二，选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。

2023学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科（答案在最后）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.抛物线24x y =的准线方程为（）A.=2y -B.2x =- C.1y =- D.=1x -【答案】C 【解析】【分析】求出焦参数p ，根据焦点的位置确定准线方程．【详解】由题意焦点在y 轴正半轴，24p =，2p =，所以准线方程为1y =-．故选：C ．2.数列1，53，52，…的通项公式可能是（）A.211n n a n +=+ B.211n n a n +=+ C.221n n a n =- D.221n n a n -=【答案】A 【解析】【分析】代入即可结合选项逐一排除.【详解】当2n =时，对于B 中2221352153a +==≠+，当3n =时，对于C 中2339523152a ==≠⨯-，对于D 中3223155392a ⨯-==≠，四个选项中只有211n n a n +=+同时满足11a =，253a =，352a =.故选：A3.已知直线1l ：10mx y ++=，2l ：()3230x m y m +++=，若12//l l ，则m 的值为（）A.1B.－3C.1或－3D.－1或3【答案】B 【解析】【分析】根据直线平行得到方程，求出3m =-或1，检验后得到答案.【详解】由题意得()230m m +-=，解得3m =-或1，当3m =-时，直线1l ：310x y -++=，2l ：390x y --=，两直线平行，满足要求.当1m =时，直线1l ：10x y ++=，2l ：10x y ++=，两直线重合，舍去，故选：B4.已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，则下列命题正确的是（）A.若//m n 且n ⊂α，则//m αB.若//m α且n ⊂α，则//m nC.若m α⊥且n ⊂α，则m n ⊥D .若αβ⊥且m α⊂，则m β⊥【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行，线面垂直，面面垂直的判定和性质依次判断各选项.【详解】对于A ，若//m n ，n ⊂α，则//m α或m α⊂，故A 错误；对于B ，若//m α，n ⊂α，则//m n 或m 与n 异面，故B 错误；对于C ，由线面垂直的性质定理可知C 正确；对于D ，若αβ⊥，m α⊂，则m 可能在β内，可能与β平行，可能与β相交，故D 错误.故选：C.5.已知点()4,2P -和圆Q ：()()224216x y -+-=，则以PQ 为直径的圆与圆Q 的公共弦长是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】由题可得以PQ 为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案.【详解】由题可得()4,2Q ，则以PQ 为直径的圆的圆心坐标为()0,2，半径为4，则PQ 为直径的圆的方程为：()22216x y +-=.将两圆方程相减可得公共弦方程为：2x =.则圆Q 圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q 半径为4，则公共弦长为：=.故选：D6.江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB =水面上升5米，则水面宽为（）A.米 B. C.米D.30米【答案】D 【解析】【分析】设双曲线方程为()222210,0y x a y a a-=><，如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为CD ，设D (),5x a --.由题可得()10B a --，代入方程可得a ，后可得x ，即可得答案.【详解】设双曲线方程为()222210,0y x a y a a-=><，如图建立直角坐标系.水面上升5米后，设水面宽为CD ，设D (),5x a --，其中0x >.又由题可得()10B a --，代入双曲线方程可得：()()222221050011050020a a a a a a+-=⇒+-=⇒=，则D (),25x -.将D 点坐标代入双曲线方程可得：2625115400400x x -=⇒=，则D ()15,25-.又由对称性可得()15,25C --，则水面上升5米，则水面宽为30米.故选：D7.在正三棱台111ABC A B C -中，111132A B AA AB ===，11A B AB O ⋂=，则异面直线OC 与1BC 所成角的余弦值是（）A.13B.23C.33D.23【答案】B 【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，根据向量法求异面直线所成角.【详解】取AB 中点1O ，取11A B 中点Q ，连接1QO ，O 在1QO 上，且1332QO =，因为在正三棱台111ABC A B C -中，所以1O C AB ⊥，111QC A B ⊥，又111132A B AA AB ===，113333,2O C QC ==，在梯形11O CC Q 中，过点1C 作11C R O C ⊥，垂足为R ，过点Q 作1QS O C ⊥，垂足为S ，过点O 作1OT O C ⊥，垂足为T ，所以//OT QS ，则1111OT OO O T QSO QO S==，设1,C R h RC x ==，在1Rt C RC 和1Rt QSO 中，2222221111CC RC C R QS QO O S -===-，即22223333322x x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3x =6h =，因为1A OQ 与1BOO 相似，所以11112OQ A Q OO O B==，即112623,3333OT QS O T O S ====，如图，分别以11,O B O C 所在直线为x 轴，y 轴，过1O 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，11A B AB O ⋂=，所以()()(13263,0,0,,0,,0,,33B C C O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(13,,0,,33BC CO ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设异面直线OC 与1BC 所成角为α，则111cos cos ,3BC COBC CO BC COα⋅===，故选：B.8.如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知1122311n n OA A A A A A A -===⋅⋅⋅==，记1OA ，2OA ，…，n OA 的长度构成的数列为{}n a ，则202411i ia =∑的整数部分是（）A.87B.88C.89D.90【答案】B【解析】【分析】根据等差数列、放缩法、裂项求和法等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题意知，1122311n n OA A A A A A A -===⋅⋅⋅==，且12OA A △，23OA A △，…，1n n OA A -△都是直角三角形，所以11a =，且2211n n a a -=+，所以数列{}2n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()20242111111,1ni ia n n a ==+-⨯==∑，1111++<++121=+++1189=<=，11+++21=++288==，即188891<++，所以所求整数部分都是88.故选：B.【点睛】方法点睛：定义法：若1n n a a +-=常数，则{}n a 是等差数列；等差中项法：若122n n n a a a ++=+，则{}n a 是等差数列.数列求和的方法可以考虑等差数列的前n 项和公式，也即公式法，也可以考虑利用裂项求和法.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分.9.已知向量()1,2,0a =- ，()2,4,0b =-，则下列正确的是（）A.//a bB.a b⊥ C.2b a= D.a 在b方向上的投影向量为()1,2,0-【答案】ACD 【解析】【分析】ABC 选项，根据2b a =得到//a b 且2b a = ，AC 正确，B 错误；D 选项，利用投影向量的求解公式得到答案.【详解】ABC 选项，由题意得2b a =，故//a b 且2b a = ，AC 正确，B 错误；D 选项，a 在b方向上的投影向量为()01,2,a b b b b-⋅--⋅⋅=-，D 正确.故选：ACD10.若正项数列{}n a 为等比数列，公比为q ，其前n 项和为n S ，则下列正确的是（）A.数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列B.数列{}lg n a 是等差数列C.若{}n a 是递减数列，则01q <<D.若13n n S r -=-，则1r =【答案】ABC 【解析】【分析】设正项等比数列{}n a 的首项为1a ，则通项公式11n n a a q-=，利用等比、等差数列的定义可判定A 、B ，由10n n a a +-<，可求q 的范围，判断C ，由n S 求出1a ，再由正项数列的条件，得r 的范围，判断D .【详解】设正项等比数列{}n a 的首项为1a ，则通项公式11n n a a q-=，则()2212111n n a a q -=，所以()2221122212111111n n n n a a q q a a q +-==，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为211a ，公比为21q 的等比数列，A 正确；则()1lg 1lg lg n a n q a =-+，所以数列{}lg n a 是以1lg a 为首项，以lg q 为公差的等差数列，故B 正确；若{}n a 是递减数列，则()110n n n n n a a a q a a q +-=-=-<，因为0n a >，则0q >，则01q <<，C 正确；若13n n S r -=-，则1110a S r ==->，则1r <，D 错误.故选：ABC11.如图所示，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则（）A.A ，B 两点的纵坐标之和为常数B.在直线l 上存在点P ，使90APB ∠>︒C.1,,A O B 三点共线D.在直线l 上存在点P ，使得APB △的重心在抛物线上【答案】CD 【解析】【分析】对于A ：设出直线方程，与抛物线联立，通过韦达定理来判断；对于B ：通过计算PA PB ⋅的正负来判断；对于C ：通过计算1,OA OB k k 是否相等来判断；对于D ：求出重心，代入抛物线方程，看方程是否有解来判断.【详解】对于A ：设直线AB 的方程为2px ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pty p --=，所以122y y pt +=，不为常数，A 错误；对于B ：设,2p P m ⎛⎫-⎪⎝⎭，122y y pt +=，212y y p =-，则()()11221212,,2222p p p p PA PB x y m x y m x x y m y m⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+-⋅+-=+++-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()221212121224p p x x x x y y m y y m =++++-++()()()221221212122424y y p p t y t p y y m y y m p =+++++-++⎡⎤⎣⎦42222222424p p p pt p p ptm m p ⎡⎤=+++--+⎣⎦()222220p t ptm m pt m =-+=-≥则90APB ∠≤ ，故在直线l 上不存在点P ，使90APB ∠>︒，B 错误；对于C ：由题可得112212,2OA OB y y yk k p x p ===--，则1121121121112222OA OB p py y ty y y py x y k k x p px px ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭-=+==()221212112220p y y ty y p t p tpx px ++-===，所以1=OA OB k k ，即1,,A O B 三点共线，C 正确；对于D ：设,2p P m ⎛⎫-⎪⎝⎭，又()212122x x t y y p pt p +=++=+，则APB △的重心坐标为12122,33p x x y y m ⎛⎫+- ⎪++ ⎪⎪⎝⎭，即2222,33p pt pt m ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得22222233p pt pt m p ++⎛⎫=⋅⎪⎝⎭整理得22224830m ptm p t p +--=，()222222221648348120p t p t p p t p ∆=++=+>，所以在直线l 上存在点P ，使得APB △的重心在抛物线上，D 正确.故选：CD12.在正三棱锥S ABC -中，,,SA SB SC 两两垂直，2AB =，点M 是侧棱SC 的中点，AC 在平面α内，记直线BM 与平面α所成角为θ，则当该三棱锥绕AC 旋转时θ的取值可能是（）A.53°B.60°C.75°D.89°【答案】AB 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线BM 与平面α所成角的正弦，求其范围，然后比较角的大小即可.【详解】因为,,SA SB SC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则)()(2,,,0,0,2AB C M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭则(,0,2AC BM ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，设面α的法向量为(),,n x y z =，则0n AC ⋅=+=，取1x =可得()1,,1n y =，所以sin BM nBM nθ⋅==⋅ ，令12y t -=，则12y t =+==当0=t时，0=，sin 0θ=，则0θ=，当0t ≠时，=又229113188142399t t t ⎛⎫⎛⎫++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤=，所以sin θ≤=又sin 602︒=<，()1sin 75sin 304522224+︒=︒+︒=⨯则当该三棱锥绕AC 旋转时θ的取值可能是AB.故选：AB.【点睛】方法点睛：对于线面角，可通过建立空间直角坐标系将其表示出，然后求其范围.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.14.已知数列{}n a 为等比数列，163a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，当n T 取最大值时，n =______.【答案】6【解析】【分析】先求出{}n a 的通项公式，当111n n a a +≥⎧⎨≤⎩时，其前n 项积n T 最大，得解.【详解】由题意可得11632n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，*N n ∈，12n n T a a a ∴=⋅L ，且0n a >，当111n n a a +≥⎧⎨≤⎩时，n T 最大，即11631216312n n-⎧⎛⎫⨯≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得6n =.故答案为：6.15.已知某圆锥底面直径与母线长之比为6:5，其内切球半径为1，则此圆锥的体积等于______.【答案】32π9##32π9【解析】【分析】画出圆锥的轴截面后进行分析，注意利用三角形面积公式与内切圆半径的关系()12S a b c r =++，然后利用圆锥体积公式即得.【详解】圆锥的轴截面如图所示：设该圆锥的底面直径为6x ，则底面半径为3x .因为底面直径与母线长之比为6:5，所以母线长5x ，所以该圆锥的高4h x ==,因为内切球的半径为1，根据面积相等，可得圆锥轴截面的面积为()1164556122x x x x x ⨯⨯=++⨯，解得23x =，所以圆锥的底面半径为2，高为83，所以此圆锥的体积211832ππ23339V Sh ==⨯⨯=.故答案为：32π9.16.已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，两顶点为A ，B ，双曲线C 上一点P 满足3PA PB =，则tan APB ∠=______.【答案】43##113【解析】【分析】先设(),P x y ，根据3PA PB =列出方程，得到222502x ax y a -++=，联立椭圆方程得到53,44P a a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，作出辅助线，得到tan 3APD ∠=，1tan 3BPD ∠=，利用正切的差角公式求出答案.【详解】不妨设双曲线C 的方程为()2220x y aa -=>，A ，B 为左右顶点.设(),P x y ，因为3PA PB =，所以()()222299x a y x a y ++=-+，化简得：222502x ax y a -++=，则222222502x y a x ax y a ⎧-=⎪⎨-++=⎪⎩，解得5434x a y a⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以53,44P a a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，不妨设P 在第一象限，作PD x ⊥轴于D ，则34PD a =，544a a BD a =-=，94AD AB BD a =+=，故94tan 334a AD APD a PD ∠===，14tan 334a BD BPD a PD ∠===，()13tan tan 43tan tan 11tan tan 3133APD BPD APB APD BPD APD BPD -∠-∠∠=∠-∠===+∠⋅∠+⨯.故答案为：43四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，749=S ，59a =.（1）求n S ；（2）若3S 、118S S -、k S 成等比数列，求k 的值.【答案】（1）2n S n =（2）19k =【解析】【分析】（1）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，依题意得到方程组，解得1a 、d ，即可求出通项公式与n S ；（2）由（1）可得3S 、118S S -、k S 的值，再根据等比中项的性质得到方程，求出k .【小问1详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由749=S ，59a =，所以715176749249S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得121d a =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-，则()21212n n n S n +-==.【小问2详解】由（1）可知2339S ==，11857S S -=，2k S k =，又3S 、118S S -、k S 成等比数列，所以()21183k S S S S -=⋅，即22579k =⨯，解得19k =或19k =-（舍去），19k ∴=.18.已知圆C 的圆心在直线25y x =+上，且过()2,4A -，()2,6B 两点.（1）求圆C 的方程；（2）已知l ：()()()131510m x m y m ++--+=，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.【答案】（1）()2255x y +-=（或2210200x y y +-+=）（2）35m =或3m =【解析】【分析】（1）方法一：设出圆心(),a b ，根据CA CB =和圆心在直线25y x =+上得到方程组，求出0a =，5b =，得到圆心和半径，得到答案；方法二：求出AB 的中垂线方程，联立25y x =+得到圆心坐标，进而得到半径，得到圆的方程；（2）利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出实数m 的值.【小问1详解】方法一：设圆心C 的坐标为(),a b ，则25b a =+，又CA CB =，则=，即250a b +-=，解得0a =，5b =，所以圆C 的半径r AC ==，所以圆C 的方程是()2255x y +-=（或2210200x y y +-+=）.方法二：AB 的中点坐标为()0,5，12AB k =，则AB 的中垂线方程为25y x =-+.则2525y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得05x y =⎧⎨=⎩，所以圆心C 的坐标为()0,5，所以圆C 的半径r AC ==，所以圆C 的方程是()2255x y +-=（或2210200x y y +-+=）.【小问2详解】设圆心C 到直线的距离为d ，由题意可得d ==，平方整理后可得251890m m -+=，解得35m =或3m =.19.如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 是正三角形，12AA AB ==，11A AB A AC∠=∠，点N 是棱11B C 的中点，AN =.（1）求证：1BC AA ⊥；（2）求平面1A AN 与平面ANB 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）取BC 的中点M ，连接AM ，1A B ，1AC ，1A M ，即可证明AM BC ⊥、1A M BC ⊥，从而得到BC ⊥平面1AA M ，即可得证；（2）解法一：连接MN ，1A N ，利用余弦定理求出AMN ∠，在平面1NMAA 中，过点M 作1MD A N ⊥交1A N 于点D ，则DM AM ⊥，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；解法二：连接MN ，利用余弦定理求出AMN ∠，作MF AN ⊥于F ，连接BF ，即可得到BFM ∠为二面角B AN M --的平面角，再由锐角三角函数计算可得.【小问1详解】取BC 的中点M ，连接AM ，1A B ，1AC ，1A M ，∵三棱柱111ABC A B C -中，AB BC CA ==，∴AM BC ⊥，又∵11A AB A AC ∠=∠，∴11A AB A AC ≌△△，∴11A B A C =，∴1A M BC ⊥，又1A M AM M = ，1,A M AM ⊂平面1AA M ，∴BC ⊥平面1AA M ，又1AA ⊂平面1AA M ，∴1BC AA ⊥.【小问2详解】方法一：连接MN ，1A N ，在AMN 中，13AN =，3AM =2MN =，所以222cos 22AM MN AN AMN AM MN +-∠==-⋅，则150AMN ∠=︒，显然1//MN BB 且1MN BB =，11//BB AA 且11BB AA =，所以1MN AA //且1MN AA =，所以四边形1NMAA 为平行四边形，则1//MA NA ，在平面1NMAA 中，过点M 作1MD A N ⊥交1A N 于点D ，则DM AM ⊥，则60NMD ∠=︒，所以sin 301DM MN =︒=，如图建立空间直角坐标系，则)A，()0,1,0B，()N ，所以)1,0BA =-，()AN =-，设平面ABN 的法向量为(),,n x y z =，则0n BA y n AN z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取(n =，又平面1AA N 的一个法向量()0,1,0m =，∴cos ,4n m n m n m ⋅==，所以平面1A AN 与平面ANB 的夹角的余弦值为34.方法二：显然1//MN BB 且1MN BB =，11//BB AA 且11BB AA =，所以1MN AA //且1MN AA =，所以四边形1NMAA 为平行四边形，连接MN ，在AMN中，AN =，AM =2MN =，即2223cos 22AM MN AN AMN AM MN +-∠==-⋅，即150AMN ∠=︒.作MF AN ⊥于F ，连接BF .因为BC ⊥平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以AN BC ⊥，又BC MF M = ，,BC MF ⊂平面BMF所以AN ⊥平面BMF ，BF ⊂平面BMF ，所以AN BF ⊥，所以BFM ∠为二面角B AN M --的平面角.在AMN 中，11sin15022AN FM AM MN =︒，解得13FM =.则BF =，所以cos 4FM BFM BF ∠==.所以平面1A AN 与平面ANB的夹角的余弦值为4.20.已知点F 为抛物线C ：()2201y px p =<<的焦点，点()0,1A x 在抛物线C 上，且54AF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k ⋅=-，求证：直线l 过定点.【答案】（1）2y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义与点()0,1A x 在抛物线C 上列式求解即可；（2）方法一：分直线斜率存在于不存在两种情况，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，进而表达12k k ⋅再化简即可；方法二：设()211,M t t ，()222,N t t ，代入1212k k ⋅=-化简，结合直线l 的方程为()221112221t t y t x t t t --=--即可.【小问1详解】由题意得：0052421p x px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得0121p x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或0214p x =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去），所以抛物线C 的方程为2y x =.【小问2详解】方法一：①当直线l 斜率存时，设直线l ：()0y kx m k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，则2y xy kx m⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得20ky y m -+=，则140km ∆=->，121y y k +=，12m y y k⋅=，而()()()121212121212111111111y y k k x x y y y y y y --⋅=⋅==--+++++112k m k ==-++，整理得310m k ++=，所以13m k =--，所以直线l ：()1331y kx k k x =--=--，所以直线l 过定点()3,1-.②当直线l 斜率不存在时，设直线l ：()0,1x m m m =>≠，则(M m，(,N m，则1211111112k k m m m --⋅=⋅==----，得3m =，所以直线l ：3x =，则点()3,1-在直线l 上.综上：直线l 过定点()3,1-.方法二：设()211,M t t ，()222,N t t ，则()()1212221212111111112t t k k t t t t --⋅=⋅==---++，则()12123t t t t =--+，直线l 的方程为()221112221t t y t x t t t --=--，则()()12122112211221311131t t t t y x x x t t t t t t t t t t --+=+=+=--+++++，所以直线l 过定点()3,1-.21.已知数列{}n a 满足12a =，()()*111pn n na pa n a +-=+-∈N .（1）若0p =，求数列{}3nn a ⋅的前n 项和n S ；（2）若1p =，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<.【答案】（1）1321344n n n S ++=-+⋅（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由数列{}n a 递推公式可得其通项公式，再由错位相减法求数列{}3nn a ⋅的前n 项和；（2）若1p =，可得()111n n n a a a +-=-，从而111111n n n a a a +=---，利用裂项相消法推导出前n 项和为n T ，再由n T 的单调性可证明不等式成立.【小问1详解】当0p =时，则111n na a +-=，得11n n a a +-=，所以11n n a a +-=，所以数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列.所以()2111n a n n =+-⨯=+，则()313nnn a n ⋅=+⋅，所以()2323334313nn S n =⨯+⨯+⨯+++⋅ ，()2341323334313n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⋅ ，两式相减得()234126333313nn n S n +-=+++++-+⋅ ()()21131361313n n n -+⨯-=+-+⋅-，所以1321344n n n S ++=-+⋅.【小问2详解】当1p =时，由111n n na a a +-=-，得211n n n a a a +=-+，所以()2212110n n n n n a a a a a +-=-+=->，所以数列{}n a 单调递增，因为12a =，所以2n a ≥，又由111n n na a a +-=-，可得()111n n n a a a +-=-，所以()11111111n n n n n a a a a a +==----，即111111n n n a a a +=---，则1212231111111111111111111111n n n n n T a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以1111n n T a +=--，易知1111n a +⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为递增数列，且23a =，所以21111111211n a a +=-≤-<--，即：112n T ≤<.【点睛】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，利用裂项相消法求和.22.已知离心率为2的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B .（1）求双曲线1C 的方程；（2）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S ，的取值范围.【答案】（1）22143x y -=（2）,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据椭圆与双曲线的基本量求解即可；（2）方法一：设直线AP ：()0022y y x x =++，()11,D x y ，联立直线与双曲线的方程，结合()00,P x y 在双曲线上，化简可得104x x =，同理04Q x x =，代入20Q x x λ=化简，结合双曲线方程可得233,P λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再根据正弦定理，结合sin sin BDP ADB ∠=∠代入化简可得=，再根据102λ<<求解范围即可；方法二：设直线DE ：x ty m =+，()11,D x y ，()22,E x y ，联立方程得出韦达定理，再根据P ，A ，D 三点共线，P ，B ，E 三点共线，列式化简可得002222x m m x --=++，进而可得02x λ=，结合双曲线方程可得2,P λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再根据正弦定理，结合sin sin BDP ADB ∠=∠=再根据102λ<<求解范围即可.【小问1详解】由题意得：22222c a c a b a ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩，解得b =所以双曲线1C 的方程为22143x y -=.【小问2详解】方法一：设直线AP ：()0022y y x x =++，()11,D x y ，则()0022223412y y x x x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩，消y 得：()()()2222000222000416163120222y y y x x x x x ⎡⎤+++-=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦，得：()()220012200161222324y x x x y-+-=++，又因为()00,P x y 在双曲线上，满足2200143x y -=，即22004312y x =-，所以()()()()()()2222000001222200000008626246224246232432312y x x x x x x x x x y x x -+--+-+--====+++++-，即104x x =.同理设直线BP ：()0022y y x x =--，()22,E x y ，可得204x x =，所以04Q x x =.因为20Q x x λ=，所以2004x x λ=，因为00x >，所以02x λ=.把02x λ=代入双曲线方程得2204143y λ-=，解得033y λ=，则点2,P λλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.设DBP 与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ，由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP ∠+∠=︒，所以sin sin BDP ADB ∠=∠.12BP r r AB===因为102λ<<，所以12λ>13,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.方法二：设直线DE ：x ty m =+，()11,D x y ，()22,E x y ，则223412x ty m x y =+⎧⎨+=⎩，消x 得：()2223463120t y tmy m +++-=，所以122634tm y y t -+=+，212231234m y y t -=+，得()2121242m y y y y mt-=+，因为P ，A ，D 三点共线，则011022y y x x =++，因为P ，B ，E 三点共线，则022022y y x x =--，两式相除得()()1202102222y x x y x x --=++，而()()()()()()()()()()()()2121121212122121122122422222222422m y y m m y y x y ty m ty y m y y x y ty m ty y m y m y y m m y-++--+-+-===+++++-+++()()()()()()121222222222m m y m y m mm m y m y ⎡⎤-++--⎣⎦==+⎡⎤+++-⎣⎦.因为20Q x x λ=，所以20m x λ=.因为002222x m m x --=++，所以2002002222x x x x λλ--=++，得02x λ=，把02x λ=代入双曲线方程得2204143y λ-=，解得033y λ=，则点2,P λλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.设DBP 与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ，由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP ∠+∠=︒，所以sin sin BDP ADB ∠=∠，12BP r r AB===因为102λ<<，所以12λ>13,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点晴：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，注意判别式的判断;（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +，12x x （或12y y +，12y y ）的形式；。

浙江省名校协作体2022-2023学年高二下学期联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A ．2
B ．3
C ．4
D 二、多选题
9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，50a =则（）
A ．370a a +=
B ．280
a a <C ．100
S =D ．当且仅当4n =时，S 10．已知直线l ：10mx y m +--=，m ∈R 和圆O ：224x y +=，下列说法正确的是A ．直线l 与圆O 可能相切B ．直线l 与圆O 一定相交
C ．当1m =时，圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1
D ．直线l 被圆O 截得的弦长存在最小值，且最小值为2
11．设M 为双曲线C ：2
2
13
x y -=上一动点，1F ，2F 为上、下焦点，列结论正确的是（）
A ．若点()0,8N ，则MN 最小值为7
A ．与D F
四、解答题
17．圆M 经过点()1,2A ，()9,2B -，且圆心M 在直线5y x =-上．(1)求圆M 的方程．
(1)求双曲线C 的标准方程．
(2)如图所示，点P 是曲线C 上任意一动点（第一象限）
，直线PA x ⊥轴于点A ，PB y ⊥轴于点B ，直线AB 交曲线E 于点Q （第一象限），过点Q 作曲线E 的切线交PB 于点K ，交y 轴于点J ，求KQA BQJ S S +△△的最小值．。

一、单选题二、多选题1. 已知函数，则下列说法中，正确的是（ ）A．的最小值为B．在区间上单调递增C．的图象关于点对称D．的图象可由的图象向右平移个单位得到2. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（）A．B．C．D．3. 已知角的终边经过点，则（ ）A ．3B ．2C．D．4.已知函数，b 为常数，，若时，恒成立，则（ ）A．B．C．D．5. 已知为单位向量，且满足，则（ ）A．B．C．D．6. 已知在锐角中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若，则的最小值为（ ）A．B．C．D ．27. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）①函数的最小正周期为；②函数的图象是轴对称图形；③函数的极大值为；④函数的最小值为.A ．①③B ．②④C ．②③D ．②③④8. 已知函数在有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．9.下列关于多项式的展开式的结论中，正确的是（ ）A．各项系数之和为B．各项系数的绝对值之和为C．不存在项D．常数项为10. 若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（ ）A．B．浙江省名校协作体2024届高三上学期适应性考试数学试题(高频考点版)浙江省名校协作体2024届高三上学期适应性考试数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题C．D．11. 以下四个命题表述正确的是（ ）A．椭圆上的点到直线的最大距离为B ．已知圆C：，点P 为直线上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，AB 为切点，直线AB经过定点C ．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则m ＝4D ．圆上存在4个点到直线l ：的距离都等于112. 已知函数，则（ ）A ．在处取得极值B ．若有两解，则的最小整数值为C ．若有两解，，则D．有两个零点13. 如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C ．如图，椭圆中心为O ，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．14.若实数满足，且，则实数值为__________.15. 若tan θ＝3sin2θ，θ为锐角，则cos2θ＝___________.16. 某校举行“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，知识竞赛包含预赛和决赛.(1)下表为某10位同学预赛成绩：得分939495969798人数223111求该10位同学预赛成绩的上四分位数（第75百分位数）和平均数；(2)决赛共有编号为的5道题，学生甲按照的顺序依次作答，答对的概率依次为，各题作答互不影响，若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束，记为比赛结束时学生甲已作答的题数，求的分布列和数学期望.17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.问题：已知等差数列的前项和为，，___________，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.在平面图形中，四边形是边长为2的正方形，，将沿直线折起，使得平面垂直于平面，是的重心，是的中点，直线与平面所成角的正切值为.（1）求棱锥的体积；（2）求平面与平面所成的角.19. 某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如图所示.（1）从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；（2）从2011年至2020年中任选两年，设为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求的分布列和数学期望；（3）将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，试比较的大小.（只需写出结论）20. 如图所示，直三棱柱的各棱长均相等，点E在上，满足.(1)证明为的中点；(2)求平面与平面夹角的余弦值.21. 为落实节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取型和型设备各台，得到如下频率分布直方图．(1)将使用寿命超过小时和不超过小时的台数填入下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断使用寿命是否超过小时与型号有没有关联，说明理由．型号使用寿命合计超过小时不超过小时型型合计(2)用分层抽样的方法从使用寿命不超过小时的型和型设备中共抽取台，再从这台设备中随机抽取台，设其中型设备有台，求的分布列和．(3)现有一项工作需要台同型号设备同时工作小时才能完成，工作期间若设备损坏，则立即更换同型号设备（更换设备的时间忽略不计）．型和型设备每台的价格分别为万元和万元，型和型设备每台每小时分别耗电度（度千瓦时）和度，电价为元/度．用频率估计概率，只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备？说明理由．附：，其中．。

2023学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科命题：春晖中学 舟山中学 审核：丽水中学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}21,0,1,2,3,230A B x x x =-=+->，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．{}2,3C ．{}1,0,1-D ．{}1,0,1,2- 2．已知复数2i1iz +=-，则2z z +在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在ABC △中，13BD BC =，若,AB a AC b ==，则AD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b + C ．1233a b - D ．2133a b -4．已知函数()22log y ax x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()1,+∞5．抛物线24y x =的焦点为F ，过点)M 的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于点C ．若3BF =，则BCAC=（ ） A ．34 B ．45 C ．56 D ．676．某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（ ） A ．124 B ．246 C ．114 D ．1087．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如图所示，M N 、是直线1y =-与曲线()y f x =的两个交点，且29MN π=，则()f π的值为（ ）A B ．1- C ． D ．8．已知四面体ABCD 中，2,120AD BD BCD ==∠=︒，直线AD 与BC 所成的角为60︒，且二面角A CDB --为锐二面角．当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）A ．323πB ．163π C ．16π D ．8π二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．9．下列命题成立的是（ ） A ．已知()0,1N ξ~，若(1)P p ξ>=，则()1102P p ξ-≤≤=- B ．若一组样本数据()(),1,2,3,,i i x y i n =的对应样本点都在直线23y x =-+上，则这组样本数据的相关系数r 为1-C ．样本数据64，72，75，76，78，79，85，86，91，92的第45百分位数为78D ．对分类变量X 与Y 的独立性检验的统计量2χ来说，2χ值越小，判断“X 与Y 有关系”的把握性越大 10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 为平面ABC 内一动点，则下列说法正确的是（ ）A ．若点P 在棱AD 上运动，则1A P PC +的最小值为2+B ．若点P 是棱AD 的中点，则平面1PBC 截正方体所得截面的周长为+C ．若点P 满足11PD DC ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线D ．若点P 在直线AC 上运动，则P 到棱1BC 11．设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x +--=，()()1f x g x ''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A ．()10g =B ．函数()g x '的图象关于()1,0对称C ．()f x 的周期为4D ．20231()0k g k ==∑12．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且10a >，则下列叙述中正确的是（ ） A ．若1423a a a a +=+，则1q = B ．若213ln ln a a a =+，则0q <C ．若1232aaa e e =+，则1q > D ．若101a <<，且()1231234ln a a a a a a a ++=+++，则1q >非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知函数()()()41,,12log ,1,xx f x x x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪∈+∞⎩，则()1f x >的解集为__________． 14．若过点()2,1的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为__________．15．已知F 是椭圆22:143x y C +=的左焦点，过F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，则4AF BF +的最小值为__________．16．已知不等式ln ln x x m x x n -≥+对0x ∀>恒成立，则当nm取最大值时，m =__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知()()sin sin f x x x x =-． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC △中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ．若()3,22f A a ==，求2b c +的取值范围． 18．（本题满分12分）已知四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为等腰梯形，,4,2AB DC AB AD DC ===∥，4,BE ADE=△为等边三角形．（1）求证：平面ADE ⊥平面ABCD ；（2）是否存在一点F ，满足(01)EF EB λλ=<<，使直线AF 与平面BDE 所成的角为60︒？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 19．（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()()*1312n n S a n =-∈N ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设,,n n n n a n b n a n +⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 的项和2n T ．20．（本小题满分12分）某科研所研究表明，绝大部分抗抑郁抗焦虑的药物都有一个奇特的功效，就是刺激人体大脑多巴胺（Dopamine ）的分泌，所以又叫“快乐药”．其实科学、合理、适量的有氧运动就会增加人体大脑多巴胺（Dopamine ）的分泌，从而缓解抑郁、焦虑的情绪．人体多巴胺（Dopamine ）分泌的正常值是107.2246.6μg/24h -，定义运动后多巴胺含量超过400μg/24h 称明显有效运动，否则是不明显有效运动．树人中学为了了解学生明显有效运动是否与性别有关，对运动后的60名学生进行检测，其中女生与男生的人数之比为1∶2，女生中明显有效运动的人数占1，男生中明显有效运动的人数占34． （1）根据所给的数据完成上表，并依据0.100α=的独立性检验，能否判断明显有效运动与性别有关？并说明理由．（2）若从树人中学所有学生中抽取11人，用样本的频率估计概率，预测11人中不明显有效运动的人数最有可能是多少？附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：21．（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为,AB P 、为双曲线上异于A 、B 的任意一点，直线PA PB 、的斜率乘积为13．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为1． （1）求双曲线C 的方程；（2）设不同于顶点的两点M N 、在双曲线C 的右支上，直线AM BN 、在y 轴上的截距之比为1:3．试问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 22．（本小题满分12分）已知函数()2e (1)x f x a e x =--有两个极值点()1212,x x x x <．其中,a e ∈R 为自然对数的底数． （1）求实数a 的取值范围；（2）若()()()()121222111ex e x e x x λ+-+-≥--恒成立，求λ的取值范围．2023学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．三、填空题：本大题共4小题，单空题4分，多空题6分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．()(),04,-∞+∞ 14 15．274 16．e四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）化简得()1cos21sin 22226x f x x x π-⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ 令3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，得到2,63k x k k ππππ+≤≤+∈Z 所以()f x 的增区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）由()32f A =，得sin 216A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由于132666A πππ<+<，所以3262A ππ+=得到23A π=()2sin 2sin sin 2sin 4cos sin 3a b c B C B B B A π⎫⎛⎫+=+=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由于()0,24cos 2,43B b c B π<<+=∈18．解：（1）等腰梯形ABCD 中，4,2A B A D D C ===，得到B D A D ⊥，BD =．由22216BD DE BE +==，得到BD DE ⊥，且AD DE D =，因此BD ⊥平面ADE ，又因为BD ⊂平面ABCD ，故平面ADE⊥平面ABCD（2）方法一：由（1）知BD ⊥面ADE ，得到面BDE⊥面ADE ．作AH DE ⊥于H 点，有AH ⊥面BDE ．AFH ∠即为直线AF 与面BDE 所成角在直角三角形AHF 中，由AH =60AFH ∠=︒，得到1FH =由1,60EHFH HEF ==∠=︒得1FE =，又4EB =，所以存在14λ=．方法二：以点D 为坐标原点，x 轴，DB 为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系．其中()()()(0,0,0,2,0,0,,D A B E得到()(0,23,0,DB DE ==，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =由00n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，不妨设1z =-，则取()3,0,1n =-又()()1,23,3,,EB EF EBλλ=--==-(()(),AF AE EF λλ=+=-+-=--则cos ,sin 60216AF n AF n AF nλ⋅===︒=，0λ=（舍去）或14所以，14λ= 19．解：（1）由231n n S a =-，得()112312n n S a n --=-≥，两式相减得()132n n a a n -=≥． 令11,1,n a ==∴数列{}n a 成等比数列，13n n a -∴=（2）由于113,3,n n n n n b n n --⎧+=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ()()024222911352133338n n S n n --=++++-+++++=+奇数项1352123436323n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅偶数项①，则35721923436323n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅偶数项②，①-②得：()()13212121319823332322319n n n n S n n -++⋅--=+++-⋅=-⋅-偶数项()22433332n n S -⋅+=偶数项()()2222224333241319183232nn n n n n T n n -⋅++⋅--∴=++=+20．解：（1）因为对60名学生明显有效运动是否与性别有关的调查，其中女生与男生的人数之比为1:2，女生中明显有效运动的人数占1，男生中明显有效运动的人数占34，得到下面的列联表： 给定假设0H ：明显有效运动与性别没有关系．由于()()()()()222() 3.75 2.7060.100n ad bc P a b c d a c b d χχ-==>=≥++++， 则根据小概率值0.100α=的2χ独立性检验，有充分的证据推断假设0H 不成立，因此认为明显有效运动与性别存在差异．（2）由样本数据可知，不明显有效运动的频率为13，用样本的频率估计概率，所以不明显有效运动的概率为13， 设11人不明显有效运动的人数为X ，则111,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭所以()()11111110,1,2,1133kkk P x k C k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭假设11人中不明显有效运动的人数最有可能是k ，则1111011111111121111111111133331111113333k kk kk k k k k kk k C C C C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-≥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 得34k ≤≤所以11人中不明显有效运动的人数最有可能是3或4．21．解：（1）设()22000022,,1x y P x y a b -=，则2220022y x a b a -=，又()(),0,,0A a B a -，2200022200013PA PBy y b k k x a x a x a a ∴⋅=⋅===+--， 又焦点到其一条渐近线0bx ax +=1b ==，解得：1a b ==．所以双曲线C 的方程：2213x y -=（2）设直线MN 的方程为()()1122,,,,x my t M x y N x y =+．由2233x my t x y =+⎧⎨-=⎩得()2222121222233230,,33mt t m y mty t y y y y m m --++-=∴+=-=--()),A B，直线:AM y x =+，则直线AM 在y轴上的截距为，直线:BN y x =-，则直线BN 在y，=13AM BM k k ⋅==1=所以11x y =，则(12120x x y y -+=，(()(()22121212120,1(0my t my t y y m y y t m y y t ∴+-++=∴++-++-=，()(22222321(033t mtm t m t m m --∴+⋅+-⋅+=--，化简得：t =t =若t =MN过顶点，舍去．t ∴=则直线MN的方程为x my =+，所以直线MN过定点()E ． 22．解：（1）由于()()e 21x f x a e x '=--， 由题知()0f x '=有两个不同实数根，即()21xe x a e -=有两个不同实数根． 令()()21xe x g x e-=，则()()220x e x g x e -'=≥，解得2x ≤，故()g x 在(],2-∞上单调递增，在[)2,+∞上单调递减，且()()()2lim ,lim 0,2x x g x g x g e→-∞→+∞=-∞==，故()g x 的图象如图所示，当20,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x '有两个零点12,x x 且12x x <．则()100f x x x ≥⇔<≤'或2x x ≥，故()f x 在(]10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，()f x 的极大值点为1x ，极小值点为2x ． 故()2e (1)x f x a e x =--有两个极值点时，实数a 的取值范围为20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）由于()()()()()()()()()12121212e 2211112111ex x e x x e x e x x x λλ+-+-≥--⇔-+--≥--若设()1122121,10t x t x t t =-=-<<，则上式即为()12122et e t t t λ+-≥⋅由（1）可得1212e 20e 20t t a t a t ⎧=>⎨=>⎩，两式相除得2121e t tt t -=，即2211ln 0t t t t -=>，由()12122et e t t t λ+-≥⋅得()()221121212lnt t t et e t t t t λ-+-≥⎡⎤⎣⎦ 所以()2112212e 2e lnt t t t t t λ+--⋅≤，令()()21221,(1)ln ee t t t t h t t t t+--=>=>，则()h t λ≤在()1,+∞恒成立，由于()()()22222ln 22ln e t e t t e t e h t t t⎡⎤-+---+⎦='⎣， 令()()()222ln 22t e t e t t e t eϕ⎡⎤=-+---+⎣⎦，则()()()22ln 22et e t t e t tϕ=----+'，()()()222ln 222et e t e e tϕ=-+---'+'，显然()t ϕ''在()1,+∞递增， 又有()()1120,e 3e 60eϕϕ=-<'-'-'=>'，所以存在()01,t e ∈使得()00t ϕ''=，且易得()t ϕ'在()01,t 递减，()0,t +∞递增，又有()()210,e e 2e 10ϕϕ==--'>'，所以存在()11,e t ∈使得()10t ϕ=，且易得()t ϕ在()11,t 递减，()1,t +∞递增，又()()1e 0ϕϕ==，则1e x <<时，()()0,0,et h t x ϕ<'<>时，()()0,0t h t ϕ'>>，所以易得(h t 在()1,e 上递减，在()e,+∞上递增，则()2min ()e (e 1)h t h ==-，所以λ的取值范围为(2,(1)e ⎤-∞-⎦．。

浙江省高考数学数列解答题专项洲练【A 组】1、已知实数列｛a”｝是等比数列，其中a 7 = 1,且為，«5+1 ©成等差数列. (I) 求数列⑺”｝的通项公式；(II) 数列｛a”｝的前"项和记为 S”，证明：S” <128(n = 1,2,3,-). 解：(I )设等比数列｛a”｝的公比为q(qwR),由 =a x c[ = 1, 得 a 、= q ©, 从而 a 4 = a^3 = q 〔, a 5 = a x q A = q?, a 6 = a^q' = q '. 因为a* iz 5 +1 ©成等差数列，所以a 4+a 6= 2(a 5 +1),即 q-3+q-1 =2(q-2+l),+1) = 2((/"+1). 所以 q =㊁■故 a” = a&z = q~6 q n l= 642、记等差数列｛%｝的前n 项和为S”，已知fl 2 +a 4 =6,S 4 =10. (I )求数列MJ 的通项公式;(II)令b” = a n • 2H (n eN*),求数列他｝的前n 项和T n .解：(I )设等差数列｛a”｝的公差为d,由o 2 + o 4 = 6,S 4 = 10 ,可得彳 + 2d = 3 % — 1d =1 2% + 4d = 6a n = e + (" —l)d = 1 + (“一1)=",故所求等差数列｛a”｝的通项公式为a” =n (II)依题意,b n = a n -2n = n -2n,.••7；=勺+$+•••+ /?” -1X2+2X22+3X23 +••• + (n-l)-2,,_1 + n-2"27；, =1X22+2X23+3X24+ …-1) • 2" + “ • 2川，••.-7；=(2 + 22+23+--- + 2"'1+ 2")_”• 2"T = ； £ -«-2"+1 = (l-n)-2n+1 -2 7；=(”一l)・2"+i+2.3、数列｛a”｝的前"项和为=l,a”+i = 2S n(n e N*)(l)求数列｛a”｝的通项a”； (II)求数列｛na n｝的前"项和T”.解：(I)解法一：T a”+] = 2S”，.■.S n+l-S n=2S n,• S卄i _ 2 S”又T S] =67] =1.数列｛S”｝是首项为1,公式为3的等比数列,S” =3n+1(n e N*).当Q2 时,a” =2S…+1 =2-3"-2(n>2),1, n = 1a = < ,[2-3"-2,n>2解法二：a n+1 = 2S n①a” =2S”_](">2)②.•.当n>2时，①一②得a”+i - a” =2a”.•.啦=3a”又= 2S] = 2t?] = 2a n =2-3n_2(/7>2)1, n — \故 a” =< 2-3n ~-,n>2(2)町=% + 2色 + 3他 + …+ na*,当 “ =1时,7； =1； 当/? >2时,7； =1 + 4-3°+6-3' +■•• + 2/7-3"-2, ................... ① 37；; =3 + 4-3'+6-32 +■•• + 2/?-3"_1 , ............. ②①一②得：—2T” =—2 + 4 + 2 3*(+32 +■•• + 3n_2)-2/7-3n_1—2"・3"T=—1 + (1 —2")・3门•■- T n = — + (n - —)3,,_l (n > 2).4、数列仏｝中，。

§等比数列及其前项和Ａ组基础题组.(江西分)等比数列,…的第四项等于().(台州一模分)已知正项等比数列{}中,若,则().±.±.(课标Ⅱ分)已知等比数列{}满足,则().(浙江名校(柯桥中学)交流卷三)等比数列{}的前项和为,若(…),则().(金丽衢一联分)已知{}为等比数列,则“>>”是“{}为递减数列”的().充分而不必要条件.必要而不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件.(课标Ⅰ分)设首项为,公比为的等比数列{}的前项和为,则().(领航高考冲刺卷五分)已知等比数列{}的公比<,且,则数列{}的前项和为().(浙江测试卷)已知等比数列{}中,则..(浙江温州第一次适应性测试)已知等比数列{}的前项和,则实数,公比..(浙江杭州学军中学第五次月考)正项等比数列{}的前项和为,且(),则数列{}的公比为. .(超级中学原创预测卷四分)已知{}为等比数列,公比为,若·,且与的等差中项为,则..(浙江杭州九中期末)已知数列{}满足(∈*),且…,则(…)..(领航高考冲刺卷七分)已知等差数列{}的公差为,首项.若{}为等比数列,则..(领航高考冲刺卷八文分)已知{}是公比为的等比数列>,令(∈*),若数列{}有连续四项在集合{}中,则..(衢州二模文分)定义在(∞)∪(∞)上的函数(),如果对于任意给定的等比数列{},{()}仍是等比数列,则称()为“等比函数”.现有定义在(∞)∪(∞)上的如下函数:①();②();③();④().其中是“等比函数”的为..(浙江五校联考)设∈,关于的方程()()的四个实根构成以为公比的等比数列,若∈,则的取值范围是..已知数列{}中,且(∈*),则数列{}的通项为..(嘉兴测试二文分)已知数列{}是等比数列,且满足·.()求数列{}的通项公式;()若数列{}是递增数列,且(∈*),求数列{}的前项和..(四川分)设数列{}(,…)的前项和满足,且成等差数列.()求数列{}的通项公式;()设数列的前项和为,求..(浙江冲刺卷六)已知数列{}满足(∈*),其前项和为.()①求证:数列是等比数列;②求数列{}的通项公式;()求证>.组提升题组.(浙江六校联考)设数列{}和{}分别为等差数列与等比数列,且,则以下结论正确的是() ><。

一、等比数列选择题1．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．122．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且639S S =，则42aa 的值为（ ）AB ．2C．D ．43．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝（ ） A ．4B ．5C ．8D ．154．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．110245．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ）A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ）A ．40B ．81C ．121D ．2427．12与12的等比中项是（ ）A ．－1B ．1C．2D．2±8．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）A ．102B ．203C ．204D ．2059．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=大吕=太簇．据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A．n -B．n -C． D． 11．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n +的最小值为（ ） A ．53B ．32C ．43D ．11612．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4C ．12-D ．12±13．数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）A ．5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9112⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．6612⎛⎫ ⎪⎝⎭14．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009B ．1010C ．1011D ．202015．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ） A ．2B ．2或2-C ．2-D16．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（ ）A ．19B ．9C ．13D ．317．已知等比数列的公比为2，其前n 项和为n S ，则33S a =（ ） A ．2B ．4C ．74D ．15818．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ） A ．312或112B ．312 C ．15D ．619．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．4092B ．2047C ．2046D ．102320．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=（ ）A ．3B ．505C ．1010D ．2020二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---24．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a <<B ．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥25．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ）A B C D 26．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列27．已知等比数列{}n a 的公比0q <，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且1010a b >，则下列结论一定正确的是（ ）A ．9100a a <B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >28．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（ ） A ．3q = B ．数列{}2n S +是等比数列 C ．5121S =D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥29．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路30．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得64m n a a =，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．22212413n na a a -+++= D ．m n +为定值31．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 32．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--33．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1na n nb a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）A ．nB ．nqC ．()121n n n q nq nq q q ++---D ．()21121n n n q nq nq q q ++++---34．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为251235．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7aB ．8aC ．15SD ．16S【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得121n n a -=+，即求.【详解】因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即1121n n a a +-=-， 所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.则112n n a --=，即121n n a -=+.因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C 2．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题得()4561238a a a a a a ++=++，进而得2q，故2424a q a ==. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为639S S =，所以639S S =， 所以6338S S S -=，即()4561238a a a a a a ++=++， 由于()3456123a a a q a a a ++=++，所以38q =，故2q，所以2424a q a ==. 故选：D. 3．C 【分析】由等比中项，根据a 3a 11＝4a 7求得a 7，进而求得b 7，再利用等差中项求解. 【详解】 ∵a 3a 11＝4a 7， ∴27a ＝4a 7， ∵a 7≠0， ∴a 7＝4， ∴b 7＝4， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8． 故选：C 4．C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n na a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n nn a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C 【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 5．A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-，即可求出参数q 的取值范围；【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．110,2n a a >=，2n S <， ∴1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得34q． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．故选：A ． 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 6．C 【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.【详解】因为12234,12a a a a +=+=，所以23123a a q a a +==+，所以1134a a +=，所以11a =， 所以()5515113121113a q S q--===--， 故选：C. 7．D 【分析】利用等比中项定义得解. 【详解】23111()()(2222-==±，12∴与12的等比中项是2± 故选:D 8．C 【分析】由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。

一、等比数列选择题1．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）A ．102B ．203C ．204D ．2052．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12B ．18C ．24D ．323．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．2 4．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（ ） A ．6 B ．16 C ．32 D ．64 5．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ）A ．1B ．2±C ．2D ．2-6．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A1B1C．3-D．3+7．已知数列{}n a 满足112a =，*11()2n na a n N +=∈.设2n n nb a λ-=，*n N ∈，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．3(1,)2-C ．3(,)2-∞D ．(1,2)-8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13nS n = C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列9．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213a a =，且数列{}13n S a -也为等比数列，则n a 的表达式为（ ）A ．12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．123n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭11．题目文件丢失！12．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=（ ）A ．3B ．505C ．1010D ．202013．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（ ）A ．15B ．10C ．5D ．314．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T15．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1-B ．1C ．2或2-D ．216．等比数列{}n a 中，1234a a a ++=，4568a a a ++=，则789a a a ++等于（ ） A ．16B ．32C ．64D ．12817．正项等比数列{}n a 的公比是13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1118．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ） A ．1322a a a +≥B ．若13a a =，则12a a =C ．2221322a a a +≥D ．若31a a >，则42a a >19．已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．520．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项二、多选题21．题目文件丢失！22．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---23．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ） AB．12- C．12+ D24．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列25．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．当101a q >⎧⎨>⎩B ．10a >C ．1q >D ．11nn a a +< 26．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++27．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T28．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．8601a a <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T29．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．12n naC ．21nn S =- D ．121n n S -=-30．已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N++-=∈，则（ ）A ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．{}n a 为递增数列C ．{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=31．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得64m n a a =，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．22212413n na a a -+++= D ．m n +为定值32．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 33．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x =B ．()2xf x =C ．()f x =D ．()ln f x x =34．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ）A ．数列{}1n a +是等差数列B ．数列{}1n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <35．等比数列{}n a 中，公比为q ，其前n 项积为n T ，并且满足11a >.99100·10a a ->，99100101a a -<-，下列选项中，正确的结论有（ ） A ．01q << B ．9910110a a -<C ．100T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于198【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。

一、等比数列选择题1．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35124a a a ++的取值范围为（ ） A ．73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()3,+∞C ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞2．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*na n N n∈的最小值为（ ） A ．1625B ．49C ．12D ．13．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭4．12的等比中项是（ ）A ．－1B ．1C．2D．2±5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=（ ） A ．3B ．505C ．1010D ．20206．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（ ）A ．15B ．10C ．5D ．37．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T8．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为（ ）A ．()2382133n n +--B ．()23182155n n +---C ．()2382133n n ++-D ．()23182155n n +-+-9．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（ ） A ．6B ．16C ．32D ．6410．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S =（ ） A ．76B ．32C ．2132D ．1411．已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．512．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，10.2b =，111233n n n a b a ++=+，11344n n n b a b +=+，则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为（ ） A ．5B ．7C ．9D ．1113．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4C ．12-D ．12±14．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1-B ．1C ．2或2-D ．215．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8B ．﹣8C ．±8D ．9816．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 17．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定18．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ） A ．1322a a a +≥B ．若13a a =，则12a a =C ．2221322a a a +≥D ．若31a a >，则42a a >19．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11,,232n q a ==则项数n 为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．620．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989B ．46656C ．216D ．36二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a <<B ．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥24．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=，若112a =，()()*n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（ ） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为12C ．数列{}n S 递增，最小值为12D ．数列{}n S 递减，最大值为125．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为单调递增数列B ．639S S = C ．3S ，6S ，9S 成等比数列D ．12n n S a a =-26．已知等比数列{}n a 的公比0q <，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且1010a b >，则下列结论一定正确的是（ ）A ．9100a a <B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >27．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（ ） A ．1023B ．341C ．1024D ．34228．已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．数列{}2log n a 是等差数列 D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比数列29．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++30．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S >C ．若14q =-，则n n T S >D ．若34q =-，则n n T S > 31．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 32．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--33．已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn na a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=-- 34．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等差数列D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等比数列；35．对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若98n a n n =+-，下面哪些数不能作为数列{}n a 的“谷值点”？（ ） A ．3B ．2C ．7D ．5【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】由等比数列性质求得3a ，把35124a a a ++表示为1a 的函数，由函数单调性得取值范围． 【详解】因为等比数列{}n a 的前5项积为32，所以5332a =，解得32a =，则235114a a a a ==，35124a a a ++ 1111a a =++，易知函数()1f x x x=+在()1,2上单调递增，所以35173,242a a a ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得32a =，选1a为参数． 2．D 【分析】首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较()*na n N n∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，即244q q =+，解得2q，所以12n na ，所以12n n a n n-=， 12111n n a n n a n n++=≥+，当且仅当1n =时取等号， 所以当1n =或2n =时，()*n a n N n∈取得最小值1，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 3．A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-，即可求出参数q 的取值范围；【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠． 110,2n a a >=，2n S <， ∴1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得34q．综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．故选：A ． 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 4．D 【分析】利用等比中项定义得解. 【详解】2311()((2-==，的等比中项是 故选:D 5．C 【分析】利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，所以313232020log log log a a a +++()10103101010113log log 31010a a ===.故选：C 6．A 【分析】根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】 因为478a a ⋅=， 则()()52212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++=()2475log 15a a =⋅=.故选：A. 7．B 【分析】根据11a >，667711,01a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾，若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾， 所以01q <<，故B 正确；因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误； 因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误； 因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<. 8．D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得2q，12a =，所以1222n nn a -=⨯=，()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---， 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可. 9．C 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则234123()2a a a a a a q ++=++=，又1231a a a ++=，所以2q，所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选：C ． 10．B 【分析】由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S qq---===+---求解. 【详解】在等比数列{}n a 中，5312a a a +=， 所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=， 解得212q =所以414242212(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q---===+=---， 故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题, 11．B 【分析】本题首先可设公比为q ，然后根据132185k a a a ++++=得出()2284k q a a ++=，再然后根据24242k a a a +++=求出2q，最后根据等比数列前n 项和公式即可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，即()2285184k q a a ++=-=，因为24242k a a a +++=，所以2q，则()21123221112854212712k k k a a a a a ++⨯-+++++=+==-，即211282k +=，解得3k =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前n 项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 12．C 【分析】令n n n c a b =-，由111233n n n a b a ++=+，11344n n n b a b +=+可知数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，即11.812n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯，则110.0121.8n -⎛⎫< ⎪⎝⎭⨯，解不等式可得n 的最小值. 【详解】令n n n c a b =-，则11120.2 1.8c a b =-=-=111113131344444121233343n n n n n n n n n n nn c a b a b a b b a a a b ++++⎛⎫=-=+--=+-- ⎪⎝+⎭111222n n n a b c -== 所以数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，所以11.812n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯由0.01n n a b -<，即110.0121.8n -⎛⎫< ⎪⎝⎭⨯，整理得12180n ->由72128=，82256=，所以18n -=，即9n =故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列及等比数列的通项公式，解题的关键是根据已知的数列递推关系式，利用等比数列的定义，得到数列{}n c 为等比数列，考查了学生的分析问题能力能力与运算求解能力，属于中档题. 13．C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】()211142211111122211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩， 故选：C. 14．C 【分析】根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为12a =，且53a a =，所以21q =，解得1q =±， 所以91012a a q ==±.故选：C. 15．A 【分析】由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，419q ⋅=，解之可得83d =，23q =， ()22218183b a a q ∴-=⨯⨯=.故选：A. 16．B 【分析】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =，由此能求出该女子所需的天数至少为7天． 【详解】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =， 5(12)312012n n S -∴=-，解得2125n ． 因为6264=，72128=∴该女子所需的天数至少为7天．故选：B 17．A 【分析】根据等比中项的性质有216x =，而由等比通项公式知2x q =，即可求得x 的值. 【详解】由题意知：216x =，且若令公比为q 时有20x q =>，∴4x =， 故选：A【分析】取特殊值可排除A ，根据等比数列性质与基本不等式即可得C 正确，B ，D 错误. 【详解】解：设等比数列的公比为q ，对于A 选项，设1231,2,4a a a =-==-，不满足1322a a a +≥，故错误；对于B 选项，若13a a =，则211a a q =，则1q =±，所以12a a =或12a a =-，故错误； 对于C 选项，由均值不等式可得2221313222a a a a a +≥⋅=，故正确；对于D 选项，若31a a >，则()2110a q ->，所以()14221a a a q q -=-，其正负由q 的符号确定，故D 不确定. 故选：C. 19．C 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由题意可得等比数列通项5111122nn n a a q -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5n = 故选：C 20．B 【分析】第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量． 【详解】设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得 数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1666n n n a -=⨯=到第6天，所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂． 故选：B ．二、多选题 21．无 22．无【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b < 又22234b b b <=，即2122b b =<， 所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-，当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时假设当n=k时，21)2k k ->21)k k ->， 则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 24．AC 【分析】计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可 【详解】 解：因为112a =，所以1(1)2f =， 所以221(2)(1)4a f f ===， 31(3)(1)(2)8a f f f ===，……所以1()2n n a n N +=∈，所以11(1)122111212n n n S -==-<-， 所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112S a ==， 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档题 25．BD 【分析】根据638a a =利用等比数列的性质建立关系求出2q ，然后结合等比数列的求和公式，逐项判断选项可得答案． 【详解】由638a a =，可得3338q a a =，则2q，当首项10a <时，可得{}n a 为单调递减数列，故A 错误；由663312912S S -==-，故B 正确； 假设3S ，6S ，9S 成等比数列，可得2693S S S =⨯， 即6239(12)(12)(12)-=--不成立，显然3S ，6S ，9S 不成等比数列，故C 错误； 由{}n a 公比为q 的等比数列，可得11122121n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-，故D 正确；故选：BD ． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用638a a =求得2q ，同时需要熟练掌握等比数列的求和公式. 26．AD 【分析】根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A ，因为0q <，所以29109990a a a a q a q =⋅=<，故A 正确；对选项B ，因为9100a a <，所以91000a a >⎧⎨<⎩或9100a a <⎧⎨>⎩，即910a a >或910a a <，故B 错误；对选项C ，D ，因为910,a a 异号，99a b >，且1010a b >，所以910,b b 中至少有一个负数， 又因为10b >，所以0d <，910b b >，故C 错误，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的综合应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题. 27．AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为22a =，48a =，所以2424a q a ==，所以2q =±， 当2q时11a =，所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-，所以()()()101011234112S -⨯--==--故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.28．AC 【分析】 由已知得12n na 可得以2122n n a -=，可判断A ；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，可判断B ；由122log log 21n n a n -==-，可判断C ；求得10S ，20S ，30S ，可判断D.【详解】等比数列{}n a 中，满足11a =，2q，所以12n n a ，所以2122n n a -=，所以数列{}2n a 是等比数列，故A 正确；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，故B 不正确； 因为122log log 21n n a n -==-，所以{}2log n a 是等差数列，故C 正确；数列{}n a 中，101010111222S -==--，202021S =-，303021S =-，10S ，20S ，30S 不成等比数列，故D 不正确； 故选：AC . 【点睛】本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题. 29．AD 【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定． 【详解】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列． 30．BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 31．ACD 【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a ma i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的； 又由这2n 个数的和为S ， 则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---1(231)(31)22nn n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的， 故选ACD. 【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 32．AB 【分析】由已知构造出数列{}3n a +是等比数列，可求出数列{}n a 的通项公式以及前n 项和，结合选项逐一判断即可． 【详解】123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+，∴数列{}3n a +是等比数列又∵11a =，∴()11332n n a a -+=+，∴123n n a +=-，∴313a =，∴()2412323412n n nS n n +-=-=---.故选：AB. 33．ABD 【分析】由()*123nn na a n N a +=∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】因为112323n nn n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11340a +=≠， 所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，故选项A 、B 正确. 由{}n a 的通项公式为1123n n a +=-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确.因为1231n na +=-，所以 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-++-=+++-22(12)2312234n n n n +-⨯-=⨯-=--.选项D 正确，故选：ABD 【点睛】本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题. 34．ABD 【分析】根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案. 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列， 若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，即为12n a a a ++⋯+，12n n a a ++⋯+，213n n a a ++⋯+，⋯，即为22322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，故C 正确；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列.故D 不正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 35．AD 【分析】计算到12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =，根据“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案. 【详解】98n a n n =+-，故12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =. 故23a a <，3不是“谷值点”；12a a >，32a a >，故2是“谷值点”；67a a >，87a a >，故7是“谷值点”；65a a <，5不是“谷值点”.故选：AD . 【点睛】本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.。

专题能力训练9 等差数列与等比数列(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.若{a n}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{a n}为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2015课标全国Ⅱ,文5)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.113.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4=()A.7B.8C.15D.164.(2015某某某某第二次教学质量检测,文4)已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列,且满足,则a1a5=()A.24B.8C.8D.165.(2015某某某某镇海中学5月模拟,文6)已知数列{a n},{b n}都是公差为1的等差数列,b1是正整数,若a1+b1=10,则+…+=()A.81B.99C.108D.1176.(2015某某嵊州第二次教学质量调测,文4)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知a4=8,且S n+1=pS n+1,则实数p的值为()A.1B.2C.D.47.设{a n},{b n}分别为等差数列与等比数列,且a1=b1=4,a4=b4=1,则以下结论正确的是()A.a2>b2B.a3<b3C.a5>b5D.a6>b6二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.(2015某某某某下学期教学测试,文11)已知等差数列{a n}的公差d≠0,首项a1=4,且a1,a5,a13依次成等比数列,则该数列的通项公式a n=,数列{}的前6项和为.9.(2015某某,文16)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于.10.已知a,b,c是递减的等差数列,若将其中两个数的位置互换,得到一个等比数列,则=.11.(2015某某某某镇海中学5月模拟考试,文14)已知{a n}是公差不为0的等差数列,{b n}是等比数列,其中a1=2,b1=1,a2=b2,2a4=b3,且存在常数α,β,使得a n=logαb n+β对每一个正整数n都成立,则αβ=.三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12.(本小题满分14分)(2015某某某某教学测试(二),文17)已知数列{a n}是等比数列,且满足a2+a5=36,a3·a4=128.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}是递增数列,且b n=a n+log2a n(n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n.13.(本小题满分15分)设数列{a n}的前n项和为S n,满足(1-q)S n+q n=1,且q(q-1)≠0.(1)求{a n}的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.14.(本小题满分16分)(2015某某,文19)设数列{a n}的前n项和为S n,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1.(1)求a4的值;(2)证明:为等比数列;(3)求数列{a n}的通项公式.参考答案专题能力训练9等差数列与等比数列1.D解析:等比数列{a n}为递增数列的充要条件为故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.2.A解析:由a1+a3+a5=3,得3a3=3,解得a3=1.故S5==5a3=5.3.C解析:设数列{a n}的公比为q,则由题意得4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,即q2-4q+4=0,得q=2.∴S4==15.4.C解析:因为,所以,因为a n>0,所以a1a2=4,a3a4=16,解得=2,q=,所以a1a5=q4=2×()4=8,故选C.5.D解析:因为a1+b1=10,b1是正整数,所以可以分以下几种情况:①当a1,b1为1和9时,=a9=9,=a10=10,前9项和为+…+=9+10+…+16+17=117;②当a1,b1为2和8时,=a8=9,=a9=10,前9项和为+…+=9+10+…+16+17=117;③当a1,b1为3和7时,=a7=9,=a8=10,前9项和为+…+=9+10+…+16+17=117;……;⑨当a1,b1为9和1时,=a7=9,=a8=10,前9项和为+…+=9+10+…+16+17=117,故+…+=117,因此应选D.6.B解析:因为数列{a n}是等比数列,由S n+1=pS n+1得S n+2=pS n+1+1,两式相减得=p,所以公比q=p,由S n+1=pS n+1得a1+a2=pa1+1,所以a1+pa1=pa1+1,即a1=1,由a4=8=a1p3得p3=8,所以p=2.故选B.7.A解析:设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q,由a1=b1=4,a4=b4=1,得d=-1,q=,∴a2=3,b2=2;a3=2,b3=;a5=0,b5=;a6=-1,b6=.故选A.8.n+31 008解析:由题意可得=a13·a1⇒(a1+4d)2=(a1+12d)·a1,即a1=4d,所以d=1.则该数列的通项公式a n=n+3;数列{}的前6项和为24+25+…+29==1 008.9.9解析:由题意,得不妨设a<b,则-2,a,b成等差数列,a,-2,b成等比数列,即解得∴p+q=9.10.20解析:依题意得①或②或③由①得a=b=c,这与a,b,c是递减的等差数列矛盾;由②消去c整理得(a-b)(a+2b)=0.又a>b,因此有a=-2b,c=4b,故=20;由③消去a整理得(c-b)(c+2b)=0.又b>c,因此有c=-2b,a=4b,故=20.11.4解析:设数列{a n},{b n}的公差、公比分别为d,q,则由a1=2,b1=1,a2=b2得q=2+d.由2a4=b3得2(a1+3d)=b1q2,即d2-2d=0,因为公差不为0,所以d=2,q=4.所以a n=a1+(n-1)d=2n,b n=b1q n-1=4n-1.又因为a n=logαb n+β对每一个正整数n都成立,所以2n=logα4n-1+β对每一个正整数n都成立,所以当n=1时,β=2n=2,当n=2时,logα4+2=4,即α=2.所以αβ=4.故应填4.12.解:(1)因为{a n}是等比数列,所以a3·a4=a2·a5=128.又a2+a5=36,因此a2,a5是方程x2-36x+128=0的两根,可解得因此所以,a n=2n或a n=64×=27-n.(2)数列{a n}是递增数列,所以a n=2n,b n=a n+log2a n=2n+n,S n=(21+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2n+1-2+.13.(1)解:当n=1时,(1-q)S1+q=1,a1=1,当n≥2时,由(1-q)S n+q n=1,得(1-q)S n-1+q n-1=1,两式相减得(1-q)a n+q n-q n-1=0,因为q(q-1)≠0,所以a n=q n-1,当n=1时,a1=1.综上,a n=q n-1.(2)证明:由(1)可知=q,所以{a n}是以1为首项,q为公比的等比数列.所以S n=,由S3+S6=2S9,得,化简得a3+a6=2a9,两边同除以q得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列.14.(1)解:当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4+5=8+1,解得a4=.(2)证明:因为4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1(n≥2),所以4S n+2-4S n+1+S n-S n-1=4S n+1-4S n(n≥2),即4a n+2+a n=4a n+1(n≥2).因为4a3+a1=4×+1=6=4a2,所以4a n+2+a n=4a n+1(n∈N*).因为,所以数列是以a2-a1=1为首项,公比为的等比数列.(3)解:由(2)知数列是以a2-a1=1为首项,公比为的等比数列,所以a n+1-a n=,即=4,所以数列是以=2为首项,公差为4的等差数列,所以=2+(n-1)×4=4n-2,即a n=(4n-2)×=(2n-1)×.所以数列{a n}的通项公式是a n=(2n-1)×.。

一、单选题二、多选题三、填空题1. 复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 是R 上的减函数，则有（ ）A．B．C．D．3. “敬骅号”列车一排共有A 、B 、C 、D 、F 五个座位，其中A 和F 座是靠窗位，若小曾同学想要坐靠窗位，则购票时选到A 或F 座的概率为（ ）A．B．C．D．4. 从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为（ ）A ．70%B ．65%C ．60%D ．50%5. 已知复数，为虚数单位，是的共轭复数，则（ ）A．B．C．D．6.一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了到达地，然后由地向南偏东方向骑行了到达地，再从地向北偏东方向骑行了到达地，则两地的距离为（ ）A．B．C．D．7. 下列运算错误的是（ ）A．B．C．D．8. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）A ．复数的虚部为B ．复数的共轭复数为C．D ．复数的模为9. 已知定义在（﹣1，+∞）上的函数，若f （3﹣a 2）＞f （2a ），则实数a 取值范围为__________．10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与C 在第一象限内的交点为P ，直线F 1P 与y 轴的交点为Q ，且点P 关于直线QF 2的对称点在x 轴上，则C 的离心率为___________.11. 已知直线的一个方向向量，且直线经过点和两点，则的值为_________．12. 某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04浙江省名校协作体2024届高三上学期7月适应性考试数学试题(高频考点版)浙江省名校协作体2024届高三上学期7月适应性考试数学试题(高频考点版)四、解答题则至少派出医生2人的概率是________.13.已知等差数列的前项和为，，且，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．14. 在平面直角坐标系中,以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的直角坐标方程为.求圆的极坐标方程；设圆与圆：交于两点，求.15. 如图，已知正方体的棱长为1，E 为的中点.(1)求的大小；(2)求证：；(3)求向量在向量方向上的投影的数量.16. 函数是定义在R 上的奇函数，且．(1)求实数a ，b的值，并确定的解析式；(2)判断在上的单调性，并用定义证明．。

6.3 等比数列挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点等比数列的有关概念及运算1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式.3.掌握等比数列的前n项和公式.4.了解等比数列与指数函数之间的关系.2018某某,10等比数列的概念不等式★★★2015某某文,10 等比数列等比数列的性质及应用能利用等比数列的性质解决有关问题.2017某某,22等比数列性质的运用不等式证明★★★2016某某文,17等比数列性质的运用数列求和分析解读 1.考查等比数列的定义与判定,通项公式、前n项和的求解,等比数列的性质等知识.2.预计2020年高考试题中,对等比数列的考查仍以概念、性质、通项、前n项和等基本量为主,以中档题形式出现,复习时要足够重视.破考点【考点集训】考点一等比数列的有关概念及运算1.(2018某某某某高三期末,11)各项均为实数的等比数列{a n},若a1=1,a5=9,则a3=,公比q=.答案3;±2.(2018某某嵊州高三期末质检,11)我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上述问题的已知条件,可求得该女子第1天织布的尺数为.答案考点二等比数列的性质及应用1.(2018某某某某适应性测试,5)已知数列{a n}是公差不为0的等差数列,b n=,数列{b n}的前n项,前2n项,前3n项的和分别为A,B,C,则( )A.A+B=CB.B2=ACC.(A+B)-C=B2D.(B-A)2=A(C-B)答案 D2.(2018某某某某二中期中,6)已知等比数列{a n}的前n项积为T n,log2a3+log2a7=2,则T9的值为( )A.±512B.512C.±1 024D.1 024答案 B炼技法【方法集训】方法1 等比数列中“基本量法”的解题方法1.(2018某某某某十校期末,6)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,则下列结论一定成立的是( )A.若a5>0,则a2 017<0B.若a6>0,则a2 018<0C.若a5>0,则S2 017>0D.若a6>0,则S2 018>0答案 C2.(2017某某名校(某某中学)交流卷四,11)已知等比数列{a n}的首项为1,前3项的和为13,且a2>a1,则数列{a n}的公比为,数列{log3a n}的前10项和为.答案3;45方法2 等比数列的判定方法1.在数列{a n}中,a1=3,a n+1=2a n+2(n∈N*).(1)求证:{a n+2}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,S n=b1+b2+b3+…+b n,证明:对任意n∈N*,都有≤S n<. 解析(1)由a n+1=2a n+2(n∈N*),得a n+1+2=2(a n+2),又∵a1=3,∴a1+2=5,∴{a n+2}是首项为5,公比为2的等比数列,∴a n+2=5×2n-1,∴a n=5×2n-1-2.(2)证明:由(1)可得b n=,∴S n=,①S n=,②①-②可得S n===.∴S n<,又∵S n+1-S n=b n+1=>0,∴数列{S n}单调递增,S n≥S1=,∴对任意n∈N*,都有≤S n<.2.已知数列{a n}满足:a1=1,a n+1=(n∈N*),设b n=a2n-1.(1)求b2,b3,并证明b n+1=2b n+2;(2)①证明:数列{b n+2}为等比数列;②若a2k,a2k+1,9+a2k+2成等比数列,求正整数k的值.解析(1)b2=a3=2a2=2(a1+1)=4,b3=a5=2a4=2(a3+1)=10.同理,b n+1=a2n+1=2a2n=2(a2n-1+1)=2(b n+1)=2b n+2.(2)①证明:==2,则数列{b n+2}为等比数列.②由已知得,b1=a1=1,由①得b n+2=3×2n-1,所以b n=3×2n-1-2,即a2n-1=3×2n-1-2,则a2n=a2n-1+1=3×2n-1-1.因为a2k,a2k+1,9+a2k+2成等比数列,所以(3×2k-2)2=(3×2k-1-1)(3×2k+8),令2k=t,得(3t-2)2=(3t+8),整理得3t2-14t+8=0,解得t=或4.因为k∈N*,所以2k=4,得k=2.过专题【五年高考】A组自主命题·某某卷题组考点一等比数列的有关概念及运算(2015某某文,10,6分)已知{a n}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=,d=.答案;-1考点二等比数列的性质及应用(2018某某,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则( )A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4答案 BB组统一命题、省(区、市)卷题组考点一等比数列的有关概念及运算1.(2017课标全国Ⅱ理,3,5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案 B2.(2014某某,2,5分)对任意等比数列{a n},下列说法一定正确的是( )A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列答案 D3.(2017课标全国Ⅲ理,14,5分)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4 =.答案-84.(2016课标全国Ⅰ,15,5分)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.答案645.(2018课标全国Ⅲ文,17,12分)等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和.若S m=63,求m.解析本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式.(1)设{a n}的公比为q,由题设得a n=q n-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故a n=(-2)n-1或a n=2n-1.(2)若a n=(-2)n-1,则S n=.由S m=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若a n=2n-1,则S n=2n-1.由S m=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.解后反思等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略:(1)求通项.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项便可求出.(2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.(3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.(4)求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.6.(2015某某,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列的前n项和为T n,求T n.解析(1)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n=2n.(2)由(1)得=.所以T n=++…+==1-.评析本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和等基础知识,考查运算求解能力.考点二等比数列的性质及应用1.(2015课标Ⅱ,4,5分)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.84答案 B2.(2014大纲全国,10,5分)等比数列{a n}中,a4=2,a5=5,则数列{lg a n}的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3答案 C3.(2017某某,9,5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=,S6=,则a8=.答案324.(2015某某,14,5分)已知数列{a n}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{a n}的前n项和等于.答案2n-15.(2015某某,14,5分)设S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.答案3n-16.(2014某某,12,5分)数列{a n}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.答案 1C组教师专用题组考点一等比数列的有关概念及运算1.(2018理,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A. fB. fC. fD. f答案 D2.(2014某某,7,5分)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是. 答案 43.(2014某某,11,5分)设{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.答案-4.(2018课标全国Ⅰ文,17,12分)已知数列{a n}满足a1=1,na n+1=2(n+1)a n.设b n=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{b n}是不是等比数列,并说明理由;(3)求{a n}的通项公式.解析(1)由条件可得a n+1=a n.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2){b n}是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得=,即b n+1=2b n,又b1=1,所以{b n}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得=2n-1,所以a n=n·2n-1.方法规律等比数列的判定方法:证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法,通项公式法及前n项和公式法只用于选择题、填空题中的判定.若证明某数列不是等比数列,则只需证明存在连续三项不成等比数列即可.5.(2016课标全国Ⅲ,17,12分)已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0.(1)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求λ.解析(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0.(2分)由S n=1+λa n,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n,即a n+1(λ-1)=λa n.由a1≠0,λ≠0得a n≠0,所以=.因此{a n}是首项为,公比为的等比数列,于是a n=·.(6分)(2)由(1)得S n=1-.由S5=得1-=,即=.解得λ=-1.(12分)思路分析(1)先由题设利用a n+1=S n+1-S n得到a n+1与a n的关系式,要证数列是等比数列,关键是看a n+1与a n之比是不是一常数,其中说明a n≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出λ.6.(2016某某,19,12分)已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+…+e n>.解析(1)由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,因为q>0,所以q=2.所以a n=2n-1(n∈N*).(2)由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n==.由e2==,解得q=.因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>q k-1(k∈N*).于是e1+e2+…+e n>1+q+…+q n-1=,故e1+e2+…+e n>.疑难突破由(1)可得e n=,因为所证的不等式左边是e1+e2+…+e n,直接求和不行,利用放缩法得e n=>=q n-1,从而得e1+e2+…+e n>q0+q1+…+q n-1,化简即可.评析本题涉及的知识点比较多,由递推思想推出数列{a n}是等比数列,由等差中项求出q,由放缩法证明不等式成立.综合性较强.7.(2014课标Ⅱ,17,12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)证明++…+<.解析(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3.又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)证明:由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=<.所以++…+<.评析本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题,放缩求和是本题的难点.考点二等比数列的性质及应用(2014某某,13,5分)若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+lna2+…+ln a20=.答案50【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共24分)1.(2019届某某、某某、某某三地教学质量检测,4)已知等比数列{a n}满足a1+a3=-2a2,则公比q=( )A.-1B.1C.-2D.2答案 A2.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,3)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2=3,S4=15,则S3=( )A.7B.-9C.7或-9D.答案 C3.(2019届镇海中学期中考试,8)已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5,若存在两项a m,a n,使得a m·a n=16,则+的最小值为( )A. B.C. D.答案 C4.(2018某某镇海中学期中,2)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3=2,S6=18,则等于( )A.-3B.5C.-31D.33答案 D5.(2018某某稽阳联谊学校高三联考(4月),6)已知数列{a n}是等比数列,前n项和为S n,则“2a5>a3+a7”是“S2n-1<0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A6.(2018某某新高考调研卷四(某某一中),7)如图,在半径r=1的圆内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设S n为前n个圆的面积之和,取正数ξ=3π,若|S n-4π|<ξ,则n的取值为( )A.大于100的所有正整数B.大于100的有限个正整数C.不大于100的所有正整数D.不大于100的有限个正整数答案 A二、填空题(单空题4分,多空题6分,共12分)7.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,14)在从100到999的所有三位数中,百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有个;构成等比数列的有个.答案41;178.(2018某某某某高考教学质量检测,12)设各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S4=80,S2=8,则公比q=,a5=.答案3;162三、解答题(共20分)9.(2019届某某“超级全能生”9月联考,20)已知数列{a n}的前n项和S n=na n-n(n-1)且a2=3.数列{b n}为非负的等比数列,且满足a1b3=4,b2b7=16b4.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)若数列{b n}的前n项和为,求数列{n}的前n项和T n.解析(1)由题意得S n=na n-n(n-1)①,则当n≥2时,S n-1=(n-1)a n-1-(n-1)(n-2)②,①-②得a n-a n-1=2,当n=2时,S2=2a2-2,又因为S2=a1+a2,a2=3,所以a1=1,所以数列{a n}是首项为1,公差为2的等差数列,所以a n=2n-1.因为a1b3=4,所以b3=4,因为b2b7=b4b5,b n>0,b2b7=16b4,所以b5=16,所以q2==4,又q>0,所以q=2,所以b n=b3q n-3=2n-1.(2)由(1)得==2n-1,所以n=n·2n-n,设A=1×2+2×22+…+n×2n,所以2A=1×22+2×23+…+n×2n+1,两式相减得A=(n-1)2n+1+2,设B=1+2+…+n=,所以T n=A-B=(n-1)2n+1+2-.10.(2018某某“七彩阳光”联盟期初联考,22)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为S n,试求数列{S2n-S n}的最小值;(3)在(2)的条件下,求证:当n≥2时,≥.解析(1)由条件a n+1=2a n得=2·,又a1=2,所以=2,因此数列是首项为2,公比为2的等比数列,从而=2·2n-1=2n,因此a n=n·2n.(2)由(1)得b n=,设=S2n-S n,则=++…+,所以+1=++…+++,从而+1-=+->+-=0,即+1>,因此数列{}是单调递增的,所以()min=c1=.(3)证明:当n≥2时,=(-)+(-)+…+(S4-S2)+(S2-S1)+S1=++…+c2+c1+S1,由(2)知≥≥…≥c2,又c1=,S1=1,c2=,所以≥(n-1)c2+c1+S1=(n-1)++1=.。

一、单选题二、多选题三、填空题1. 若复数对应的点是，则（ ）A ．B．C ．-1D ．12.用一段长为cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）A ．B．C．D．3.已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，，，则B ．若，，则C ．若，，，则D ．若，，，则5. 下列调查所抽取的样本具有代表性的是（ ）A ．利用某地七月份的日平均最高气温值估计该地全年的日平均最高气温B ．在农村调查市民的平均寿命C ．利用一块实验水稻田的产量估计水稻的实际产量D ．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中任意抽取100袋进行检验6.如图，在长方体中，，点B 到平面的距离为（）A．B．C．D．7.如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成（点不落在底面内），若为线段的中点，则在翻转过程中，以下命题正确的是（）A．四棱锥体积最大值为B ．长度是定值C ．平面一定成立D．存在某个位置，使8. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ）A ．与B ．与C ．与D ．与9. 在矩形中，，且点E ，F 分别是边的中点，则__________．浙江省名校协作体2024届高三上学期适应性考试数学试题(高频考点版)浙江省名校协作体2024届高三上学期适应性考试数学试题(高频考点版)四、解答题10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线的渐近线上一点，且，则__________.11. O 是平面上一定点，△ABC 中AB=AC ，一动点P满足：则直线AP 通过△ABC 的___________(请在横线上填入正确的编号）①外心 ②内心 ③重心 ④垂心12. 已知函数，，计算：___________，___________，并概括出涉及函数f （x ）和g （x ）的对所有非零实数x 都成立的一个等式___________.13. 公比为q的等比数列满足.(1)求的通项公式；(2)若，记的前n项和为，求.14.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，，求边；(3)在（2）的条件下，求的值.15. 已知函数,若函数是定义域上的奇函数,且.（1）求的值;（2）判断函数在上的单调性,并用定义进行证明.16. 某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．求：(1)直方图中的a 的值；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数．。

浙江省理科数学复习试题选编22：等比数列一、选择题1 ．（浙江省温州十校联合体高三期中考试数学（理）试题）已知321121,,,...,,...n n a a a a a a a -是首项为1,公比为2的等比数列,则数列{ a n }的第100项等于（ ）A ．25050B ．24950C ．2100D ．299【答案】B2 ．（浙江省黄岩中学高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）已知等比数列{n a }的公比2=q ,且42a ,6a ,48成等差数列,则{n a }的前8项和为（ ）A ．127B ．255C ．511D ．1023【答案】B3 ．（浙江省宁波市十校高三下学期能力测试联考数学（理）试题）若方程250x x m -+=与2100x x n -+=的四个根适当排列后,恰好组成一个首项1的等比数列,则:m n 值为 （ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A4 ．（浙江省一级重点中学（六校）高三第一次联考数学（理）试题）已知数列}{n a 为等比数列,274=+a a ,865-=⋅a a ,则101a a +的值为 （ ）A ．7B ．5-C ．5D ．7-【答案】D5 ．（浙江省宁波一中高三12月月考数学（理）试题）已知等比数列{}n a 中,12345640,20a a a a a a ++=++=,则前9项之和等于 （ ）A ．50B ．70C ．80D ．90【答案】B 6 ．（浙江省考试院高三上学期测试数学（理）试题）设数列{a n }.（ ）A ．若2n a =4n,n ∈N*,则{a n }为等比数列B ．若a n a n +2=21n a +,n ∈N*,则{a n }为等比数列C ．若a m a n =2m +n,m ,n ∈N*,则{a n }为等比数列 D ．若a n a n +3=a n +1a n +2,n ∈N*,则{a n }为等比数列 【答案】C7 ．（浙江省重点中学高三上学期期中联谊数学（理）试题）设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,若3510=S S ,则=1015S S （ ）A ．2B ．73C ．83D.3【答案】B8 ．（浙江省诸暨中学高三上学期期中考试数学（理）试题）已知等比数列{}n a 中,各项都是正数,且2312,21,a a a 成等差数列,则8967a a a a ++等于 （ ）A ．21+B ．21-C ．223+D ．223-【答案】C9 ．（浙江省湖州市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若2580a a -=,则42S S = （ ）A ．8-B ．5C ．8D ．15【答案】B10．（浙江省杭州二中高三年级第五次月考理科数学试卷）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,0852=-a a ,则=24S S （ ）A ．5B ．8C ．8-D ．15【答案】A11．（浙江省海宁市高三2月期初测试数学（理）试题）已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ,则下列一定成立的是（ ）A ．若01>a ,则02013<aB ．若02>a ,则02014<aC ．若01>a ,则02013>SD ．若02>a ,则02014>S【答案】C12．（浙江省宁波市鄞州中学高三第六次月考数学（理）试卷 ）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若10S :5S 2:1=,则15S :5S =（ ）A ．4:3B ．3:2C ．2:1D ．3:1【答案】A 二、填空题13．（浙江省永康市高考适应性考试数学理试题 ）已知公比为q 的等比数列{}n b 的前n 项和n S 满足13223S S S +=,则公比q 的值为____;【答案】214．（浙江省高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）各项都是正数的等比数列{}n a 中,首项21=a ,前3项和为14,则654a a a ++值为_____________. 【答案】11215．（浙江省名校新高考研究联盟高三第一次联考数学（理）试题）在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若公比为32,且满足113a a ⋅=16,则=162log a _______. 【答案】 516．（浙江省金丽衢十二校高三第二次联合考试理科数学试卷）等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知123,2,3S S S 成等差数列,则等比数列{n a }的公比为______【答案】3117．（浙江省绍兴市高三教学质量调测数学（理）试题（word 版） ）已知实数1234,,,a aaa 依次构成公差不为零的等差数列.若去掉其中一个数后,其余三个数按原来顺序构成一个等比数列,则此等比数列的公比为______. 【答案】21或2 18．（浙江省温州十校联合体高三期中考试数学（理）试题）数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,则0123991001100210031004100100100101100........a Ca Ca Ca Ca Ca C-+-+-+=_____.【答案】119．（浙江省绍兴一中高三下学期回头考理科数学试卷）各项均为正偶数的数列1234,,,a a a a 中,前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列,后三项依次成公比为q 的等比数列,若4188a a -=,则q 的所有可能的值构成的集合为____________. 【答案】{}58 37，20．（浙江省杭州二中高三6月适应性考试数学（理）试题）各项均为正数的等比数列{}n a 满足17648a a a ==，,若函数()231012310f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+的导数为()f x ',则1()2f '=__________.【答案】55421．（浙江省重点中学高三上学期期中联谊数学（理）试题）等比数列}{n a 的公比为q ,其前n 项的积为n T ,并且满足条件11a >,9910010a a ->,99100101a a -<-.给出下列结论:①01q <<;②9910110a a ⋅-<,③100T 的值是n T 中最大的;④使1n T >成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是__________; 【答案】①②④22．（浙江省六校联盟高三回头联考理科数学试题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列,则{}n a 的项公式n a =_________【答案】1323n n a -⎧=⎨⨯⎩ (1)(2)n n =≥ 23．（浙江省温州市十校联合体高三上学期期末联考理科数学试卷）已知等比数列}{n a 满足1129-+⋅=+n n n a a ,*N n ∈则数列}{n a 的前n 项和n S 为____.【答案】)12(3-n三、解答题24．（浙江省丽水市高三上学期期末考试理科数学试卷）在等比数列{}n a 中,已知13a =,公比1q ≠,等差数列{}n b 满足1142133b a b a b a ===，，.(Ⅰ)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(Ⅱ)记n n nn a b c +-=)1(,求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】解:(Ⅰ) 设等比数列{}n a 的公比为q ,等差数列{}n b 的公差为d .由已知得:2323,3q a q a ==,d b d b b 123,23,31341+=+==3411123333322=⇒⎩⎨⎧+=+=⇒⎩⎨⎧+=+=q d q dq d q d q 或 1=q (舍去) 所以, 此时 2=d所以,nn a 3=, 12+=n b n ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(Ⅱ) 由题意得:nn n n n n n a b c 3)12()1()1(++-=+-=n n c c c S +++= 21n n n n n 333)12()1()12()1()97()53(21+++++-+--+++-++-=-当n 为偶数时,2323232311-+=-+=++n n S n n n 当n 为奇数时,27232323)12()1(11--=-++--=++n n n S n n n 所以,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=++)(2723)(232311为奇数时为偶数时n n n n S n n n ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈25．（浙江省稽阳联谊学校高三4月联考数学(理)试题（word 版） ）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足2*.()n n a S n n N +=∈,记2.n n b a =-(I)求证:{}n b 是等比数列,并求{}n b 的前n 项和n B ; (II)求1122112()()()().n n n n n b B b b B b b B b n ---+-++-≥【答案】解:(I)∵2n n a S n +=, ∴ 112(1)(2)n n a S n n --+=-≥, 两式相减得122n n a a -=+,11221(2)22(22)2n n n n n n b a a n b a a ----===≥--- {}n b ∴是等比数列.11111()1121,21,,2[1()]12212nn n a b a q B -=∴=-==∴==-- (II)原式=11223311()()()()n n n n n n b B b b B b b B b b B b ---+-+-++-222212311231()()n n n B b b b b b b b b --=++++-++++222211231()n n n B B b b b b --=-++++1111()118140142[1()]2[1()]12()()122323414n n n n n ---=---=-+-26．（浙江省一级重点中学（六校）高三第一次联考数学（理）试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11,4a =*1()16n n ta S t +=+∈n N ,为常数.I ()若数列{}n a 为等比数列,求t 的值;II ()若14,lg n t b a +>-=n ,数列{}n b 前n 项和为n T ,当且仅当n=6时n T 取最小值,求实数t 的取值范围.【答案】.解:I ()11....(1);....(2)1616n n n n t ta S a S +-=+=+ 1(1)(2):2(2)n n a a n +-=≥得2141616t ta S +=+=,数列{}n a 为等比数列, 212a a ∴= 42,44tt +=∴= II ()2416t a +=,12(1)n n aa n +=>1*142()16n n t a n N -++∴=⋅∈ 1432,,+⋅⋅⋅n a a a a 成等比数列,1n a +n b =lg ,∴n 数列{b }是等差数列数列{}n b 前n 项和为n T ,当且仅当n=6时n T 取最小值, 6700b b ∴<>且 可得78011a a <<>且,27415:-<<-t t 的范围是解得。