二项式定理中的数学思想方法

二项式定理中的数学思想方法现代化的教育教学理念，要求学生能“综合与灵活的应用所学数学知识、思想方法，进行独立的思考、探索和研究问题，提出解决问题的思路，创造性地把问题解决好”；因此我们学习每一部分知识时，要善于回味、归纳、总结规律，从而提炼出精华的数学思想方法，将知识转化为能力，使所学知识得以升华．笔者仅就二项式定理中数学思想方法的感悟，写给读者，希望能够起抛砖引玉的作用．归纳如下：一、函数与方程思想例1 已知22012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++++=++++ ，若12129n a a a n -+++=- ，求n ．解析：0111a n =+++= ，1n a =．令1x =，则230122222n n a a a a ++++=++++ ，112102(12)2(21)12312n n n n n a a a a a n n +--+++=--=---=--- ∴， 12329n n n +--=-∴，4n =∴．点评：二项式定理的应用中，求系数的取值总是列出方程，通过赋值求解，把二项展开式看作x 的函数()f x ，其系数问题与函数值(1)f 的展开式相联系．二、转化与化归思想例2 设a ，b 是两个整数，若存在整数d ，使得b ad =，称“a 整除b ”，记作|a b ．给出命题：①22|(1)n n ++；②10100|(991)-；③45|(21)()n n *-∈N ，其中正确命题的题号是 ．解析：对于①，2(1)n n n n +=+∵必为偶数，21n n ++∴为奇数，即22|(1)n n ++不正确．对于②，1010010199101010(991)(1001)1100100100C C C -=--=-+- ···，∴②正确．对于③，4101112(151)1151515n n n n n n n n C C C ---=+-=+++ ···，∴③正确，故填②③．点评：利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，转化成便于操作的二项式的结构，这是解决问题的关键，然后再用二项式定理展开，只考虑后面（或者前面）一、二项就可以了．例3 （上海高考题改编）求和：2341012311111(1)11111n n n n n n n n a a a a a C C C C C a a a a a+------+-++------ ．分析：这是一个与组合数有关的式子求和问题，通常进行合理变形，利用组合数的性质，转化为二项式的结构，再逆用二项式定理，将式子的值求出．解：原式01230122331[(1)][(1)]11n n n n n n n n n n n n n n n a C C C C C C aC a C a C a C a a-+-++---+-++--- 1(1)(11)(1)111nn n a a a a a a a -=---=---． 点评：本例体现了分组求和，创设二项式定理的结构形式，逆用、活用二项式定理的思想；其中第二组的和可以推广为：若数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列，则：0123123411(1)(1)n n n n n n n n n a C a C a C a C a C a q +-+-++-=- ．0123123411(1)n n n n n n n n a C a C a C a C a C a q ++++++=+ ．例4 求证：132(2)(2)n n n n n -*>+∈N ，≥．证明：01122113(21)222222(2)n n n n n n n n n n n n n C C C C n n ----=+=++++>+=+ ·．点评：本题是一个与自然数有关的不等式问题，当然可以考虑用数学归纳法证明，但是与(1)n x +的展开式进行对照，只要令2x =，所证不等式的左边就化为二项式展开式的结构，再进行合理的取舍，问题获证，这不失为一个快捷方法．三、整体思想例5 在3812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，哪一项的二项式系数最大？哪一项的系数最大？ 解析：解决这类问题应注意二项式系数与项的系数的区别，令1r r A A +，分别为展开式的第r 项和第1r +项的系数，仿照研究二项式系数的变化规律的方法，我们来研究本展开式各项系数的变化规律．1812r rr A C +⎛⎫= ⎪⎝⎭∵·，11812r r r A C --⎛⎫= ⎪⎝⎭·，8111818!192!(8)!28!21(1)!(81)!2rr r r r r C A r r r A r C r r +--⎛⎫ ⎪--⎝⎭===⎛⎫ ⎪--+⎝⎭··∵·． ∵当13r ≤≤时，11r r A A +≥，即1r r A A +≥，当38r <≤时，11r rA A +<，即1r r A A +<， {}n A ∴的变化规律是先单调递增，后单调递减．注意到3r =时，34A A =，故展开式的第三、四项的系数最大．点评：二项式的通项公式是求某些特定项或二项式系数最大的项的有利工具，此处用整体思想考虑问题，观察{}n A的变化规律，做到胸中有全局，方向明确，脉络清楚，正确得结果．。

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排列组合二项式定理中的数学思想方法
作者：童其林
来源：《数理化学习·高一二版》2013年第02期
现行高中数学中的排列和组合，是当今发展很快的组合数学的最初步的知识.虽然在高考
中占分不多，但是这种以计数问题为特征的内容在中学数学中是较为独特的，不仅应用广泛、蕴含的思想方法丰富，也是学习后续的概率统计知识以及进一步学习高等数学有关分支的准备知识，特别是新教材中对于数学思想方法的渗透贯穿于这一章节的始终，这是我们在教学中要加以重视的.本文通过实例介绍几种常用的数学思想方法在排列组合中的运用.。

二项式定理知识点总结二项式定理是数学中的一个基本定理，它描述了一个二次方的展开式中的每一项的系数。

二项式定理的公式如下：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n)b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个的组合数，也可以记作为“n选择k”。

二项式定理的核心思想是展开一个二次方的多项式，并找到每一项的系数。

该定理在概率论、组合数学、统计学等领域具有广泛的应用。

二项式定理的重要性二项式定理在数学中具有重要的地位，而且在很多高级数学的分支中都起到了关键的作用。

以下是二项式定理的重要性：1. 展开多项式：二项式定理可以用来展开一个多项式，从而求得每一项的系数。

这对于解决复杂的数学问题非常有帮助。

2. 概率计算：二项式定理在概率论中应用广泛。

例如，在进行多次独立试验时，计算某些事件发生的概率可以通过二项式定理来实现。

3. 组合数学：组合数学是二项式定理的一个重要分支。

二项式系数被称为“组合数”，用于计算对象之间的排列组合情况。

4. 统计学应用：二项式分布是概率论中一种重要的离散概率分布，它在统计学中有广泛的应用。

二项式定理可以用来计算二项式分布的概率。

二项式定理的发展历程二项式定理最早是由17世纪的法国数学家Pascal在他的著作《论算术三角形》（Traité du triangle arithmétique）中首次提出的。

后来，德国数学家Newton将其进一步发展，并给出了二项式的系数计算公式。

随着数学研究的深入，二项式定理逐渐被推广到更一般的形式。

例如，当指数n为实数，而非整数时，也可以使用二项式定理展开。

这被称为泰勒展开，是微积分中的一种重要工具。

应用举例1. 计算多项式的展开式：利用二项式定理，我们可以展开一个二次方、三次方或更高次方的多项式，从而求得每一项的系数。

例如，利用二项式定理展开(x + y)^3：(x + y)^3 = C(3,0)x^3 + C(3,1)x^2y + C(3,2)xy^2 + C(3,3)y^3= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^32. 计算概率：二项式定理在概率论中有广泛的应用。

二项式性质及应用二项式是代数学中常见的一个概念，它是由两项代数式（一般是两个变量的和或差）构成的式子。

在数学上，二项式具有许多重要的性质和应用。

首先，二项式的展开式有着特殊的形式，称为二项式定理。

二项式定理的表述如下：对于任意实数a和b以及自然数n，有(x+y)^n = C(n,0) * x^n * y^0 + C(n,1) * x^(n-1) * y^1 + ... + C(n,k) *x^(n-k) * y^k + ... + C(n,n) * x^0 * y^n其中C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的组合数。

例如C(5,2)表示从5个元素中选取2个元素的组合数，计算结果为10。

二项式定理可以通过排列组合中的思想进行证明，它能够将一个复杂的二项式展开式转化为多个简单的幂次项相乘的形式。

二项式定理的一个重要应用是多项式的展开。

将一个多项式展开成二项式的形式，不仅可以简化计算过程，还可以方便地求取多项式的系数。

例如，如果要计算(x+y)^4的展开式，可以直接使用二项式定理展开，得到(x+y)^4 = C(4,0) * x^4 * y^0 + C(4,1) * x^3 * y^1 + C(4,2) * x^2 * y^2 + C(4,3) * x^1 * y^3 + C(4,4) * x^0 * y^4= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4通过展开式，可以快速得到多项式的各个项的系数，从而进行进一步的计算或分析。

其次，二项式性质使得它在概率论和统计学中有着广泛的应用。

在概率论中，二项式分布描述了一系列独立重复实验的结果，每次实验只有两种可能的结果（成功或失败）。

二项式分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中X为成功的次数，n为实验的总次数，p为每次实验成功的概率，q为每次实验失败的概率。

二项式分布可以应用于各种实际问题，如投掷硬币、游戏中的输赢情况等。

二项式定理两项相乘二项式定理是代数学中的重要定理之一，它描述了两个数的乘积在展开后的形式。

根据二项式定理，两项的乘积可以展开成若干项的和，每一项由两个因子的幂次决定。

本文将通过一些例子来说明二项式定理的应用。

我们来看一个简单的例子：计算$(a+b)^2$。

根据二项式定理，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。

这个展开式告诉我们，$(a+b)^2$可以展开成三项的和，每一项的幂次分别为2、1和0，系数分别是1、2和1。

这个例子展示了二项式定理的基本思想：将两个数的乘积展开成若干项的和。

接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子：计算$(a+b)^3$。

根据二项式定理，$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$。

这个展开式告诉我们，$(a+b)^3$可以展开成四项的和，每一项的幂次分别为3、2、1和0，系数分别是1、3、3和1。

通过这个例子，我们可以发现展开式中的系数与二项式的系数有着特定的关系：系数由二项式系数的排列组合决定。

接下来，我们来看一个更一般的情况：计算$(a+b)^n$，其中$n$是一个正整数。

根据二项式定理，$(a+b)^n$可以展开成$n+1$项的和，每一项的幂次从$n$到0递减，系数由二项式系数的排列组合决定。

展开式的一般形式可以表示为：$$(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+\cdots+\binom{n}{n-1}ab^{n-1}+\binom{n}{n}b^n$$其中，$\binom{n}{k}$表示从$n$个元素中选取$k$个元素的组合数。

这个展开式告诉我们，$(a+b)^n$可以展开成$n+1$项的和，每一项的幂次从$n$到0递减，系数由二项式系数$\binom{n}{k}$决定。

通过以上的例子，我们可以看到二项式定理的应用范围非常广泛。

在代数学、组合数学、概率论等领域中，二项式定理都有着重要的应用。

二项式定理公式各项系数和公式二项式定理，又称为二项展开定理，是代数学中一个非常重要的定理。

它是描述一个二项式的（a+b）的任意次方在展开后的系数和的公式。

这个定理的发现与研究对于高等数学的发展有着深远的指导意义。

二项式定理的公式可以用以下形式表示：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,r)a^(n-r)*b^r + ... + C(n,n)a^0*b^n其中，C(n,r)表示从n个不同元素中选取r个元素的组合数。

公式中的每一项都乘以各自分解项的系数，这个系数正是组合数。

二项式定理公式的中文名称由来是因为每一项有两个因子，这两个因子可以是变量，也可以是常数。

在公式展开后的每一项，系数表示了该项对应的组合数。

这个定理的意义在于，它提供了一种简洁的方法来展开一个二项式的幂，而不需要真的一个一个相乘。

通过使用这个公式，我们可以快速地计算出一个二项式的各个项的系数。

二项式定理的展开不仅在代数学中具有重要的应用，而且在组合数学、概率论等领域也有广泛的应用。

它可以解决很多实际问题，比如计算简单多项式的值，求解概率分布等。

由于二项式定理公式的形式非常简单明了，我们可以用递归的方法来证明这个定理。

递归的思想是通过反复调用自身来解决问题。

我们可以将(a+b)^n展开为(a+b)乘以(a+b)的n-1次方，然后再递归地展开(a+b)的n-1次方。

通过对二项式定理公式的研究，我们不仅能够深入理解代数学的基本概念，还能够从中获得一些指导意义。

首先，我们可以通过这个公式掌握组合数的概念和计算方法。

其次，我们可以将其用于解决实际的问题，如计算概率、数值计算等。

最重要的是，通过学习二项式定理，我们能够培养逻辑思维和数学推理能力，这对于我们的学业和职业发展都具有重要意义。

总之，二项式定理是代数学中一个重要的公式，它能够帮助我们高效地展开一个二项式的幂，并计算出各项的系数。

计数原理及二项式定理概念公式总结计数原理和二项式定理是组合数学中的基本概念之一，被广泛应用于概率统计、离散数学、组合数学等领域。

下面将对这两个概念进行详细的解释和总结。

一、计数原理计数原理是组合数学中的一种基本原理，用于求解离散数学中的计数问题。

计数原理包括基本计数原理、乘法原理、加法原理和排列组合原理。

1.基本计数原理：基本计数原理是运用数学归纳法来解决计数问题的基本方法。

它的核心思想是将一个计数问题分解为若干个互相独立的子问题，再对子问题求解，最后将子问题的解累加得到原问题的解。

2.乘法原理：乘法原理是计数原理的一种特殊形式，用于解决多阶段决策类计数问题。

乘法原理的关键是将决策问题分解为多个阶段的决策子问题，然后通过求解每个子问题在相应阶段的可选项个数，再将各阶段的可选项个数相乘得到问题的解。

3.加法原理：加法原理是计数原理的另一种特殊形式，适用于解决分情况计数问题。

加法原理的核心思想是将计数问题分解为若干个情况，然后分别计算每种情况下的计数结果，最后将各种情况下计数结果相加得到问题的解。

4.排列组合原理：排列组合原理是计数原理的核心概念，描述了从给定元素集合中选取若干元素进行排列或组合的方法。

排列组合分为无重复元素的排列组合和有重复元素的排列组合两种情况。

-无重复元素的排列组合：若从n个不同元素中选取r个元素进行排列，称为排列数，用符号P(n,r)表示，排列数的计算公式为P(n,r)=n*(n-1)*...*(n-r+1)=n!/(n-r)。

若从n个不同元素中选取r个元素进行组合，称为组合数，用符号C(n,r)表示，组合数的计算公式为C(n,r)=P(n,r)/r!=n!/(r!*(n-r)。

-有重复元素的排列组合：若从n个相同元素中选取r个元素进行排列，称为重复排列，用符号P(n;r₁,r₂,...,r_k)表示，重复排列的计算公式为P(n;r₁,r₂,...,r_k)=n!/(r₁!*r₂!*...*r_k!)，其中r₁,r₂,...,r_k分别表示重复元素的个数。

二项式定理的起源及其应用
二项式定理起源于中国古代的数学研究。

在《孙子算经》中，就有一道题目可以用到
二项式定理的思想。

该题目为“一军分两偏，不及甲，甲多数倍，求上、下兵数各几何”。

即一支军队分
成两部分，其中一部分的兵数少于另一部分的兵数，而另一部分的兵数又是少部分的多倍，求这两部分兵数的比例。

假设少部分的兵数为x，多部分的兵数为nx，则根据题意可以得到以下方程： nx - x = 甲。

这个方程实际上就是二项式定理的应用。

我们可以将它展开为 (n+1)x = 甲+ x 。

根据二项式定理，(n+1)x = nCx*x^c，则 (n+1)x = n * (n-1) * … * (n-c+1) * x^c。

比较方程两边的系数，我们可以得到 n = c-1 ，即比例上的分母是c-1，上部的兵数是c-1的倍数。

可以看到，这个题目中的二项式定理应用相当巧妙，能够帮助我们解决复杂的数学问题。

除了在数学问题的解决中，二项式定理在组合数学和代数中也有广泛的应用。

在组合
数学中，二项式定理可以用于计算排列组合中元素的次数。

而在代数中，二项式定理可以
用于求解多项式的展开式，尤其是求解多项式的高次幂。

二项式定理的应用还不局限于数学领域，它在物理学中也有一定的应用。

二项式定理
可以用于描述力的合成，电流分布的特性等。

二项式定理知识点总结材料一、二项式定理的定义二项式定理是指如何展开一个二项式的幂的公式。

设a、b为实数，n为非负整数，则二项式定理的公式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,r)a^(n-r)b^r+...+C(n,n)b^n其中，C(n,r)为组合数，表示从n个元素中选出r个元素的组合方式的数量。

二、二项式定理的推导二项式定理的推导可以使用数学归纳法来进行。

当n=1时，(a+b)^1=a+b，符合公式。

假设当n=k时，公式成立，即(a+b)^k=C(k,0)a^k+C(k,1)a^(k-1)b+...+C(k,r)a^(k-r)b^r+...+C(k,k)b^k。

要证明当n=k+1时，公式也成立。

可以利用二项式定理展开(a+b)^(k+1)：(a+b)^(k+1)=(a+b)*(a+b)^k=(a+b)*(C(k,0)a^k+C(k,1)a^(k-1)b+...+C(k,r)a^(k-r)b^r+...+C(k,k)b^k)= C(k,0)a^(k+1) + C(k,1)a^kb + ... + C(k,r)a^(k-r+1)b^r + ... + C(k,k-1)ab^k + C(k,k)b^(k+1)= C(k,0)a^(k+1) + (C(k,1)a^k + C(k,1)a^(k-1))b + ... +(C(k,r)a^(k-r) + C(k,r-1)a^(k-r+1))b^r + ... + C(k,k-1)ab^k +C(k,k)b^(k+1)= C(k,0)a^(k+1) + C(k+1,1)a^kb + ... + C(k+1,r)a^(k-r+1)b^r+ ... + C(k+1,k)a^1b^k + C(k+1,k+1)b^(k+1)从推导过程可以看出，当n=k+1时，展开的结果可以重新写成符合二项式定理的形式，因此当n=k+1时，公式也成立。

年 级 高二 学科 数学内容标题 二项式定理（理科） 编稿老师胡居化一、教学目标1. 理解二项式定理的内容及其通项公式的概念，掌握二项式定理的应用.2. 理解二项式系数与展开式中某项系数的区别，掌握二项式系数的性质及其简单的应用.3. 理解方程的数学思想、转化的数学思想及赋值法等数学思想方法的应用.二、知识要点分析1.二项式定理：nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)(这个公式表示的规律叫二项式定理.（1）二项式nb a )(+的展开式的特点：（i ）展开式共有n+1项；（ii ）各项的次数之和等于n ；（iii ）a 的次数由n 降到0，b 的次数由0升到n .（2）二项展开式的系数：+∈∈≤≤N n N r n r C r n ,,0(,）（3）二项展开式的通项公式：rr n r n r b a C T -+=1，r=0，1，2n Λ，表示二项展开式的第（r+1）项.注：（i ）二项式n b a )(+的展开式的第（r+1）项r rn r n b a C -与二项展开式（b+a ）n 的第（r+1）项r rn rn a bC -是有区别的，应用时a ，b 不能随便交换.（ii ）二项展开式的系数rn C 与展开式中的对应项的系数不一定相等，二项式系数rn C 恒为正.而某项的系数可以是任意的实数.（iii ）二项式nb a )(-的展开式的通项公式是r r n r n r r b a C T -+-=)1(1，各项的二项式系数是r n C ，各项的系数是rn r C )1(-2. 二项式定理的应用：（1）进行近似计算；（2）证明整除或求余数问题；（3）证明有关的不等式.3. 二项式系数的性质：（1）rn r n r n C C C +=-+11（组合性质（2）的体现）.（2）mn nm n C C -=（与首末两端等距离的两项的二项式系数相等），即对称性. （3）增减性：当21+<n k 时，二项式系数kn C 是逐渐增大的；当21+>n k 时，二项式系数是逐渐减小的.（4）最大二项式系数：当n 是偶数时，n+1是奇数，展开式共有（n+1）项，故展开式中间一项的二项式系数最大，即第（)12+n项的二项式系数最大.最大的二项式系数是2nn C ；当n 为奇数时，（n+1）是偶数，共有（n+1）项，故中间有两项，即第）项项、（121n 21n +++的二项式系数最大，这两项的二项式的系数相等且最大，为21121+-+=n nn nCC. （5）二项式的系数和是nn n n n n n C C C C 22210=++++Λ，即，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即131202-=++=++n n n n n C C C C ΛΛ.二项展开式的各项系数和：一般的，设f （x ）=nn x a x a x a a ++++Λ2210的各项的系数和是f （1），其中x 的奇次项系数和等于)]1(f )1(f [21--；x 的偶次项系数和等于)]1()1([21-+f f .【典型例题】知识点一：二项式定理及其简单应用.例1. 123)1(xx -展开式中的常数项是（ ）A . －1320B . 1320C . －220D . 220【题意分析】本题是利用二项式定理求二项展开式中的某项问题，即通项公式的应用. 【思路分析】可设第（r+1）项是常数项，利用通项公式及x 的次数是零确定r 的值，即可确定常数项.【解题步骤】设第（r+1）项是常数项，则31212312121)1()1()1(rr rr r rr r r xC xx C T ---+-=-=9r 03rr 12x =⇒=--∴的次数是零，Θ，故第10项是常数项. 220)1(912910-=-=C T ，选C【解题后的思考】关于利用二项式定理求二项展开式中的某项或某项的系数问题，是二项展开式的通项公式的应用，一般设第（r+1）项是要求的项.根据要求确定r 的值，即可确定要求的项.易错点：把通项公式中的第（r+1）项误认为是第r 项.例2. 利用二项式定理解决下列问题 求：（1）（x 3－22x）5的展开式中x 5的系数； （2）在1003)23(+x 的展开式中，系数为有理数的项的个数.【题意分析】这两道试题都是二项展开式中的通项公式rr n r n r b a C T -+=1的应用.【思路分析】（1）假设第（r+1）项是展开式中含5x 的项，根据x 的次数是5确定r 的值.（2）假设第（r+1）项是有理项，根据通项公式中的各个因数的次数都是整数确定r 的取值个数，从而确定有理项的个数.【解题步骤】（1）假设第（r+1）项是展开式中含5x 的项，则T r ＋1＝r r r rrrx C xx C 51552535)2()2()(---=-， 依题意15－5r ＝5，解得r ＝2， 故（－2）225C ＝40为所求x 5的系数. （2）假设第（r+1）项是展开式中的有理项， 则T r ＋1＝r r r r rr r x Cx C---⋅⋅=1003250100310010023)2()3(，要使x 的系数为有理数，指数50－2r 与3r都必须是整数， 因此r 应是6的倍数，即r ＝6k （k ∈Z ）， 又0≤6k ≤100，解得0≤k ≤1632（k ∈Z ）， ∴x 的系数为有理数的项共有17项..【解题后的思考】求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围.应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分.易错点是：在通项公式中漏掉r)1(-.例3. （1）求证：3724332+-+n n 能被64整除（2）求证：)3,(,12)32(1≥∈+<+-n N n n n 【题意分析】本题是应用二项式定理证明整除问题和证明不等式问题. 【思路分析】（1）将已知含有n 的式子中的323n 进行变形，即2n 23n 2333++⋅=1n )18(3++⋅=，然后用二项式定理展开.（2）21)23(12)32(11+>⇔+<--n n n n ，把11)211()23(--+=n n 用二项式定理展开.【解题步骤】 证明：（1）3724332+-+n n ＝3724)18(31+-+⋅+n n＝3724)8888(311121111101+-++++++++-++++n C C C C C n n n n n n n n n n Λ ＝3402424)88(64111211101+-++++⨯+-+-+-+n C C C C nn n n n n n n Λ ＝34024)1(24)88(6411211101+-+++++⨯-+-+-+n n C C C n n n n n n Λ ＝364)88(6411211101++++⨯-+-+-+n n n n n n C C C Λ故原式可被64整除. （2）21)23(12)32(11+>⇔+<--n n n n Θ21211)21()21(211)21()21(21)211()23(1221111*********+=-+>+++-+=++++=+=----------n n C n C C C C n n n n n n n n n n ΛΛΘ故原不等式成立.【解题后的思考】利用二项式定理证明整除问题时关键是找除数或其倍数的因式，要对已知的式子变形（如1321833++⋅n n ）＋（变形为）利用二项式定理展开含有除数或除数的倍数的式子或数.证明不等式问题也同样要对已知的不等式进行等价变形，目的是为使用二项式定理创造条件，体现了等价转化的数学思想的应用.【小结】本题组主要是二项式定理的通项公式的应用及利用二项式定理证明整除问题或证明不等式.在通项公式的应用过程中，注意它是第（r+1）项而不是第r 项.在证明整除或不等式问题时要对含有n 的式子变形为利用二项式定理提供条件.知识点二：求特定项的系数及二项式系数的性质的简单应用.例1. （2x －5y ）20展开式中各项系数之和是（ ） A . 203-B . 203C . 202D . 202-【题意分析】本题是利用赋值法求二项展开式的各项系数之和的问题.【思路分析】假设各项的系数是20210,,,a a a a Λ，在20)52(y x -中取x=y=1代入可求.【解题步骤】假设各项的系数是20210,,,a a a a Λ，令x=y=1得：202020103)1512(=⨯-⨯=+++a a a Λ，选B【解题后的思考】在求二项展开式的各项系数之和问题常采用赋值法，要体会这种数学方法的应用.易错点是：混淆各项系数与各项二项式系数，误选答案C例2. 已知（nx )21+中第6项的系数与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【题意分析】本题首先确定n ，要根据n 的值确定二项式系数最大的项，要注意二项式系数与某项系数的区别.【思路分析】由已知确定n 的值，根据二项式系数的增减性可确定第几项二项式系数最大.对于系数最大的项的确定可以假设第（r+1）项的系数最大是T 0，第r 项的系数是T 1，第（r+2）项的系数是T 2，则T T T T 0201;≤≤，由此确定r 的值.【解题过程】822,)2(,)2(66556616755156=⇒=∴====++n C C x C T T x C T T n n n n ，故二项展开式（8)21x +中共有9项，中间一项第5项的二项式系数最大，所以所求的二项式系数最大的项是4444814511202x x C T T ===+，假设第（r+1）项的系数最大是T 0，第r 项的系数是T 1，第（r+2）项的系数是T 211821181802,2,2++--===r r r r r r C T C T C T ，⎪⎩⎪⎨⎧-------≥-------≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥∴+-++--)2(2)1(2222218818811881188r rr r r r r r r r r r C C C C C C C C 由（1）得：6912)!18()!1(!8)!8(!!82≤⇒-≥⇒+-⨯-≥-⨯⨯r rr r r r r ， 同理由（2）得：5≥r ，故}8,2,1,0{,65Λ∈≤≤r r ，即系数最大的项是第6项、第7项，67561792,1792x T x T ==【解题后的思考】对于求二项式系数最大项的问题可根据二项式系数的性质求解，对求系数最大项的问题通过建立不等式求解，本题的易错点是：混淆二项式系数与某项系数的概念.例3. 设1001002210100)32(x a x a x a a x ++++=-Λ，求下列各式的值. （1）99531a a a a ++++Λ（2）29931210020)()(a a a a a a +++-+++ΛΛ（3）||||||10010a a a +++Λ【题意分析】本题为采用赋值法求值的问题，根据所求的系数和赋予x 不同的值.【思路分析】对于（1）设1001002210)(x a x a x a a x f ++++=Λ，则99531a a a a ++++Λ＝2)1()1(--f f ，对于（2）用平方差公式分解得：29931210020)()(a a a a a a +++-+++ΛΛ＝f （1）f （－1）.（3）对于||||||10010a a a +++Λ等价于100)32(x +的各项系数之和.【解题步骤】（1）设1001002210)(x a x a x a a x f ++++=Λ，则99531a a a a ++++Λ＝2)1()1(--f f ＝2)32()32(100100+--（2）29931210020)()(a a a a a a +++-+++ΛΛ＝))((10099983210100210a a a a a a a a a a a +-++-+-++++ΛΛ＝1)32()32()1()1(100100=+-=-f f（3）令x ＝－1得：10010010)32(||||||)1(+=+++=-a a a f Λ【解题后的思考】像这类求二项展开式各项系数和的问题，或求奇次项系数和、偶次项系数和的问题常采用赋值法解决，要根据不同的系数之和赋予不同的值.【小结】本组三个例题是关于二项展开式的系数的问题，对于二项式的系数问题要利用二项式系数的性质解决，对于求某些特定的项的系数或系数和问题要采用赋值法和方程、不等式的数学思想方法解决.容易产生的错误是：把二项式系数与某项的系数混淆.【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲述二项式定理和二项式系数性质的简单应用.在解决问题的过程中体现了方程的数学思想、不等式的数学思想、转化的数学思想的应用.【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分60分）一、选择题（共3小题，每题5分，计15分）1. )()1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345x x x x xA . 5xB . 1x 5-C . 1x 5+D . 1)1x (5--2. 若n )(b ),Z b ,a (,b a 2)12(,N n n n n n n =∈+=+∈+则A . 一定是奇数B . 一定是偶数C . 与n 的奇偶性相反D . 与n 有相同的奇偶性3. 在二项式52)1(xx -的展开式中，含4x 项的系数是（ ） A . －10 B . 10 C . －5 D . 5二、填空题（共3题，每题5分，计15分）4. 设_______________6C 6C C 6C ,N n 1n n n 23n 2n 1n =++++∈-+Λ 5. 已知5525101)1(x a bx x ax ++++=+Λ，则b=_____________ 6. 若nxx )1(+的展开式的各项系数之和是32，则n=________________三、计算题（30分，每题10分）7. 已知（2x ＋x lg x ）8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x 的值. 8. 求：（1）（x ＋2）10（x 2－1）的展开式中x 10的系数；（2）（x －1）－（x －1）2＋（x －1）3－（x －1）4＋（x －1）5的展开式中x 2的系数.9. 求：（1）321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项； （2）若（2x ＋3）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 求（a 0＋a 2＋a 4）2－（a 1＋a 3）2的值.【试题答案】一、选择题1. B 解析：原式＝5545235325415505)1()1()1()1()1(C x C x C x C x C x C +-+-+-+-+- －11]1)1[(5555-=-+-=x x C2. A 解析：特值法：取n=1时，,12)12(1+=+此时b=1，是奇数取n=2时，223)12(2+=+，此时b=3，为奇数3. B 解析：设第（r+1）项是含4x 的项，则r r r r rrrr x C xx C T 31055251)1()1()()1(--+-=⋅-=， 令10－3r ＝4知：r=2，故含4x 项的系数是10)1(252=-C二、填空题4.)17(61-n 解析：nn n n n nn C C C C 666)61(2210++++=+ΛΘ )17(61666)666(6171232112321-=++++⇒++++=-∴--nn n nnn n n n n n n n n C C C C C C C C ΛΛ 5. 40，解析：据题意知：b 是展开式中含2x 项的系数，r r r r r r x a C ax C T 551)(==+，r=2 又21015=⇒=a x ax C 故402225==C b .6. 5， 解析：5322=⇒=n n. 三、计算题7. 解：依题意T 5＝4lg 448)()2(x x x C ＝1120，整理得x 4（1＋lg x ）＝1，两边取对数，得lg 2x ＋lg x ＝0，解得lg x ＝0或lg x ＝－1， ∴x ＝1或x ＝101，故所求x 的值是：x ＝1或x ＝101. 8. 解：（1）∵ （x ＋2）10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…∴ （x ＋2）10（x 2－1）的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179 （2）∵ （x －1）－（x －1）2＋（x －1）3－（x －1）4＋（x －1）5＝xx x x x x 65)1()1()]1([1})]1([1){1(-+-=-------∴所求展开式中x 2的系数就是（x －1）6的展开式中x 3的系数36C -＝－20.9. 解：（1）∵ 321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =61⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，设第（r+1）项是常数项，则r r r r rr r r x C x x C T --+-=-=36661|)(|)1()||1()||()1(，令r=3，∴ 所求展开式中的常数项是－36C ＝－20.（2）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝（32+）4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝4)23(-，由此可得（a 0＋a 2＋a 4）2－（a 1＋a 3）2＝（a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4）（ a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4） ＝[)23)(23(-+]4＝1.。

二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n nn ΛΛ二项式定理内包含的数学思想：乘法公式思想与排列组合中的组合思想。

2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式 （2）项数：二项展开式中共有1+n 项 如何理解这n+1项：同样是从组合思想理解：首项：n 个a 相乘，即n 个a 组合在一起，记作a n 中间项：a n-1b a n-2b 2.。

ab n-1末项：n 个b 相乘，即n 个b 组合在一起，记作b n所以共有：n-1+2（首末）=n+1项（3）二项式系数：),,2,1,0(n r C rnΛ=叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数 （4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T rr n r nr Λ==-+ 3、展开式的特点（1）系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C nn ,…,C nn(2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。

②b 的指数由0 n （升幂）。

③a 和b 的指数和为n 。

(3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。

4、二项式系数的性质： （1）对称性:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 （2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值mn n m n C C -=当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n nC当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n nC=21+n nC（3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即nn n k n n n n C C C C C 2210=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++∴L L 0213n-1n n n n C +C +=C +C +=2二项式定理的常见题型一、求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求5)13(xx +的展开式；a2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求5)13(xx -的展开式；3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn n n n n n 3)1( (279313)21-++-+-；二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素例4．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为2．确定二项展开式的常数项例5．213)1(xx -展开式中的常数项是3．求单一二项式指定幂的系数 例6． 92)21(xx -展开式中9x 的系数是三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，2x 的系数等于例8．72)2)(1-+x x （的展开式中，5x 项的系数是四、利用二项式定理的性质解题 1． 求中间项 例9．求（213)1xx -的展开式的中间项； 。

二项式定理指数不为整数二项式定理是代数学中非常重要的一个定理，它有着广泛的应用。

二项式定理的内容就是关于如何展开一个二项式的式子。

首先，我们来看一下什么是二项式。

二项式是由两个不同的项相加（或相减）而成的式子。

一个二项式的一般形式可以写成(a+b)^n，其中a和b是常数，n是一个不为整数的指数。

换句话说，如果n是一个整数，那么这个式子就是一个多项式。

二项式定理的核心思想是如何将一个二项式展开成一系列项的和。

以(a+b)^n为例，二项式定理告诉我们，展开后的结果可以写成：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2+ ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。

这个组合数可以通过公式C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)计算得出。

通过这个定理，我们可以轻松地展开二项式，以便更好地分析和计算。

二项式定理的应用非常广泛。

首先，它在概率论和统计学中扮演了重要角色。

在这两个领域中，我们经常需要计算多个事件组合的概率，而二项式定理可以帮助我们简化这个计算过程。

此外，二项式定理还应用于计算实际问题中。

例如，在金融领域中，我们经常需要计算复利的价值。

二项式定理可以帮助我们计算复利的未来价值，并帮助我们做出明智的投资决策。

在物理学中，二项式定理被广泛应用于泰勒级数展开。

泰勒级数是用一系列项来近似表达一个函数的方法，而二项式定理可以帮助我们计算这些近似项的系数。

总之，二项式定理的重要性无法忽视。

它不仅可以帮助我们展开二项式，还应用于概率论、统计学、金融学和物理学等领域。

对于学习代数学和应用数学的人来说，掌握二项式定理是非常重要的，它不仅能提高计算效率，还可以开阔我们的思维，帮助我们更好地理解和解决实际问题。

因此，我们应该认真学习和掌握二项式定理，为自己的数学学习和未来的发展打下坚实的基础。