2017年考研数学一真题与解析汇总

2017年考研数学一真题及答案解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1

）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩

在0x =处连续，则（ ） ()()11()2

2()02

A ab

B ab

C ab

D ab =

=-==

【答案】A

【解析】00112lim lim ,()2x x x

f x ax a

++

→→==在0x =处连续11

.22

b ab a ∴

=⇒=选A.

（2）设函数()f x 可导，且'

()()0f x f x >，则（ ）

()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)

(1)(1)

A f f

B f f

C f f

D f f >-<->-<-

【答案】C

【解析】'

()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0

(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩

，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数2

2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）

()12

()6()4()2A B C D

【答案】D 【解析】2(1,2,0)

122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.

|u |333

f u gradf xy x z gradf

gradf u ∂=⇒=⇒

=⋅=⋅=∂ 选D.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追

2017年考研数学一真题及答案解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1

）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩

在0x =处连续，则（ ） ()()11()2

2()02

A ab

B ab

C ab

D ab =

=-==

【答案】A

【解析】00112lim lim ,()2x x x

f x ax a

++

→→==在0x =处连续11

.22

b ab a ∴

=⇒=选A.

（2）设函数()f x 可导，且'

()()0f x f x >，则（ ）

()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)

(1)(1)

A f f

B f f

C f f

D f f >-<->-<-

【答案】C

【解析】'

()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0

(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩

，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数2

2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）

()12

()6()4()2A B C D

【答案】D 【解析】2(1,2,0)

122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.

|u |333

f u gradf xy x z gradf

gradf u ∂=⇒=⇒

=⋅=⋅=∂ 选D.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追

2017考研数学一真题及答案解析

2017年考研数学一真题及答案解析

2017年考研数学一真题是考研数学一科目中的一道重要题目，对考生的数学能

力和解题思路有一定的考察。下面将对这道题目进行详细的解析。

题目内容如下：

已知函数f(x)满足f(0)=-1，对任意的x>0，有f'(x)=e^(-x)·f(x)。求f(x)的表达式。解析：

首先，根据已知条件可知f(x)是一个可导函数，并且f(0)=-1。我们需要求解f(x)的表达式。

根据题目中给出的条件，我们可以得到f'(x)=e^(-x)·f(x)。这是一个一阶线性常

微分方程。我们可以通过分离变量的方法来求解。

首先，将方程两边同时除以f(x)，得到f'(x)/f(x)=e^(-x)。

接下来，我们对方程两边同时进行积分，得到∫f'(x)/f(x) dx = ∫e^(-x) dx。

对左边的积分进行计算，得到ln|f(x)|= -e^(-x) + C1。

其中C1是积分常数。

接下来，我们对右边的积分进行计算，得到-e^(-x) + C2。

其中C2是积分常数。

综上，我们得到ln|f(x)|= -e^(-x) + C1，或者写成ln|f(x)|= e^(-x) + C2。

然后，我们可以对上式两边同时取指数，得到|f(x)|= e^(-e^(-x) + C1)，或者写

成|f(x)|= e^(e^(-x) + C2)。

由于f(x)是一个函数，所以f(x)的取值可以是正数或者负数。因此，我们可以将

上式分为两种情况来讨论。

情况一：当f(x)>0时，|f(x)|= f(x)。此时，我们可以得到f(x)= e^(e^(-x) + C2)。

2017考研数学一答案及解析

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1

）若函数1(),0,0f x x ax

b x ⎧-⎪

=>⎨⎪≤⎩

在0x =连续，则（ ）。 A. 12ab = B. 1

2

ab =-

C. 0ab =

D. 2ab = 【答案】A 【解析】

由连续的定义可得-+

lim ()lim ()(0)x x f x f x f →→==，而

+++

2

0001

12lim ()lim lim 2x x x f x ax a

→→→===，-0lim ()x f x b →=，因此可得12b a =，故选择A 。

（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >，则（ ）。 A. (1)(1)f f >- B. (1)(1)f f <- C. |(1)||(1)f f >- D. |(1)||(1)f f <- 【答案】C

【解析】令2

()()F x f x =，则有'()2()'()F x f x f x =，故()F x 单调递增，则

(1)(1)F F =-，即22[(1)][(1)]f f >-，即|(1)||(1)f f >-，故选择C 。

（3）函数22

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n =的方向导数为（ ）。 A.12 B.6 C.4 D.2 【答案】D

【解析】2

{2,,2}gradf xy x z =，因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|{4,1,0}gradf =，则有

:899*()):899*()):899*(

))

:8999*(

))

):

8*

(*(

(18)(本题满分10分）

f(x)

设函数f(x)在区间[0, 1]上具有2阶导数，且八1)> 0, lim < 0. 证明：

x---->O+ X

(I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根；

(II)方程f(x)f"(x)+ [ /'(x) ]2 =0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根．

(19)(本题满分10分）

设薄片刑物体S是圆锥面z=�了石了被柱面z2=2x割下的有限部分，其上任一点的密度为µ(x,y,z) =9心；2+y2 +z2. 记圆锥面与柱面的交线为C.

(I)求C在x Oy平面上的投影曲线的方程；

(II)求S的质量M.

(20)(本题满分11分）

设3阶矩阵A= («1 , «2 , «3)有3个不同的特征值，且也=«1+ 2也·

(I)证明r(A)=2;

(II)设/3=«1 +«2十也，求方程组Ax=/3的通解．

—3—

(21)(本题满分11分）

设二次型/(X 1,x2 ,x3) =2xf -式+a式+2x1 x2 -8x1 x3 + 2x2x3在正交变换X=Qy下的标准形为入忒＋入义，求a的值及一个正交矩阵Q.

(22)(本题满分11分）

设随机变械X,Y相互独立，且X的概率分布为PjX=Of=P1X=2f =—,Y的概率密度为

2

/(y) =( 2y, 0 <y < 1,

0, 其他

(I)求PjY�E(Y) f;

(II)求Z=X+Y的概率密度

(23)(本题满分11分）

2017 年考研数学一真题

一、选择题

1— 8 小题．每题

4 分，共 32 分．

１．若函数 f (x)

1 cos x

, x 0

在 x 0 处连续，则 ax

b, x 0

（ A ） ab

1

（ B ） ab

1

（ C ） ab

0 （ D ） ab 2

2

2

lim

1

cos x

1 x

1

【详解 】 lim

f (x)

lim

2

， lim f (x)

b

f (0) ，要使函数在 x

0 处连续，

x 0

x 0

ax

x 0

ax2a

x 0

一定知足

1

b

ab 1 ．因此应当选（ A ）

2a

2

2．设函数 f (x) 是可导函数，且知足

f ( x) f ( x) 0 ，则

（ A ） f (1)

f ( 1) （B ） f (1) f ( 1)

（ C ） f (1)

f ( 1)

（ D ） f (1) f ( 1)

【详解 】设 g (x)

( f (x))2 ，则 g ( x)

2 f ( x) f (x) 0 ，也就是

2

是单一增添函数．也就获得

f ( x) 2

f ( 1)2

f (1)

f ( 1) ，因此应当选（ C ）

f (1)

3．函数 f (x, y, z)

x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n

(1,2,2) 的方导游数为

（ A ） 12 （B ） 6

(C ） 4

（ D ） 2

【 详 解 】

f

2xy, f

x 2 , f

2z ， 所 以 函 数 在 点 (1,2,0) 处 的 梯 度 为 gradf 4,1,0 ， 所 以

x

y

z

f (x, y, z)

x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n

(1,2,2) 的方导游数为

1

2017年考研数学一真题及答案解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1

）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()2

2()02

A ab

B ab

C ab

D ab =

=-==

【答案】A

【解析】00112lim lim ,()2x x x

f x ax a

++→→== 在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.

（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）

()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)

(1)(1)

A f f

B f f

C f f

D f f >-<->-<-

【答案】C

【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩ 或()0

(2)'()0

f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数2

2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）

()12

()6()4()2A B C D

【答案】D 【解析】2(1,2,0)

122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.

|u |333

f u gradf xy x z gradf

gradf u ∂=⇒=⇒

=⋅=⋅=∂ 选D.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追

2017年考研数学一真题及答案解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1）若函数1cos ,0(),0

x x f x ax

b x 在0x 处连续，则（）11()22()02A ab B ab

C ab

D ab

【答案】A 【解析】0011cos 12

lim lim ,()2x x x

x f x ax ax a 在0x 处连续1

1

.22b ab a 选A.

（2）设函数()f x 可导，且'()()

0f x f x ，则（）()(1)

(1)(1)(1)()(1)

(1)(1)(1)A f f B f f C f f D f f 【答案】C

【解析】'()

0()()0,(1)'()0f x f x f x f x 或()

0(2)'()0f x f x ，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数22(,,)

f x y z x y z 在点(1,2,0)处沿向量1,2,2u 的方向导数为（）()12

()6()4()2A B C D 【答案】D

【解析】

2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.

|u |333f u gradf xy x z gradf gradf u 选D. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t （单

2017年考研数学一真题及答案解析

跨考教育 数学教研室

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1

）若函数1,0(),0x f x ax

b x ⎧−>⎪

=⎨⎪≤⎩

在0x =处连续，则（ ） ()()11()2

2()02

A ab

B ab

C ab

D ab =

=−==

【答案】A

【解析】00112lim lim ,()2x x x

f x ax a

++→→==在0x =处连续11

.22

b ab a ∴

=⇒=选A.

（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）

()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)

(1)(1)

A f f

B f f

C f f

D f f >−<−>−<−

【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0

(2)'()0

f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数2

2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）

()12

()6()4()2A B C D

【答案】D

【解析】

2

(1,2,0)

122

{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333

f u gradf xy x z gradf gradf u ∂=⇒=⇒

=⋅=⋅=∂ 选D.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单

2017年考研数学一真题及答案解析

一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在 ．答题纸．．

指定位置上. （1

）若函数1,0(),0x f x ax

b x ì->ï

=íï£î在0x =处连续，则（ ）()()11()2

2

()02

A ab

B ab

C ab

D ab =

=-==【答案】A

【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a

++

®®-==!在0x =处连续11.22b ab a \=Þ=选A. （2）设函数

()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）

()()()(1)(1)(1)(1)

()(1)(1)

(1)(1)

A f f

B f f

C f f

D f f >-<->-<-【答案】C

【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >ì>\í

>î!或()0

(2)'()0

f x f x <ìí<î，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数

22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）

()12

()6()4()2

A B C D 【答案】D

【解析】

2

(1,2,0)

122

{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333

f u gradf xy x z gradf gradf u ¶=Þ=Þ

2017年考研数学一真题及答案解析

跨考教育 数学教研室

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1）若函数1,0(),0x

x f x ax

b x ⎧->⎪

=⎨⎪≤⎩

在0x =处连续，则（ ） ()()11()2

2()02

A ab

B ab

C ab

D ab =

=-==

【答案】A

【解析】001112lim lim ,()2x x x

x f x ax ax a

++→→-==在0x =处连续11

.22

b ab a ∴

=⇒=选A.

（2）设函数()f x 可导，且'

()()0f x f x >，则（ ）

()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)

(1)(1)

A f f

B f f

C f f

D f f >-<->-<-

【答案】C 【解析】'

()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0

(2)'()0

f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。

（3）函数2

2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）

()12

()6()4()2A B C D

【答案】D 【解析】2(1,2,0)

122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.

|u |333

f u gradf xy x z gradf

gradf u ∂=⇒=⇒

2017年考研数学一真题及答案解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1

）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()2

2()02

A ab

B ab

C ab

D ab =

=-==

【答案】A

【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a

++

→→== 在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.

（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）

()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)

(1)(1)

A f f

B f f

C f f

D f f >-<->-<-

【答案】C

【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨

>⎩ 或()0

(2)'()0

f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足

(2)，所以选C 。

（3）函数2

2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）

()12

()6()4()2A B C D

【答案】D 【

解析

】

2

(

1,

1

{2,,

|

u

f u gradf xy x z gradf gradf u ∂=⇒=⇒

=⋅=⋅

=

∂

选D.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）