九年级(上册) 一元二次方程题型归纳

九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，可归纳为七个步骤：“审、找、设、列、解、验、答”。

1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；2）找：找出等量关系；3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；4）列：列出一元二次方程；5）解：求出所列方程的解；6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；7）答：作答。

二、典型题型1.数字问题例1：有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例2：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

练：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A。

25.B。

36.C。

25或36.D。

-25或-362.传播问题公式：(a+x)n=M，其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数。

例3：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？例4：有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A。

8.B。

9.C。

10.D。

11练：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3.相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题1.循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)和双循环问题n(n-1)。

例5：参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？例6：参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例7：一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例8：生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x个同学，则根据题意列出的方程是（）A。

一元二次方程的解法【十大题型】【题型1直接开平方法解一元二次方程】【题型2配方法解一元二次方程】【题型3公式法解一元二次方程】【题型4因式分解法解一元二次方程】【题型5十字相乘法解一元二次方程】【题型6用适当方法解一元二次方程】【题型7用指定方法解一元二次方程】【题型8用换元法解一元二次方程】【题型9解含绝对值的一元二次方程】【题型10配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1直接开平方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)将方程(2x-1)2=9的两边同时开平方，得2x-1=，即2x-1=或2x-1=，所以x1=，x2=．【答案】±33-32-1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵(2x-1)2=9∴2x-1=±3∴2x-1=3，2x-1=-3∴x1=2，x2=-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2(23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()A.x2+9=0B.-2x2=0C.x2-3=0D.(x-2)2=0【答案】A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：(A )移项可得x 2=-9，故选项A 无解；(B )-2x 2=0，即x 2=0，故选项B 有解；(C )移项可得x 2=3，故选项C 有解；(D )x -2 2=0，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)如果关于x 的一元二次方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【答案】m ≥7【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，∴m -7≥0，解得：m ≥7，故答案为：m ≥7．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4(23-24九年级上·河南南阳·阶段练习)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x x +4 =6．解：原方程可变形，得：x +2 -2 x +2 +2 =6．x +2 2-22=6，x +2 2=10．直接开平方并整理，得．x 1=-2+10，x 2=-2-10．我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程x +5 x +9 =5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：x +a -b x +a +b =5．x +a 2-b 2=5，∴x +a 2=5+b 2．直接开平方并整理，得．x 1=c ，x 2=d ．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：x -5 x +7 =12．【答案】(1)7，2，-4，-10．(2)x 1=-1+43，x 2=-1-43．【分析】(1)仿照平均数法可把原方程化为x +7 -2 x +7 +2 =5，可得x +7 2=9，再解方程即可；(2)仿照平均数法可把原方程化为x +1 -6 x +1 +6 =12，可得x +1 2=48，再解方程即可；【详解】(1)解：∵x +5 x +9 =5，∴x +7 -2 x +7 +2 =5，∴x +7 2-4=5，∴x +7 2=9，∴x +7=3或x +7=-3，解得：x 1=-4，x 2=-10．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，-4，-10．(2)∵x -5 x +7 =12，∴x +1 -6 x +1 +6 =12，∴x +1 2-36=12，∴x +1 2=48，∴x +1=43，x +1=-43，解得：x 1=-1+43，x 2=-1-43．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．知识点2配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x +m )2=n 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2配方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)用配方法解方程，补全解答过程．3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x 2-16x =56．配方，得_________________________________，即x -112 2=121144．两边开平方，得__________________，即x -112=1112，或x -112=-1112．所以x 1=1，x 2=-56．【答案】x 2-56=16x x 2-16x +112 2=56+112 2 x -112=±1112【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得x 2-56=16x ．移项，得x 2-16x =56．配方，得x2-16x+1122=56+112 2，即x-1 122=121144．两边开平方，得x-112=±1112，即x-112=1112，或x-112=-1112．所以x1=1，x2=-5 6．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2(23-24九年级下·广西百色·期中)用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是()A.x-32=9 B.x-32=10 C.x+32=8 D.x-32=8【答案】B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：x2-6x-1=0移项得：x2-6x=1配方得：x2-6x+9=1+9即x-32=10故选：B3(24-25九年级上·全国·假期作业)用配方法解方程：x2+2mx-m2=0．【答案】x1=-m+2m，x2=-m-2m【分析】本题考查了解一元二次方程--配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得x2+2mx=m2，配方得x2+2mx+m2=m2+m2，即x+m2=2m2，所以原方程的解为：x1=-m+2m，x2=-m-2m．4(2024·贵州黔东南·一模)下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：移项，得2x2+4x=8第一步二次项系数化为1，得x2+2x=4第二步配方，得x+22=8第三步由此可得x+2=±22第四步所以，x1=-2+22，x2=-2-22第五步①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．【答案】①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程2x2+4x-8=0变为x2+2x=4，然后配方为x+12=8，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②2x2+4x-8=0，移项，得2x2+4x=8，二次项系数化为1，得x2+2x=4，配方，得x+12=5，由此可得x+1=±5，所以，x1=-1+5，x2=-1-5．知识点3公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】1(23-24九年级上·山西大同·阶段练习)用公式法解关于x的一元二次方程，得x= -6±62-4×4×12×4，则该一元二次方程是．【答案】4x2+6x+1=0【分析】根据公式法的公式x=-b±b2-4ac2a，可得方程的各项系数，即可解答．【详解】解：∵x=-b±b2-4ac2a=-6±62-4×4×12×4，∴a=4，b=6，c=1，从而得到一元二次方程为4x2+6x+1=0，故答案为：4x2+6x+1=0．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．2(23-24九年级上·广东深圳·期中)用公式法解一元二次方程：x-23x-5=0．解：方程化为3x2-11x+10=0．a=3,b=，c=10．Δ=b 2-4ac =-4×3×10=1>0．方程实数根．x ==，即x 1=，x 2=53．【答案】-11(-11)2有两个不相等的--11 ±12×311±162【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为3x 2-11x +10=0．a =3，b =-11，c =10．Δ=b 2-4ac =-11 2-4×3×10=1>0．方程有两个不相等的实数根．x =--11 ±12×3=11±16，即x 1=2，x 2=53．故答案为：-11；(-11)2；有两个不相等的；--11 ±12×3；11±16；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．3(23-24九年级上·河南三门峡·期中)用公式法解方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)，下列代入公式正确的是()A.x =-b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) B.x =b ±b 2-4ac2a C.x =b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) D.x =-b ±b 2-4ac2a【答案】B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)可化为ax 2-bx +c =0由求根公式可得：x =-(-b )±(-b )2-4ac 2a =b ±b 2-4ac 2a 故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．4(23-24九年级上·广东深圳·期中)用求根公式法解得某方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根互为相反数，则()A.b =0B.c =0C.b 2-4ac =0D.b +c =0【答案】A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根x 1、x 2，由题意得x 1+x 2=0，可求出b =0．【详解】∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根，∴Δ=b2-4ac≥0且a≠0．求根公式得到方程的根为x=-b±b2-4ac2a，两根互为相反数，所以x1+x2=0，即-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=0，解得b=0．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．知识点4因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】1(23-24九年级下·安徽亳州·期中)关于x的一元二次方程x x-2=2-x的根是()A.-1B.0C.1和2D.-1和2【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵x x-2=2-x，∴x x-2+x-2=0，∴x+1x-2=0，∴x+1=0或x-2=0，解得x=-1或x=2，故选：D．2(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)以下是某同学解方程x2-3x=-2x+6的过程：解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，①方程两边同除以x-3，得x=-2，②∴原方程的解为x=-2．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)②(2)过程见解析【分析】(1)根据等式的性质作答即可；(2)先移项，然后用因式分解法求解．【详解】(1)解：∵x-3可能为0，∴不能除以x-3，∴第②步出现了错误故答案为②．(2)解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，移项，得x x-3+2x-3=0，∴x-3x+2=0，∴x1=3，x2=-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．3(23-24九年级下·安徽安庆·期中)对于实数m，n，定义运算“※”：m※n=m2-2n，例如：2※3=22 -2×3=-2．若x※5x=0，则方程的根为()A.都为10B.都为0C.0或10D.5或-5【答案】C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算m※n=m2-2n可得，x※5x=0即为x2-5x·2=0，即x x-10=0，∴x1=0，x2=10，则方程的根为0或10．故选：C．4(13-14九年级·浙江·课后作业)利用因式分解求解方程(1)4y2=3y；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0．【答案】(1)y1=0,y2=34；(2)x1=-32,x2=3【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1)4y2=3y；4y2-3y=0y(4y-3)=0y=0或4y-3=0∴y1=0,y2=34，故答案为：y1=0,y2=3 4；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0(2x+3)(x-3)=02x+3=0或x-3=0 x1=-32,x2=3，故答案为：x1=-32,x2=3．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程4y2=3y时，给方程两边同除以y，解得y=34，而丢掉y=0的情况．【题型5十字相乘法解一元二次方程】1(23-24九年级下·广西百色·期中)以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法：二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若此时满足a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解为(a1x +c1)(a2x+c2)=0，这种方法叫做“十字相乘法”．那么6x2-11x-10=0按照“十字相乘法”可因式分解为()A.(x-2)(6x+5)=0B.(2x+2)(3x-5)=0C.(x-5)(6x+2)=0D.(2x-5)(3x+2)=0【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出6x2-11x-10=(2x-5)(3x+2)即可．【详解】∵∴6x2-11x-10=2x-53x+2=0．故选：D．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．2(23-24九年级上·江西上饶·期末)试用十字相乘法解下列方程(1)x2+5x+4=0；(2)x2+3x-10=0．【答案】(1)x1=-4，x2=-1；(2)x1=2，x2=-5．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】(1)解：x2+5x+4=0x+4=0x+1x+4=0或x+1=0∴x1=-4，x2=-1；(2)解：x2+3x-10=0x+5=0x-2x+5=0或x-2=0∴x1=2，x2=-5．3(23-24九年级下·广西梧州·期中)解关于x的方程x2-7mx+12m2=0得()A.x1=-3m，x2=4mB.x1=3m，x2=4mC.x1=-3m，x2=-4mD.x1=3m，x2=-4m【答案】B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法求解即可．直接运用十字相乘法解一元二次方程即可．【详解】解：x2-7mx+12m2=0，x-3mx-4m=0，x-3m=0或x-4m=0，x1=3m，x2=4m．故选B．4(23-24九年级下·重庆·期中)阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x，y的二次三项式ax2+bxy+cy2，如图1，将x2项系数a=a1⋅a2，作为第一列，y2项系数c=c1⋅c2，作为第二列，若a1c2+a2c1恰好等于xy项的系数b，那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式为：ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y示例1：分解因式：x2+5xy+6y2解：如图2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2；∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；示例2：分解因式：x2-4xy-12y2．解：如图3，其中1=1×1，-12=-6×2，而-4=1×2+1×(-6)；∴x2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y)；材料二：关于x，y的二次多项式ax2+bxy+cy2+d x+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将a=a1a2作为一列，c=c1c2作为第二列，f=f1f2作为第三列，若a1c2+a2c1=b，a1f2+a2f1=d，c1f2+c2f1=e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：ax2+bxy+cy2+d x+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2；示例3：分解因式：x2-4xy+3y2-2x+8y-3．解：如图5，其中1=1×1，3=(-1)×(-3)，-3=(-3)×1；满足-4=1×(-3)+1×(-1)，-2=1×(-3)+1×1,8=(-3)×(-3)+(-1)×1；∴x2-4xy+3y2-2x+8y-3=(x-y-3)(x-3y+1)请根据上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：x2+3x+2=；x2-5xy+6y2+x+2y-20=；(2)若x，y，m均为整数，且关于x，y的二次多项式x2+xy-6y2-2x+my-120可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于x，y的方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解．【答案】(1)(x+1)(x+2)，(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)m=54m=-56，x=-1y=4和x=2y=-4【分析】(1)①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；(2)用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【详解】解：(1)①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(x+1)(x+2)；②1=1×1，6=(-2)×(-3)，-20=5×(-4)满足(-5)=1×(-2)+1×(-3)，1=1×5+1×(-4)，2=(-2)×5+(-3)×(-4)∴原式=(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)①1-35a1c1f11-2-4a2c2f2{a1c2+a2c1=-5a1f22+a2f1=1c1f2+c2f1=2②1-21013-12{a1c2+a2c1=1a1f2+a2f1=-2c1f2+c2f1=m1-2-121310(x-2y+10)(x+3y-12)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=54(x-2y-12)(x+3y+10)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=-56当m=54时，(x-2y+10)(x+3y-12)=-1{x-2y+10=1x+3y-12=-1或{x-2y+10=-1x+3y-12=1，x=-75y=245(舍)，{x=-1y=4当m=-56时，(x-2y-12)(x+3y+10)=-1{x-2y-12=1x+3y+10=-1或{x-2y=12=1x+3y+10=1，{x=2y=-4或x=695y=25(舍)综上所述，方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解有{x=-1y=4和{x=2y=-4；方法二：x2+xy+(-6y2)-2x+my-120=(x+3y)(x-2y)-2x+my-12y =(x+3y+a)(x-2y+b)=(x+3y)(x-2y)+(a+b)x+(3b-2a)y+ab {a+b=-2⇒{a=-123b-2a=m ab=-120 b=10或{a=10⇒m=54b=-12m=-56．【点睛】本题考查了因式分解的方法--十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．【题型6用适当方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·江苏宿迁·期末)用适当的方法解下列方程：(1)x2=4x；(2)x-32-4=0；(3)2x2-4x-5=0；(4)x-1x+2=2x+2．【答案】(1)x1=4，x2=0(2)x1=5，x2=1(3)x1=2+142，x2=2-142(4)x1=-2，x2=3【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．(1)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(2)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(3)利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；(4)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】(1)解：x2-4x=0x x-4=0，解得x1=4，x2=0(2)解：x-3-2x-3+2=0x-5x-1=0，解得x1=5，x2=1(3)解：∵a=2，b=-4，c=-5∴b2-4ac=-42-4×2×-5=16--40=56∴x=4±562×2=2±142解得x1=2+142，x2=2-142(4)解：x-1x+2-2x+2=0x+2x-1-2=0，x+2x-3=0，∴x+2=0,x-3=0，解得x1=-2，x2=32(23-24九年级上·山西太原·期中)用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x2+4x-2=0；(2)x x+3=5x+15.【答案】(1)x1=6-2，x2=-6-2(2)x1=-3，x2=5【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．(1)利用配方法解方程；(2)先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】(1)解：移项，得x2+4x=2，配方，得x2+4x+4=2+4，x+22=6，两边开平方，得x+2=±6，所以，x1=6-2，x2=-6-2；(2)解：原方程可变形为：x x+3=5x+3，x x+3-5x+3=0，x+3x-5=0，x+3=0或x-5=0，所以，x1=-3，x2=53(23-24九年级下·山东泰安·期末)用适当的方法解下列方程(1)3x2=54；(2)x+13x-1=1；(3)4x2x+1=32x+1；(4)x2+6x=10．【答案】(1)x1=32，x2=-32(2)x1=-1+73，x2=-1-73(3)x1=-12，x2=34(4)x1=-3+19，x2=-3-19【分析】(1)方程整理后，利用直接开平方法求解即可；(2)方程整理后，利用求根公式法求解即可；(3)方程利用因式分解法求解即可；(4)方程利用配方法求解即可．【详解】(1)解：方程整理得：x2=18，开方得：x=±32，解得：x1=32，x2=-32；(2)解：方程整理得：3x2+2x-2=0，这里a=3，b=2，c=-2，∵△=22-4×3×(-2)=4+24=28>0，∴x=-2±276=-1±73，解得：x1=-1+73，x2=-1-73；(3)解：方程移项得：4x(2x+1)-3(2x+1)=0，分解因式得：(2x+1)(4x-3)=0，所以2x+1=0或4x-3=0，解得：x1=-12，x2=34；(4)解：配方得：x2+6x+9=19，即(x+3)2=19，开方得：x+3=±19，解得：x1=-3+19，x2=-3-19．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．4(23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末)用适当的方法解下列方程．(1)(x+2)2-25=0；(2)x2+4x-5=0；(3)2x2-3x+1=0．【答案】(1)x1=3，x2=-7(2)x1=1，x2=-5(3)x1=12，x2=1【分析】(1)利用平方差公式，可以解答此方程；(2)利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)解：(x+2)2-25=0，(x+2-5)(x+2+5)=0，∴x-3=0或x+7=0，解得x1=3，x2=-7；(2)解：x2+4x-5=0，x-1x+5=0，∴x-1=0或x+5=0，解得x1=1，x2=-5；(3)解：2x2-3x+1=0，2x-1x-1=0，∴2x-1=0或x-1=0，解得x1=12，x2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．【题型7用指定方法解一元二次方程】1(23-24九年级下·山东日照·期末)用指定的方法解下列方程：(1)4(x-1)2-36=0(直接开方法)(2)x2+2x-3=0(配方法)(3)(x+1)(x-2)=4(公式法)(4)2(x+1)-x(x+1)=0(因式分解法)【答案】(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=1，x2=-3；(3)x1=3，x2=-2；(4)x1=-1，x2=2．【分析】(1)直接利用开方法进行求解即可得到答案；(2)直接利用配方法进行求解即可得到答案；(3)直接利用公式法进行求解即可得到答案；(4)直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：(1)∵4x-12-36=0∴(x-1)2=9，∴x-1=±3，∴x1=4，x2=-2；(2)∵x2+2x=3，∴x2+2x+1=4，∴(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3；(3)∵x2-x-6=0，∴△=1-4×1×(-6)=25，∴x=1±252=1±52，∴x1=3，x2=-2；(4)∵2x+1-x x+1=0∴(x+1)(2-x)=0，∴x+1=0或2-x=0，∴x1=-1，x2=2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.2(23-24九年级下·山东烟台·期中)用指定的方法解方程：(1)x2-4x-1=0(用配方法)(2)3x2-11x=-9(用公式法)(3)5x-32=x2-9(用因式分解法)(4)2y2+4y=y+2(用适当的方法)【答案】(1)x1=5+2，x2=-5+2(2)x1=11+136，x2=11-136(3)x1=3，x2=92(4)y1=12，y2=-2【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．(1)运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．(2)先化为一般式，再根据Δ=b2-4ac算出，以及代入x=-b±Δ2a进行化简，即可作答．(3)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．(4)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．【详解】(1)解：x2-4x-1=0移项，得x2-4x=1配方，得x 2-4x +4=1+4，即x -2 2=5∴x -2=±5解得x 1=5+2，x 2=-5+2；(2)解：3x 2-11x =-93x 2-11x +9=0Δ=b 2-4ac =121-4×3×9=121-108=13∴x =11±136解得x 1=11+136，x 2=11-136；(3)解：5x -3 2=x 2-95x -3 2-x 2-9 =05x -3 2-x -3 x +3 =0x -3 5x -3 -x +3 =x -3 4x -18 =0则x -3=0，4x -18=0解得x 1=3，x 2=92；(4)解：2y 2+4y =y +22y 2+4y -y +2 =02y y +2 -y +2 =02y -1 y +2 =0∴2y -1=0，y +2=0解得y 1=12，y 2=-2．3(23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中)用指定的方法解方程：(1)12x 2-2x -5=0(用配方法)(2)x 2=8x +20(用公式法)(3)x -3 2+4x x -3 =0(用因式分解法)(4)x +2 3x -1 =10(用适当的方法)【答案】(1)x 1=2+14,x 2=2-14(2)x 1=10,x 2=-2(3)x 1=3,x 2=0.6(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=(-8)2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．4(23-24九年级上·河北邯郸·期中)按指定的方法解下列方程：(1)x 2=8x +9(配方法)；(2)2y 2+7y +3=0(公式法)；(3)x +2 2=3x +6(因式分解法)．【答案】(1)x 1=9，x 2=-1．(2)x 1=-3，x 2=-12．(3)x 1=-2，x 2=1．【分析】(1)先把方程化为x 2-8x +16=25，可得x -4 2=25，再利用直接开平方法解方程即可；(2)先计算△=72-4×2×3=49-24=25>0，再利用求根公式解方程即可；(3)先移项，再把方程左边分解因式可得x +2 x -1 =0，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】(1)解：x 2=8x +9，移项得：x 2-8x =9，∴x 2-8x +16=25，配方得：x-42=25，∴x-4=5或x-4=-5，解得：x1=9，x2=-1．(2)解：2y2+7y+3=0，∴△=72-4×2×3=49-24=25>0，∴x=-7±254=-7±54，∴x1=-3，x2=-12．(3)解：x+22=3x+6，移项得：x+22-3x+2=0，∴x+2x-1=0，∴x+2=0或x-1=0，解得：x1=-2，x2=1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．【题型8用换元法解一元二次方程】1(23-24九年级下·浙江杭州·期中)已知a2+b2a2+b2+2-15=0，求a2+b2的值．【答案】3【分析】先用换元法令a2+b2=x(x>0)，再解关于x的一元二次方程即可．【详解】解：令a2+b2=x(x>0)，则原等式可化为：x(x+2)-15=0，解得：x1=3,x2=-5，∵x>0，∴x=3，即a2+b2=3．a2+b2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．2(23-24九年级下·安徽合肥·期中)关于x的方程x2+x2+2x2+2x-3=0，则x2+x的值是()A.-3B.1C.-3或1D.3或-1【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，∴t-1t+3=0，∴t-1=0或t+3=0，解得t1=1，t2=-3，∴x2+x的值是1或-3．∵x2+x=-3，即x2+x+3=0，Δ=12-4×1×3=-11<0方程无解，故x2+x=-3舍去，∴x2+x的值是1，故选：B．3(23-24九年级上·广东江门·期中)若a+5ba+5b+6=7，则a+5b=．【答案】1或-7【分析】本题主要考查解一元二次方程，设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，方程变形后运用因式分解法求出x的值即可得到结论．【详解】解：设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，整理得，x2+6x-7=0，x-1x+7=0，x-1=0，x+7=0，∴x=1，x=-7，即a+5b=1或-7，故答案为：1或-7．4(23-24九年级上·山东临沂·期中)利用换元法解下列方程：(1)2x4-3x2-2=0；(2)(x2-x)2-5(x2-x)+4=0．【答案】(1)x1=2，x2=-2(2)x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52【分析】(1)根据换元思想，设y=x2，则y=2或y=-12，由此即可求解；(2)设y=x2-x，则y=4或y=1，由此即可求解．【详解】(1)解：(1)设y=x2，则原方程化为2y2-3y-2=0，∴y=2或y=-12，当y=2时，x2=2，∴x1=2，x2=-2，当y=-12时，x2=-12，此时方程无解，∴原方程的解是x1=2，x2=-2．(2)解：设y=x2-x，则原方程化为y2-5y+4=0，∴y=4或y=1，当y=4时，x2-x=4，∴x1=1+172，x2=1-172，当y=1时，x2-x=1，∴x3=1+52，x4=1-52．∴原方程的解是x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52．【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．【题型9解含绝对值的一元二次方程】1(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2-3|x|-10=0．解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为x2-3x-10=0解得x1=5,x2=-2(舍去)；②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0，解得x3=-5,x4=2(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=5,x2=-5．请参照上述方法解方程x2-|x+1|-1=0．【答案】x1=2,x2=-1【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当x+1≥0，即x≥-1时，原方程化为x2-x+1-1=0，解得x1=2,x2=-1；②当x+1<0，即x<-1时，原方程化为x2+x+1-1=0，解得x3=0(舍去)，x4=-1(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=2,x2=-1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．2(23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中)解方程x2+2|x+2|-4=0．【答案】x1=0，x2=-2【分析】对x+2进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当x+2≥0，即x≥-2时，方程变形得：x2+2(x+2)-4=0∴x2+2x=0∴x(x+2)=0∴x1=0，x2=-2；②当x+2<0，即x<-2时，方程变形得：x2-2(x+2)-4=0∴x2-2x-8=0∴(x+2)(x-4)=0∴x1=-2(舍去)，x2=4(舍去)∴综上所述，原方程的解是x1=0或x2=-2．【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想．3(23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习)解方程x2-22x+3+9=0．【答案】x1=1,x2=3【分析】分x≥-32与x<-32，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2x+1≥0，即x≥-32时，原方程可化为：x2-2(2x+3)+9=0整理得：x2-4x+3=0解得：x1=1,x2=3当2x+1<0，即x<-32时，原方程可化为：x2+2(2x+3)+9=0整理得x2+4x+15=0∵Δ=42-4×1×15=-44<0,∴此方程无实数解，综上所述，原方程的解为：x1=1,x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．4(23-24九年级上·山西太原·阶段练习)解方程x2-|x-5|-2=0【答案】x1=-1+292，x2=-1-292【分析】根据题意分x-5≥0和x-5<0两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为x2-x+5-2=0，即x2-x+3=0，a=1,b=-1,c=3，∴Δ=b2-4ac=-12-4×1×3=-11<0，∴原方程无解，②当x-5<0时，即x<5时，原方程化为x2+x-5-2=0，即x2+x-7=0，a=1,b=1,c=-7，∴Δ=b2-4ac=12-4×1×-7=29>0x=-1±292×1解得：x1=-1+292，x2=-1-292．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．【题型10配方法的应用】1(23-24九年级上·河北沧州·期中)【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4，∵y+22≥0，∴y+22+4≥4∴当y =-2时，y 2+4y +8的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式x 2-6x +12的最小值；(2)【举一反三】若y =-x 2-2x 当x =________时，y 有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________；(3)【灵活运用】已知x 2-4x +y 2+2y +5=0，则x +y =________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为15m )，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)3(2)-1；大；1(3)1(4)当BF =4m ，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m 2．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：(1)把原式利用配方法变形为x -3 2+3，再仿照题意求解即可；(2)把原式利用配方法变形为-x +1 2+1，再仿照题意求解即可；(3)把原式利用配方法变形为x -2 2+y +1 2=0，再利用非负数的性质求解即可；(4)设BF =xm ，则CF =2BF =2xm ，则BC =3xm ，进而求出AB =24-3x 3m ，则S 矩形ABCD =3x ⋅24-3x 3=-3x -4 2+48，据此可得答案．【详解】(1)解：x 2-6x +12=x 2-6x +9 +3=x -3 2+3，∵x -3 2≥0，∴x -3 2+3≥3，∴当x =3时，x 2-6x +12的最小值为3；(2)解：y =-x 2-2x=-x 2-2x -1+1=-x+12+1，∵x+12≥0，∴-x+12≤0，∴-x+12+1≤1，∴当x=-1时，y=-x2-2x有最大值，最大值为1，故答案为：-1；大；1；(3)解：∵x2-4x+y2+2y+5=0，∴x2-4x+4+y2+2y+1=0，∴x-22+y+12=0，∵x-22≥0，y+12≥0，∴x-22=y+12=0，∴x-2=0，y+1=0，∴x=2，y=-1，∴x+y=2-1=1；(4)解：设BF=xm，则CF=2BF=2xm，∴BC=3xm，∴AB=24-3x3m，∴S矩形ABCD =3x⋅24-3x3=-3x2+24x=-3x-42+48，∵x-42≥0，∴-3x-42≤0，∴-3x-42+48≤48，∵AD=BC=3x≤15，∴0<x≤5，∴当x=4时，S矩形ABCD最大，最大值为48，∴当BF=4m，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m2．2(2023·河北石家庄·一模)已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是()A.B-A的最大值是0B.B-A的最小值是-1C.当B=2A时，x为正数D.当B=2A时，x为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出B-A，以及B=2A时，用含n的式子表示出x，确定x的符号，进行判断即可．【详解】解：∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，∴B-A=2x2+4x+n2-x2+6x+n2=2x2+4x+n2-x2-6x-n2=x2-2x=x-12-1；∴当x=1时，B-A有最小值-1；当B=2A时，即：2x2+4x+n2=2x2+6x+n2，∴2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2，∴-8x=n2≥0，∴x≤0，即x是非正数；故选项A,C,D错误，选项B正确；故选B．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．3(23-24九年级上·四川攀枝花·期中)已知三角形的三条边为a,b,c，且满足a2-10a+b2-16b+89= 0，则这个三角形的最大边c的取值范围是()A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13【答案】C【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴(a2-10a+25)+(b2-16b+64)=0，∴(a-5)2+(b-8)2=0，∵(a-5)2≥0，(b-8)2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a<c<b+a，∴3<c<13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8<c<13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．4(23-24九年级下·浙江宁波·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值．解：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2；∵无论x取何实数，都有(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2．【尝试应用】(1)请直接写出2x2+4x+10的最小值______；【拓展应用】(2)试说明：无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；【创新应用】(3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=10，求四边形ABCD的面积最大值．【答案】(1)8；(2)见解析；(3)25 2【分析】(1)利用配方法把2x2+4x+10变形为2(x+1)2+8，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；(2)利用配方法得到x2+x+2=x+122+74，则可判断x2+x+2>0，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD，由于BD=10-AC，则四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅10-AC，利用配方法得到四边形ABCD的面积=-12(AC-5)2+252，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：(1)2x2+4x+10=2x2+2x+10=2x2+2x+1-1+10=2(x+1)2+8，∵无论x取何实数，都有2(x+1)2≥0，∴(x+1)2+8≥8，即x2+2x+3的最小值为8；故答案为：8；(2)x2+x+2=x+122+74，∵x+122≥0，∴x2+x+2>0，∴无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)∵AC⊥BD，。

一元二次方程应用题典型题型归纳（一）传播与握手问题（病毒、细胞分裂等）1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。

3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。

5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？7.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。

3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？5.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.（三）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。

一元二次方程的解法1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．一元二次方程的解法是本章的重点内容，课本中实际上介绍了四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式"1.用直接开平方法解一元二次方程直接开平方法适用于解形如(x+h) 2=m的方程（1）2x－16＝0 （2）162x－1＝0（3）252x－16＝0 （4）42x－25＝0（1）(1－x)2 = 1 （2）(1+x)2－2 = 0^（3）(2x+1) 2+3 = 0 （4）x2－2x+1= 4.2．配方法的一般步骤是：牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”．（1） { （2） 方程两边同除以二次项系数，•将二次项系数化为1；（2）移项，使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项；（3）配方，•方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；（4）如果右边是非负数，两边直接开平方解这个一元二次方程．（2）用配方法解下列方程： 例题：3x 2-6x+4=0。

⑴x 2-10x+24=0 ⑵x 2-8x+15=0 ⑶x 2+2x-99=0 ⑷y 2+5y+2=0；（5） x 2-8x+1=0 （6） x 2+10x+9=0 （7） x 2-x-47=0 （8） 4x 2-6x-3=0：（9）3x 2+6x-4=0 （10）2x 2+1=3x （11）x 2+4x-9=2x-11 （12）x(x+4)=8x+123、用因式分解法解方程因式分解法的步骤是：①方程右边化为0，②左边化为两个因式的积，③每一个因式等于0，④解这两个一元一次方程。

（1）1002x x -=（2）42222()()x x +=+*（3）2x＋3x＋2＝0 （4）2x－8x＋15＝0 （5）2x＋4x－21＝0 （6）22x＋9x＋7＝0 (7) －2x＋2x＋63＝0 (8) －2x－3x＋54＝0*用十字相乘法解下列一元二次方程（1）2x＋3x＋2＝0 （2）2x－13x＋36＝0 （3）2x－7x=18（4）32x＋11x－20＝0 （5）2x＋18x＋81＝04、用因式分解法解方程（通用的方法）用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x＝a acb b24 2-±-(b2－4ac≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．~求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，代入公式求出方程的根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。

一元二次方程综合复习1.一元二次方程主要有四种解法,它们的理论根据和适用范围如下表：2.一般考虑选择方法的顺序是：直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法。

例1。

用适当的方法解下列方程：(1）. x2−7x=0（2)。

x2+12x=27（3）。

x(x−2)+x−2=0（4）. x2+x−2=4(5）。

5x2−2x−14=x2−2x+34（6）. 4(x+2)2=9(2x−1)2变式练习1。

用适当的方法解下列方程（1）(x+5)2=16（2）x2−2x+1=4（3）3(2x−1)=x(2x−1)（4) (x−4)2−(5−2x)2=0（5）x2+4x+8=2x+11（6）x(x−4)=2−8x2．用直接开方法解方程：⑴4x2−9=0⑵(x−2)2=13．用因式分解法解方程：(1) 3x(2x+1)=4x+2（2）(2x−1)2=(3−x)24．用配方法解方程：⑴x2−8x+1=0⑵2x2+1=3x5．用公式法解方程:=0⑴x2+x−1=0⑵x2−√3x−14(1)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的情况：①当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；②当∆=0时，方程有两个相等的实数根；③当∆<0时，方程无实数根.(2)判定一元二次方程根的情况;(3)确定字母的值或取值范围。

例1. 已知,,a b c 是ABC ∆的三条边长，且方程222()210a b x cx +-+=有两个相等的实数根，试判断ABC ∆的形状。

例2求证：关于x 的方程2(21)10x k x k +++-=有两个不相等的实数根。

变式练习1.已知关于x 的一元二次方程(a +c )x 2+2bx +(a −c )=0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长。

（1)如果x=—1是方程的根，试判断△ABC 的形状,并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由;（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。

一元二次方程题型总结【一】一元二次方程的定义与解【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a 为何值时，关于x 的方程（a -1）x |a|+1+2x -7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x 的一元二次方程（a -1）x 2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．-1D ．-1或1例2、已知多项式ax 2-bx+c ，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b 的值（2）直接写出关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x 的方程（k 2-1）x 2-（k+1）x -2=0（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

巩 固 练 习1、下列方程中，是一元二次方程的为（ ）A. x 2= -1B. 2x （x -1）+1=2x 2C. x 2+3x=2xD. ax 2+bx+c -0 2、已知关于x 的方程mx 2+(m -1)x -1=2x 2-x ，当m 取什么值时，这个方程是一元二次方程？3、若关于x 的一元二次方程（a -2）x 2+ 是一元二次方程，则a 的取值范围是4、把方程 (x -1)2-3x （x -2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a -2+231a +的值6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a -b+c=0，则方程的根是（ ）A. 1，0B. -1，0C. 1，-1D. 1，27、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx -40=0的一个解，且a≠b ，求2222a b a b--的值【二】一元二次方程的解法一、直接开平方法1、下列方程能用直接开平方法求解的是（ ）A. 5x 2+2=0B. 4x 2-2x -1=0C. 12(x -2)2=4 D. 3x 2+4=2 2、若关于x 的一元二次方程5x 2-k=0有实数根，则k 的取值范围是_________3、已知(a 2+b 2-1)2=9，则a 2+b 2=_________4、已知一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根是1，且a ，b 满足等式4，求方程13y 2-2c=0的根5、用开平方法解下列方程（1）2 9(x 1)25-= （2）()26x 181-= （3）(x -1)2=(3x -4)2二、配方法1、（1）x 2--____)2 （2）3x 2+12x+____=3(x+____)2 （3）12x 2-5x+____=12(x -____)2 2、若x 2+ax+9是关于x 的完全平方式，则常数a 的值是__________3、多项式4x 2+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式可以是4、一元二次方程x 2-px+1=0配方后为(x -q)2=15，那么一元二次方程x 2-px -1=0配方后为（ ）A. (x -4)2=17B. (x+4)2=15C. (x+4)2=17D. (x -4)2=17或(x+4)2=175、若x 为任意实数，则x 2+4x+7的最小值为__________★★★★当x=_______时，代数式3x 2-2x+1有最_______（填大或小）值为_______6、用配方法证明：关于x 的方程(m 2-12m+37)x 2+3mx+1=0，无论m 为何值，此方程都是一元二次方程。

九年级一元二次方程常见题型及解析一、基础概念和定义1. 一元二次方程的定义在数学中，一元二次方程是指一个未知数的二次方程，它的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是已知数且a≠0。

2. 一元二次方程的解一元二次方程可以通过因式分解、配方法、公式法等多种方法求解。

二、一元二次方程的基本形式1. 一元二次方程的标准形式通常把一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式，其中a、b、c分别为系数。

2. 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是指包含a、b、c的未知数x的二次方程。

三、一元二次方程的常见题型及解法1. 二次方程的求解通过因式分解、配方法或者使用求根公式可以求解一元二次方程。

2. 一元二次方程的应用一元二次方程在实际生活中有许多应用，比如物体的抛射运动、面积和周长的问题等。

四、习题及解析1）例题一求解方程x^2+3x-4=0。

解析：使用因式分解法，将x^2+3x-4=（x-1）（x+4），得到x=1或x=-4两个解。

2）例题二一个长方形的长比宽多3米，长方形的面积是30平方米，求长和宽各是多少米？解析：设长为x+3，宽为x，根据面积公式x(x+3)=30，解一元二次方程得到x=5，长为8，宽为5。

3）例题三某人闲逛河边捡到一叶扁舟，用量尺测得船头离船尾22cm，水面外露8cm，则该船的吃水深度是多少？解析：设船的全长为x，吃水深度为（x-22），根据勾股定理得到（x-22）^2+64=x^2，解一元二次方程得到x=40，吃水深度为18cm。

五、总结与回顾1. 通过以上例题的解析，我们可以发现一元二次方程的求解需要掌握多种方法，而且能够应用到实际问题中。

2. 在解题过程中，我们需要灵活运用因式分解、配方法、公式法等多种方法，并且要注意问题转化和模型建立的能力。

3. 九年级一元二次方程作为数学的重要内容，需要我们在学习中多加练习，加强对知识的理解和掌握。

六、个人观点在学习九年级一元二次方程的过程中，我认为重点在于掌握基本解法的要能够将数学知识与实际生活相结合，灵活运用公式和方法解决问题，这样才能更好地掌握数学知识，提高解决问题的能力。

专题02 一元二次方程的解法【思维导图】◎题型1：直接开平方法技巧：把方程ax2+c＝0(a≠0）这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

例．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1D．x1＝1，x2＝0【答案】B【解析】【分析】先移项，再两边开平方即可．【详解】解：∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，即x1=-1，x2=1．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．变式1．（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）方程210x -=的解是（ ）A ．121x x ==B ．120,1x x ==C ．121,1x x ==-D ．120,1x x ==-【答案】C【解析】【分析】先移项，再两边开平方可得解．【详解】解：由原方程可得：x 2=1，两边开平方可得：121,1x x ==-，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．变式2．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-【答案】D【解析】【分析】根据直接开平方法求解可得．【详解】解：∵2(9)4x m -=+，且方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，∴40m +³，∴4m ³-．故选：D ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）方程y2＝-a有实数根的条件是（）A．a≤0B．a≥0C．a>0D．a为任何实数【答案】A【解析】【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可．【详解】解：∵方程y2＝﹣a有实数根，∴﹣a≥0（平方具有非负性），∴a≤0；故选：A．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0．◎题型2：配方法技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x²＋例．（2020·江苏无锡·九年级期中）用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是（）A．(x＋2)2＝5B．(x－2) 2＝5C．(x－2) 2＝3D．(x＋2) 2＝3【答案】D【解析】【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方可得．【详解】解：∵x 2+4x +1=0，∴x 2+4x =-1，∴x 2+4x +4=-1+4，即（x +2）2=3，故选：D ．【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．变式1．（2021·浙江温州·八年级期中）用配方解方程2610x x -+=，原方程可变形为（ ）A ．()2335x -=B ．()238x -=C ．()238x +=D ．()2335x +=【答案】B【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可．【详解】解∶ 2610x x -+=，变形得-=-261x x ，配方得26919x x -+=-+，即2(3)8x -=．故选∶B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．变式2．（2022·河北·大城县教学研究中心九年级期末）用配方法解方程241x x =+，配方后得到的方程是（ ）A ．2(2)5x +=B ．2(2)5x -=C ．2(2)3x +=D ．2(2)1x -=【答案】B【解析】【分析】先把一次项移到等式的左边，然后在左右两边同时加上一次项系数−4的一半的平方．【详解】解：把方程x 2＝4x ＋1移项，得：x 2−4x ＝1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−4x＋4＝1＋4，配方得（x−2）2＝5，故选：B．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）A．A B．B C．C D．D【答案】D【解析】【分析】A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根；B.化为一般式，利用公式法解答；C.利用配方法解答；D.利用因式分解法解答【详解】解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；B.化为一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B错误；C.利用配方法解答，整理得，x 2﹣4x ＝﹣3，配方得，x 2﹣4x +22＝1，故C 错误；D.利用因式分解法解答，完全正确，故选：D【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．◎题型3：配方法的应用例．（2022·全国·九年级课时练习）已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【解析】【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程264x x -+=W ，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）A ．6B ．9C ．2D ．2-【答案】C【解析】【分析】设印刷不清的数字是a ，根据完全平方公式展开得出x 2-2px +p 2=7，求出x 2-2px +4=11-p 2，再根据题意得出-2p =-6，a =11-p 2，最后求出答案即可．【详解】设印刷不清的数字是a ，（x -p ）2=7，x 2-2px +p 2=7，∴x 2-2px =7-p 2，∴x 2-2px +4=11-p 2，∵方程x 2-6x +4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x -p ）2=7的形式，∴-2p =-6，a =11-p 2，∴p =3，a =11-32=2，即印刷不清的数字是2，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p =-6是解此题的关键．变式2．（2020·福建省泉州第一中学九年级阶段练习）已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-【答案】A【分析】由2104m m c -+=变形得214m m c -=-，代入22112124n m m c =-++中得到2134n c c =-+，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案．【详解】2104m m c -+=Q \ 214m m c -=-\22111(244m m m -=--³-1c \£22222211111121212()12()344444n m m c m m c c c c c \=-++=-++=´-++=-+23(22n c \=-- 231(24c -³Q 74n \³- 故选：A ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【解析】【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【详解】配方得：226(3)9x x c x c-+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．◎题型4：公式法技巧：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a ，b ，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a ≠0)的求根公式。

人教版九年级数学上册一元二次方程应用题题型总结经典营户希望每天能够获得至少100元的利润。

求该经营户应该将价格降低多少元/千克才能达到目标利润，以及此时每天的销售量是多少千克。

一元二次方程应用题题型总结一、增长率问题增长率问题是一种常见的应用题型，其中涉及到变化前数量、变化后数量以及变化率等概念。

一般情况下，我们可以使用如下公式来解决这类问题：变化前数量×（1±x）n＝变化后数量例如，某商场在十月份的销售额下降了20%，但在十一月份开始加强管理，改善经营，使得十二月份的销售额达到了193.6万元。

现在要求这两个月的平均增长率，我们可以使用上述公式进行计算。

另外，还有一些涉及到商品价格变化的增长率问题。

例如，某种商品原价为50元，1月份降价10%后，从2月份开始又开始上涨，3月份的售价为64.8元。

要求2、3月份价格的平均增长率，我们同样可以使用上述公式进行计算。

二、商品销售问题商品销售问题是另一种常见的应用题型，其中涉及到售价、进价、利润、销售量、销售额等概念。

一般情况下，我们可以使用如下公式来解决这类问题：售价-进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额例如，某商店购进一种商品，进价为30元。

若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？我们可以使用上述公式进行计算。

另外，还有一些涉及到生产成本、售价、销售量等的商品销售问题。

例如，某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出。

现在要求当日产量为多少时每日获得的利润为1750元，或者当可获得的最大利润为1950元时，日产量应为多少。

我们同样可以使用上述公式进行计算。

除此之外，还有一些涉及到涨价、销售量等的商品销售问题。

例如，某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

现在要求每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元。

一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2 （二次）的方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2 bx c 0(a 0, a,b,c为常数)①ax2 0a 0类型：②ax2 ③ax2 bx 0a 0 c 0a 0④ax2 bx c 0a 0判断一元二次方程的步骤1.把方程化成一般形式 ax2 bx c 0(a 0, a,b, c为常数) 2.最高次数=2 3.最高次项的系数≠0例 1：1.下列方程时一元二次方程的是① 3x2 x 20 ；② 2x2 3xy 4 0；③ x2 1 4 ；④ x2 0 ；⑤ x2 x 3 0x3⑥x2﹣1 ⑦（2）（1）2 ⑧ 6x2=5 ⑨⑩ x2 +3x0；⑪ 1=0；⑫2x2 1 x 132；⑬x2 1 5 0 x⑭；⑮3y2﹣2﹣1；⑯2x2﹣53y2=0；⑰⑱；⑲；⑳⑥；⑦；⑧⑩（ ）．；④；⑤；；⑨；2．关于 x 的方程 2+32+4 是一元二次方程，则 m 应满足条件是 ．3．关于 x 的一元二次方程 2﹣32=0 中，a 的取值范围是 ．4．当 时，方程（m2﹣1）x2﹣5=0 不是一元二次方程．5．若关于 x 的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0 是一元二次方程，则 k 的取值范围是例 2：当 m 6．若时，方程 (m 1)x m 1 2x 7 0为一元二次方程 是关于 x 的一元二次方程，则 ．7．若关于 x 的方程（m﹣1） ﹣﹣3=0 是一元二次方程，则 ．8．当 时，（k﹣1） ﹣（2k﹣1）x﹣3=0 是关于 x 的一元二次方程．9．方程（2）31=0 是关于 x 的一元二次方程，则10．关于 x 的方程（m﹣2）﹣1=0 是一元二次方程，则 知识点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是 ax2 bx c 0(a 0, a,b,c为常数) ，其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项① a 0；②指出二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号③一元二次方程化为一般形式时，若没出现一次项 bx ，并不是没有，而是b 0例 3： 把方程（1） x 1x 3 12 （2）（3）（4） 数项化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2.一元二次方程 4x2 x 1的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3.一元二次方程 x2 －3x = 4 的一般形式是，一次项系数为。

实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；（2）找：找出等量关系；（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（4）列：列出一元二次方程；（5）解：求出所列方程的解；（6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（7）答：作答。

二、典型题型1.数字问题例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A. 25B. 36C. 25或36D. -25或-362.传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M 为最后得病总人数例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A. 8B. 9C. 10D. 11练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3.相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题21n(n-1)，双循环问题n(n-1). 例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同学，则根据题意列出的方程是（ ）A.()1821=+x xB. ()1821=-x xC.()18212=+x xD.()21821⨯=-x x练习：1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110场，则联赛中共有多少个队参加比赛？2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?4.平均增长率问题：b=a(1±x)n， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

第一部分：定义定义：．．．只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注意： 1：a ≠02：未知数的最高次数是2 3：要为整式方程4：化简后再判断（看2x 是否会被抵消）题型一：一元二次方程判断1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x2．（2016•凉山州模拟）下列方程中，一元二次方程共有（ ）个 ①x 2﹣2x ﹣1=0；②ax 2+bx+c=0；③+3x ﹣5=0；④﹣x 2=0；⑤（x ﹣1）2+y 2=2；⑥（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2．A ．1B ．2C ．3D ．4题型二：一元二次方程定义求参3．关于x 的方程（m ﹣3）x﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．3 D ．3或﹣14.当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 一元二次方程。

5.方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

第二部分：方程的根x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一0，则a 的值为 。

0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程3=的解相同，求k 的值； m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=m 3 。

a 是0132=+-x x 的根，则=a 6 。

1与2为根的一元二次方程式。

1与－2为根的一元二次方程式。

13.写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：14.写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：题型五：已知特征式求根16．已知一元二次方程ax 2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．2 17．已知一元二次方程ax 2+bx+c=0，若4a-2b+c=0，则该方程一定有一个根为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．218、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。

第二章 一元二次方程 知识归纳与题型突破（八类题型清单）一、一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 二、一元二次方程的解法1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解→降次01 思维导图02 知识速记法，再考虑用公式法．三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 要点：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点： 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.题型一 一元二次方程的概念及求参数)0(02≠=++a c bx axac b 42−)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42−=∆)0(02≠=++a c bx ax21x x ，a b x x −=+21acx x =2103 题型归纳例题1．下列方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++=B ．()223232x x x −=−C ．()21x x x −=D ．21x =【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解析】A. a=0时，是一元一次方程，故A 错误； B. 经化简，方程是一元一次方程，故B 错误； C. 经化简，方程为一元三次方程，故C 错误； D. 方程为一元二次方程，故D 正确； 故选D.【点睛】此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握一元二次方程的判定.巩固训练2．把2(2)43x x x x −−化成一般形式为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．【答案】 230x x −= 3 1− 0【分析】原式去括号、移项、合并同类项，写出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【解析】解：2(2)43x x x x −−，， 去括号：22243x x x x −=−， 移项合并同类项：230x x −=，∴二次项系数为：3；一次项系数为：1−，常数项为：0； 故答案为：230x x −=；3；1−；0．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式为：20(0)ax bx c a ++=≠是解题的关键．3．关于x 的方程()222310aa x x −+−−=是一元二次方程，则a 的值是（ ）A ．2a =±B ．2a =−C ．2a =D ．a 为任意实数【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义得222a −=且a +2≠0，求解即可．【解析】解：由题意，得222a −=且a +2≠0， 解得：a =2， 故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程．4．要使方程()()2310a x b x c −+++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠3 C ．a ≠1且b ≠﹣1 D ．a ≠3且b ≠﹣1且c ≠0【答案】B【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．【解析】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a -3≠0，a ≠3． 故选B ．【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．当a =0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b =0或c =0时，上面的方程在a ≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程． 题型二 一元二次方程的根及其应用例题5．已知关于x 的一元二次方程2260x mx 的一个根是3，则m 的值是 ． 【答案】4−【分析】根据一元二次方程2260x mx 的一个根是3，将3x =代入原方程得到关于m 的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键． 【解析】解：∵关于x 的一元二次方程2260x mx 的一个根是3， ∴将3x =代入方程2260x mx 得：223360m ×+−=， 解得：4m =−， 故答案为：4−．巩固训练6．若m 是方程24270x x −−=的一个根，则代数式223m m −+的值是 ． 【答案】 12−【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解的定义得到24270m m −−=，则2722m m −=，再把223m m −+变形为2(2)3m m −−+，然后利用整体代入的方法计算．【解析】解：m 是方程24270x x −−=的一个根，24270m m ∴−−=， 2722m m ∴−=，227123(2)3322m m m m ∴−+=−−+=−+=−．故答案为：12−．7．若3x =是关于x 的方程26ax bx −=的解，则202493a b 的值为 ． 【答案】2018【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，根据方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把3x =代入原方程得出936a b −=，整理202493a b 为 202493a b ，整体代入计算即可，熟练掌握方程的解的定义、代数式求值是解题的关键．【解析】解：∵3x =是关于x 的方程26ax bx −=的解， ∴936a b −=， ∴202493a b202493a b 202462018=，故答案为：2018．题型三 一元二次方程的解法 例题82x ）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x ==D ．12x x ==【答案】A【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得．2x(23x =，利用直接开方法得：x ±，解得120,x x == 故选：A ．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．巩固训练9．方程y 2＝-a 有实数根的条件是（ ） A ．a ≤0 B ．a ≥0C ．a >0D ．a 为任何实数【答案】A【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a ≥0，再进行整理即可． 【解析】解：∵方程y 2＝﹣a 有实数根， ∴﹣a ≥0（平方具有非负性）， ∴a ≤0； 故选：A ．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a ≥0． 10．方程224(21)25(1)0x x −−+=的解为（ ）A ．127x x ==−B ．1217,3x x =−=− C ．121,73x x == D ．1217,3x x =−=【答案】B【分析】移项后利用直接开平方法解答即可． 【解析】解：移项，得224(21)25(1)x x −=+，两边直接开平方，得2(21)5(1)x x −=±+， 即2(21)5(1)x x −=+或2(21)5(1)x x −=−+， 解得：17x =−，213x =−．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 11．形如2()(0)ax b p a +=≠的方程，下列说法错误的是（ ）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x =【答案】D【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．【解析】解：A 、当0p >时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； B 、当0p =时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； C 、当0p <时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D 、当0p ≥时，原方程的根为x = 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键． 12．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x −−=化为2(1)100x −=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t −−=化为2781416t −=D ．23420x x −−=化为221039x−=【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=−++=−++= 故B 错误．且ACD 选项均正确， 故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．13．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ） A ．2224()24b ac b x a a −+=B ．2224()22b b acx a a−+=C ．2224()24b b acx a a −+=D ．2222()22b b acx a a ++=【答案】C【分析】根据配方法的步骤：先把二次项系数化为1，然后把常数项移到右边，两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可得到答案． 【解析】解：∵20ax bx c ++= ，∴20b cx x a a++=， ∴22222b b b cx x a a a a++=− ，∴222424b b ac x a a −+=， 故选C ．【点睛】本题主要考查了配方法，解题的关键在于能够熟练掌握配方法． 14．方程4160x −=的根的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】移项得416x ==24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题． 【解析】解：∵4160x −= ∴416x ==24， ∴x=±2，∴方程4160x −=的根是x=±2. 故选B.【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次．15．若实数m ，n 满足()()222225250+++−=m n m n ，则222m n +的值为（ ） A ．5 B ．2.5 C ．2.5或5− D ．5或5−【答案】A 【解析】略16．一元二次方程()25410x x x −=−的根是 ．【答案】12x =，252x =【分析】方程变形为x （2x ﹣5）﹣2（2x ﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解析】解：x （2x ﹣5）＝4x ﹣10， x （2x ﹣5）﹣2（2x ﹣5）＝0， （x ﹣2）（2x ﹣5）＝0， x ﹣2＝0或2x ﹣5＝0， 所以12x =，252x =． 故答案为：12x =，252x =． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想），掌握因式分解解方程的方法是解题的关键． 17．方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是 ( )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝4， x 2＝－2C ．x 1＝－1， x 2 ＝3D ．x 1＝－4， x 2＝2【答案】B【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【解析】∵()()135x x +−=， ∴228=0x x −−，∴(4)(2)0x x −+=， ∴x-4=0或x+2=0， ∴1242x x ==−，． 故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键． 18．用求根公式解方程23412x x +=，正确的是（ ）A ．x =B ．x =C ．x =D ．x =【答案】D【分析】先把23412x x +=化成一般式231240x x −+=，直接运用公式法解题即可． 【解析】解：23412x x +=， 则一般式是231240x x −+=， 则3a =，12b =−，4c =，那么()22412434b ac ∆=−=−−××，把3a =，12b =−，()22412434b ac ∆=−=−−××都代入x得x =故选：D ．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握公式法是解题的关键．19．当20,40a b ac ≠−≥的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．20ax bx c −+=C ．2ax bx c +=D ．2ax bx c =+【答案】A【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个．【解析】一元二次方程20ax bx c ++=，当0a ≠，240b ac −≥．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式．20．解下列方程：①2x 2－18＝0；②9x 2－12x －1＝0；③3x 2＋10x ＋2＝0；④2(5x －1)2＝2(5x －1)．用较简便的方法依次是( )A ．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B ．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法C ．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法D ．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 【答案】D【解析】①2x 2=18，所以利用直接开平方法.②9x 2－12x －1＝0，公式法.③3x 2＋10x ＋2＝0，公式法. ④ 2(5x －1)2-2(5x －1)=0,利用因式分解法. 所以选D.21．用适当方法解下列方程： (1)2(21)9x −=； (2)212455250x x −−=；(3)22(31)(1)0x x −−+=； (4)2(2)(2)0x x x −+−=；(5)21102x −+=； (6)20.30.50.3 2.1x x x +=+． 【答案】(1)12x =，21x =− (2)1354x =，25x =− (3)11x =，20x = (4)11x =，22x =(5)12x x − (6)173x =，23x =−【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．【解析】（1）解：2(21)9x −=直接开平方可得：213x −=±， 213x −=或213x −=− ∴原方程的解为：12x =，21x =−； （2）解：212455250x x −−=24151750x x −−=因式分解得：()()43550x x −+=， ∴原方程的解为：1354x =，25x =−； （3）解：22(31)(1)0x x −−+=， 平方差因式分解得：()()()()3113110x x x x −−+−++=，整理得：()2240x x −=， ∴原方程的解为：11x =，20x =；（4）2(2)(2)0x x x −+−=， 提取公因式可得：()()220x x x −−+=， 整理得：()()2220x x −−=， ∴原方程的解为：11x =，22x =；（5）解：∵方程21102x −+=， (2141482∆=−−××=，∴原方程的解为：12x x +； （6）20.30.50.3 2.1x x x +=+，232210x x +−=，因式分解得：()()3730x x −+=， ∴原方程的解为：173x =，23x =− 22．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程：26213x x x −=−解：原方程可以化为：()()23131x x x −=−−第一步 两边同时除以()31x −得：21x =−第二步 系数化为1，得：12x =−第三步任务：(1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二(2)13x =或12x =−，过程见解析【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法．（1）第二步不符合等式的性质；（2）先移项得到()()231310x x x −+−=，再利用因式分解法把方程转化为310x −=或210x +=，然后解两个一次方程．【解析】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二；（2）解：26213x x x −=− ()()23131x x x −=−−()()231310x x x −+−= ()()21310x x +−=310x −=或210x +=， 解得：13x =或12x =−．题型四 一元二次方程的代数应用例题23．代数式243x x −+的最小值为（ ）．A ．1−B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案． 【解析】代数式()2224344121x x x x x −+=−+−=−−∵()220x −≥，∴()2211x −−≥−即代数式2|431x x −+≥−， 故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．巩固训练24．在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝0【答案】B【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案. 【解析】解： 小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为：()()310,x x +−=即：2230,x x +−= 小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：()()540,x x −+=即：2200,x x −−= 从而正确的方程是：22200,x x +−= 故选：.B【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.25．已知m ，n 是一元二次方程2320x x ++=的两根，则 ）A ．2B ．2−C D ．【答案】D【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，二次根式的化简，先解方程可得11x =−，22x =−，再由【解析】解：∵m ，n 是一元二次方程2320x x ++=的两根，∴()()120x x ++=， ∴11x =−，22x =−， ∴0m <，0n <，∴， 故选：D ．26．方程ax 2+bx+c=0（a ＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（ ）ABCD【答案】A【解析】因为b b −≤−+,且 a ＜0,故选A. 27．已知多项式A ＝x 2﹣x +(32k−)，若无论x 取何实数，A 的值都不是负数，则k 的取值范围是 ．【答案】112k ≤【分析】根据配方法可进行求解．【解析】解：∵A ＝x 2﹣x +（32k −）＝x 2﹣x 1144+−+（32k −）＝（x 12−）214−+（32k −）， 若x 取任何实数，A 的值都不是负数，∴14−+（32k −）≥0，解得：112k ≤； 故答案为：112k ≤． 【点睛】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 28．如果代数式22x x ++与52x −的值相等，那么x = ． 【答案】2【分析】由题可得2252x x x ++−，整理得到2440,x x −+=即()220,x −=解出即可． 【解析】解：根据题意得2252x x x ++−2440,x x ∴−+= ()220,x ∴−=2.x ∴=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键． 29．已知2252,b 52,a a b +=-+=-则a b +的值=【答案】5−或5−【分析】依题意解252x x +=-后，分a=b 与a b ≠进行讨论即可． 【解析】解：依题意得a,b 是方程252x x +=-的解，解252x x +=-得：12x x =当a b ==a+b=当a b ==a+b=当a b 时，a b 5+=−，故答案为：5−或5−．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的问题，掌握一元二次方程的解以及分类讨论是解题的关键． 30．已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且0a ≠），此方程的解为12x =，23x =．则关于x 的一元二次方程2930ax bx c −+=的解为 ． 【答案】23−或1−/1−或23−【分析】将12x =和23x =分别代入20ax bx c ++=，可求得a ，b ，c 之间的等量关系，代入一元二次方程2930ax bx c −+=即可消去参数，从而解一元二次方程即可．【解析】解： 一元二次方程20ax bx c ++=的解为12x =，23x =，∴420930a b c a b c ++= ++=，解得56b ac a =− = ，∴一元二次方程2930ax bx c −+=可化为291560ax ax a ++=， 0a ≠，∴291560x x ++=， 解得123x =−，21x =−．∴一元二次方程2930ax bx c −+=的解为23−或1−．故答案为：23−或1−．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得a ，b ，c 之间的等量关系，从而代入求解．题型五 一元二次方程的几何应用例题31．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程212110x x −+=的一个根，则该三角形的周长为（ ） A ．11 B ．21C ．11或21D ．11或1【答案】A【分析】先求出方程212110x x −+=的根，然后分x ＝1和x ＝11两种情况，利用三角形三边关系进行判断即可．【解析】解：由212110x x −+=可得()()1110x x −−=， ∴10x −=或110x −=， 解得x ＝1或x ＝11，当x ＝1时，因为10＞1，所以能组成三角形，此时该三角形的周长为11； 当x ＝11时，因为10＜11，所以不能组成三角形， 故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．巩固训练32．已知：a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且22|10a a b c −+−+=，ABC ∆的形状是 ． 【答案】直角三角形【分析】等式配方成22|10a a b c −+−+=，利用非负数性求得a 、b 、c 的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解．【解析】解：∵22|10a a b c −+−+=，∴222110a a c −++−++=，∴22(1)1)|0a c −++=，∴10a −=10=，0c =，∴=1a ，=2b ，c =∵22212+，∴ABC ∆的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形．【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形就是直角三角形．33．已知2，3，a 分别是等腰三角形三边的长，且a 是关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣x +k 2+1＝0的根，则k 的值为 ．【答案】-5【分析】根据等腰三角形的定义，分a =2和a =3，分别代入方程，解之可得k 值． 【解析】解：∵2，3，a 分别是等腰三角形三边的长，当a =2时，即x =2，代入()22110k x x k −−++=， 得：()241210k k −−++=， 解得：k =-5，或k =1（舍），当a =3时，即x =3，代入()22110k x x k −−++=， 得：()291310k k −−++=，解得：k ，或k故答案为：-5 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，解题的关键是要注意根据等腰三角形的定义进行分类讨论．34．如图，在ABC 中，90,6cm,8cm B AB BC ∠=°==，点P 从A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间t 秒．(1)填空：BQ =______cm ，PB =______cm ；（用含t 的代数式表示）； (2)当t 为几秒时，PQ 的长度等于；(3)是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积等于ABC 面积的23？如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)2t ，()6−t (2)2s 或2s 5(3)存在，2s =t【分析】（1）根据路程=速度×时间，2cm BQ t =，cm AP t =，结合已知解答即可．（2）根据勾股定理222PQPB BQ =+，列式计算即可． （3）根据23ABC PBQ ABC APQC S S S S =−=四边形列式计算即可． 【解析】（1）∵90,6cm,8cm B AB BC ∠=°==，点P 从A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动． ∴2cm BQ t =，cm AP t =，∴()6cm PB AB AP t =−=−， 故答案为：2t ，()6−t ．（2）∵90,6cm,8cm B AB BC ∠=°==，2cm BQ t =()6cm PBt =−，，222PQ PB BQ =+，∴(()()22262t t =−+，整理，得251240t t −+=， 解得1222,5t t ==，当运动时间为2s 或运动时间为2s 5时，PQ 的长度等于．（3）∵90,6cm,8cm B AB BC ∠=°==，2cm BQ t =()6cm PBt =−，23ABC PBQ ABC APQC S S S S =−=四边形， ∴111232PB BQ AB BC =× ， ∴()1112668232t t ××−=×××， 整理，得2680t t −+=， 解得122,4t t ==（舍去）， 故当运动时间为2秒时，四边形APQC 的面积等于ABC 面积的23．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中的动点问题，一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理，解方程是解题的关键．题型六 一元二次方程的根的判别式例题35．关于x 的一元二次方程x 2﹣8x +3＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．无实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定【答案】C【分析】根据一元二次方程的判别式即可求出答案． 【解析】解：由题意可知：△＝64﹣4×1×3＝52＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C ．【点睛】本题考查的是一元二次方程系数与根的情况，比较简单，需要牢记根的判别式的取值与方程根的个数的关系.巩固训练36．若关于x 的一元二次方程2230mx x −+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．13m ≤B ．13m <−C ．13m ≤且0m ≠D ．13m <且0m ≠【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握知识点是本题的关键．根据一元二次方程根的判别式，有两个不相等的实数根，即根的判别式240b ac ∆=−>，结合一元二次方程的定义计算出答案即可． 【解析】解：∵一元二次方程2230mx x −+=有两个不相等的实数根， ∴()22Δ42430b ac m =−=−−×> 解得13m <∵方程2230mx x −+=是一元二次方程 ∴0m ≠， ∴13m <且0m ≠， 故选：D ．37．已知关于x 的方程2210mx x −+=有两个不相等的实数根，则m 可取的最大整数是 ． 【答案】1−【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到0m ≠且0∆>，然后求出两不等式的公共部分，最后解得m 可取的最大整数．【解析】解：已知关于x 的方程2210mx x −+=有两个不相等的实数根， ∴0m ≠，且0∆>， ∵a m =，2b =−，1c =， ∴224(2)40b ac m ∆=−=−−×>， 即440m −>， 解得1m <且0m ≠，∴其中m 可取的最大整数是1−， 故答案为：1−．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根．本题中二次项系数不为零是易错点．38．已知,,a b c 分别是ABC 的边长，则一元二次方程2()20a b x cx a b ++++=的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判断【答案】A【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△=（2c ）2-4（a +b ）（a +b ）=4c 2-4（a +b ）2【解析】解：△=（2c ）2-4（a +b ）（a +b ）=4c 2-4（a +b ）2=4（c +a +b ）（c -a -b ）． ∵a ，b ，c 分别是三角形的三边， ∴a +b ＞c ．∴c +a +b ＞0，c -a -b ＜0， ∴△＜0，∴方程没有实数根． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c ）2-4（a +b ）（a +b ）进行因式分解．39．小刚在解关于x 的方程()200++=≠ax bx ca 时，只抄对了2a =，1c =，解出其中一个根是1x =．他核对时发现所抄的b 比原方程的b 值小1，则原方程的根的情况是（ ）A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有另一个根是=1x −D ．有两个相等的实数根【答案】A【分析】直接把已知数据代入，进而得出b 的值，再根据根的判别式判别即可．【解析】解：小刚在解关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠时，只抄对了2a =，1c =，解出其中一个根是1x =， 代入20ax bx c ++=得：211012b ， 解得：3b =−，∵核对时发现所抄的b 比原方程的b 值小1， 故原方程中2b =−， 原方程为22210x x −+=，∴ 22424214840b ac∴原方程的根的情况是不存在实数根， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，正确得出b 的值是解题关键．40．已知：关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++−=． (1)当m 取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值．【答案】(1)92m <−(2)4−【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为24b ac ∆=−是解题的关键．（1）利用判别式的意义得到()221Δ1412294m m m=+−××−=+，根据题意可得290m +<，即可解答；（2）利用判别式的意义得到()221Δ1412294m m m=+−××−=+，根据题意可得290m +≥，即可得到m的最小整数值．【解析】（1）解：关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++−=， 可得211,1,24a b m c m ==+=−， ()221Δ1412294m m m∴=+−××−=+当290m +<，即92m <−时，此方程没有实数根；（2）解：∵()2211204x m x m +++−=有两个实数根， ∴290m +≥， ∴92m ≥−；∴m 的最小整数值为4−．41．已知关于x 的方程2(3)30x k x k −++=． (1)求证：无论k 取任何实数，该方程总有实数根；(2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两边长，其第三边长为4，求ABC 的周长． 【答案】(1)见详解(2)ABC 的周长为11或10．【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根据根的情况求参数和等腰三角形的性质.（1）先计算出2(3)k ∆=−，然后根据非负数的性质即可证明． （2）分两种情况计算，当腰长为4时，代入方程，求出k 值，得出方程，进而求得方程的另一个根，当底边长为4时，此时方程有两个相等的实数根，根据Δ0=得出k 的值，把k 值代入方程，解方程即可求的ABC 的腰长．【解析】（1）证明：222[(3)]41369(3)k k k k k ∆=−+−××=−+=−， ∵2(3)0k −≥，即0∆≥，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根．（2）当腰长为4时，把4x =代入2(3)30x k x k −++=， 得，1641230k k −−+=， 解得4k =；方程化为27120x x −+=， 则其另一个解为3x =，此时ABC 的周长为34411++=． 当底边长为4时，则方程2(3)30x k x k −++=有两个相等的实数根，∴2(3)0k ∆=−=， ∴3k =，此时方程化为2690x x −+=， 即()230x −=, 解得：123x x ==， 此时ABC 的周长为33410++=． 综上所述，ABC 的周长为11或10．42．关于x 的一元二次方程()200ax bx ca ++=≠，下列说法错误的是（ ） A ．若0abc −+=，则240b ac −≥B ．若c 是方程20ax bx c ++=的一个实数根，则一定有10ac b ++=成立C ．若方程2ax c =没有实数根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根D ．若m 是方程20ax bx c ++=的一个实数根，则()2242b ac am b −=+【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ0<时，方程无实数根是解题的关键．【解析】解：A 、若0a b c −+=，则1x =−是方程20ax bx c −+=的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：240b ac ∆=−≥，正确，故此选项不符合题意；B 、c 是方程20ax bx c ++=的一个根，20ac bc c ∴++=，(1)0c ac b ∴++=，当10ac b ++=时，等式成立，当0c ，10ac b ++≠，等式仍然成立，故10ac b ++=不一定成立，故一定有10ac b ++=成立错误，故此选项符合题意；C 、∵方程2ax c =没有实数根，∴040ac =+<Δ，40ac ∴<，∴方程20ax bx c ++=的判别式240b ac ∆=−>，∴方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根，正确，故此选项不符合题意；D 、若m 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，由求根公式可得：m 2am b ∴+224(2)b ac am b ∴−=+，正确，故此选项不符合题意； 故选：B ．43．已知一元二次方程210x ax ++=，220x bx ++=，240x cx ++=，其中a ，b ，c 是正实数，且满足2b ac =．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为1M ，2M ，3M ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．若12M =，22M =，则30M =B ．若10M =，22M =，则30M =C ．若11M =，20M =，则30M =D ．若10M =，20M =，则30M =【答案】C【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，正确记忆一元二次方程根的判别式的相关知识是解题关键． 由题意得214a ∆=−，228b ∆=−，根据1M 、2M 判定出1∆、2∆的符号，再由2b ac =得2b c a，代入216c ∆=−即可确定判别式的符号，得出3M 的值，从而确定答案．【解析】解：A 、∵12M =，22M =，∴240a ∆=−>，280b ∆=−>，即24a >，28b >，∵2b ac =，∴422bc a=，∵4221616b c a∆=−=−，无法确定∆符号，∴3M 的值无法确定，故此选项不符合题意； B 、∵10M =，22M =，∴2140a ∆=−<，2280b −=>∆，即24a <，28b >，∴4216b a >∵2b ac =，∴422b c a=，∵423216160b c a∆=−=−>，∴32M =，故此选项不符合题意；C 、∵11M =，20M =，2140a ∴∆=−=，2280b ∆=−<，即24a =，2b ac = ，∴44224b bc a ==， 而4222364(8)(8)1644b b bc −+−∆=−==，280b +> ，280b -<，∴23160c ∆=−<，30M ∴=；故此选项符合题意； D 、∵10M =，20M =，∴2140a ∆=−，2280b ∆=−<，即24a <，28b <，∵2b ac =，∴422bc a=，∵42321616b c a∆=−=−，无法确定3∆的符号，∴3M 的值无法确定，故此选项不符合题意；故选：C ．题型七 一元二次方程的根与系数的关系例题44．方程245x x −=的根是（ ）A ．125x x =B ．124x x +=−C ．1254x x =D ．124x x +=【答案】D【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx ca ++=≠有两根为12b x x a+=−，12cx x a ⋅=． 先把方程化成一般式，再根据一元二次方程根与系数关系求出12x x +与12cx x a⋅=的值，判定即可．。

一元二次方程必考点全梳理必考点１一元二次方程的概念解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

例题1下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+1x2−3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】一元二次方程只有④，共1个，故选：A．变式1关于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m＝（）A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0【解析】由题意可知：|m|＝2，且m+2≠0，所以m＝±2且m≠﹣2．所以m＝2．选：B．变式2若关于x的方程(a−1)x a2+1−7＝0是一元二次方程，则a＝．【解析】∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a2+1＝2，且a﹣1≠0，解得，a＝﹣1．变式3已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？【解析】（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元二次方程，∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，即当m≠±1时，方程为一元二次方程；（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元一次方程，∴m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，即当m为﹣1时，方程为一元一次方程．必考点２一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式：a x2+b x+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中a x2叫二次项，b x叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．例题2将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（）A．﹣4，2B．4x，﹣2C．﹣4x，2D．3x2，2【解析】∵﹣3x2﹣2＝﹣4x，∴﹣3x2+4x﹣2＝0，则3x2﹣4x+2＝0则一次项是﹣4x，常数项是2，故选：C．变式4已知一元二次方程﹣5x2+16x+3＝0，若把二次项系数变为正数，且使得方程根不变的是（）A．5x2+16x+3＝0B．5x2﹣16x﹣3＝0C．5x2+16x﹣3＝0D．5x2﹣16x+3＝0【分析】本题主要是考查的移项的问题，移项的依据是等式的基本性质一：在等式的左右两边同时加上或减去同一个数或式子，所得结果仍然是等式．因此注意移项时要变号．【解析】方程﹣5x2+16x+3＝0的二次项系数化为正数，得5x2﹣16x﹣3＝0．故选：B．变式5关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是0，则m的值（）A．1B．1或2C．2D．±1【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【解析】由题意，得m2﹣3m+2＝0且m﹣1≠0，解得m＝2，故选：C．变式6已知M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），若存在x使得M＝N，则a，b，c的值可以分别为（）A．1，﹣1，0B．1，0，﹣1C．0，1，﹣1D．0，﹣1，1【分析】把M与N代入M＝N中，整理为一般形式，判断方程有解即可得到结果．【解析】由M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），且M＝N，得到2x2﹣2x+1＝ax2+bx+c，即（a﹣2）x2+（b+2）x+c﹣1＝0，则a，b，c的值可以分别为0，﹣1，1，即﹣2x2+x＝0，方程有解，故选：D．必考点３一元二次方程的解一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.例题3若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（）A．2018B．2020C．2022D．2024【分析】把x＝﹣1代入方程即可求得a﹣b的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．【解析】∵把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0得：a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，∴2014+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．故选：C．变式7a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（）A．2018B．2019C．2020D．2021【分析】根据一元二次方程根的定义得到a2+a＝1，再把﹣2a2﹣2a+2020变形为﹣2（a2+a）+2020，然后利用整体代入的方法计算．【解析】∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．故选：A．变式8若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（）A．2020B．﹣2020C．2019D．﹣2019【分析】先把a代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解．【解析】∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．故选：C．变式9已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m+2018m2+1+3的值等于．【分析】利用m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根得到m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，利用整体代入的方法得到原式＝m+1m+2，然后通分后再利用整体代入的方法计算．【解析】∵m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，∴m2﹣2018m+1＝0，∴m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，∴m2﹣2017m+2018m2+1+3＝2018m﹣1﹣2017m+20182018m+3＝m+1m+2=m2+1m+2=2018mm+2＝2020．必考点４解一元二次方程（指定方法）解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.例题4用指定的方法解下列方程：（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣5x+1＝0 （配方法）（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）【解析】（1）方程变形得：（x﹣1）2＝9，开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，解得：x1＝4，x2＝﹣2；（2）方程变形得：x2−52x=−12，配方得：x2−52x+2516=（x−54）2=1716，开方得：x−54=±√174，则x1=5+√174，x2=5−√174；（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，∵△＝1+24＝25，∴x=1±52，则x1＝3，x2＝﹣2；（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2．变式10解下列方程：（1）（y﹣2）（y﹣3）＝12；（2）4（x+3）2＝25（x﹣1）2；（3）2x2+3x﹣1＝0（请用配方法解）．【解析】（1）∵（y﹣2）（y﹣3）＝12，∴y2﹣5y﹣6＝0，∴（y﹣6）（y+1）＝0，∴y＝6或y＝﹣1．（2）∵4（x+3）2＝25（x﹣1）2，∴4（x+3）2﹣25（x﹣1）2＝0，∴[2（x+3）﹣5（x﹣1）][2（x+3）+5（x﹣1）]＝0，∴（﹣3x+11）（7x+1）＝0，∴x=113或x=−17．（3）∵2x2+3x﹣1＝0，∴x2+32x−12=0，∴x2+32x+916=1716，∴（x+34）2=1716，∴x=−3±√174．变式11按指定的方法解下列方程：（1）2x2﹣5x﹣4＝0（配方法）；（2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0（因式分解法）【解析】（1）2x2﹣5x﹣4＝0，变形得：x2−52x＝2，配方得：x2−52x+2516=5716，即（x−54）2=5716，开方得：x−54=±√574，则x1=5+√574，x2=5−√574；（2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0，变形得：3（x﹣2）+x（x﹣2）＝0，即（x﹣2）（x+3）＝0，可得x﹣2＝0或x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3．变式12用指定的方法解方程：（1）（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0（因式分解法）（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）【解析】（1）∵（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0，∴（y﹣3+1）（y﹣3+2）＝0，即（y﹣2）（y﹣1）＝0，则y﹣2＝0或y﹣1＝0，解得y＝2或y＝1；（2）方程整理为一般式得x2﹣3x﹣8＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣8，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣8）＝41＞0，则x=3±√412．必考点５解一元二次方程（换元法）换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．例题5已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（）A．﹣1或3B．﹣3或1C．3D．1【解析】设x2﹣2x+1＝a，∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无解；当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，故选：D．变式13已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为．【解析】令x2﹣x＝t，∴t＝x2﹣x＝（x−12）2−14≥−14，∴t2﹣2t﹣3＝0，解得：t＝3或t＝﹣1（舍去），∴t＝3，即x2﹣x＝3，∴原式＝3+2020＝2023，故答案为：2023．变式14基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．【解析】（1）由原方程，得x（3x﹣1）＝0∴x＝0或3x﹣1＝0解得：x1＝0，x2=1 3；（2）t＝m2+n2（t≥0），则由原方程，得t（t﹣1）﹣6＝0．整理，得（t﹣3）（t+2）＝0．所以t＝3或t＝﹣2（舍去）．即m2+n2的值是3．变式15阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．【解析】（1）设x2﹣3x＝y，原式＝（y+2）（y﹣5）﹣8＝y2﹣3y﹣18＝（y﹣6）（y+3）＝（x2﹣3x﹣6）（x2﹣3x+3）；（2）设t＝x2﹣2x．则（t+1）（t﹣3）＝0．解得t＝﹣1或t＝3．当t＝﹣1时，x2﹣2x＝﹣1，即（x﹣1）2＝0．解得x1＝x2＝1．当t＝3时，x2﹣2x＝3，即（x﹣3）（x+1）＝0．解得x3＝3，x4＝﹣1．必考点６根的判别式根的判别式：一元二次方程a x2+b x+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．例题6关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【解析】△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．变式16关于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列结论正确的是（）A．当a＝0时，方程无实数根B．当a＝﹣1时，方程只有一个实数根C．当a＝1时，有两个不相等的实数根D．当a≠0时，方程有两个相等的实数根【解析】A、当a＝0时，方程为x﹣1＝0，解得x＝1，故当a＝0时，方程有一个实数根；不符合题意；B、当a＝﹣1时，关于x的方程为﹣x2+2x﹣1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴当a＝﹣1时，方程有两个相等的实数根，故不符合题意；C、当a＝1时，关于x的方程x2﹣1＝0，故当a＝1时，有两个不相等的实数根，符合题意；D、当a≠0时，△＝（1﹣a）2+4a＝（1+a）2≥0，∴当a≠0时，方程有相等的实数根，故不符合题意，故选：C．变式17若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2ax+a＝6有两个不相等的实数根，则a的取值范围为（）A．a＞0B．a＞0且a≠2C．a＞32D．a＞32且a≠2【解析】根据题意得a﹣2≠0且△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣2）×（a﹣6）＞0，解得a＞32且a≠2．故选：D．变式18若整数a使得关于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a﹣1＝0有实数根，且关于x的不等式组{a−x＜0x+2≤12(x+7)有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为（）A．3B．4C．5D．6【分析】先根据根的判别式和一元二次方程的定义求出a的范围，再求出不等式组的解集，再根据题意得出a的值，最后得出选项即可．【解析】∵整数a使得关于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a﹣1＝0有实数根，∴△＝（2a ）2﹣4（a +2）（a ﹣1）≥0且a +2≠0，解得：a ≤2且a ≠﹣2，∵关于x 的不等式组{a −x ＜0x +2≤12(x +7)有解且最多有6个整数解， ∴解不等式组{a −x ＜0x +2≤12(x +7)得：a ＜x ≤3，∴a 可以为2，1，0，﹣1，﹣3，共5个，故选：C ． 必考点７ 根的判别式（三角形的边）例题7 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程x 2﹣4x +k ＝0的两个根，则k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．3或4D ．7【解析】当3为腰长时，将x ＝3代入x 2﹣4x +k ＝0，得：32﹣4×3+k ＝0，解得：k ＝3，当k ＝3时，原方程为x 2﹣4x +3＝0，解得：x 1＝1，x 2＝3，∵1+3＝4，4＞3，∴k ＝3符合题意；当3为底边长时，关于x 的方程x 2﹣4x +k ＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k ＝0，解得：k ＝4，当k ＝4时，原方程为x 2﹣4x +4＝0，解得：x 1＝x 2＝2， ∵2+2＝4，4＞3，∴k ＝4符合题意．∴k 的值为3或4．故选：C ．变式19 已知m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k +2＝0的两个根，则k 的值等于（ ）A ．7B ．7或6C ．6或﹣7D ．6【解析】∵m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，∴当m ＝4或n ＝4时，即x ＝4，∴方程为42﹣6×4+k +2＝0，解得：k ＝6，当m ＝n 时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k +2）＝0，解得：k ＝7，综上所述，k 的值等于6或7，故选：B ．变式20 已知：关于x 的方程x 2﹣（k +2）x +2k ＝0．（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有两个实数根．（2）若等腰三角形ABC 的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．（2）依题意有△＝0，则k ＝2，再把k 代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．【答案】（1）证明：△＝（k +2）2﹣4×2k ＝（k ﹣2）2，∵（k ﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论k 取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：依题意有△＝（k ﹣2）2＝0，则k ＝2，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，故△ABC的周长＝2+2+1＝5．变式21已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解析】（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．必考点８根与系数关系（求代数式的值）根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程a x2+b x+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．例题8已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．（1）填空：x1+x2＝，x1•x2＝，1x1+1x2=，x12x2+x1x22=；（2）求x1﹣x2的值．【解析】（1）x1+x2＝4，x1•x2＝2，1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=42=2；x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）＝2×4＝8；故答案为4，2，2，8；（2）x1﹣x2＝±1−x2)2=√(x1+x2)2−4x1x2=±√42−4×2=±2√2．变式22若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（）A．10B．9C．7D．5【解析】根据题意得α+β＝2，αβ＝﹣3，所以α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ＝22﹣（﹣3）＝7．故选：C．【小结】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b a，x1x2=c a．变式23已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2020的值是（）A．2016B．2020C．2025D．2034【解析】∵a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，∴a2+3a＝5，a+b＝﹣3，则a2﹣3b+2020＝a2+3a﹣3（a+b）+2020＝5+9+2020＝2034．故选：D．变式24设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果【解析】∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，∴m2+m＝1001，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．故答案为：1000．必考点９根与系数关系（构造方程求值）例题9已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3ax﹣x+2a2＝1的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0．求实数a的所有可能值．【解析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3ax﹣x+2a2＝1的两个实数根，∴x1+x2＝﹣3a+1，x1•x2＝2a2﹣1．∵（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0，即3x12﹣10x1•x2+x22+80＝0，∴3（x1+x2）2﹣16x1•x2+80＝0，∴3（﹣3a+1）2﹣16（2a2﹣1）+80＝0，整理，得：5a2+18a﹣99＝0，∴a1＝3，a2=−33 5．当a＝3时，原方程为x2+8x+17＝0，∵△＝82﹣4×1×17＝﹣4＜0，∴此时原方程无解，不符合题意，舍去；当a=−335时，原方程为x2−1045x+215325=0，∵△＝（−1045）2﹣4×1×215325=220425＞0，∴符合题意．∴实数a的值为−335．变式25已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．【解析】（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，整理得：16+8k﹣32≥0，解得：k≥2，∴k的取值范围是：k≥2．故答案为：k≥2．（2）由题意得：x13x2+x1x23=x1x2[(x1+x2)2−2x1x2]=24，由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，整理得：k2﹣4k+3＝0，解得：k1＝3，k2＝1，又由（1）中可知k≥2，∴k的值为k＝3．故答案为：k＝3．变式26已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+12k2﹣2＝0．（1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x 1，x 2满足x 1﹣x 2＝3，求k 的值．【解析】（1）∵△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×（12k 2﹣2）＝4k 2+4k +1﹣2k 2+8＝2k 2+4k +9＝2（k +1）2+7＞0， ∵无论k 为何实数，2（k +1）2≥0，∴2（k +1）2+7＞0，∴无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系得出x 1+x 2＝2k +1，x 1x 2=12k 2﹣2，∵x 1﹣x 2＝3，∴（x 1﹣x 2）2＝9，∴（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝9，∴（2k +1）2﹣4×（12k 2﹣2）＝9，化简得k 2+2k ＝0，解得k ＝0或k ＝﹣2． 变式27 已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个根分别为x 1，x 2，利用一元二次方程的求根公式x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a可得利用上述结论来解答下列问题：（1）已知2x 2﹣x ﹣1＝0的两个根为m ，n ，则m +n ＝ ，mn ＝ ；（2）若m ，n 为x 2﹣px +q ＝0的两个根，且m +n ＝﹣3，mn ＝4，则p ＝ ，q ＝ ；（3）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有两个实数根x 1，x 2，若（x 1+x 2+2）（x 1+x 2﹣2）+2x 1x 2＝﹣2，求k 的值．【解析】（1）∵一元二次方程2x 2﹣x ﹣1＝0的两个根为m ，n ，∴m +n =12，mn =−12．故答案为：12；−12． （2）∵m ，n 为x 2﹣px +q ＝0的两个根，且m +n ＝﹣3，mn ＝4，∴p ＝﹣3，q ＝4．故答案为：﹣3；4．（3）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2＝k ﹣1，x 1x 2＝2﹣k ． ∵（x 1+x 2+2）（x 1+x 2﹣2）+2x 1x 2＝﹣2，即（x 1+x 2）2﹣4+2x 1x 2＝﹣2，∴（k ﹣1）2﹣4+2（2﹣k ）＝﹣2，整理，得：k 2﹣4k +3＝0，∴k =4±√(−4)2−4×1×32，∴k 1＝3，k 2＝1．当k ＝3时，原方程为x 2﹣2x ﹣1＝0， ∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，∴k ＝3符合题意；当k ＝1时，原方程为x 2+1＝0，∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴k ＝1不符合题意，舍去．∴k 的值为3．必考点１０ 一元二次方程的应用（传播问题）例题10 某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？【分析】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x 个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有81个人被感染，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据3轮感染后被感染的人数＝2轮感染后被感染的人数×（1+8），即可求出3轮感染后被感染的人数，再将其与700进行比较后即可得出结论．【解析】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．变式282020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？【解析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．（2）169×（1+12）＝2197（人）．答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．变式29新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了严重的人员伤亡和经济损失，其中一个原因是新冠肺炎病毒传播速度非常快．一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人．（1）求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人？（2）按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？【答案】（1）解：设一个人平均感染x人，可列方程：1+x+（1+x）x＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（舍去）．故这种病毒每轮传播中一个人平均感染7人；（2）（7+1）3＝512（人）答：经过三轮传播后一共有512人被感染．变式30卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为新冠肺炎病毒的携带者．（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程．（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？【解析】（1）设每人每轮传染x人，依题意，得：1+x+（1+x）•x＝169，解得：x 1＝12，x 2＝﹣14（不合题意，舍去），∵12＞10，∴最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，（2）169×（1+12）＝2197（人），答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有2197人成为新冠肺炎病毒的携带者．必考点１１ 一元二次方程的应用（面积问题）例题11 如图，有一块宽为16m 的矩形荒地，某公园计划将其分为A 、B 、C 三部分，分别种植不同的植物．若已知A 、B 地块为正方形，C 地块的面积比B 地块的面积少40m 2，试求该矩形荒地的长．【解析】设B 地块的边长为x ，根据题意得：x 2﹣x （16﹣x ）＝40，解得：x 1＝10，x 2＝﹣2（不符题意，舍去），∴10+16＝26m ， 答：矩形荒地的长为26m ．变式31 如图，某旅游景点要在长、宽分别为10米、6米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的14（每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上），若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的25，求道路的宽度．【解析】设道路的宽为x 米，依题意，得：x （10﹣4x ）+x （6﹣4x ）+（4x ）2=25×10×6，整理，得：x 2+2x ﹣3＝0，解得：x 1＝1，x 2＝﹣3（不合题意，舍去）．答：道路的宽为1米．变式32 有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的矩形花圃，设花圃的一边AB 为xm ，面积为ym 2．（1）用含有x 的代数式表示y ．（2）如果要围成面积为63m 2的花圃，AB 的长是多少？（3）能围成面积为72m 2的花圃吗！如果能，请求出AB 的长；如果不能，请说明理由．【解析】（1）由题意得：y ＝x （30﹣3x ），即y ＝﹣3x 2+30x ．（2）当y ＝63时，﹣3x 2+30x ＝63．解此方程得x 1＝7，x 2＝3．当x ＝7时，30﹣3x ＝9＜10，符合题意；当x ＝3时，30﹣3x ＝21＞10，不符合题意，舍去；∴当AB 的长为7m 时，花圃的面积为63m 2．（3）不能围成面积为72m 2的花圃．理由如下：如果y ＝72，那么﹣3x 2+30x ＝72，整理，得x 2﹣10x +24＝0， 解此方程得x 1＝4，x 2＝6，当x ＝4时，30﹣3x ＝18，不合题意舍去；当x ＝6时，30﹣3x ＝12，不合题意舍去；故不能围成面积为72m 2的花圃．变式33 一块长30cm ，宽12cm 的矩形铁皮，（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm 2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm ，则可列方程为 ．（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为104cm 2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．【解析】（1）设切去的正方形的边长为xcm ，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x ）cm ，宽为（12﹣2x ）cm 的矩形，依题意，得：（30﹣2x ）（12﹣2x ）＝144．故答案为：（30﹣2x ）（12﹣2x ）＝144．（2）设切去的正方形的边长为ycm ，则折成的长方体盒子的底面为长（302−y ）cm ，宽为（12﹣2y ）cm 的矩形，依题意，得：（302−y ）（12﹣2y ）＝104，整理，得：y 2﹣21y +38＝0，解得：y 1＝2，y 2＝19（不合题意，舍去），∴盒子的体积＝104×2＝208（cm 3）．答：能折出底面积为104cm 2的有盖盒子，盒子的体积为208m 3．必考点１２ 一元二次方程的应用（增长率问题）例题12随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？【解析】（1）设每天增长的百分率为x，依题意，得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率为20%；（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，解得：m1＝4，m2＝25．又∵在增加产能同时又要节省投入，∴m＝4．答：应该增加4条生产线．变式34）甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？【解析】（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）；答：这个降价率为10%；（2）设降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y件，根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10000，解得：y＝0（舍去）或y＝10，答：该商品在原售价的基础上，再降低10元．变式35为抗击新型肺炎疫情，某服装厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产10万件，第三天生产14.4万件，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是20万件/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万件/天，现该厂要保证每天生产口罩60万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（20﹣2m）万件/天，根据每天生产口罩60万件，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解析】（1）设每天增长的百分率为x，依题意，得：10（1+x）2＝14.4，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率为20%．（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（20﹣2m）万件/天，依题意，得：（1+m）（20﹣2m）＝60，整理，得：m1＝4，m2＝5．又∵在增加产能同时又要节省投入，∴m＝4．答：应该增加4条生产线．变式36随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，计划到2020年底，全省5G基站数量将达到6万座，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率；（2）若2023年保持前两年5G基站数量的年平均增长率不变，到2023年底，全省5G基站数量能否超过25万座？【解析】（1）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，依题意，得：6×（1+x）2＝17.34，解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（不合题意，舍去）．答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．（2）17.34×（1+70%）＝29.478（万座），∵29.478＞25，∴到2023年底，全省5G基站数量能超过25万座．必考点１３一元二次方程的应用（利润问题）例题13某水果连锁店将进货价为20元/千克的某种热带水果现在以25元/千克的价格售出，每日能售出40千克．（1）现在每日的销售利润为元．（2）调查表明：售价在25元/千克～32元/千克范围内，这种热带水果的售价每千克上涨1元，其销售量就减少2千克，若要使每日的销售利润为300元，售价应为多少元/千克？【解析】（1）（25﹣20）×40＝200（元）．故答案为：200．（2）设每千克上涨x元，则售价为（25+x）元/千克，每日可售出（40﹣2x）千克，依题意，得：（25+x﹣20）（40﹣2x）＝300，整理，得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，当x＝5时，25+x＝30，符合题意；当x＝10时，25+x＝35＞32，不合题意，舍去．答：售价应为30元/千克．【小结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．变式37“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．【解析】（1）∵该商品的售价为x元/件（20≤x≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）件．（2）①依题意，得：（x﹣20）（180﹣3x）＝900，整理，得：x2﹣80x+1500＝0，解得：x1＝30，x2＝50（不合题意，舍去）．答：该商品的售价为30元/件．②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．变式38某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．（1）降价后，每件衬衫的利润为元，平均每天的销量为件；（用含x的式子表示）（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？【解析】（1）∵每件衬衫降价x元，∴每件衬衫的利润为（50﹣x）元，销量为（20+2x）件．故答案为：（50﹣x）；（20+2x）．（2）依题意，得：（50﹣x）（20+2x）＝1600，整理，得：x2﹣40x+300＝0，解得：x1＝10，x2＝30．∵为了扩大销售，尽快减少库存，∴x＝30．答：每件衬衫应降价30元．变式39悠悠食品店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售的总份数不变，这两种菜品一天的总利润是316元．求A种菜品每天销售多少份？【分析】（1）由A种菜和B种菜每天的营业额为1120和总利润为280建立方程组即可；（2）设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖（20+a）份，则B种菜品卖（40﹣a）份，每份售价提高0.5a元，最后建立利润与卖出的份数的函数关系式即可得出结论．【答案】（1）设该店每天卖出A 、B 两种菜品分别为x 份、y 份，根据题意得，{(20−14)x +(18−14)y =28020x +18y =1120． 解得：{x =20y =40．答：该店每天卖出这两种菜品共60份． （2）设A 种菜品售价降0.5a 元，即每天卖（20+a ）份，则B 种菜品卖（40﹣a ）份，每份售价提高0.5a 元． （20﹣14﹣0.5a ）（20+a ）+（18﹣14+0.5a ）（40﹣a ）＝316．即a 2﹣12a +36＝0,a 1＝a 2＝6答：A 种菜品每天销售26份．必考点１４ 一元二次方程的应用（动点问题）例题14 如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 由点A 出发，沿AB 边以1cm /s 的速度向点B 移动；点Q 由点B 出发，沿BC 边以2cm /s 的速度向点C 移动．如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，问：（1）经过几秒后，△PBQ 的面积等于8cm 2？（2）经过几秒后，P ，Q 两点间距离是√53cm ？【解析】（1）设经过x 秒后，△PBQ 的面积等于8cm 2，则BP ＝（6﹣x ）cm ，BQ ＝2xcm ，依题意，得：12（6﹣x ）×2x ＝8，化简，得：x 2﹣6x +8＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4． 答：经过2秒或4秒后，△PBQ 的面积等于8cm 2．（2）设经过y 秒后，P ，Q 两点间距离是√53cm ，则BP ＝（6﹣y ）cm ，BQ ＝2ycm ，依题意，得：（6﹣y ）2+（2y ）2＝（√53）2，化简，得：5y 2﹣12y ﹣17＝0，解得：y 1=175，y 2＝﹣1（不合题意，舍去）． 答：经过175秒后，P ，Q 两点间距离是√53cm ．【小结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．变式40 如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝7cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s。

一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程:含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零,其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a,一次项的系数为b，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法,这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤:把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和，二根之积。

利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用三、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“”来表示，即I.当△〉0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II.当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III。

当△〈0时，一元二次方程没有实数根四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。