新课标最新北师大版2018-2019学年高中数学必修五模块综合测试(b)及答案解析

北师大版高中数学必修5综合测试试题及答案必修模块5试题.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页．满分为150分。

考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题共50分一．选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知等差数列{an}中，a7a916,a41,则a12的值是A.15B.30C.31D.6422.若全集U=R,集合M＝某某4，S＝某3某0，则MðUS=某1A.{某某2}B.{某某2或某3}C.{某某3}D.{某2某3}3.若1＋2＋22＋……＋2n>128，nN某，则n的最小值为A.6B.7C.8D.94.在ABC中，B60，bac，则ABC一定是2A、等腰三角形B、等边三角形C、锐角三角形D、钝角三角形115.若不等式a某2b某20的解集为某|某，则a－b值是23A.－10B.－14C.10D.146.在等比数列{an}中，S4=1，S8=3，则a17a18a19a20的值是A．14B．16C．18D．207．已知某2y1，则2某4y的最小值为A．8B．6C．22D．28.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是A.4n2B.4n2C.2n4D.3n3第1个第2个第3个某4y309.已知变量某,y满足3某5y25，目标函数是z2某y，则有某1A．zma某12,zmin3C．zmin3,z无最大值B．zma某12,z无最小值D．z既无最大值，也无最小值10．在R上定义运算:某y某(1y)，若不等式(某a)(某a)1对任意实数某成立，则实数a的取值范围是A．1a1B．0a2C．1331aD．a2222第Ⅱ卷非选择题共100分二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）11.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．12．b克糖水中有a克糖（b>a>0），若再加入m克糖（m>0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为.13.在数列an中，a11，且对于任意正整数n，都有an1ann，则a100＝________________.14．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设ai,j（i、j∈N某）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，23456如a4,2＝8．若ai,j＝2006，则i、j的值分别为________，__________78910…………………………三、解答题：（本大题共6小题，共80分。

北师大版高中数学必修五课时作业10 数列的综合问题时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．公差不为零的等差数列{a n }中，a 2、a 3、a 6成等比数列，则其公比q 为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 C【解析】 ∵等差数列{a n }中a 2、a 3、a 6成等比数列， ∴a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d)(a 1＋5d)＝(a 1＋2d)2⇒d(d ＋2a 1)＝0， ∵公差不为零，∴d ＝－2a 1， ∴所求公比q ＝a 3a 2＝a 1＋2d a 1＋d ＝－3a 1－a 1＝3.2．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．3 C.15 D ．不存在 【答案】 A【解析】 由条件a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋3d)，∴a 1d ＋4d 2＝0， ∵d ≠0，∴a 1＝－4d ，∴S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝－2d －d＝2. 3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2【答案】 C【解析】 本题主要考查等比数列等知识． 设a n ＝a 1q n －1，其中a 1>0，q>0， ∴2×12a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，即q 2－2q －1＝0，解得q ＝2＋1，q ＝－2＋1<0(舍去)， a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(2＋1)2＝3＋2 2. 4．(2013·新课标Ⅱ理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19 D ．－19【答案】 C【解析】 本题考查了等比数列的前n 项和通项公式与运算能力．∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 3＝9a 1，又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 1q 2，∴a 1q 2＝1，由a 3＝9a 1＝a 1·q 2，∴q 2＝9，故a 1＝19.【点评】 解答本题充分运用了等比数列的通项公式和整体代换的方法．5．已知等比数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 等于( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.39n －14【答案】 D【解析】 数列{a n }的偶数项是以a 2＝6为首项，公比为9的等比数列，故新数列的前n 项和S n ＝69n －19－1＝39n －14.6．已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为( )A.3312 B ．31C.314 D ．以上都不正确 【答案】 B【解析】 设{a n }的公比为q ，q>0. 由已知得a 4＋3a 3＝2×5a 2＝10a 2，即a 2q 2＋3a 2q ＝10a 2,2q 2＋6q ＝20，解得q ＝2或q ＝－5(舍去)， 则a 1＝1，所以S 5＝a 11－q 51－q＝11－251－2＝31.7．(2013·福建理)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m(n －1)＋1＋a m(n －1)＋2＋…＋a m(n －1)＋m ，c n ＝a m(n －1)＋1·a m(n －1)＋2·…·a m(n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 【答案】 C【解析】 b n ＝a 1q m(n －1)＋a 1q m(n －1)＋1＋…＋a 1q m(n －1)＋m －1＝a 1q m(n －1)(1＋q ＋…＋q m －1)＝a 1q m(n －1)·1－qm1－q ，∴b n ＋1b n ＝a 1q mn ·1－q m1－q a 1q m n －1·1－q m 1－q＝q m， ∴{b n }是等比数列，公比为q m ， c n ＝a 1q m(n －1)·a 1q m(n －1)＋1·…·a 1q m(n －1)＋m －1 ＝a m 1·qm 2(n －1)＋m m －12，∴c n ＋1c n＝a m 1qm 2n ＋1－1m m －12a m 1qm 2n －1m m －12＝qm 2，∴{c n }是等比数列，公比为qm 2. 二、填空题(每小题5分，共15分)8．设公比为q(q>0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.【答案】 32【解析】 由已知S 4－S 2＝3a 4－3a 2，即a 4＋a 3＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，两边同除以a 2得，2q 2－q －3＝0，即q ＝32(q ＝－1舍去)．9．已知数列{x n }满足lgx n ＋1＝1＋lgx n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝________.【答案】 100【解析】 由lgx n ＋1＝1＋lgx n (n ∈N ＋)得lgx n ＋1－lgx n ＝1， ∴x n ＋1x n＝10，数列{x n }是公比为10的等比数列，∴x n ＋100＝x n ·10100，x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100)＝10100，∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝lg10100＝100.10．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________．【答案】 3 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n n ＝2k ，k ∈N＋5n －12n ＝2k ＋1，k ∈N＋.【解析】 本题是信息题，正确理解“新定义”，既要和相关知识联系又要考虑其特点．由题设a 1＋a 2＝a 2＋a 3＝…＝a 17＋a 18＝…＝a 2k －1＋a 2k ＝a 2k ＋a 2k ＋1＝5.∵a 1＝2，∴a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3…当n 为奇数时a n ＝2，当n 为偶数时，a n ＝3.∴a 18＝3. 当n 是偶数时，有n 2个2，n2个3，∴S n ＝n 2·2＋n 2·3＝52n.当n 为奇数时，有n －12个3，n ＋12个2，∴S n ＝n －12·3＋n ＋12·2＝5n －12.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n n ＝2k ，k ∈N＋5n －12n ＝2k ＋1，k ∈N＋.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)已知等差数列{a n }，a 2＝9，a 5＝21. (1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝9，a 1＋4d ＝21，解得a 1＝5，d ＝4.所以{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋1. (2)由a n ＝4n ＋1得b n ＝24n ＋1， 因为b n ＋1b n＝24，所以{b n }是首项b 1＝25，公比q ＝24的等比数列．于是得{b n }的前n 项和S n ＝2524n －124－1＝3224n －115.12．(15分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn(其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ； (2)求数列{9－2a n2n }的前n 项和T n .【解析】 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，因此k ＝4， 从而a n ＝S n －S n －1＝92－n(n ≥2)．又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n.(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，所以T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1. 13．(20分)(2013·江西理)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1n ＋22a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N ＋，都有T n <564.【解析】 思路分析：(1)将已知S n 的关系式分解因式，先求出S n ，后求a n ；(2)化简b n 用放缩法求T n 的范围．(1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0，得[S n －(n 2＋n)](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n.于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n.综上，数列{a n }的通项a n ＝2n. (2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1n ＋22a 2n.则b n ＝n ＋14n 2n ＋22＝116[1n 2－1n ＋22]． T n ＝116[1－132＋122－142＋132－152＋…＋1n －12－1n ＋12＋1n2－1n ＋22]＝116[1＋122－1n ＋12－1n ＋22]<116(1＋122)＝564. 【点评】 本题考查了数列通项公式．裂项求和与放缩法证明不等式．考查了运算能力和逻辑思维能力．。

北师大版高中数学必修五期中综合测试卷一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分． 1．数列252211，，，，的一个通项公式是 （ ） A. 33n a n =- B. 31n a n =- C. 31n a n =+ D.33n a n =+ 2．在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +=+，则101a 的值为 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．52 3、在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A 4-B 4±C 2-D 2± 4．在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,030A = , 则B 等于 （ ）A ．60B ．60或 120C ．30D ．30或1505．一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan A C +的值是（ ） A ．3B ．3-C ．33-D ．不确定 6.在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为（ ） A 、3πB 、6πC 、4πD 、12π 7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 （ ） (A)(B)(C)(D)8.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为（ ）A. 0B. 100C. 1000D. 100009. 若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=（ ）A.2(21)n -B.21(21)3n - C.41n- D.1(41)3n-10．从2004年到2010年间，甲每年6月1日都到银行存人m 元的一年定期储蓄，若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到2011年6月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（ ）A 7)1(q m +元 B 8)1(q m + 元 C []q q q m )1()1(7+-+ 元 D []qq q m )1()1(8+-+元二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11.等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列 一共有项. 12．在ABC ∆中，04345,22,3B c b ===，那么A ＝____________; 13．在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ .14．两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距km15. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第10案中有白色地面砖______________块.三、解答题：本大题共6小题，共75分。

北师大版高中数学必修五必修五模块测试卷（150分，120分钟）一、选择题(每题5分，共60分）1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 22A ＝ccb 2+，则△ABC 是( )A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于( ) A.135B.100C.95D.803.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c)cos A ＝acos C ，则cos A 的值等于( ) A.23B. 33C. 43D. 634.〈日照模拟〉已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t 25-⋅n －51，则实数t 的值为( ) A.4B.5C.54D. 51 5.某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是3 km ，那么x 的值为( )A.3B.23C.3或23D.36.设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则( ) A.44S a =66S a B.44S a ＞66S a C.44S a ＜66S a D.44S a ≤66S a 7.已知数列{a n }的首项为1，并且对任意n ∈N +都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N +)为坐标的点在曲线y ＝21x(x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝n 2＋1 B.a n ＝n 2C.a n ＝n ＋1D.a n ＝n8.设函数f(x)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-.0,1,0,132＜x xx x 若f(a)<a ，则实数a 的取值范围为( )A.(－1，＋∞)B.(－∞，－1)C.(3，＋∞)D.(0,1) 9.已知a>0，b>0，则a 1＋b1＋2ab 的最小值是( ) A.2B.22C.4D.510.已知目标函数z=2x+y 中变量x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-,1,2553,34x y x y x ＜则( )A.z max =12,z min =3B.z max =12,无最小值C.z min =3,无最大值D.z 无最大值,也无最小值 11.如果函数f(x)对任意a ，b 满足f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝( ) A.4 018B.1 006C.2 010 D.2 01412.已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且log c (ab)>1，则c 的取值范围是( )A.0<c<1B.1<c<8C.c>8D.0<c<1或c>8 二、填空题（每题4分，共16分）13.〈泉州质检〉△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列，则角B=.14.已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11的最小值为. 15.两个等差数列的前n 项和之比为12105-+n n ，则它们的第7项之比为.16.在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝31S n (n ≥1)，则a n ＝.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(17~20题每题12分，21~22题每题13分，共74分)17.已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,sin A 与n ＝(3，sin A ＋3cos A)共线，其中A 是△ABC 的内角. (1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.18.已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=2a n +1(n ∈N*) (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足11144421---n b b b =n b n a )1(+ (n ∈N*),证明：{b n }是等差数列;19.如图1,A,B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测 点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船 发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？ 图120.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax(a ∈R).21.已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前三项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立，求实数λ的最小值.22.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 t ，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元. (1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ (2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210 t 时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由.参考答案及点拨一、1.A 点拨：因为cos 22A ＝c c b 2+及2cos 22A －1＝cos A ，所以cos A ＝cb .而cos A=bca cb 2222-+，∴b 2+a 2=c 2，则△ABC 是直角三角形.故选A.2.A 点拨：由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，…，a 7＋a 8仍然成等比数列，公比q ＝2143a a a a ++＝4060＝23，∴a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)14-q ＝40×323⎪⎭⎫ ⎝⎛＝135. 3.B 点拨：(3b －c)cos A ＝acos C ，由正弦定理得3sin Bcos A ＝sin Ccos A ＋cos Csin A⇒3sin Bcos A ＝sin(C ＋A)＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝33.故选B. 4.B 点拨：∵a 1＝S 1＝51t －51，a 2＝S 2－S 1＝54t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列.知254⎪⎭⎫ ⎝⎛t ＝⎪⎭⎫⎝⎛-5151t ×4t ，显然t ≠0，∴t ＝5. 5.C 点拨：根据题意，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或23.6.B 点拨：由题意得公比q>0，当q ＝1时，有44S a －66S a ＝41－61>0，即44S a >66S a ； 当q ≠1时，有44S a －66S a ＝()41311)1(q a q q a --－()61511)1(q a q q a --＝q 3(1－q)()()642111q q q ---⋅＝231q q +611qq--⋅>0，所以44S a >66S a .综上所述，应选B. 7.D 点拨：由题意，得S n ＝21a n (a n ＋1)，∴S n －1＝21a n －1(a n －1＋1)(n ≥2). 作差，得a n ＝21()1212---+-n n n n a a a a ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0.∵a n >0(n ∈N +)，∴a n －a n －1－1＝0， 即a n －a n －1＝1(n ≥2).∴数列{a n }为首项a 1＝1，公差为1的等差数列. ∴a n ＝n(n ∈N +).8.A 点拨：不等式f(a)<a 等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥-0,132a a a ＜或⎪⎩⎪⎨⎧,1,0a a a ＜＜解得a ≥0或－1<a<0，即不等式f(a)<a 的解集为(－1，＋∞). 9.C 点拨：依题意得a 1＋b 1＋2ab ≥2ab 1＋2ab ≥4ab ab⋅1＝4，当且仅当a 1＝b 1，且ab1=ab 时，取等号，故应选C. 10.C11.D 点拨：由f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，可得f(n ＋1)＝f(n)·f(1)，)()1(n f n f +＝f(1)＝2，所以)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝2×1 007＝2 014. 12.B 点拨：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋(a ＋b)，即b ＝2a.又因为a ，b ，ab 成等比数列，所以b 2＝a ×ab ，即b ＝a 2.所以a ＝2，b ＝4，因此log c (ab)＝log c 8>1＝log c c ，有1<c<8，故选B.二、13.60° 点拨：依题意得acos C ＋ccos A ＝2bcos B ，根据正弦定理得sin Acos C ＋sin Ccos A ＝2sin Bcos B ，则sin(A ＋C)＝2sin Bcos B ，即sin B ＝2sin Bcos B ，所以cos B ＝21，又0°<B<180°，所以B ＝60°， 14.425 点拨：z ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11＝xy ＋xy 1＋x y ＋y x ＝xy ＋xy 1＋xy xy y x 2)(2-+＝xy 2＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+y x ＝41.设f(t)＝t ＋t 2，t ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0，设41≥t 2>t 1>0，则f(t 1)－f(t 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+112t t －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222t t ＝212121)2)((t t t t t t --. 因为41≥t 2>t 1>0， 所以t 2－t 1>0，t 1·t 2<161.则t 1·t 2－2<0. 所以f(t 1)－f(t 2)>0.即f(t 1)>f(t 2).∴f(t)＝t ＋t 2在⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0上单调递减，故当t ＝41时f(t)＝t ＋t 2有最小值433，所以当x ＝y ＝21时，z 有最小值425. 15.3∶1 点拨：设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则nn T S ＝12105-+n n ，而77b a ＝131131b b a a ++＝1313T S ＝113210135-⨯+⨯＝3.16.21,114,233n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩点拨：∵3a n ＋1＝S n (n ≥1)，∴3a n ＝S n －1(n ≥2). 两式相减，得3(a n ＋1－a n )＝S n －S n －1＝a n (n ≥2)⇒nn a a 1+＝34(n ≥2)⇒n ≥2时，数列{a n }是以34为公比，以a 2为首项的等比数列， ∴n ≥2时，a n ＝a 2234-⎪⎭⎫⎝⎛⋅n .令n ＝1，由3a n ＋1＝S n ，得3a 2＝a 1，又a 1＝1⇒a 2＝31，∴a n ＝31234-⎪⎭⎫⎝⎛⋅n (n ≥2).故⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-.2,3431,112n n n ， 三、17.解：(1)因为m ∥n ， 所以sinA ·(sinA ＋3cosA)－23＝0. 所以22cos 1A -＋23sin2A －23＝0. 即23sin2A －21cos2A ＝1，即sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πA ＝1.因为A ∈(0，π)，所以2A －6π∈⎪⎭⎫⎝⎛-611,6ππ， 故2A －6π＝2π，即A ＝3π. (2)由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc ， 又S △ABC ＝21bcsinA ＝43bc ， 而b 2＋c 2≥2bc ，bc ＋4≥2bc ，bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以S △ABC ＝21bcsinA ＝43bc ≤43×4＝3. 当△ABC 的面积最大时，b ＝c ，又A ＝3π，故此时△ABC 为等边三角形. 18.(1)解：∵a n+1=2a n +1(n ∈N *),∴a n+1+1=2(a n +1).∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列.∴a n +1=2n.即a n =2n －1(n ∈N *). (2)证明：∵114-b 124-b …14-n b =()n b n a 1+.∴nb b b n -+++)(214=nnb 2.∴2［(b 1+b 2+…+b n )－n ］=nb n ,①2［(b 1+b 2+…+b n +b n+1)－(n+1)］=(n+1)b n+1.②②－①，得2(b n+1－1)=(n+1)b n+1－nb n ,即(n －1)b n+1－nb n +2=0,③ ∴nb n+2－(n+1)b n+1+2=0.④④－③，得nb n+2－2nb n+1+nb n =0,即b n+2－2b n+1+b n =0,∴b n+2－b n+1=b n+1－b n (n ∈N *).∴{b n }是等差数列.19.解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理得，DAB DB ∠sin ＝ADBAB∠sin .∴DB ＝ADB DAB AB ∠∠⋅sin sin ＝︒︒⋅+105sin 45sin )33(5＝︒⋅︒+︒⋅︒︒⋅+45cos 60sin 60sin 45sin 45sin )33(5＝213)13(35++＝103(海里).又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203海里，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×21＝900， ∴CD ＝30海里.则需要的时间t ＝3030＝1(小时). 答：救援船到达D 点需要1小时.20.解:原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1. (2)当a ＞0时， 原不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≥0⇒x ≥a 2或x ≤－1； (3)当a ＜0时，原不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≤0. ①当a 2＞－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为－1≤x ≤a 2； ②当a2＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为x ＝－1； ③当a 2＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式的解集为a2≤x ≤－1. 综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a2,1；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2a ； 当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1］；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1］∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a . 21.解:(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2， 又a 1＝4，所以公差d ＝－1，所以a n ＝5－n ， 从而S n ＝2)9(n n -. (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列的公比为q ，则q ＝12b b ＝21， 所以T n ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ＝8⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n211.令f(n)=n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21. 因为f(n)＝n⎪⎭⎫⎝⎛21是关于自然数n 的减函数，所以{T n }是递增数列，得4≤T n <8.又S m ＝2)9(m m -＝－22921⎪⎭⎫ ⎝⎛-m ＋881，当m ＝4或m ＝5时，S m 取得最大值，即(S m )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立， 则8≤10＋λ，得λ≥－2， 所以λ的最小值为－2.22.解：(1)设该厂应每x 天购买一次面粉，则其购买量为6x t.由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1］＝9x(x ＋1)元. 设每天所支付的总费用为y 1元，则 y 1＝x 1［9x(x ＋1)＋900］＋6×1 800＝x 900＋9x ＋10 809≥2x x9900⋅＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝x900，即x ＝10时取等号. 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若该厂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次面粉.设该厂接受此优惠条件后，每x(x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则 y 2＝x 1［9x(x ＋1)＋900］＋6×1 800×0.90＝x900＋9x ＋9 729(x ≥35). 令f(x)＝x ＋x100(x ≥35)，x 2>x 1≥35，则 f(x 1)－f(x 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11100x x －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22100x x ＝212121)100)((x x x x x x --. 因为x 2>x 1≥35，所以x 1－x 2<0，x 1·x 2>100.所以x 1x 2－100>0. 所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)＝x ＋x100在［35，＋∞)内为增函数. 所以当x ＝35时，y 2有最小值，约为10 069.7. 此时y 2<10 989，所以该厂应该接受此优惠条件.。

北师大版高中数学必修五习题课(1)课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题.2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，n ≥2.2．若数列{a n }为等差数列，则有： (1)通项公式：a n ＝__________；(2)前n 项和：S n ＝______________＝_________________________________________. 3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则______________________． (2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则 S k ，S 2k －S k ，____________成等差数列．一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－82．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．273．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100 D ．－374．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A．120 B．105C．90 D．755．若{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则S n>0成立的最大自然数n为( )A．11 B．12C．13 D．146．在等差数列{a n}中，a1＝－2 008，其前n项和为S n，若S2 0082 008－S2 0062 006＝2，则S2 012等于( )A．－2 012 B．2 012C．6 033 D．6 036二、填空题7．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S p＝S q(p，q∈N＋且p≠q)，则S p＋q＝________. 9．等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和S n取得最大值的自然数n是______．10．已知数列{a n}中，a1＝20，a n＋1＝a n＋2n－1，n∈N＋，则数列{a n}的通项公式a n＝________.三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？12．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝S nn＋c，求非零常数c.能力提升13．在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且|a10|<a11，S n为{a n}的前n项的和，则下列结论正确的是( )A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________．1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．习题课(1) 答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.(1)a 1＋(n －1)d (2)na 1＋n(n －1)d 2 n(a 1＋a n )2 3.(1)a m ＋a n ＝a p＋a q (2)S 3k －S 2k 作业设计 1．A2．C [∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26.]3．C [设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′，则a 2＋b 2＝(a 1＋d)＋(b 1＋d ′)＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′)＝100. 又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0.∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d)＋(b 1＋36d ′)＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.] 4．B [∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d>0， ∴a 1a 2a 3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80， ∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d)＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.] 5．A [S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d<0，S 12＝(a 1＋a 12)·122＝0，n<12时，S n >0.]6．D [S n n ＝a 1＋(n －1)d2，∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2. ∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2＝2 012×3＝6 036.] 7．80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80. 8．0解析 设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q . 知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－b a.∴S p ＋q ＝a(p ＋q)2＋b(p ＋q)＝a(－b a )2＋b(－b a )＝b 2a －b2a＝0.9．5或6解析 d<0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>…. ∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值． 10．n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…， a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)． ∴a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21.11．解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意， 有2n ＋n(n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有 2n ＋n(n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d>0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117， 又公差d>0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n(n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－nn ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．13．D [∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0，S 20＝20(a 1＋a 20)2.而a 1＋a 20＝a 10＋a 11，∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11， ∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.又∵d ＝a 11－a 10>0. ∴S n >0 (n ≥20)．] 14.n 22－n 2＋3解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋。

数学必修5第一部分（选择题 共50分）一、 选择题（每小题5分，10小题，共50分）1、在ABC ∆中，︒===452232B b a ，，，则A 为（ ）A ．︒︒︒︒︒︒30.15030.60.12060D CB 或或2、在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于（ ）A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B3、在ABC ∆中，1660=︒=b A ，，面积3220=S ，则a 等于( ) A. 610.B. 75C . 49D. 514、等比数列{}n a 中293a a =，则313239310log log log log a a a a ++++ 等于（ ） A ．9 B ．27 C ．81 D ．2435、三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为 ( ) A ．b-a =c-b B ．b 2=a c C ．a =b=c D ．a =b=c ≠06、等比数列{}n a 的首项1a =1，公比为q ，前n 项和是n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和是（ ）A ．1-n SB ．n n q S -C ．n n q S -1D ．11--n n q S7、在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（ ）A ．12B ．14C ．15D ．16 8、已知,,a b c R ∈,则下列选项正确的是 （ ）A.22a b am bm >⇒>B.a ba b c c>⇒> C .11,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b>>⇒<9、已知x y xy +=，则y x +的取值范围是（ ）A ．]1,0(B ．),2[+∞C ．]4,0(D ．),4[+∞10、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-<-<+0011234x y y x y x 表示的平面区域内的整点的个数是（ ）A ．8个B ．5个C ．4个D ．2个第二部分（非选择题 共100分）二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）11、已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值 _____________ 12、当x 取值范围是_____________ 时，函数122-+=x x y 的值大于零 13、在等比数列}{n a 中，08,204321=+=+a a a a ，则=10S14、不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是三、解答题（共六个题，前两题每题10分，后面每题15分，共80分）15、在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。

模块综合试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2－b 2>0 B ．ac >bc C ．ac 2>bc 2 D ．2a >2b考点 不等式的性质 题点 不等式的性质 答案 D解析 A 中，当a ＝0，b ＝－1时，a 2－b 2＝0－1＝－1<0，所以A 错误；B 中，当c ＝0时，ac ＝bc ＝0，所以B 错；C 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，C 错；D 中，因为y ＝2x 为增函数，所以当a >b 时，2a >2b 成立．2．在△ABC 中，A <B <C ，且C ≠π2，则下列结论中正确的是( )A ．tan A <tan CB ．tan A >tanC C ．sin A <sin CD ．cos A <cos C 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 C解析 由大边对大角及A <B <C ，可得a <c ，由正弦定理得，2R sin A <2R sin C ，所以sin A <sin C . 3．已知a >b >0，c >d >0，则( ) A.c a >d bB ．ac >bdC ．a －c >b －d D.b c >a d考点 不等式的性质 题点 不等式的性质 答案 B4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 的值为( ) A.23B ．－23C.14D ．－14考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 D解析 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，∴a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，设a ＝3k ，则b ＝2k ，c ＝4k ，k >0， ∴cos C ＝(3k )2＋(2k )2－(4k )22·(3k )·(2k )＝－14.5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 3＋a 92，Q ＝a 5·a 7，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P <Q C ．P ＝QD ．无法确定考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小 答案 A解析 由题设知a n >0，q >0且q ≠1，所以a 3≠a 9，a 3>0，a 9>0，P ＝a 3＋a 92>a 3·a 9，因为a 3·a 9＝a 5·a 7，所以P >Q .6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．3 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 由约束条件可得可行域(如图阴影部分所示)，对于目标函数z ＝3x －2y ，可化为y ＝32x －12z ，要使z 取最小值，可知过A 点时取得．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即A (0,2)， ∴z min ＝3×0－2×2＝－4.7．等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 211，则数列{a n }的前n 项和S n取最大值时的项数n 是( ) A ．5 B ．6 C ．5或6 D ．6或7 考点 等差数列前n 项和最值 题点 求等差数列前n 项和的最值 答案 C解析 由题设可知a 1＝－a 11，所以a 1＋a 11＝0，所以a 6＝0.因为d <0，故a 5>0，a 7<0，所以n ＝5或6.8.如图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB (含边界)，若C ⎝⎛⎭⎫23，45是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－103，－512B.⎝⎛⎭⎫－125，－310 C.⎝⎛⎭⎫310，125D.⎝⎛⎭⎫－125，310 考点 线性目标最优解 题点 线性规划的理解 答案 B解析 利用目标函数的斜率a 与最优点为C ，依线性规划知识知－125<a <－310.9．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D.5考点 面积与周长的最值或取值范围问题 题点 面积的最值或取值范围 答案 B解析 由a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，故(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，又根据正弦定理，得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，化简得b 2＋c 2－a 2＝bc ，故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°，又b 2＋c 2－bc ＝4≥bc ，故S △BAC ＝12bc sin A ≤3(当且仅当b ＝c 时，取等号)．10．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <25考点 判断三角形形状题点 已知三角形形状求边的取值范围 答案 D解析 由于△ABC 为锐角三角形，故有⎩⎪⎨⎪⎧22＋42>x 2，22＋x 2>42，解得23<x <2 5.11．若在等差数列{a n }中，d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 31＝50，那么a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42的值为( )A ．60B ．－82C ．182D ．－96 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 B解析 a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42＝a 1＋d ＋a 4＋2d ＋a 7＋3d ＋…＋a 31＋11d ＝(a 1＋a 4＋…＋a 31)＋(d ＋2d ＋3d ＋…＋11d ) ＝50＋11×122d ＝50＋66d ＝－82.12．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知不等式x 2＋bx －b －34>0的解集为R ，则b 的取值范围是________．考点 一元二次不等式的应用 题点 已知解集求参数的取值范围 答案 (－3，－1)解析 由题意知b 2－4⎝⎛⎭⎫－b －34<0，即b 2＋4b ＋3<0，所以－3<b <－1. 14．在等差数列{a n }中，若a 1－a 4－a 8－a 12＋a 15＝2，则S 15＝________. 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 －30解析 因为a 4＋a 12＝a 1＋a 15＝2a 8，所以a 8＝－2.所以S 15＝a 1＋a 152×15＝a 8×15＝－2×15＝－30.15．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为________． 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角 答案3解析 ∵S △ABC ＝2＝12bc sin A ＝12bc ×223，∴bc ＝3.①又∵sin A ＝223，A 为锐角，∴cos A ＝13，∴4＝b 2＋c 2－2bc ·13.②由①②可得b ＝ 3.16．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 答案 4解析 a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，前一个等号成立的条件是a 2＝2b 2，后一个等号成立的条件是ab ＝12，两个等号可以同时成立，当且仅当a 2＝22，b 2＝24时取等号．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A ，求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合 解 (1)由题意知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A ，从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝3，因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c ，及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＝a 2＋c 2，所以△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，所以sin C ＝cos A ＝13.18．(12分)某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名学生，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的车费均为40元．若使每个同学游8次，则购买几张游泳卡最合算？每人最少交多少钱？ 考点 基本不等式的实际应用 题点 基本不等式的实际应用解 设购买x 张游泳卡，则游泳活动总支出为y ＝48×8x ×40＋240x ，即y ＝240⎝⎛⎭⎫64x ＋x (x ∈N ＋)． 所以y ＝240⎝⎛⎭⎫64x ＋x ≥240×264x·x ＝3 840， 当且仅当64x ＝x ，即x ＝8时，最合算，每人最少交钱3 84048＝80(元)．即购买8张游泳卡最合算，每人最少交80元．19．(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.考点 等差等比数列综合应用 题点 等差等比基本量问题综合解 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N ＋)． (2)由b 1＝1，T 3＝21，得q 2＋q －20＝0， 解得q ＝－5，q ＝4，当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21， 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.20．(12分)已知△ABC 的外接圆半径为1，且角A ，B ，C 成等差数列，若角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，求a 2＋c 2的取值范围． 考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角函数的综合解 由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°，A ＋C ＝120°.设A ＝60°＋α，得C ＝60°－α.由0°<A <120°，0°<C <120°，得－60°<α<60°. 由正弦定理，得a ＝2R sin A ＝2sin A ，c ＝2R sin C ＝2sin C . 所以a 2＋c 2＝4(sin 2A ＋sin 2C )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 2＋1－cos 2C 2 ＝4－2(cos 2A ＋cos 2C )＝4－2[cos(120°＋2α)＋cos(120°－2α)] ＝4＋2cos 2α.因为－60°<α<60°，所以－120°<2α<120°.所以－12<cos 2α≤1.所以a 2＋c 2∈(3,6]．21．(12分)若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围. 考点 “三个二次”的对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 解 原不等式可化为(4－a )x 2－4x ＋1<0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a >0，即a <4，故0<a <4， 解得不等式有2－a 4－a <x <2＋a4－a ，即2－a(2＋a )(2－a )<x <2＋a (2＋a )(2－a )，所以12＋a <x <12－a ，又因为14<12＋a <12，要使该不等式的解集中的整数恰有3个， 那么3<12－a<4，解得259<a <4916.22．(12分)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播放甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？ 考点 生活实际中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用 解 (1)由已知x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧ 70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ∈N ，y ∈N .该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中阴影部分内的整点(包括边界)：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一组平行直线．z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大． 又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)，所以，电视台每周播放甲连续剧6次，乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．。

模块综合测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( )A.8B.10C.12D.14解析:因为S 3=3a 1+3×(3-1)2d=3×2+3×22d=12,所以d=2.所以a 6=a 1+(6-1)d=2+5×2=12.故选C . 答案:C 2.在△ABC 中,若B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为( )A.5√2B.5√3C.2√5D.3√5解析:依题意,知三角形的最大边为b.由于A=30°,根据正弦定理,得b sinB =a sinA ,所以b=asinB sinA =5sin135°sin30°=5√2. 答案:A3.在△ABC 中,若AB=√5,AC=5,且cos C=910,则BC 为( )A.4B.5C.4或5D.3解析:设BC=x ,由余弦定理得,5=x 2+25-2×5·x ·910,即x 2-9x+20=0,解得x=4或x=5. 答案:C4.已知数列{a n }满足a n+1-a n =2n (n ∈N +),a 1=3,则a n n 的最小值为( )A.0B.2√3-1C.52D.3解析:a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2(n-1)+2(n-2)+…+2×1+3=n 2-n+3,所以a n n =n-1+3n ≥52,当且仅当n=2时取等号.故选C .答案:C5.若在△ABC 中,sin B ·sin C=cos 2A 2,则△ABC 的形状为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形解析:由sin B ·sin C=cos 2A 2可得2sin B ·sin C=2cos 2A 2=1+cos A ,即2sin B ·sin C=1-cos(B+C )=1-cos B cos C+sin B sin C ,所以sin B sin C+cos B cos C=1,即cos(B-C )=1,又-π<B-C<π.所以B-C=0,即B=C.答案:C6.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d=2,S k+2-S k =24,则k=( )A.8B.7C.6D.5解析:因为S k+2-S k =24,所以a k+1+a k+2=24,所以a 1+kd+a 1+(k+1)d=24,所以2a 1+(2k+1)d=24.又因为a 1=1,d=2,所以k=5.答案:D7.已知a ,b ,c ,d 成等比数列,且曲线y=x 2-2x+3的顶点是(b ,c ),则ad 等于( )A.3B.2C.1D.-2解析:因为y=x 2-2x+3的顶点为(1,2),所以b=1,c=2.又因为a ,b ,c ,d 成等比数列,所以a=12,d=4,所以ad=2.答案:B8.(2017天津高考)设变量x ,y 满足约束条件{2x +y ≥0,x +2y -2≥0,x ≤0,y ≤3,则目标函数z=x+y 的最大值为 () A.23 B.1 C.32 D.3解析:由约束条件可得可行域如图阴影部分所示.目标函数z=x+y 可化为y=-x+z.作直线l 0:y=-x ,平行移动直线y=-x ,当直线过点A (0,3)时,z 取得最大值,最大值为3.故选D . 答案:D9.若不等式2x 2+2mx+m4x 2+6x+3<1对一切实数x 均成立,则实数m 的取值范围是( )A.(1,3)B.(-∞,3)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,+∞)解析:因为4x 2+6x+3=(2x +32)2+34>0,。

【最新整理，下载后即可编辑】模块综合测试(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果a ＜0，b ＞0，那么，下列不等式中正确的是( ) A.1a ＜1bB.－a ＜bC ．a 2＜b 2D ．|a |＞|b |解析： 如果a ＜0，b ＞0，那么1a ＜0，1b＞0，∴1a ＜1b.答案： A2．已知两个正数a ，b 的等差中项为4，则a ，b 的等比中项的最大值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析： ab ≤a ＋b2＝4，故选B.答案： B3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝( )A. 6B ．2C. 3D. 2解析： 由正弦定理，得6sin 120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝2，故选D. 答案： D4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＝12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 9的值为( )A ．48B ．54C ．60D ．66解析： 因为a 4＋a 6＝a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝2a 5＝12， 所以S 9＝a 1＋…＋a 9＝54. 答案： B5．不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．－14D ．14解析： 不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，13，即方程ax 2＋bx ＋2＝0的解为x ＝－12或13，故⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a，－12×13＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14. 答案： C6．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 2解析： 由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，sinB ＝2sin A ，∴b a ＝sin Bsin A＝2.答案： D7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于( )A.1514B.1213C.1316D.1516解析： 因为a 23＝a 1·a 9，所以(a 1＋2d )2＝a 1·(a 1＋8d )．所以a 1＝d .所以a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316.答案： C8．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，若b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前5项和等于( )A ．1 B.56 C.16D.130解析： ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列． 又∵a 1＝1，a 2＝2，∴a n ＝n . 又b n ＝1a n ·a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15－16＝1－16＝56，故选B.答案： B9．实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则k ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，13B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，13 C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，＋∞D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，1 解析：作平面区域如图所示，k ＝y －1x ＋1表示点(x ，y )与点(－1,1)连线的斜率，故选D.答案： D10．等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2B.13(2n－1)C ．4n－1D.13(4n－1) 解析： 由已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1， 所以a 1＝S 1＝1，a 2＝S 2－a 1＝2，所以公比q ＝2.又因为a 2n ＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a n ＋1a n 2＝q 2＝4， 所以数列{a 2n }是以q 2＝4为公比的等比数列，所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝13(4n－1)．答案： D11．已知x ，y ∈R ＋，2x ＋y ＝2，c ＝xy ，那么c 的最大值为( ) A ．1 B.12 C.22D.14解析： 由已知，2＝2x ＋y ≥22xy ＝22c ，所以c ≤12.答案： B12．在△ABC 中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，则△ABC 的面积是( )A.154B.1543C.2143D.3543解析：由题可知a＝b＋2，b＝c＋2，∴a＝c＋4.∵sin A＝32，∴A＝120°.又cos A＝cos 120°＝b2＋c2－a22bc＝c＋22＋c2－c＋422c c＋2＝c2－4c－122c c＋2＝－12，整理得c2－c－6＝0，∴c＝3(c＝－2舍去)，从而b＝5，∴S△ABC＝12bc sin A＝1543.故选B.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．若⎩⎨⎧0≤x≤1，0≤y≤2，2y－x≥1，则z＝2y－2x＋4的最小值为________．解析：作出可行域，如图所示，当直线z ＝2y －2x ＋4过可行域上点B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最小，又点B 坐标为(1,1)，所以z min ＝2×1－2×1＋4＝4. 答案： 414．在等比数列{a n }中，若a 9·a 11＝4，则数列log 12a n 前19项之和为________．解析： 由题意a n ＞0，且a 1·a 19＝a 2·a 18＝…＝a 9·a 11＝a 210， 又a 9·a 11＝4，所以a 10＝2，故a 1a 2…a 19＝(a 10)19＝219. 故log 12a 1＋log 12a 2＋…＋log 12a 19＝log 12(a 1a 2…a 19)＝log 12219＝－19.答案： －1915．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.解析： ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ·1·cos 23π，∴a 2＋a －2＝0， ∴(a ＋2)(a －1)＝0 ∴a ＝1答案： 116．设关于x的不等式ax＋b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式ax＋bx2－5x－6＞0的解集为________．解析：由题意得：a＞0且－ba＝1.又原不等式可变为(x－6)(x＋1)(ax＋b)＞0，故由右图可知{x|－1＜x＜1或x＞6}．答案：{x|－1＜x＜1或x＞6}三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－2x＞2x2－x－2＞0.解析：⎩⎪⎨⎪⎧x－2x＞2x2－x－2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x－2－2xx＞0x2－x－2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋2＜0x －2x ＋1＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜0x ＞2或x ＜－1⇒－2＜x ＜－1.∴不等式组的解集为{x |－2＜x ＜－1}．18．(本小题满分12分)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求a 2a 1的值；(2)若a 5＝9，求a n 及S n 的表达式． 解析： (1)设等差数列{a n }的公差是d . ∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22＝S 1S 4，即(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，化简得d 2＝2a 1d ，注意到d ≠0，∴d ＝2a 1.∴a 2a 1＝a 1＋d a 1＝3a 1a 1＝3.(2)a 5＝a 1＋4d ＝9a 1＝9，∴a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，S n ＝n a 1＋a n2＝n 2.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13；a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解析： (1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，将上式代入(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，∵B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入上式得，13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.20．(本小题满分12分)设集合A 、B 分别是函数y ＝1x 2＋2x －8与函数y ＝lg(6＋x －x 2)的定义域，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}．若A ∩B ⊆C ，求实数a 的取值范围．解析： 由x 2＋2x －8＞0，得x ＜－4或x ＞2，所以A ＝{x |x ＜－4或x ＞2}；由6＋x －x 2＞0，即x 2－x －6＜0，得－2＜x ＜3， 所以B ＝{x |－2＜x ＜3}． 于是A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}．由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(x －a )(x －3a )＜0， 当a ＞0时，C ＝{x |a ＜x ＜3a }， 由A ∩B ⊆C ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤23a ≥3，所以1≤a ≤2；当a ＝0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0即为x 2＜0，解集为空集，此时不满足A ∩B ⊆C ； 当a ＜0时，C ＝{x |3a ＜x ＜a }， 由A ∩B ⊆C ，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2a ≥3，此不等式组无解．综上，满足题设条件的实数a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}． 21．(本小题满分12分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金(百元) 月资金供空调机洗衣机应量(百元)成本3020300劳动力(工资)510110单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？解析：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x，y台，总利润是z，则z＝6x＋8y由题意有⎩⎪⎨⎪⎧30x＋20y≤300，5x＋10y≤110，x≥0，y≥0，x，y均为整数．由图知直线y＝－34x＋18z过M(4,9)时，纵截距最大．这时z 也取最大值z max＝6×4＋8×9＝96(百元)．故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9 600元．22．(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－a n ，n ＝1,2,3，….(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式；(3)设c n ＝n (3－b n )，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜8. 解析： (1)∵n ＝1时，a 1＋S 1＝a 1＋a 1＝2， ∴a 1＝1.∵S n ＝2－a n ，即a n ＋S n ＝2， ∴a n ＋1＋S n ＋1＝2.两式相减：a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0. 即a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝0 故有2a n ＋1＝a n ，∵a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12(n ∈N ＋)，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1.(2)∵b n ＋1＝b n ＋a n (n ＝1,2,3，…)，∴b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1.得b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝12，b 4－b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122， …b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －2(n ＝2,3，…)．将这n －1个等式相加，得b n －b 1＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －11－12＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －2.又∵b 1＝1，∴b n ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －2(n ＝1,2,3…)．(3)证明：∵c n ＝n (3－b n )＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1.∴T n ＝ 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋…＋n －1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －2＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1.①而12T n ＝ 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋…＋n －1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n .②①－②得1 2T n＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎪⎫120＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫121＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫12n－1－2×n×⎝⎛⎭⎪⎪⎫12n.T n＝4×1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫12n1－12－4×n×⎝⎛⎭⎪⎪⎫12n＝8－82n－4×n×⎝⎛⎭⎪⎪⎫12n＝8－8＋4n2n(n＝1,2,3，…)．∴T n＜8.。