北京35中0910年下学期高一数学开学考试

北京八一中学2009—2010年第二学期高一数学期末试卷考试时间；90分钟 分数：100分一、选择题（每小题4分，共32分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在该大题后面的表格内.） 1．左图是一个正四棱锥，它的俯视图是2. 两平行直线210x y --=和240x y -+=间的距离为A. 5B. 3C. 5D.3553. 已知m ，n 为两条不同的直线，,,αβγ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是 A. 若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥ B. 若βα//,m α⊥，n β⊥，则n m // C. 若m α⊥，m n ⊥，则α//n D. 若m αγ⋂=，n βγ⋂=，n m //则βα// 4．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 A.3324R π B. 338R π C. 3524R π D. 358R π 5. 已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于 A ．2 B.1 C.0 D.1-6. 已知圆221:2880C x y x y +++-=,圆222:4410C x y x y +---=，经判断这两个圆的位置关系是A ．相交 B. 外切 C. 相离 D. 内切7.将直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转30，所得直线与圆 3)2(22=+-y x 的位置关系是A ．直线与圆相离 B. 直线与圆相交但不过圆心 C. 直线与圆相切 D. 直线过圆心8.在正四面体ABC P -中，F E 、、D 分别是CA BC AB 、、的中点，下面四个结论中不．成立．．的是 A.PDF //平面BC B.PAE DF 平面⊥ C.ABC PDF 面面⊥ D.ABC PAE 面面⊥ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案二、填空题：（本大题共6小题,每小题4分,共24分.将答案填在题中横线上） 9．经过两点A(-3,5),B(1,1 )的直线倾斜角为________.10．平行于直线210x y -+=且与圆225x y +=相切的直线方程是___________. 11．半径为r 的球的内接正方体体积为________. 12. 下列各命题：①若直线l α⊄，则l 不可能与α内无数条直线相交。

正（主）视侧（左）视俯视图2009—2010北京三十五中高三数学综合测试一（理）一、选择题 1、复数21i i+等于（A ）1i -+（B ）1i +（C ）i 22+-（D ）22i +2、设全集U R =，A =(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中阴 影部分表示的集合为A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤3、“ 212k παπ=+()k Z ∈ ”是“1sin 22α=”的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4、直线20x y m -+=与圆225x y +=交于A 、B ，O 为坐标原点，若OB OA ⊥，则m的值为 （A ）5±（B ）52± （C ）52±（D ）522±5、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且⎰+=310)21(dx x S ，2017,S =则30S 为( )A.30B. 25C. 20D. 15 6、用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型， 其三视图如图，则此立体模型的表面积为 （A ）24 （B ）23 （C ）22（D ）217、对任意非零实数a 、b ,若a b ⊗的运算原理如图所示，则221log 163-⎛⎫⊗ ⎪⎝⎭ 的值为 ( )A.23 B.1 C.54D.2 8、已知关于x 的函数2()21f x ax bx =--，（其中常数a 、b R ∈），满足6000a b a b +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩，则函数()y f x =在区间[)2,+∞上是增函数的概率是（ ）A. 14B. 13C. 12D. 23二、填空题 9．圆的参数方程2cos 12sin x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩=+=（θ为参数）化成普通方程为 ．10．在ABC ∆中，若120A ∠=︒，5AB =，7BC =，则=AC ． 11．设向量()3,2=-a ，()1,2=b ，若λ+a b 与a 垂直，则实数λ= ． 12．如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点， 割线PCD 经过圆心，已知6PA =，173AB =，12PO =，则⊙O 的半径为 ． 13．已知()(2)2(1)log (1)a a x a x f x xx ⎧⎪⎨⎪⎩+-<=≥是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ．14．已知数列{}n a 满足11a =，1231111231n n a a a a a n -=++++-()2,n n N *∈≥，则2010a = ．三、解答题15、已知函数2211()sin 2(sin cos )22f x x x x =+-⑴ 求函数()f x 的最小正周期;⑵ 在锐角ABC 中,若1()2f A =，3B π∠=，2BC =，求AC 的长.BCA D EP16、设不等式组222x y -⎧⎨⎩≤≤≤≤0确定的平面区域为U ，20200x y x y y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-++-≥≤≥确定的平面区域为V ．⑴ 定义坐标为整数的点为“整点”．在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 的概率；⑵ 在区域U 内任取3个点，记此3个点在区域V 的个数为X ，求X 的概率分布列及其数学期望．17、如图：PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AB //CD ，90ADC ∠=，222PD CD AD AB ====，,PE EC 2=． ⑴ 求证：PA //平面BDE ； ⑵ 求证：平面BDP ⊥平面PBC ； ⑶ 求二面角B PC D --的余弦值．18、已知函数()2,0ax f x x e a -=>其中． ⑴ 求()x f 的单调区间； ⑵ 求()x f 在[]2,1上的最大值．19. 设)0(1),(),,(22222211>>=+b a bx a y y x B y x A 是椭圆上的两点，已知向量11(,)x y m b a =，22(,)x yn b a=,若0m n =⋅且椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，O 为坐标原点.(Ⅰ) 求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB 过椭圆的焦点()0,F c ，（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.20.已知数列}{n a 满足：).(221,1*111N n na a a n n n ∈+==++ （I ）已知数列}{n a 的通项公式； （II ）证明：;1211≤≤-n n a（III ）设.21)1ln(,4222n n n n n T T K a n n n T ++=⋅+-=且证明：.22n n n K T T <+2009—2010北京三十五中高三数学综合测试一（理）解答一、选择题1. B2.B3.A4.D5.B6. C7. D8.二、9．()4122=+-y x ， 10．３， 11．13， 12．8， 13．[)+∞,2， 14．1005．17．解：（Ⅰ）由题意，区域Ｕ内共有15个整点，区域Ｖ内共有9个整点，设所取3个整点中恰有2个整点在区域Ｖ的概率为()V P ，则()4552163151629=⋅=C C C V P ． 6分 （Ⅱ）区域U 的面积为8，区域V 的面积为4， ∴在区域U 内任取一点，该点在区域V 内的概率为2184=． 8分 X 的取值为0，1，2，3． 9分()81212103003=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛==C X P ，()83212112113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，()83212121223=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，()81212130333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ． 11分()23813832831810=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ． 13分 解：法一：证明：建立如图所示的坐标系，（Ⅰ）(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)A B C ,(0,0,0),(0,0,2)D P ……………………………1分24(0,,)33E 14(1,,)33BE =--，(1,1,0)DB =，(1,0,2)PA =-设PA xBE yDB =+，可得3122PA BE DB =--因为PA ⊄平面BDE ，所以PA //平面BDE ．……3分 （Ⅱ）因为(1,1,0),(1,1,0)BC DB =-=，所以0BC DB =BD BC ⊥ 因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD BC ⊥所以 BC ⊥平面PBD ，所以 平面BDP ⊥平面PBC ． …………8分 （Ⅲ）因为,AD DC AD PD ⊥⊥所以DA 是平面PDC 的法向量，(1,0,0)DA =，设平面PBC 的法向量为)1,,(y x n =→， 由0,0=⋅=⋅→→→→PC n BC n 得：)1,1,1(=→n ，设二面角B PCD --为θ， 则cos DA nDA nθ→→⋅===• 所以二面角B PC D -- ……14分 18．解：（Ⅰ）()()()x ax e e a x xe x f ax ax ax 2222+-=-+='--- 2分 令()0>'x f ，∵0>-ax e 3分∴022>+-x ax ，解得ax 20<<． 4分 ∴()x f 在()0,∞-和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a 内是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0内是增函数． 6分（Ⅱ）①当120<<a，即2>a 时，()x f 在()2,1内是减函数． ∴在[]2,1上()()a e f x f -==1max ； 8分 ②当221≤≤a ，即21≤≤a 时，()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,1内是增函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2a 内是减函数．∴在[]2,1上()22max 42--=⎪⎭⎫⎝⎛=e a a f x f ； 10分③当22>a，即10<<a 时，()x f 在()2,1是增函数． ∴在[]2,1上()()a e f x f 2max 42-==． 12分 综上所述，当10<<a 时，()x f 在[]2,1上的最大值为a e 24-；当21≤≤a 时，()x f 在[]2,1上的最大值为224--e a ；当2>a 时，()x f 在[]2,1上的最大值为a e -． 13分19.解：（Ⅰ）2 2.1,2,c 2c b b e a a a =====⇒==椭圆的方程为1422=+x y ………………………………3分 （Ⅱ）由题意，设AB 的方程为3+=kx y2222121222(4)10.................4 141,. .................5 44y kx k x y x x x x x k k ⎧=⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩--+==++分分由已知0=⋅得：1212121222212121(43(1)() .................6 444x x y y x x kx kx b a k x x x x +=+=++++分22413()0,444k k k +=-+==+解得7分(Ⅲ) （1）当直线AB 斜率不存在时，即1212,x x y y ==-,由0=⋅22221111044y x y x -=⇒=………………………………8分又 11(,)A x y 在椭圆上，所以2,22144112121==⇒=+y x x x 11211112122s x y y x y =-== 所以三角形的面积为定值. ……………………………………9分（2）当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为y=kx+b42042)4(1422122222+-=+=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k kb x x b kbx x k x y bkx y 得到 442221+-=k b x x ……………………………………10分:04))((0421212121代入整理得=+++⇔=+b kx b kx x x y y x x 2224b k -= ………………………………………12分21|||24b S AB b k ===+1||242==b b 所以三角形的面积为定值. 20.解：（I ）由条件可得.2211n a a n n n n +⋅=⋅++…………2分令,,21n b b a b n n n nn =-=+则有∴)()(1121--++-+=n n n b b b b b b)]1(21[1-+++=n b,2)1(2.22,1,2)1(1111-+=∴==∴=∴-+=n n b a b a n n b n 即.)21()4(,22)1(212+⋅+-=∴+-=⋅n n n nn n a n n a …………4分（II ）先证：.211-≥n n a由于,442≥+-n n;21)21(4)21()4(1112-++=⋅≥⋅+-=∴n n n n n n a…………5分再证：.1≤n a,8224)4(24)1()1(22221+-++=+-++-+=+n n n n n n n n a a n n而,147)23(43)4()822(2222>+-=+-=++-+-n n n n n n n}{,11n nn a a a ∴<∴+为递减数列。

2019年北京三十五中新高一新生入学分班考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20分）1.如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB=90°，C为AB⏜上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E.若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为()A. 10πB. 9πC. 8πD. 6π2.下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是()A. B. C. D.3.图(1)是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是()A. abB. (a+b)2C. (a−b)2D. a2−b24.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1.给出下列结论：①ac<0；②b2−4ac>0；③2a−b=0；④a−b+c=0．其中，正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2−(m−1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.如图，在△ABC中，AB=BC=√3，∠BAC=30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为()A. 6√3B. 9C. 6D. 3√37.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(−2,6)和(7,0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为(),2)A. (32B. (2,2),2)C. (114D. (4,2)8.如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为()A. B.C. D.9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(−3,0)与(1,0)两点，关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根，其中一个根是3.则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0<n<m)有两个整数根，这两个整数根是()A. −2或0B. −4或2C. −5或3D. −6或410.如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG=GE，AF=3，BF=2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为()A. √55B. 2√55C. 4√55D. 4√33二、填空题（本大题共12小题，共24分）11.以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、…、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为(5,0°)、(4,300°)，则点C的坐标表示为______．11题图12题图12.在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：(1)∠PAQ的大小为______°；(2)当四边形APCD是平行四边形时，ABQR的值为______．13. 如图，一次函数y =x +k(k >0)的图象与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B.与反比例函数y =kx的图象在第一象限内交于点C ，CD ⊥x 轴，CE ⊥y 轴．垂足分别为点D ，E.当矩形ODCE 与△OAB 的面积相等时，k 的值为______．13题图 14题图14. 各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形，它的面积S 可用公式S =a +12b −1(a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数)计算，这个公式称为“皮克(Pick)定理”.如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S =______．15. 火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊(简称摆摊)三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是______．16. 如图，矩形ABCD 中，AB =5，AD =12，点P 在对角线BD 上，且BP =BA ，连接AP 并延长，交DC 的延长线于点Q ，连接BQ ，则BQ 的长为______．16题图 17题图17. 如图，在菱形ABCD 中，AB =6，∠B =60°，点E 在边AD 上，且AE =2.若直线l 经过点E ，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F ，则线段EF 的长为______．18.如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，若以lcm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为______．19题图20题图19.如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交BC⏜于点D，点E为半径OB上一动点．若OB=2，则阴影部分周长的最小值为______．20.如图，在边长为2√2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为______．21题图22题图21.如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA=EB，则∠DOE的度数是______度．22.A，B两地相距240km，甲货车从A地以40km/ℎ的速度匀速前往B地，到达B地后停止．在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．两车之间的路程y(km)与甲货车出发时间x(ℎ)之间的函数关系如图中的折线CD−DE−EF所示．其中点C的坐标是(0,240)，点D 的坐标是(2.4,0)，则点E的坐标是______．三、解答题（本大题共8小题，共56分）23.欧拉(Euler,1707年～1783年)为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V(Vertex)、棱数E(Edge)、面数F(Flat surface)之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．(1)观察下列多面体，并把下表补充完整：(2)分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：______．24.在平面直角坐标系中，已知点A(1,2)，B(2,3)，C(2,1)，直线y=x+m经过点A，抛物线y=ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．(1)判断点B是否在直线y=x+m上，并说明理由；(2)求a，b的值；(3)平移抛物线y=ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y=x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．25.如图，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=k的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．x(1)求反比例函数的表达式；(2)将一次函数y=x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y=k图象的交点坐x 标；(3)直接写出一个一次函数，使其过点(0,5)，且与反比例函数y=k的图象没有公共点．x26.第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：(1)请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；(2)学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？27.如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD+CD．(1)过点A作AE//DC交BD于点E，求证：AE=BE；(2)如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD′．①求证：BD′//CD；②若AD′//BC，求证：CD2=2OD⋅BD．28.小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D是BC⏜上一动点，线段BC=8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF//BD，交DA的延长线于点F.当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：(1)根据点D在BC⏜上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．BD/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.07.08.0CD/cm8.07.77.2 6.6 5.9a 3.9 2.40FD/cm8.07.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.78.0操作中发现：①“当点D为BC⏜的中点时，BD=5.0cm”.则上表中a的值是______；②“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由．(2)将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值(结果保留一位小数)．29. 在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是中线，AC =BC ，一个以点D 为顶点的45°角绕点D 旋转，使角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AC 交于点M ，DE 与BC 交于点N ．(1)如图1，若CE =CF ，求证：DE =DF ；(2)如图2，在∠EDF 绕点D 旋转的过程中，试证明CD 2=CE ⋅CF 恒成立； (3)若CD =2，CF =√2，求DN 的长．30.问题提出(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是______．问题探究(2)如图2，AB是半圆O的直径，AB=8.P是AB⏜上一点，且PB⏜=2PA⏜，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决(3)如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB=70m，点C在⊙O上，且CA=CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x(m)，阴影部分的面积为y(m2).①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP=30m时．室内活动区(四边形PEDF)的面积．答案和解析1.【答案】A【解析】解：连接OC，∵∠AOB=90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD//OE，∴∠DEO=∠CDE=36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB=∠DEO=36°∴图中阴影部分的面积=扇形OBC的面积，∵S扇形OBC =36⋅π×102360=10π∴图中阴影部分的面积=10π，故选：A．连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB=∠DEO=∠CDE=36°，图中阴影部分的面积=扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形OBC的面积等于阴影的面积是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确．D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误；故选：C．根据平行投影得特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断．本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．3.【答案】C【解析】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a +b −2b =a −b ，则面积是(a −b)2．故选：C ．中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．4.【答案】C【解析】解：抛物线开口向下，a <0，对称轴为x =−b 2a =1，因此b >0，与y 轴交于正半轴，因此c >0，于是有：ac <0，因此①正确；由x =−b 2a =1，得2a +b =0，因此③不正确，抛物线与x 轴有两个不同交点，因此b 2−4ac >0，②正确，由对称轴x =1，抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)，对称性可知另一个交点为(−1,0)，因此a −b +c =0，故④正确，综上所述，正确的结论有①②④，故选：C ．根据抛物线的开口方向、对称轴、与x 轴、y 轴的交点，综合进行判断即可．本题考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的图象与系数的关系是正确判断的前提． 5.【答案】D【解析】解：∵y =x 2−(m −1)x +m =(x −m−12)2+m −(m−1)24， ∴该抛物线顶点坐标是(m−12,m −(m−1)24)，∴将其沿y 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是(m−12,m −(m−1)24−3)， ∵m >1，∴m −1>0，∴m−12>0，∵m −(m−1)24−3=4m−(m 2−2m+1)−124=−(m−3)2−44=−(m−3)24−1<0， ∴点(m−12,m −(m−1)24−3)在第四象限；故选：D．根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：连接BD交AC于O，∵AD=CD，AB=BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO=CO，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC=30°，∵AC=AD=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC=∠DCA=60°，∴∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=∠CDB=30°，∵AB=BC=√3，∴AD=CD=√3AB=3，×3×√3=3√3，∴四边形ABCD的面积=2×12故选：D．连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO=CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠BAC=30°，根据等边三角形的性质得到∠DAC=∠DCA=60°，求得AD=CD=√3AB=3，于是得到结论．本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，∵顶点A，B的坐标分别为(−2,6)和(7,0)，∴AC=6，OC=2，OB=7，∴BC=9，∵四边形OCDE是正方形，∴DE=OC=OE=2，∴O′E′=O′C′=2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′=∠BCA=90°，∴E′O′//AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴E′O′AC =BO′BC，∴26=BO′9，∴BO′=3，∴OC′=7−2−3=2，∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为(2,2)，故选：B．根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE= 2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论．本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：如图1所示：当0<x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GH=√32EJ=√32x，∴y=12EJ⋅GH=√34x2．当x=2时，y=√3，且抛物线的开口向上．如图2所示：2<x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．y=12FJ⋅GH=√34(4−x)2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．分为0<x≤2、2<x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(−3,0)与(1,0)两点，∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为−3和1，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根，其中一个根是3．∴方程ax2+bx+c+m=0(m>0)的另一个根为−5，函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，∵关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0<n<m)有两个整数根，∴这两个整数根是−4或2，故选：B．根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n= 0(0<n<m)的两个整数根，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．10.【答案】B【解析】解：∵DG=GE，∴S△ADG=S△AEG=2，∴S△ADE=4，由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，∴S△ABD=S△ADE=4，∠BFD=90°，∴12⋅(AF+DF)⋅BF=4，∴12⋅(3+DF)⋅2=4，∴DF=1，∴DB=√BF2+DF2=√12+22=√5，设点F到BD的距离为h，则有12⋅BD⋅ℎ=12⋅BF⋅DF，∴ℎ=2√55，故选：B．首先求出△ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据12⋅BD⋅ℎ=12⋅BF⋅DF，求出BD即可解决问题．本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．11.【答案】(3,240°)【解析】解：如图所示：点C的坐标表示为(3,240°)．故答案为：(3,240°)．直接利用横纵坐标的意义进而表示出点C的坐标．此题主要考查了坐标确定位置，正确理解横纵坐标的意义是解题关键．12.【答案】30 √3【解析】解：(1)由折叠的性质可得：∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，∵∠QRA+∠QRP=180°，∴∠D+∠C=180°，∴AD//BC，∴∠B+∠DAB=180°，∵∠DQR+∠CQR=180°，∴∠DQA+∠CQP=90°，∴∠AQP=90°，∴∠B=∠AQP=90°，∴∠DAB=90°，∴∠DAQ=∠QAP=∠PAB=30°，故答案为：30；(2)由折叠的性质可得：AD=AR，CP=PR，∵四边形APCD是平行四边形，∴AD=PC，∴AR=PR，又∵∠AQP=90°，AP，∴QR=12∵∠PAB=30°，∠B=90°，∴AP=2PB，AB=√3PB，∴PB=QR，=√3，∴ABQR故答案为：√3．(1)由折叠的性质可得∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C=180°，∠AQP=90°，可证AD//BC，由平行线的性质可得∠DAB=90°，即可求解；(2)由平行四边形和折叠的性质可得AR=PR，由直角三角形的性质可得AP=2PB=2QR，AB=√3PB，即可求解．本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．13.【答案】2【解析】解：一次函数y=x+k(k>0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x=0，则y=k，令y=0，则x=−k，故点A 、B 的坐标分别为(−k,0)、(0,k)，则△OAB 的面积=12OA ⋅OB =12k 2，而矩形ODCE 的面积为k ，则12k 2=k ，解得：k =0(舍去)或2，故答案为2．分别求出矩形ODCE 与△OAB 的面积，即可求解．本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，计算矩形ODCE 与△OAB 的面积是解题的关键． 14.【答案】6【解析】解：∵a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积， ∴a =4，b =6，∴该五边形的面积S =4+12×6−1=6，故答案为：6．分别统计出多边形内部的格点数a 和边界上的格点数b ，再代入公式S =a +12b −1，即可得出格点多边形的面积．本题考查格点多边形面积的计算，解题的关键是根据图形正确统计出a ，b 的值． 15.【答案】1：8【解析】解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a ，5a ，2a ，设7月份总的增加营业额为5x ，摆摊增加的营业额为2x ，7月份总营业额20b ，摆摊7月份的营业额为7b ，堂食7月份的营业额为8b ，外卖7月份的营业额为5b ，由题意可得：{7b −2a =2x 20b −10a =5x， 解得：{a =x 6b =x 3， ∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比=(5b −5a)：20b =1：8，故答案为：1：8．设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a ，5a ，2a ，设7月份总的增加营业额为5x ，摆摊增加的营业额为2x ，7月份总营业额20b ，摆摊7月份的营业额为7b ，堂食7月份的营业额为8b ，外卖7月份的营业额为5b ，由题意列出方程组，可求a ，b 的值，即可求解．本题考查了三元一次方程组的应用，理解题意，找到正确的等量关系是本题的关键．16.【答案】3√17【解析】解：∵矩形ABCD中，AB=5，AD=12，∠BAD=∠BCD=90°，∴BD=√AB2+AD2=13，∵BP=BA=5，∴PD=BD−BP=8，∵BA=BP，∴∠BAP=∠BPA=∠DPQ，∵AB//CD，∴∠BAP=∠DQP，∴∠DPQ=∠DQP，∴DQ=DP=8，∴CQ=DQ−CD=DQ−AB=8−5=3，∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得BQ=√BC2+CQ2=√153=3√17．故答案为：3√17．根据矩形的性质可得BD=13，再根据BP=BA可得DQ=DP=8，所以得CQ=3，在Rt△BCQ中，根据勾股定理即可得BQ的长．本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．17.【答案】2√7【解析】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH=AE=2，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，∴BG=3，AG=3√3=EH，∴HC=BC−BG−GH=6−3−2=1，∵EF平分菱形面积，∴FC=AE=2，∴FH=FC−HC=2−1=1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得EF=√EH2+FH2=√27+1=2√7．故答案为：2√7．过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，可得BG=3，AG=3√3=EH，由题意可得，FH=FC−HC=2−1=1，进而根据勾股定理可得EF的长．本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．18.【答案】3cm或5cm【解析】解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，∴⊙O与直线a相切时，切点为H，∴OH=1cm，当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：OP=PH−OH=4−1=3(cm)；当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：OP=PH+OH=4+1=5(cm)；∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，故答案为：3cm或5cm．当点O在点H的左侧⊙O与直线a相切时，OP=PH−OH；当点O在点H的右侧⊙O与直线a相切时，OP=PH+OH，即可得出结果．本题考查了切线的性质以及分类讨论；熟练掌握切线的性质是解题的关键．19.【答案】6√2+π3【解析】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C=CD′，由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，∴∠COD′=90°，∴CD′=√OC2+OD′2=√22+22=2√2，CD⏜的长l=30π×2180=π3，∴阴影部分周长的最小值为2√2+π3=6√2+π3．故答案为：6√2+π3．利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．20.【答案】1【解析】解：设DF，CE交于O，∵四边形ABCDA是正方形，∴∠B=∠DCF=90°，BC=CD=AB，∵点E，F分别是边AB，BC的中点，∴BE=CF，∴△CBE≌△DCF(SAS)，∴CE=DF，∠BCE=∠CDF，∵∠CDF+∠CFD=90°，∴∠BCE+∠CFD=90°，∴∠COF=90°，∴DF⊥CE，∴CE =DF =√(2√2)2+(√2)2=√10， ∵点G ，H 分别是EC ，FD 的中点， ∴CG =FH =√102， ∵∠DCF =90°，CO ⊥DF ， ∴CF 2=OF ⋅DF ， ∴OF =CF 2DF=√2)2√10=√105， ∴OH =3√1010，OD =4√105， ∵OC 2=OF ⋅OD ， ∴OC =√√105×4√105=2√105， ∴OG =CG −OC =√102−2√105=√1010， ∴HG =√OG 2+OH 2=√110+910=1，故答案为：1．设DF ，CE 交于O ，根据正方形的性质得到∠B =∠DCF =90°，BC =CD =AB ，根据线段中点的定义得到BE =CF ，根据全等三角形的性质得到CE =DF ，∠BCE =∠CDF ，求得DF ⊥CE ，根据勾股定理得到CE =DF =√(2√2)2+(√2)2=√10，点G ，H 分别是EC ，FD 的中点，根据射影定理即可得到结论． 本题考查了射影定理，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．21.【答案】120【解析】解：连接OA ，OB ， ∵△ABC 是⊙O 的内接正三角形， ∴∠AOB =120°， ∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =30°， ∵∠CAB =60°， ∴∠OAD =30°， ∴∠OAD =∠OBE ， ∵AD =BE ，∴△OAD≌△OBE(SAS)，∴∠DOA=∠BOE，∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOB=∠AOE+∠BOD=120°，故答案为：120．连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA=30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA=∠BOE，于是得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．22.【答案】(4,160)【解析】解：根据题意可得，乙货车的速度为：240÷2.4−40=60(40km/ℎ)，∴乙货车从B地到A地所用时间为：240÷60=4(小时)，当乙货车到底A地时，甲货车行驶的路程为：40×4=160(千米)，∴点E的坐标是(4,160)．故答案为：(4,160)．根据点C与点D的坐标即可得出乙货车的速度，进而得出乙货车从B地到A地所用时间，据此即可得出点E的坐标．本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，掌握路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型．23.【答案】6 9 12 6 V+F−E=2【解析】解：(1)填表如下：(2)∵4+4−6=2， 6+5−9=2， 8+6−12=2， 6+8−12=2， …，∴V +F −E =2．即V 、E 、F 之间的关系式为：V +F −E =2． 故答案为：6，9，12，6，V +F −E =2．(1)根据图形数出顶点数，棱数，面数，填入表格即可； (2)根据表格数据，顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答．本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键．24.【答案】解：(1)点B 是在直线y =x +m 上，理由如下：∵直线y =x +m 经过点A(1,2)， ∴2=1+m ，解得m =1， ∴直线为y =x +1，把x =2代入y =x +1得y =3， ∴点B(2,3)在直线y =x +m 上；(2)∵直线y =x +1与抛物线y =ax 2+bx +1都经过点(0,1)，且B 、C 两点的横坐标相同， ∴抛物线只能经过A 、C 两点，把A(1,2)，C(2,1)代入y =ax 2+bx +1得{a +b +1=24a +2b +1=1，解得a =−1，b =2；(3)由(2)知，抛物线为y =−x 2+2x +1，设平移后的抛物线为y =−x +px +q ，其顶点坐标为(p 2,p 24+q)，∵顶点仍在直线y =x +1上， ∴p 24+q =p2+1，∴q =p 24−p2−1，∵抛物线y =−x +px +q 与y 轴的交点的纵坐标为q ， ∴q =p 24−p 2−1=−14(p −1)2+54，∴当p =1时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值为54．【解析】(1)根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B(2,3)在直线y =x +m 上；(2)因为直线经过A 、B 和点(0,1)，所以经过点(0,1)的抛物线不同时经过A 、B 点，即可判断抛物线只能经过A 、C 两点，根据待定系数法即可求得a 、b ； (3)设平移后的抛物线为y =−x +px +q ，其顶点坐标为(p 2,p 24+q)，根据题意得出p 24+q =p2+1，由抛物线y =−x +px +q 与y 轴交点的纵坐标为q ，即可得出q =p 24−p 2−1=−14(p −1)2+54，从而得出q的最大值．本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．25.【答案】解：(1)将x =2代入y =x +1=3，故其中交点的坐标为(2,3)，将(2,3)代入反比例函数表达式并解得：k =2×3=6， 故反比例函数表达式为：y =6x ①；(2)一次函数y =x +1的图象向下平移2个单位得到y =x −1②， 联立①②并解得：{x =−2y =−3或{x =3y =2，故交点坐标为(−2,−3)或(3,2)；(3)设一次函数的表达式为：y =kx +5③， 联立①③并整理得：kx 2+5x −6−0，∵两个函数没有公共点，故△=25+24k <0，解得：k <−2524， 故可以取k =−2(答案不唯一)，故一次函数表达式为：y =−2x +5(答案不唯一)．【解析】(1)将x =2代入y =x +1=3，故其中交点的坐标为(2,3)，将(2,3)代入反比例函数表达式，即可求解；(2)一次函数y =x +1的图象向下平移2个单位得到y =x −1②，联立①②即可求解；(3)设一次函数的表达式为：y =kx +5③，联立①③并整理得：kx 2+5x −6−0，则△=25+24k <0，解得：k <−2524，即可求解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．26.【答案】解：(1)设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了(100−x)支，根据题意，得：6x+10(100−x)=1300−378，解得x=19.5，因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；(2)设笔记本的单价为a元，根据题意，得：6x+10(100−x)+a=1300−378，整理，得：x=14a+392，因为0<a<10，x随a的增大而增大，所以19.5<x<22，∵x取整数，∴x=20，21．当x=20时，a=4×20−78=2；当a=21时，a=4×21−78=6，所以笔记本的单价可能是2元或6元．【解析】(1)设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了(100−x)支，根据总共的费用为(1300−378)元列方程解答即可；(2)设笔记本的单价为a元，根据总共的费用为(1300−378)元列方程解求出方程的解，再根据a的取值范围以及一次函数的性质求出x的值，再把x的值代入方程的解即可求出a的值．本题考查了一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的运用，理清题意，找出相应的等量关系是解答本题的关键．27.【答案】(1)证明：∵AE//DC，∴∠CDO=∠AEO，∠EAO=∠DCO，又∵OA=OC，∴△AOE≌△COD(AAS)，∴CD=AE，OD=OE，∵OB=OE+BE，OB=OD+CD，∴BE=CD，∴AE=BE；(2)①证明：如图1，过点A作AE//DC交BD于点E，由(1)可知△AOE≌△COD，AE=BE，∴∠ABE=∠AEB，∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD′，∴∠ABD′=∠ABD，∴∠ABD′=∠BAE，∴BD′//AE，又∵AE//CD∴BD′//CD．②证明：如图2，过点A作AE//DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，∵AD′//BC，BD′//AE，∴四边形AD′BF为平行四边形．∴∠D′=∠AFB，∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD′．∴∠D′=∠ADB，∴∠AFB=∠ADB，又∵∠AED=∠BEF，∴△AED∽△BEF，∴AEDE =BEEF，∵AE=CD，∴CDDE =BEEF，∵EF//CD，∴△BEF∽△BDC，∴BEEF =BDDC，∴CDDE =BDCD，∴CD2=DE⋅BD，∵△AOE≌△COD，∴OD=OE，∴DE=2OD，∴CD2=2OD⋅BD．【解析】(1)证明△AOE≌△COD(AAS)，由全等三角形的性质得出CD=AE，OD=OE，则可得出结论；(2)①过点A作AE//DC交BD于点E，由(1)得出∠ABE=∠AEB，由折叠的性质可得出∠ABD′=∠BAE，则BD′//AE，可得出结论；②过点A作AE//DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，证明△AED∽△BEF，得出AEDE =BEEF，证明△BEF∽△BDC，由相似三角形的性质得出BEEF =BDDC，根据AE=CD，DE=2OD可得出结论．本题是相似形综合题，考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．28.【答案】5【解析】解：(1)∵点D为BC⏜的中点，∴BD⏜=CD⏜，∴BD=CD=a=5cm，故答案为：5；(2)∵点A是线段BC的中点，∴AB=AC，∵CF//BD，∴∠F=∠BDA，又∵∠BAD=∠CAF，。

2024届北京市西城35中数学高一下期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知扇形的面积为210cm ，半径为4cm ，则扇形的圆心角的弧度数为 A ．54B ．32C ．34D ．122．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a c b -<-B ．22ac bc >C ．11a b< D ．1b a< 3．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移π8个单位，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．3π4B ．π4C ．π3D ．π64．已知(4-2),b (cos ,sin )a ，αα==且a b ⊥，则33sin cos sin cos αααα+-为（ ） A ．2B ．95C ．3D ．355．如图所示，PA 垂直于以AB 为直径的圆O 所在的平面，C 为圆上异于A B ，的任一点，则下列关系中不正确的是（ ）A ．PA BC ⊥B ．BC ⊥平面PAC C ．AC PB ⊥D ．PC BC ⊥6．函数的图象可由函数的图象（ ）A ．向左平移个单位长度得到B ．向左平移个单位长度得到C ．向右平移个单位长度得到D ．向右平移个单位长度得到7．若0a b <<，则下列不等式不成立的是（ ） A ．11a b> B ．2ab b < C ．222a b ab +> D ．22a b <8．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+9．函数()32cos4f x x =-的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．510．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ） A ．7B ．10C ．13D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京第三十五中学2024-2023学年高一数学文下学期期末试卷含解析专业课理论基础部分一、选择题（每题1分，共5分）1.设A是集合P的所有子集构成的集合，则A是集合A. P的子集B. P的真子集C. P的元素D. P的幂集2.若函数f(x)的定义域是R，则函数f(x)的值域是3.已知a=log_2(3)，则3^a等于4.若向量a和向量b满足|a+b|=|a|+|b|，则向量a和向量b的关系是D. 夹角为90度5.已知函数f(x)=x^3-3x，则f’(x)等于A. x^2-3B. x^2+3C. 3x^2-3D. 3x^2+3二、判断题（每题1分，共5分）1.任意两个集合的交集的元素一定属于这两个集合的任意一个。

（对/错）2.若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f’(x)在区间[a, b]上非负。

（对/错）3.任何两个实数的和都是实数。

（对/错）4.若矩阵A的行列式为0，则A一定是不可逆矩阵。

（对/错）5.函数y=sin(x)的周期是π。

（对/错）三、填空题（每题1分，共5分）1.集合{1, 2, 3, 4, 5}的子集个数是______。

2.若函数f(x)=x^2，则f’(x)等于______。

3.若向量a=(2, 3)，向量b=(1, -1)，则向量a和向量b的点积等于______。

4.函数f(x)=e^x的导数是______。

5.若矩阵A=[[a, b],[c, d]]则矩阵A的行列式是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1.简述集合的交集、并集、补集的定义及其运算规律。

2.求函数f(x)=x^3-3x的导数。

3.设向量a=(2, 3)，向量b=(1, -1)，求向量a和向量b的点积、模长及夹角。

4.解释什么是矩阵，什么是矩阵的行列式，并列举出矩阵的几个基本性质。

5.求解方程组：五、计算题（每题2分，共10分）1.计算积分：∫(from 0 to π) sin(x)dx。

2009-2010学年度第二学期期末考试高一数学试卷I 卷（32分）一、选择题（本题包括8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个选项符合题意）1、下列图形中不一定是平面图形的是（ ）（A ）三角形 （B ）四边相等的四边形 （C ）梯形 （D ）平行四边形2、一个球的表面积是π16，那么这个球的体积为（ ）（A ）π316 （B ）π332 （C ）π16 （D ）π243、已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且567=S ，则=4a （ ）（A ）7 （B ）8 （C ）14 （D ）3564、下列四个函数中，最小值等于2的函数是（ ） （A ）y ＝x ＋x1 （B ）y ＝4522++x x （C ）y ＝log x 10＋lgx （D ）y ＝2x ＋2－x5、已知直线12:210,:(21)10l x ay l a x ay +-=---=与平行，则a 的值是（ ）（A ）0或1 （B ）1或14 （C ）0或14 （D ）146、设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）（A ）若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ （B ）若//,//l ααβ，则l β⊂（C ）若,//l ααβ⊥，则l β⊥ （D ）若//,l ααβ⊥，则l β⊥7、 △ABC 三个顶点坐标为A(0，0)、B(5，0)、C(4，34)，则的值为( )A ．79B ．69C ．5D ．-5 8、若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈ ⎥⎦⎤⎝⎛21,0恒成立，则a 的最小值是 （ ） A ．0 B. –2 C.-52 D.-3II 卷（68分）二、填空题（本题共7小题，每题4分，共28分）9、在空间直角坐标系O xyz -中，设点M 是点(2,3,5)N -关于坐标平面xoy 的对称点，则线段MN 的长度等于10、数列{}n a 的前ｎ项的和n n n +=23S ，则此数列的通项公式n a =11、对于任何实数x ，不等式0)2(2>+--k x k kx 都成立，则k 的取值范围12、已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B=13、已知圆032:221=--+x y x C ，圆0324:222=++-+y x y x C ，则它们的位置关系为________ 14、在坐标平面上，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤020,3y y x x 所表示的平面区域的面积为：15、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， M 是C 1 C 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是A 1B 1上的任意点，则直线BM 与OP 所成的角为 .三、解答题：（本题共5小题，共40分）16、（6分）某村计划建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室。

卜人入州八九几市潮王学校HY二零二零—二零二壹高一下学期开学考试数学试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕，，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D.与没有公一共元素【答案】B【解析】【分析】判断两个集合的元素的特征，即可推出结果．【详解】5，，，所以．应选：B．【点睛】此题考察集合的相等的条件的应用，集合的运算的关系，考察计算才能.，那么满足的的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．【详解】函数，的图象如图：满足，可得：或者，解得．应选：D．【点睛】此题考察分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考察计算才能．，那么是()A.奇函数，且在〔0,1〕上是增函数B.奇函数，且在〔0,1〕上是减函数C.偶函数，且在〔0,1〕上是增函数D.偶函数，且在〔0,1〕上是减函数【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得，又，所以函数的奇函数，由，令，又由，那么，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，应选A.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】此题主要考察了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的断定、函数的单调性的断定与应用、复合函数的单调性的断定等知识点的综合考察，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，以及推理与运算才能，此题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于根底题.4.，在单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线的长度分别，那么它们的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，AT>MP>OM，即c>a>b.5.，，假设与的夹角为钝角，那么的取值范围为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】可求出，根据与的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出的范围即可．【详解】；的夹角为钝角；，且不平行；；解得，且；的取值范围为：．应选：B．【点睛】考察向量坐标的数量积运算，向量数量积的计算公式，向量平行时的坐标关系．，那么在上的零点的个数为〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】试题分析：由以下列图可得在上的零点的个数为，应选C.考点：函数的零点.y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：〔1〕由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；〔2〕由函数的单调性，判断图象的变化趋势；〔3〕由函数的奇偶性，判断图象的对称性；〔4〕由函数的周期性，判断图象的循环往复．8.是定义域为的奇函数,满足.假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考察求值问题，常利用奇偶性及周期性进展变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．，，，，假设且，那么四边形的面积为A.15 B.16 C.17 D.18【答案】B【解析】【分析】可求出，，根据且即可建立关于x，y的方程组，解出x，y，从而可求出的值，进而得出四边形ABCD的面积．【详解】，，；，且；；解得；，或者；．应选：B．【点睛】考察向量坐标的加法和数量积的运算，向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件．，，，那么的值等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由,那么,又，,解得,应选B.考点：1、同角三角函数之间的关系；2、特殊角的三角函数.的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到，且，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律得到函数g(x)的解析式，再由正弦函数的图象的特征即函数的值域，正弦函数图像的整体性，得出结论．【详解】依题意得g(x)=sin2+2=sin+2,假设g(x1)·g(x2)=9,那么g(x1)=g(x2)=3,那么g〔x1〕=g〔x2〕=3，所以sin=sin=1.因为x1,x2∈[-2π,2π],所以2x1+,2x2+,设2x1++2kπ,2x2++2nπ,k,n∈Z,那么当2x1+=-,2x2+时,|x1-x2|获得最大值3π.应选：C．【点睛】此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，属于中档题．在进展函数伸缩平移时把两个函数化为同名函数是解题的关键；函数图像平移满足左加右减的原那么，这一原那么只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进展加减.12.如图，在中，设，的中点为的中点为的中点恰为，那么等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的三角形法那么以及向量中点关系，结合向量的根本定理可表示出．【详解】由题意可得，，，应选：C．【点睛】此题考察平面向量根本定理，表示出是解决问题的关键，属中档题.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕的定义域为______．【答案】或者，【解析】【分析】由，切化弦得，即或者，然后解出答案．【详解】因为所以等价于或者所以或者，故答案为：或者，．【点睛】此题考察三角函数的定义域及其求法，考察象限角与轴线角的三角函数值的符号，是根底题．14.，向量，，假设，那么角的值是______．【答案】【解析】【分析】根据平面向量的数量积与三角恒等变换，即可求出C的值．【详解】向量，，那么，又，所以，即，所以；又，所以，所以，解得．故答案为：．【点睛】此题考察了平面向量的数量积与三角恒等变换的应用问题，是根底题．15.是定义在内的偶函数，且在上是增函数，设，，，那么的小关系是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得在上为减函数，进而可得，，，据此分析可得答案．【详解】根据题意，是定义在内的偶函数，且在上是增函数，那么在上为减函数，那么，，，且有，那么有；故答案为：．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的性质，属于根底题．16.给定一组函数解析式：；；；：；；及如下列图的一组函数图象，请按照图象顺序将7个函数解析式依次排序______．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义域，奇偶性和单调性分别进展判断即可．【详解】：的定义域为，当时，对应第6个图象；是偶函数，图象关于y轴对称，当时为增函数，且当时，对应第4个图象；的定义域为，在上为减函数，对应第3个图象；的定义域为是偶函数，在上为减函数，对应第2个图象：的定义域为，在上是增函数，且当时，，对应第7个图象；的定义域为是奇函数，在是减函数，对应第1个图象；是奇函数的应用为R，那么上是增函数，对应第5个图象故7个函数解析式依次排序，故答案为：【点睛】此题主要考察幂函数图象的判断，结合函数的定义域奇偶性，单调性分别进展判断是解决此题的关键．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共分〕，集合，，假设，务实数的取值集合．【答案】或者.【解析】【分析】对集合M进展讨论，然后根据条件，即可务实数a的取值范围．【详解】当，即，时，，满足条件，当，即时，或者，假设，那么或者，即或者，此时，综上：a的取值范围是或者【点睛】此题主要考察集合关系的应用，比较根底要注意对集合M进展分类讨论．且．当时，函数恒有意义，务实数的取值范围；是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？假设存在，试求出的值；假设不存在，请说明理由．【答案】〔1〕设是减函数，又时，有意义且的取值范围是〔2〕假设存在实数,满足题设条件，在区间上单调递减函数，且是减函数，由即但这样的实数不存在【解析】试题分析：〔1〕根据对数函数的定义，可知且，时，显然符合，时，由别离参数得，右边函数在上单调递减，故，故；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，根据复合函数单调性可知，由〔1〕知，由的最大值为，与不符，故不存在.试题解析：〔1〕当时，由函数恒有定义知恒成立，即，∴，又且，∴实数的取值范围为；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，那么函数在区间上为减函数，且是减函数，∴，又在上恒为正，那么，故，由的最大值为，与不符，故不存在符合题设条件的实数．考点：对数函数定义域与单调性.19.如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.求的值；判断的值是否为一个常数，并说明理由．【答案】14；是.【解析】【分析】法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；法二：由题意可以以BC所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；设E点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可.【详解】法1：由可得，，,的值是一个常数为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，，故：解法2：以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为y轴建立直角坐标系，可求，此时，，设E点坐标为，，常数．【点睛】此题考察向量在几何中的应用，此题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量.图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象．求函数的解析式；当时，方程有唯一实数根，求的取值范围．【答案】；，．【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式．由题意可得当时，函数的图象和直线只有一个交点，数形结合可得m的范围．【详解】将的图象向左平移个单位长度得到的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图象．，，，当时，方程有唯一实数根，函数的图象和直线只有一个交点，如下列图：故方程有唯一实数根的m的取值范围为，．【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，正弦函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．，其图象与轴相邻的两个交点的间隔为．求函数的解析式；2假设将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当获得最小值时，在上的单调递增区间．【答案】〔1〕；〔2〕，【解析】【分析】利用两角差的正弦公式、二倍角及辅助角公式将化简，根据正弦函数性质，求得的值，求得的解析式；2利用三角恒等变换规律，求得m的值，求得的解析式，根据正弦函数图象及性质求得函数在上的单调区间．【详解】，，，，由函数的周期，，，，2将的图象向左平移个长度单位，，函数经过，，即，，，，，当，m取最小值，此时最小值为，，令，那么，当，即时，函数单调递增，当，即时，单调递增；在上的单调递增区间，【点睛】此题考察三角恒等变换公式，正弦函数图象及性质，三角函数图象变换规律，考察转化思想，属于中档题．=)且=.(1)求的值.(2)假设函数=有零点,务实数的取值范围.(3)当时,恒成立,务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕.【解析】试题分析：〔1〕由函数的解析式以及，求得的值；〔2〕由题意可得，函数的图象和直线有交点，那么有，即可求得的取值范围；〔3〕由题意可得当恒成立，令，那么，且，利用单调性求得，从而求得实数的取值范围.试题解析：(1)对于函数=,由,∴.(2)==.假设函数===有零点,那么函数的图象和直线有交点,∴,∴.(3)∵当恒成立,即恒成立,令,那么,且==,∵=在上单调递减,∴=,∴.点睛：此题主要考察了指数函数的性质以及换元法的运用.解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解，不等式的性质的应用，解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题.。

北京35中09-10年下学期高一数学开学考试2010.2.25一、选择题：（每小题4分，共20分）1.下列各式中，值为23的是 . A.0015cos 15sin 2 B.020215cos 15sin -C.0215sin 21-D.020215cos 15sin +2.设集合{}=≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=B A x x B x x A 则,1|,221|2 . A. {}21|<≤-x x B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-x x 21| C. {}2|<x x D. {}21|<≤x x3.若=-==)tan(,2tan ,3tan βαβα则 .A.-3B.3C.71- D. 714.若向量=⋅-⋅==b a a b a ，则且夹角为60,1, . A. 23-B. 23-C. 21- D. 21 5.要得到函数103lg +=x y 的图像，只要把函数x y lg =的图像上所有的点 . A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度二、填空题：（每小题5分，共70分）6. 计算=-+1log 864log 325log 2725 .7.已知向量==-=x b a x b a那么且向量,//),5,(),2,4( . 8.已知向量=⋅-=-=b a a b a 2||),4,3(),2,1(则 .9.函数1)(2--=x ax x f 仅有一个零点，则实数a 的取值范围 .10.奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，在[]6,3上的最大值是8，最小值是1-，则)3()6(2-+-f f 等于 .11.求值=+ 15sin 315cos .12.函数1111)(22+++-++=x x x x x f 的奇偶性是 . 13.函数[]4,3,11)(∈-=x x x f 的最小值是 . 14.若关于x 的不等式{}R x m x x t x x ∈<<<+-,1|032的解集为.则=+m t .15.函数），在（1215)1()(2+--=x a x x f 上是增函数，则）（2f 的取值范围是 .16.a k a b a 432,1-+⊥==与且也互相垂直，则=k .17. []a x x x f ，在区间312)(2-++-=上是增函数，a 的取值范围是 .18.函数132)(++=x x x f 的单调区间是 . 19.若函数)(x f 为奇函数，且在[]∞+，0上是增函数，0)3(=-f ，则不等式0)(<x xf 的解集为 .三、解答题：20.（10分）已知函数).(122)(R a a x f x ∈+-= （Ⅰ）判断)(x f 在定义域上的单调性；(Ⅱ)要使0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围北京35中09-10年下学期高一数学开学考试参考答案一、选择题1.C2.A3.D4.D5.C二、填空题6.227.-108.09. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==410|a a a 或 10.-15 11.212.奇函数 13. 31 14.4 15. [)∞+∈,7)2(f 16.6 17. (]1,3- 18.)1,(--∞和),1(∞+- 19.{}033|≠<<-x x x 且 三解答题20.解：（Ⅰ）在R x ∈上任取1x 、2x ，且21x x <,所以012>-=∆x x x)12)(12()22(2)122()122(21121212++-=+--+-=-=∆x x x x x x a a y y y 因为x y 2=为增函数，所以1222x x >，即02212>-x x . 02,0221>>x x012,01221>+>+∴x x,0)12)(12()22(2211212>++-=-=∆∴x x x x y y y 所以.)(在定义域上为增函数x f(Ⅱ)212201121011202<+<<+<>+∴>x x x x 要使0)(≥x f 恒成立，即0122≥+-x a 恒成立， 也就是对于任意实数均有122+≥x a 恒成立， 所以 2>a .。

北京35中09-10年下学期高一数学开学考试2010.2.25一、选择题：（每小题4分，共20分）1.下列各式中，值为23的是 . A.0015cos 15sin 2 B.020215cos 15sin -C.0215sin 21-D.020215cos 15sin +2.设集合{}=≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=B A x x B x x A 则,1|,221|2 . A. {}21|<≤-x x B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-x x 21| C. {}2|<x x D. {}21|<≤x x3.若=-==)tan(,2tan ,3tan βαβα则 .A.-3B.3C.71- D. 714.若向量=⋅-⋅==b a a b a ，则且夹角为60,1, . A. 23-B. 23-C. 21- D. 21 5.要得到函数103lg +=x y 的图像，只要把函数x y lg =的图像上所有的点 . A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度二、填空题：（每小题5分，共70分）6. 计算=-+1log 864log 325log 2725 .7.已知向量==-=x b a x b a那么且向量,//),5,(),2,4( . 8.已知向量=⋅-=-=b a a b a 2||),4,3(),2,1(则 .9.函数1)(2--=x ax x f 仅有一个零点，则实数a 的取值范围 .10.奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，在[]6,3上的最大值是8，最小值是1-，则)3()6(2-+-f f 等于 .11.求值=+ 15sin 315cos .12.函数1111)(22+++-++=x x x x x f 的奇偶性是 . 13.函数[]4,3,11)(∈-=x x x f 的最小值是 . 14.若关于x 的不等式{}R x m x x t x x ∈<<<+-,1|032的解集为.则=+m t .15.函数），在（1215)1()(2+--=x a x x f 上是增函数，则）（2f 的取值范围是 .16.a k a b a 432,1-+⊥==与且也互相垂直，则=k .17. []a x x x f ，在区间312)(2-++-=上是增函数，a 的取值范围是 .18.函数132)(++=x x x f 的单调区间是 . 19.若函数)(x f 为奇函数，且在[]∞+，0上是增函数，0)3(=-f ，则不等式0)(<x xf 的解集为 .三、解答题：20.（10分）已知函数).(122)(R a a x f x ∈+-= （Ⅰ）判断)(x f 在定义域上的单调性；(Ⅱ)要使0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围北京35中09-10年下学期高一数学开学考试参考答案一、选择题1.C2.A3.D4.D5.C二、填空题6.227.-108.09. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==410|a a a 或 10.-15 11.212.奇函数 13. 31 14.4 15. [)∞+∈,7)2(f 16.6 17. (]1,3- 18.)1,(--∞和),1(∞+- 19.{}033|≠<<-x x x 且 三解答题20.解：（Ⅰ）在R x ∈上任取1x 、2x ，且21x x <,所以012>-=∆x x x)12)(12()22(2)122()122(21121212++-=+--+-=-=∆x x x x x x a a y y y 因为x y 2=为增函数，所以1222x x >，即02212>-x x . 02,0221>>x x012,01221>+>+∴x x,0)12)(12()22(2211212>++-=-=∆∴x x x x y y y 所以.)(在定义域上为增函数x f(Ⅱ)212201121011202<+<<+<>+∴>x x x x 要使0)(≥x f 恒成立，即0122≥+-x a 恒成立， 也就是对于任意实数均有122+≥x a 恒成立， 所以 2>a .。

2021-2022学年北京第三十五中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（）A． B．C． D．参考答案：D略2. 不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥a2﹣4a的解集为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．（﹣∞，1）∪（3，+∞）C．[1，3] D．（1，3）参考答案：C【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|，通过对x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得f（x）min=﹣3，依题意，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|，当x＜﹣1时，f（x）=﹣1﹣x﹣（﹣x+2）=﹣3；当﹣1≤x≤2时，f（x）=1+x﹣（﹣x+2）=2x﹣1∈[﹣3，3]；当x＞2时，f（x）=x+1﹣（x﹣2）=3；∴f（x）min=﹣3．∵不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥a2﹣4a的解集为R，∴a2﹣4a≤f（x）min=﹣3，即实数a的取值范围是[1，3]．故选C．3. 已知＜θ＜，sinθ+cosθ=，则sinθ﹣cosθ=（）A．B．﹣C．D．﹣参考答案：A【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系可得sinθ和cosθ的值，从而求得sinθ﹣cosθ的值．【解答】解：∵＜θ＜，sinθ+cosθ=，sin2θ+cos2θ=1，sinθ＞cosθ，∴sinθ=，cosθ=，则sinθ﹣cosθ=，故选：A．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．4. 化简的结果是（）A．cos160°B．﹣cos160°C．±cos160°D．±|cos160°|参考答案：B【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数值的符号．【分析】确定角的象限，然后确定cos160°的符号，即可得到正确选项．【解答】解：160°是钝角，所以=|cos160°|=﹣cos160°故选B5. 已知函数，当时，y取得最小值b，则等于（）A. －3B. 2C. 3D. 8参考答案：C【分析】配凑成可用基本不等式的形式．计算出最值与取最值时的x值．【详解】当且仅当即时取等号，即【点睛】在使用均值不等式时需注意“一正二定三相等”缺一不可．6. 在△ABC中，已知A=60°，a=，b=，则B等于（）A．45°或135°B．60°C．45°D．135°参考答案：C【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理求出sinB===．从而由0＜B＜π即可得到B=45°或135°，又由a=＞b=，可得B＜A，从而有B，可得B=45°．【解答】解：由正弦定理知：sinB===．∵0＜B＜π∴B=45°或135°又∵a=＞b=，∴B＜A，∴B∴B=45°故选：C．【点评】本题主要考察了正弦定理的应用，属于基本知识的考查．7. 二次函数（），满足，那么（）A．B．C．D、大小关系不确定．参考答案：A略8. 已知函数满足当时，；当时，，则（）A．B． C. D．参考答案：A∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4∴＝f(3＋log23)＝9. 如图阴影部分用二元一次不等式组表示为A．B．C．D．参考答案：Ｂ10. 圆关于直线对称的圆的方程为，则实数a的值为()A. -2B. 1C.D. 2参考答案：D【分析】由两圆对称，得到两圆的圆心中点坐标在直线上，进而可求出结果.【详解】因为圆的圆心坐标为；圆的圆心为，所以，两圆心的中点坐标为，又两圆关于直线对称，所以点在直线上，因此，解得.故选D【点睛】本题主要考查由两圆位置关系求参数的问题，熟记圆的方程即可，属于常考题型. 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列{a n}中，，，，则________参考答案：299【分析】由得数列是等差数列，再求出等差数列的通项公式，再求解.【详解】因为，所以数列是等差数列，因为，，所以公差.所以，所以.故答案为：299【点睛】本题主要考查等差数列的判断和通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12. 在△ABC中，若则△ABC的形状是_________参考答案：钝角三角形略13. 某校高一年级有个学生，高二年级有个学生，高三年级有300个学生，采用分层抽样抽一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取10人，则此学校共有学生人．参考答案：900略14. 设数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则 = ▲ .参考答案：203615. 已知集合且下列三个关系：；；有且只有一个正确，则等于.参考答案：201略16. 已知三个事件A ，B ，C 两两互斥且，则P (A ∪B ∪C )=__________.参考答案：0.9 【分析】 先计算，再计算【详解】故答案为0.9【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算，属于基础题型.17. 将函数的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的，再向右平移个单位，所得图像的解析式为，则函数的解析式为=。

北京第三十五中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，，，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：B考点：比较大小【方法点睛】比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：[KS5UKS5U.KS5U一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．(4)借助第三量比较法2. 已知f（x）=，则f [f（－2）]＝( ).A.-1B. 0C. 2D.参考答案：3. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定参考答案：A 略4. 函数的周期是（）A．B．C．D．参考答案：D略5. 在中，已知，则在中，等于（）A. B. C. D. 以上都不对参考答案：C略6. 等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是()参考答案：C∵Sn＝na1＋d，∴Sn＝n2＋(a1－)n，又a1＞0，公差d＜0，所以点(n，Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧．7. 若集合，，则=-------------（）A. B. C. D.参考答案：C8. 在定义域为（a>0）内，函数均为奇函数、，则为（）A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、无法判断奇偶性参考答案：A9. 已知，，则的值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．或Ｄ．或参考答案：A略10. 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋. 如图：是某港口在某季节每天的时间与水深在直角坐标系中画出的散点图（时间为横坐标,水深为纵坐标）下列函数中，能近似描述这个港口的水深与时间的函数关系的是（）A．B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知角α的终边经过点P（4，﹣3），则2sinα+3cosα=．参考答案：【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得2sinα+3cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P （4，﹣3），∴x=4，y=﹣3，r=|OP|=5，∴sinα==﹣，cosα==，∴2sinα+3cosα=2?（﹣）+3?=，故答案为：．12. 在等比数列{a n}中，已知，则=________________. 参考答案：12813. 利用更相减损之术求1230与411的最大公约数时，第三次做差所得差值为________。

一、单选题1．若集合A ={x |x <-1,或x >3}，B ={x |x -2≥0}，则A ∪B =（ ） A ．{x |x <-1,或x ≥2} B ．{x } C ．{xD ．R-12x <≤23}x ≤<【答案】A【分析】根据并集的定义，即可得出结果.【详解】因为集合A ={x |x <-1,或x >3}，B ={x |x -2≥0}，即B ={x |x ≥2} 所有A ∪B ={x |x <-1,或x ≥2}. 故选：A【点睛】本题考查集合的并集定义，属于基础题. 2．命题：对任意，的否定是 p x R ∈210x +>A ．：存在, B ．：存在, p ⌝0x R ∈0210x +≤p ⌝0x R ∈0210x +>C ．：不存在, D ．：对任意，p ⌝0x R ∈0210x +≤p ⌝x R ∈210x +≤【答案】A【详解】试题分析：所给命题是全称性命题，它的否定是一个存在性命题，即存在，0x R ∈.0210x +≤【解析】全称命题的否定 3．函数的定义域（ ） ()1ln 53y x x =++--A ． B ． ()()2,33,5 [)()2,33,5⋃C ． D ．[)[)2,33,5 [)[]2,33,5 【答案】B【分析】根据函数解析式列出不等式组，即可求得答案. 【详解】函数要有意义， ()1ln 53y x x =+--需满足，解得，且，203050x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩25x ≤<3x ≠故函数定义域为：， [)()2,33,5⋃故选：B4．函数的零点的个数为（ ）()223,0e 2,0x x x xf x x ⎧+-≤=⎨->⎩A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】分别求出和时，的零点个数即可得出答案.0x ≤0x >()f x 【详解】当时，令，0x ≤()2230f x x x =+-=则，解得：（舍去）或， ()()130x x -+=1x =3x =-当时，令，解得：， 0x >e 20x -=ln 2x =所以的零点个数为2. ()f x 故选：C.5．在同一个坐标系中，函数与且的图象可能是（ ）log a y x =(0xy a a =>)1a ≠A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据同底的指数函数和对数函数图象关于对称可确定结果.y x =【详解】由指数函数和对数函数性质可知：与图象关于对称， log a y x =x y a =y x =由选项中图象对称关系可知A 正确. 故选：A.6．如果那么0.31.22122log 2a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,A ． B ． C ． D ．c b a >>c a b >>a b c >>a c b >>【答案】D【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【详解】a=21.2＞2，＜1，23∈（1，2）． 0.31,2b⎛⎫= ⎪⎝⎭2log c =∴a ＞c ＞b ． 故选D ．【点睛】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．设的定义域是，则函数的值域中含有整数的个数为（ ） ()212f x x x =++[]1,4()f x A ．17 B ．18C ．19D ．20【答案】B【分析】根据二次函数的对称轴和定义域求出值域即可得解.【详解】 ()212f x x x =++所以的对称轴为：，()f x 12x =-所以在单调递增，()f x []1,4， ()min 5(1)2f x f ==， ()max 41(4)2f x f ==的值域为，()f x 541,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦则函数的值域中含有整数的个数为18. ()f x 故选：B.8．脉搏血氧仪是根据郎伯比尔定律（Lambert —Beer Law ）采用光电技术进行血氧饱和浓度的测量，而朗伯比尔定律（Lambert -Beerlaw ）是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为，其中A 为吸光1lgA Kbc T==度，T 为透光度，K 为摩尔吸光系数，c 为吸光物质的浓度，单位为，b 为吸收层厚度，单位mol/L 为cm ，保持K ，b 不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的T 变为（ ） A ． B ．C ．D ．2T 2T 12T 10T 【答案】B【分析】根据对数的运算和对数函数的性质即可求解. 【详解】因为，① 1lg A Kbc T=所以，② 21lg(2)A Kb c T =由①②得，21lg21lg T T=所以，22111lg 2lg lg T T T ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以，22T T =故选：B.9．已知函数，则不等式的解集是（ ） 2()3log 2(1)f x x x =--()0f x >A ． B ． (1,4)(,1)(4,)-∞+∞ C ． D ．(0,1)(4,)∞⋃+(0,4)【答案】A【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意，， ()2()3log 210f x x x =-->()22log 13x x >-由解得或 ()2log 213y xy x =⎧⎪⎨=-⎪⎩1110x y =⎧⎨=⎩2242x y =⎧⎨=⎩画出的图象如下图所示， ()22log ,13y x y x ==-由图可知，不等式的解集是. ()0fx >(1,4)故选：A10．已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）()()e e 0x xf x a b ab -=+≠0a b +=()f x A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据可得，由奇偶性定义可知充分性成立；由为奇函数可知0a b +=()f x ()f x ，由此可构造方程求得，知必要性成立，由此可得结论.()()f x f x -=-0a b +=【详解】当时，，，0a b +=()e e x x f x a a -=-()()e e x xf x a a f x -∴-=-=-为奇函数，充分性成立；()f x \当为奇函数时，由得：，()f x ()()f x f x -=-e e e e x x x x a b a b --+=--，即，必要性成立；a b ∴=-0a b +=“”是“为奇函数”的充分必要条件.∴0a b +=()f x 故选：C.二、填空题11．若复数，则__________． 12z i =-z =【分析】由共轭复数概念写出，再求其模长. 12i z =+【详解】由题设，则. 12i z =+z ==12．已知，则_____ ()ln f x x =2(e )f =【答案】2【分析】由，得，由此能求出结果．()ln f x x =()22ln f e e =【详解】， ()ln f x x = ．()22ln 2f e e ∴==故答案为2．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．已知方程组，则________．20240x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩::x y z =【答案】2:3:8--【分析】根据题目中等量关系代入即可求解 【详解】令，2x k =解得，38y kz k =-⎧⎨=-⎩所以.::x y z =2:3:8--故答案为：. 2:3:8--14．函数，给出下列四个结论 ()()1||xf x x x =∈+R ①的值域是； ()f x (1,1)-②任意且，都有；12,x x ∈R 12x x ≠()()12120f x f x x x ->-③任意且，都有；12,(0,)x x ∈+∞12x x ≠()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭④规定，其中，则．()11()(),()()n n f x f x f x f f x +==n *∈N 1011212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中，所有正确结论的序号是______________． 【答案】①②【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可； 【详解】①：当时， ， 0x ≥1()111x f x x x ==-++当时，该函数单调递增，所以有， 0x ≥()()00f x f ≥=当时， 因为， 0x ≥11()111011f x x x -=--=-<++所以，因此当时，； ()10()1f x f x -<⇒<0x ≥()01f x ≤<当时，，此时函数单调递增， 0x <1()111x f x x x==---所以有，()()()00f x f f x <⇒<，所以有， ()1()(1)011f x f x x--=>⇒>--()10f x -<<所以的值域是，故①正确； ()f x (1,1)-②：不妨设，由，12x x >()()()()()()1212121200f x f x f x f x f x f x x x ->⇒->⇒>-所以该函数是实数集上的增函数，由①可知：该函数在时，单调递增，且，0x ≥()01f x ≤<当时，单调递增，且，所以该函数是实数集上的增函数，符合题意，故②正0x <()10f x -<<确；③：当任意且时，12,(0,)x x ∈+∞12x x ≠令，，121,3x x ==()()()()1213135242228f x f x f f +++===，显然，()122223x x f f +⎛⎫== ⎪⎝⎭5283<因此不成立，故③不正确； ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭④：当时， ， 0x ≥()1xf x x=+， 1()()1x f x f x x =+=，()211()()2111xxx f x f f x x x x +===+++，()3221()()412121xxx f x f f x x x x +===+⋅++，()4341()()814141xxx f x f f x x x x +===+⋅++于是有，因此，故④不正确， 1()21n n x f x x -=+1099111112122251412212f ⎛⎫===≠ ⎪+⎝⎭⨯+故答案为：①②【点睛】关键点睛：利用分式型函数的性质是解题的关键.三、双空题15．某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长())01f x x =≤≤为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设，则．请你CP x =AP PF f x +=（）参考这些信息，推知函数的图象的对称轴是______；函数的零点的个数是()f x 49g x f x =-（）（）______．【答案】 2 12x =【分析】从运动的观点看，当点P 从C 点向点B 运动的过程中，在运动到BC 的中点之前，的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，可得函数f （x ）的图象的对称轴；函数PA PF +的零点的个数就是的解的个数．()49g x f x =-（）()94f x =【详解】解：由题意可得函数，从运动的观点看，当点P 从C 点向点B 运动的过()f x AP PF =+程中，在运动到BC 的中点之前，的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大， PA PF +∵当点P 在BC 的中点上时，即三点共线时，即P 在矩形ADFE 的对角线AF 上时，C B P 、、取得最小值；当P 在点B 或点C 时，取得最大值PA PF +PA PF +∴函数的图象的对称轴是； ()f x 12x =，即．故函数的零点的个数就是的解的个()()490g x f x =-=()94f x =()()49g x f x =-()94f x =数．而由题意可得的解有2个，()94f x =故答案为；. 12x =2【点睛】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，考查化归与转化的数学思想，属于中档题．四、解答题16．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体有成绩在和的样本学生中随机抽取2[)40,50[)60,70人，求在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在的概率；[)60,70(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a ，b ，c ，且分别在，，三组[)70,80[)80,90[]90,100中，其中a ，b ，．当数据a ，b ，c 的方差最小时，写出a ，b ，c 的值（结论不要求证明） c ∈N 2s 【答案】(1) 750(2)23(3)79，84，90或79，85，90【分析】（1）根据折线图求出样本中体育成绩大于或等于70分的学生数，从而得到相应的比例，估计出高一全年级中“体育良好”的学生人数； （2）利用列举法求出古典概型的概率；（3）先分析出，再列出方差，由二次函数的对称轴得到当79,90a c ==226101443386s b b =-+或85时，取得最小值.84b =2s 【详解】（1）由折线图，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人， 4026230---=所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生人数大约为人； 30100075040⨯=（2）成绩在有2名学生，设为；有2名学生，设为， [)40,501,2[)60,70,A B 故抽取2名学生的情况有：，共6种情况， ()()()()()()1,2,1,,1,,2,,2,,,A B A B A B 其中恰有1人体育成绩在的情况有：，共4种情况， [)60,70()()()()1,,1,,2,,2,A B A B 故在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在的概率为； [)60,704263P ==（3）甲､乙､丙三人的体育成绩分别为，且分别在，三组中，其中,,a b c [)70,80[)[]80,90,90,100，,a b c ∈N ,要想数据的方差最小，则三个数据的差的绝对值越小越好，故， ,,a b c 2s ,,a b c 79,90a c ==则甲､乙､丙三人的体育成绩平均值为， 799016933b b+++=故方差2222116916916979903333b b b b s ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ()()()222168216910127b b b ⎡⎤=-+-+-⎣⎦()21610144338627b b =-+对称轴为， 101484.512b -=-=故当或85时，取得最小值， 84b =2s 的值为79，84，90或79，85，90.,,a b c 17．已知函数 ()11xf x x-=+(1)直接写出函数的零点和不等式的解集； ()f x ()0f x >(2)直接写出函数的定义域和值域；()f x (3)求证：函数的图象关于点中心对称；()f x ()1,1--(4)用单调性定义证明：函数在区间上是减函数；()f x (),1-∞-(5)设，直接写出它的反函数．()()11g x f x =-+()1g x -【答案】(1)1 {|11}x x -<<(2) {|1}x x ≠-{|1}y y ≠-(3)证明过程见解析 (4)证明过程见解析 (5) ()12(0)g x x x-=≠【分析】（1）根据函数的零点定义和除法不等式解法即可求解；（2）定义域的求法和分离常数法求值域即可求解；（3）根据函数对称性的证明即可求解；（4）根据函数单调性的证明即可求解；（5）根据反函数的求法即可求解. 【详解】（1）令， ()101xf x x-==+解得， 1x =故零点为1， ()f x 由， ()101xf x x-=>+得， (1)(1)0x x -+>所以，11x -<<所以等式的解集为：.()0f x >{|11}x x -<<（2）因为， ()11x f x x-=+所以， 10x +≠所以函数的定义域为.()f x {|1}x x ≠-， ()1112211111x x x f x x x x x --+--+====-+++++所以值域为：.{|1}y y ≠-（3）， ()1(1)1(1)2221(1)21(1)1(1)x x x x x f x f x x x x x x--+----+--++--=+=+==+-++----所以，()1(1)2f x f x -++--=所以函数的图象关于点中心对称.()f x ()1,1--（4）在区间上任意取(),1-∞-12,x x <所以， ()()()122112121212121211(1)1112()()()011(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x x x -+--+-----=-==>++++++所以函数在区间上是减函数.()f x (),1-∞-（5） ()()1(1)221111.1(1)x x g x f x x x x ---=-+=+=+=+-所以， ()12x g x -=所以. ()12(0)g x x x-=≠18．已知函数，．无理数 ()e e 2x x f x --=()e e 2x xg x -+=e 2.71828= (1)求证：为奇函数； ()e e 2x xf x --=(2)计算的值； ()()22g x f x -⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(3)求证：R 不是的单调区间； ()e e 2x xg x -+=(4)求函数的最小值； ()e e 2x xg x -+=(5)指数函数是否可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和的形式，若可以，直接写出你的结e x y =论，若不可以，请说明理由；(6)已知求证：恒大于零．()()()ln 1e =+-∈x F x x x R ()F x 【答案】(1)证明过程见详解(2)1(3)证明过程见详解(4)1(5) e e e e e 22x x x xxy --+-==+(6)证明过程见详解【分析】（1）根据函数的奇偶性证明即可得解；（2）根据指数的运算法则代入计算即可求解；（3）证明函数的奇偶性即可求解；（4）根据基本不等式即可求解；（5）；（6）转为对数计算，并根据对数函数恒为正数，并根据对数函数的单e e e e e 22x x x xxy --+-==+调性即可求解.【详解】（1）因为， ()e e 2x xf x --=所以， ()e e e e ()22x x x xf x f x -----==-=-所以为奇函数. ()e e 2x xf x --=（2）. ()()22g x f x -⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222222e e e e e e 2e e 24122444x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫+-+++-=-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）， ()e e 2x xg x -+=所以， ()e e ()2x xg x g x -+-==所以为偶函数，()g x 所以R 不是的单调区间. ()e e 2x xg x -+=（4）, ()e e 2122x x g x -+=≥==当且仅当，即时成立，e e x x -=0x =所以的最小值为1. ()e e 2x xg x -+=（5）, e e e e e 22x x x xxy --+-==+其中为奇函数， ()e e 2x xf x --=为偶函数. ()e e 2x xg x -+=（6）， ()()()1e 1ln 1e ln 1e ln e ln ln(1)ln10e e x x x xx x F x x +=+-=+-==+>=所以恒大于零.()F x19．已知x 为实数，用表示不超过x 的最大整数．例如，，．若对于[]x []1.21=[]1.22-=-[]11=函数，存在实数且，使得，则称函数是函数．()f x m ∈R m ∉Z ()[]()f m f m =()f x Ω(1)直接写出下列式子的值：；；； []3.5-122⎡⎤⎢⎥⎣⎦()22--⎡⎤⎣⎦[]2log 7(2)分别判断函数，是否是函数；（只需写出结论） ()1f x x x =-()213g x x x =-Ω(3)已知，请写出一个a 的值，使得是函数，并给出证明；()af x x x =+()f x Ω(4)定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()y f x =都成立，那么就把叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周()()f x T f x +=()y f x =期．如果在所有的周期中存在一个最小的正数，就把它叫做的最小正周期．设函数()y f x =()f x 是定义在R 上的周期函数．其最小正周期为T ，若不是函数．求T 的最小值()f x Ω【答案】(1)-4 1 0 2(2)否 是(3)1 证明过程见解析(4)1【分析】（1）根据函数特点和具体数值范围即可求解；（2）根据函数定义即可求解；（3）[]x Ω根据对号函数和函数的特点即可求解；（4）根据周期函数的特点和函数的特点即可求解.Ω[]x 【详解】（1）不超过-3.5的最大整数是-4，故；[]3.5=4--，故， 122 1.414≈122=1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故； ()212=4--()22=0-⎡⎤-⎣⎦，所以.2222log 4log 7log 83=<<=[]2log 72=（2）， ()1f x x x=-，[]01m m ≤-<由题意，0m ≠当且时，容易知道是单调增函数，因此不成立； 0m >m ∉Z ()1f x x x =-()[]()f m f m =当且时，容易知道是单调增函数，因此不成立； 0m <m ∉Z ()1f x x x =-()[]()f m f m =故不是函数. ()1f x x x=-Ω， ()213g x x x =-， 2111103333g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()211(0)00033g g ⎛⎫⎡⎤==-⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以， 1133g g ⎛⎫⎛⎫⎡⎤= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭所以存在实数，使得13m =()[]()g m g m =故是函数. ()213g x x x =-Ω（3）5a =， ()5f x x x=+所以， ()592222f =+=， 555592522222f ⎛⎫=+=+= ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭所以， 55(2)22f f f ⎛⎫⎛⎫⎡⎤== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭即， 5522f f ⎛⎫⎛⎫⎡⎤= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭所以存在实数，使得， 52m =()[]()f m f m =所以符合题意. 5a =（4）恒成立， []()max T m m n ≥-所以， 1T n≥所以，T n ≥故最小值为1.T。

北京市第三十五中学2018-2019年度第一学期期中试卷高一数学Ⅰ卷一、选择题（共12个小题，每题4分，共48分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1.设集合U=,则A. B. C. D.2.下列四个图形中，不是．．以x为自变量的函数的图象是( )．A. B. C. D.3.三个数，，的大小顺序是（）．A. B.C. D.4.函数的图象（）．A. 关于原点对称B. 关于直线对称C. 关于轴对称D. 关于轴对称5.的值是（）．A. B. C. D.6.下列函数中值域是的是（）．A. B. C. D.7.如图给出了某种豆类生长枝数（枝）与时间（月）的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是（）．A. B. C. D.8.已知函数（其中），若的图象如图所示，则函数的图像是（）A. B. C. D.9.函数一定存在零点的区间是（）．A. B. C. D.10.在上运算：，若不等式对任意实数成立，则（）．A. B. C. D.11.函数，，若函数在上为减函数，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.12.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A. B.C. D.二、填空题（共6个小题，每题4分，共24分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处）13.映射，的象为__________，的原象为__________．14.已知关于的不等式，的解集为．则__________．15.函数的零点为__________，单调减区间为__________．16.函数在区间上的最大值与最小值之差为，则__________．17.函数的定义域为全体实数，则实数的取值范围为__________．18.对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．（）设函数，则集合__________，__________．（）__________．（用，，填空）三、解答题（共3个小题，共28分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处）19.已知集合，集合．（）化简集合并求，．（）若全集，求．20.已知函数．（Ⅰ）证明函数为偶函数．（Ⅱ）用函数的单调性定义证明在上为增函数．21.函数．（Ⅰ）若，求函数的最小值和最大值．（Ⅱ）讨论方程，的根的情况（只需写出结果）．（Ⅲ）当，时，求函数的最小值．Ⅱ卷一、填空题（共5个小题，每题4分，共20分，请将正确答案填写在答题纸相应题号处）22.已知函数若，则。

高一下学期开学考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，计30分） 1．若集合A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣1，0）B ．[﹣1，2）C ．（0，1]D ．[1，2）2．已知角α的终边与单位圆交于点（−45，35），则tanα＝（ ） A ．−43B ．−45C ．−35D ．−343．已知函数f （x ）＝x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a ＝m ，若函数f （x ）为奇函数，记a ＝n ，则m +2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣14．函数y ＝cos2x •ln |x |的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）在[−π6，5π6]的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只要将f （x ）＝sinωx 的图象（ ）A ．向右平移π3个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向左平移π6个单位长度6．设a =2sin π5cos π5，b ＝cos 25°﹣sin 25°，c =tan30°1−tan 230°，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b7．已知f(x)={(2a −1)x +4a ，x ≤1log a x ，x ＞1是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，12）C ．（16，12）D ．[16，12）8．函数f （x ）＝（1﹣x ）|x ﹣3|在（﹣∞，a ]上取得最小值﹣1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2]B ．[2−√2，2]C ．[2，2+√2]D ．[2，+∞）9．已知函数f （x ）＝sin （ωx −π6）（32＜ω＜2），在区间（0，2π3）上（ ） A ．既有最大值又有最小值 B ．有最大值没有最小值 C ．有最小值没有最大值 D ．既没有最大值也没有最小值10．已知单位向量e →，e 2→的夹角为π3，设a →=2e 1→+λe 2→，则当λ＜0时，λ+|a |的取值范围是（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，2）D ．（2，+∞）二、填空题（本大题共7小题，前3题每题4分，后4题每题3分，共24分） 11．（4分）﹣60°＝ 弧度，它是第 象限的角．12．（4分）已知α，β为锐角，sinα=35，tanβ＝2，则sin （π2+α）＝ ，tan （α+β）＝ ． 13．（4分）已知定义在R 上的奇函数f （x ）={2−x −1，0≤x ＜1x 12−32，x ≥1，则f （f （﹣1））＝ ，若f （a ）＞0，则实数a 的取值范围是 ．14．设向量a →，b →不平行，向量2a →+b →与λa →−3b →平行，则实数λ＝ ．15．关于x 的方程k •4x ﹣k •2x +1+6（k ﹣5）＝0在区间[﹣1，1]上有解，则实数k 的取值范围是 ． 16．边长为1的正三角形ABC 内一点M （包括边界）满足：CM →=14CA →+λCB →(λ∈R)，则CA →⋅CM →的取值范围为 ．17．设关于x 的方程x 2﹣ax ﹣1＝0和3x 2﹣6x +3﹣2a ＝0的实根分别为x 1，x 2和x 3，x 4．若x 1＜x 3＜x 2＜x 4，则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共46分）18．（9分）（1）若sinα﹣2cosα＝0，求sinα+cosαsinα−cosα+cos 2α的值． （2）计算：lg 5（lg 8+lg 1000）+（lg 2√3）2+lg 16+lg 0.0619．（9分）已知函数f （x ）＝4sin x cos （x +π6）+1．（1）求f （π12）的值； （2）求f （x ）的最小正周期； （3）已知α∈[π6，2π3]，且f(α)=12，求cos （2α）的值． 20．（9分）已知平面上两个向量a →，b →，其中a →=(1，2)，|b →|=2． （1）若(a →+2b →)⊥(2a →−b →)，求a →与b →的夹角的余弦值 （2）若a →在b →的方向上的投影为﹣2，求b →的坐标 21．（9分）已知函数f(x)=3x+1−13x −1，函数g （x ）＝2﹣f （﹣x ）．（Ⅰ）判断函数g （x ）的奇偶性； （Ⅰ）若x ∈（﹣1，0）， ①求f （x ）的值域；②g （x ）＜tf （x ）恒成立，求实数t 的最大值．22．（10分）已知函数f （x ）＝（x ﹣1）|x ﹣a |﹣x ﹣2a （x ∈R ）． （1）若a ＝﹣1，求方程f （x ）＝1的解集；（2）若a ∈(−12，2)，试判断函数y ＝f （x ）在R 上的零点个数．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，计30分） 1．【详解详析】求解二次不等式可得：A ＝{x |0＜x ＜2}， 求解绝对值不等式可得B ＝{x |﹣1≤x ≤1}， 结合交集的定义可知：A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}， 表示成区间的形式即（0，1]． 故选：C ．2．【详解详析】∵角α的终边与单位圆交于点（−45，35），∴tanα=35−45=−34，故选：D ．3．【详解详析】设g （x ）＝e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）＝x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）＝e x +ae ﹣x 为奇函数．又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）＝0， 即g （0）＝1+a ＝0，解得a ＝﹣1，所以m ＝﹣1．因为函数f （x ）＝x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）＝e x +ae ﹣x 为偶函数 所以（e ﹣x +ae x ）＝e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）＝0对任意的x 都成立 所以a ＝1，所以n ＝1， 所以m +2n ＝1 故选：B ．4．【详解详析】函数的定义域为{x |x ≠0}，f （﹣x ）＝cos （﹣2x ）ln |﹣x |＝cos2xln |x |＝f （x ），则函数f （x ）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，B ，f （12）＝cos1ln 12＜0，排除C ，故选：D ．5．【详解详析】由函数图象可得：T =5π6−（−π6）＝π，故ω=2πT=2ππ=2，由点（π3，0）在函数图象上，可得：0＝sin （2π3+φ），解得：φ＝k π−2π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2，φ=π3，所以有：f （x ）＝sin （2x +π3）＝sin[2（x +π6）]，故，只要将f （x ）＝sin2x 的图象向左平移π6个单位长度即可得到f （x ）函数的图象．故选：D ．6．【详解详析】∵a =2sin π5cos π5=sin2π5=sin72°＝cos18°，b ＝cos 25°﹣sin 25°＝cos10°，c =tan30°1−tan 230°=12tan60°=√32=cos30°，而y ＝cos x 在（0，π）上为减函数， ∴c ＜a ＜b ． 故选：C ．7．【详解详析】由f （x ）在R 上是减函数，得 f （x ）在（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别递减，且其图象左高右低． 令{2a −1＜00＜a ＜1(2a −1)×1+4a ≥log a 1⇔{a ＜120＜a ＜1a ≥16⇔a ∈[16，12）．故选：D ．8．【详解详析】∵函数f（x）＝（1﹣x）|x﹣3|={−x2+4x−3，x≥3 x2−4x+3，x＜3，其函数图象如下图所示：由函数图象可得：函数f（x）＝（1﹣x）|x﹣3|在（﹣∞，a]上取得最小值﹣1，当x≥3时，f（x）＝﹣x2+4x﹣3＝﹣1，解得x＝2+√2，当x＜3时，f（x）＝x2﹣4x+3＝﹣1，解得x＝2，实数a须满足2≤a≤2+√2．故实数a的集合是[2，2+√2]．故选：C．9．【详解详析】函数f（x）＝sin（ωx−π6），当32＜ω＜2，且x∈（0，2π3）时，0＜ωx＜2π3ω＜4π3，所以−π6＜ωx−π6＜7π6，所以−12＜sin（ωx−π6）≤1；所以，当ωx−π6=π2时，sin（ωx−π6）取得最大值1，即函数f（x）在区间（0，2π3）上有最大值1，没有最小值．故选：B．10．【详解详析】根据题意，单位向量e→，e2→的夹角为π3，则e1→⋅e2→=12，若a →=2e 1→+λe 2→，则a →2＝（2e 1→+λe 2→）2＝4e 1→2+λ2e 2→2+4λe 1→⋅e 2→=λ2+2λ+4， 则|a →|=√λ2+2λ+4， λ+|a |＝λ+√λ2+2λ+4， 设y ＝λ+√λ2+2λ+4，（λ＜0），则有（y ﹣λ）2＝λ2+2λ+4，即y 2﹣2λy ＝2λ+4， 变形可得y 2−4y+1=λ＜0， 解可得：y ＜﹣2或﹣1＜y ＜2；又由√λ2+2λ+4=√(λ+1)2+3＞|λ+1|， 则λ+√λ2+2λ+4＞λ+|λ+1|≥λ﹣（λ+1）＝﹣1； 故有﹣1＜y ＜2，即λ+|a |的取值范围是（﹣1，2）； 故选：A ．二、填空题（本大题共7小题，前3题每题4分，后4题每题3分，共24分） 11．【详解详析】﹣60°＝﹣60×π180=−π3弧度， 它是第四象限的角． 故答案为：−π3，四．12．【详解详析】因为α，β为锐角，sinα=35，tanβ＝2，则sin （π2+α）＝cosα=√1−sin 2α=45，所以tanα=sinαcosα=34；tan （α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=34+21−34×2=−112；故答案为：45；−112..13．【详解详析】定义在R 上的奇函数f （x ）={2−x −1，0≤x ＜1x 12−32，x ≥1，则 f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣（1−32）=12，∴f （f （﹣1））＝f （12）=2−12−1=√21=√22−1．当0≤a ＜1时，由f （a ）＝2﹣a ﹣1＞0，∴2﹣a ＞20，﹣a ＞0，∴a ＜0（舍去）． 当a ≥1时，f （a ）=√a −32＞0，可得√a ＞32，∴a ＞94．再根据函数f （x ）的图象关于原点对称，如图所示： 可得实数a 的取值范围（−94，0）∪（94，+∞）， 故答案为：（−94，0）∪（94，+∞）．14．【详解详析】∵a →，b →不平行，∴2a →+b →≠0→，且2a →+b →与λa →−3b →平行， ∴存在μ，使λa →−3b →=μ(2a →+b →)， ∴{λ=2μμ=−3，解得λ＝﹣6． 故答案为：﹣6．15．【详解详析】令t ＝2x ，则t ∈[12，2]，∴方程k •4x ﹣k •2x +1+6（k ﹣5）＝0，化为：k •t 2﹣2k •t +6（k ﹣5）＝0， 根据题意，此关于t 的一元二次方程在[12，2]上有零点， 整理，得：方程k （t 2﹣2t +6）＝30，当t ∈[12，2]时存在实数解∴k =30t 2−2t+6，当t ∈[12，2]时存在实数解 ∵t 2﹣2t +6＝（t ﹣1）2+5∈[5，6]， ∴k ∈[5，6]， 故答案为[5，6]．16．【详解详析】以边AB 为x 轴，边AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(−12，0)，B(12，0)，C(0，√32)，设CD→=14CA →，则由CM →=14CA →+λCB →(λ∈R)可知，DM →=λCB →，显然当M 位于D 点时，λ取得最小值为0，当M 位于点E 时，λ取得最大值为34，即λ∈[0，34]， 又CA →=(−12，−√32)，CB →=(12，−√32)， 故CA →⋅CM →=CA →⋅(14CA →+λCB →)=14CA →2+λCA →⋅CB →=14+λcos π3=12λ+14∈[14，58]． 故答案为：[14，58]．17．【详解详析】由x 2﹣ax ﹣1＝0，得2x −2x =2a 3x 2﹣6x +3﹣2a ＝0，得3x 2﹣6x +3＝2a ， 作出函数y ＝2x −2x 与y ＝3x 2﹣6x +3函数图象由2x −2x=3x 2﹣6x +3，得3x 3﹣8x 2+3x +2＝03x 3﹣3﹣（8x 2﹣3x ﹣5）＝0， 3（x 3﹣1）﹣（8x 2﹣3x ﹣5）＝0，3（x ﹣1）（x 2+x +1）﹣（8x +5）（x ﹣1）＝0， （x ﹣1）[3（x 2+x +1）﹣（8x +5）]＝0， （x ﹣1）（3x 2﹣5x ﹣2）＝0， （x ﹣1）（3x +1）（x ﹣2）＝0， 解得x ＝1，−13，2，因为x 1＜x 3＜x 2＜x 4，且当x =−13时，2a =163，所以由图可知，0＜a ＜83， 故答案为：（0，83）．三、解答题（本大题共5小题，共46分） 18．【详解详析】（1）∵sinα﹣2cosα＝0， ∴tanα＝2． ∴sinα+cosαsinα−cosα+cos 2α=tanα+1tanα−1+11+tan 2α=2+12−1+11+22=165；（2）lg 5（lg 8+lg 1000）+（lg 2√3）2+lg 16+lg 0.06＝lg 5（3lg 2+3）+3（lg 2）2﹣lg 6+lg 6﹣2 ＝3lg 5•lg 2+3lg 5+3（lg 2）2﹣2 ＝3lg 2（lg 5+lg 2）+3lg 5﹣2＝3lg 2+3lg 5﹣2＝3（lg 2+lg 5）﹣2＝1．19．【详解详析】（1）∵由三角函数公式化简可得：f （x ）＝4sin x cos （x +π6）+1＝4sin x （ √32cos x −12sin x ）+1＝2√3sin x cos x ﹣2sin 2x +1=√3sin2x +cos2x ＝2sin （2x +π6），∴f （π12）＝2sin π3=√3． （2）f （x ）的最小正周期T =2π2=π；（3）∵α∈[π6，2π3]，且f(α)=12，∴2sin （2α+π6）=12，可得sin （2α+π6）=14，∵2α+π6∈[π2，3π2]，∴cos （2α+π6）=−√1−sin 2(2α+π6)=−√154， ∴cos （2α）＝cos （2α+π6−π6）＝cos （2α+π6）cos π6+sin （2α+π6）sin π6=−√154×√32+14×12=1−3√58． 20．【详解详析】∵a →=(1，2)，|b →|=2．∴|a →|=√5， （1）∴(a →+2b →)⊥(2a →−b →)⇒（a →+2b →）•（2a →−b →）＝0；∴2a →2+3a →⋅b →−2b →2=0⇒2×(√5)2+3×√5×2cosθ﹣2×22＝0⇒cosθ=−√515； （2）设a →与b →夹角为α，且b →=（a ，b ）， ∵a →在b →的方向上的投影为﹣2， ∴﹣2＝|a →|cosα⇒cosα=−2√55； ∴−2√55=2×√5⇒a +2b ＝﹣4；①∵a 2+b 2＝4②联立①②解得{a =0b =−2或{a =−85b =−65； 所以：b →的坐标为(0，−2)，(−85，−65)． 21．【详解详析】（Ⅰ）函数f(x)=3x+1−13x −1，可得g （x ）＝2﹣f （﹣x ）＝2−31−x −13−x −1=2−3−3x 1−3x =3x +13x −1，由3x ﹣1≠0，可得x ≠0，则g （x ）的定义域{x |x ≠0且x ∈R }关于原点对称， g （﹣x ）=3−x +13−x −1=1+3x1−3x =−g （x ），可得g （x ）为奇函数； （Ⅰ）①函数f(x)=3x+1−13x −1=3+23x −1，由x ∈（﹣1，0），可得13＜3x ＜1，即有−23＜3x ﹣1＜0， 即有23x −1＜−3，即有3+23x −1＜0， 可得f （x ）的值域为（﹣∞，0）； ②g （x ）＜tf （x ）即3x +13x −1＜t •3x+1−13x −1，由−23＜3x ﹣1＜0，0＜3x +1﹣1＜2，11 可得t ＜3x +13−1在﹣1＜x ＜0恒成立，设m =3x +13x+1−1，可得3x =1+m 3m−1，由13＜3x ＜1，可得得13＜1+m 3m−1＜1， 即为{m ＞1或m ＜13m ＞13，可得m ＞1， 可得t ≤1，即t max ＝1．22．【详解详析】（1）当a ＝﹣1时，由f （x ）＝1得：（x ﹣1）|x +1|﹣（x ﹣1）＝0，即（x ﹣1）（|x +1|﹣1）＝0，解得x ＝1或|x +1|＝1，则有x ＝1或x ＝0或x ＝﹣2，即解集为{0，1，﹣2}；（2）f （x ）={x 2−(a +2)x −a ，x ≥a−x 2+ax −3a ，x ＜a ，当a ＝0时，f （x ）＝（x ﹣1）|x |﹣x ，由f （x ）＝0，可得x ＝0，2，两个零点；当0＜a ＜2时，当x ＜a 时，f （x ）＝﹣（x −a 2）2+14a （a ﹣12），12a ＜a ，可得f （x ）在（﹣∞，12a ）递增，（12a ，a ）递减，即f （x ）在x ＜a 有最大值14a （a ﹣12）＜0， 当x ≥a 时，f （x ）＝（x −a+22）2−14（a +4）2+3，a+22＞a ， 可得f （x ）在（a ，12a +1）递减，（12a +1，+∞）递增，即f （x ）在x ≥a 有最小值−14（a +4）2+3＜0，且在x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞；在x →+∞时，f （x ）→+∞，则f （x ）在0＜a ＜2时，只有一个零点； 当−12＜a ＜0时，当x ＜a 时，f （x ）＝﹣（x −a 2）2+14a （a ﹣12），12a ＞a ，可得f （x ）在（﹣∞，a ）递增，即f （x ）在x ＜a 时，f （x ）＜f （a ）＝﹣3a ＞0，当x ≥a 时，f （x ）＝（x −a+22）2−14（a +4）2+3，a+22＜a ， 可得f （x ）在（a ，12a +1）递减，（12a +1，+∞）递增，即f （x ）在x ≥a 有最小值−14（a +4）2+3＜0，且在x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞；在x →+∞时，f （x ）→+∞，则f （x ）在−12＜a ＜0时，有三个零点； 综上可得y ＝f （x ）在R 上的零点个数：a ∈(0，2)，1个；a =0，2个；a ∈(−12，0)，3个．。

北京市八一中学—度第二学期期末试卷高一 数学 答案考试时间；90分钟 分数：100分9． 135°10．250x y -±=11．39r 12.①③④13. (36) 14. 8+4π;122-三.解答题: 15. 证明：在ABD ∆中，因为 E ，H 分别是AB ，DA 的中点，所以 1,2EH BD EH BD=P ，……………………………3分 同理 1,2FG BD FG BD =P ，所以 ,EH FG EH FG =P所以EFGH 为平行四边形 ………………………………6分同理 1,2EF HG EF HG AC ==P 因为 BD=AC 所以EF FG GH EH === 所以 四边形EFGH 是菱形………………………………9分16. 解：设直线方程为3(4),430y k x kx y k -=+-++=即……………2分由题意可知，直线到圆心距离d =……………………… 5分 所以3= ，…………………………………………………..7分解得k=0或k=247-。

………………………………………………...8分 所求直线方程为y=3或247750x y ++=…………………………….9分17．解：由题知圆心O 1为（-2，6），半径r=1 (1)设对称圆圆心为O 2为（x ，y ）半径r=1，则中点M 为（26,22x y -+） (3)依题意6312426345022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪--=⎪⎩g g g …………………………………7 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==526532y x ……………………………………………….8 所求圆的方程为1)526()532(22=++-y x …………………..9 18. 证明：（1）取PC 中点M ，连接EM ，则EM//CD,EM=21DC CD AB CD AB 21,//=Θ AB EM AB EM =∴,//,则ABME 为平行四边形PBC BM PBC AE ,//面，面又⊂⊄∴BM AEPB C AE//面∴ ……………………………………4分(2)PBC CD AB//CD ABC,AB 面面⊥∴⊥ΘB M CD ⊥∴ABC ∆Θ为等边三角形∴PDC B M PC B M 面⊥∴⊥又PDC AE AE//B M 面⊥∴………………………8分19． 解：（1）由勾股定理得：222OQ OP PQ -=又2222)1()2(1-+-=-+∴=b a b a PA PQ Θ 化简得：032=-+b a ……………………3分（2）由（1）54)56(5132222+-=-+=∴+-=a b a PQ a b 故当552,56min ==PQ a 时（平面几何法参照给分）………6分（3）设圆P 半径为R ，因为圆P 与圆O 有公共点 11+≤≤-∴R OP R 1OP R 1+≤-≥∴且OP R 而553OP 56,59)56(5OP min 222==∴+-=+=时，当a a b a 1553min -=∴R 此时圆方程为222)1553()53()56(-=-+-y x ……………9分。

高一年级下学期开学考试数学试题本试卷共22题，共150分，120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，，则＝（）A． B． C． D．2．已知集合，，则（）A． B． C． D．3．函数的图象大致为( )A． B． C． D．4．下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（）A． B． C． D．5．已知是上的单调递增函数，那么的取值范围是（）A． B． C． D．6．执行如图所示的程序框图，若输入的，，依次为，，，其中，则输出的为( )A． B． C． D．7．若函数y=f（x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在（0，+∞，)上有最大值8，则函数y=F(x)在(－∞，，0)上有 ( )A．最小值－8 B．最大值－8C．最小值－6 D．最小值－48．已知函数的定义域为，且是偶函数．又，存在，使得，则满足条件的的个数为( )A．3 B．2 C．4 D．19．已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时,点Q的坐标是（）。

A． B． C． D．10．定义在上的偶函数满足:当时有,且当时,,则函数的零点个数是( )A．6个 B．7个 C．8个 D．无数个11．下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）A． B． C． D．12．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_______．14．若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是______ ．15．已知，,若，，则______.16．时，恒成立，则的取值范围是_________________________三、解答题：共70分。