2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合11A =-｛，｝02B =｛，｝，，则集合,,Z Z x y x A y B =+∈∈｛｝中的元素的个数为（ ）A ．5 B. 4 C. 3 D. 2 【测量目标】集合的含义.【考查方式】考查了集合的互异性. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】集合A 、B 中元素两两相加得到1-，1，1，3，由集合的互异性可知集合 ,,Z Z x y x A y B =+∈∈｛｝中的元素的个数为3. 2.下列函数中，与函y =定义域相同的函数为 （ ） A ．1sin y x =B. ln x y x =C. 2e y x = D. sin x x【测量目标】函数的定义域.【考查方式】考查了有关对数函数、指数函数、分式函数的定义域. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】函数y =的定义域为()(),00,-∞+∞,而答案中只有sin xy x=的定义域为 ()(),00,-∞+∞.故选D.3.若函数21(1)()lg (1)x x f x x x ⎧+=⎨>⎩，则((10))f f = （ ）A. lg101B.2C. 1D. 0 【测量目标】分段函数.【考查方式】考查分段函数的求值. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】101>，(10)lg101f ∴==.2((10))(1)112f f f ∴==+=.4.若1tan 4tan θθ+=,则sin 2θ= （ ）A ．15 B.14 C. 13 D. 12【测量目标】二倍角.【考查方式】考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===， 1sin 22θ∴=. 5．下列命题中，假命题为 （ ） A ．存在四边相等的四边形不．是正方形. B ．1212,,z z C z z ∈+为实数的充分必要条件是12,z z 为共轭复数. C ．若,x y ∈R ，且2x y +>则,x y 至少有一个大于1.D ．对于任意01,C C n n n ∈++N …C nn +都是偶数.【测量目标】四种命题及其之间的关系.【考查方式】以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】（验证法）对于B 项，令121i,9i()z m z m m =-+=-∈R ,显然128z z +=∈R ，但12,z z 不互为共轭复数，故B 为假命题,应选B.6．观察下列各式：223344551,3,4,7,11a b a b a b a b a b +=+=+=+=+=，…，则1010a b += （ ）A ．28B ．76C ．123D ．199 【测量目标】合情推理.【考查方式】考查归纳推理的思想方法. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】观察各等式的右边,它们分别为1，3，4,7,11，…，发现从第3项开始，每一 项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1,3,4,7,11，18,29,47,76,123,…，故1010123a b +=.7．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点， 则222PA PB PC+= （ ）A ．2B ．4C ．5D ．10【测量目标】三种距离公式.【考查方式】主要考查两点间的距离公式，以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合的数学思想.【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】取特殊的等腰直角三角形，令4AC BC ==,42AB =,1222CD AB ==122PC PD CD ===,22PA PB AD PD ==+()()2222210=+=2221010102PA PB PC++∴==. 8．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植 年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜6吨 0.9万元 0.3万元为使一年的种植总利润（总利润总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为 （ ） A ．50，0 B ．30，20 C ．20，30 D ．0，50 【测量目标】二元线性规划的实际应用.【考查方式】考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及 实践能力.【难易程度】较难 【参考答案】B【试题解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为,x y 亩,总利润为z 万元，则目标函数为()()0.554 1.20.360.90.9z x x y y x y =⨯-+⨯-=+.（步骤1）线性约束条件为50,1.20.954,0,0,x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩ 即50,43180,0,0,x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩（步骤2）做出不等式组50,43180,0,0,x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩表示的可行域,易求得点()0,50A ，()30,20B ，()0,45C .（步骤3）平移直线0.9z x y =+，可知当直线0.9z x y =+经过点()30,20B ,即30,20x y ==时,z 取得最大值,且max 48z =（万元）.（步骤4）故选B.第8题图9.样本(1x ，2x ，…，)n x 的平均数为x ，样本(1y ，2y ，…，)m y 的平均数为()y x y ≠，若样本(1x ，2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，)m y 的平均数()1z ax a y =+-，其中102a <<，则,n m 的大小关系为 ( )A ．n m <B ．n m >C ．n m =D ．不能确定 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】考查统计中的平均数，作差法比较大小以及整体思想. 【难易程度】较难 【参考答案】A【试题解析】由统计学知识，可得12x x ++…n x nx +=，12y y ++…m y my +=，12x x ++…n x ++12y y ++…()()()1m y m n z m n ax a y ⎡⎤+=+=++-⎣⎦()()()1m n ax m n a y =+++-，()()()1nx my m n ax m n a y ∴+=+++-.（步骤1）()()(),1.n m n a m m n a =+⎧⎪∴⎨=+-⎪⎩故()()()()121n m m n a a m n a -=+--=+-⎡⎤⎣⎦.（步骤2）10,2102a a <<∴-<.0n m ∴-<.即n m <.（步骤3）10．如图，已知正四棱锥S —ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记(01)SE x x =<<，截面下面部分的体积为()V x ，则函数()y V x =的图像大致为 （ ）第10题图A B C D第10题图【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】本题综合考查了棱锥的体积公式，线面垂直，同时考查了函数的思想,导数法解决几何问题等重要的解题方法. 【难易程度】较难 【参考答案】A【试题解析】（定性法）当102x <<时，随着x 的增大，观察图形可知，()V x 单调递减，且递减的速度越来越快；当112x <时，随着x 的增大，观察图形可知，()V x 单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A 图象符合.故选A. 第Ⅱ卷注：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11.计算定积分()121sin xx dx -+=⎰___________【测量目标】微积分基本定理求定积分.【考查方式】考查有关多项式函数，三角函数定积分的应用. 【难易程度】中等 【参考答案】23【试题解析】()31211111112sin cos cos1cos1333333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=---=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰. 12.设数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b += ___________ 【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】考查等差中项的性质及整体代换的数学思想. 【难易程度】中等【参考答案】35 【试题解析】解法一：数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，∴数列{}n n a b +也是等差数列.故由等差中项的性质，得551133()()2()a b a b a b +++=+，即55()7221a b ++=⨯，解得5535a b +=.解法二：设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为1d ，2d ，()()()()()3311121112122227221a b a d b d a b d d d d +=+++=+++=++=，127d d ∴+=，()()553312235a b a b d d ∴+=+++=.13.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是1F ,2F .若1AF ,12F F ,1F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.【测量目标】椭圆的简单几何性质与等比数列的性质.【考查方式】着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想. 【难易程度】中等 【参考答案】5 【试题解析】利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+.又已知1AF ,12F F ,1F B 成等比数列，故()()()22a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =.故5c e a ==.即椭圆的离心率为5. 14.下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______________.第14题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】考查算法程序框图的应用以及运算求解的能力. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】由程序框图可知： 第一次:π0,1,sin1sin 002T k ===>=成立，1,1,2,26a T T a k ==+==<,满足判断条件，继续循环； （步骤1） 第二次:πsin π0sin12=>=不成立，0,1,3,36a T T a k ==+==<，满足判断条件，继续循环; （步骤2） 第三次: 3πsin1sin π02=->=不成立，0,1,4,46a T T a k ==+==<, 满足判断条件，继续循环; （步骤3） 第四次: 3πsin 2π0sin 12=>=-成立，1,2,5a T T a k ==+==, 满足判断条件，继续循环; （步骤4）第五次: 5πsin1sin 2π02=>=成立，1,2,666a T T a k ==+==<，不成立，不满足判断条件，跳出循环,故输出T 的值3. （步骤5）三、选做题：请在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分.本题共5分. 15.（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，以原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C 的极坐标方程为___________. 【测量目标】极坐标方程与直角坐标方程的互化.【考查方式】考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及转化与化归的数学思想. 【难易程度】中等 【参考答案】2cos ρθ=【试题解析】由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得22222cos 0x y x ρρθ+-=-=，又0ρ>，所以2cos ρθ=.15.（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式21216x x -++的解集为___________.【测量目标】绝对值不等式的解法.【考查方式】考查绝对值不等式的解法以及转化与划归、分类讨论的数学思想. 【难易程度】中等 【参考答案】3322x x⎧⎫-⎨⎬⎭⎩【试题解析】原不等式可化为1,212216,x x x ⎧-⎪⎨⎪---⎩①或11,2221216x x x ⎧-<<⎪⎨⎪---⎩②或 1,221216,x x x ⎧⎪⎨⎪-++⎩③由①得3122x--；由②得1122x -<<；由③得1322x, 综上，得原不等式的解集为3322x x⎧⎫-⎨⎬⎭⎩.四．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和21()2n S n kn k +=-+∈Ν,且n S 的最大值为8. （1）确定常数k ，求n a ； （2）求数列922n na -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【测量目标】错位相减法求和.【考查方式】考查了数列的通项公式n a 与前n 项和n S 之间的关系以及错位相减法求和的应用能力.【难易程度】中等【试题解析】（1）当n k +=∈Ν时，212n S n kn =-+取最大值，即22211822k k k =-+=，故4k =，从而19(2)2n n n a S S n n -=-=-，(步骤1)又1172a S ==，92n a n ∴=-. （步骤2） （2）19222n n n n a n b --==，12n T b b =++...223122n b +=+++ (2)1122n n n n---++， 212111112221 (44222222)n n n n n n n n n n n T T T -----+∴=-=++++-=--=-.（步骤3）17.（本小题满分12分）在ABC △中，角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c .已知π4A =， ππsin sin 44b C c B a ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求证： π2B C -=； （2）若a =ABC △的面积.【测量目标】诱导公式与正弦定理.【考查方式】给出三角形的三条边长及一个角，求证另外两角差为定值，并求三角形的面积. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）由ππsin sin 44b C c B a ⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及正弦定理得： ππsin sin sin sin sin 44B C C B A ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（步骤1）即22222sin cos sin sin cos sin B C C C B B ⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 整理得：sin cos cos sin 1B C B C -=，()sin 1B C ∴-=，（步骤2）又0B <，3π4C <，π2B C ∴-=.（步骤3） （2） 由（1）及3π4B C +=可得5π8B =，π8C =，又π4A =，2a =，sin 5π2sin sin 8a B b A ∴==，sin π2sin sin 8a C c A ==，（步骤4）15ππππ2π1sin 2sin sin 2sin cos sin 28888242ABC S bc A =====△. （步骤5）18.（本题满分12分）如图，从()11,0,0A ，()22,0,0A ，()10,1,0B ，()20,2,0B ，()10,0,1C ，()20,0,2C 这6 个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V （如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积0V =）.（1）求0V =的概率；(2)求V 的分布列及数学期望.第18题图【测量目标】几何概型.【考查方式】给出样本数据，求概率及其分布列和数学期望. 【难易程度】容易【试题解析】（1）从6个点中随机地选取3个点共有36C 20=种选法，选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有1334C C 12=种，因此0V =的概率()1230205P V ===.（步骤1） （2）V 的所有可能值为0,16,13,2343,因此V 的分布列为: V16 13 2343 P35120320320120（步骤2）由V 的分布列可得：31113234190562032032032040EV =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（步骤3） 19.（本题满分12分）在三棱柱ABC —111A B C 中，已知15AB AC AA ===，4BC =，1A 在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O .（1）证明在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长； （2）求平面11A B C 与平面11BB C C 夹角的余弦值.第19题图【测量目标】线面垂直的判定，二面角.【考查方式】给出三棱柱的点、线、面之间的位置关系，求证线面垂直及二面角的余弦值. 【难易程度】较难【试题解析】（1）证明：连接AO ，在1AOA △中，作1OE AA ⊥于点E ，（步骤1）1AA ∥1BB ，1OE BB ∴⊥,（步骤2） 1A O ⊥平面ABC ，1A O BC ∴⊥,（步骤3）AB AC =,OB OC =,∴AO BC ⊥,（步骤4） BC ∴⊥平面1AA O ,BC OE ∴⊥,（步骤5） OE ∴⊥平面11BB C C , （步骤6）又221AO AB BO =-=,15AA =,2215AO AE AA ∴==.（步骤7） (2)如图所示，分别以OA ,OB ,1OA 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()11,0,0,0,2,0,0,0,2,0,2,0A C A B -,（步骤8）由（1）可知115AE AA =得点E 的坐标为42,0,55⎛⎫⎪⎝⎭，由（1）可知平面11BB C C 的法向量是 42,0,55⎛⎫⎪⎝⎭，设平面11A B C 的法向量(),,x y z =n ，（步骤9） 由100AB A C ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩n n ，得200x y y z -+=⎧⎨+=⎩，（步骤10）令1y =，得2,1x z ==-，即()2,1,1=-n （步骤11）30cos ,OE OE OE ⨯∴==⨯n n n（步骤12） 即平面11A B C 与平面11BB C C 夹角的余弦值是3010.（步骤13）第19题图20. （本题满分13分）已知三点()()()0,0,2,1,2,1O A B -，曲线C 上任意一点(),M x y 满足()2MA MB OM OA OB +=++.（1） 求曲线C 的方程；（2）动点()()000,22Q x y x -<<在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l ：20024x x y x =-，是否存在定点()()0,0P t t <，使得l 与PA ,PB 都相交，交点分别为D ,E ，且QAB △与PDE △的面积之比是常数？若存在，求t 的值.若不存在，说明理由.【测量目标】平面向量的坐标运算，曲线与方程.【考查方式】给出三点坐标及曲线C 上的点所满足的等式，求曲线方程及动点问题的应用. 【难易程度】较难【试题解析】（1）依题意可得()()2,1,2,1MA x y MB x y =---=--，（步骤1） 由已知得()()()()()22222,,0,22MA MB x y OM OA OB x y y+=-+-⨯+=⨯=，22y =+，（步骤2）化简得曲线C 的方程：24x y = .（步骤3）（2）假设存在点()()0,0P t t <满足条件，则直线PA 的方程是12t y x t -=+，直线PB 的方 程是12ty x t -=+，曲线C 在点Q 处的切线l 的方程为20024x x y x =-，它与y 轴的交点为20,4x F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于22x -<<，因此0112x -<<.（步骤4）①当10t -<<时，11122t --<<-，存在()02,2x ∈-，使得0122x t -=，即l 与直线PA 平 行，故当10t -<<时不符合题意（步骤5） ②当1t-时，01122x t --<，01122x t->，所以l 与直线PA ,PB 一定相交，分别联立 方程组2001224t y x t x x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2001224t y x t x x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（步骤6） 解得D ,E 的横坐标分别是()200421D x tx x t -=+-，()200421E x t x x t +=+-，(步骤7)则()2022041(1)E D x tx x t x t +-=---，（步骤8） 又204x FP t =--，有()22220411=28(1)PDE E D x t t S FP x x t x +-⨯-=⨯--△， （步骤9）又22004141242QABx x S ⎛⎫-=⨯⨯-=⎪⎝⎭△, 于是()()22242220000242220004(1)4(1)4(1)44118164QAB PDEx x t x t x t S S t t x tx t x t ⎡⎤⎡⎤+---+-+-⎣⎦⎣⎦=⨯=⨯--+++△△. （步骤10）对任意()02,2x ∈-，要使QAB △与PDE △的面积之比是常数，只需t 满足()()2224184116t t t t⎧---=⎪⎨-=⎪⎩，（步骤11） 解得1t =-，此时QAB △与PDE △的面积之比为2，故存在1t =-，使QAB △与PDE △的面积之比是常数2.（步骤12）21. （本小题满分14分） 若函数()h x 满足 （1）(0)1,(1)0h h ==；（2）对任意[]0,1a ∈，有(())h h a a =； （3）在()0,1上单调递减.则称()h x 为补函数.已知函数()11()1,01ppp x h x p x λλ⎛⎫-=>-<⎪+⎝⎭.（1）判函数()h x 是否为补函数，并证明你的结论；（2）若存在[]0,1m ∈，使得()h m m =，称m 是函数()h x 的中介元，记()1p n n+=∈N 时()h x 的中介元为i x ，且1nn i i S x ==∑，若对任意的n +∈N ，都有12n S <,求λ的取值范围； （3）当0λ=，()0,1x ∈时，函数()y h x =的图像总在直线1y x =-的上方，求P 的取值范围.【测量目标】函数单调性的判断，不等式恒成立问题.【考查方式】给出一个新函数的定义，证明函数()h x 是否为此类函数，再求解不等式恒成立问题.【难易程度】较难【试题解析】（1）函数()h x 是补函数.证明如下：①111011(0),(1)0101p ph h λ--⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭；（步骤1）②()1111111(())(())11111ppp p pp pp p a a a a h h a h a aa a λλλλλλ⎛⎫-- ⎪⎛⎫+-+==== ⎪ ⎪-++ ⎪⎝⎭+⎪+⎝⎭；（步骤2）③令()(())pg x h x =，有()()()()()11122111()11p p p p p p p px x x px p x g x x x λλλλλ----+---+'==++，（步骤3）1,0p λ>->，∴当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x ∴在()0,1上单调递减，故函数()h x 在()0,1上单调递减.（步骤4）（2） 当()1p n n+=∈N ，由()h x x =，得：21210n n x x λ+-= ……（*）（步骤5）①当0λ=时，中介元12nn x ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （步骤6）②当1λ>-且0λ≠时，由（*）可得()10,1nx =或()10,1n x =； （步骤7）得中介元n n x =，综上有对任意的1λ>-，中介元nn x =()n +∈N（步骤8）于是，当1λ>-时，有111inn nn i i i S x ==⎛⎫===-<⎪⎪⎭∑∑ （步骤9） 当n 无限增大时,n 无限接近于0，n Sn +∈N ，12n S <12，即 [)3,λ∈+∞.（步骤10）（3） 当0λ=时，()1()1p ph x x =-，中介元是112pp x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（步骤11）①当01p <时，11p ，中介元为11122pp x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点(),()p p x h x 不在直线1y x =-的上方，不符合条件；（步骤12） ②当1p >时，依题意只须()111ppxx ->-在()0,1x ∈时恒成立，也即()11pppx x+-<在()0,1x ∈时恒成立，（步骤13）设()()1pppx x x ϕ=+-，[]0,1x ∈，则()11()1p p px p x x ϕ--⎡⎤'=--⎢⎥⎣⎦，（步骤14）由()0x ϕ'=可得12x =，且当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<；当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>， （步骤15） 又(0)(1)1ϕϕ==，∴当()0,1x ∈时，()1x ϕ<恒成立.（步骤16）综上：p 的取值范围为()1,+∞.（步骤17）。
