【精品】第07章02一阶微分方程
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一阶常微分方程公式大全一、一阶线性常微分方程。
1. 标准形式。
- 一阶线性常微分方程的标准形式为y'+p(x)y = q(x)。
2. 通解公式。
- 其通解公式为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
- 推导过程:- 先求对应的齐次方程y'+p(x)y = 0的通解。
- 分离变量得(dy)/(y)=-p(x)dx。
- 两边积分∫(dy)/(y)=-∫ p(x)dx,得到ln y =-∫ p(x)dx + C_1,即y = Ce^-∫p(x)dx(C = e^C_1)。
- 然后用常数变易法,设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ p(x)dx。
- 对y求导得y'=C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫ p(x)dx。
- 将y和y'代入原方程y'+p(x)y = q(x),可得C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫p(x)dx+p(x)C(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)。
- 化简得C'(x)e^-∫ p(x)dx=q(x),即C'(x)=q(x)e^∫ p(x)dx。
- 再积分C(x)=∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C,所以原方程的通解为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
二、可分离变量的一阶常微分方程。
1. 标准形式。
- 可分离变量的一阶常微分方程的标准形式为g(y)dy = f(x)dx。
2. 通解求法。
- 对g(y)dy = f(x)dx两边分别积分,得到∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C,其中C为任意常数。
- 例如,对于方程(dy)/(dx)=(x)/(y),可化为ydy = xdx。
- 两边积分∫ ydy=∫ xdx,即frac{y^2}{2}=frac{x^2}{2}+C,整理得y^2-x^2=C_1(C_1 = 2C)。
一阶齐次线性微分方程一阶线性微分方程形如)()(x q y x p y =+'的方程称为一阶线性微分方程。
时,当0)(≡x q 方程称为一阶齐次线性方程。
方程称为一阶非齐次线性方程。
时,当0)(≡x q 习惯上,称0)(=+'y x p y 为方程)()(x q y x p y =+'所对应的齐方程。
时,方程有唯一解。
、一般说来,当函数 C x q x p ∈)()(, 是一个变量可分离方程方程0)(=+'y x p y 运用分离变量法,得 ,dx x p y dy )(-= ,)0(≠y 两边积分,得1,C dx x p y +-=⎰)(||ln 故1.)(⎰-⋅±=dx x p C e e y的通解为,得一阶齐次线性方程记1C e C ±= .)(⎰-=dx x p Ce y对应于0=y0=C 表示一个原函数一阶齐次线性微分方程解.的通解求02=-'xy y,,)),(()(2)(∞+-∞∈-=C x p x x p 故该一阶齐次线性方程的通解为.22x dx x dx x p Ce Ce Ce y ===⎰⎰---)()(套公式!例1.20sin 2==+'=πx y x y y ,求解初值问题:先求此一阶齐次线性方程的通解:, )),((sin )(∞+-∞∈=C x x p .cos sin x xdx Ce Cey ==⎰- 代入通解中,得将22==πx y )2(2cos =πCe 因为 2,=C 故该初值问题的解为.2cos x e y =例2解,则一阶齐次线性方程若C x p ∈)( 0)(=+'y x p y 的解存在,且唯一,其通解为.)(⎰=-dx x p Ce y。
第2节 一阶微分方程2.1 变量已经分离的方程 (i )辨认类型:()()p y dy q x dx = (ii )解法:两边积分得通解()()p y dy q x dx C =+⎰⎰(解析:(1)这是隐函数的通解;(2)任意常数已经单独写出,做不定积分时不需写任意常数。
) 2.2可分离变量的方程(i )辨认类型:(,,)0()()F x y y p y dy q x dx '=→=可变型为(ii )解法:(a )变型为变量已经分离的方程(,,)0()()F x y y p y dy q x dx '=→=变型;(b )两边积分得通解()()p y dy q x dx C =+⎰⎰以上解方程的方法称为分离变量法。
方法虽然简单,但是,分离变量法是微分方程解法的总根。
不管什么方程最后都分离变量求通解。
【例2.1】解方程0x y +=.解、原方程0+=分离变量为=。
两边积分C '=-+⎰通解C =【例 2.2】 求方程22(1)d (1)d 0x y x y x y +++=满足初始条件离 散数 学0x y==的特解.解、原方程()()22110x y dx y x dy +++=分离变量为2211y xdy dx y x=-++。
两边积分 ()()22222221111ln 1ln 12211C y xdy dx C y x y x C e y x ''=-+++'+=-+++=+⎰⎰ 通解()()22211(0)C y x C C e'++==>把()0,0代入通解得1C =。
所求特解为()()22111y x ++=第1章集 合2.3可化为可分离变量型的方程 2.3.1齐次方程(i )辨认类型:y y x ϕ⎛⎫'=⎪⎝⎭(ii )解法:(a )作变量代换yu x=即y xu =(u 为新的未知函数,u 出来了y 也就有了)。
微积分Calculus一阶线性微分方程一定义一阶线性微分方程标准形式:)()(d d x Q y x P x y=+若Q (x ) ≡0, 若Q (x ) ≡0, 称为非齐次方程.称为齐次方程;0)(d d =+y x P x y 分离变量两边积分得C x x P y ln d )(ln +−=⎰故通解为xx P e C y d )(⎰−=二一阶线性齐次微分方程的解法的通解为一阶线性齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解是怎样的?我们已知,那么,三一阶线性非齐次微分方程的解法是一阶线性非齐次微分方程,将方程变形为很容易看出方程的左边,正好是求导之后的结果,xy 即两边同时积分得即(原方程的通解)例我们得到一个很重要的方法:积分因子法即对于如下的微分方程,关键是找到积分因子I(x)我们来推导出这个积分因子的结构。
)()(x Q y x P dx dy=+I(x)得在方程两边同时乘上即则方程的通解可以很容易获得。
所以为了找到积分因子,我们必须研究将它展开得整理后得因为只要找到一个积分因子就行,故可令,得C=1这是一个关于的可分离变量的微分方程,I(x)所以可得用积分因子法求解一阶线性非齐次微分方程,只需要在方程的两边同时乘以积分因子再两边同时积分即可得到通解为:方法总结对应齐次方程通解xx P e C y d )(⎰−=常数变易法:,)()(d )(⎰−=x x P e x u x y 则⎰−'x x P e u d )()(x P +⎰−x x P e u d )()(x Q =即作变换⎰−−x x P e u x P d )()(Cx e x Q u x x P +=⎰⎰d )(d )(两端积分得齐次方程通解非齐次方程特解⎰−x x P Ce d )(故原方程的通解xe x Q e x x P x x P d )(d )(d )(⎰⎰⎰−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰−C x e x Q e y x x P x x P d )(d)(d )(=y 即用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程,只需要先求出对应的齐次微分方程的通解,然后做常数的变易并代回到原微分方程中去,通过方法总结积分即可得到原微分方程的通解dy dx +3x2y=6x2四相关练习例二解方程解这是一阶线性非齐次方程,积分因子为I(x)=e3x2dx=e x3方程两边同时乘以,可得e x3两边同时积分,可得即通解为解: 先解,012d d =+−x y x y 即1d 2d +=x x y y 积分得即2)1(+=x C y y =23(x +1)ൗ32+C 例三解方程)1(2)1(2+⋅++⋅'='x u x u y 代入非齐次方程得解得故原方程通解为用常数变易法求特解. 令,)1()(2+⋅=x x u y 则。
第2节一阶微分方程2。
1变量已经分离的方程(i )辨认类型:()()p y dy q x dx =(ii )解法:两边积分得通解()()p y dy q x dx C =+⎰⎰(解析:(1)这是隐函数的通解;(2)任意常数已经单独写出,做不定积分时不需写任意常数.)2.2可分离变量的方程(i )辨认类型:(,,)0()()F x y y p y dy q x dx '=→=可变型为(ii )解法:(a)变型为变量已经分离的方程(,,)0()()F x y y p y dy q x dx '=→=变型;(b )两边积分得通解()()p y dy q x dx C=+⎰⎰以上解方程的方法称为分离变量法.方法虽然简单,但是,分离变量法是微分方程解法的总根。
不管什么方程最后都分离变量求通解。
【例2.1】解方程21d0x y x y.解、原方程0+=分离变量为=。
两边积分C'=-+⎰通解C=【例 2.2】 求方程22(1)d (1)d 0x y x y x y满足初始条件0x y的特解.解、原方程()()22110x y dx y x dy +++=分离变量为2211y xdy dx y x =-++。
两边积分()()22222221111ln 1ln 12211C y xdy dx C y x y x C e y x ''=-+++'+=-+++=+⎰⎰ 通解()()22211(0)C y x C C e'++==>把()0,0代入通解得1C =。
所求特解为()()22111y x ++=2.3可化为可分离变量型的方程 2。
3.1齐次方程(i )辨认类型:y y x ϕ⎛⎫'= ⎪⎝⎭(ii )解法:(a )作变量代换yu x=即y xu =(u 为新的未知函数,u 出来了y 也就有了)。
y u xu ''=+方程变为()u xu u ϕ'+=(b )分离变量()11du dx u u xϕ=-两边积分()1ln du x C u u ϕ=+-⎰代回u 得通解()1ln yu xdu x C u u ϕ=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦⎰【例2。
3】 求解22d d y xy xx y .解、(只有方程没有条件即要求通解。
)原方程22dy xy dx x y =+变型为21y dy x dx y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
作变量代换,y dy du u u x x dx dx ==+,方程变为 21du uu x dx u+=+ 分离变量3111du dx u u x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭两边积分21ln ln 2u x C u-+=-+ 代回u 得通解22ln 2x y Cy-=【例2。
4】 求22()d 2d 0x y x xy y 满足初始条件11x y的特解.解、原方程()2220x y dx xydy -+=变型为212y dy x y dx x⎛⎫- ⎪⎝⎭=。
作变量代换,y dy du u u x x dx dx==+,方程变为 212du u u x dx u-+=分离变量2211u du dx u x=-+ 两边积分()2ln 1ln u x C '+=-+代回u 得通解()22ln ln x y x C '+=+即22x y Cx +=(sgn 0C C e x '=≠。
)把()1,1代入上通解得2C =。
所要求的特解是222x y x+=【例2.5】 求解第1节例1。
2中方程22y xxy.解1、原方程y'=变型)2,yx y y y y x-'''===。
作变量代换,y dy duu u xxdx dx==+,方程变为 1du u x dx u+=分离变量1dx x=两边积分21ln 2x C=+22212112ln 12ln 1u wt tdtt t t ==--+=--=-⎰代回u 得通解ln 1ln x C--=+解2、原方程y '=变型dx xdy y =+y 作自变量,x 作函数).作变量代换,x dx du u u y y dy dy ==+,方程变为duu yu dy +=+ 分离变量1dy y=两边积分(ln ln u y C '=+代回u 得通解ln ln y y C x ⎛ '+=+ ⎝y Cy x += (此例告诉我们,y 和x 用哪个作函数哪个作自变量是人为的,看怎么简单而定。
)2.4一阶线性微分方程(i)辨认类型:()()()0dyP x y Q x dxdyP x y dx+=+=非齐次的齐次的(ii )解法:先解齐次方程()0dyP x y dx+=.分离变量1()dy P x dx y =-。
两边积分得()0dyP x y dx+=的通解()P x dxy Ce -⎰=。
再解非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=. 把()0dyP x y dx+=的通解()P x dx y Ce -⎰=中的任意常数C 改为新的未知函数u ,设()()dyP x y Q x dx+=的解为()P x dx y ue -⎰=(这称为常数变异法)。
()()()P x dxP x dx dy du e P x ue dx dx--⎰⎰=- 代入()()dyP x y Q x dx+=变为 ()()()()()()P x dxP x dx P x dx du e P x ue P x ue Q x dx---⎰⎰⎰-+= ()()P x dx duQ x e dx⎰= ()()P x dxu Q x e dx C ⎰=+⎰所以()()dyP x y Q x dx+=的通解为 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ (任意常数已单独写出,做不定积分是不写任意常数.)为了避免复杂的推导,一般把上式默写下来作为()()dyP x y Q x dx+=通解公式来应用。
因此, 求非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=通解的方法:(1)求不定积分()P x dx ⎰;(2)把()P x dx ⎰的结果代入求不定积分()()P x dxQ x e dx ⎰⎰;(3)把()P x dx ⎰和()()P x dxQ x e dx ⎰⎰的结果代入公式()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰直接得到()()dy P x y Q x dx +=的通解。
【例2。
6】 解方程32(1)1y yxx.解、要解的方程是一阶线性方程()32(),()11P x Q x x x =-=++.()()()()()222211()ln ,,1111P x dx P x dx P x dx dx e e x x x x -⎰⎰=-===++++⎰⎰,()()32211()(1)21P x dx Q x e dx x dx x x x ⎰=+=++⎰⎰。
通解 ()22112y x x x C ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭【例2。
7】 求3d ()d 0(0)y x x y y y.解、如果把y 作未知函数,则方程为30dy ydx x y +=-。
它不是线性方程,我们也不认识它的类型。
如果把y 作自变量x 作未知函数,则方程为21dx x y dy y+=。
此是一阶线性方程.()()2111(),(),()ln ,,P y dy P y dy P y Q y y P y dy dy y e y e y y y-⎰⎰======⎰⎰,()24sgn ()4P y dyy Q y e dy y y dy y ⎰==⎰⎰.通解 41sgn 4y x y C y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即314C x y y =+(此例说明,y 和x 用哪个作函数哪个作自变量结果简繁是不一样的。
一般用简单的作函数,用复杂的作自变量。
)【例2.8】 在高空跳伞的过程中,设跳伞者(含降落伞)的质量为m ,在跳伞的下落过程中,跳伞者除受到重力的作用外,还受到空气阻力的作用,阻力大小与下降速度成正比。
设降落伞离开跳伞塔时(0t)的速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系。
解、设下降速度为()v t ,这是未知函数。
先作受力分析.重力mg ,阻力kv -(大小与速度成正比,方向与速度相反)。
加速度dvdt。
根据力学原理建立微分方程dvmmg kv dt=-,即 dv kv g dt m += 这是一个线性方程.(),()kP t Q t g m==。
()()(),,()k k k t t t P t dt P t dt m m mk mg P t dt t e e Q t e dt g e dt e m k ⎰⎰====⎰⎰⎰。
通解 k kt t mm mg v e e C k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即k t m mgv Ce k -=+ 把(0)0v =代入得mgC k=-。
降落伞下降的规律1k t mmg v e k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭2。
5伯努利方程 (i )辨认类型:()()(0,1)dyP x y Q x y dxαα+=≠。
(0α=线性方程,1α=可分离变量.所以0,1α≠。
) (ii )解法:整理1()()dyy P x y Q x dxαα--+=.与线性方程的差别主要在1y α-。
作变量代换1y u α-=,()1dy duy dx dxαα--=.代入之 ()()1()1()duP x u Q x dxαα+-=- 这是线性方程.通解为()()()1()1()1()P x dx P x dx u e Q x e dx C ααα---⎛⎫⎰⎰=-+ ⎪⎝⎭⎰ ()()dyP x y Q x y dxα+=的通解 ()()()1()1()11()P x dx P x dx y e Q x e dx C αααα----⎛⎫⎰⎰=-+ ⎪⎝⎭⎰【例2.9】 求方程23d ed x y xy y x的通解.解、整理232x dyy xy e dx----=-。
作变量代换2y u -=,32dy duy dx dx--=。
代入之 222x duxu e dx -+= 2()2()2,()2,(),()2P x dxx P x x Q x e P x dx x Q x e dx x -⎰====⎰⎰.()22x u e x C -=+原方程的通解()222x y e x C --=+习题讲解1.用分离变量法求下列方程的通解:(3)2d e d yxyx x(4)d e (1)1d y yx解、(3)分离变量2y x e dy xe dx --=.两边积分得221124y x x e xe e C ---'-=--+.通解21124y x e x e C --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(4)分离变量1y ye dy dx e=-.两边积分得ln 1ye x C -'-=-+. 通解1ln1xy Ce -=+(本来0C C e '=±≠,但是,经验证0y =也是原方程的解,取消0C ≠的限制。