天津市南开中学2015届高三第五次月考数学(理)试题 Word版含答案

天津市南开中学2015届高三第五次月考试题（理）I 卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．） 1. 复数2(1)1i z i+=-的共轭复数所对应的点位于复平面的( ).A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是( ).A ．()0,+¥ B ．(),0-¥ C ．()2,+¥ D ．(),2-?3. 设α、β、γ为平面， m 、n 、l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是( ).A.,,l m l αβαβ⊥=⊥ B.,,n n m αβα⊥⊥⊥C.,,m αγβγα⊥⊥⊥D.,,m αγαγβγ=⊥⊥4. 4.已知圆01010:221=--+y x y x C 和圆04026:222=-+++y x y x C 相交于B A 、两点，则公共弦AB 的长为( ).A.5B.25C.35D.105. 若抛物线212C y px =：()0p >的焦点F 恰好是双曲222221x y C a b-=：()0,0a b >>的右焦点，且它们的交点的连线过点F ,则双曲线的离心率为( ).A1BC．126. 已知0,0,lg 2lg8lg 2,x y x y >>+=则113x y+的最小值是 ( ).A ．2 B．．．47. 若函数()y f x =()x R ∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-.函数()lg ,01|2|,02x x g x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点个数为 ( ).A.6B.7C.8D.9 8. 已知,,,a b c d 均为实数，函数()3232a b f x x x cx d =+++()0a <有两个极值点12,x x ()12x x <，满足()21f x x =.则关于实数x 的方程()()20a f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦的实根个数为( ).A.0B.2C.3D.4II 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．)二、填空题：(每小题5分，共30分．)9. 一个几何体的三视图如所示，则这个几何体的表面积为__________.10. 如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点（图中阴影部分）构成的区域. 在D 中随机取一点，则该点在E 中的概率为__________.11.二项式82x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是__________.（用数字作答）12. 已知数列{}n a 满足：12a =，211n n n a a na +=-+，令11n n n b a a +=⋅，则数列{}n b的前10项和为__________.13. 函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图象关于点（1,0）对称，,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为__________.14. 关于实数x 的不等式23225|5|x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，则实数a 的取值范围是__________.1正视图俯视图侧视图三、解答题：(15—18每小题13分，19—20每小题14分，共80分．) 15. 从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每次不放回地摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球,则试验结束. (Ⅰ)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率；(Ⅱ)记试验次数为随机变量X ,求X 的分布列及数学期望()E X .16.已知函数2()2sin (0)2ωωω=->xf x x 的最小正周期为π3.（I ）求函数()f x 在区间3,4ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （II ）在∆ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且a b c <<2sin =c A ,求角C 的大小；（Ⅲ）在（II ）的条件下，若311()2213f A π+=，求cos B 的值．17. 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形， 60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD .(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证：⊥PQ 平面ABCD ； （Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为60，求CPCM的值.18. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为E 的左顶点为A 、上顶点为B ，点P 在椭圆上，且12PF F ∆的周长为4+. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设,C D 是椭圆E 上两不同点，//CD AB ,直线CD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点，且,MC CN MD DN λμ==，求λμ+的取值范围.19. 已知数列{}n a满足()*12111,3,43,2n n n a a a a a n N n +-===-∈≥，（Ⅰ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意*n N ∈，有1212212nnb b b n a a na +++=+ 成立，求n S .20. 已知函数()()2ln 12k f x x x x=+-+()0,1k k ≥≠且．（Ⅰ）当2k =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅲ）当0k =时，设()f x 在区间[]0,n ()*n N ∈上的最小值为n b ，令()ln 1n na nb =+-，证明：131321122424221n na a a a a a a a a a a a -+++<()*n N ∈．参考答案一、选择题：三、解答题：15.从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每次不放回地摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球,则试验结束. (Ⅰ)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率；(Ⅱ)记试验次数为随机变量X ,求X 的分布列及数学期望()E X .解: (Ⅰ)设“第一次试验恰摸到一个红球和一个白球”为事件A,则1126283()7C C P A C ==16. 已知函数2()2sin(0)2ωωω=->xf x x 的最小正周期为π3，（I ）求函数()f x 在区间3,4ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（II ）在∆ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且a b c <<2sin =c A ,求角C 的大小；（Ⅲ）在（II ）的条件下，若311()2213f A π+=，求cos B 的值．解（I ）1cos ()22sin()126x f x x x ωπωω-=-⋅=+- 由函数.32,32,3)(==ωπωππ解得即的最小正周期为x f2()2sin()136f x x π∴=+-3,4x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，222363x πππ-≤+≤，21sin()136x π-≤+≤， 所以x π=-时，()f x 的最小值是3-，2x π=时，()f x 的最大值是1.（II 2sin =c A ，由正弦定理，有a c =3sin 2A =CAsin sin又sin A ≠0 ∴sin C =， 又因为 a b c <<，∴23C π=. （Ⅲ）由311()2213f A π+=得12cos 13A =.50,sin 313A A π<<∴==. 由23C π=知3A B π+=,cos cos()cos cos sin sin 333B A A A πππ∴=-=+=.17. 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形， 60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD .(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证： ⊥PQ 平面ABCD ； （Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为60，求CPCM的值.(Ⅰ)证明：因为侧面PAB 是正三角形，AB 的中点为Q ，所以AB PQ ⊥，因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，⊂PQ 侧面PAB ，所以⊥PQ 平面ABCD .（Ⅱ）连结AC ，设O BD AC = ，建立空间直角坐标系xyz O -，则)0,0,0(O ，)0,0,3(B ，)0,1,0(C ，)0,0,3(-D ，)3,21,23(-P . )3,21,233(--=,平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m， 设斜线PD 与平面ABCD 所成角的为α，则10303414273||||||,cos |sin =++==><=PD m mα. （Ⅲ）设t =)3,23,23(t t t -=()01t ≤≤，则M )3,123,23(t t t +-， =BM )3,123,323(t t t +--，)0,0,1(32=DB ， 设平面MBD 的法向量为),,(z y x n =，则00·=⇔=⇔⊥x n n， ⇔=⇔⊥0·n n 03)123()323(=++-+-tz y t x t ，取3=z ，得)3,236,0(-=tt n，又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m所以|60cos ||,cos |||||·|=><=n m n m n m ，所以21)236(332=-+t t ，解得2=t （舍去）或52=t .所以，此时CP CM 52=.18. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>E 的左顶点为A 、上顶点为B ，点P 在椭圆上，且12PF F ∆的周长为4+ （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设,C D 是椭圆E 上两不同点，//CD AB ,直线CD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点，且,MC CN MD DN λμ==，求λμ+的取值范围.解：（Ⅰ）由题意得：224a c c e a ⎧+=+⎪⎨==⎪⎩解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以椭圆的方程为2214x y +=；（Ⅱ）又(2,0),(0,1)A B -，所以12AB k =.由//CD AB ,可设直线CD 的方程为12y x m =+ 由已知得(2,0)M m -，(0,)N m ，设1122(,),(,)C x y D x y由2214,12⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x m 得：222220++-=x mx m222(2)4(22)02∆=-->⇒<m m m ，所以212122,22+=-=-x x m x x m ， 由MC CN λ=得1111(2,)(,)x m y x m y λ+=-- 所以112x m x λ+=-即121m x λ=--，同理，由MD DN μ=得221mx μ=--.所以212221212112222()22211x x m m m x x x x m m λμ++=--+=--⨯=-+=--.由2222(,2](2,)1m m <⇒∈-∞-+∞-, 又0,0,0m λμ≠<<，所以(,2)λμ+∈-∞-.19. 已知数列{}n a 满足()*12111,3,43,2n n n a a a a a n N n +-===-∈≥，（Ⅰ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式 （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意*n N ∈，有1212212nnb b b n a a na +++=+ 成立，求n S .解：（Ⅰ）由1143n n n a a a +-=-可得()11213,2n n n n a a a a a a +--=--=，{}1n n a a +∴-是以2为首项，3为公比的等比数列()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+()112131313n n ---=+=-（Ⅱ）1n =时，11113,3,3b b S a === 2n ≥时()21212,nnb n n na =+--= 1223n n n b na n -==⨯ 21322323323n n S n -=+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯()0121213233331n n -=⨯+⨯+⨯++⨯+设01211323333n x n -=⨯+⨯+⨯++⨯则()123131********n n x n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯()12312333332n nn n nx n n ---=⨯-+++=⨯-13322n n S n ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭ 综上，13322n n S n ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭．20.已知函数()()2ln 12k f x x x x=+-+()0,1k k ≥≠且．（Ⅰ）当2k =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅲ）当0k =时，设()f x 在区间[]0,n ()*n N ∈上的最小值为n b ，令()ln 1n na nb =+-，证明：131321122424221n na a a a a a a a a a a a -+++<()*n N ∈．（Ⅰ）解：当2k =时， ()()2ln 1f x x x x =+-+，()1121f x x x'=-++， ∴()1ln 2f =，()312f '=.曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()3ln212y x -=-，即322ln 230x y -+-=.（Ⅱ）解：()()11111x kx k f x kx x x +-'=-+=++,()1,x ∈-+∞, 当0k =时，()1xf x x'=-+，令()0f x '<，则0x >， ∴()f x 的单调递减区间是()0,+∞；当10k k ->，即01k <<时，令()0f x '<，则10kx k -<<， ∴()f x 的单调递减区间是10,k k-⎛⎫⎪⎝⎭； 当10k k ->，即1k >时，令()0f x '<，则10kx k -<<， ∴()f x 的单调递减区间是1,0k k-⎛⎫⎪⎝⎭. （Ⅲ）证明：当0k =时， ()f x 在[]0,n 上单调递减， ∴()()ln 1n b f n n n ==+-，()ln 1n n a n b n =+-=()*n N ∈，11 ∴()()(132124213521246222n n n a a a a a a n -⨯⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<= ， ∴))(131321122424213211n n a a a a a a a a a a a a n -+++<++++==.。

天津市南开中学2015届高三第四次月考数学（文）试题说明：1．本试卷分第І卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上.第І卷（选择题共40分）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上．．．．．．．．．．．!) 1. 复数143i i++的虚部是（ ）.A 125i .B125 .C 125i - .D 125- 2. 若m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题是( ).A 若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β .B 若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β.C 若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α .D 若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ3. 已知变量,x y 满足约束条件22220,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩则5z x y =+的最小值为（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 44. 设,R x y ∈，则“922≥+y x ” 是“3>x 且3≥y ”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 即不充分也不必要条件5. 将函数cos 2y x =的图象向右平移π6个单位，得到cos(2)y x =+ϕ，(π,π]∈-ϕ的图象，则ϕ的值为（ ）.A π6 .B π6- .C π3 .D π3- 6. 设112450.8,0.7,log 0.3a b c ===，则c b a ,,的大小关系是（ ）.A b c a >> .B b a c >> .C c a b >> .D c b a >>7. 已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）.A 2233110025x y -= .B 221205x y -= .C 2233125100x y -= .D 221520x y -= 8. 设定义域为R 的函数|1251,0,()44,0,x x f x x x x -⎧-≥=⎨++<⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m =( ). .A 2 .B 4或6 .C 2或6 .D 6第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上．．．．．．．．．．!) 9. 在如图的程序框图中，输出的值为x ，则123log x x += .10. 已知等差数列,6,2},{31==a a a n 若将541,,a a a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 .11. 已知01x <<，则141x x+-的最小值为 .12. 如右图,PT 切圆O 于点T,PA 交圆O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝ ．P13. 在圆0722:22=---+y x y x C 上总有四个点到直线043:=++m y x l 的距离是1，则实数m 的取值范围是____________.14. 已知非零向量AB 与AC 满足()0AB AC BC ABAC+⋅=，且||AB AC -=|AB + |AC =D 是△ABC 中BC 边的中点，则AB BD ⋅= _______.三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. (本小题满分13分)城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求。

天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2B．4C．5D．204．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2B．C．1D．6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，求实数k的取值范围．天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，变形为，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，∴==2+2i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}考点：绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解补集以及交集即可．解答：解：全集U=R，A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，∴∁U A={y|y≤1}B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}={x|}，则（∁U A）∩B={x|＜x≤1}．故选：B．点评：本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2B．4C．5D．20考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+3y 的最小值．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+3y=z，显然当平行直线过点A（2，0）时，z取得最小值为4；故选B．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2B．C．1D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值解答：解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．专题：计算题；压轴题．分析：由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b ＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．解答：解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．点评：本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B．C．D．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．解答：解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．点评：本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n 是否继续循环循环前0 1第一圈0 2 是第二圈 3 3 是第三圈 5 4 是第四圈10 5 否此时S值为10．故答案为：10．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是﹣192．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题；概率与统计．分析：先求定积分得出a的值，再在二项式展开式的通项公式中，再令x的系数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解答：解：∵已知=（sinx﹣cosx）=2，则二项式=的展开式的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=•x3﹣r．令3﹣r=2，解得r=1，故展开式中含x2项的系数是=﹣192，故答案为﹣192．点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆；推理和证明．分析：由已知条件求出BD=2，BE=，再由切割线定理知BE•BF=BD•BC，由此能求出EF．解答：解：∵在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，∴BD=2，BE==，∵BE•BF=BD•BC，∴，解得EF=．故答案为：．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为3．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得圆的普通方程．求出圆心到直线l的距离d．即可得出圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），∵cos2θ+sin2θ=1，∴圆的普通方程为（x﹣2）2+y2=1．圆心（2，0）到直线l的距离d==2．则圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r=3．故答案为：3．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过题意可知AD=AC=5，cos∠CAD=，cos∠BAC=，利用=•﹣•，代入计算即可．解答：解：∵AB⊥BC，AB=3，BC=4，∴AC==5，cos∠BAC=，又∵△ACD是等边三角形，∴AD=AC=5，cos∠CAD=，∴=•（﹣）=•﹣•=﹣=，故答案为：．点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围a≥e．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a ﹣1，而|f（x1）﹣f（x2）|max=f（x）max﹣f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可．解答：解：f′（x）=a x lna+2x﹣lna=（a x﹣1）lna+2x，当a＞1时，x∈[0，1]时，a x≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；当0＜a＜1时，a x≤1，lna＜0，2x≥0，此时也有f′（x）≥0，综上知，f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，故答案为：a≥e．点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问难的能力．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望；（Ⅱ）利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．解答：解：（Ⅰ）设乙的得分为X，X的可能值有0，10，20，30…（1分），，…（5分）乙得分的分布列为：X 0 10 20 30P…（6分）所以乙得分的数学期望为15…（8分）（Ⅱ）乙通过测试的概率为…（9分）甲通过测试的概率为…（11分）甲、乙都没通过测试的概率为因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为…（13分）点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由f（）=2，得到sin（A﹣）=1，确定出A的度数，求出cosA的值，再由b，c 的值，利用余弦定理即可求出a的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）sin2x﹣cos2x=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），∵ω=2，∴最小正周期T==π；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（）=2，∴2sin（A﹣）=2，即sin（A﹣）=1，∴A﹣=+2kπ，k∈Z，即A=+2kπ，k∈Z，又0＜A＜π，∴A=，由余弦定理及b=1，c=2，cosA=﹣得：a2=b2+c2﹣2bccosA=7，即a2=1+4+2=7，解得：a=．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．解答：（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用4S n=（2n﹣1）a n+1+1，写出4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得，利用累加法求解a n，判断数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）利用放缩法以及裂项法，直接证明求解即可．解答：（Ⅰ）证明：因为4S n=（2n﹣1）a n+1+1，所以当n≥2时，4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n（n≥2），所以（2n+1）a n=（2n﹣1）a n+1，即，在4S n=（2n﹣1）a n+1+1中，令n=1，得a2=3，所以=，所以a n﹣a n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣3）=2（n≥2），故数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，且a n=2n﹣1．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，当n=1时，；当n≥1时，，所以．点评：本题考查等差数列的判定，数列的递推关系式的应用，放缩法以及裂项求和的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，求实数k的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可得f（x1）﹣f（x2），构造新函数F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），确定其单调性，即可得出结论；（Ⅲ）确定g（x）在上单调递增，可得g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，h（a）=）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），分类讨论，确定单调性，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1，f′（x）＜0，可得＜x＜1，∴f（x）的递增区间为（0，）和（1，+∞），递减区间为（，1）；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，∴x1+x2=，x1x2=∴2（x1+x2）=a，x2=，∴f（x1）﹣f（x2）=lnx1+x12﹣ax1﹣（lnx2+x22﹣ax2）=2lnx1﹣x12++ln2（0＜x≤1）．设F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），则F′（x）=﹣＜0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，∴F（x）≥F（1）=﹣+ln2，即f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）解：g（x）=f（x）+2ln=2ln（ax+2）+x2﹣ax﹣2ln6，∴g′（x）=，∵a∈（2，4），∴x+＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在上单调递增，∴g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，∴2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6＞k（4﹣a2）在（2，4）上恒成立．令h（a）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），则h（2）=0，∴h（a）＞0在（2，4）上恒成立．∵h′（a）=，k≤0时，h′（a）＜0，h（a）在（2，4）上单调递减，h（a）＜h（2）=0，不合题意；k＞0时，h′（a）=0，可得a=．①＞2，即0＜k＜时，h（a）在（2，）上单调递减，存在h（a）＜h（2）=0，不合题意；②≤2，即k≥时，h（x）在（2，4）上单调递增，h（a）＞h（2）=0，满足题意．综上，实数k的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于难题．。

重庆南开中学高2015级高三下（3月）月考数学试题（理科）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、复数2(2)1i z i+=-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、已知命题p ：对任意x R ∈，有cos 1x ≤，则（ ）A 、p ⌝：存在x R ∈，使cos 1x ≥B 、p ⌝：对任意x R ∈，有cos 1x ≥C 、p ⌝：存在x R ∈，使cos 1x >D 、p ⌝：对任意x R ∈，有cos 1x >3、已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程（ ）A 、^1.234y x =+ B 、^1.235y x =+ C 、^1.230.08y x =+ D 、^0.08 1.23y x =+ 4、在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c ，且1si n c o s s i n c o s 2a B C c B A b +=，a b >，则B ∠=（ ）A 、6πB 、3πC 、23πD 、56π 5、已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A 、4B 、6C 、8D 、126、设x R +∈，若函数()f x 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有()1x f f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦，（其中e 是自然对数的底数），则(ln 2)f =（ ） A 、e B 、1 C 、2 D 、37、执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为20142015，则判断框内可填入的条件是（ ） A 、2013k > B 、2014k >C 、2015k >D 、2016k > 8、已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线l 与坐标轴交于点M ，P 为抛物线第一象限上一点，F 为抛物线焦点，N 为x 轴上一点，若30PMF ∠=，0PM PN =，则||||PF PN =（ ）A 、2B 、32C 、2D 、439、已知△ABC 满足||3,||4AB AC ==，O 是△ABC 所在平面内一点，满足||||||AO BO CO ==，且1()2AO AB AC R λλλ-=+∈，则cos BAC ∠=（ ）A 、23B 、34C 、45D 10、设12min(,,,)n x x x 表示12,,,n x x x 中最小的一个，12max(,,,)n x x x 表示12,,,n x x x 中最大的一个，给出下列命题：①2min{,1}1x x x -=-； ②设,a b R ∈，0a ≠，||||a b ≠，有22||min{||||,}||||||a b a b a b a --=-； ③设,a b R +∈，有222min{,}b a a b +的最大值为1； ④,a b R ∈，max{||,||,|2014|}1007a b a b b +--≥其中所有正确命题的序号有（ ）A 、①②B 、①②③C 、①②④D 、①②③④第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数等于（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．（5分）已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；q：“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧￢q3．（5分）记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．115．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（）A．π+B．2 C．2πD．6．（5分）已知函数y=sin2x﹣cos2x，下列结论正确的个数是（）①图象关于x=﹣对称；②函数在[0，]上的最大值为2③函数图象向左平移个单位后为奇函数．A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=1﹣|1﹣（x﹣m）2|关于y轴对称，记a=f（m+2），b=f（log5），c=f（e），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c8．（5分）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k≥1 C．0＜k＜1 D．0＜k≤1二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）已知集合A={﹣1，a}，B={2a，b}，若A∩B={1}，则A∪B=．10．（5分）为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=．11．（5分）如图，AB是⊙O的直径，且AB=3，CD⊥AB于D，E为AD的中点，连接CE并延长交⊙O 于F，若CD=，则EF=．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的方程为．13．（5分）已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为四边形ABCD外一点，设||=5，||=3，则（+）•（﹣）=．14．（5分）设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立，则实数k的最小值等于．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3sinA，周长为4（+1），且sinB+sinC=sinA．（1）求a及cosA的值；（2）求cos（2A﹣）的值．16．（13分）某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机，这两种产品的市场需求量大，有多少卖多少．今年五一假期该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量，以达到总利润最大．已知两种产品直接受资金和劳动力的限制．根据过去销售情况，得到两种产品的有关数据如表：（表中单位：百元）试问：怎样确定两17．（13分）己知三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1⊥AC1（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求点C到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C余弦值的大小．18．（13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n、a n、成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，设，求数列{C n}的前项和T n．19．（14分）如图，设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足=，且•=0．（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l1：x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．20．（14分）已知函数（a＞0）．（1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣3，x1x2=﹣9，求函数f（x）的单调区间；（2）若，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016春•天津校级月考）复数等于（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数===i．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．2．（5分）（2015•万州区校级二模）已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；q：“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧￢q【分析】先判断命题p，q的真假，再利用复合真假的判定方法即可判断出正误．【解答】解：命题p：若a＞b，则a2＞b2，不正确，举反例：取a=1，b=﹣2，不成立；q：由x2+2x﹣3≤0，解得﹣3≤x≤1，因此“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件，是真命题．∴p∧q，￢p∧￢q，p∧￢q，是假命题，￢p∧q是真命题．故选：B．【点评】本题考查了复合真假的判定方法，属于基础题．3．（5分）（2016•烟台一模）记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，根据几何概型的公式，只要求出平面区域Ω1，Ω2的面积，利用面积比求值．【解答】解：由题意，两个区域对应的图形如图，其中，，由几何概型的公式可得点P落在区域Ω2中的概率为；故选B．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，解答本题的关键是分别求出平面区域Ω1，Ω2的面积，利用几何概型公式求值．4．（5分）（2016•宜春校级模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序是累加求和的应用问题，当S≤﹣1时输出i的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；，否；，否；，否；，否；，是，输出i=9．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，是基础题目．5．（5分）（2014•太原二模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（）A．π+B．2 C．2πD．【分析】由三视图可以看出，该几何体下部是一个圆柱，上部是一三棱锥，圆柱半径为1高也是1，三棱锥底面是一等腰直角三角形，过斜边的侧面与多方面垂直且该侧面是一等边三角形，边长是2，由于该几何体是一组合体故其体积为圆柱的体积与棱锥体积的和．【解答】解：由三视图，该组合体上部是一三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知V圆柱=π×12×1=π三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，且边长是2，故其高即为三棱锥的高，高为故棱锥高为由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，故两直角边长度都是底面三角形的面积是=1故=故该几何体的体积是π+故选A．【点评】本题考点是由三视图还原实物图，考查由在视图给出几何体的度量，由公式求体积，本题是三视图考查中常出现的题型，关键是正确地还原出几何体的特征．6．（5分）（2016春•天津校级月考）已知函数y=sin2x﹣cos2x，下列结论正确的个数是（）①图象关于x=﹣对称；②函数在[0，]上的最大值为2③函数图象向左平移个单位后为奇函数．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用两角和的正弦函数化简函数的解析式，①利用正弦函数的对称性，判断图象关于x=﹣对称是否正确；②求出函数在[0，]上的最大值是否为2，判断正误即可．③利用函数图象向左平移个单位后，求出函数的解析式，判断是否为奇函数．【解答】解：函数y=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），①因为2x﹣=k，k∈Z，当k=﹣1时，x=是函数的一条对称轴，所以图象关于x=﹣对称正确；②x∈[0，]，则2x﹣∈[，]，所以函数y=2sin（2x﹣）的最大值为2，正确；③函数图象向左平移个单位后可得：函数y=2sin（2x+﹣）=sin2x，函数为奇函数．正确；故选：D．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的对称性，函数的最值以及函数的图形的平移，考查计算能力．7．（5分）（2016春•天津校级月考）已知定义在R上的函数f（x）=1﹣|1﹣（x﹣m）2|关于y轴对称，记a=f（m+2），b=f（log5），c=f（e），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【分析】先由偶函数的性质求出f（x）=1﹣|1﹣x2|，由此利用对数函数和指数函数的性质能求出a，b，c 的大小关系．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=1﹣|1﹣（x﹣m）2|关于y轴对称，∴m=0，∴f（x）=1﹣|1﹣x2|，∵a=f（m+2）=f（2）=1﹣|1﹣22|=﹣2，b=f（log5）=1﹣|1﹣（）2|=（log5）2∈（0，1），c=f（e）=1﹣|1﹣（）2|=1﹣|1﹣e|=2﹣e≈﹣0.71828，∴a＜c＜b．【点评】本题考查三个数的大小关系的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8．（5分）（2015秋•赤峰校级期末）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k≥1 C．0＜k＜1 D．0＜k≤1【分析】根据方程的特点，相当于只需有三个不等于零的不同实数根，把方程解的问题转化为两函数的交点问题，通过数形结合得出k的范围．【解答】解：f（x）=kx2有四个不同的实数解，∴显然当x=0时，无论k为何值，都成立，当只需有三个不等于零的不同实数根，∴方程可化=|x|（x+2），只需y=和y=|x|（x+2）有三个不等于零的交点即可，画出函数y=|x|（x+2）的图象如图：有图象可知只需0＜＜1，∴k＞1，故选A．【点评】本题考查了方程的解和函数的交点问题的转换，难点是利用数形结合的思想解决问题．二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）（2012•张家港市校级一模）已知集合A={﹣1，a}，B={2a，b}，若A∩B={1}，则A∪B={﹣1，1，2} ．【分析】由A∩B={1}，可得1∈A且1∈B，进而可得a=1，b=1，求出集合A，B后，根据集合并集运算规则可得答案．【解答】解：集合A={﹣1，a}，B={2a，b}，又∵A∩B={1}，∴a=1，2a=2，则b=1故A={﹣1，1}，B={1，2}∴A∪B=故答案为{﹣1，1，2}【点评】本题以集合交集及并集运算为载体考查了集合关系中的参数取值问题，解答是要注意集合元素的互异性．10．（5分）（2011•江苏模拟）为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=30．【分析】学生人数比例为2：3：5，用分层抽样方法抽取n名志愿者，每个个体被抽到的概率相等，A高校恰好抽出了6名志愿者，则每份有3人，10份共有30人【解答】解：∵学生人数比例为2：3：5，A高校恰好抽出了6名志愿者，∴n==30，故答案为：30．【点评】一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本．这样使得样本更具有代表性．11．（5分）（2016春•天津校级月考）如图，AB是⊙O的直径，且AB=3，CD⊥AB于D，E为AD的中点，连接CE并延长交⊙O于F，若CD=，则EF=．【分析】AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．利用射影定理可得CD2=AD•DB．已知AD=2DB，得DB=1，已知E为AD的中点，可得ED=1．在Rt△CDE中，利用勾股定理可得CE．利用△ACE∽△FBE可得：EA•EB=EC•EF，即可求得EF．【解答】解：在Rt△ABC中，CD⊥AB于D，∴CD2=AD•BD=2BD2=2，∴DB=1，∵E为AD的中点，∴AE=ED=1，∴CE=BC=，又△ACE∽△FBE，∴，∴EF==．故答案为：．【点评】熟练掌握圆的性质、射影定理、勾股定理、相交弦定理是解题的关键．12．（5分）（2016春•天津校级月考）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的方程为．【分析】根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，即可求出双曲线的方程．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则双曲线的方程为．故答案为．【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）”这一条件的运用，属于中档题．13．（5分）（2016春•天津校级月考）已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为四边形ABCD外一点，设||=5，||=3，则（+）•（﹣）=16．【分析】根据条件，AC垂直平分线段BD，从而得出，，而，，且，代入进行向量加法和数量积的运算便可求出答案．【解答】解：∵AC是BD的垂直平分线；∴，；∴====25﹣9=16．故答案为：16．【点评】考查垂直平分线的概念，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及向量减法的几何意义，向量数量积的运算．14．（5分）（2016•浙江模拟）设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立，则实数k的最小值等于﹣4．【分析】把k看作参数，将参数分离成k≥，再利用基本不等式求的最大值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，由++≥0，得k≥，只需k≥[]max即可．∵a+b≥，∴．∴k≥﹣4，从而实数k的最小值等于﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题属于不等式恒成立问题，是高考常考题型之一．常规思路是先分离参数，再转化为函数最值问题求解．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15．（13分）（2016春•天津校级月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3sinA，周长为4（+1），且sinB+sinC=sinA．（1）求a及cosA的值；（2）求cos（2A﹣）的值．【分析】（1）由已知及三角形面积公式可求bc=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cosA的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵△ABC的面积为3sinA=bcsinA，∴可得：bc=6，∵sinB+sinC=sinA，可得：b+c=，∴由周长为4（+1）=+a，解得：a=4，∴cosA====，（2）∵cosA=，∴sinA==，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=﹣，∴cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．（13分）（2016春•天津校级月考）某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机，这两种产品的市场需求量大，有多少卖多少．今年五一假期该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量，以达到总利润最大．已知两种产品直接受资金和劳动力的限制．根据过去销售情况，得到两种产品的有关数据如表：（表中单位：件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：设进货量分别为空调机x台，洗衣机y台，利润z百元，则，化简为目标函数z=10x+8y即，做出可行域如图所示：由可得A（8，10），平移经过A（8，10）点时截距最大，即目标函数z最大，此时z=10×8+8×10=160百元．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．17．（13分）（2011•东湖区校级三模）己知三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1⊥AC1（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求点C到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C余弦值的大小．【分析】解法一﹣﹣几何法：（I）根据已知中∠BCA=90°得BC⊥AC，由A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，可得A1D⊥BC，结合线面垂直判定定理得BC⊥面A1AC，所以BC⊥AC1，又由BA1⊥AC1，再由线面垂直的判定定理，可得AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）根据（I）的结论可得A 1ACC1是菱形，进而根据AC=BC=2，我们可以根据，得到点C到平面A1AB的距离；（Ⅲ）令AC1∩A1C=O，作OE⊥A1B于E，连AE，由（I）中结论可得A1B⊥AE，故∠AEO为二面角平面角，解三角形AEO即可得到答案．解法二﹣﹣向量法：（I）取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空间坐标系，求出各点坐标，进而得到相应向量的坐标，利用向量垂直数量积为0，可以判断出AC1与平面A1BC内两条件相交直线都垂直，进而得AC1⊥平面A1BC；（II）C到平面A1AB的距离，其中平面A1AB的法向量，求出法向量的坐标，代入即可求出答案．（III）分别求出平面AA1B与平面A1BC的法向量，代入向量夹角公式，即可求出答案．【解答】解法一﹣﹣几何法：（I）∠BCA=90°得BC⊥AC，因为A1D⊥底ABC，所以A1D⊥BC，A1D∩AC=D，所以BC⊥面A1AC，所以BC⊥AC1因为BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，所以AC1⊥底A1BC（II）由（I）得AC1⊥A1C，所以A1ACC1是菱形，所以AC=AA 1=A1C=2，，由，得（III）设AC1∩A1C=O，作OE⊥A1B于E，连AE，由（1）所以A1B⊥AE，所以∠AEO为二面角平面角，在Rt△A1BC中，所以，所以二面角余弦解法二﹣﹣向量法：（I）如图，取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，﹣1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A1（0，0，t），C1（0，2，t），，，，由，知A1C⊥CB，又BA1⊥AC1，从而AC1⊥平面A1BC；（II）由，得设平面A1AB的法向量为，，，所以，设z=1，则所以点C到平面A1AB的距离=（III）再设平面A1BC的法向量为，，，所以，设z=1，则，故=，根据法向量的方向可知二面角A﹣A1B﹣C的余弦值大小为【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，点面之间距离的计算，二面角的平面角，解答立体几何有几何法和向量法两种方法，前者要求熟练掌握相应的判定定理、性质定理，要求有较强的逻辑性，后者可将空间问题转化为向量问题，需要记忆大量公式和较强的计算能力．18．（13分）（2008•湖北校级模拟）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n、a n、成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，设，求数列{C n}的前项和T n．【分析】（Ⅰ）S n、a n、成等差数列．即，再利用1）根据Sn与an的固有关系an=去解（Ⅱ）（Ⅱ），∴b n=4﹣2n，==，可用错位相消法求和．【解答】解：（Ⅰ）由题意知当n=1时，；当两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），整理得：（n≥2）∴数列{a n}是为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ），∴b n=4﹣2n==，①②①﹣②得∴【点评】本题考查Sn与an关系的具体应用，指数的运算，数列错位相消法求和知识和方法．要注意对n 的值进行讨论19．（14分）（2014•蒙山县模拟）如图，设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足=，且•=0．（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l1：x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．【分析】（1）设B（x0，0），由已知条件推导出，b2=3c2，从而得到a=2c，再由，能求出椭圆C的方程．（2）由（1）知F2（1，0），l：y=k（x﹣1），联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，）．【解答】解：（1）设B（x0，0），∵F2（c，0），A（0，b），∴，，∵•=0，∴，∴，∵=，∴F1为BF2中点，∴，b2=3c2，从而a2=4c2，∴a=2c，∵•=0，∴⊥，∴△ABF2的外接圆的圆心为F1（﹣c，0），半径r=|F2B|=2c，又直线：x﹣﹣3=0与△ABF 2的外接圆相切，∴，解得c=1，∴a=2，b=，∴椭圆C的方程为．（2）由（1）知F2（1，0），l：y=k（x﹣1），联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，y1+y2=k（x1+x2﹣2），=（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2），∵菱形的对角线互相垂直，∴（）•=0，∴（x1+x2﹣2m，y1+y2）•（x2﹣x1，y2﹣y1）=0，∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0，∵，∴（x1+x2﹣2m）+k（y1+y2）=0，∴，由题意知k∈R且k≠0，∴m=，∴0＜m＜，∴存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．20．（14分）（2011•蓝山县校级模拟）已知函数（a＞0）．（1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣3，x1x2=﹣9，求函数f（x）的单调区间；（2）若，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．【分析】（1）根据函数零点的概念，x1，x2，x3，即为=0的三个实数根，则x3=0，结合韦达定理得出，，由此f′（x）=a（x﹣1）（x+3），单调区间可求．（2）由条件得出f′（1）=a+b+c=＜0，整理3a+2b+2c=0，又f′（2）=4a+2b+c=4a﹣（3a+2c）+c=a﹣c．考察f′（0），f′（1），f′（2）的符号，利用f′（x）在（0，2）内由零点（需对c的取值进行讨论）进行证明．（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数f′（x）=ax2+bx+c=0的两个零点．可得出|m﹣n|，关于的不等式，并结合约束条件2c=﹣3a﹣2b，3a＞2c＞2b得出取值范围．【解答】（1）因为函数=x（）（a＞0），又x1+x2+x3=﹣3，x1x2=﹣9，则x3=0，x1+x2=﹣3，x1x2=﹣9（1分）因为x1，x2是方程=0的两根，则，，得，，（3分）所以=a（x2+2x﹣3）=a（x﹣1）（x+3）．令f′（x）=0 解得：x=1，x=﹣3故f（x）的单调递减区间是（﹣3，1），单调递增区间是（﹣∞，﹣3），（1，+∞）．（5分）（2）因为f′（x）=ax2+bx+c，，，所以a+b+c=，即3a+2b+2c=0．又a＞0，3a＞2c＞2b，，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0．b＜0．（7分）于是＜0，f′（0）=c，f′（2）=4a+2b+c=4a﹣（3a+2c）+c=a﹣c．（8分）①当c＞0时，因为f′（0）=c＞0，＜0，而f′（x）在区间（0，1）内连续，则f′（x）在区间（0，1）内至少有一个零点，设为x=m，则在x∈（0，m），f′（x）＞0，f（x）单调递增，在x∈（m，1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，故函数f（x）在区间（0，1）内有极大值点x=m；（9分）②当c≤0时，因为＜0，f′（2）=a﹣c＞0，则f′（x）在区间（1，2）内至少有一零点．同理，函数f（x）在区间（1，2）内有极小值点．综上得函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点．（10分）（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数f′（x）=ax2+bx+c=0的两个零点，由（2）得3a+2b+2c=0，则m+n=﹣，mn==．所以|m﹣n|===由已知，，则两边平方≥3，得出≥1，或≤﹣1，即≥﹣1，或≤﹣3又2c=﹣3a﹣2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞﹣3a﹣2b＞2b，即﹣3a＜b＜﹣a．因为a＞0，所以﹣3＜＜﹣．综上分析，的取值范围是[﹣1，﹣）．【点评】本题是函数与不等式的综合．考查函数零点的知识，导数在研究函数性质的应用，不等式的性质．需具有分析解决、代换转化，推理计算能力．。

天津市南开中学2015届高三数学统练6一、选择题（共12个小题. 每小题5分，共60分）1. 0a <，0b <，则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为 （ ） A.p q > B. p q ≥ C. p q < D. p q ≤ 2. 已知a b c >>，则114a b b c c a++---的值是 ( ) A .非负数 B .非正数 C .正数 D . 不确定 3. 关于函数()ln 2f x x =-下列描述正确的有（ ）个①函数()f x 在区间()12，上单调递增； ②函数()y f x =的图象关于直线2x =对称； ③若12x x ≠，但()()12f x f x =，则124x x +=； ④函数()f x 有且仅有两个零点.A. 1B. 2C. 3D. 4 4. 已知函数()()11x xx a f x a -=+（0,1a a >≠），则A. 函数()f x 在()0,+∞上是增函数B. 函数()f x 在()0,+∞上是减函数C. 函数()f x 是奇函数D.函数()f x 是偶函数5. 设0a >，()2f x ax bx c =++，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线的倾斜角的范围是0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围是（ ） A ．10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 0,2ba⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦6. 若(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则a 的取值范围是（ ）A.(0,1) B ．(1,2) C. (1,2] D. [1,2]7. 221log 1log x x +>-的解集为（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,8)C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞8. 若1927x ≤≤，则33()log log (3)27xf x x =⋅（ ） A ．有最小值329-，最大值3- B. 有最小值4-，最大值12C. 有最小值329-，无最大值 D. 无最小值，有最大值129. 已知：a ，b ，c ，d 满足：12log 3a a =，12log 2b b =，21log 3c c =，21log 2d d =. 则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）A. a b c d >>>B. a b c d <<<C. a b d c >>>D. b a c d >>>10. 设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）()A 1ln2- ()Bln 2)- ()C 1ln2+ ()D ln 2)+11. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()222f x x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )． A ．()3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭U B ．(]3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭UC ．111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭U 12. 设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（ ） （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值二、填空题（共6个小题. 每小题5分，共30分）13. 函数()2ln 6y x x =+-的单调递增区间是 .14. 计算定积分(sin cos )x x dx π+⎰_______________=15. 已知函数()()2ln f x ax x x x =+-在区间[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是____________.16. 设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-,记()()f x g x x=,若函数()g x 至少存在一个零点,则实数m 的取值范围是______.17. 已知函数()133+-=x x x f ,()m x g x-=)21(,若对1[1,3]x ∀∈-,2[0,2]x ∃∈,12()()f x g x ≥,则实数m 的取值范围是______.18. 若不等式3ln 1mx x -≥对(]0,1x ∀∈恒成立,则实数m 的取值范围是_______.三、解答题（共有4个题，每题15分）19. 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有,,,A B C D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题,,,A B C D 分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；②每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局；③每位参加者按,,,A B C D 顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题,,,A B C D 回答正确的概率依次为3111,,,4234，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.20. 设函数2()1x f x e x ax =---．若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．21. 已知函数()e xf x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N L ．22. 已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．班级 姓名 学号 成绩天津南开中学2015届高三数学统练6（理科） 答题纸一、选择题二、填空题13._____________ 14.______________ 15._____________16.______________ 17.__ ___________ 18.______________ 三、解答题 19.20.21.22.天津南开中学2015届高三数学统练6（理科）答案二、填空题13.12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭14. 215.1,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16. 21(,]ee-∞+17.45≥m18.2[,)3e+∞(Ⅱ)由题意可知随机变量ξ可能的取值为2,3,4,.由于每题的答题结构都是相对独立的，所以121(2)()8P P N N ξ===, 1231233113123(3)()()4234238P P M M M P M N N ξ==+=⋅⋅+⋅⋅=131(3)1(1)(2)1882P P P ξξξ==-=-==--=因此随机变量ξ的分布列为ξ1 2 3P18 38 12所以2348828E ξ=⨯+⨯+⨯=.20. 解：（1）0a =时，()1xf x e x =--，'()1xf x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加（II ）'()12xf x e ax =--由（I ）知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =， 于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)xe x x >+≠可得1(0)xe x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <. 综合得a 的取值范围为1(,]2-∞.21.解: （Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0xf x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)xf x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．'依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（Ⅲ）()()()e e x xF x f x f x -=+-=+Q ，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，1(2)(1)e 2n F F n +->+1()(1)e 2.n F n F +>+L L由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+L L故12(1)(2)()(e 2)n n F F F n n +*>+∈N L ，．22. 解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。

天津市南开中学2015届高三数学统练15 理一、选择题（共8小题，每题5分）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）．A.()227313x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B.()()22211x y -+-=C.()()22131x y -+-=D.()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）． A.αβ且lαB.α与β相交，且交线垂直于lC.αβ⊥且l β⊥D.α与β相交，且交线平行于l从点)2,3(-A 作直线与圆922=+y x 交于Q P ,两点，若要满足4=⋅AQ AP ，则这样的直线（ ）．A.有且仅有一条B.不超过两条C.有无数条D.不存在 直线()():21210l k x k y k +--+-=与圆224x y +=的位置关系是（ ）．A.相交B.相切C.相离D.不确定，与k 有关若直线1x ya b +=通过点()cos sin M αα，，则（ ）．A.221a b +≤ B.221a b +≥C.22111a b +≤D.22111a b +≥已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （ ）． A.2- B.1- C.1 D. 4若曲线1y =(2)4y k x =-+有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）．A.53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦B.5,112⎛⎤ ⎥⎝⎦C.50,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭过点) 0引直线l与曲线y A B ，两点，O 为坐标原点，当AOB △的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）．A.B.C.D.二、填空题（共6个小题，每题5分）若直线1l ：(2)10m x y ---=与直线2l ：310x my -+=互相平行，则m 的值等于 ．若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（0a >）的公共弦的长为 则a = ．若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，，，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 ．在已知直线1l ：x y =与2l ：xy 33-=的上方有一点P ，P 到1l 、2l 的距离分别是22和32，则P 点的坐标为 ．设函数2()f x ax bx =+，且1(1)2,f ≤-≤2(1)4f ≤≤，则12b a +-的取值范围是 ．已知在圆:C 2225x y +=上有一点()4,3P .,E F 分别为y 轴上的两点，满足PE PF=，且直线,PE PF 与圆C 交于,M N 两点，则直线MN 的斜率为 .三、解答题（共6个小题）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （1）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （2）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（2）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望.（注：若三个数c b a ,,满足c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）已知直线l 过点P(3,2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B. (1)求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求直线l 在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l 的方程．已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.设m R ∈，在平面直角坐标系中，已知向量(,1)a mx y =+，向量(,1)b x y =-,a b ⊥,动点(,)M x y 的轨迹为E.（1）求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（2）已知41=m ，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥(O 为坐标原点) ，并求出该圆的方程；（3）已知41=m ，设直线l 与圆C:222x y R +=(1<R<2)相切于A1，且l 与轨迹E 只有一个公共点B1，当R 为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值.天津南开中学2015届高三数学统练15（直线与圆）参考答案 一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 BDCADCAB三、解答题：15. ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （1）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （2）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 解：（1）c b a ，，成等差数列 2a c b ∴+=由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+()sin sin 2sin A C A C ∴+=+.（2）c b a ，，成等比数列22b ac ∴=由余弦定理得2222221cos 2222a c b a c ac ac ac B ac ac ac +-+--====222a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立） 2212a c ac +∴≥（当且仅当a c =时等号成立）2211112222a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）即1cos 2B ≥，所以B cos 的最小值为12.16. 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（2）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望.（注：若三个数c b a ,,满足c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）17. 已知直线l 过点P(3,2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B. (1)求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求直线l 在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l 的方程．解：(1)设l 的方程为b y a x +=1，则A(a,0)，B(0,b)且a ＞0，b ＞0， 又∵l 过P(3,2)∴b a 23+=1∵a ，b ＞0∴1=b a 23+≥2ab 6得ab≥24，∴S △AOB=21ab≥12当且仅当2123==b a 即a=6，b=4时取“=”．∴S △AOB 的最小值为12，此时，l 的方程为46yx +=1即2x ＋3y －12=0． (2)由(1)知，+a 3b 2=1，∴a ＋b=(b a 23+)(a ＋b)=b aa b 23+＋5≥2b a a b 23⋅＋5=5＋26 当b aa b 23=即a=3＋6，b=2＋6时取“=”.∴l 在两坐标轴上截距之和的最小值为5＋26，此时l 的方程为6263+++yx=1即2x ＋6y －26－6=0．或者设l 的方程为y －2=k(x －3)(k ＜0)，令x=0，则y=－3k ＋2令y=0，则x=－k 2＋3，∴a ＋b=－k 2－3k ＋5≥26＋5当且仅当k 2=3k ．即k=－36时取“=”.(3)由(2)知A(－k 2＋3,0)，B(0,－3k ＋2)∴|PA|·|PB|= )1(3672)99)(44(2222k k k k ++=++≥23672⨯+=12(当且仅当k2=21k 即k=－1时取“=”)此时l 的方程为y －2=－(x －3)即x ＋y －5=0． 18. 已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：（I ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知条件得：331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1,a q =-⎧⎨=-⎩所以数列{}n a 的通项为253n n a -=⨯或()151n n a -=-⋅-()*n N ∈.（II ）若253n n a -=⨯，则113153n na -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故数列1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为35，公比为13的等比数列，从而1112311531119191111031013m m m a a a --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++==⋅-<<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-．若()151n n a -=-⋅-，则()11115n n a -=-⋅-，故数列1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而()()**121,21,11150,2,m m k k N a a a m k k N ⎧-=-∈⎪+++=⎨⎪=∈⎩，故121111ma a a +++<．综上，对任意整数m ，总有121111ma a a +++<．故不存在这样的正整数m ，使得121111ma a a +++≥成立．19. 如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ； （2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解：以D 为原点，射线1,,DD DC DA 分别为z y x ,,轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系xyz D -，由已知得),0,0(),0,0,1(),2,2,0(),0,2,2(1λP F C B ， 所以)2,0,2(1-=BC ，),0,1(λ-=FP ，)0,1,1(=FE ，（I ）证明：当1=λ时，)1,0,1(-=FP ，因为)2,0,2(1-=BC ， 所以FP BC 21=，即FP BC //1， 而⊂FP 平面EFPQ ，且⊄1BC 平面EFPQ ，故直线//1BC 平面EFPQ .（II ）设平面EFPQ 的一个法向量),,(z y x =n ，由⎪⎩⎪⎨⎧=•=•00n n FP FE 可得⎩⎨⎧=+-=+00z x y x λ，于是取)1,,(λλ-=n ， 同理可得平面MNPQ 的一个法向量为)1,2,2(λλ--=m ， 若存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则0)1,,()1,2,2(=-•--=•λλλλn m ，即01)2()2(=+---λλλλ，解得221±=λ，故存在221±=λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.20. 设m R ∈，在平面直角坐标系中，已知向量(,1)a mx y =+，向量(,1)b x y =-,a b ⊥,动点(,)M x y 的轨迹为E.（1）求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（2）已知41=m ，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥(O 为坐标原点) ，并求出该圆的方程；（3）已知41=m ，设直线l 与圆C:222x y R +=(1<R<2)相切于A1，且l 与轨迹E 只有一个公共点B1，当R 为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值.解:（1）因为a b ⊥,(,1)a mx y =+,(,1)b x y =-, 所以2210a b mx y ⋅=+-=, 即221mx y +=.当m=0时,方程表示两直线,方程为1±=y ；当1m =时, 方程表示的是圆；当0>m 且1≠m 时,方程表示的是椭圆；当0<m 时,方程表示的是双曲线.(2).当41=m 时, 轨迹E 的方程为2214x y +=,设圆心在原点的圆的一条切线为y kx t =+,解方程组2214y kx t x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx t ++=,即222(14)8440k x ktx t +++-=,要使切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,则使△=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+>, 即22410k t -+>,即2241t k <+, 且12221228144414kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22222222212121212222(44)84()()()141414k t k t t k y y kx t kx t k x x kt x x t t k k k --=++=+++=-+=+++,要使OA OB ⊥, 需使12120x x y y +=,即222222224445440141414t t k t k k k k ----+==+++,∴225440t k --=, 即22544t k =+且2241t k <+, 即2244205k k +<+恒成立. 所以又因为直线y kx t =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =222224(1)45115k t r k k +===++, 所求的圆为2245x y +=. 当切线的斜率不存在时,切线为552±=x ,与2214x y +=交于点)552,552(±或)552,552(±-也满足OA OB ⊥.综上, 存在圆心在原点的圆2245x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.(3)当41=m 时,轨迹E 的方程为2214x y +=,设直线l 的方程为y kx t =+,因为直线l 与圆C:222x y R +=(1<R<2)相切于A1, 由（2）知R =, 即222(1)t R k =+ ①,因为l 与轨迹E 只有一个公共点B1,由（2），2214y kx txy++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx t++=,即222(14)8440k x ktx t+++-=有唯一解则△=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t-+-=-+=, 即22410k t-+=,。

一、选择题（共12个小题，每题5分） 1. 函数()212log 617y x x =-+的值域是（ ）.A R.B [)8,+∞ .C (],3-∞- .D [)3,+∞2.设函数()f x 满足()(4)(f x f x x R=-∈,且当2x >时()f x 为增函数，记()()0.51.10.511.1,0.5,l o g 16a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a b c 、、的大小关系为（ ） .A c b a << .B c a b << .C b a c << .D a b c <<3. 若()2log 1log 20a a a a +<<,则a 的取值范围是（ ） .A ()0,1.B 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.C 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.D ()1,+∞4.已知函数()212log y x ax a =-+在)+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）.A )4⎡⎣.B 2⎡⎤⎣⎦.C (,-∞.D )⎡+∞⎣5.若不等式2log 0a x x -<对任意的10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）.A ()0,1.B 1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭.C ()1,+∞ .D 10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦ 6.当()0,x ∈+∞时，幂函数()2531m y m m x --=--为减函数，则m 的值为（ ）.A 2m =.B 1m =- .C 1m =-或2m = .D 以上答案都不对7. 若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则 ( ) .A <<a b c .B <<c b a .C <<c a b.D <<b a c 8. 若关于x 的方程)lg(12a x x -=-有正数解，则实数a 的取值范围（ ） .A -100a <≤ .B -1<0a ≤ .C 0<1a ≤ .D 0<10a ≤ 9. 已知()()=+1>0,1a g x log x a a ≠在()-1,0上有()>0g x ，则()+1=x f x a是（ ）.A 在（-∞，0）上的增函数 .B 在（-∞，0）上的减函数 .C 在（-∞，-1）上的增函数.D 在（-∞，-1）上的减函数 10.函数()y f x =与()2xg x e =+的图像关于原点对称，则()f x 的解析式为（ ）.A ()2x f x e =--.B ()2x f x e -=-+ .C ()2x f x e -=--.D ()2x f x e -=+11. 设()()1232 2log 21x e x f x x x -<=≥⎧⎪⎨-⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为( ) .A (1,2)(3,)+∞.B )+∞ .C (1,2)(10,)+∞ .D (1,2)12. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,0x ≥时,()()2221232f x x a x a a =-+--.若对()(),1x R f x f x ∀∈-≤,则实数a 的取值范围是（ ）.A 11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.B ⎡⎢⎣⎦.C 1133⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.D ⎡⎢⎣⎦二、填空题（共6个小题，每题5分）13.函数()31log x y -=_______________ 14. 如果函数()()13443--+⋅=xx aa x f 是奇函数，则a = 15. 方程()12321log 3+=⋅-x x 的解是16. 若21a b a >>>，则log b ba，log b a ，log a b 从小到大依次为 ；17.化简41332233814a a bb a ⎛-÷- ⎝+的结果是 . 18. 已知函数()f x x x px q =++()x ∈R ，给出下列四个命题：①()f x 为奇函数的充要条件是0q =； ②()f x 的图象关于点()0,q 对称；③当0p =时，方程()f x =0的解集一定非空；④当0p ≥或24p q ≤或24p q ≤-时，方程()f x =0的解的个数一定不超过2． 其中正确命题序号为 .三、解答题（共有4个题，每题15分）19. 对于函数()()212log 23f x x ax =-+，解答下列问题：（1）若()f x 的定义域是R ，求a 的取值范围； （2）若()f x 的值域是R ，求a 的取值范围；（3）若()f x 在[)1,-+∞内上有意义，求a 的取值范围； （4）若()f x 的值域是(],1-∞-，求a 的取值范围； （5）若()f x 在(],1-∞内为增函数，求a 的取值范围.20.设0a >且1a ≠，求函数()()[)()1210,2x xf x a a a x +=+-∈+∞的值域21. 已知函数()()()log 11.a f x x a =+>若函数()y g x =的图象上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数()f x 的图象 （1）写出函数()y g x =的解析式；（2）求不等式2()()0f x g x +≥的解集A ；（3）当x A ∈时，总有()()f x g x m +≥成立，求m 的取值范围.22. 设函数,223,2)1(,)(2b c a af c bx ax x f >>-=++=且求证： （1）4330-<<->a b a 且； （2）函数)(x f 在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设21,x x 是函数)(x f 124|x x |-<2015届高三数学统练2答案一、选择题 CDCCBA CACCCB二、填空题： 13. ()1,+∞ 14. 2 15. -116. log log log bb a ba b a<< 17. a 18. ①②③④三、解答题21. 已知函数()()()log 11.a f x x a =+>若函数()y g x =的图象上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数()f x 的图象 （1）写出函数()y g x =的解析式；（2）求不等式2()()0f x g x +≥的解集A ；（3）当x A ∈时，总有()()f x g x m +≥成立，求m 的取值范围. 21. 解:(1) ()()log 1a g x x =-- (2) ()()2log 1log 10a a x x +--≥()21l o g 0111ax xx ⎧+⎪≥⎨-⎪-<<⎩，得解集[)0,1 (3) ()()log 1log 1a a x x m +--≥恒成立即1log 1ax m x +≤-恒成立，1log 1a xx+-在[)0,1上值域[)0,+∞ 所以0m ≤.22. 设函数,223,2)1(,)(2b c a af c bx ax x f >>-=++=且求证： （1）4330-<<->a b a 且； （2）函数)(x f 在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设21,x x 是函数)(x f12|x x |-<∴函数f （x ）在区间（1，2）内至少有一个零点. 综合①②得f （x ）在（0，2）内至少有一个零点 （3）∵x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点 则0,221=++c bx ax x x 是方程的两根 ∴ab ac x x a b x x --==-=+23,2121 2)2()23(4)(4)(||222122121++=----=-+=-∴aba b a b x x x x x x433-<<-a b 12|x x |-<。

南开中学2015届高三物理第一次月检测2014.10 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共100分。

考试用时90分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色钢笔、签字笔或圆珠笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

用铅笔将考试科目（物理）填涂在答题卡上，并将相应的准考证号信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：（共15小题，每小题3分，共45分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确。

）1．下列物理量为标量的是（）A．速度B．加速度 C．时间D．位移【答案】C既有大小又有方向的物理量为矢量，只有大小没有方向的物理量为标量，时间是只有大小没有方向的物理量，所以为标量。

【考点】标量，矢量2．某人估测一竖直枯井深度，从井口静止释放一石块并开始计时，经2 s听到石头落底声。

由此可知井深约为(不计声音传播时间,重力加速度g取10 m/s2)( )A．10 m B．20 m C．30 m D．40 m【答案】B根据自由落体的运动公式【考点】自由落体运动3．在下列单位中，不属于国际制基本单位的是（）A．开尔文 B．千克 C．安培 D．牛顿【答案】D开尔文、千克、安培、米、秒和焦耳是最常用的几个基本的国际单位制，牛顿是力学单位，是导出单位，不是基本单位。

【考点】单位制4．如图所示，物体a、b和c叠放在水平桌面上，水平力 F b=5 N、F C=10 N分别作用于物体b、c上，a、b和c仍保持静止。

以f1、f2、f3分别表示a与b、b与c、c与桌面间的静摩擦力的大小则（）A．f1=0，f2=5N，f3=5NB．f1=5N，f2=5N，f3=0C．f1=5N，f2=0，f3=5ND．f1=0，f2=10 N，f3=5 N【答案】A解：以a为研究对象，根据平衡条件得到：b对a的静摩擦力大小F1=0，否则a水平方向所受的合力不为零，不能保持平衡．以ab整体为研究对象，根据平衡条件得到：F2=F b=5N．再以三个物体整体为研究对象，根据平衡条件得：F3=F c-F b=10N-5N=5N，方向水平向左．所以F1=0，F2=5N，F3=5N．故选：A．【考点】摩擦力的判断与计算5．一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a-t图像如图所示。

天津市南开中学2015届高三热身考试数学试卷（理科） I 卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=( ).A.1i +B. 1i -C. 1i --D. 1i -+2. 设变量,x y 满足约束条件01030y x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2x z y =+的最大值为( ).A. 12-B. 52C. 32D. 33. 已知命题4:0,4p x x x ∀>+≥；命题001:(0,),22x q x ∃∈+∞=，则下列判断正确的是( ).A ．p 是假命题 B. q 是真命题 C. ()p q ∧⌝是真命题 D. ()p q ⌝∧是真命题4. 若执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值为( ).A ．8 B. 7 C.6 D.55. 等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3426235a a a +-=，则7S =( ).A ．28 B. 21 C.14 D.7考试时间：120分钟6. 已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且2cos 3C =,2AC CB ?-，且则,26=+b a c 边长为( ).B. 4C.7. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数y =的图象交于点P ，若函数y =的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率为( ).D.328. 设函数()22,0||,0x b x x f x a x x ⎧++≤=⎨->⎩.若两条平行直线680x y a ++=与3110x by ++=之间的距离为a ，则函数()()()ln 2g x f x x =-+的零点个数为( ). A. 1B. 2C. 3D. 4II 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．)二、填空题：(每小题5分，共30分．)9. 为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是__________.10. 一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积为__________.AD11. 如图,已知ABC ∆内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上，AD 是⊙O 的切线，若o 30=∠B ,3AC =,则OD 的长为__________.12. 已知0c o s s i n )a x x d x p=-ò，则二项式25()ax x+展开式中x 的系数为__________.13. 如图，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅的值为__________.14. 已知函数()ln 1p x x =+，()x q x e =，若()()12q x p x =成立，则21x x -的最小值为__________.三、解答题：(15—18每小题13分，19—20每小题14分，共80分．) 15. 某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。