【全程复习方略】(山东专用)高中数学 8.9曲线与方程(含轨迹问题)课时提能训练 理 新人教B版

【全程复习方略】（山东专用）2014版高考数学 第八章 第十节 圆锥曲线的综合问题课时提升作业 理 新人教A 版一、选择题1.过抛物线y=2x 2的焦点的直线与抛物线交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1x 2=( )(A)-2 (B)12- (C)-4 (D)116- 2.(2013·郑州模拟)设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )(A)［12-，12］ (B)［－2，2］(C)［－1，1］ (D)［－4，4］3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )(A)1(C)2(D)4.(2013·烟台模拟)若点O 和点F 分别为椭圆22x y 143+=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)85.(2013·武汉模拟)已知抛物线方程为y 2=4x,直线l 的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1,P 到直线l 的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为( )(A)22+(B) 2+1(C) 2-2(D) 2-1 6.(能力挑战题)若已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1,F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )(A)(0,+∞) (B)(13,+∞) (C)(15,+∞) (D)(19,+∞) 二、填空题 7.(2013·青岛模拟)过椭圆C ：2222x y 1a b+=(a>b>0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若11k 32<<,则椭圆离心率的取值范围为___________. 8.(2013·长春模拟)设连接双曲线2222x y 1a b -=与2222y x 1b a-=(a>0,b>0)的4个顶点的四边形面积为S 1，连接其4个焦点的四边形面积为S 2，则12S S 的最大值为________.9.过抛物线y 2=2px(p>0)上一定点P(x 0,y 0)(y 0>0)作两直线分别交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则120y y y +的值为 _____________.三、解答题 10.如图，已知椭圆C ：222x y 1a+=(a ＞1)的上顶点为A ，离心率为6，若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且AP AQ 0=.(1)求椭圆C 的方程.(2)求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标.11.(2013·厦门模拟)已知椭圆E ：2222x y 1a b+= (a>b>0)的离心率e=5,a 2与b 2的等差中项为132. (1)求椭圆E 的方程.(2)A ，B 是椭圆E 上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P(t,0),求实数t 的取值范围.12.(能力挑战题)给定椭圆C ：2222x y 1a b+=(a>b>0),称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为F(2，0),其短轴上的一个端点到F 的距离为3.(1)求椭圆C 的方程和其“准圆”的方程.(2)点P 是椭圆C 的“准圆” 上的一个动点，过动点P 作直线l 1，l 2使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点，且l 1，l 2分别交其“准圆”于点M ，N.①当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求l 1，l 2的方程；②求证：|MN|为定值.答案解析1.【解析】选D.由y=2x 2得21x y 2=,其焦点坐标为F(0,18)，取直线y=18,则其与y=2x 2交于A(-14，18)，B(14, 18),∴x 1x 2=(-14)·(14)＝-116. 【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题，一般取其特殊位置探索其值即可.2.【解析】选C.设直线方程为y=k(x+2)，与抛物线联立方程组，整理得ky 2-8y+16k=0.当k=0时，直线与抛物线有一个交点．当k ≠0时，由Δ=64-64k 2≥0，解得-1≤k ≤1且k ≠0.综上-1≤k ≤1.3.【解析】选D.设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,a 2-b 2=c 2,由题意，12·2c ·b ＝1， ∴bc=1,b 2+c 2=a 2≥2bc=2. ∴a ≥2.∴长轴的最小值为22.4.【解析】选C.设P(x 0,y 0)，则2200x y 143+=即22003x y 34=-，又∵F(-1,0), ∴()()22200000011OP FP x x 1y x x 3x 2244=++=++=++，又x 0∈［-2,2］， ∴(OP FP)∈［2,6］，所以(OP FP)max =6.5.【思路点拨】画出图象，通过图象可知点P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线l 的垂线，此时d 1+d 2最小，根据抛物线方程求得F 的坐标，进而利用点到直线的距离公式求得d 1+d 2的最小值.【解析】选D.如图所示，由抛物线的定义知，|PF|＝d 1+1,∴d 1＝|PF|-1,d 1+d 2=d 2+|PF|-1,显然当直线PF 垂直于直线x-y+4=0时，d 1+d 2最小,此时d 2+|PF|为F 到直线x-y+4=0的距离.由题意知F 点的坐标为(1，0)，所以()2min 221045d |PF |2211-++==+. ∴(d 1+d 2)min =522-1.6.【解析】选B.由题意知|PF 1|=r 1=10，|PF 2|=r 2=2c ，且r 1＞r 2．2122c 2c 2c c e 2a r r 102c 5c====---双； 1122c 2c 2c c e 2a r r 102c 5c====+++椭． ∵三角形两边之和大于第三边，∴2c+2c ＞10，即c ＞52，∴21222c 11e e 2525c 31c ==--＞，因此选B. 7.【解析】由题意知：B(c,2b a), ∴2b ac a k 1e c a a-===-+. 又11k 32<<,∴111e 32<-<,解得12e 23<<. 答案：(12，23) 8.【思路点拨】将12S S 用a,b 表示，利用基本不等式求最值. 【解析】S 1＝12·2a ·2b=2ab,S 2=12·2+b 2),1222S ab S a b =+(a>0,b>0), ∴12S 11a b S 2b a≤+＝ (当且仅当a=b 时取等号). 答案：12 9.【解析】设直线PA 的斜率为k PA ,PB 的斜率为k PB ,由y 12=2px 1,y 02=2px 0,得10PA 1010y y 2p k x x y y -==-+, 同理PB 202p k y y =+, 由于PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，因此10202p 2p y y y y =-++,即y 1+y 2=-2y 0(y 0>0), 那么120y y 2y +=-. 答案：-210.【解析】(1)依题意有22c a a 3c a c 1⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩故椭圆C 的方程为：22x y 13+=. (2)由AP AQ 0=，知AP ⊥AQ ，从而直线AP 与坐标轴不垂直，由A(0,1)可设直线AP 的方程为y=kx+1,直线AQ 的方程为y=-1kx+1(k ≠0). 将y=kx+1代入椭圆C 的方程22x y 13+=并整理得：(1+3k 2)x 2+6kx=0, 解得x=0或26k x 13k =-+,因此P 的坐标为(26k 13k-+,226k 13k -++1), 即(26k 13k -+,2213k 13k-+), 将上式中的k 换成-1k ,得Q(26k k 3+,22k 3k 3-+). 直线l 的方程为222222222k 313k 6k k 3k 313k y (x )6k 6k k 3k 3k 313k ----++=-++++++, 化简得直线l 的方程为2k 11y x 4k 2-=-, 因此直线l 过定点N(0，- 12). 11.【解析】(1)由题意得22222a b 13,a b 5,a9⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 解得：22a 9b 4.⎧=⎪⎨=⎪⎩即椭圆E 的方程为22x y 1.94+= (2)设A ，B 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2).因线段AB 的垂直平分线与x 轴相交，故AB 不平行于y 轴,即x 1≠x 2.又交点为P(t,0),故｜PA ｜＝｜PB ｜，即(x 1-t)2+y 12=(x 2-t)2+y 22,∴()22211221y y x x t 2x x 2-+=+-① ∵A,B 在椭圆上，∴22114y 4x 9-＝,22224y 4x 9=-. 将上式代入①，得()125x x t 18+=. 又∵-3≤x 1≤3,-3≤x 2≤3,且x 1≠x 2,∴-6<x 1+x 2<6，则55t 33-<<, 即实数t 的取值范围是(53-，53). 【一题多解】(1)同原题.(2)设A,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).因线段AB 的垂直平分线与x 轴相交，故AB 不平行于y 轴,即x 1≠x 2.(ⅰ)若y 1=y 2,则线段AB 的垂直平分线方程为x=0,即t=0.(ⅱ)若y 1≠y 2，则线段AB 的垂直平分线方程为12211221y y x x x x y (x ).2y y 2+-+-=--- ∵P(t,0)在直线上，∴()22211221y y x x t 2x x 2-+=+- ① ∵A,B 在椭圆上，∴22114y 4x 9=-,22224y 4x 9=-. 将上式代入①,得()125x x t 18+=. 又∵-3≤x 1≤3,-3≤x 2≤3,且x 1≠x 2,∴-6<x 1+x 2<6,则55t 33-<<. 综合(ⅰ)(ⅱ)得实数t 的取值范围是(53-，53). 12.【解析】(1)∵∴b=1. ∴椭圆方程为22x y 13+=, 准圆方程为x 2+y 2=4.(2)①因为准圆x 2+y 2=4与y 轴正半轴的交点为P(0，2)，设过点P(0，2)且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,所以由22y kx 2,x y 13=+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y, 得(1+3k 2)x 2+12kx+9=0.因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点，所以Δ=144k 2-4×9(1+3k 2)=0,解得k=±1.所以l 1,l 2的方程分别为y=x+2,y=-x+2.②(ⅰ)当l 1, l 2中有一条无斜率时，不妨设l 1无斜率，因为l 1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=.当l 1方程为此时l 1与准圆交于点1)，，-1)，此时经过点1)(或且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1(或y=-1), 即l 2为y=1(或y=-1),显然直线l 1, l 2垂直；同理可证l 1方程为x =l 1, l 2垂直.(ⅱ)当l 1, l 2都有斜率时，设点P(x 0,y 0),其中x 02+y 02＝4.设经过点P(x 0,y 0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x 0)+y 0, 则()0022y tx y tx ,x y 1,3⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y, 得(1+3t 2)x 2+6t(y 0-tx 0)x+3(y 0-tx 0)2-3=0.由Δ＝0化简整理得：(3-x 02)t 2+2x 0y 0t+1-y 02=0.因为x 02+y 02＝4，所以有(3-x 02)t 2+2x 0y 0t+(x 02-3)=0.设l 1, l 2的斜率分别为t 1,t 2,因为l 1, l 2与椭圆只有一个公共点，所以t 1,t 2满足上述方程(3-x 02)t 2+2x 0y 0t+(x 02-3)=0,所以t 1·t 2＝-1，即l 1，l 2垂直.综合(ⅰ)(ⅱ)知：因为l 1, l 2经过点P(x 0,y 0)，又分别交其准圆于点M ，N ，且l 1, l 2垂直，所以线段MN 为准圆x 2+y 2=4的直径，所以｜MN|=4.。

【全程复习方略】（山东专用）2013版高中数学 2.1函数及其表示课时提能训练 理 新人教B 版 (45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2011·广东高考)函数f(x)＝11－x ＋lg(1＋x)的定义域是( )(A)(－∞，1) (B)(1，＋∞)(C)(－1,1)∪(1，＋∞) (D)(－∞，＋∞)2.(2012·日照模拟)已知函数f(x)＝2x ＋1(1≤x≤3)，则( )(A)f(x －1)＝2x ＋2(0≤x≤2)(B)f(x －1)＝2x －1(2≤x≤4)(C)f(x －1)＝2x －2(0≤x≤2)(D)f(x －1)＝－2x ＋1(2≤x≤4)3.(预测题)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>0x ＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于( ) (A)－3 (B)－1 (C)1 (D)34.(2012·抚顺模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1， x ＜0f(x －1)＋1，x≥0，则f(2 013)＝( ) (A)2 010 (B)2 011 (C)2 012 (D)2 013 5.(2012·潍坊模拟)函数y ＝12x －1的图象关于x 轴对称的图象大致是()6.函数y ＝x 11x 22x (2],22x (2)⎧∈∞⎪⎨∈∞⎪⎩－－－　－，－　，＋的值域为( )(A)(32－，＋∞) (B)(－∞，0] (C)(－∞，32－) (D)(－2,0],二、填空题(每小题6分，共18分)7.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的定义域是 .8.(2011·江苏高考)已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1－x －2a ，x≥1，若 f(1－a)＝f(1＋a)，则a 的值为 .9.已知函数f(x)＝x 21＋x 2，那么f(1)＋f(2)＋f(12)＋f(3)＋f(13)＋f(4)＋f(14)＝ .三、解答题(每小题15分，共30分)10.已知f(x)＝x 2＋2x －3，用图象法表示函数g(x)＝f(x)＋|f(x)|2.11.(易错题)已知f(x)＝x 2－1，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x ＞02－x ，x ＜0.(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；(2)求f(g(x))和g(f(x))的解析式.【探究创新】(16分)如果对∀x ，y∈R 都有f(x ＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝2，(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值.(2)求f(2)f(1)＋f(4)f(3)＋f(6)f(5)＋…＋f(2 008)f(2 007)＋f(2 010)f(2 009)＋f(2 012)f(2 011)的值.答案解析1.【解析】选C.要使函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≠01＋x>0，解得x>－1且x ≠1，从而定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C.2.【解析】选B.∵f(x)＝2x ＋1，∴f(x －1)＝2(x －1)＋1＝2x －1，且1≤x －1≤3，∴2≤x ≤4，∴f(x －1)＝2x －1(2≤x ≤4).3.【解析】选A.∵f(1)＝2，∴f(a)＝－2，∴a ＋1＝－2即a ＝－3.4.【解析】选C.由已知f (0)＝f(0－1)＋1＝f(－1)＋1 ＝－1－1＋1＝－1，f(1)＝f(0)＋1＝0，f(2)＝f(1)＋1＝1，f(3)＝f(2)＋1＝2，…f(2 013)＝f(2 012)＋1＝2 011＋1＝2 012.5.【解题指南】弄清函数y ＝12x －1的定义域、图象、所求函数与已知函数图象之间的关系.【解析】选B.已知函数y ＝12x －1的定义域为[0，＋∞)，图象过点(0，－1)和(1,0)，∴所求函数的定义域也是[0，＋∞)，图象过点(0,1)和(1,0)，故选B.6.【解析】选D.∵x ≤2，∴x －1≤1得0＜2x －1≤2，,∴－2＜2x －1－2≤0, 同理：x ＞2得－2＜21－x －2＜32－. 综上可得－2＜y ≤0.,【变式备选】设函数g(x)＝x 2－2(x ∈R)，f(x)＝()()()()g x x 4x g x ,g x x x g x ⎧⎪⎨≥⎪⎩＋＋，＜－，，则f(x)的值域是( ) (A)[94－,0]∪(1，＋∞) (B)[0，＋∞), (C)[ 94－，＋∞)(D)[ 94－,0]∪(2，＋∞), 【解析】选D.由x ＜g(x)得x ＜x 2－2，,∴x ＜－1或x ＞2；,由x ≥g(x)得x ≥x 2－2，,∴－1≤x ≤2，∴f(x)＝22x x 2x 1x 2.x x 21x 2⎧⎪⎨≤≤⎪⎩＋＋，＜－或＞－－，－即f(x)＝2217(x x 1x 224.19(x 1x 224⎧⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩＋)＋，＜－或＞-)-，－ 当x ＜－1时，f(x)＞2；当x ＞2时，f(x)＞8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，,函数的值域为(2，＋∞).当－1≤x ≤2时，94－≤f(x)≤0.∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[94－,0].综上可知，f(x)的值域为[94－,0]∪(2，＋∞).7.【解析】要使函数有意义，需要f(x)＞0，由f(x)的图象可知，当x ∈(2,8]时，f(x)＞0. 答案：(2,8]8.【解析】当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意； 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34. 答案：－34【误区警示】解答本题易忽视讨论或讨论但忽视－32＜0，误认为有两个答案而失误，根本原因是对分段函数理解不到位以及对分类讨论思想不熟练而致.9.【解题指南】解答本题，需先探究f(x)＋f(1x)的值，再求式子的值. 【解析】∵f(x)＋f(1x )＝x 21＋x 2＋1x 21＋1x 2 ＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1. ∴原式＝12＋1＋1＋1＝72. 答案：7210.【解析】当f(x)≤0时，由x 2＋2x －3≤0可得－3≤x ≤1，此时，g(x)＝0；当f(x)＞0时，由x 2＋2x －3＞0可得x ＜－3或x ＞1.此时g(x)＝f(x)＝(x ＋1)2－4.∴g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0 ，－3≤x ≤1(x ＋1)2－4，x ＜－3或x ＞1， 其图象如图所示.11.【解析】(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3， ∴f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.(2)当x ＞0时，g(x)＝x －1，故f(g(x))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x ＜0时，g(x)＝2－x ，故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x 2－4x ＋3；∴f(g(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ， x ＞0x 2－4x ＋3，x ＜0，当x ＞1或x ＜－1时，f(x)＞0，故g(f(x))＝f(x)－1＝x 2－2；当－1＜x ＜1时，f(x)＜0，故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x 2，∴g(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，x ＞1或x ＜－13－x 2，－1＜x ＜1.【探究创新】【解析】(1)∵对∀x ，y ∈R ，f(x ＋y)＝f(x)·f(y)， 且f(1)＝2，f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，f(3)＝f(2＋1)＝f(1)·f(2)＝23＝8.f(4)＝f(2＋2)＝f(2)·f(2)＝24＝16.(2)由(1)知f(2)f(1)＝2，f(4)f(3)＝2，f(6)f(5)＝2，…， f(2 012)f(2 011)＝2， 故原式＝2×1 006＝2 012.。

【全程复习方略】2014版高考数学 8.8曲线与方程课时提升作业理北师大版一、选择题1.(2013·九江模拟)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是( )(A)一条直线和一条双曲线(B)两条双曲线(C)两个点(D)以上答案都不对2.(2013·汉中模拟)设P为圆x2+y2=1上的动点,过P作x轴的垂线,垂足为Q,若=λ(其中λ为正常数),则点M的轨迹为( )(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线3.(2013·铜陵模拟)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )(A)x2+y2=2 (B)x2+y2=4(C)x2+y2=2(x≠±2) (D)x2+y2=4(x≠±2)4.设x1,x2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹是( )(A)圆(B)椭圆的一部分(C)双曲线的一部分(D)抛物线的一部分5.(2013·安庆模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=16上的两点,且|AB|=6,若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1,-1),则圆心M的轨迹方程是( )(A)(x-1)2+(y+1)2=9(B)(x+1)2+(y-1)2=9(C)(x-1)2+(y-1)2=9(D)(x+1)2+(y+1)2=96.已知动点P(x,y),若lgy,lg|x|,lg成等差数列,则点P的轨迹图象是( )7.已知点P在定圆O的圆内或圆周上,动圆C过点P与定圆O相切,则动圆C的圆心轨迹可能是( )(A)圆或椭圆或双曲线(B)两条射线或圆或抛物线(C)两条射线或圆或椭圆(D)椭圆或双曲线或抛物线8.(2013·合肥模拟)在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B(-,0),C(,0)(a>0)且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是( )(A)-=1(y≠0) (B)-=1(x≠0)(C)-=1(x<-) (D)-=1(x>)二、填空题9.(2013·景德镇模拟)如图所示,过点P(2,4)作互相垂直的直线l1,l2.若l1交x轴于A,l2交y轴于B,则线段AB中点M的轨迹方程为.10.(2013·宝鸡模拟)设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹方程为.11.坐标平面上有两个定点A,B和动点P,如果直线PA,PB的斜率之积为定值m,则点P的轨迹可能是:①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆;⑤直线.试将正确的序号填在横线上: .12.(能力挑战题)设椭圆方程为x2+=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点,点P满足=(+),当l绕点M旋转时,动点P的轨迹方程为.三、解答题13.(2013·西安模拟)在平面直角坐标系内已知两点A(-1,0),B(1,0),若将动点P(x,y)的横坐标保持不变,纵坐标扩大到原来的倍后得到点Q(x,y),且满足·=1.(1)求动点P所在曲线C的方程.(2)过点B作斜率为-的直线l交曲线C于M,N两点,且++=0,试求△MNH的面积.14.(2013·南昌模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,P为椭圆C上的动点.(1)求椭圆C的标准方程.(2)M为过P且垂直于x轴的直线上的点,若=λ(O为坐标原点),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线?答案解析1.【解析】选C.(x-y)2+(xy-1)2=0⇔∴或2.【解析】选B.设M(x,y),P(x0,y0),则Q(x0,0),由=λ得(λ>0),∴由于+=1,∴x2+(λ+1)2y2=1,∴M的轨迹为椭圆.3.【解析】选D.设P(x,y),则|PM|2+|PN|2=|MN|2,所以x2+y2=4(x≠±2).【误区警示】本题易误选B.错误的根本原因是忽视了曲线与方程的关系,从而导致漏掉了x≠±2.4.【解析】选D.∵x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,∴==2.则P(x,2).设P(x1,y1),即消去x得=4ax1(x1≥0,y1≥0),故点P的轨迹为抛物线的一部分.5.【解析】选A.因为以AB为直径的圆恰好经过点C(1,-1),∴CA⊥CB,故△ACB为直角三角形,又M为斜边AB中点,∴|MC|=|AB|=3,故点M的轨迹是以C(1,-1)为圆心,3为半径的圆,其方程为(x-1)2+(y+1)2=9.6.【解析】选C.由题意可知2lg|x|=lgy+lg,∴⇒⇒⇒7.【解析】选C.当点P在定圆O的圆周上时,圆C与圆O内切或外切,O,P,C三点共线,∴轨迹为两条射线; 当点P在定圆O内时(非圆心),|OC|+|PC|=r0为定值,轨迹为椭圆;当P与O重合时,圆心轨迹为圆.【误区警示】本题易因讨论不全,或找错关系而出现错误.8.【解析】选D.∵sinC-sinB=sinA,由正弦定理得到|AB|-|AC|=|BC|=a(定值).∴A点轨迹是以B,C为焦点的双曲线右支(不包括点(,0)),其中实半轴长为,焦距为|BC|=a.∴虚半轴长为= a.∴动点A的轨迹方程为-=1(x>).9.【解析】设点M的坐标为(x,y),∵M是线段AB的中点,∴A点的坐标为(2x,0),B点的坐标为(0, 2y).∴=(2x-2,-4),=(-2,2y-4).由已知·=0,∴-2(2x-2)-4(2y-4)=0,即x+2y-5=0.∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.答案:x+2y-5=010.【解析】设P(x,y),圆上的动点N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为(,),线段MN的中点坐标为(,),又因为平行四边形的对角线互相平分,所以有可得又因为N(x0,y0)在圆上,所以N点坐标应满足圆的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-,)和(-,).答案:(x+3)2+(y-4)2=4(除去两点(-,)和(-,))11.【解析】以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设A(-a,0),B(a,0),P (x,y),则有·=m,即mx2-y2=a2m,当m<0且m≠-1时,轨迹为椭圆;当m>0时,轨迹为双曲线;当m=-1时,轨迹为圆;当m=0时,轨迹为一直线;但轨迹不可能是抛物线.答案:①②④⑤12.【思路点拨】设直线l的斜率为k,用参数法求解,但需验证斜率不存在时是否符合要求.【解析】直线l过点M(0,1),当斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题设可得点A,B的坐标(x1,y1),(x2,y2)是方程组的解,将①代入②并化简得,(4+k2)x2+2kx-3=0,所以于是=(+)=(,)=(,).设点P的坐标为(x,y),则消去参数k得4x2+y2-y=0, ③当斜率不存在时,A,B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.答案:4x2+y2-y=0【方法技巧】利用参数法求轨迹方程的技巧参数法是求轨迹方程的一种重要方法,其关键在于选择恰当的参数.一般来说,选参数时要注意:①动点的变化是随着参数的变化而变化的,即参数要能真正反映动点的变化特征;②参数要与题设的已知量有着密切的联系;③参数要便于轨迹条件中的各种相关量的计算,也要便于消去.常见的参数有角度、斜率、点的横坐标、纵坐标等.13.【解析】(1)点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x,y).依据题意,有=(x+1,y),=(x-1,y).∵·=1,∴x2-1+2y2=1.∴动点P所在曲线C的方程是+y2=1.(2)因直线l过点B,且斜率为k=-,故有l:y=-(x-1).联立方程组消去y,得2x2-2x-1=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),可得于是又++=0,得=(-x1-x2,-y1-y2),即H(-1,-),∴|MN|==,又l:x+2y-=0,则H到直线l的距离为d==,故所求△MNH的面积为S=××=.14.【解析】(1)由题意可设圆的方程为x2+y2=b2(b>0),∵直线x-y+2=0与圆相切,∴d==b,即b=,又e==,即a=c,a2=b2+c2,解得a=,c=1,∴椭圆方程为+=1.(2)设M(x,y),其中x∈[-,].由已知=λ2及点P在椭圆C上可得==λ2,整理得(3λ2-1)x2+3λ2y2=6,其中x∈[-,].①当λ=时,化简得y2=6,∴点M的轨迹方程为y=±(-≤x≤),轨迹是两条平行于x轴的线段;②当λ≠时,方程变形为+=1,其中x∈[-,],当0<λ<时,点M的轨迹为中心在原点,实轴在y轴上的双曲线满足-≤x≤的部分; 当<λ<1时,点M的轨迹为中心在原点,长轴在x轴上的椭圆满足-≤x≤的部分;当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点,长轴在x轴上的椭圆.。

【全程复习方略】（山东专用）2013版高中数学 8.6双 曲 线课时提能训练 理新人教B 版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )(A)5x 2－5y 24＝1 (B)x 25－y 24＝1 (C)y 25－x 24＝1 (D)5y 2－5x 24＝1 2.“ab＜0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( )(A)必要但不充分条件(B)充分但不必要条件 (C )充分必要条件(D)既不充分也不必要条件3.(易错题)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为( ) (A)54(B)53或76 (C)54或53(D)54或65 4.已知双曲线x 225－y 29＝1的左支上一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是线段MF 2的中点，O 是坐标原点，则|ON|等于( )(A)4 (B)2 (C)1 (D)235.已知双曲线x 2a －y 2b ＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝233，若顶点到渐近线的距离为1，则此双曲线的虚轴长为( ) (A)2 (B)233 (C)4 (D)4336.(预测题)设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )(A)3x±4y＝0(B)3x±5y＝0(C)4x±3y＝0 (D)5x±4y＝0二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·德州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sinA －sinC sinB＝ . 8.P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为 .9.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA |－|PB |＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP ＝12(OA ＋OB )，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点. 其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号).三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·亳州模拟)已知双曲线与椭圆x 26＋y 23＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，其四个交点恰好是一个正方形的四个顶点，求此双曲线的方程.11.已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M(1,3). (1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF|·|BF|＝17，求证：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.【探究创新】(16分)某飞船返回仓顺利返回地球后，为了及时救出航天员，地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心(如图1分别记为A ，B ，C)，B 地在A 地正东方向上，两地相距6 km ； C 地在B 地北偏东30°方向上，两地相距4 km ，假设P 为航天员着陆点，某一时刻A 救援中心接到从P 点发出的求救信号，经过4 s 后，B 、C 两个救援中心也同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1 km/s.(1)求A 、C 两地救援中心的距离；(2)求P 相对A 的方向角；(3)试分析信号分别从P 点处和P 点的正上方Q 点(如图2，返回仓经Q 点垂直落至P 点)处发出时，A 、B 两个救援中心收到信号的时间差的变化情况(变大还是变小)，并证明你的结论.答案解析1.【解析】选A.因为圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心坐标为(1,0)，所以双曲线中c ＝1，又因为双曲线的离心率为c a ＝5，所以a ＝55，b 2＝45，因此，双曲线方程为5x 2－5y 24＝1. 2.【解析】选A.若ax 2＋by 2＝c 表示双曲线，即x 2c a ＋y 2c b ＝1表示双曲线，则c 2ab＜0，这就是说“ab ＜0”是必要条件，然而若ab ＜0，c 可以等于0，即“ab ＜0”不是充分条件.3.【解析】选C.若双曲线焦点在x 轴上， 则b a ＝34， ⇒b 2a 2＝916，设a 2＝16k ，b 2＝9k ， 则c 2＝25k ，∴c 2a 2＝2516，∴e ＝54. 若双曲线焦点在y 轴上， 则a b ＝34⇒a 2b 2＝916， 设a 2＝9k ，b 2＝16k ，则c 2＝25k ，∴c 2a 2＝259，∴e ＝53， ∴选C.【误区警示】本题容易忽略对焦点位置情况分析导致错误.【变式备选】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则b 2＋13a的最小值 为( )(A)233 (B)33(C)2 (D)1 【解析】选A.因为双曲线的离心率为2，所以c a＝2， 即c ＝2a ，c 2＝4a 2；又因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2＝4a 2，即b ＝3a ， 因此b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥213＝233，当且仅当a ＝13a 时等号成立. 即b 2＋13a 的最小值为233. 4.【解析】选A.设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线的定义知：|MF 2|－|MF 1|＝10，又因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，而|ON|＝12|MF 1|＝4，故选A. 5.【解析】选D.双曲线的顶点A(a,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为：d ＝|b a ·a|1＋b 2a 2＝abc ＝1，又e ＝c a ＝233，所以b ＝c a ＝233.所以双曲线的虚轴长为2b ＝433. 6.【解析】选C.设PF 1的中点为M ，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以F 2M ⊥PF 1，因为|F 2M|＝2a ，在直角三角形F 1F 2M 中，|F 1M|＝(2c)2－(2a)2＝2b ，故|PF 1|＝4b ，根据双曲线的定义得4b －2c ＝2a ，即2b －c ＝a ，因为c 2＝a 2＋b 2，所以(2b －a)2＝a 2＋b 2，即3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a ，故双曲线的渐近线方程是y ＝±43x ， 即4x ±3y ＝0.【变式备选】F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是C 上一点，且△F 1PF 2是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为( )(A)1＋ 2 (B)2＋ 2 (C)3－ 2 (D)3＋ 2【解析】选A.设双曲线C 的焦距为2c ，依题设不妨令|F 1F 2|＝|PF 2|，即2c ＝b 2a ，∴2c ＝c 2－a 2a， 即2ac ＝c 2－a 2，∴e 2－2e －1＝0，∴e ＝2±4＋42＝1±2， 又∵e ＞1，∴e ＝1＋ 2.7.【解析】由条件可知|BC|－|BA|＝10，且|AC|＝12，又在△ABC 中，有|BC|sinA ＝|AB|sinC ＝|AC|sinB ，从而sinA －sinC sinB ＝|BC|－|AB||AC|＝56. 答案：568.【解析】双曲线的两个焦点F 1(－4,0)、F 2(4,0)分别为两个圆的圆心，两圆的半径分别为r 1＝2，r 2＝1.由题意得|PM|max ＝|PF 1|＋2，|PN|min ＝|PF 2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1) ＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5.答案：5【方法技巧】圆锥曲线上的点到定点距离的和、差的最值的求法一般不用选变量建立目标函数的方法求解，而是利用该点适合圆锥曲线的定义，将所求转化为与焦点的距离有关的最值问题，再利用数形结合法求解.9.【解析】①错误，当k ＞0且k ＜|AB|，表示以A 、B 为焦点的双曲线的一支；当k ＞0且k ＝|AB|时表示一条射线；当k ＞0且k ＞|AB|时，不表示任何图形；当k ＜0时，类似同上.②错误，P 是AB 中点，且P 到圆心与A 的距离的平方和为定值.故P 的轨迹应为圆.③方程两根为12和2，可以作为椭圆和双曲线的离心率，故正确.④由标准方程易求双曲线和椭圆的焦点坐标都为(±34，0)，故正确.答案：③④10.【解析】椭圆的焦点为(3，0)和(－3，0)由椭圆及双曲线的对称性可知，四个交点分别关于x 轴和y 轴对称，又是正方形的四个顶点，故可设第一象限中的交点为(m ，m)，代入椭圆方程，可得m ＝2(m ＝－2舍去)，于是第一象限中的交点为(2，2)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝32a －2b ＝1，解得a 2＝1，b 2＝2，可求得双曲线方程为x 2－y22＝1.11.【解析】(1)由题意知，l 的方程为y ＝x ＋2.代入C 的方程，并化简，得(b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0.设B(x 1，y 1)、D(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1·x 2＝－4a 2＋a 2b2b 2－a 2，①由M(1,3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，故12×4a2b 2－a 2＝1，即b 2＝3a 2，②故c ＝a 2＋b 2＝2a ，所以C 的离心率e ＝c a ＝2.(2)由①②知，C 的方程为：3x 2－y 2＝3a 2，A(a,0)，F(2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a22<0，故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a.|BF|＝(x 1－2a)2＋y 21＝(x 1－2a)2＋3x 21－3a 2＝a －2x 1，|FD|＝(x 2－2a)2＋y 22＝(x 2－2a)2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，|BF|·|FD|＝(a －2x 1)(2x 2－a)＝－4x 1x 2＋2a(x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8.又|BF|·|FD|＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17，解得a ＝1或a ＝－95(舍去).故|BD|＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝6.连接MA ，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，从而MA ＝MB ＝MD ，且MA ⊥x 轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切.所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.【探究创新】【解析】(1)以AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(－3,0)，B(3,0)，C(5,23)，则|AC|＝(5＋3)2＋(23)2＝219(km)，即A 、C 两个救援中心的距离为219 km.(2)∵|PC|＝|PB|，所以P 在BC 线段的垂直平分线上.又∵|PB|－|PA|＝4，所以P 在以A 、B 为焦点的双曲线的左支上，且|AB|＝6，∴双曲线方程为x24－y25＝1(x ＜0).BC 的垂直平分线的方程为x ＋3y －7＝0，联立两方程解得： x ＝－8.∴P(－8,53)，∴k PA ＝tan ∠PAB ＝－3，∴∠PAB ＝120°，所以P 点在A 点的北偏西30°方向上.(3)如图，设|PQ|＝h，|PB|＝x，|PA|＝y，∵|QB|－|QA|＝x2＋h2－y2＋h2＝x2－y2x2＋h2＋y2＋h2＝(x－y)·x＋yx2＋h2＋y2＋h2，又∵x＋yx2＋h2＋y2＋h2＜1，∴|Q B| －|QA|＜|PB|－|PA|，∴|QB|1－|QA|1＜|PB|1－|PA|1.即从P点的正上方Q点处发出的信号，然后A、B收到的时间差比从P点处发出的信号，然后A、B收到的时间差变小.。