应用基本不等式求最值)

1 解： ) ∵ 0 < x < ) (1 （ 2 1 1 1 ( 2 x ) + (1 − 2 x ) 2 1 ∴ y = x (1 − 2 x ) = 2 x (1 − 2 x ) ≤ [ ] = 2 4 4 2 16 1 1 当且仅当 2 x = 1 − 2 x，即 x = 时y max = 4 4
因此f(x)≤ 1 − 2 6 因此
3 3 2 式中等号成立。 当且仅当 2 x = ，即 x = 时，式中等号成立。 2 x

由于x>0，所以 x = ， 由于 因此 f ( x ) max
6 = 1 − 2 6 ，此时 x = 2
2
6 ，式中等号成立， 2
。
x + 3x + 1 练习： 1、求函数 f ( x ) = ( x > 0)的最值。 2x 2 x + 2x + 2 2、求函数 f ( x ) = ( x < 0)的最值。 2x
例 9 、设 a > 0 , b > 0，若 1 1 求 + 的最小值 a b .
3 是 3 a 与 3 b 的等比中项，
解析： 3 a . 3 b = 3 ∴ a + b = 1 ∵ 1 1 1 1 b a a b ∴ + = ( a + b )( + ) = 2 + + ≥ 2 + 2 . =4 a b a b a b b a
b2 例6、已知a、b ∈ (0,+∞), a 2 + = 1，求a 1 + b 2的最大值。 2 1
解析 : 变形 a =
2
. 2a, b 2 = 2 − 2a 2
解：由已知得 b 2 = 2 − 2 a 2 1 a 变形为 a = . 2a 2 ∴ a 1 + b 2 = a 3 − 2a 2 = 1 . 2 a. 3 − 2 a 2 2
———
练习： 2 ( x > −3)的最值. 1、求函数y = 2 x + x+3 x 2 + 7 x + 10 2、设x > −1，求函数y = 的最值. x +1 x2 + 5 3、求函数的y = 最值. x2 + 4 1 2 4、求函数y = x + 2 x + 2 的最小值. x + 2x + 3
1 9 例8、已知x > 0, y > 0且 + = 1，求x + y的最小值。 x y
1 9 解： x > 0, y > 0, + = 1 ∵ x y 1 1 y 9x ∴ x + y = ( x + y )( + ) = + + 10 ≥ 6 + 10 = 16 x y x y y 9x 当且仅当 = 时，上式取等号 x y 1 9 又 + =1 x y ∴ x = 4, y = 12时, ( x + y ) min = 16
重点、难点‘
1、二元均值不等式具有将“和式’转化为”积式”，“积式” 转化为“和式‘的放缩功能。 2、创设应用均值不等式的条件，先对给定的代数式进行等价 变形（合理拆分项或配凑因式、添加系数是常用技巧，而拆 与凑的目的是使和（或积）为定值。 3、均值不等式及其推论主要用于： A、证明不等式和求二元函数的最值。 B、解决和与积的不等问题。 C、结合不等式的性质、函数单调性解决“和与平方和”、 “和与倒数和”、’和与根式和”、‘和与两两之积之和 “等问题。 4利用均值不等式求最值必须紧扣”一正二定三相等’这三个 条件。即一正——代数式中的相关项必须都是正数；二定— —所求代数式中含变量的各项和或积必须是常数。三相等— —只有当各项相等（各项等起来的方程有解）时，才能应用 均值不等式求最值。
1 ( 2a)2 + 3 − 2a 2 ≤ [ ] 2 2 1 3 3 2 = × = 4 2 2 当且仅当 2a = 3 − 2a 2即 a = 3 2 3 时， a 1 + b 2 的最大值为 . 2 4
x y 例7.已知x, y ∈ R ，且满足 + = 1，求xy的最大值. 3 4
+
x y xy 解： + = 1 ≥ 2 ,∴ xy ≤ 3 ∴ xy ≤ 3 3 4 12
例 4 、当 x > 2 时，求下列函数的最值 x2 − 2x +1 (1 ) y = x− 2 x− 2 (2) y = ( x − 1) 2
。
1 解析：利用二次配方创造条件，应用∀a > 0, a + ≥ 2求解。 a
解： ) ∵ x > 2 (1 x 2 − 2 x + 1 ( x − 2) 2 + 2( x − 2) + 1 1 ∴ = = ( x − 2) + +2 x−2 x−2 x−2 1 ≥ 2 ( x − 2) +2=4 x−2 (2) ∵ x > 2 x−2 1 1 1 ∴y= = = ≤ 2 2 2 ( x − 1) ( x − 2) + 2( x − 2) + 1 4 ( x − 1) x−2 x−2
例10 、若正数 a , b 满足 ab = a + b + 3，则 a + b 的 取值范围为
解析： a, b ∈ R + ∵ a+b 2 ∴ ab ≤ ( ) ∵ ab = a + b + 3 2 a+b 2 又∴ a + b + 3 ≤ ( ) ∴ (a + b) 2 − 4(a + b) − 12 ≥ 0 2 ∴ (a + b) ≥ 6, (a + b) ≤ −2(舍去） ∴ a + b的取值范围为a + b ≥ 6
1 例 3、已 x > 2 知，求 y = x + 的最小值。 x−2
解析：所求式为和的形式，故考查积为定值和 最小，因此创造条件积为定值（配凑项），再 利用均值不等式求解。
解 : x > 2∴ x − 2 > 0 ∵ 1 1 1 ∴y = x+ = ( x − 2) + + 2 ≥ 2 ( x − 2) +2= 4 x−2 x−2 x−2 1 当且仅当 − 2 = x ( x ≥ 2),即x = 3时, ymin = 4 x−2
f ( x) ∆评注：求分式函数 y = 的最值常常用分离系数 g ( x) a 法、换元法等价转化为 函数y = + bx, 再求最值。 x
1 练习：求函数y = x(8 − 3 x)(0 < x < )的最值。 3
解析：所求代数式为积 的形式，故考查和为定 值积最 大，因此需创造和为定 值这一条件。
例 1、下列结论正确的是 1 lg ≥ 2. A 、当 x > 0 且 x ≠ 1时， x + lg x 1 ≥ 2. B 、当 x > 0时 , x + x 1 C 、当 x ≥ 2时， x + 的最小值为 2 . x 1 D 、当 0 < x ≤ 2时， x − 无最大值。 x
解析：主要考查均值不 等式成立的三个条件 . A 中虽然 x > 0但 lg x可能为负数，不满“一 正” . . C 中取等号的条件为 x = 1，但 x ≥ 2, 不满足“三相等’ 3 D 中有最大值 . 2 选 B.
−2x2 + x − 3 的最大值， 例2．求函数 f (x) = ． ( x > 0) 的最大值，及此 x
时x的值。 的值
解析：先创造条件（拆分项），再利用均值不等式 求解。
3 f 解：( x) = 1 − (2 x + ) x
，因为x>0， 因为 ，
3 3 所以 2 x + ≥ 2 2 x ⋅ = 2 6 x x 3 得 −(2 x + )≤ -2 6 x