03《公司理财》正文-03-货币时间价值

1 2 n
同样使用差减法，我们可以获得后付年金现值的一般化公式：
PVA 后付 1 1 r A r
n
1 1 r ，其中， r
n
叫作后付年金现值系数。
这样， 刚才的关于王某女儿 18 年后能够获得多少元钱的问题就变 成了一个简单的后付年金终值的问题了：
FVA 后付 A
5000
5000
5000
0
1
2
18 能取出多少？
如果要计算他女儿将在 18 岁上大学时候能够获取的货币， 那么我 们只需要把所有的支付（年金）都推算到她 18 岁时候就可以了： 她 18 岁时候存入的 5000 元在她 18 岁时候价值 5000； （存入即取 出，不产生时间价值） 她 17 岁时候存入的 5000 元在她 18 岁时候价值 5000 1 5% ； 以此类推 她 1 岁时候存入的 5000 元在她 18 岁时候价值 5000 1 5%17 那么：
1 r n 1 5000 1 5%18 1 140662
r 5%
3.4.2 先付年金 先付年金是指每期期初发生的收入或者支出。如下图所示：
0 A
1 A
2 A
n-1 A
n
那么，先付年金的终值 FVA 先 我们可以求解为：
FVA 先付 A1 r A 1 r ... A 1 r
第2期期末的本利和 第2期的本金 第2期利息 p 1 r p 1 r r p 1 r
2
以此类推
第n期期末的本利和 第n期的本金 第n期利息 p 1 r
n
3.2 每期多次计息的问题 （1）单利情形 因每次的利息都不计入本金， 故若 1 年分 m 次计息， 则年末的 本利和为：
1 r n
1
，复利终值系数我们记为
FVIF（Future Value Interest Factor） ，复利现值系数我们记为 PVIF （Present Value Interest Factor） 。相应得，我们也可以给出单利 计息方式下终值与现值之间的关系。
FV PV 1 n r 或者 PV
2 n
即：
FVA 先付
n n 1 r 1 1 r 1 A 1 r ，其中， 1 r 叫作先付年金
r
r
终值系数。 同理，先付年金的现值我们可以写成：
PVA 先付 A A 1 r ... A 1 r
1 n 1
现值是和终值相对应的概念，它表示未来特定终值的现在价值。 我们记为 PV（Present Value） 。 举例：王某想在 10 年后能取出 1000 元钱，那么如果年固定利率 为 5%的话，他现在应该存入多少元钱呢？（复利计息情形） 答：1000 PV 1 r n ，即：
PV
第 3 章 货币时间价值 时间会创造价值，它告诉我们这样一个基本的道理：年初的 1 元 钱要比年末的 1 元钱要值钱。 因为， 当一个投资者如果投资 1 元钱 （比 如存入银行）时，就意味着他放弃了现在使用或者消费这 1 元钱的机 会或者权利， 那么按照放弃使用或者消费的时间所计算出来的代价或 者报酬就是这 1 元钱的 1 年的货币时间价值。 货币时间价值有两种表示形式：绝对数形式（利息）和相对数形 式（利息率） 。计算货币时间价值有两种基本的方式：单利计息方式 和复利计息方式。 3.1 单利与复利 单利与复利是计算货币时间价值的两种方式。其中：单利计息方 式是指每期只对期初的本金计息， 而上期利息不加入下期本金当中去 计算下期利息的一种计息方式。 那么在单利计息方式下的本利和我们 可以写成：
r s p 1 m
m
而 1 年只计息一次的话，那么 1 年末的本利和是：
s p 1 r
由此可见，本利和是随着计息次数 m 的增大而增加的。 而第 n 年末的本利和为：
r s n p 1 m
m n
（3）无限次复利问题 在复利计息的情况下，根据上式我们可以看出，随着每期的复利 次数的增加，1 元钱的 n 期后的本利和也会随着增大，那么当我们在 每期的复利次数达到无穷大时，1 元钱的本利和会是多大呢？这个问 题等同于下面的这个极限问题：
FV 本金 1 n r （单利计息情形）
FV 本金 1 r （复利计息情形）
n
举例：王某年初存入 1000 元钱，年固定利率为 5%，那么 10 年 后他可以取出多少元钱的本利和？（复利计息情形） 答： FV 本金 1 r n 1000 1 5%10 1000 1.63 1630 ，即王某在 10 年后大约可以取出 1630 元钱的本利和（以后如果不作特别说明， 最终的计算结果都只保留小数点后两位， 小数点后的第三位将被四舍 五入） 。
n
1 1 r 1 r ，其中， r
n
1 r 叫作先付
年金现值系数。 3.4.3 后付年金与先付年金的关系 （1）后付年金终值与先付年金终值的关系 从以上关于后付年金与先付年金的终值的推导我们可以看出： 先 付年金与后付年金的付款期数相同，但由于其付款时间的不同，先付 年金终值比普通年金终值多计算一期利息。因此，可在后付年金终值
m n r 本利和= lim 1 1 m m
m nr r r lim 1 m m
m r r lim 1 m m
两个等式相减，得到：
r FVA 后付 A 1 r - A
n
化简可得到后付年金终值的一般化公式：
FVA 后付
n n 1 r 1 1 r 1 ，其中， 叫作后付年金终值系数。 A
r
r
同理，后付年金的现值我们可以写成：
PVA 后付 A 1 r A 1 r ... A 1 r
0
1 A
2 A
n-1 A
n A
那么后付年金的终值 FVA 后 我们可以求解得：
FVA 后付 A A 1 r ... A 1 r
n 1
上式可以作如下化简： 等式两边同乘 1 r ，得到：
1 r FVA 后付 A 1 r A 1 r 2 ... A 1 r n
r
r
PVA后付 A
1 1 r r
n
，其中，
1 1 r r
n
叫作后付年金现值系数。
FVA先付 A
1 r n 1 1 r ，其中， 1 r n 1 1 r 叫作先付年金
r
r
终值系数。
PVA先付 1 1 r APVA r
即：
PVA 先付 A 1 1 r r
n
1 r ，其中，
1 1 r r
n
1 r 叫作先付年
金现值系数。 这样我们得到了后付年金和先付年金的终值与现值的计算公式
FVA后付
n n 1 r 1 1 r 1 ，其中， 叫作后付年金终值系数。 A
她 18 岁能取出的钱 5000 5000 1 5% ... 5000 1 5%17 其实，这个问题就是要我们来求解年金的未来价值，我们称之为 年金的终值，与它相对应，也就有年金的现值问题，但是在我们详细 讲解年金的终值与现值问题之前， 我们要首先对年金作一些必要的分 类。 我们根据年金给付的特点不同，通常把年金分类四类，分别是： 后付年金（也称为普通年金或者一般年金） 、先付年金（也称为预付 年金） 、延付年金以及永续年金。 后付年金是指每期期末发生的收入或者支出。 先付年金是指每期期初发生的收入或者支出。 延付年金是指在年金的生命期内，前面一些期间不发生收入或者 支出，而后面一些期间发生收入或者支出。 永续年金是指永不停止的收入或者支出。 3.4.1 后付年金 后付年金是指每期期末发生的收入或者支出。如下图所示：
r s p 1 m p (1 r ) m
即年末的本利和与支付利息的次数无关。 （2）复利情形 因每次支付的利息都记入本金 , 故年末的本利和与支付利息的 次数是有关系的。 设初始本金为 p，年利率为 r，若 1 年分 m 次计息， 则 1 年末的 本利和为：
n r
e n r
由此可见，当每期的复利次数（即 m）达到无限大的时候，1 元 钱的 n 期后的本利和并不是无穷大， 而是等于一个与每期复利次数无 关的数字： e nr 。可用下图来表示：
终值（s）
s er
r s 1 m
m
s 1 r
0
m 1
m
图 3-1 1 元 1 年复利 m 次的本利和 3.3 终值与现值 由上所述，随着时间的推移，货币会由于时间价值的作用而产生 增值。 那么一定的本金经历一段时间的增值后所达到的本利和我们称 为终值，我们记为 FV（Future Value） 。
不是简单的“存”与“取”的关系，这就需要引入有关年金的概念了。 年金是指每期等额同向的现金流。日常生活中有许多年金计算的 问题，例如保险金、退休金、房租及房屋贷款等。我们以 A 来表示每 期等额的现金收支，即年金。 举例：王某从女儿出生后的在她每个周岁生日的时候都为她存入 5000 元钱作为 18 年后上大学的基金，如果年固定利率为 5%的话，那 么他女儿上大学时能获得共多少元钱？ 这个问题就不是前面的所述的简单的“存”与“取”的关系了， 而是“多次存”与“取”的关系。
0
1
2
n
第1期期初（即0点）的本金 p 第1期创造的利息 p r 第1期期末的本利和 第1期的本金 第1期利息 p p r p 1 r 第2期期初的本金 第1期的本金 第1期的利息 p p r p 1 r 第2期的利息 第2期的本金 r p 1 r r