人教版初三上册数学知识点归纳：概率的简单应用

《概率初步》课堂笔记
一、概率的定义和意义
1.定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数
p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P(A) = p。

2.意义：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表
现。

二、等可能事件和不可能事件
1.等可能事件：当一次试验要分成若干个相等的机会，并且这些机会是可数的，
或是有确定的数量时，出现各不相同的结果并且出现每种结果的可能性都相等的随机事件。

2.不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

三、简单事件的概率计算
1.公式：P(A) = m/n，其中m是事件A发生的次数，n是试验总次数。

2.注意事项：在计算概率时，需要注意以下几点：
•要注意区分频率与概率的不同。

频率是试验中某个事件出现的次数与试验总次数的比值，而概率是频率的稳定值。

•要注意在等可能事件中，不同的试验结果出现的可能性是相等的。

•要注意任何一个事件的概率都应该是0到1之间的一个实数。

四、实例应用
通过实例分析，理解概率的概念和计算方法。

例如，抛硬币、掷骰子等实例的分析，可以引出概率的定义和计算方法。

同时，通过实例分析，也可以让学生更好地理解概率的意义和应用。

五、课堂小结
本节课学习了概率初步这一节内容，主要包括了概率的定义和意义、等可能事件和不可能事件、简单事件的概率计算等方面的知识。

通过本节课的学习，学生应该能够初步掌握概率的概念和计算方法，并且能够运用这些知识解决实际问题。

同时，学生也应该能够认识到概率在生活和其他领域中的应用，激发学习兴趣。

概率应用中考知识点总结一、基本概率概念首先，我们需要了解一些基本的概率概念。

概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，通常用一个介于0和1之间的数值来表示。

若一个随机事件的概率为0，表示该事件不可能发生；若概率为1，表示该事件必然发生；而概率介于0和1之间，表示该事件在一次试验中发生的可能性大小。

在实际应用中，概率可以用来描述掷硬币、抛骰子、购买彩票等随机事件的可能性。

二、概率题型归类概率题型大致分为几类，包括基本概率、排列组合和事件独立性等。

在考试中，常见的概率题型包括以下几种：1. 基本概率问题：如掷硬币、抛骰子、抽卡片等随机事件的概率计算；2. 排列组合问题：考察在一定条件下，不同的排列组合可能性；3. 事件独立性问题：考察两个或多个事件同时发生的概率；4. 条件概率问题：在一定条件下，某一事件发生的概率。

针对以上的题目类型，我们可以针对性地进行练习和复习，以提高解题效率。

三、基本概率计算在概率题型中，最基本的是基本概率计算。

基本概率是指在一次试验中，某一事件发生的可能性大小，通常用概率公式来计算。

例如，掷硬币的概率可以用P(A) = n(A)/n(S)来计算，其中n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示总的可能发生的次数。

当然在实际中，我们也可以使用频率来计算概率，即事件A发生的次数/总次数。

在考试中，我们需要对基本概率计算掌握得比较熟练，因为这类题型是概率题目中最基础的部分。

四、排列组合排列组合是数学中一个重要的概念，也经常出现在概率题型中。

排列是指在一个序列中，不同元素的排列情况；组合是指在一个元素集合中，不同元素的组合情况。

在概率题目中，排列组合通常用来求解在一定条件下，不同元素的排列组合可能性。

这需要我们对排列组合公式进行了解和掌握，然后灵活运用到不同的题目中。

五、事件独立性事件独立性是指在某一试验过程中，两个或多个事件相互独立的情况。

在概率题目中，我们经常需要计算两个或多个事件同时发生的概率。

九年级数学概率初步知识点
9年级数学的初步概率知识点包括：
1. 事件与概率：事件是指某种可能发生的结果，概率是指某个事件发生的可能性大小。

2. 随机事件与确定事件：随机事件是指其结果在每次试验中可能不同的事件，确定事
件是指其结果在每次试验中都相同的事件。

3. 样本空间与样本点：样本空间是指所有可能结果的集合，样本点是样本空间中的每
个具体结果。

4. 基本事件与复合事件：基本事件是指样本空间中的单个样本点，复合事件是指由基
本事件组成的事件。

5. 等可能性原理：在一次试验中，如果每个基本事件发生的可能性相等，则称这些事
件是等可能事件。

6. 事件的概率：事件A的概率表示为P(A)，定义为事件A发生的次数与试验总次数之比。

7. 加法定理：对于两个互斥事件A和B（即A和B不能同时发生），则P(A或B) =
P(A) + P(B)。

8. 互斥事件与对立事件：互斥事件是指两个事件不能同时发生，对立事件是指在一次
试验中只能发生其中一个事件的概率。

9. 条件概率：指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)，计算公式为P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。

10. 事件的独立性：当事件A的发生与事件B的发生是相互独立的，即事件A的概率不受事件B的发生与否影响时，称事件A与事件B独立。

11. 乘法定理：对于两个独立事件A和B，P(A∩B) = P(A) × P(B)。

12. 事件的补事件：指在一次试验中，事件A不发生的事件。

这些是九年级数学中概率的初步知识点，通过掌握这些知识，可以更好地理解和解决与概率相关的问题。

数学九年级上册概率知识点《数学九年级上册概率知识点》概率是数学中的一个重要概念，它描述了事物发生的可能性大小。

在数学九年级上册中，我们将学习概率的基本概念、性质以及应用。

下面是对数学九年级上册概率知识点的详细介绍：一、基本概念1. 实验和样本空间：实验是指进行的一项活动或观察，样本空间是实验所有可能结果的集合。

2. 事件和事件的概率：事件是样本空间的某个子集，事件的概率是该事件发生的可能性大小。

3. 必然事件和不可能事件：必然事件是必定会发生的事件，其概率为1；不可能事件是不会发生的事件，其概率为0。

4. 互斥事件：两个事件不能同时发生的事件称为互斥事件。

5. 对立事件：两个事件互为对立事件，如果它们发生的可能性互补，即一个事件发生，则另一个事件不发生。

二、概率的性质1. 非负性：事件的概率不会小于0，即P(A)≥0。

2. 规范性：样本空间的概率为1，即P(S)=1。

3. 加法性：对于互斥事件A和B，它们的概率之和等于各自概率的和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。

4. 互斥事件的概率：对于有限个互斥事件A1，A2，...，An，它们的概率之和等于各自概率的和，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1) + P(A2) + ... + P(An)。

5. 对立事件的概率：事件A和事件A的对立事件的概率之和为1，即P(A) + P(A') = 1。

三、概率的计算方法1. 等可能事件概率的计算：如果样本空间中各个样本点发生的可能性相等，则事件A的概率为P(A) = 事件A包含的样本点数目/ 样本空间的样本点数目。

2. 组合事件概率的计算：对于事件A和事件B的概率，可以使用公式P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)来计算。

3. 条件概率的计算：对于已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率，可以使用公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)来计算。

四、概率与统计1. 随机事件与统计：通过进行大量的实验或观察，可以估计事件发生的概率。

九上概率知识点总结一、基本概念1.1概率的概念概率是描述随机现象发生可能性大小的数学工具，它用来描述事件发生的可能性大小，并且是一个介于0和1之间的实数。

1.2随机试验和随机事件随机试验是指每次都可能得到不同结果的试验，而随机事件是指随机试验的结果。

1.3样本空间和事件样本空间是指随机试验所有可能结果的集合，而事件是指样本空间中的某些结果的集合。

1.4事件的概率事件的概率是指该事件发生的可能性大小，通常用P(A)来表示，其中A是事件的名称。

二、基本概率公式2.1概率的基本性质概率的基本性质包括非负性、规范性和可列可加性三个方面。

2.2概率的加法公式对于两个事件A和B，它们的并的概率用P(A∪B)表示，而对于互斥事件A和B，P(A∪B) = P(A) + P(B)。

2.3概率的乘法公式对于两个事件A和B，它们的交的概率用P(A∩B)表示，而对于相互独立的事件A和B，P(A∩B) = P(A) * P(B)。

2.4全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式用于描述条件概率的计算，它们分别为P(A) = ΣP(A|B) * P(B)和P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)。

2.5概率的计算方法概率的计算方法包括频率法、古典概率法和几何概率法三种。

三、条件概率3.1条件概率的概念条件概率是指在给定某一条件下某事件发生的可能性大小，通常用P(A|B)表示，其中A 是事件的名称，B是条件事件的名称。

3.2独立事件和相关事件如果事件A的发生不受事件B的影响，那么事件A和事件B就是相互独立的，否则就是相关的。

3.3贝叶斯概率贝叶斯概率是通过计算事件的条件概率来形成对事件发生可能性的估计，其计算方法为P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)。

四、随机变量和概率分布4.1随机变量的概念随机变量是指随机试验结果的数值化表达，它可以是离散型随机变量或连续型随机变量。

4.2概率质量函数和概率密度函数对于离散型随机变量，它们的概率分布用概率质量函数来描述，而对于连续型随机变量，它们的概率分布用概率密度函数来描述。

九年级上册概率初步知识点概率是数学中的一个重要概念，广泛应用于生活和各个领域。

它可以用来描述事件发生的可能性大小，帮助我们做出预测和决策。

九年级上册学习的概率初步知识点为我们提供了一些基础，并为进一步学习概率奠定了基础。

一、基本概率概念概率是用来衡量某个事件发生的可能性大小的数值。

它通常用0到1之间的数字来表示，0表示不可能发生，1表示一定发生。

在常见的情况下，概率值介于0和1之间。

二、样本空间与事件样本空间是指一个随机试验可能出现的所有结果的集合。

例如，掷一枚骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

事件是样本空间的子集，表示我们所关注的一部分结果。

例如，掷骰子得到偶数的事件可以表示为{2, 4, 6}。

三、概率的计算方法在九年级上册，我们学习了计算概率的几种方法，包括等可能概率、频率和相对频率。

等可能概率指的是每个可能结果发生的概率都相等。

例如，掷一枚均匀的骰子，每个数字出现的概率为1/6。

频率指的是某事件在相同条件下重复试验中发生的次数。

例如，掷一枚骰子100次，记录每个数字出现的次数，然后用出现次数除以总次数得到频率。

相对频率指的是某事件在大量试验中发生的频率。

它是频率的一种估计，并且随着试验次数的增加趋近于真实概率。

四、互斥事件与独立事件互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况。

例如，掷骰子得到奇数和得到偶数就是互斥事件，因为一个结果不可能同时满足两个条件。

独立事件是指两个事件的发生与否不会互相影响。

例如，掷一枚骰子两次，第一次得到1的概率为1/6，第二次得到1的概率也为1/6，两个事件的发生与否是相互独立的。

五、条件概率与乘法法则条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

它的计算方法是将两个事件同时发生的概率除以条件事件发生的概率。

例如，从一副扑克牌中抽出一张牌，已知这张牌是红心的条件下，它是A的概率为1/13。

乘法法则是用于计算两个事件同时发生的概率。

九年级上册概率知识点总结概率知识点总结概率作为数学中的一个重要分支，是我们在日常生活中经常会遇到的概念。

九年级上册学习的概率知识点主要涵盖了事件、样本空间、随机事件、相对频率等内容。

下面我们将逐一进行总结。

一、事件与样本空间事件是指样本空间中的一部分结果的集合。

样本空间是指随机试验所有可能结果的集合。

在概率问题中，我们通常用大写字母A、B、C等表示事件。

对于一个随机试验，所有可能的结果构成的集合称为该随机试验的样本空间。

例如，掷一枚硬币的样本空间可以表示为：{正面，反面}。

而事件则是样本空间中的一个子集。

以掷一枚硬币的事件“出现正面”的例子来说，事件A = {正面}。

二、随机事件与必然事件随机事件是在随机试验中发生或不发生的事件。

事件A在样本空间中的结果是发生的，称为随机事件A发生。

例如，掷一枚硬币，事件A为“出现正面”。

必然事件是在随机试验中必然发生的事件，其样本点包括样本空间中的所有结果。

以掷一枚硬币来说，事件B为“出现正面或出现反面”，即样本空间中的两个结果都包括在事件B中。

三、概率的计算概率是对事件发生的可能性的度量。

用P(A)表示事件A的概率，其中P代表概率。

概率的取值范围在0到1之间。

若事件A发生的次数为M，样本空间中的结果总数为N，概率P(A)可以用相对频率的形式表示为P(A) = M/N。

例如，在掷一枚硬币的例子中，事件A“出现正面”的概率为1/2。

四、相互独立事件如果事件A的发生与事件B的发生互不影响，那么称事件A与事件B是相互独立的。

换句话说，事件A的发生与事件B的发生是相互独立的，如果事件A发生与否对事件B发生的概率没有影响，那么称事件A与事件B相互独立。

例如，掷一个骰子，事件A为“出现偶数点数”，事件B为“出现大于4的点数”。

根据骰子的性质，事件A与事件B是相互独立的。

五、互斥事件与对立事件如果两个事件A与B的发生不可能同时发生，那么称事件A与事件B是互斥事件。

换句话说，事件A与事件B是互斥的，如果事件A发生，则事件B一定不发生；反之亦然。

九年级上册数学知识点概率九年级上册的数学课程涉及到了概率的学习。

概率是数学中一个非常重要的概念，它主要用于描述事件发生的可能性。

了解概率的基本概念和计算方法，将有助于我们更好地理解和解决实际问题。

一、概率的基本概念概率是描述事件发生可能性大小的一个数值。

在数学中，用P(A)表示事件A发生的概率。

概率的取值范围是0到1，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。

例如，一枚公平硬币抛掷的结果有两种可能性：正面和反面。

因为硬币是公平的，所以正面和反面出现的概率应该相等，即P(正面)=P(反面)=0.5。

二、概率的计算方法1. 相对频率法：通过对事件进行多次重复实验，统计事件发生的次数，并将发生次数除以总实验次数，即可得到事件的概率。

当重复实验次数越多时，得到的概率越接近真实概率。

2. 等可能原则：当所有事件发生的概率相等时，可以使用等可能原则计算概率。

比如抛硬币、掷骰子等。

3. 极限法则：当事件发生的可能性趋向于无穷小时，可以使用极限法则计算概率。

比如在一个大群体中，事件发生的概率等于该事件在群体中的比例。

三、事件的关系与计算1. 事件的对立事件：对立事件指的是互相排斥的事件。

当一个事件发生时，另一个事件一定不会发生。

对立事件的概率之和为1。

例如，扔一个骰子，出现的点数要么是偶数，要么是奇数，两者互为对立事件。

2. 事件的并事件：并事件指的是两个或多个事件同时发生的事件。

并事件的概率可以通过对事件发生的次数进行统计计算。

例如，从一个扑克牌中随机抽出一张牌，事件A是抽到红桃，事件B是抽到数字小于5的牌，事件C是抽到黑桃。

事件A与事件B 的并事件是抽到红桃并且数字小于5的牌。

3. 事件的交事件：交事件指的是两个或多个事件共同发生的事件。

交事件的概率可以通过对事件发生的次数进行统计计算。

例如，在一批产品中，合格品的概率为0.9，其中通过检测的产品占0.8，而被认为具有高质量的产品占0.7。

被认为具有高质量且通过检测的产品的概率就是合格品的交事件。

第二十五章概率初步知识点总结25.1 概率1.随机事件（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：2.可能性大小（1）理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．（2）实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．3.概率的意义（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：0≤p≤1．（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．25.2 用列举法求概率1.概率的公式（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．2. 几何概型的概率问题是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即P=g的测度G的测度简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．3.列举法和树状法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．4.游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．（2）概率=所求情况数总情况数．25.3 利用频率估计概率1. 利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．2.模拟实验（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验．（2）模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．（3）模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟实验即可．。

概率初中九年级知识点总结概率是我们生活中经常遇到的一个概念，也是数学中的一个重要分支。

通过对随机事件出现的可能性进行研究，我们可以更好地了解事物发展的规律，做出科学合理的预测。

在初中九年级的学习中，我们逐渐接触并学习了概率相关的知识。

下面，我将对这些知识点进行总结。

一、概率的定义概率是指某事件在所有可能的结果中出现的可能性，可以用一个在0到1之间的数来表示。

当概率为0时，表示事件不可能发生；当概率为1时，表示事件一定会发生。

二、概率的计算1. 等可能事件的概率计算：当所有的结果发生的可能性相同时，我们可以通过计算“有利结果的个数除以总结果个数”来计算概率。

例如，投掷一个均匀的六面骰子，事件“出现偶数点数”有3个有利结果(2、4、6)，总共有6个结果，所以概率为3/6，即1/2。

2. 不等可能事件的概率计算：当所有结果发生的可能性不相同时，我们可以通过计算“有利结果发生的次数除以总次数”来计算概率。

例如，从一副有52张纸牌的牌中，抽出一张牌，事件“抽到红桃”有13个有利结果，总共有52个结果，所以概率为13/52，即1/4。

三、独立事件与非独立事件1. 独立事件：当一个事件的发生不会影响其他事件的发生时，我们称这些事件为独立事件。

对于独立事件而言，事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。

2. 非独立事件：当一个事件的发生会影响其他事件的发生时，我们称这些事件为非独立事件。

对于非独立事件而言，事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

四、互斥事件与非互斥事件1. 互斥事件：当两个事件不可能同时发生时，我们称这两个事件为互斥事件。

对于互斥事件而言，事件A和B同时发生的概率为0。

2. 非互斥事件：当两个事件可能同时发生时，我们称这两个事件为非互斥事件。

对于非互斥事件而言，事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率减去事件A和B同时发生的概率。

九年级上概率初步知识点概率初步知识点概率是数学中研究事件发生可能性的一门学科。

在日常生活中，我们经常会遇到各种不确定性的事件，比如掷骰子、抽牌、抛硬币等等。

而概率的概念和应用正是用来描述和计算这些不确定性事件的可能性大小。

一、事件与样本空间概率的研究对象可以是实验、观察、调查等事件。

在概率中，我们将这些实验、观察、调查等所研究的事物称为"事件"。

假设某实验的可能结果为E1、E2、E3……En，这些结果中的每一个就是一个事件。

样本空间是指实验中所有可能的结果的集合，通常用S表示。

例如，掷一颗骰子的实验，其样本空间为S={1, 2, 3, 4, 5, 6}，对应于掷出的可能点数。

这里的每一个点数就是一个样本点。

二、事件的概率事件的概率是对该事件发生可能性的度量，通常用P(A)表示。

1.经典概型当一个事件的所有可能结果个数相同且等可能发生时，可以使用经典概型来计算概率。

例如，掷一枚均匀的骰子，每个点数出现的可能性相同，所以掷到任何一个点数的概率都是1/6。

2.相对频率在实际的实验中，我们可以通过重复实验，记录事件发生的次数，然后计算事件发生的频率来近似估计事件的概率。

例如，抛一枚硬币，可以通过重复抛硬币并记录正反面出现的次数，然后计算正面出现的频率，这个频率就是正面出现的概率的近似值。

3.几何概型当一个事件的样本空间具有几何性质时，可以使用几何概型来计算概率。

例如，从一个圆的内部随机取一点，落入圆上某一区域的概率等于该区域的面积与圆的面积之比。

4.加法定理加法定理是概率理论中常用的计算方法，用于计算两个事件的并事件的概率。

加法定理可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，其中A∪B表示A和B的并事件，A∩B表示A和B的交事件。

5.乘法定理乘法定理是概率理论中常用的计算方法，用于计算两个事件的交事件的概率。

乘法定理可以表示为：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中A∩B表示A和B的交事件，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B 发生的概率。

初三上册数学期末考试概率相关知识点归纳
人教版初三上册数学期末考试概率相关知识点归纳
1、必然事件、不可能事件、随机事件的区别
2、概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率
会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率(probability)，记作P(A)=p.
注意：(1)概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映。

(2)概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同。

3、求概率的方法
(1)用列举法求概率(列表法、画树形图法)
(2)用频率估计概率：一大面，可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率。

另一方面，大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值，而频率随不同试验次数而有所不同，是概率的近似值，二者不能简单地等同.。

初中数学期末复习概率的简单应用知识点总结概率是数学中的一个重要概念，是研究随机事件发生的可能性的数学工具。

在初中数学中，概率主要涉及到以下几个方面的内容：1.随机事件的定义与分类随机事件是指在一定条件下，不能事先准确预测其具体结果的事件。

随机事件可以分为必然事件、不可能事件和可能事件。

必然事件指的是一定发生的事件，其概率为1；不可能事件指的是一定不发生的事件，其概率为0；而可能事件指的是有可能发生，也有可能不发生的事件，其概率介于0和1之间。

2.事件的概率事件的概率是指事件发生的可能性大小。

对于随机事件A，其概率记作P(A)，其计算公式为：P(A)=事件A的实验次数/总的实验次数。

其中，总的实验次数是指将该事件重复进行多次实验的次数。

3.概率的性质概率具有以下几个基本性质：-非负性：概率值是非负数，即P(A)≥0；-加法性：对于互不相容的事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)；-减法性：对于事件A包含事件B，有P(A-B)=P(A)-P(B)；-完全性：对于一个样本空间Ω，其所有可能事件的概率和为1，即P(Ω)=14.排列和组合在概率的问题中，涉及到排列和组合的计算。

排列是指从若干个不同元素中取出一部分进行顺序安排的过程，而组合是指从若干个不同元素中取出一部分，无顺序要求的一种选择方式。

-排列的计算公式为：A（n，m）=n！/（n-m）！，表示从n个不同元素中取出m个进行顺序安排的方式数。

-组合的计算公式为：C（n，m）=n！/（m！（n-m）！），表示从n个不同元素中取出m个的选择方式数。

5.复合事件的概率复合事件是指由两个或多个简单事件构成的事件。

对于复合事件A与B，其概率的计算可以通过概率乘法法则和概率加法法则来进行。

-对于独立事件A和B，其概率的计算公式为：P(A∩B)=P(A)×P(B)；-对于不独立事件A和B，其概率的计算公式为：P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)。

初三概率知识点总结及归纳在初三数学学习的过程中，概率是一个非常重要的知识点。

概率为我们提供了一种用数字来描述事件发生可能性的方法，通过概率的计算，我们可以更好地理解和分析各种事件的发生概率。

本文将对初三阶段所学习的概率知识点进行总结和归纳，旨在帮助学生更好地掌握和应用概率知识。

1.基本概率概念概率是用来描述一个事件发生的可能性大小的概念。

在初三概率学习中，我们通常使用一个介于0到1之间的数来表示概率，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

当某个事件的概率接近1时，该事件发生的可能性就越大；当某个事件的概率接近0时，该事件发生的可能性就越小。

2.计算概率的方法在计算概率时，我们可以根据事件的样本空间和事件的发生数目来进行计算。

概率的计算方法可分为以下几种：- 经典概率：对于等可能性事件，可以通过样本空间中有利事件数目与样本空间总数目之比来计算概率。

例如，掷一枚均匀的骰子，掷出一个奇数的概率为3/6，即1/2。

- 频率概率：通过大量实验的频率来近似估计概率。

例如，通过大量次数的掷骰子实验，可以得出掷出一个奇数的频率概率为1/2。

- 主观概率：根据个人主观判断和经验来估计概率。

例如，根据过往的天气经验，我们可以主观判断明天下雨的概率为0.3。

3.概率的运算规则在概率的计算中，我们经常需要应用一些概率运算规则来简化计算或者得到更复杂事件的概率：- 事件的互斥与对立：如果两个事件不能同时发生，即互斥事件，则它们的概率之和等于两个事件发生的概率之和。

而如果两个事件是对立事件，即互为补事件，则它们的概率之和等于1。

- 事件的并与交：对于两个事件A和B，它们的并事件表示A或B发生的概率，交事件表示A和B同时发生的概率。

根据事件的并与交的关系，可以利用加法原理和乘法原理来计算其概率。

- 事件的补：对于事件A，其补事件表示A不发生的概率，即概率为1减去事件A发生的概率。

4.条件概率在实际问题中，我们常常需要考虑某个事件在另一个事件已经发生的条件下的概率。

概率知识点总结九年级概率知识点总结概率是数学中的一个重要分支，它研究的是事物发生的可能性大小。

在九年级学习完概率知识后，我们对于概率的理解和应用也有了一定的掌握。

本文将就概率的相关知识进行总结，帮助我们回顾巩固所学内容。

一、概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。

当一个事件不可能发生时，其概率为0；当一个事件一定发生时，其概率为1。

概率的计算可以通过实验、相对频率或理论推导等方法进行。

二、随机事件与样本空间随机事件是指在一定条件下可能发生或不发生的事件。

样本空间是指随机事件可能发生的所有结果构成的集合。

在概率计算中，我们首先需要确定样本空间，然后再确定每个单独事件的概率。

三、计算概率的方法1. 等可能性事件的概率计算当样本空间中的每个结果发生的可能性相同且有限时，称为等可能性事件。

例如，一枚均匀硬币的正反面结果就是一个等可能性事件。

在这种情况下，事件A的概率可以通过A的有利结果数目除以样本空间总结果的数目来计算。

2. 排列组合与概率计算排列是从一组不同元素中取出若干个元素并按照一定顺序排列的方式，组合是从一组不同元素中取出若干个元素但不考虑排列顺序的方式。

在计算概率时，我们经常会使用到排列组合的方法。

3. 事件的取反与概率计算事件的取反是指事件A不发生的概率，通常用A的补事件表示，记作A'。

根据概率的性质，事件A和事件A'的概率之和等于1。

4. 多个事件的概率计算当我们遇到多个事件同时发生的概率计算时，可以通过“与”、“或”关系来求解。

当多个事件同时发生时，我们使用“与”的关系，概率计算使用乘法法则。

当多个事件中至少一个事件发生时，我们使用“或”的关系，概率计算使用加法法则。

四、条件概率与独立事件条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

用P(A | B)表示。

其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

如果事件A和事件B的发生互不影响，即P(A | B) = P(A)，则称事件A和事件B是独立事件。

初三概率知识点归纳总结
嘿，同学们！今天咱就来好好唠唠初三概率这一块儿的知识点哈！
咱先说概率是啥，不就像是生活中各种事情发生的可能性嘛！比如说扔个骰子，扔出 1 的概率不就是六分之一嘛！这多形象呀！
那概率的计算方法呢，就好比树上的果子，咱得知道怎么摘下来才对。

简单事件的概率啊，那就是某个情况出现的次数除以总的可能情况数，就像从一堆糖果里挑出草莓味的概率一样。

“哎呀，这还不简单呀！”
有时候还会碰到复杂点的呢，像什么列表法呀、画树状图法呀，这就像是咱解题的秘密武器！比如说年底抽奖，咱要算算自己中大奖的概率，这时候列表法、树状图法就能派上大用场啦，“哇塞，有了这个我就知道自己有多大机会啦！”。

再来讲讲概率的取值范围哈，是在 0 到 1 之间哟！0 就代表这件事绝对不可能发生，比如说太阳从西边出来；1 就代表肯定会发生啦，像明天地球还会转。

这不是很有趣嘛！
还有啊，如果一个事件发生的概率很小很小，可不一定就不会发生哟！就像中彩票一样，虽然概率超低，但总有人能中呀，得多神奇！“哇，这就是概率的魅力呀！”。

反正咱们学概率，就是要知道生活中各种事情发生的可能性有多大，能让咱们更好地做决定呢。

我的观点结论就是：初三概率知识点虽然有点绕，但只要咱认真学，多结合生活实际去理解，就肯定能掌握得牢牢的，加油吧！。

知识点一、概率的有关概念1.概率的定义： 某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.2、事件类型：○1必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. ○2不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. ○3不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它们会发生，或事先能肯定它们不会发生的事件，因此它们也可以称为确定性事件.不确定事件都是事先我们不能肯定它们会不会发生，我们把这类事件称为随机事件。

知识点二、概率的计算1、概率的计算方式：概率的计算有理论计算和实验计算两种方式，根据概率获得的方式不同，它的计算方法也不同.2、如何求具有上述特点的随机事件的概率呢？如果一次试验中共有n 种可能出现的结果，而且这些结果出现的可能性都相同，其中事件A 包含的结果有m 种，那么事件A 发生的概率P(A)=nm 。

在求随机事件的概率时，我们常常利用列表法或树状图来求其中的m 、n ，从而得到事件A 的概率.由此我们可以得到：不可能事件发生的概率为0；即P(不可能事件)=0； 必然事件发生的概率为1；即P(必然事件)=1； 如果A 为不确定事件；那么0<P(A)<1.概率初步类型一：随机事件1．选择题：4个红球、3个白球和2个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情( )A.可能发生B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生 思路点拨： 举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )A.中秋节晚上能看到月亮B.今天考试小明能得满分C.早晨太阳会从东方升起D.明天气温会升高【变式2】在100张奖券中，有4张中奖.某人从中任意抽取1张，则他中奖的概率是( )A.251 B.41 C.1001 D.201类型二：概率的意义2．有如下事件，其中“前100个正整数”是指把正整数按从小到大的顺序排列后的前面100个.事件1：在前100个正整数中随意选取一个数，不大于50； 事件2：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好为偶数；事件3：在前100个正整数中随意选取一个数，它的2倍仍在前100个正整数中； 事件4：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好是3的倍数或5的倍数. 在这几个事件中，发生的概率恰好等于21的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个思路点拨：事件是从前100个正整数中随意选取一个数，其中任何一个数被选取出来的可能性都是一样的，所以有100个可能的结果，而从中随意选取一个，只有一种结果，所以其中每个数被选取的概率都是1001.举一反三【变式1】从两副拿掉大、小王的扑克牌中，各抽取一张，两张牌都是红桃的概率是________.【变式2】口袋中放有3个红球和11个黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是________.类型三：概率的计算1.列表法3．有两只口袋，第一只口袋中装有红、黄、蓝三个球，第二只口袋中装有红、黄、蓝、白四个球，求分别从两只口袋中各取一个球，两个球都是黄球的概率.红黄蓝白红黄蓝解：所有可能结果共有12种，两球都为黄球只有1种.故P(两球都是黄球)=举一反三【变式1】抛两枚普通的正方体骰子，朝上一面的点数之和大于5而小于等于9的概率是多少?【变式2】在生物学中，我们学习过遗传基因，知道遗传基因决定生男生女，如果父亲的基因用X和Y来表示，母亲的基因用X和X来表示，X和Y搭配表示生男孩，X和X搭配表示生女孩，那么生男孩和生女孩的概率各是多少?【变式3】两个人做游戏，每个人都在纸上随机写一个-2到2之间的整数(包括-2和2)，将两人写的整数相加，和的绝对值是1的概率是多少?【变式4】有两组卡片，第一组的三张卡片上分别写有A、C、C；第二组的五张卡片分别写有A、B、B、C、C，那么从每组卡片中各抽出一张，两张都是C的概率是多少？2.树形图法4．将分别标有数字1、2、3的三张卡片洗匀后.背而朝上放在桌面上.(1)随机地抽取一张，求P(奇数)；(2)随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张作为个位上数字，能组成哪些两位数？恰好是“32”的概率为多少？举一反三【变式1】两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，假定两人都是等可能地取“石头、剪子、布”三个中的一个，那么一个回合不能决定胜负的概率是多少？3.用频率估计概率5投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率(1)计算表中各次比赛进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？举一反三射击次数10 20 30 40 50 60 70 80射中8环以上的频数 6 17 25 31 39 49 65 80射中8环以上的频率(1)计算表中相应的频率.(精确到0.01)(2)估计这名运动员射击一次“射中8环以上”的概率.(精确到0.1)类型四：概率的思想方法6．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数.从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回袋中，不断重复上述试验过程，试验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球.7．王老汉为了与顾客签订购销合同，对自己鱼塘中鱼的总质量进进了估计，第一次捞出100条，称得质量为184千克.并将每条鱼做上记号后放入水中，当它们完全混合于鱼群后，又捞出200条，称得质量为416千克，且带有记号的鱼有20条，王老汉的鱼塘中估计有鱼________条，总质量为________千克.类型五：概率的综合应用8．有5条线段，长度分别为2，4，6，8，10，从中任取3条线段.(1)一定能构成三角形吗？(2)猜想一下，能构成三角形的机会有多大？举一反三【变式1】某口袋中有红色、黄色、蓝色乒乓球共72个，亮亮通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率分别为35%、25%和40%，试估计口袋中3种乒乓球的数目.【变式2】某校三个年级在校学生共796名，学生的出生月份统计如图所示，根据下列统计图的数据回答以下问题.(1)出生人数超过60人的月份有哪些？(2)出生人数最多的是几月份？(3)在这些学生中，至少有两个人生日在10月5日是不可能的，还是可能的？还是必然的？(4)如果你随机地遇到这些学生中的一位，那么这位学生生日在哪一个月份的概率最小？一、选择题1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是( )． A ．让比赛更富有情趣 B ．让比赛更具有神秘色彩 C ．体现比赛的公平性 D ．让比赛更有挑战性2．小张掷一枚硬币，结果是一连9次掷出正面向上，那么他第10次掷硬币时，出现正面向上的概率是( )． A ．0 B ．1 C ．0.5 D ．不能确定 3．关于频率与概率的关系，下列说法正确的是( )． A ．频率等于概率B ．当试验次数很多时，频率会稳定在概率附近C ．当试验次数很多时，概率会稳定在频率附近D ．试验得到的频率与概率不可能相等 4．下列说法正确的是( )．A ．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点B ．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖C ．天气预报说明天下雨的概率是50％．所以明天将有一半时间在下雨D ．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 5．下列说法正确的是( )．A ．抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B ．“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业C ．一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1％，所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)D ．抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50％，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面6．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是( )．A ．21 B ．31 C ．61 D ．81 7．在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类、速度类和力量类．其中必测项目为耐力类，抽测项目为：速度类有50m 、100m 、50m × 2往返跑三项，力量类有原地掷实心球、立定跳远、引体向上(男)或仰卧起坐(女)三项．市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50m × 2往返跑、引体向上(男)或仰卧起坐(女)两项的概率是( )． A ．31B ．32C ．61D ．918．元旦游园晚会上，有一个闯关活动：将20个大小、重量完全一样的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的．如果任意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，那么一次过关的概率为( )．A ．32 B ．41 C ．51 D ．101 9．下面4个说法中，正确的个数为( )． (1)“从袋中取出一只红球的概率是99％”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大 (2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红球没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50％” (3)小李说，这次考试我得90分以上的概率是200％ (4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 10．下列说法正确的是( )．A ．可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B ．可能性很小的事件在一次试验中一定发生C ．可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D ．不可能事件在一次试验中也可能发生 二、填空题11．在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出2个小球，请你写出这个实验中的一个可能事件：_______ __________．12．掷一枚均匀的骰子，2点向上的概率是______，7点向上的概率是______．13．设盒子中有8个小球，其中红球3个，黄球4个，蓝球1个，若从中随机地取出1个球，记事件A为“取出的是红球”，事件B 为“取出的是黄球”，事件C 为“取出的是蓝球”，则P (A )＝______，P (B )＝______，P (C )＝______．14．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1，2，3，4，5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是______．15．下面图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为______．16．从下面的6张牌中，一次任意抽取两张，则其点数和是奇数的概率为______．17．在一个袋子中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______．18．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为32，则n ＝______． 三、解答题19．某出版社对其发行的杂志的质量进行了5次“读者调查问卷”，结果如下：被调查人数n 1001 1000 1004 1003 1000 满意人数m999998100210021000m满意频率n(1)计算表中各个频率；(2)读者对该杂志满意的概率约是多少?(3)从中你能说明频率与概率的关系吗?20．四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．(1)求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；(2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗?请用列表法或画树形图法说明理由．。

九年级数学上册概率知识点概率是九年级数学上册非常重要的一个知识点，它不仅仅在数学中发挥作用，还可以应用到日常生活以及其他学科中。

本文将详细介绍九年级数学上册中涉及到的概率知识点，包括基础概念、概率的计算方法以及概率在实际问题中的应用。

一、基础概念在学习概率之前，我们首先要了解一些基础概念。

概率是事件发生的可能性大小的一种衡量方式。

我们常用0到1之间的数值来表示概率，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

例如，掷一枚均匀的骰子，出现1的概率为1/6，即1/6的可能性。

另外，事件的互斥和对立是概率计算中的两个重要概念。

互斥事件指的是两个或多个事件不能同时发生，对立事件指的是两个事件中至少有一个会发生。

二、概率的计算方法在概率的计算方法中，我们需要掌握频率法、几何法和古典概率法。

1. 频率法：通过实验的统计结果来估算概率。

例如，在进行一系列相同的试验中，我们记录事件发生的次数，然后将发生的次数除以试验总次数，得到事件发生的频率。

频率趋近于一个固定值时，就是事件的概率。

2. 几何法：通过求事件的几何概率来计算。

几何概率是指事件发生可能性与样本空间中的所有可能性之比。

例如，一个正方形纸片上有一圆和一正方形，如果我们随机选取一个点，点所在的位置在圆内的可能性即为事件发生的几何概率。

3. 古典概率法：适用于每个事件发生的可能性相等的情况。

通过计算有利事件数与样本空间中总事件数的比值来计算概率。

例如，一副标准扑克牌中黑桃的数量是13，总牌数是52，那么摸到一张黑桃牌的概率即为13/52=1/4。

三、概率在实际问题中的应用概率不仅仅是数学中的抽象概念，它还可以应用到实际生活中。

下面将介绍两个与概率相关的实际问题。

1. 事件的独立性：在一系列独立的事件中，每个事件的发生不会影响其他事件的发生。

例如，连续掷两枚均匀的骰子，每一次的掷骰结果都不会对其他次的掷骰结果造成影响。

那么两次掷骰都是掷到6的概率即为单次掷骰结果是6的概率的平方，即1/6 *1/6 = 1/36。

数学中，简单事件的概率是一个非常重要的知识点。

在九年级数学中，我们通常会学习概率的基本概念、求解概率的方法以及概率问题的应用等。

一、基本概念1.试验和样本空间：试验是指具有明确结果的随机事件，样本空间是试验所有可能结果的集合。

2.随机事件和必然事件：随机事件是指试验的一些结果，必然事件是指在所有可能结果中一定会发生的事件。

3.事件的概率：事件A的概率是指事件A发生的可能性大小，用P(A)表示，0≤P(A)≤14.互斥事件和对立事件：互斥事件是指两个事件不可能同时发生，对立事件是指两个事件只可能发生一个。

二、求解概率的方法1.频率法：对一个试验进行多次重复，统计一些事件发生的次数与试验总次数之比，作为概率的估计值。

2.几何法：利用几何图形的面积来表示概率的大小，通常用于连续随机事件。

3.等可能概型法：试验的所有可能结果是等概率的，概率可以通过事件的个数与样本空间的个数之比来计算。

三、概率问题的应用1.古典概型问题：对于等可能概型的问题，可以使用排列组合等方法来求解概率。

2.排列和组合问题：在计算概率时，有时需要使用排列和组合的知识来求解事件的个数。

3.包含事件的概率：利用集合的概念，可以求解包含事件的概率，如事件的和、交、差等。

4.独立事件的概率：当两个事件发生与否互不影响时，可以将它们分别的概率相乘来计算它们同时发生的概率。

5.条件概率：当事件的发生依赖于另一个事件的已经发生时，可以使用条件概率来计算这一事件的概率。

6.超几何分布：在实际问题中，有时会涉及到不放回抽样的情况，可以使用超几何分布来求解相关的概率问题。

以上就是九年级数学中关于简单事件的概率的基本知识点的复习内容。

希望对你的学习有所帮助！。