历年广东高考几何证明选讲试题

几何证明选讲1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ． 答案：22、（广州市2014届高三1月调研测试）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M．若OC =1OM =，则MN 的长为 答案：13、（增城市2014届高三上学期调研）如图2，在△ABC 中，DE//BC,DF//AC,AE=4，EC=2，BC=8，则BF= 答案：834、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末） 如图，过点C 作ABC 的外接圆O 的切线交BA 的延长线 于点D .若CD = 2AB AC ==，则BC = .答案：A图2FAE BCDFAEDBC5、（惠州市2014届高三第三次调研考）如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一点,且2DF CF ==，::4:2:1AF FB BE =,若CE 与圆相切,则线段CE 的长为 答案：276、（珠海市2014届高三上学期期末）如右图，AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，若3OB =，5OC =，则CD =答案：47、（揭阳市2014届高三学业水平考试）如图（3），已知AB 是圆O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切圆O 于D ，CD=4，AB=3BC ， 则圆O 的半径长是 ． 答案：38、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2=PA ．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1=PB ， 则圆O 的半径=R答案：39、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估）如图3，在ABC ∆中，90o ACB ∠=，CE AB ⊥于点E ,以AE 为直径的圆与AC 交于点D ，若24BE AE ==，3CD =，则______AC =ODCBA答案：8 310、（东莞市2014届高三上学期期末调研测试）如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC 的延长线上，AD是圆O的切线，若∠OAC＝60°，AC＝1，则AD的长为＿＿＿＿答案：311、（汕尾市2014届高中毕业生第二次综合测试）已知AB为半圆O的直径，4AB=，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD CD⊥于D，交半圆O于点E，1DE=，则BC的长为答案：2。

2019高考数学几何证明选讲专题检测试题（有解析）成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。

小编给大家准备了几何证明选讲专题检测试题，欢迎参考!一、填空题1.在△ABC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE=13BD，延长AE交BC于点F，则BFFC的值为________.解析如图，过B作BG∥AC交AF的延长线于点G，则BGAD=BEED=12，BFFC=BGAC=BG2AD=14.答案142.如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC=3，DE=2，DF=1，则AB的长为________.解析∵DE∥BC，EF∥CD，又BC=3，DE=2，DF=1，AFFD=AEEC=ADDB=2.AF=2，AD=3，BD=32，则AB的长为92.答案923.如图所示，直角三角形ABC中，B=90，AB=4，以BC为直径的圆交边AC于点D，AD=2，则C的大小为________. 解析连接BD，∵BC为直径，BDC=90.ABD=BCD，在直角△ABD中，∵AD=2，AB=4，ABD=30，故ABD=30.答案304.如图所示，在△ABC中，C=90，A=60，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________.解析由已知BC=ABsin60=103，由弦切角定理BCD=A=60，所以BD=BCsin60=15，CD=BCcos60=53，由切割线定理CD2=DEBD，所以DE=5.答案55.如图所示，AB是⊙O的直径，过圆上一点E作切线EDAF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C.若CB=2，CE=4，则AD的长为________.解析设⊙O的半径为r，由CE2=CACB，解得r=3.连接OE，∵Rt△COE∽Rt△CAD，COCA=OEAD，解得AD=245.答案2456.如图，⊙O的直径AB=6 cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若CPA=30，则PC=________cm.解析连接OC，因为PC为⊙O的切线，所以OCPC.又因为CPA=30，OC=12AB=3 cm，所以在Rt△POC中，PC=OCtanCPA=333=33(cm).答案337. 如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA；②AFAG=AD③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是________.解析∵CF=CE，BF=BD，BC=CE+BD.AB+BC+CA=(AB+BD)+(AC+CE)=AD+AE，故结论①正确；连接DF，则FDA=DGA.又∵A，△ADF∽△AGD.ADAG=AFAD.而AD=AE，故结论②正确；容易判断结论③不正确.答案①②8.(2019广东肇庆一模)如图，△ABC的外角平分线AD交外接圆于D，若DB=3，则DC=________.解析因为四边形ABCD是圆的内接四边形，所以BCD+BAD=.又因为BAD+DAE=，所以B CD=DAE.因为DAC与DBC为圆上同一段圆弧所对的角，所以DAC=DBC.又因为AD为CAD的角平分线，所以DAC=DAE.综上DAE=DACDAE=BCDDAC=DBCDCB=DBC.所以△DBC为等腰三角形，则DC=BD=3，故填3.答案39.(2019湖北七市联考)如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=23，APB=30，则AE=________.解析因为PA是⊙O的切线，所以OAPA.在Rt△PAO中，APB=30，则AOP=60，AO=APtan30=2，连接AB，则△AOB是等边三角形，过点A作AMBO，重足为M，则AM=3.在Rt△AMD中，AD=3+4=7，又EDAD=BDDC，故ED=377，则AE=7+377=1077.答案1077二、解答题10.如图所示，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC 切⊙O于点C，CDAB，垂足为D，且PA= 4，PC=8，求tanACD 和sinP的值.解连接OC，BC，如图.因为PC为⊙O的切线，所以PC2=PAPB.故82=4PB，所以PB=16.所以AB=16-4=12.由条件，得PCA=PBC，又P，所以△PCA∽△PBC.所以ACBC=PCPB.因为AB为⊙O的直径，所以ACB=90.又CDAB，所以ACD=B.所以tanACD=tanB=ACBC=PCPB=816=12.因为PC为⊙O的切线，所以PCO=90.又⊙O的直径AB=12，所以OC=6，PO=10.所以sinP=OCPO=610=35.11.如图所示，AB是半径为1的圆O的直径，过点A，B分别引弦AD和BE，相交于点C，过点C作CFAB，垂足为点F.已知CAB=15，DCB=50.(1)求EAB的大小；(2)求BCBE+ACAD的值.解(1)因为AB为圆O的直径，故AEB=90，又因为ECA=DCB=50，所以在Rt△AEC中，CAE=40，故EAB=EAC+BAC=55.(2)连接BD.由(1)，知AEC+AFC=180，故A，F，C，E四点共圆，所以BCBE=BF BA，①易知ADB=90，同理可得ACAD=AFAB，②联立①②，知BCBE+ACAD=(BF+AF)AB=AB2=22=4.B级能力提高组1.(2019广州一模)如图，PC是圆O的切线，切点为点C，直线PA与圆O交于A ，B两点，APC的角平分线交弦CA，CB于D，E两点，已知PC=3，PB=2，则PEPD的值为________. 解析由切割线定理可得PC2=PAPBPA=PC2PB=322=92，由于PC切圆O于点C，由弦切角定理可知PCB=PAD，由于PD是APC的角平分线，则CPE=APD，所以△PCE∽△PAD，由相似三角形得PEPD=PCPA=392=329=23.答案232.(2019湖北荆州二模)已知⊙O的半径R=2，P为直径AB延长线上一点，PB=3，割线PDC交⊙O于D，C两点，E为⊙O上一点，且AE︵=AC︵，DE交AB于F，则OF=________.解析如图所示，连接OC，OE，PE，由于AC︵=AE︵，所以AE︵=12CAE︵.因此AOE=12COE，而CDE=12COE，所以AOE=CDE，故EOF=PDF.由于OFE=DFP，因此△OEF∽△DPF，所以OFDF=EFPF.因此OFPF=EFDF，设OF=x，则PF=5-x，所以EFDF=x(5-x)=-x2+5x，由相交弦定理得EFDF=AFBF=(2+x)(2 -x)=-x2+4，所以-x2+5x=-x2+4，解得x=45，故OF=45.答案453.(2019辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G 为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC=BD，求证：AB=ED.证明(1)因为PD=PG，所以PDG=PGD，由于PD为切线，故PDA=DBA，又由于PGD=EGA，故DBA=EGA，所以DBA+BAD=EGA+BAD，从而BDA=PFA.由于AFEP，所以PFA=90，于是BDA=90.故AB是直径.(2)连接BC，DC，如图.由于AB是直径，故BDA=ACB=90.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是DAB=CBA.又因为DCB=DAB，所以DCB=CBA，故DC∥AB.由于ABEP，所以DCEP，DCE为直角.观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

选修4-1 《几何证明选讲》复习讲义一、广东高考考试大纲说明的具体要求：（1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理. （2）会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.（3）会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.二、基础知识梳理：1.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；2. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；222A AD BC =___________,__________,__________ABCRtAD AB AC ==如图，中，为直角，为斜边上的高，则3.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_______；90o的圆周角所对的弦是________。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。

圆内接四边形的性质与判定定理_ B_ C_ A4.圆中的比例线段三、常见题型题型一.相似三角形的性质、直角三角形的射影定理等 例1.如图，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ， 则=+ADFGBC EF ．变式练习. 在ABC 中，//DE BC ，DE 将ABC 分成面积相等的两部分，那么:DE BC =__________例2. 如图，在ABC 中，AD 是BC 边上中线，AE 是BC 边上的高，D A B D B A ∠=∠,18AB =,12BE =,则CE =__________.题型二.与圆角度相关问题例1.如图，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，则∠CAB 的度数为 ，∠DCB 的度数为 ，∠ECA 的度数为 _ __ .变式练习.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延 长线上， BD=OB ，CD 与⊙O 切于C ，那么 ∠CAB==________.例2.如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的度数是 ____变式练习. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB ＝25°，则∠ADC 为________题型三.切割线定理例1.如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD,AB 是圆O的直径,若PA=4, PC=5, CD=3, 则AB= __。

第十一章⎪⎪⎪几何证明选讲(选修4－1)第一节 相似三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：由⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点， 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.(教材习题改编)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：451．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[小题纠偏]1.(2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， 所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ， 所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5， 所以BF ∶FD 的值为25.答案：252.如图，在Rt △ABC 中 ，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC 为________．解析：设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 答案：2∶5考点一 平行线分线段成比例定理的应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的值．解：∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58.∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.2．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC 的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.[谨记通法]平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化(1)一个注意点：利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)一种转化：解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二 相似三角形的判定及性质 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角， 故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，得∠EFC ＝90°， 故EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ， 故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .[由题悟法]证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等．(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例． (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．[即时应用]如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB.所以△ABC ∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ， 垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， 所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM . 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.考点三 直角三角形中的射影定理 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ， 所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝D B.在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ， 所以AD 2＝AF ·AC . 同理BD 2＝BG ·BE . 所以AF ·AC ＝BG ·BE .[由题悟法]对射影定理的理解和应用(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影．(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用．[即时应用]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值． 解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.1.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD 的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.2.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ， 所以x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.故△DEF 的边长为43.3.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值． 解：∵AD ∥BC ， ∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋CN.∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6， ∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB ， 所以HF BF ＝AF GF ， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 所以DF 2＝AF ·BF . 所以DF 2＝GF ·HF .5.(2016·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点， 所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8， 所以x x ＋8＝13，所以x ＝4. 所以AE ＝4.6.(2016·大连模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BFFC 的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值． 解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于点G ，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE . 又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ， 所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ， 所以BF ∶FC ＝DG ∶FC .又因为D 是AC 的中点，则DG ∶FC ＝1∶2， 则BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12.(2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2， 其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高， 则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16， 则S 1∶S 2＝1∶5. 故S 1∶S 2的值为15.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PDBD ；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ， 所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD . 又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ， 所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ， 所以AP AC ＝AC AD. 所以AP ·AD ＝AC 2＝9.8.△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于点P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF ，有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN ，有AB AM ＝BDDN ， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC ，有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .第二节 直线与圆的位置关系1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设垂足为D ，⊙O 的半径等于R ， ∵AB ，BC 是⊙O 的两条弦， AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22， ∴AD ＝1，∴R 2＝2＋(R －1)2， ∴R ＝1.5.故⊙O 的半径为1.5. 答案：1.52.如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M .若OC ＝3，OM ＝1，则MN 的长为________．解析：由题意得： CM ＝CO ＋OM ＝3＋1， AM ＝AO －OM ＝3－1， BM 2＝OB 2＋OM 2＝4，BM ＝2， 根据相交弦定理有CM ·AM ＝BM ·MN ，代入数值可解得MN ＝CM ·AM BM ＝(3＋1)(3－1)2＝1.答案：13.如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝________ cm.解析：连接OC ，则OC ⊥PC .又OC ＝3，∠CPA ＝30°， ∴CP ＝OCtan 30°＝3 3.答案：3 31．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，角之间关系易于混淆导致错误．2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[小题纠偏]1.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：设圆O的半径为r，过B作⊙O的直径BA，连接AC，则∠ACB＝90°.又由弦切角定理得∠CAB＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝4.∴r＝2，∴S＝πr2＝4π.答案：4π2.如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．解析：设⊙O的半径为r.由割线定理得PA·PB＝PC·PD,3×7＝(PO－r)(PO＋r)，即21＝25－r2，∴r2＝4，∴r＝2.答案：2考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2016·黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD的大小．解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(2015·广东高考改编)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD的长．解：由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152. 因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ， 故PD PA ＝PCPO， 即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.[谨记通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二 圆内接四边形的性质及判定 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·昆明模拟)如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A ，E ，G ，F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG . 证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，四边形CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ， ∠AFG ＝∠CDG ，又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°，∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.[由题悟法]证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．[即时应用](2016·吉林实验中学)如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.(1)求证：BC∥DE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且AC＝BC，求∠BAC.解：(1)证明：因为DE为圆的切线，所以∠EDC＝∠DAC.又因为∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以BC∥DE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由(1)知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.设∠DAC＝∠DAB＝x，因为AC＝BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰△ACF中，180°＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x≈25.7°，所以∠BAC＝2x≈51.4°.考点三 与圆有关的比例线段 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径． 解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径， 所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4， 所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ， 即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3， 即⊙O 的直径为3.[由题悟法]与圆有关的比例线段解题思路(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理． (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理． (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．[即时应用]1．(2015·天津高考改编)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，求线段NE 的长．解：由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ， 则2×4＝2AM 2，AM ＝2. 又CN ·NE ＝AN ·NB ， 即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．(2015·湖北高考改编)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，求ABAC的值． 解：因为PA 是圆的切线， A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )， 因为BC ＝3PB ，所以PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB. 由弦切角定理，得∠PAB ＝∠PCA ， 又∠APB ＝∠CPA ，故△PAB ∽△PCA ， 所以AB AC ＝PB PA ＝12.1．(2015·重庆高考改编)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．解：由切割线定理，知PA 2＝PC ·PD ， 即62＝3PD ， 解得PD ＝12，所以CD ＝PD －PC ＝9， 所以CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，知AE ·EB ＝CE ·ED ，即9BE ＝6×3，解得BE ＝2.2．(2016·兰州双基测试)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°，由P ，D ，C ，E 四点共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， ∴AP ⊥CP .3．(2016·陕西一检)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD.(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ， ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴AC ∥BD.又OA ＝OB ，PC ＝PD ， ∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线． (2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6. 过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ， 则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2. ∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝4 6. ∴CD ＝4 6.4.(2015·全国卷Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC交⊙O 于点E .(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小． 解：(1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)设CE ＝1，AE ＝x .由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ， 所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0. 解得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.5．(2015·沈阳一模)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG .(1)求证：C 是劣弧BD 的中点； (2)求证：BF ＝FG .证明：(1)∵CF ＝FG ，∴∠CGF ＝∠FCG . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2.∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝π2.∵∠CBA ＝π2－∠CAB ，∠ACE ＝π2－∠CAB ，∴∠CBA ＝∠ACE .∵∠CGF ＝∠DGA ，∠DGA ＝∠ABC ， ∴π2－∠DGA ＝π2－∠ABC ， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∴C 为劣弧BD 的中点．(2)∵∠GBC ＝π2－∠CGB ，∠FCB ＝π2－∠GCF ，∴∠GBC ＝∠FCB ，∴CF ＝FB ，∴BF ＝FG .6．(2016·贵州七校联考)如图，⊙O 1和⊙O 2的公切线AD 和BC 相交于点D ，A ，B ，C 为切点，直线DO 1交⊙O 1于E ，G 两点，直线DO 2交⊙O 2于F ，H 两点．(1)求证：△DEF ∽△DHG ；(2)若⊙O 1和⊙O 2的半径之比为9∶16，求DEDF 的值． 解：(1)证明：∵AD 是两圆的公切线， ∴AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ， ∴DE ·DG ＝DF ·DH ，∴DE DH ＝DF DG ， 又∵∠EDF ＝∠HDG ， ∴△DEF ∽△DHG .(2)连接O 1A ，O 2A ， ∵AD 是两圆的公切线， ∴O 1A ⊥AD ，O 2A ⊥AD ， ∴O 1，A ，O 2共线，∵AD 和BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线， DG 平分∠ADB ，DH 平分∠ADC ， ∴DG ⊥DH ，∴AD 2＝O 1A ·O 2A .设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为9x 和16x ，则AD ＝12x ， ∵AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ，∴144x 2＝DE (DE ＋18x )，144x 2＝DF (DF ＋32x )， ∴DE ＝6x ，DF ＝4x ， ∴DE DF ＝32.7．(2016·沈阳模拟)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A ，B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D.(1)求证：C ，P ，B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，PA ，PB ，BO 2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴设∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α.由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C，P，B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA.8．(2015·全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3， 所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。

图3广东13大2019高三上年末数学（理）试题分类汇编17：几何证明选讲几何证明选讲1、〔惠州市2018届高三上学期期末〕如图，PA 切O 于点A ，割线PBC 通过圆心O ，1OB PB ==，OA 绕点O 逆时针旋转60︒到OD ，那么PD 的长为、【解析】∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA ，∴60AOB ∠=，∴120POD ∠=，在△POD 中由余弦定理， 得：2222cos PD PO DO PO DO POD =+-⋅∠ =1414(72+-⨯-=、 解析2：过点D 作DE ⊥PC 垂足为E ，∵120POD ∠=， ∴60DOB ∠=， 可得12OE =，2DE =，在Rt PED ∆中，∴PD ===、2、〔江门市2018届高三上学期期末〕如图3，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 通过圆心。

6=PA ，317=AB ，12=PO 。

那么圆O 的半径____=R 、答案：8 3、〔茂名市2018届高三上学期期末〕如图，⊙O 的直径AB ＝6cm ，P 是AB延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 假设∠CPA ＝30°，PC ＝_____________ 答案：4、〔东莞市2018届高三上学期期末〕如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，直线MN 切O 于D ，60MDA ∠=，那么BCD ∠=、图2答案： 1505、〔佛山市2018届高三上学期期末〕如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F 、假设3AD AE =，那么:AF FC =、答案：1：4 6、〔广州市2018届高三上学期期末〕如图2，AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，假设4AP =，2PB =，那么PC 的长是. 答案：7、〔汕头市2018届高三上学期期末〕圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为，AB ＝3，那么切线AD 的长为＿＿＿＿8、〔肇庆市2018届高三上学期期末〕如图3,△ABC 的外角平分线AD 交外接圆于D,4BD =，那么CD =.解析:4∵A 、B 、C 、D 共圆,∴∠DAE=∠BCD.又∵=,∴∠DAC=∠DBC.而∠DAE=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB.∴CD=4BD =.9、〔珠海市2018届高三上学期期末〕〔几何证明选讲选做题〕如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，假设PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，那么BD 等于. 答案：610、〔增城市2018届高三上学期期末〕圆O 割线PAB 交圆O 于B A ,)(PB PA <两点，割线PCD 通过圆心O )(PD PC <，6=PA ,317=AB ,10=PO ;那么圆O 的半径是、答案：52F ABCD E Ml11、〔湛江市2018届高三上学期期末〕如图圆上的劣弧CBD所对的弦长CD，弦AB是线段CD的垂直平分线，AB＝2，那么线段AC的长度为＿＿＿＿。

几何证明选讲、不等式选讲1、在ABC ∆中，,D E 分别为,AB AC 上的点，且//DE BC ，ADE ∆的面积是22cm ， 梯形DBCE 的面积为26cm ，则:DE BC 的值为（ ）A 、、1:2 C 、1:3 D 、1:4 解析：ADE ABC ∆∆，利用面积比等于相似比的平方可得答案B 。

2、如图所示，在ABC ∆和DBE ∆中，53AB BC AC DB BE DE ===，若ABC ∆与DBE ∆的周长之差为10cm ，则ABC ∆的周长为（ ） A 、20cm B 、254cm C 、503cm D 、25cm2、 3、 4、解析：利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案D 。

3、如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥于点D ，且DB AD 3=，设COD θ∠=，则2tan 2θ＝（ ）A 、13 B 、14C 、4-D 、3解析：设半径为r ，则31,22AD r BD r ==，由2CD AD BD =⋅得2CD r =，从而 3πθ=，故21tan23θ=，选A 。

4、如图，为测量金属材料的硬度，用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料 的表面，在材料表面留下一个凹坑，现测得凹坑直径为10mm ，若所用钢珠的直 径为26mm ，则凹坑深度为（ ）A 、1mmB 、2mmC 、3mmD 、4mm解析：依题，222OA AM OM =+，12OM mm =，故13121CM mm =-=，选A 。

5、如图，11BB AA 与相交与点O, 11//B A AB 且1121B A AB =，若AOB ∆得外接圆直径为1，则11OB A ∆的外接圆直径为 。

25、6、6、如图所示，AB 为O 的直径，弦BD AC ,交于点P ，若3,1AB CD ==，则sin APD ∠= 。

解析：连结AD ，则sin ADAPD AP∠=，又CDP BAP ∆∆，从而31cos ===∠BA CD PA PD APD ，所以sin APD ∠==。

第1讲 几何证明选讲(推荐时间：40分钟)1．(2014·湖北)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点．若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________.答案 4解析 由切割线定理得QA 2＝QC ·QD ＝4，解得QA ＝2.则PB ＝P A ＝2QA ＝4.2．(2014·重庆)过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________.答案 4解析 由切割线定理得P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即62＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠P AB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CP A ，故△APB ∽△CP A ，则AB CA ＝AP CP，即AB 8＝63＋9，解得AB ＝4.3．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB P A ＝12，PC PD ＝13，则BC AD的值为________． 答案 66解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ，∴△PCB ∽△P AD .∴PB PD ＝PC P A ＝BC AD .∵PB P A ＝12，PC PD ＝13， ∴BC AD ＝66.4．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________． 答案 43解析 因为AF ·BF ＝EF ·CF ，解得CF ＝2，所以34＝2BD ，即BD ＝83.设CD ＝x ，AD ＝4x ， 所以4x 2＝649，所以x ＝43.5.如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，则BF FC的值为______． 答案 12解析 过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M .∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM ，又点D 是AC 的中点，∴在△CAF 中，CM ＝MF ，∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12. 6．(2013·广东)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.答案 2 3解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC ＝AC AD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.7.如图，P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R ＝________.答案 3解析 由切割线定理可得P A 2＝PB ·PC ，即PC ＝P A 2PB ＝41＝4， 所以BC ＝PC －PB ＝3，因为AC 是圆O 的直径，所以∠ABC ＝90°，所以AB 2＝BC ·BP ＝3，所以AC 2＝BC 2＋AB 2＝9＋3＝12，即AC ＝12＝23，所以2R ＝23，即R ＝ 3.8．如图，AB ，CD 是圆O 内的两条平行弦，BF ∥AC ，BF 交CD 于点E ，交圆O 于点F ，过A 点的切线交DC 的延长线于点P ，若PC ＝ED ＝1，P A ＝2，则AC 的长为________．答案 2解析 ∵P A 是⊙O 的切线，∴由切割线定理得P A 2＝PC ·PD .∵P A ＝2，PC ＝1，∴PD ＝4.又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2，由题意知四边形ABEC 为平行四边形，∴AB ＝CE ＝2，连接BC ，如图，∵P A 是⊙O 的切线，∴∠P AC ＝∠CBA .∵AB ，CD 是圆的两条平行弦，∴∠PCA ＝∠CAB ，∴△P AC ∽△CBA ，∴PC CA ＝CA AB， ∴AC 2＝PC ·AB ＝2，∴AC ＝ 2.9．如图，已知AD ＝5，DB ＝8，AO ＝310，则圆O 的半径OC 的长为________．答案 5解析 由圆的割线定理得，AE ·AC ＝AD ·AB ，即(AO －OE )·(AO ＋OC )＝AD ·(AD ＋DB )，即(310－OC )·(310＋OC )＝5×(5＋8)，解得OC ＝5.10．如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．答案 7解析 ∵P A 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos ∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7. 11．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P ，连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，则P A ·PB ＝________.答案 12解析 由AD ＝BD ＝4，得∠P AD ＝∠B ，又∠B ＝∠C ，所以∠P AD ＝∠C ，又∠ADP ＝∠CDA ，所以△ADP ∽△CDA .又PC ＝6，设PD ＝x ，由CD AD ＝AD PD ，得6＋x 4＝4x，解得x ＝2或x ＝－8(舍去)，即PD ＝2，由相交弦定理，得P A ·PB ＝PC ·PD ＝6×2＝12.12.如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC ＝________.答案 2∶5解析 设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ，∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴AC 2＝CD ·BC ，∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5.13.如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为________．答案 6解析 过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt △DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10，由Rt △DFB ∽Rt △ENB ，知EN DF ＝BE BD，所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6.14.如图，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F .若CD ＝2，则AB ＝________， EF ＝________.答案 3 233解析 ∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC .∵CD ⊥AB 于D ，∴由射影定理得CD 2＝AD ·BD .∵AD ＝2BD ，CD ＝2，∴(2)2＝2BD ·BD ，解得BD ＝1，∴AD ＝2BD ＝2，∴AB ＝AD ＋BD ＝2＋1＝3.在Rt △CDE 中，∵E 为AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝1，又CD ＝2，∴CE ＝CD 2＋DE 2＝3，又AE ＝DE ＝1，EB ＝2，由相交弦定理得EF ＝AE ·EB CE ＝233.15.如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于点D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，则圆O 的面积是________． 答案 4π解析 ∠ACD ＝∠ABC ＝30°， AC ＝ADsin ∠ACD ＝2， AB ＝ACsin ∠ABC ＝4，故圆O 的面积为π·22＝4π.。

选修4—1 几何证明选讲真题试做1．(2012·广东高考，文15)如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝__________.2．(2012·天津高考，文13)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．3．(2012·陕西高考，文15B)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝______.考向分析从近几年的高考情况看，本部分内容主要有两大考点，一是会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理；二是会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等．在高考中常以圆为背景，主要考查最基本、最重要的内容，试题多以填空题、解答题的形式呈现，试题难度属中低档．预计在今后高考中，几何证明选讲主要考查最基本、最重要的内容，如相似三角形，圆的切线、弦切角，圆内接四边形的性质与判定，与圆有关的比例线段等，试题难度中等．另外，对平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理、直角三角形的射影定理、切线长定理等内容的考查，也应引起足够的重视．热点例析热点一 相似三角形问题 【例1】如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝_________.规律方法 在求线段的长度或计算比例线段的比值时，应注意的问题： (1)首先应先寻找所求线段或比例线段所在的两个三角形； (2)判断寻找的两个三角形是否具备相似的条件； (3)如果条件不能直接找出时，可巧添辅助线；(4)有平行线时可应用平行线分线段成比例定理加以解决．变式训练1 (2012·广东肇庆期末统考，理14)如图，PAB ，PCD 为⊙O 的两条割线，若PA ＝5，AB ＝7，CD ＝11，AC ＝2，则BD 等于__________．热点二 有关圆的切线、弦切角问题【例2】如图所示，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝__________.规律方法 与圆的切线有关的几何证明问题处理思路：(1)若两圆相切时，往往需要添加两圆的公切线，转化为弦切角与圆心角、圆周角之间的关系；(2)在利用圆的切线、弦切角解题时，应特别注意圆周角、圆心角与弦切角的特殊关系． 变式训练2 如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为__________．热点三 圆内接四边形的判定与性质 【例3】如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P.若PB=1，PD=3，则BCAD的值为____________.规律方法 有关圆内接四边形问题的处理思路：(1)圆内接四边形(亦即四点共圆)的判定与性质，在近几年高考中常有考查，处理此类问题的关键是掌握对角的互补关系，同边所形成的弦、角的等量关系，以及外角与其内对角的相等关系等．(2)通常情况下把圆内接四边形问题转化为圆周角、圆心角、圆内角、圆外角、弦切角以及圆内接四边形的对角等问题，然后再利用题设条件来解决问题．(3)值得注意的有，在平面几何中求角的大小，经常考虑借助三角形内角和定理及其推论；在圆中求角的大小常常借助与圆有关的角的定理来完成．变式训练3 如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是__________．热点四 有关与圆相关的比例线段问题【例4】如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，若PE ＝PA ，∠ABC ＝60°，PD ＝1，BD ＝8，则BC ＝__________.规律方法 与圆有关的比例线段问题的处理思路：解决与圆有关的比例线段问题，常常结合圆的切割线定理、割线定理、相交弦定理等来进行分析．当然，在解题过程中善于发现、构造相似三角形，寻找平行线截线段成比例等也是解决问题的关键环节．变式训练4 如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA ＝3，AB ＝4，PO ＝5，则⊙O 的半径为__________．1．如图，在Y ABCD 中，N 是AB 延长线上一点，BC BM －AB BN的值等于( )．(第1题图)A.12 B ．1 C.32 D.232．如图，矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，则图中与△ABC 相似的三角形有( )．(第2题图)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2012·北京丰台3月模拟，12)如图所示，Rt△ABC 内接于圆，∠ABC ＝60°，PA 是圆的切线，A 为切点，PB 交AC 于点E ，交圆于点D .若PA ＝AE ，PD ＝3，BD ＝33，则AP ＝__________，AC ＝__________.4．(2012·湖北华中师大一附中5月模拟，15)如图所示，圆O 的直径为6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过点C 作圆的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD ＝__________.5．如图，已知Rt△ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD DA＝__________.(第5题图)6．(2012·广东江门一模，文14)如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 外接圆的直径．若AB ＝6，AC ＝5，AD ＝4，则图中与∠BAE 相等的角是__________，AE ＝__________.(第6题图)7．(2012·广东六校第四次联考，文15)如图，点M 为⊙O 的弦AB 上的一点，连接MO .MN ⊥OM ，MN 交圆于点N ，若MA ＝2，MB ＝4，则MN ＝__________.参考答案命题调研·明晰考向真题试做1.mn 解析：∵直线PB 与圆相切于点B ，且∠PBA ＝∠DBA ，∴∠ACB ＝∠ABP ＝∠DBA ，由此可得直线AB 是△BCD 外接圆的切线且B 是切点，则由切割线定理得|AB |2＝|AD |·|AC |＝mn ，即得|AB |＝mn .2.43解析：在圆中，由相交弦定理：AF ·FB ＝EF ·FC ， ∴FC ＝AF ·FB EF＝2，由三角形相似，FC BD ＝AF AB ，∴BD ＝FC ·AB AF ＝83.由切割弦定理：DB 2＝DC ·DA ，又DA ＝4CD ，∴4DC 2＝DB 2＝649.∴DC ＝43. 3．5 解析：由三角形相似可得DE 2＝DF ·DB ，连接AD ，则DE 2＝AE ·EB ＝1×5＝5，所以DF ·DB ＝5.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】 4 2 解析：∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°，∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128，∴CD ＝8 2.又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC . ∴AB AD ＝BE DC ，∴BE ＝AB ·DC AD ＝6×8212＝4 2. 【变式训练1】6 解析：由割线定理得PA ·PB ＝PC ·PD ， ∴5×(5＋7)＝PC (PC ＋11)．∴PC ＝4或PC ＝－15(舍去)． 又∵PA ·PB ＝PC ·PD ，PA PD ＝PCPB，∠P ＝∠P ，∴△PAC ∽△PDB . ∴AC BD ＝PA PD ＝515＝13. 故BD ＝3AC ＝6.【例2】35 解析：根据圆的性质有∠PAB ＝∠ACB ，而∠BAC ＝∠APB ，故△PAB ∽△ACB ，故有AB PB ＝BCAB，将PB ＝7，BC ＝5代入解得AB ＝35.【变式训练2】72解析：设BE ＝a ，则AF ＝4a ，FB ＝2a . ∵AF ·FB ＝DF ·FC ，∴8a 2＝2，∴a ＝12，∴AF ＝2，FB ＝1，BE ＝12，∴AE ＝72.又∵CE 为圆的切线，∴CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74，∴CE ＝72. 【例3】13 解析：∵∠P ＝∠P ，∠A ＝∠PCB ，∴△PCB ∽△PAD .∴PB PD ＝BC AD ＝13. 【变式训练3】 99° 解析：如图，连接OB ，OC ，AC ，根据弦切角定理，可得∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.【例4】27 解析：根据切割线定理，得PA 2＝PD ·PB ＝9， 故PA ＝3.又根据弦切角定义，可得∠PAC ＝∠ABC ＝60°，且PE ＝PA ，故△PAE 为等边三角形． 所以BE ＝6，DE ＝2.根据相交弦定理，可得BE ·DE ＝AE ·CE ，解得CE ＝4. 在△BCE 中用余弦定理，可解得BC ＝27.【变式训练4】2 解析：设圆的半径为R ，由PA ·PB ＝PC ·PD 得3×(3＋4)＝(5－R )(5＋R )，解得R ＝2. 创新模拟·预测演练1．B 解析：∵AD ∥BM ，∴AB BN ＝DM MN. 又∵DC ∥AN ，∴DM MN ＝MC MB.∴DM ＋MN MN ＝MC ＋MB MB ，∴DN MN ＝BC BM .∴BC BM －AB BM ＝DN MN －DM MN ＝MNMN＝1. 2．C 解析：△CDA ，△DEA ，△CED 都与△ABC 相似．3．2 3 3 3 4.3325.1696．∠DAC 152解析：连接BE .∵∠C ＝∠E ，∠CDA ＝∠EBA ＝90°， ∴△ABE ∽△ADC .∴∠BAE ＝∠DAC .又∵AB AE ＝AD AC ，∴AE ＝AB ·AC AD ＝152.7．2 2 解析：延长NM 交⊙O 于点C . ∵OM ⊥MN ，∴MN ＝MC . 又∵AM ·MB ＝MN ·MC ，∴2×4＝MN 2，即MN ＝2 2.。

在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b ab+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上． （1） 求椭圆1C 的方程；（2） 设直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．在平面直角坐标系x O y中，直线:2l x=-交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求H O+H T的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l的斜率k的取值范围。

1已知曲线2n C y n x=：，点(,)(0,0)n n n n n P x y x y >>是曲线nC 上的点（n=1,2,…）.（1）试写出曲线nC 在点nP 处的切线nl 的方程，并求出nl 与y 轴的交点nQ 的坐标；（2）若原点(0,0)O 到nl 的距离与线段n nP Q 的长度之比取得最大值，试求试点nP 的坐标(,n n x y )；（3）设m 与k 为两个给定的不同的正整数，nx 与ny 是满足（2）中条件的点nP 的坐标，证明：1(1)(1)2snn n m x k y m s k s=+-+<-∑(1,2,)s =…2009年 19.（本小题满分14分）已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :0214222=--++y kx yx)(R k ∈的圆心为点k A .(1)求椭圆G 的方程 (2)求21F F A k ∆的面积(3)问是否存在圆k C 包围椭圆G?请说明理由.2008年20.设0b>，椭圆方程为222212x yb b+=，抛物线方程为28(),x y b=-如图6所示，过点(0,2)F b+作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F。

几何证明选讲1、（广东省百所高中2014届高三11月联考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝72°，圆E 过A ，B 两点且与BC 相切于点B ，与AC 交于点D ，连结BD ，若BC＝5－1，则AC ＝＿＿＿答案：22、（广东省宝安中学等七校2014届高三第二次联考）如图4,在ABC ∆中,//DE BC ,//EF CD ,若3BC =,2DE =,1DF =,则AB 的长为________．答案：923、（广州市培正中学2014届高三11月月考）（几何证明选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD =，延长AE 交BC 于点F ，则BF FC 的值为_____． 答案：144、2014届高三上学期调研）（几何证明选讲选做题）如图2，在△ABC 中，DE//BC,DF//AC,AE=4，EC=2，BC=8，则BF= .答案：83图2F A E B C DO E D C B A P 5、（海珠区2014届高三上学期综合测试（二））（几何证明选讲选做题）如图4，平行四边形ABCD 中，:1:2AE EB =, AEF ∆的面积为12cm , 则平行四边形ABCD 的面积为 2cm .答案：246、（惠州市2014届高三上学期第二次调研）（几何证明选讲选做题）如图，D 是圆O 的直径AB 延长线上一点，PD 是圆O 的切线，P 是切点，30D ∠=。

，4AB =，2BD =，PA = ．答案：327、（揭阳一中、潮州金山中学2014届高三上学期期中联考）如图，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =，则CD =_______.答案：4.88、（汕头市潮师高级中学2014届高三上学期期中）（几何证明选讲选做题）如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知23AD =，6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为 ．答案：59、（汕头四中2014届高三第二次月考）（几何证明选讲选做题）如图,AD 为圆O 直径,BC切圆O 于点E ,,AB BC DC BC ⊥⊥ , 4,1AB DC ==,则AD 等于 .答案：510、（佛山市石门中学2014届高三第二次检测）(几何证明选讲选做题) 如图所示，AB，CD是半径为2的圆O的两条弦，它们相交于P，且P是AB的中点，PD＝43，∠OAP＝30°，则CP＝____.答案：9 4。

广东省深圳市高考数学备考复习（文科）专题十六：几何证明选讲姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PC是⊙O的割线，且PB=BC，则等于（）A . 2B .C . 1D .2. （2分）如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，PB的长为（）cm．A . 3B . 2C . 4D . 33. （2分）如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（）A . ∠1=∠2B . PA=PBC . AB⊥OPD . PA2=PC•PO4. （2分）如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（）A . 4cmB . 5cmC . 6cmD . 8cm5. （2分） (2016高二下·五指山期末) 如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O于点B，CD切⊙O于点D，交BA 延长线于点E，若ED= ，∠ADE=30°，则△BDC的外接圆的直径为（）A . 1B .C . 2D . 26. （2分）如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，连接DB，若∠D=20°，则∠DBE的大小为（）A . 20°B . 40°C . 60°D . 70°7. （2分）如图,△ABC内接于☉O,EC切☉O于点C.若∠BOC=76°,则∠BCE等于（）A . 14°B . 38°C . 52°D . 76°8. （2分）如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O的切线，A是切点，过 B作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E点，若AE平分∠BAD，则∠BAD=（）A . 30°B . 45°C . 50°D . 60°9. （2分）梯形ABCD的两腰AD和BC的延长线相交于E，若梯形两底的长度分别是12和8，梯形ABCD的面积为90，则△DCE的面积为（）A . 50B . 64C . 72D . 5410. （2分）如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P，Q分别在BD，AD上，则AP+PQ 的最小值为（）A .B .C . 2D . 311. （2分）如图，AB，AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD=OB，连接AD．如果∠DAC=78°，那么∠ADO等于（）A . 70°B . 64°C . 62°D . 51°12. （2分）在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，且DE∥BC，△ADE的面积是2cm2 ，梯形DBCE的面积为6cm2 ，则DE：BC的值为（）A . 1：B . 1：2C . 1：3D . 1：413. （2分） (2018高一下·安徽期末) 已知满足(其中是常数)，则的形状一定是（）A . 正三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 直角三角形14. （2分）如图，已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为平面上一点，过点C作半圆的切线CD，过A点作AD⊥CD 于D，角半圆于点E，DE=1，则BC的长为（）A . 1B . 2C . 1.5D . 2.515. （2分）如图，已知AD//BE//CF，下列比例式成立的是A .B .C .D .二、综合题 (共5题；共55分)16. （10分）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．．（1）求证：GE是⊙O的切线；（2）求sin∠DCB值．17. （15分）如图,☉O内切于△ABC的边于点D,E,F,AB=AC,连接AD交☉O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.（1）求证:圆心O在AD上;（2）求证:CD=CG;（3）若AH∶AF=3∶4,CG=10,求HF的长.18. （10分）如图，圆内接四边形ABCD满足AB∥CD，P在BA的延长线上，且PD2=PA•PB．若BD=2 ，PD=CD=2．（Ⅰ）证明：∠PDA=∠CDB；（Ⅱ）求BC的长．19. （10分）(2016·黄山模拟) 如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（1）求证：DE∥AB；（2）求证：AC•BC=2AD•CD．20. （10分）已知关于x的不等式|x﹣1|+|4﹣x|＜m的解集不是空集．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）求函数f（m）=m+的最小值及对应的m的值．三、填空题 (共6题；共6分)21. （1分）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=________22. （1分） (2015高一上·莆田期末) 如图，在同一地平面上，有一枝竖直地面的竹杆AB和球O，竹杆的长度和球的直径都是3米，一束太阳光照到竹杆AB留下背影AC长为4米，则该太阳光同时照到球O留下背影DE长为________米．23. （1分） (2017高一上·济南月考) 设平面平面，、，、，直线与CD交于点，且点位于平面，之间，，，，则 ________．24. （1分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为________ ．25. （1分） (2018高二上·西宁月考) 设平面，直线与交于S，若，则 ________.26. （1分）如图，过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B，C．若PA=6，PB=3，AB=4，则AC=________ ．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、综合题 (共5题；共55分)16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、三、填空题 (共6题；共6分) 21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、26-1、。