浙江省重点中学2018—2019下学期高二数学（理科）期中
考试试卷参考答案
11．
512 12．1
11
12212
1
k k
k ++++
+-
13．2
14．(－1，＋∞) 15．64π
16．89
5 17．21
6 三：解答题 18．解：
(1)a 0＝1；
(2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝－2
(3)
2011
12
2
2011
+1222a a a ++
=-； 19．解：函数f(x)的定义域为(0，2)，a x
x x f +--=
211)('． (1)当a ＝1时，2+2
'()(2)
x f x x x -=-，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递
减区间为(2，2)； (2)当x ∈(0，1]时，22'()0(2)
x
f x a x x -=
+>-，即f(x)在(0，1]上单调递增，故f(x)
在(0，1]上的最大值为f(1)＝a ，因此2
1
=a ．
20．解：
(Ⅰ)据题意得到2
11222n
m n
m n m n m C C C C C C ++⋅=+解得m ＝6，n ＝3． (Ⅱ)ξ的取值为0，1，2，3．
P(ξ＝0)＝84
1
3933=C C ，
P(ξ＝1)＝21
363
93
14
C C C =
P(ξ＝2)＝
28
15
3
926
13=C C C ， P(ξ＝3)＝21
5
3936=C C
的分布列为
所以E ξ＝221
3282141840=⨯+⨯+⨯+⨯ 21．解：
(1)取AO 中点M ，连接MQ ，DM ，由题意可得：
,AO EO DO EO ⊥⊥，AO ＝DO ＝2． DM AO ∴⊥ //Q AE MQ EO MQ AO ∴∴⊥为的中点，，
.AO DMQ AO DQ ∴
⊥∴⊥平面
(2)作MN AE N DN ⊥垂足为，连接
,AO EO DO EO EO AOD
EO DM
⊥⊥∴⊥∴⊥平面，
DM AO DM AOE ⊥∴⊥平面
MN AE DN AE DNM O AE D ⊥∴⊥∠--，就是所求二面角的平面角。．
1
cos .4MN DM MN DN DNM DN =∠==
O AE D --1
二面角的余弦值为4
22．解：
(1)①f'(x)＝(3x 2－12x ＋3)e x ＋(x 3－6x 2＋3x ＋t)e x ＝(x 3—3x 2—9x ＋t ＋3)e x
∵f(x)有3个极值点， ∴x 3－3x 2
－9x ＋t ＋3＝0有3个根a ，b ，c ．
令g(x)＝x 3－3x 2
－9x ＋t ＋3，
g'(x)＝3x 2
－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)
g(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上递增，(－1，
3)上递减． ∵g(x)有3个零点
∴⎩
⎨⎧-＜0)3(＞0)1(g g
∴－8＜t ＜24．
(2)不等式f(x)≤x，即(x 3－6x 2＋3x ＋t)e x ≤x，即t≤xe －x －x 3＋6x 2
—3x ． 转化为存在实数t ∈[0，2]，使对任意的x ∈[1，m]，
不等式t≤xe－x－x3＋6x2－3x恒成立．
即不等式0≤xe－x－x3＋6x2－3x在x∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e－x－x2＋6x－3在x∈[1，m]上恒成立．
设φ(x)＝e－x－x2＋6x－3，则φ'(x)＝－e－x－2x＋6．
设r(x)＝φ'(x)＝－e－x－2x＋6，则r'(x)＝e－x－2，
因为1≤x≤m，有r'(x)＜0．
故r(x)在区间[1，m]上是减函数．
又r(1)＝4－e－1＞0，r(2)＝2－e－2＞0，r(3)＝－e－3＜0
故存在x0∈(2，3)，使得r(x0)＝φ'(x0)＝0．
当1≤x≤x0时，有φ'(x)＞0，当x＞x0时，有φ'(x)＜0．
从而y＝φ(x)在区间[1，x0]上递增，在区间[x0，＋∞)上递减．又φ(1)＝e－1＋4＞0，φ(2)＝e－2＋5＞0，φ(3)＝e－3＋6＞0，
φ(4)＝e－4＋5＞0，φ(5)＝e－5＋2＞0，φ(6)＝e－6－3＜0．
所以当1≤x≤5时，恒有φ(x)＞0；当x≥6时，恒有φ(x)＜0；故使命题成立的正整数m的最大值为5．
