8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册0

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积考点讲解考点1：圆柱、圆锥、圆台的表面积 1．圆柱、圆锥、圆台的表面积【例) A ．1＋2π2π B ．1＋4π4π C ．1＋2ππ D ．1＋4π2π(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和． 【解析】(1)设圆柱底面半径为r ，则高为2πr ， 表面积∶侧面积＝[(2πr )2＋2πr 2]∶(2πr )2＝1＋2π2π.] (2)∶设圆台的母线长为l ，则由题意得 π(2＋6)l ＝π×22＋π×62， ∶8πl ＝40π，∶l ＝5， ∶由∶可得圆台的表面积为 S ＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62 ＝40π＋4π＋36π ＝80π. 【方法技巧】圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤,解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：1得到空间几何体的平面展开图. 2依次求出各个平面图形的面积. 3将各平面图形的面积相加.【针对训练】1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C ．2倍D ．2倍【解析】由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr 2＝lr ＝2，故选D ．考点2：圆柱、圆锥、圆台的体积1. 圆柱、圆锥、圆台的体积公式 V 圆柱＝πr 2h (r 是底面半径，h 是高)， V 圆锥＝13πr 2h (r 是底面半径，h 是高)，V 圆台＝13πh (r 2＋r ′r ＋r ′2)(r ′、r 分别是上、下底面半径，h 是高)．【例2】 过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( ) A ．1∶1 B ．1∶6 C ．1∶7D ．1∶8 【解析】如图，设圆锥底半径OB ＝R ，高PO ＝h ， ∶O ′为PO 中点，∶PO ′＝h2，∶O ′A OB ＝PO ′PO ＝12，∶O ′A ＝R 2， ∶V 圆锥PO ′＝13π·⎝⎛⎭⎫R 22·h 2＝124πR 2h . V 圆台O ′O ＝π3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎝⎛⎭⎫R 22＋R 2＋R 2·R · h 2＝724πR 2h . ∶V 圆锥PO ′V 圆台O ′O ＝17，故选C ．【方法技巧】求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.【针对训练】2．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( ) A ．233πB ．2 3C ．736πD ．733π【解析】S 1＝π，S 2＝4π，∶r ＝1，R ＝2，S 侧＝6π＝π(r ＋R )l ， ∶l ＝2，∶h ＝ 3.∶V ＝13π(1＋4＋2)×3＝733π.故选D ．考点3：组合体的表面积与体积【例3】 如图，梯形ABCD 中，AD ∶BC ，∶ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2a ，∶DCB ＝60°，在平面ABCD 内过点C 作l ∶CB ，以l 为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．【解析】如题图，在梯形ABCD 中，∶ABC ＝90°，AD ∶BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∶DCB ＝60°，∶CD ＝BC －ADcos 60°＝2a ，AB ＝CD sin 60°＝3a ，∶DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ， ∶DO ＝12DD ′＝a .由于以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱母线长3a ，底面半径2a ，圆锥的母线长2a ，底面半径a .∶圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2，圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2， 圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2， 圆锥的底面积S 4＝πa 2，∶组合体上底面积S 5＝S 3－S 4＝3πa 2， ∶旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 5＝(43＋9)πa 2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V 柱＝Sh ＝π·(2a )2·3a ＝43πa 3，V 锥＝13S ′h ＝13·π·a 2·3a ＝33πa 3，∶V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3. 【变式训练】如果将例题的梯形绕着BC 边所在直线旋转一周，如何求旋转体的表面积和体积？表面积和体积又分别为多少？【解析】如图所示旋转体为一个圆锥和与它同底的一个圆柱组成，由条件可得：AD ＝BO ＝OC ＝a ，DO ＝AB ＝3a ，DC ＝2a ，所以该旋转体的表面积为：S ＝S 圆柱底＋S 圆柱侧＋S 圆锥侧 ＝π·(3a )2＋2π3a ·a ＋π·3a ·2a ＝3πa 2＋23πa 2＋23πa 2 ＝(3＋43)πa 2，该旋转体的体积为V ＝V 圆锥＋V 圆柱 ＝13π(3a )2·a ＋π(3a )2a ＝4πa 3. 【方法技巧】求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的.组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和差. 考点4：球的表面积与体积1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3.【例4】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．【解析】 (1)设球的半径为r ，则由已知得 4πr 2＝64π，r ＝4.所以球的体积：V ＝43×π×r 3＝2563π.(2)设球的半径为R ， 由已知得43πR 3＝5003π，所以R ＝5，所以球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×52＝100π. 【方法技巧】求球的表面积与体积的一个关键和两个结论(1)关键：把握住球的表面积公式S 球＝4πR 2，球的体积公式V 球＝43πR 3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．(2)两个结论：∶两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；∶两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．【针对训练】3．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为________．【解析】4∶9 根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积的比等于半径之比的平方，因为两个球的体积之比为8∶27，所以两个球的半径之比为2∶3，所以两个球的表面积的比为4∶9. 考点5：球的截面问题【例5】 (1)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1. 球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A ．6πB ．43πC ．46πD ．63π(2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________． 【解析】(1)如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∶OM ＝r(22＋1)＝3，即球的半径为3，∶V ＝43π(3)3＝43π.(2)若两个平行截面在球心同侧，如图∶，则两个截面间的距离为52－32－52－42＝1； 若两个平行截面在球心异侧，如图∶，则两个截面间的距离为52－32＋52－42＝7.∶ ∶【方法技巧】1．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．2．注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理．【针对训练】4．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M . 若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．【解析】如图，圆M 面积为3π， 则圆M 半径MB 为3，OA ＝2，则球O 的表面积等于4π×22＝16π.考点6：与球有关的切、接问题【例3】 (1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________. (2)正方体的表面积是a 2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________． 【解析】(1)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为43π.(2)正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合．可见，正方体的体对角线是球的直径．设球的半径是r ，则正方体的体对角线长是2r .依题意，2r ＝3·a 26，即r 2＝18a 2，所以S 球＝4πr 2＝4π·18a 2＝πa 22. 【变式训练】1．将本例(1)变为：长方体的一个顶点处的三条棱长分别是3，3，6，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是()A．12πB．18πC．36πD．6π【解析】由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为23，从而球的半径为3，球表面积为12π.2．将本例(1)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为________．【解析】如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π.【方法技巧】常见的几何体与球的切、接问题的解决策略1处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等.2解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.考点过关一、选择题1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则h ＝2πr ， ∶S 表＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2(1＋2π)， ∶S 侧＝h 2＝4π2r 2，∶S 表S 侧＝1＋2π2π.2．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A ．120° B ．150° C ．180°D ．240°【解析】设底面半径为r ，母线长为l ，则πrl ＋πr 2＝3πr 2， ∶l ＝2r ，∶θ＝2πrl＝π.3．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A ．8π3B ．32π3C ．8πD ．82π3【解析】设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1， ∶截面圆的面积为S ＝π(R 2－1)2＝(R 2－1)π＝π， ∶R 2＝2，∶球的表面积S ＝4πR 2＝8π.4．(多选)将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积可能是( ) A ．32π2＋8π B ．32π2＋32π C ．32π2＋64πD ．64π【解析】当4π作为底面圆周长时，圆柱的侧面积为4π×8π＝32π2， 底面圆的半径为r ＝2，两底面面积为2πr 2＝8π， 所以圆柱的表面积为32π2＋8π；当8π作为底面圆周长时，圆柱的侧面积为4π×8π＝32π2， 底面圆的半径为r ＝4，两底面面积为2πr 2＝32π， 所以圆柱的表面积为32π2＋32π. 二、填空题5．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____.【解析】 易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∶r ＝1，高h ＝l 2－r 2＝ 3. ∶V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×3＝3π3.6．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为___.【解析】设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则43πR 3＝9π2，∶R ＝32，又a 2＋a 2＋a 2＝2R ，∶3a ＝3，∶a ＝ 3.7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为___cm.【解析】如图，过点A 作AC ∶OB ，交OB 于点C .在Rt∶ABC 中， AC ＝12(cm)， BC ＝8－3＝5(cm). ∶AB ＝122＋52＝13(cm). 三、解答题8．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积.【解析】该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.9．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.【解析】设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知∶AEB ∶∶AOC ， ∶AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，∶r ＝1， S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. ∶S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.10．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？【解析】设取出小球后，容器中水面下降h cm ， 两个小球的体积为V 球＝2[4π3×(52)3]＝125π3(cm 3)，此体积即等于它们的容器中排开水的体积V ＝π×52×h ， 所以125π3＝π×52×h ，所以h ＝53，即若取出这两个小球，则水面将下降53cm.11．已知四面体的各面都是棱长为a 的正三角形，求它外接球的体积及内切球的半径. 【解析】如图，设SO 1是四面体S －ABC 的高，则外接球的球心O 在SO 1上.设外接球半径为R .∶四面体的棱长为a ，O 1为正∶ABC 中心， ∶AO 1＝23×32a ＝33a ，SO 1＝SA 2－AO 21＝a 2－13a 2＝63a ，在Rt∶OO 1A 中，R 2＝AO 21＋OO 21＝AO 21＋(SO 1－R )2，即R 2＝(33a )2＋(63a －R )2，解得R ＝64a ，∶所求外接球体积V 球＝43πR 3＝68πa 3． ∶OO 1即为内切球的半径，OO 1＝63a －64a ＝612a ， ∶内切球的半径为612a .。