8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册0

V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面
S为底面面积，
h为锥体高
面积，h 为台体高
h为柱体高
球的表面积公式
S球 4R 2
（R为球的半径）
例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m， 圆柱高0.6m，如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么 给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？
r O
l
O
r’＝r
上底扩大
r'O’
rO
l r’＝0
上底缩小
l r
O
S柱 2r(r l) S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r(r l)
思考：根据圆台的特征，如何求圆台的体积？
由于圆台是由圆锥截成的，因此可以 利用两个锥体的体积差．得到圆台的 体积公式(过程略)．
V 1 (S SS S)h 3
C．1∶ 5
D. 3∶2
【解析】设圆锥底面半径为 r，则高 h＝2r，∴其母线长 l＝ 5r.∴S 侧 ＝πrl＝ 5πr2，S 底＝πr2.则 S 底∶S 侧＝1∶ 5.
2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，
圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( A )
A．7
B．6
C．5
解：一个浮标的表面积为
2 0.15 0.6 4 0.152 0.8478 (m2 )
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478 0.51000 423.9(kg)
思考：在小学，我们学习了圆的面积公式，你记得是如何求得的吗？类比 这种方法，你能由球的表面积公式推导出 球的体积吗？
V 1 (S SS S)h 3

4πr′2＝2×4πr2.∴r′＝ 2r，V′＝4πr3′3＝2 2×4π3r3.
(2)S
表＝πr2＋2πr2＝1，∴r＝
3π 3π .
答案：(1)B (2)C
先根据球的表面积的关系，得出半径之比，再求出体积之比．
题型三 旋转体的综合应用[教材 P119 例 4] 例3
如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体 积之比．
体积公式
圆柱
底面半径为 r，高为 h，V＝_π_r_2h_
圆锥 圆台
球
底面半径为 r，高为 h，V＝__13_π_r_2_h__
上底半径为 r，下底半径为 R，高为 h，V＝13π(r2 ＋rR＋R2)h
V＝43πR3
状元随笔 (1)求旋转体的表面积时，要清楚常见旋转体的侧面展开图是什 么，关键是求其母线长与上、下底面的半径． (2)柱体、锥体、台体体积之间的关系 柱体、锥体、台体的关系如下：
解析：设圆锥的母线长为 l，高为 h，底面半径为 r，由底面周 长为 2πr＝6π，得 r＝3，所以 h＝ l2－r2＝ 82－32＝ 55.由圆锥的 体积公式可得 V＝13πr2h＝3 55π.
答案：C
3．若球的表面积为 4π，则体积为( )
4 A.3π
B．4π
8π C. 3
D．6π
解析：∵S＝4πR2＝4π，∴R2＝1
方法归纳
1．旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是 展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．
2．求旋转体的体积，关键找准半径和母线长，利用公式求体 积．
跟踪训练 1 如图，过圆柱的两条母线 AA1和 BB1的截面 A1ABB1 的面积为 S，母线 AA1 的长为 l，∠A1O1B1＝90°，求此圆柱的体积．

解：当球内切于正方体时用料最省 此时棱长＝直径＝5cm
答：至少要用纸150cm2
练习
解析 设球 O 的半径为 r，则圆柱的底面半径为 r， 高为 2r，所以VV12＝π43rπ2·r23r＝32.
三、课堂小结:
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
1).圆柱 2).圆锥
S 2r 2 rl
S r 2 rl
如果圆台的上、下底面半径分别为ｒ和Ｒ，母线长为l，你能计算它的
表面积吗？
r O’
RO
圆台的侧面展开图是扇环
x x
r 'O’
rO
xl r x r' l rr' x r'
xl 1 r 1 x r'
x r' l r r'
∵圆台侧面展开图是一个扇环
S侧面积
1 2
2 r( x
l)
1 2
2 r
'
x
r( x l ) r ' x rx rl r ' x
A
B
D
C
A1 D1
B1 C1
变式 球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、 3 ,求此球体的表面积 和体积。
分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们 中心重合，则长方体对角线与球的直径相等。
内切球问题
例题3 把直径为5cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸? 分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
解：一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478(m2) 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478×0.5×1000 =423.9(kg).

人教A版2019高中数学新教材必修
第二册
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面 积和体积
情景导入
下图是哪些图形的组合体？ 它们的体积怎么计算？
知识要点： 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
圆柱 圆锥
圆台
图形
表面积和体积
S圆柱＝___2_π_r_(r_＋__l_)___ (r是底面半径，l是母线长) V圆柱＝__π_r2_h__(r是底面半径，h是高)
x
r2 r1
所以 S扇环 r2 l x r1 x
o′r1
A
2 r1 扇
环
l 2 r2
r2
B
r2l r2 x r1x
r2l r2 r1 x
r2l r1l （r1 r2 )l.
注意转化！
S圆台侧＝S扇环
r1
扇环 ＝（r1 r2 )l
l
r2
思考3：将圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式进行比
作业：第120页第4题
谢 谢指导！
(2)球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
(3)两球表面积之比为1︰2，则其体积之比是 1 : 2 2 . (4)两球体积之比是1︰2，则其表面积之比是 1 : 3 4 .
注意:影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是 球的半径.
柱体、锥体、台体的体积
公式
关键量
柱体
V柱体=__S_h_
8.8m2.
1 2.3 2 1 8.8(m2).
4
答：锅炉的表面积约为
例2 圆台的上下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面 展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多
少？（结果中保留 ）
解 如图，设上底面周长为c,因为扇环

解：一个浮标的表面积为
S表=2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478 (m2)
∴给1000个这样的浮标涂防水漆所需涂料约为
0.8478×1000×0.5 = 423.9 (kg).
公式运用
P119例4.如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， (1)求球与圆柱的体积之比. (2)求球与圆柱的表面积之比.
AD 3 a, AO 2 AD 3 a.
2
3
3
∴PO PA2 AO2 6 a. 3
∴OO PO PO 6 a R. 3
∴在Rt△AOO中，AO2 OO2 AO2，
即( 3 a)2 ( 6 a R)2 R2， 解得R 6 a，
3
3
4
P
a R
R O• A
C
O• ′ D
B
变式 2 若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上,求 R 与 a 的关系式
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
V球
4 R3,
3
V圆柱
R2 2R
2R3,∴ V球
V圆柱
4 R3
3
2 R3
2. 3
S球
4R2,
S柱
2R2
2R 2R
6R2, S球
S柱
4R2 6R2
2, 3
即球与圆柱的体积和表面积之比均为2:3！
这是我生平 最得意的定理！
RO
圆柱容球
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球 的表面积和体积
复习回顾
柱体、椎体、台体体积公式的关系
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S V 1 (S SS S)h

2．对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个圆柱的体积相同． (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验 得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的 3 倍． (3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系
V＝Sh―S′―＝――S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′――＝→0 V＝13Sh.
8 ． 3 . 2 圆 柱 、圆锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新 教材】 人教A版 （201 9）高中 数学必 修第二 册课件 (共28 张PPT)
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解析：由 2πR＝C，得 R＝2Cπ，所以 S 球面＝4πR2＝Cπ2.故选 C.
答案：C
4．一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2π. 该圆柱的表面积为 __________．
解析：由底面周长为 2π 可得底面半径为 1.S 底＝2πr2＝2π， S 侧＝2πr·h＝4π，所以 S 表＝S 底＋S 侧＝6π.
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答案：6π
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5．若圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则圆锥的体积是 ________．
解析：由已知圆锥的高 h＝4，所以 V 圆锥＝13π×32×4＝12π. 答案：12π
(2)球的表面积(体积)计算中蕴涵的数学思想 ①函数方程思想：根据球的表面积与体积公式可知，球的 半径 R，球的表面积 S，球的体积 V 三个量“知一求二”． ②转化思想：空间问题平面化． (3)球体的截面的特点 ①球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的 任何截面均为圆，它的三视图也都是圆． ②利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角 三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．
8 ． 3 . 2 圆 柱 、圆锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新 教材】 人教A版 （201 9）高中 数学必 修第二 册课件 (共28 张PPT)
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(4)求圆台的体积转化为求圆锥的体积. 根据台体的 定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去 “小圆锥”的方法求圆台的体积．
3．与球的体积、表面积有关的问题 (1)球的表面积(体积)与半径之间的函数关系 S 球＝4πR2 V 球＝43πR3 从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径 相关，给定 R 都有惟一确定的 S 和 V 与之对应，故表面 积和体积是关于 R 的函数．
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8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(一)
【课标要求】
【知识导学】
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 1．旋转体的表面积
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系
S ＝ 圆柱侧
2πrl
r′＝r ――→S
＝ 圆台侧
π(r′＋r)l
S ＝ 圆锥侧 πrl .
r′＝0 ――→
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积几何体的体积
设上底面半径为 r，下底面半径为 R， 则它的母线长为 l＝ h2＋R－r2＝ 4r2＋3r2＝5r＝10， 所以 r＝2，R＝8. 故 S 侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π， S 表＝S 侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
题型二 旋转体的体积 例 2 如图是一个几何体的三视图，其中主视图是腰长为 2 的等腰 三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积是( )
5．已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上 底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积．
解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为 l，底面半径为 r， 则 r＝ 3，AD＝ 6，l＝ 62＋ 32＝ 9＝3. 故几何体的表面积为 S＝πrl＋πr2＋2πr·AD ＝π× 3×3＋π×( 3)2＋2π× 3× 6 ＝3 3π＋3π＋6 2π＝(3 3＋3＋6 2)π(cm2)． 几何体的体积为 V＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r2·AD－13πr2·AD ＝π×3× 6－13×π×3× 6＝2 6π(cm3)．
r2－37r2＝3 r2－47r2
330 88 .
题型三 组合体的表面积与体积 例 3 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a， BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面 ABCD 内过点 C 作 l⊥CB，以 l 为 轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．

A．81π B．100π C．168π D．169π
解析：先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截 面如图所示，设上底面半径为 r，下底面半径为 R，则它的母线长为 l ＝ h2＋R－r2＝ 4r2＋3r2＝5r＝10，所以 r＝2，R＝8. 故 S 侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π， S 表＝S 侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π. 选 C. 答案：C
∴DO＝12DD′＝a. 由于以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体为 圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．
由上述计算知，圆柱母线长 3a，底面半径 2a； 圆锥的母线长 2a，底面半径 a.
∴圆柱的侧面积 S1＝2π·2a· 3a＝4 3πa2， 圆锥的侧面积 S2＝π·a·2a＝2πa2， 圆柱的底面积 S3＝π(2a)2＝4πa2， 圆锥的底面积 S4＝πa2， ∴组合体上底面积 S5＝S3－S4＝3πa2， ∴旋转体的表面积 S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4 3＋9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去 一个圆锥的体积．
3 r 2
a
r
，得
a (m)
3 ，
底面直径 2r 2
a 2 3 a (m)
3 3
.
探究二：圆柱、圆锥、圆台的体积
棱柱和圆柱统称为柱体
V柱体 Sh
高h
V棱柱 Sh
底面积S
底面半径r
V圆柱 Sh r2h
棱锥和圆锥统称为锥体
V锥体
1 3
Sh
S 高h
D
E
O
AB
V棱锥
1 3
Sh
底面积S
C
底面半径r

与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是( CD )
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
解析 依题意得球的半径为 R,则圆柱的侧面积为 2πR×2R=4πR2,∴A 错误;
题时,设法求出球的半径是解题的关键.
变式训练2一个圆柱的底面直径与高相等,且该圆柱的表面积与球O表面积
相等,则球O的半径与圆柱底面半径之比为( A )
√6
A.
2
√3
B.
2
√2
C.
2
1
D.
2
解析 设圆柱的底面半径为 r,则圆柱的高 h=2r,设球的半径为 R,由题可知 S 柱
2
=S 球,即 2πr +2πr·2r=4π·R
2π×5×4+π×52+π×5×13=130π.
规律方法
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截
面及平面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解
即可,基本步骤如下:
得到空间几何体的平面展开图→依次求出各个平面图形的面积→将各平
面图形的面积相加
探究点二
圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体
侧面展开图
底面积、侧面积、表面积
底面积:S 底= πr2
圆柱
;
侧面积:S 侧= 2πrl ;
表面积:S= 2πr2+2πrl
底面积:S 底= πr2
圆锥
侧面积:S 侧= πrl
表面积:S= πr2+πrl