2018年高考数学(理)复习：小题提速练7 “12选择+4填空”80分练含答案

小题提速练(三) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i[答案] B2．已知集合M ＝{x |x 2－2x ＜0}，N ＝{x |x ＜a }，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0][答案] A3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17[答案] B4．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则( )A ．若m ⊥n ，则α⊥βB ．若α⊥β，则m ⊥nC ．若m ∥n ，则α∥βD ．若α∥β，则m ∥n[答案] D5．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( ) A.15 B ．－15C ．5D ．－5[答案] D6．执行如图1所示的程序框图，输出的n 值为( )【导学号：04024180】图1A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B7．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图2，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图2A.18B.17 C.16 D.15[答案] D8．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ＞0)没有零点，则a ＋cb的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞)[答案] D9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sinA ＋sinB 的最大值是( )【导学号：04024181】A ．1 B. 2 C ．3 D. 3[答案] D10．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(1,3] D ．(1,3)[答案] A11．(2016·全国卷Ⅲ)已知( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b[答案] A12．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2nmC.4m nD.2mn[答案] C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图3，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【导学号：04024182】图3[解析] 由题意，得BF →·CF →＝(BD →＋DF →)·(CD →＋DF →)＝(BD →＋DF →)·(－BD →＋DF →)＝DF →2－BD →2 ＝|DF →|2－|BD →|2＝－1，① BA →·CA →＝(BD →＋DA →)·(CD →＋DA →)＝(BD →＋3DF →)·(－BD →＋3DF →) ＝9DF →2－BD →2＝9|DF →|2－|BD →|2＝4.② 由①②得|DF →|2＝58，|BD →|2＝138.∴BE →·CE →＝(BD →＋DE →)·(CD →＋DE →) ＝(BD →＋2DF →)·(－BD →＋2DF →)＝4DF →2－BD →2 ＝4|DF →|2－|BD →|2＝4×58－138＝78.[答案] 7814．如图4，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________．图4[解析] 在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝22＋22－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2 3.设CD ＝x ，则AD ＝23－x ， ∴PD ＝23－x ，∴V P ­BCD ＝13S △BCD ·h ≤13×12BC ·CD sin 30°·PD＝16×2x ×12×(23－x ) ＝16x (23－x )≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23－x 22 ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝12，当且仅当x ＝23－x ，即x ＝3时取“＝”， 此时PD ＝3，BD ＝1，PB ＝2，满足题意． [答案] 1215．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n ＞1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________.[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，∴a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1(n ≥2)，∴数列{a n }从第二项开始为等差数列， 当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2， ∴a 3＝a 2＋2＝4，∴S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋＋2＝91.[答案] 9116．给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题：①y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12； ②点(k,0)是y ＝f (x )的图象的对称中心，其中k ∈Z ； ③函数y ＝f (x )的最小正周期为1；④函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，32上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是________.[解析] 令x ＝m ＋a ，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，m ∈Z ， 所以f (x )＝x －{x }＝a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，所以①正确． 因为f (2k －x )＝2k －x －{2k －x }＝－x －{－x }＝f (－x )≠－f (x )(k ∈Z )，所以点(k,0)不是函数f (x )的图象的对称中心，所以②错误．f (x ＋1)＝x ＋1－{x ＋1}＝x －{x }＝f (x )，又可知小于1的正数都不是f (x )的周期，所以最小正周期为1.所以③正确．显然④错误．所以正确的为①③. [答案] ①③。

小题提速练(七) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |0≤x ≤5}，B ＝{x ∈N *|x －1≤2}，则A ∩B ＝( )A ．{x |1≤x ≤3}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{0,1,2,3}D ．{1,2,3}D [因为B ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1,2,3}，所以A ∩B ＝{1,2,3}，故选D.] 2．若z 是复数，z ＝1－2i1＋i，则z ·z ＝( )A.102B ．52C ．1D ．52D [因为z ＝1－2i1＋i＝－－＋－＝－12－32i ，所以z ＝－12＋32i ，所以z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝52，故选D.]3．已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( )A ．80B ．85C ．90D ．95C [由题意，得(a 1＋5)2＝a 1(a 1＋4×5)，解得a 1＝52，所以S 6＝6×52＋6×52×5＝90，故选C.]4．(2017·广东梅州一模)设椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )【导学号：07804220】A.x 212＋y 216＝1 B ．x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1 D ．x 264＋y 248＝1B [y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，即c ＝2，所以椭圆的焦点在x 轴上，排除A ，C ，又e＝c a ＝12，所以a ＝4，故排除D.故选B.]5．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1215，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12，c ＝log 1510，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞cD [0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1215＜⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，即0＜a ＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12＝512＞50＝1，即b ＞1，又c ＜0，所以b ＞a ＞c ，故选D.]6．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1D [(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1，故选D.]7．某几何体的三视图如图17所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()图17A.16π3 B ．π3C.2π9D ．16π9D [由三视图可知该几何体是底面半径为2、高为4的圆锥的一部分，设底面扇形的圆心角为θ，则cos(π－θ)＝12，所以θ＝2π3，所以所求几何体的体积V ＝23π2π×13π×22×4＝16π9，故选D.]8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有类似问题：今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．问：几何日相逢及各行几何？该问题所对应的程序框图如图18所示，则在这个问题中，两马相逢时，良马比驽马多跑的路程里数为( )图18A ．540B ．450C ．560D ．460A [由题意，良马每日所行路程构成等差数列{a n }，其中首项a 1＝103，公差d ＝13； 驽马每日所行路程构成等差数列{b n }，其中首项b 1＝97，公差t ＝－0.5. 从而{a n }的前n 项和A n ＝na 1＋n n －2d ＝103n ＋n n －2×13，{b n }的前n 项和B n ＝nb 1＋n n －2t ＝97n ＋n n －2×(－0.5)，所以良马和驽马前n 天所行路程之和S n ＝A n ＋B n ＝200n ＋n n －2×12.5.令S n ＝2×1 125＝2 250，则200n ＋n n －2×12.5＝2 250，整理得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)．故良马所行路程A 9＝103×9＋9×82×13＝1 395，驽马所行路程B 9＝97×9＋9×82×(－0.5)＝855.良马比驽马多行路程里数为1 395－855＝540.故选A.]9．已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线交于A ，B 两点．O为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．2 2D ．4B [双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，故A ，B 两点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △OAB ＝12·2p ·p 2＝p 22＝1，解得p ＝2，故选B.] 10．如图19所示，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，点A (0,1)为圆C 与y 轴的上交点，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ＝s ，直线AM 与x 轴交于点N (t,0)，则函数t ＝f (s )的图象大致为( )图19D [当s 由0→12时，t 从－∞→0，且t ＝f (s )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增；当s 由12→1时，t从0→＋∞，且t ＝f (s )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上也单调递增．∴排除A ，B ，C ，故选D.]11．在三棱锥S ­ABC 中，SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB ＝BC ，SA ＝AC ，AB ＝12SC ，且三棱锥S ­ABC 的体积为932，则该三棱锥的外接球的半径为( )【导学号：07804221】A ．1B ．2C ．3D ．4C [如图，取SC 的中点O ，连接OB ，OA ，因为SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB ＝BC ，SA ＝AC ，所以OB ⊥SC ，OA ⊥SC ，OB ＝12SC ，OA ＝12SC ，所以SC ⊥平面OAB ，O 为外接球的球心，SC 为球O 的直径，设球O 的半径为R ，则AB ＝12SC ＝R ，所以△AOB 为正三角形，所以∠BOA ＝60°，所以V S ­ABC ＝V S ­OAB ＋V C ­OAB ＝2×12R 2sin60°×13×R ＝932，解得R ＝3，故选C.]12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－nsin πx2＋2n ，x ∈[2n ，2n ＋，－n ＋1sin πx2＋2n ＋2，x ∈[2n ＋1，2n ＋(n ∈N )，若数列{a m }满足a m ＝f (m )(m ∈N *)，数列{a m }的前m 项和为S m ，则S 105－S 96＝( )A ．909B ．910C ．911D ．912A [S 105－S 96＝a 97＋a 98＋a 99＋…＋a 105＝f (97)＋f (98)＋f (99)＋…＋f (105)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－972π＋98＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－982π＋98＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 992π＋100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 1002π＋100＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1012π＋102＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1022π＋102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 1032π＋104＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 1042π＋104＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1052π＋106＝97＋98＋99＋100＋101＋102＋103＋104＋105＝97＋1052×9＝909.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝________.[解析] BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·BA →＝BA 2→＋BC →·BA →＝22＋2×2cos 60°＝6. [答案] 614．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极小值10，则ba＝________.[解析] 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意，得f ′(1)＝0，所以3＋2a ＋b ＝0,1＋a＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.又当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9时，f ′(x )＝3x2－12x ＋9，函数f (x )在x ＝1处取得极大值10；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x＋1，函数f (x )在x ＝1处取得极小值10，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，即b a 的值为－12.[答案] －1215．在(0,8)上随机取一个数m ，则事件“直线x ＋y －1＝0与圆(x －3)2＋(y －4)2＝m 2没有公共点”发生的概率为________．[解析] 因为m ∈(0,8)，直线x ＋y －1＝0与圆(x －3)2＋(y －4)2＝m 2没有公共点，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜8，|3＋4－1|2＞m ，解得0＜m ＜32，所以所求概率P ＝328.[答案]32816．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x －2y －2≤0x ＋y －2≤0，若z ＝x －ay (a ＞0)的最大值为4，则a ＝________.[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则A (2,0)，B (－2，－2)．显然直线z ＝x －ay 过A 时不能取得最大值4，若直线z ＝x －ay 过点B 时取得最大值4，则－2＋2a ＝4，解得a ＝3，此时，目标函数为z ＝x －3y ，作出直线x －3y ＝0，平移该直线，当直线经过点B 时，截距最小，此时，z 的最大值为4，满足条件．[答案] 3。

小题提速练(八) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数3i1－i对应的点在( )【导学号：07804222】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [3i1－i＝＋－＋＝－3＋3i 2，故其对应的点在第二象限，选B.]2．已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.]3．某小区有1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( ) (参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.27%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.45%，P (μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.73%) A ．17 B ．23 C ．34D ．46B [P (ξ＞320)＝12×[1－P (280＜ξ＜320)]＝12×(1－95.45%)≈0.023， 0．023×1 000＝23，∴用电量在320度以上的户数约为23.故选B.]4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6B ．y ＝－cos 2xC ．y ＝cos 2xD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6A [依题意得，y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6.故选A.]5．已知向量a ＝(1，cos α)，b ＝(sin α，1)，且0＜α＜π，若a ⊥b ，则α＝( )A.2π3 B ．3π4C.π4D ．π6B [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1.又α∈(0，π)， ∴α＝3π4.故选B.]6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 3 B ． 2 C ．2D ．3A [设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1中得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝3，选A.]7．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．19D ．20D [令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0.又由(2x －1)10的展开式的通项可得a 1＝－20， 所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.]8．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1B [S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝45°或135°.若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.] 9．某几何体的三视图如图20所示(网格线中每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )图20A ．48B ．54C ．64D ．60D [根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积S ＝6×3＋12×6×4＋2×12×3×5＋12×6×5＝60，故选D.]10．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0，若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则直线2x ＋y ＋k ＝0被圆(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦长的最大值为( )【导学号：07804223】A ．10B ．2 5C ．4 5D ．3 5B [作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，不等式2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥(－2x －y )max ，设z ＝－2x －y ，则由图可知，当直线y ＝－2x －z 经过点A (－2，－2)时，z 取得最大值，即z max ＝－2×(－2)－(－2)＝6，所以k ≥6.因为圆心(1,2)到直线2x ＋y ＋k ＝0的距离d ＝|2＋2＋k |22＋12＝|4＋k |5，记题中圆的半径为r ，则r ＝5，所以直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝2－k ＋2＋1255，所以当k ＝6时，L 取得最大值，最大值为25，故选B.]11．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1CF 的面积为123，则准线l 的方程为( )A ．x ＝－ 2B ．x ＝－2 2C ．x ＝－2D ．x ＝－1A [由题意，知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l 的方程为x ＝－p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2.由AF →＝3FB →，得p 2－x 1＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，即x 2＝13(2p －x 1) ①.由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程，消去y ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0，所以x 1x 2＝p 24 ②.联立①②，得x 1＝32p 或x 1＝p2(舍去)，所以|y 1|＝3p .因为S 四边形AA 1CF ＝|y 1|⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋p2＋p 2＝123，将x 1，|y 1|的值代入，解得p ＝22，所以准线l 的方程为x ＝－2，故选A.] 12．已知函数f (x )＝ax ＋eln x 与g (x )＝x 2x －eln x的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＜－e B ．a ＞1C ．a ＞eD ．a ＜－3或a ＞1B [由ax ＋eln x ＝x 2x －eln x (x ＞0)，得a ＋eln x x ＝11－eln x x.令h (x )＝eln xx，且t＝h (x )，则a ＋t ＝11－t，即t 2＋(a －1)t －a ＋1＝0 (*)．由h ′(x )＝－ln xx 2＝0，得x ＝e ，函数h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，且x →＋∞时，h (x )→0，h (x )的大致图象如图所示．由题意知方程(*)有一根t 1必在(0,1)内，另一根t 2＝1或t 2＝0或t 2∈(－∞，0)．当t 2＝1时，方程(*)无意义，当t 2＝0时，a ＝1，t 1＝0不满足题意，所以t 2∈(－∞，0)，令m (t )＝t 2＋(a －1)t －a ＋1，由二次函数的图象，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝02＋a －－a ＋1＜0m＝12＋a －－a ＋1＞0，解得a ＞1，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．运行如图21所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为________．图21[解析] 依次运行程序框图中的语句可得n ＝2，x ＝2t ，a ＝1；n ＝4，x ＝4t ，a ＝3；n ＝6，x ＝8t ，a ＝3.此时结束循环，输出的a x＝38t， 由38t≥3，得8t ≥1，t ≥18.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ 14．从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．[解析] 依题意共有8类不同的和声，当有k (k ＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C k10种不同的和声，则和声总数为C 310＋C 410＋C 510＋…＋C 1010＝210－C 010－C 110－C 210＝1 024－1－10－45＝968. [答案] 96815．已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)·OA →(λ∈R )(O 是坐标原点)，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．[解析] 因为AP →＝(λ－1)OA →，所以OP →＝λOA →，即O ，A ，P 三点共线，因为OA →·OP →＝72，所以OA →·OP →＝λ|OA →|2＝72，设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP →||cos θ|＝|λ||x |＝72|x ||OA →|2＝72|x |x 2＋y 2＝721625|x |＋9|x |≤72216×925＝15，当且仅当|x |＝154时取等号．故线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. [答案] 1516．已知三棱锥D ­ABC 的体积为2，△ABC 是等腰直角三角形，其斜边AC ＝2，且三棱锥D ­ABC的外接球的球心O 恰好是AD 的中点，则球O 的体积为________.【导学号：07804224】[解析] 设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，则由O 是AD 的中点得，点D 到平面ABC 的距离等于2d ，所以V D ­ABC ＝2V O ­ABC ＝23×12×2×2×d ＝2，解得d ＝3，记AC 的中点为O ′，则OO ′⊥平面ABC .在Rt△OO ′A 中，OA 2＝OO ′2＋O ′A 2，即R 2＝d 2＋12＝10，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝43π×1010＝40103π. [答案] 40103π。

小题提速练(五) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈Z }，则( )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝{0,1}D ．M ∪N ＝NC [M ＝{0,1,2}，N ＝{－1,0,1}，所以M ∩N ＝{0,1}．]2．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i 2 1＝0的复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限A [由⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i 2 1＝z －2(1＋i)＝0，得z ＝2＋2i ，所以复数z 对应的点在第一象限．] 3．已知条件p ：x ≤0，条件q ：1x＞0，则綈p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [因为p ：x ≤0，所以綈p ：x ＞0，显然x ＞0⇔1x＞0.故选C.]4．已知α是第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－55，则cos 3α＋sin αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．－11215B ．－925C.925D.11215C [由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－55，得cos α＝－55，又因为α是第二象限角，所以tan α＝－2，所以原式＝cos 2α·cos α＋sin α22α＋sin α＝2·cos 2α＋tan α1＋tan α＝925.]5．已知等差数列{a n }的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ) A ．24 B ．26 C ．27D ．28B [由题意得S n ＝n a 1＋a n2＝286，而a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝67，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝88，即4(a 1＋a n )＝88，即a 1＋a n ＝22，从而n ＝26.]6．在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠DAB ＝60°，E 是BC 的中点，则AE →·DB →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [AE →·DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →·(AB →－AD →)＝AB →2－12AB →·AD →－12AD 2→＝4－12×2×1×12－12×12＝3.]7．若如图1所示的程序框图输出的S 为126，则条件①可为( )图1A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?B [由题意知，该程序表示的是首项为2，公比为2的等比数列求和，即S ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－2＝126，所以n ＝6，故选B.]8．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则22x ＋y的最大值为( )A ．8B ．642C ．256D ．512D [作出可行域如图所示，要求22x ＋y的最大值，只需求出t ＝2x ＋y 的最大值即可．作出直线y ＝－2x ，平移经过点A (3,3)时，t 取得最大值，即t max ＝2×3＋3＝9，所以22x ＋y的最大值为29＝512.]9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3D [由余弦定理及已知条件得2ac cos B tan B ＝3ac ，所以sin B ＝32，又0<B <π，所以B ＝π3或2π3.]10．如图2所示，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )图2A ．4 B.7 C.233D. 3B [设正三角形ABF 2的边长为m ，则|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|＝m ，结合双曲线定义，可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，代入解得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c .因为△ABF 2是正三角形，所以∠F 1BF 2＝120°，由余弦定理可得4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝4c 2，整理得c a＝7.故选B.]11．如图3所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是( )图3A ．8πB ．12πC ．16πD ．32πA [该多面体是一个四棱锥，如图所示，四棱锥P ­ABCD 的底面是边长为2的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.易证△PAC ，△PBC ，△PCD 都是直角三角形，所以它们的公共斜边的中点O 到各个顶点的距离相等，即O 为四棱锥的外接球球心．易求得PO ＝2，所以球O 的表面积S ＝4π×(2)2＝8π.]12．已知函数f (x )＝12x 2＋b x ＋c (b ，c 都是常数)和g (x )＝14x ＋1x 是定义在M ＝{x |1≤x ≤4}上的函数，对于任意的x ∈M ，存在x 0∈M 使得f (x )≥f (x 0)，g (x )≥g (x 0)，且f (x 0)＝g (x 0)，则f (x )在M 上的最大值为( ) A.72 B ．5 C ．6D ．8B [易知g (x )＝14x ＋1x≥214x ·1x＝1，当且仅当x ＝2时，等号成立，所以f (2)＝2＋b 2＋c ＝g (2)＝1，所以c ＝－1－b 2，于是f (x )＝12x 2＋b x ＋c ＝12x 2＋b x －1－b 2，所以f ′(x )＝x －b x 2＝x 3－bx2.因为f (x )在x ＝2处取得最小值，所以f ′(2)＝0，得b ＝8，所以c＝－5，所以f (x )＝12x 2＋8x －5，f ′(x )＝x 3－8x 2，于是可得f (x )在[1,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增，而f (1)＝12＋8－5＝72，f (4)＝8＋2－5＝5，所以函数f (x )在M上的最大值为5.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于S2的概率为________.[解析] 设E ，F 分别是AB ，AC 的中点，连接EF ，则EF ∥BC .当点P 在四边形BCFE 内时，△PBC 的面积小于S 2，又四边形BCFE 的面积为34S ，所以所求概率为34S S ＝34.[答案] 3414．过函数f (x )＝e x＋ln x 图象上的点P (1，e)作图象的切线，若切线方程为y ＝ax ＋b ，则a ＋b ＝________.[解析] f ′(x )＝e x＋1x，则过点P (1，e)的切线的斜率k ＝e ＋1，则切线方程为y －e＝(e ＋1)(x －1)，即y ＝(e ＋1)x －1，所以a ＋b ＝(e ＋1)－1＝e. [答案] e15．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，且P 到该抛物线焦点的距离为3，则P 到原点的距离为________．[解析] 设P (x 0，y 0)，则x 0＋p2＝3，即x 0＋1＝3，所以x 0＝2，所以y 20＝8，所以P 到原点的距离为x 20＋y 20＝12＝2 3. [答案] 2 316．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ＜1，ln x ，x ≥1，若f (a )＝f (b )(a ≠b )，则函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋4，x ≤0，ax 2＋bx，x ＞0的最小值为________．[解析] 由f (a )＝f (b )(a ≠b )，得ln a ＝－ln b 或ln b ＝－ln a ，所以ln a ＋ln b ＝0，得ab ＝1.由g (x )＝x 2＋2x ＋4＝(x ＋1)2＋3(x ≤0)知，当x ≤0时，g (x )≥3.当x >0时，g (x )＝ax ＋b x≥2ax ·b x ＝2，当且仅当ax ＝b x ，即x ＝ba时，上式取等号．综上知，g (x )的最小值为2.[答案] 2。

2018全国高考（理数）真题填空题专题训练 2018年普通高等学校招生全国统一考试1卷二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11. 已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=- 12. 若321()n a a+的展开式中含3a 项，则最小自然数n 是 . 13.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 . 14．函数sin cos ()sin 2x xf x x e+=+的最大值与最小值之差等于 ．15. 已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数,数列{}n x 是一个公差为2的等差数列满足891011()()()()0f x f x f x f x +++=,则2011x 的值 16. 如图，线段AB 长度为2，点,A B 分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =，O 为坐标原点，则OC OD u u u r u u u rg的取值范围是 . 17. 设集合A (p ,q )=2{R |0}x x px q ∈++=,当实数,p q 取遍[]1,1-的所有值时，所有集合A (p ,q )的并集为 ．2018年普通高等学校招生全国统一考试2卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，， 则z x y =+的最大值为__________．15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．2018年普通高等学校招生全国统一考试3卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

小题提速练(八) “选择＋填空”分练(时间：分钟分值：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．在复平面内，复数对应的点在( )【导学号：】．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限[＝＝，故其对应的点在第二象限，选.]．已知＝[，＋∞)，＝，若∩≠∅，则实数的取值范围是( )．[，＋∞)．．(，＋∞)[因为∩≠∅，所以(\\(－≥，－≥()，))解得≥，故选.]．某小区有户，各户每月的用电量近似服从正态分布()，则用电量在度以上的户数约为( ) (参考数据：若随机变量ξ服从正态分布(μ，σ)，则(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝，(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝，(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝)．．．．[(ξ＞)＝×[－(＜ξ＜)]＝×(－)≈，．× ＝，∴用电量在度以上的户数约为.故选.]．将函数＝的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为( ) ．＝．＝－．＝．＝[依题意得，＝＝＝.故选.]．已知向量＝(，α)，＝( α，)，且＜α＜π，若⊥，则α＝( )．．[∵⊥，∴·＝，∴ α＋α＝，∴ α＝－.又α∈(，π)，∴α＝.故选.]．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于，两点，为的实轴长的倍，则的离心率为( )．．．[设双曲线的标准方程为－＝(＞，＞)，由于直线过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线的方程为＝或＝－，代入－＝中得＝＝，∴＝±，故＝，依题意＝，∴＝，∴＝－＝，∴＝，选.]．已知(－)＝＋＋＋…＋＋，则＋＋…＋＋的值为( )．－．．．[令＝，得＋＋＋…＋＋＝，令＝，得＝，所以＋＋…＋＋＝.又由(－)的展开式的通项可得＝－，所以＋＋…＋＋＝.]．钝角三角形的面积是，＝，＝，则＝( )．．．[△＝· ＝××＝，∴ ＝，∴＝°或°.若＝°，则由余弦定理得＝，∴△为直角三角形，不符合题意，因此＝°，由余弦定理得＝＋－· ＝＋－×××＝，∴＝.故选.]．某几何体的三视图如图所示(网格线中每个小正方形的边长为)，则该几何体的表面积为( )图．．．．[根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积＝×＋××＋×××＋××＝，故选.]．已知，满足约束条件(\\(＋－≤－－≤－＋≥))，若＋＋≥恒成立，则直线＋＋＝被圆(－)。

小题提速练(六) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·江西上饶中学月考)若集合A ＝{x |x 2－7x ＜0，x ∈N *}，则B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪4y∈N *，y ∈A中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[答案] A2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 8等于( )A ．8B ．9C ．10D ．11 [答案] B3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图1中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169B.367 C ．36 D.677[答案] B4．“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C5．(2016·全国卷Ⅰ)如图2，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图2A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[答案] A6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4等于( ) A ．－13B ．－23C.13D.23 [答案] D7．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a 等于( )图3A ．0B ．2C ．4D ．14[答案] B8．若将一个质点随机投入如图4所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )图4A.π2B.π4C.π6D.π8[答案] B9．已知A (2,5)，B (4,1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8[答案] C10．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1－2x，则y ＝f (x )的图象大致为( )[答案] A11．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图5所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24等于( )图5A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 3[答案] B12．(2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[答案] A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________．[解析] 公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－52＝4 5.[答案] 4 514．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________.[解析] f ′(x )＝e x－2，可得f ′(x )＝0的根为x 0＝ln 2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，可得函数在区间(－∞，ln 2)上为减函数，当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，可得函数在区间(ln 2，＋∞)上为增函数，∴函数y ＝f (x )在x ＝ln 2处取得极小值f (ln 2)＝2－2ln 2＋a ，并且这个极小值也是函数的最小值．由题设知函数y ＝f (x )的最小值要小于或等于零，即2－2ln 2＋a ≤0，可得a ≤2ln 2－2，故答案为(－∞，2ln 2－2]． [答案] (－∞，2ln 2－2)15．已知△PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，PA ＝PD ＝AB ＝2，∠APD ＝90°，若点P 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于________． [解析] 如图在Rt △PAD 中，AD ＝4＋4＝22，过△PAD 的外心M 作垂直于平面PAD 的直线l ，过四边形ABCD 的外心O 作垂直于平面ABCD 的直线m ，两线交于点O ，则点O 为四棱锥P ­ABCD 的外接球球心，2R ＝AC ＝4＋8＝23(R 为四棱锥P ­ABCD 外接球的半径)，即R ＝3， ∴四棱锥P ­ABCD 外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π. [答案] 12π16．已知△ABC 中的内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，则cos B ＝________.[解析] 设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2aGA →＋3bGB →＋3cGC →＝0，则2aGA →＋3bGB →＝－3cGC →＝－3c (－GA →－GB →)，即(2a －3c )GA →＋(3b －3c )GB →＝0，又因为GA →，GB →不共线，则2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，即2a ＝3b ＝3c ， 所以a ＝3b 2，c ＝3b3， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112.[答案]112。

小题提速练(八) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{－2，－1,0,1,2}，N ＝{x |x ＋2≥x 2}，则M ∩N ＝( )A ．{－2，－1,0,1,2}B ．{－2，－1,0,1}C ．{－1,0,1}D ．{－1,0,1,2}D [因为M ＝{－2，－1,0,1,2}，N ＝{x |x ＋2≥x 2}＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，所以M ∩N ＝{－1,0,1,2}．] 2．复数i31＋i的虚部为( )A.12 B ．－12C.12i D ．－12iB [i 31＋i＝i 3－2＝－i 4＋i 32＝－12－12i ，所以该复数的虚部为－12.]3．设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B ＜C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若A ＋B <C ，则C >π2；若△ABC 是钝角三角形，则C 不一定为钝角，即A ＋B <C 不一定成立．故选A.]4．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )【导学号：04024200】A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称A [因为2×π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，所以y ＝cos(2x＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2k π＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝π6时，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝0，故选A.]5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2分别为其左、右焦点，斜率为1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于P ，Q 两点，且PF 1，QF 2都垂直于x 轴，则该双曲线的离心率是( ) A.5－1 B.1＋52C. 3D. 5B [依题意可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，且k PQ ＝1，即b 2ac ＝1.因为b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝ac ，解得c a ＝1＋52(舍去负值)．故选B.]6．在等差数列{a n }中，a 3＝5，S 6＝36，则S 9＝( )A ．17B ．19C ．81D ．100C [设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，6a 1＋6×52d ＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以S 9＝9a 1＋9×82d ＝81.]7．一个空间几何体的三视图如图1所示，则这个几何体的表面积为( )图1A.934 B ．9 3 C.924D ．9 6B [由三视图可知，该几何体是一个正三棱锥，三棱锥的底面边长为3，高为 6.设三棱锥侧面的高为h ，因为正三棱锥顶点在底面的射影为底面三角形的中心，而底面三角形的高为332，所以h ＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332－32＝332，所以这个几何体的表面积S ＝34×32＋3×12×3×332＝9 3.] 8．运行如图2所示的程序框图，输出的结果是( )【导学号：04024201】图2A ．7B ．－4C ．－5D ．6D [程序运行如下：s ＝1，i ＝2；s ＝－1，i ＝3；s ＝2，i ＝4；s ＝－2，i ＝5；s ＝3，i ＝6；s ＝－3，i ＝7；s ＝4，i ＝8；s ＝－4，i ＝9；s ＝5，i ＝10；s ＝－5，i ＝11；s ＝6，i ＝12>11，程序结束，故输出s ＝6.] 9．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x ＋y －3≤0|x |≤1，，则z ＝2x －y 的取值范围是( )A ．[－2,6]B ．[－6,2]C ．[－2,4]D ．[－6,4]B [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x ＋y －3≤0，|x |≤1表示的平面区域是图中的阴影部分．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＝1，可得A (1,0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x ＝－1，可得B (－1,4)．在图中作出直线2x －y ＝0，当直线2x －y ＝z 经过点A 时，z 取得最大值，最大值为2×1－0＝2；当直线2x －y ＝z 经过点B 时，z 取得最小值，最小值为2×(－1)－4＝－6.所以z 的取值范围是[－6,2]．10．已知函数f (x )的图象如图3所示，则f (x )的解析式可能是( )图3A ．f (x )＝2－x22xB ．f (x )＝sin xx2C ．f (x )＝－cos 2xxD ．f (x )＝cos xxD [对于选项A ，由于f ′(x )＝－1x 2－12＜0在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒成立，所以f (x )＝2－x22x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，排除选项A ；对于选项B ，f ′(x )＝x cos x －2sin x x ，得f ′(π)＝－1π＜0，由图象知f ′(π)应大于0，排除选项B ；对于选项C ，当x 由右侧趋近于0时，f (x )<0，与图象不符，排除选项C ；对于选项D ，f ′(x )＝－x sin x －cos x x 2，得f ′(π)＝－πsin π－cos ππ2＝1π2＞0，与已知图象相符，故选D.]11．已知A ，B ，C 都在半径为2的球面上，且AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，球心O 到平面ABC 的距离为1，点M 是线段BC 的中点，过点M 作球O 的截面，则截面面积的最小值为( )【导学号：04024202】A.3π4B.3π4C.3π D ．3πB [因为AC ⊥BC ，所以∠ACB ＝90°，所以球心O 在平面ABC 上的射影为AB 的中点D ，所以12AB ＝OB 2－OD 2＝1，所以AB ＝2，所以BC ＝AB cos 30°＝ 3.易知当线段BC 为截面圆的直径时，截面面积最小，所以截面面积的最小值为π×⎝⎛⎭⎪⎫322＝3π4.] 12．对任意α∈R ，n ∈[0,2]，向量c ＝(2n ＋3cos α，n －3sin α)的模不超过6的概率为( ) A.510 B.2510 C.3510 D.255C[易知|c |＝n ＋3cos α2＋n －3sin α2＝5n 2＋α－sin αn ＋9＝5n 2＋65nα＋φ＋9≤6.因为65n cos(α＋φ)的最大值和最小值分别为65n ，－65n ，所以5n 2±65n ＋9≤6有解，即n2≤6有解，所以－6≤5n ±3≤6，得0≤n ≤355，所以所求概率为355÷2＝3510.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知sin α＝13，α是第二象限角，则tan(π－α)＝________.【导学号：04024203】[解析] 依题意得，cos α＝－223，所以tan(π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝24.[答案]2414．在△ABC 中，若AB →＝(2，－1)，BC →＝(－1,1)，则cos ∠BAC 的值为________．[解析] 由AB →＝(2，－1)，BC →＝(－1,1)，得AC →＝AB →＋BC →＝(2，－1)＋(－1,1)＝(1,0)，所以cos ∠BAC ＝AC →·AB →|AC →|·|AB →|＝21×5＝255.[答案]25515．已知△ABC 的周长等于2(sin A ＋sin B ＋sin C )，则其外接圆半径R 等于________．[解析] 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c ，则依题意有a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B ＋sin C )，由正弦定理得2R sin A ＋2R sin B ＋2R sin C ＝2(sinA ＋sinB ＋sinC )，所以R ＝1.[答案] 116．已知圆(x ＋1)2＋y 2＝4与抛物线y 2＝mx (m ≠0)的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则m 的值为________．[解析] 因为抛物线y 2＝mx (m ≠0)的准线为x ＝－m 4，所以圆心(－1,0)到直线x ＝－m4的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋m 4.又|AB |＝23，所以4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋m 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322，所以m ＝8.[答案] 8。

A.第一象限 B .第二象限C.第三象限D.第四象限5+ 3i 5+3i 勺+i 17+ 17i 、一A [ 因为 4— i = 二 = 17 = 1 + i ，所以该复数对应的点为(1,1)，故选 A.]3.已知命题p ： x +y >2 xy ,命题4：在厶ABC 中，若 sin A >sin B,贝U A >B 则下列命题 为真命题的是( )A . pB .「qC. p V qD. p A qC [当x , y 中至少有一个负数时，x + y >2 . xy 不成立，所以命题 p 是假命题；由正弦定理和三角形中的边角关系知，命题 q 是真命题.所以p V q 是真命题.]4.已知向量a = (2 , — 1) ,b = ( — 1,3)，则下列向量与 2a + b 平行的是()A . (1 , — 2)B . (1 , — 3) C. 2, 3D. (0,2)2C [因为 a = (2 , — 1) , b = ( — 1,3)，所以 2a + b = (3,1)，而 1X 2 — 3X - = 0,故选 C.]x >1,5.若x , y € R,且y >x ,则z = f 的最大值为( )xx — 2y + 3> 0,小题提速练(二)“ 12选择+ 4填空” 80分练(时间：45分钟分值：80分) 、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A = {x |x >4}, B = {x | — 1W2x — K 0}，贝U (?R A ) n B =( 2.A . (4 ,+s) C.B . D. (1,4] B [因为 A = {x |x > 4},所以？R A= {x | x v 4},又 B = {x | r1「X0w xw2所以(?R A ) n B — x 0< x w *，故选B.]复数 5 + 3i 4— i 对应的点在复平面的1W2X — 1W 0}=【导学号：04024176】6. 已知函数f (x ) = sin2x + ，则下列结论中正确的是()A. 函数f (x )的最小正周期为2nB. 函数f (x )的图象关于点才，0对称C.将函数f (x )的图象向右平移 n 个单位长度可以得到函数y = sin 2 x 的图象8［由题知，函数f (x )的最小正周期为 n ，故A 不正确；令x =n ，求得f (x )=¥，故函数f (x )的图象不关于点 才，0对称，故排除 B ；将f (x )的图象向右平移"8个单时，2x +~n €专，号，函数f (x )单调递减，故排除 D.］7. 执行图1中的程序框图(其中［X ］表示不超过x 的最大整数)，则输出的S 值为( )C. 1B ［作出不等式组表示的平面区域，如图所示,y的几何意义是区域内(包括边界)的点Rx , y )与原点连线的斜率，由图可知，当P 移动到点B (1,2)时，X 取得最大值2.］XD.函数f (x )在区间诗,5右上单调递增 位长度，得到函数2x 的图象，故选1y = sinC;当 x €A . 5B . 7 C. 9D. 12C [程序运行如下： ⑴ S = 0 + [ <./0] = 0, n = 0 v 5; (2) S= 0 + [ rJ1] = 1, n = 1 v 5; (3) S = 1 + [ 2] = 2, n = 2v 5; (4) S= 2 + [ 3] = 3, n = 3v 5; (5) S = 3 + [ 4] = 5, n =4v 5; (6) S = 5+ [ 5] = 7, n = 5; (7) S = 7 + [ 6] = 9, n = 6>5,循环结束，故输出 S = 9.]&某几何体的三视图如图 2所示，则该几何体的体积为 （）【导学号：04024177】7 C.7A ［由三视图知，该几何体为一个由底面相同的三棱锥与三棱柱组成的组合体，其体1 114 图1—［一 —H ■*—1 — 正视阳侧我團5积V= 3X2 X2X 1X 1+ 2X2X 1X 1=-.］9•《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙丁戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？” （ “钱”是古代的一种重量单位 ）.这个问题中，甲所得为 5、 A. 4钱5D. 3钱B.4钱 3C.33 钱B ［设所成等差数列的首项为a i , 公差为d ,则依题意有5X4 5a 1+ 2 d = 5,4 ai= 3,a i + a i + d = a i + 2d + a i + 3d + a i + 4d ,解得d =10.在厶ABC 中,内角A , B, C 所对的边分别为a , b , c ,且 a , b ,c 成等比数列.sin A sinC + sin2C — sin 2A = #sinB sin C,则 sin A =(1 A ・43 B.4D ［由已知得 b 2=ac , ac + c2— a 2=*bc ，所以 b 2+ c 2—2bc ,所以 cos1A = 4,所以sin 心乎.】42 x 11.过双曲线C ： p —a2蒼=i （a >0, b >0）的左焦点F 作一条渐近线的垂线，与C 的右支交于点A.若| OF =【导学号：04024i78】A. 2 C. ,5B . 2 D. 5C ［不妨设一条渐近线为I : y =黑作FAL l 于点耳图略），因为| OF = | 0A ，所以 aB 为线段FA 的中点.设双曲线的右焦点为 F ',连接F ' A ,因为O 为线段FF 的中 a b点，所以F ' A ± FA 易得直线FA F ' A 的方程分别为 y = — ~(x + c ), y =~(x - c ),,—響.因为该点在双曲线 C 上,所以b —a4 2b2 _吕2 = 1,结合c2= a2+ b2,整理得5a2= c2,即5a = c,所以e=- = 5.]b c a 'n12.如图3所示，在等腰直角三角形ABC中，/ A=2, AC= 1, BC边在x轴上，有一个半径为1的圆P 沿X 轴向△ ABC 滚动，并沿△ ABC 勺表面滚过，则圆心 P 的大致轨迹是（虚D ［当圆在点B 的左侧滚动时，圆心 P 的运动轨迹是一条线段；当圆在线段 AB 上滚动时，圆心P 的运动轨迹也是一条线段；当圆与点A 接触并且绕过点 A 时，圆心P 的轨迹是以点A 为圆心，1为半径的圆弧；当圆在线段 AC 上和点C 右侧滚动时，与在线 段AB 上和点B 的左侧滚动时的情况相同.结合各选项中的曲线知，选项 D 正确.］二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中横线上） 13•如图4所示是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0〜9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的 平均数分别为a i ,比，贝U a i , &的大小关系是 ___________________ .乙D 75 45 5 14 4 6 4 793图4以 a 2> a . ［答案］a 2 > a 1x y14.若直线l :+ 3= 1与x 轴、y 轴分别相交于 A , B 两点，O 为坐标原点，则△ OAB 的内切圆的方程为 __________ .［解析］由题意，设圆心为（a , a ），则有|3a+ 丫_121 = a ,解得a = 1或a = 6（舍去）,5 所以所求圆的方程为（X -1）2+ （y - 1）2= 1.2 2［解析］由题意可知 a i = 80 + 1 + 5 + 5+ 4+ 55=84, a 2= 80 + 4+ 4 + 6 + 4+ 7 = 85,所线为各段弧所在圆的半径）（CD［答案］（X —1）+ （y —1）= 115.已知函数f(x) = e x- m灶1的图象为曲线C,若曲线C不存在与直线y=——x平行的切e线，则实数m的取值范围为_________ .【导学号：04024179】一x 1 一［解析］由已知得f '(x) = e - m,由曲线C不存在与直线y =--x平行的切线，知1 1 11方程e x-m=--无解，即方程m= e x+ -无解•因为e x>0，所以e x+ ->-，所以m的e e e e取值范围是—g,-.［答案］—^, 116.已知A, B, C, D是同一球面上的四个点，其中△ ABC是正三角形，ADL平面ABC AD=4, AB= 2寸3,则该球的表面积为__________ .［解析］依题意，把三棱锥DABC扩展为直三棱柱，则上、下底面中心的连线的中点O与A之间的距离为球的半径(图略).设△ ABC勺中心为E,因为AD= 4, AB= 2 3,△ ABC是正三角形，所以AE= 2,OE= 2,所以AO= 2 2，所以该球表面积S= 4 n X (2 2)2 =32 n .［答案］32 n。

小题提速练(四) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27，x ∈N *}，B ＝{x |log 2x ＞1}，则A ∩B ＝( )A ．{1,2,3}B ．(2,3]C ．{3}D ．[2,3]C [∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x ≤3，又x ∈N *，∴A ＝{1,2,3}，∵log 2x ＞1，即log 2x ＞log 22，∴x ＞2，∴B ＝{x |x ＞2}，∴A ∩B ＝{3}，选C.] 2．已知复数z ＝15i3＋4i，则z 的虚部为( )【导学号：07804211】A ．－95iB ．95iC ．－95D ．95D [z ＝15i3＋4i＝－＋－＝1525(4＋3i)＝125＋95i ，故选D.] 3．设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则( )A.BD →＝AC →－32AB →B ．BD →＝32AC →－AB →C.BD →＝12AC →－AB →D ．BD →＝AC →－12AB →A [BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝AC →－AB →－12AB →＝AC →－32AB →，选A.]4．(2017·湖南三模)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C [根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p ，即P (X ＝1)＝p ，发球次数为2即二次发球成功的概率P (X ＝2)＝p (1－p )， 发球次数为3的概率P (X ＝3)＝(1－p )2， 则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )＞1.75，则p 2－3p ＋3＞1.75， 解得，p ＞52或p ＜12，结合p 的实际意义，可得0＜p ＜12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故选C.]5．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1→·NF 1→＞0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2＋1) B ．(1，2＋1) C ．(1，3)D ．(3，＋∞)B [设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，得到y ＝±b 2a ，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则MF 1→·NF 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，－b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2＞0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2＞0，即a 4＋c 4－6a 2c 2＜0，故e 4－6e 2＋1＜0，解得3－22＜e 2＜3＋22，又e ＞1，故1＜e 2＜3＋22，得1＜e ＜1＋2，故选B.]6．函数y ＝f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图9所示，关于函数y ＝f (x )(x ∈R )，有下列命题：图9①y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称；②y ＝f (x )的图象可由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称； ④y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上单调递增．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [依题意可得T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，故T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (x )＝2sin(2x ＋φ)的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2可得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋φ＝1，又－π2＜φ＜π2，故φ＝－π3，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，所以①不对；y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，②正确；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，所以③正确；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，得－π12≤x ≤5π12，即y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上单调递增，④正确，故选C.]7．某几何体的三视图如图10所示，则该几何体的体积为( )【导学号：07804212】图10A.17π6B ．17π3C ．5πD ．13π6A [由三视图可知，该几何体是半个圆锥，一个圆柱，一个半球的组合体， 其体积为16π＋2π＋23π＝176π.选A.]8．执行如图11所示的程序框图，输出的结果为( )图11A ．－1B ．1 C.12D ．2C [n ＝12，i ＝1进入循环，n ＝1－2＝－1，i ＝2；n ＝1－(－1)＝2，i ＝3；n ＝1－12＝12，i ＝4，…，所以n 对应的数字呈现周期性的特点，周期为3，因为2 017＝3×672＋1，所以当i ＝2 017时，n ＝12，故选C.]9．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0ax －y ＋3≥0y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－6，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－12D ．12C [作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当a ＞0时，易知z ＝y －x 无最小值，故a ＜0，目标函数所在直线过可行域内点A 时，z 有最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0ax －y ＋3＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a ，0，z min ＝0＋3a＝－6，解得a ＝－12，故选C.]10．(数学文化题)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A ．12日 B ．16日 C ．8日D ．9日D [由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以na 1＋a n2＋n b 1＋b n2＝2 250，即n＋13n ＋2＋n ⎝⎛⎭⎪⎫97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.]11．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2与直线y ＝3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，则下列区间中是函数f (x )的单调递减区间的是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3D [由题意得A ＝3，T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3，∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，故当k ＝－1时，f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3，故选D.]12．已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝1，∠BAC ＝60°，AA 1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40π3 B ．4030π27C.32030π27D ．20πB [设△A 1B 1C 1的外心为O 1，△ABC 的外心为O 2，连接O 1O 2，O 2B ，OB ，如图所示．由题意可得外接球的球心O 为O 1O 2的中点．在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos∠BAC ＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7， 所以BC ＝7.由正弦定理可得△ABC 外接圆的直径2r ＝2O 2B ＝BC sin 60°＝273，所以r ＝73＝213. 而球心O 到截面ABC 的距离d ＝OO 2＝12AA 1＝1，设直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的外接球半径为R ，由球的截面性质可得R 2＝d 2＋r 2＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫2132＝103，故R ＝303，所以该三棱柱的外接球的体积为V ＝4π3R 3＝4030π27.故选B.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线与函数g (x )的图象相切，则m 的值为________．[解析] 易知f (1)＝0，f ′(x )＝1x，从而得到f ′(1)＝1，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.法一：(应用导数的几何意义求解)设直线y ＝x －1与g (x )＝x 2＋mx (m ∈R )的图象相切于点P (x 0，y 0)，从而可得g ′(x 0)＝1，g (x 0)＝x 0－1.又g ′(x )＝2x ＋m ，因此有⎩⎪⎨⎪⎧g x 0＝2x 0＋m ＝1x 20＋mx 0＝x 0－1，得x 20＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1m ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1m ＝3.法二：(应用直线与二次函数的相切求解)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝x 2＋mx，得x 2＋(m －1)x ＋1＝0，所以Δ＝(m －1)2－4＝0，解得m ＝－1或m ＝3. [答案] －1或314．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有________种.【导学号：07804213】[解析] 3所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有C 13C 26C 12C 24＝540种． [答案] 54015．已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 且与直线MN 平行，直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.[解析] 法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN ：x ＝my －1，则直线PQ ：x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)． ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. ∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2.∴|PQ |＝1＋m 2|y 3－y 4|＝22m 2＋1m 2＋2.故|PQ |2|MN |＝2 2. 法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝2 2. [答案] 2 216．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是________． [解析] 设x ∈[0,2]，则－x ∈[－2,0]，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x－1＝2x－1，∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝2x－1.∵对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)， ∴当x ∈[2,4]时，(x －4)∈[－2,0]，∴f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －4－1；当x ∈[4,6]时，(x －4)∈[0,2]，∴f (x )＝f (x －4)＝2x －4－1.∵在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根， ∴函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象在区间(－2,6]内恰有3个不同的交点，作出两个函数的图象如图所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log a＋＞3log a ＋＜3，解得223＜a ＜2，即34＜a ＜2，因此所求a 的取值范围是(34，2)．[答案] (34，2)。

小题提速练(三) “选择＋填空”分练(时间：分钟分值：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．设命题：∀＞，＜＋，则﹁为( )．∀＞，≥＋．∃＞，≥＋．∃＞，＜＋．∀＜，≥＋[由全称命题的否定为特称命题，知﹁为∃＞，≥＋，故选.]．已知集合＝{}，＝{＝＋，∈，∈}，则集合的子集个数为( )．．．．[∵∈，∈，＝{}，∴＝或＝，＝或＝，∴＝＋＝或或，∴＝{}，∴集合的子集个数为＝.故选.]．已知复数＝－，＝＋，若∈，则实数的值为( )【导学号：】．－．．－[因为＝＝＝∈，所以＋＝，解得＝－，故选.]．已知双曲线＋＝，焦点在轴上．若焦距为，则等于( )．．[由题意，得(\\(－＞－＜))，解得＜，所以＝－＋－，解得＝，故选.]．已知＝－，则的值等于( )．±．－．[因为＝＝－＝－＝－，即＝，所以＝＝，所以＝±，故选.]．如图是某个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )图．＋．＋．＋．＋[由三视图知该几何体是一个三棱柱与一个半圆柱的组合体，其中三棱柱的底面是腰长为的等腰直角三角形，高为，半圆柱的底面半径为，高为，所以该几何体的体积为×××＋×π××＝＋，故选.]．已知函数()＝(ω＋φ)(ω＞，φ＜π)的部分图象如图所示，且＝，(π)＝－，则φ的值为( )图．－．－．－．－[设函数()的最小正周期为，由题意得，＝π－＝，所以＝π，故ω＝＝，故()＝(＋φ)，因为＝，故π＋φ＝＋π(∈)或π＋φ＝＋π(∈)．所以φ＝－＋π(∈)或φ＝－＋π(∈)．因为φ＜π，故φ＝－或φ＝－.结合函数()的单调性可知，φ＝－，φ＝－(舍去)．]．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果＝( )【导学号：】。

小题提速练(五) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2＋4x －12＜0}，B ＝{x |x ＞log 139}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2 B ．(－2,3)C ．(－2,2)D ．(－6，－2)C [因为A ＝{x |－6＜x ＜2}，B ＝{x |x ＞－2}，所以A ∩B ＝{x |－2＜x ＜2}．] 2．若复数z ＝1＋1i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 的模为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2C [由z ＝1＋1i ＝1－i ，得|z |＝|1＋i|＝ 2.]3．某气象站天气预报的准确率为80%，则5次预报中至少有4次准确的概率约为( )A ．0.2B ．0.41C ．0.74D ．0.67C [P ＝C 45(0.8)4×0.2＋C 550.85≈0.74.]4．已知双曲线C 1：x 23－16y 2p2＝1(p ＞0)的左焦点在抛物线C 2：y 2＝2px 的准线上，则双曲线C 1的离心率为( )【导学号：07804214】A.43B ． 3C.233D ．4C [双曲线C 1的左焦点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 216，0，抛物线C 2的准线方程为x ＝－p2.根据题意有－3＋p 216＝－p2， ∴p ＝4(舍去负值)， ∴双曲线中a ＝3，c ＝2，∴e ＝c a ＝233.]5．如图12为某几何体的三视图，则其体积为( )图12A ．π＋43B ．π3＋4C.23π＋43D ．23π＋4 A [由三视图知，该几何体是由一个半圆柱与一个四棱锥组合而成的简单组合体，因此其体积V ＝V 四棱锥＋12V 圆柱＝13×(2×2)×1＋12π×12×2＝43＋π.故选A.]6．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )D [易知函数y ＝x 2ln|x ||x |是偶函数，可排除B ，当x ＞0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞e －1，所以当x ＞0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D.]7．如果点P (x ，y )在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0，内，则x 2＋(y ＋1)2的最大值和最小值分别是( )【导学号：07804215】A ．3，35B ．9，95C ．9,2D ．3， 2B [先作出点P (x ，y )所在的平面区域如图中阴影部分所示．x 2＋(y ＋1)2表示动点P 到定点Q (0，－1)的距离的平方，点Q 到直线x －2y ＋1＝0的距离的平方为95，由图可知，x 2＋(y ＋1)2的最小值为95.当点P 为点(0,2)时，离Q 最远，则x 2＋(y ＋1)2的最大值为9.因此x 2＋(y ＋1)2的最大值为9，最小值为95.]8．执行如图13的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )图13A ．2B ．3C ．4D ．5B [当K ＝1时，S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝2； 当K ＝2时，S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝3； 当K ＝3时，S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝4； 当K ＝4时，S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝5； 当K ＝5时，S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝6；当K ＝6时，S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝7＞6，输出S ＝3.结束循环． 故选B.]9．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为棱A 1B 1的中点，则异面直线AM 与B 1C 所成的角的余弦值为( )A.105B ．55C.45 D ．35A [取C 1D 1的中点N ，连接DN ，DA 1，A 1N ，MN .因为M ，N 分别是A 1B 1，C 1D 1的中点，所以MN ∥AD ，且MN ＝AD ，因此四边形ADNM 为平行四边形，所以AM ∥DN .同理，B 1C ∥A 1D ，所以∠A 1DN 或其补角为异面直线AM 与B 1C 所成的角．设正方体的棱长为a ，则A 1D ＝2a ，A 1N ＝DN ＝52a ， 在△A 1DN 中，由余弦定理得cos∠A 1DN ＝105，故异面直线AM 与B 1C 所成角的余弦值为105.] 10．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列关于函数g (x )的说法正确的是( )A ．函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数B ．函数g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]D [f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，因为它的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，所以最小正周期T ＝π，则ω＝2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .易知A ，B ，C 错，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，43π，则g (x )的值域是[－2,1]，故选D.]11．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′(x)＜2恒成立，则使x2f(x)－f(1)＜x2－1成立的实数x的取值范围为( )A．{x|x≠±1}B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)B[x2f(x)－f(1)＜x2－1可化为x2f(x)－x2＜f(1)－1，令F(x)＝x2f(x)－x2，则F(x)为偶函数．因为F′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)－2x＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]，且对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′(x)＜2恒成立，所以当x＜0时，F′(x)＞0，F(x)为增函数，当x＞0时，F′(x)＜0，F(x)为减函数．不等式x2f(x)－f(1)＜x2－1化为F(x)＜F(1)，所以|x|＞1，解得x＜－1或x＞1.]12．如图14所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )图14A.3π2B．3πC.2π3D．2πA[如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为AB＝AD，所以AE⊥BD.由于平面ABD ⊥平面BCD ， 所以AE ⊥平面BCD .因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，所以AE ＝22，EO ＝12. 所以OA ＝32. 在Rt△BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为32. 所以该球的体积V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知等边三角形ABC 的边长为3，D 是BC 边上一点，若BD ＝1，则AC →·AD →的值是________．[解析] AC →·AD →＝AC →·(AB →＋BD →)＝AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝AC →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋13AC →－AB →＝AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝13×32＋23×3×3×12＝6.[答案] 614．将⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x－43展开后，常数项是________．[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4－4x x 3＝x －6x 3，它的通项T r ＋1＝C r6－r ·x6－rx3＝(－2)r ·C r 6·x3－r，令3－r ＝0，得r ＝3，所以常数项是C 36(－2)3＝－160. [答案] －16015．规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为_______. 【导学号：07804216】[解析] 由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1.故k 的值为1.又f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，故函数f (x )的最小值为3. [答案] 1 316．已知S n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n －1的前n 项和，若不等式|λ＋1|＜S n ＋n 2n －1对一切n ∈N *恒成立，则λ的取值范围是________．[解析] S n ＝1＋2×12＋3×122＋…＋(n －1)·12n －2＋n ·12n －1，12S n ＝1×12＋2×122＋…＋(n －1)·12n －1＋n ·12n ， 两式相减，得12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n ·12n ＝2－n ＋22n ，所以S n ＝4－n ＋22n －1.由不等式|λ＋1|＜S n ＋n 2n －1＝4－22n －1对一切n ∈N *恒成立，得|λ＋1|＜2，解得－3＜λ＜1. [答案] －3＜λ＜1。

小题提速练(九) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}，则下列结论正确的是( )A ．N ⊆MB ．N ∩M ＝∅C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝RC [集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}＝{x |－2＜x ＜3}，则M ⊆N ，故选C.] 2．设(1＋i)(x ＋y i)＝2，其中x ，y 是实数，则|2x ＋y i|＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D. 5 D [由(1＋i)(x ＋y i)＝2得x －y ＋(x ＋y )i ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴|2－i|＝ 5.]3．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( ) A.13 B ．15 C.19D ．320A [“A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的安排方法中，另外3人中任何一个人第一个出场的概率都相等，故“C 第一个出场”的概率是13.]4．已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,1)，则a 在b 方向上的投影为( )A ．－22B ．22 C ．－55D ．55A [∵a ＝(2,1)，b ＝(－1,1)，∴a·b ＝－1，|b |＝2，∴a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－22，故选A.] 5．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 3＝2a 1，则下列结论错误的是( )A ．a 4＝0B ．S 4＝S 3C ．S 7＝0D ．{a n }是递减数列D [∵S 3＝2a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝2a 1，∴a 2＋a 3＝a 1＝a 1＋a 4，∴a 4＝0，∴S 4＝S 3，S 7＝7a 4＝0，故选项A ，B ，C 正确，选D.]6.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为( )A ．－120B ．－100C ．100D ．120D [令x ＝1，可得a ＋1＝3，故a ＝2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 25－r C r 5x 5－2r，令5－2r ＝－1，得r ＝3，∴1x项的系数为C 3522(－1)3，令5－2r ＝1，得r ＝2，∴x 项的系数为C 2523，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中的常数项为C 3522(－1)3＋C 2524＝120.]7．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠F 1PQ ＝60°，|PF 1|＝|PQ |，则椭圆的离心率为( )A.33 B ．23 C.233D ．13A [∵∠F 1PQ ＝60°，|PF 1|＝|PQ |，∴△F 1PQ 为等边三角形，∴直线PQ 过右焦点F 2且垂直于x 轴，∴△F 1PF 2为直角三角形．∵|F 1P |＋|F 1Q |＋|PQ |＝4a ，∴|F 1P |＝43a ，|PF 2|＝23a ，由勾股定理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋(2c )2，即a 2＝3c 2，∴e ＝ca ＝33.] 8．如图22，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )【导学号：07804225】图22A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.] 9．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －7≥0x ＋3y －13≤0x －y －1≤0，则z ＝|2x －3y ＋4|的最大值为( )A ．3B ．5C ．6D ．8 C [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －7≥0x ＋3y －13≤0x －y －1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (2,1)，B (1,4)．设t ＝2x －3y ，平移直线y ＝23x ，则直线经过点B 时，t ＝2x －3y 取得最小值－10，直线经过点A 时，t ＝2x －3y 取得最大值1，所以－6≤t ＋4≤5，所以0≤z ≤6.所以z 的最大值为6，故选C.]10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田(如图23)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径为4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )图23A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米B [弦长为2×4sin π3＝43，圆心到弦的距离为d ＝4×cos π3＝2，所以弧田面积为12×[43×(4－2)＋(4－2)2]＝43＋2≈9(平方米)．]11．对于函数f (x )，如果存在x 0≠0，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x－a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(e ，＋∞)D ．[1，＋∞)B [因为存在实数x 0(x 0≠0)，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则e x 0－a ＝－e -x 0＋a ，即e x 0＋1e x 0＝2a ，又x 0≠0，所以2a ＝e x 0＋1ex 0＞2e x 0·1ex 0＝2，即a ＞1，故选B.]12．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )满足xf ′(x )＋f (x )＝ln xx，且f (e)＝1e ，其中e 为自然对数的底数，则不等式f (x )＋e ＞x ＋1e的解集是( ) A ．(0，e)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)A [令g (x )＝xf (x )，则f (x )＝g x x ，g ′(x )＝ln x x，∴f ′(x )＝gx ·x －g xx 2＝ln x －gxx2，令h (x )＝ln x －g (x )，则h ′(x )＝1x－g ′(x )＝1－ln xx，当0＜x ＜e 时，h ′(x )＞0，当x ＞e 时，h ′(x )＜0，∴h (x )≤h (e)＝1－g (e)＝1－e f (e)＝0，∴f ′(x )≤0.令φ(x )＝f (x )－x ，则φ′(x )＝f ′(x )－1≤－1＜0，∴φ(x )为减函数，又不等式f (x )＋e ＞x ＋1e 可化为φ(x )＞φ(e)，∴0＜x ＜e ，故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．我们可以用随机数法估计π的值，如图24所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为________．(保留小数点后3位)图24[解析] 在空间直角坐标系O ­xyz 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜10＜y ＜10＜z ＜1表示的区域是棱长为1的正方体区域，相应区域的体积为13＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜10＜y ＜10＜z ＜1x 2＋y 2＋z 2＜1表示的区域是棱长为1的正方体区域内的18球形区域，相应区域的体积为18×43π×13＝π6，因此π6≈5211 000，即π≈3.126. [答案] 3.12614．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________.[解析] 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，题中的抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0,1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1)．由⎩⎨⎧x 2＝4yx ＝3y －，消去x 得3(y －1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，y 1＋y 2＝103，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163. [答案]16315．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝8，对所有正整数n 均有a n ＋2＋a n ＝a n ＋1，则∑n ＝12 017a n ＝________.[解析] ∵a 1＝2，a 2＝8，a n ＋2＋a n ＝a n ＋1，∴a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a 3＝a 2－a 1＝8－2＝6，同理可得a 4＝－2，a 5＝－8，a 6＝－6，a 7＝2，a 8＝8，…，∴a n ＋6＝a n ，又2 017＝336×6＋1，∴∑n ＝12 017an＝336×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6)＋a 1＝2.[答案] 216．球内有一个圆锥，且圆锥底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为3π，已知球的半径R ＝2，则此圆锥的体积为________.【导学号：07804226】[解析] 设圆锥底面半径为r ，由πr 2＝3π得r ＝ 3. 如图所示，O 为球心，O 1为圆锥底面圆的圆心， 设O 1O ＝x ，则x ＝R 2－r 2＝4－3＝1， 所以圆锥的高h ＝R ＋x ＝3或h ＝R －x ＝1，所以圆锥的体积V ＝13×3π×3＝3π或V ＝13×3π×1＝π.[答案] 3π或π。

小题提速练(五) “选择＋填空”分练(时间：分钟分值：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知集合＝{＋－＜}，＝{＞}，则∩＝( )．(－)．(－) ．(－，－)[因为＝{－＜＜}，＝{＞－}，所以∩＝{－＜＜}．]．若复数＝＋(为虚数单位)，则的共轭复数的模为( )．．．[由＝＋＝－，得＝＋＝.]．某气象站天气预报的准确率为，则次预报中至少有次准确的概率约为( ) ．．．．[＝()×＋≈.]．已知双曲线：－＝(＞)的左焦点在抛物线：＝的准线上，则双曲线的离心率为( )【导学号：】．．[双曲线的左焦点的坐标为，抛物线的准线方程为＝－.根据题意有－＝－，∴＝(舍去负值)，∴双曲线中＝，＝，∴＝＝.]．如图为某几何体的三视图，则其体积为( )图．π＋．＋．π＋π＋[由三视图知，该几何体是由一个半圆柱与一个四棱锥组合而成的简单组合体，因此其体积＝四棱锥＋圆柱＝×(×)×＋π××＝＋π.故选.]．函数＝的图象大致是( )[易知函数＝是偶函数，可排除，当＞时，＝，′＝＋，令′＞，得＞－，所以当＞时，函数在(－，＋∞)上单调递增，结合图象可知正确，故选.]．如果点(，)在平面区域(\\(－＋≥，－＋≤＋－≤))，内，则＋(＋)的最大值和最小值分别是( )【导学号：】．，．，．．，[先作出点(，)所在的平面区域如图中阴影部分所示．＋(＋)表示动点到定点(，－)的距离的平方，点到直线－＋＝的距离的平方为，由图可知，＋(＋)的最小值为.当点为点()时，离最远，则＋(＋)的最大值为.因此＋(＋)的最大值为，最小值为.]．执行如图的程序框图，如果输入的＝－，则输出的＝( )。

2018全国高考（理数）真题必拿分题专题训练 2018年普通高等学校招生全国统一考试1卷三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 18. （本小题14分）已知函数2()2sin ()3cos 21[,]442f x x x x πππ=+--∈(1)求()f x 的单调递增区间; (2)若不等式()2f x m -<在[,]42x ππ∈上恒成立,求实数m 的取值范围.19．（本小题14分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，0//,90AD BC ADC ∠=,平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==,3CD =． （I ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（II ）若二面角M BQ C --为30°，设PM tMC =,试确定t 的值20. （本小题14分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S (*n N ∈),11a =且1102n n n S S a -⋅+= (1)求数列{}n a 的通项公式;231111(2):*,1111n n N n S S S +∈⋅⋅>+---L 求证对任意的不等式成立.PABCD Q M2018年普通高等学校招生全国统一考试2卷三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1217，，…，）建立模型①：ˆ30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立模型②：ˆ9917.5yt =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．20．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．C2018年普通高等学校招生全国统一考试3卷三、解答题：共70分。

小题提速练(三) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设命题p ：∀x ＞0，log 2x ＜2x ＋3，则﹁p 为( )A ．∀x ＞0，log 2x ≥2x ＋3B ．∃x ＞0，log 2x ≥2x ＋3C ．∃x ＞0，log 2x ＜2x ＋3D ．∀x ＜0，log 2x ≥2x ＋3B [由全称命题的否定为特称命题，知﹁p 为∃x ＞0，log 2x ≥2x ＋3，故选B.] 2．已知集合A ＝{0,1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 D [∵x ∈A ，y ∈A ，A ＝{0,1}， ∴x ＝0或x ＝1，y ＝0或y ＝1， ∴z ＝x ＋y ＝0或1或2， ∴B ＝{0,1,2}，∴集合B 的子集个数为23＝8.故选D.]3．已知复数m ＝4－x i ，n ＝3＋2i ，若n m∈R ，则实数x 的值为( )【导学号：07804208】A ．－6B ．6 C.83D ．－83D [因为n m ＝3＋2i4－x i＝＋＋x －x＋x＝12－2x ＋＋3x16＋x2∈R ，所以8＋3x ＝0，解得x ＝－83，故选D.]4．已知双曲线x 2a －3＋y 22－a＝1，焦点在y 轴上．若焦距为4，则a 等于( )A.32 B ．5 C ．7 D.12D [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0a －3＜0，解得a ＜2，所以22＝2－a ＋3－a ，解得a ＝12，故选D.]5．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2θ＝－79，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋θ的值等于( )A.13 B ．±13C ．－19D ．19B [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－2π3＋π＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－79，即cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝79， 所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π62＝19， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝±13，故选B.] 6．如图6是某个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )图6A ．2＋π2B ．2＋π3C ．4＋π3D ．4＋π2A [由三视图知该几何体是一个三棱柱与一个半圆柱的组合体，其中三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形，高为2，半圆柱的底面半径为1，高为1，所以该几何体的体积为12×2×2×2＋12×π×12×1＝2＋π2，故选A.]7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图7所示，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，f (π)＝－1，则φ的值为( )图7A ．－π6B ．－5π6C ．－π3D ．－2π3B [设函数f (x )的最小正周期为T ，由题意得，T 2＝π－π2＝π2，所以T ＝π，故ω＝2ππ＝2，故f (x )＝2sin(2x ＋φ)，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，故π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )．所以φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )或φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π，故φ＝－5π6或φ＝－π6.结合函数f (x )的单调性可知，φ＝－5π6，φ＝－π6(舍去)．]8．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”现用程序框图描述，如图8所示，则输出结果n ＝( )【导学号：07804209】图8A ．5B ．4C ．3D ．2B [第一次循环，得S ＝0＋1＋1＝2＜10，不满足条件，继续循环；第二次循环，得n ＝2，a ＝12，A ＝2，S ＝2＋12＋2＝92＜10，不满足条件，继续循环；第三次循环，得n ＝3，a ＝14，A ＝4，S ＝92＋14＋4＝354＜10，不满足条件，继续循环；第四次循环，得n ＝4，a ＝18，A ＝8，S ＝354＋18＋8＝1358＞10，结束循环，输出n ＝4，故选B.]9．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A.5－1 B ．5＋1 C ．25＋2D ．25－2D [由题意，得a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝6－25，所以24－85＝4(a 2＋ab ＋ac ＋bc )≤4a2＋4ab ＋b 2＋c 2＋4ac ＋2bc ＝(2a ＋b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以2a ＋b ＋c ≥25－2，所以2a ＋b ＋c 的最小值为25－2，故选D.]10．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( ) A.55 B ．655C.855D ．455C [设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|ME |)＋(25－|NE |)．因为|ME |＋|NE |≥|MN |，所以|MN |－|ME |－|NE |≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|ME |－|NE |≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|EF |＝12×2×45×2＝855，故选C.]11．四面体A ­BCD 中，AB ＝CD ＝10，AC ＝BD ＝234，AD ＝BC ＝241，则四面体A ­BCD 外接球的表面积为( ) A ．50π B ．100π C ．200πD ．300πC [由题意，可将四面体补成一个长方体，此长方体的三对相对的侧面矩形的对角线长分别为10，234，241，易知此长方体的外接球就是四面体的外接球，长方体的体对角线就是长方体外接球的直径．设长方体同一顶点发出的三条棱的长度分别为x ，y ，z ，球的半径为R ，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝102y 2＋z 2＝342z 2＋x 2＝412，三式相加，得2(x 2＋y 2＋z 2)＝400，即x2＋y 2＋z 2＝200，所以(2R )2＝x 2＋y 2＋z 2＝200，即R 2＝50，所以四面体外接球的表面积为4πR 2＝4π×50＝200π，故选C.]12．设函数f (x )满足2x 2f (x )＋x 3f ′(x )＝e x，f (2)＝e28.则x ∈[2，＋∞)时，f (x )的最小值为( ) A.e 22 B ．3e 22C.e 24D ．e 28D [由已知，得2xf (x )＋x 2f ′(x )＝e xx ，即[x 2f (x )]′＝e xx，因此令F (x )＝x 2f (x )，则F ′(x )＝e x x ，F (2)＝4f (2)＝e 22.又由已知得f ′(x )＝e x －2x 2fxx 3＝e x－2F xx 3，此时再令φ(x )＝e x－2F (x )，则φ′(x )＝e x－2F ′(x )＝e x－2·e xx＝exx －x，所以当0＜x ＜2时，φ′(x )＜0，当x ＞2时，φ′(x )＞0，所以φ(x )min ＝φ(2)＝e 2－2F (2)＝0，所以当x ∈[2，＋∞)时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (2)＝e28，故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22()cos α＋sin α＝22cos 2α，即cos α＋sin α＝4cos 2α， (cos α＋sin α)2＝16cos 22α. 1＋sin 2α＝16(1－sin 22α)， 解得sin 2α＝1516或sin 2α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈()0，π，∴sin 2α＝－1不合题意，舍去． [答案]151614．已知(1＋ax 2)n(a ，n ∈N *)的展开式中第3项与第4项的二项式系数最大，且含x 4的项的系数为40，则a 的值为________.【导学号：07804210】[解析] 由二项式系数的性质可得n ＝5，T r ＋1＝C r 515－r(ax 2)r ＝C r 5a r x 2r，由2r ＝4，得r ＝2，由C 25a 2＝40，得a 2＝4，又a ∈N *，所以a ＝2.[答案] 215．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤10，－2x ＋y ＋k ≥0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为8，则其最大值为________．[解析] 如图所示，作出可行域(阴影部分)，易知目标函数z ＝3x ＋y 在A (2,4－k )处取得最小值，所以6＋4－k ＝8，即k ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，－2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，则C 点坐标为(4,6)，目标函数z ＝3x ＋y 在C 点处取得最大值z max ＝3×4＋6＝18. [答案] 1816．在△ABC 中，∠A ＝π3，O 为平面内一点，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，M 为劣弧BC ︵上一动点，且OM →＝pOB →＋qOC →，则p ＋q 的取值范围为________．[解析] 因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以O 为△ABC 外接圆的圆心，且∠BOC ＝2π3.以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设圆的半径为1，则B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设M (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤2π3，则OB →＝(1,0)，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，由OM →＝pOB →＋qOC →， 得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝p －q2sin θ＝32q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝cos θ＋13sin θq ＝23sin θ，所以p ＋q ＝cos θ＋3sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，由0≤θ≤2π3，知π6≤θ＋π6≤5π6，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，p ＋q 取得最大值2；当θ＋π6＝π6或θ＋π6＝5π6，即θ＝0或θ＝2π3时，p ＋q 取得最小值1.故p ＋q 的取值范围是[1,2]． [答案] [1,2]。

小题提速练(七) “12选择＋4填空”80分练 (时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A ＝{x ∈N |x ≤4}，B ＝{x |x 2－4＜0}，则A ∩B ＝( )A ．{x |0≤x ＜2}B ．{x |－2＜x ＜2}C ．{0,1}D ．{－2,0,1,2}C [易知A ＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x |－2＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{0,1}．] 2．已知复数z 满足(1＋i)z ＝(1－i)2，则z 的共轭复数的虚部为( )A ．2B ．－2C ．－1D ．1D [z ＝－21＋i＝－2i 1＋i＝－－2＝－1－i ，所以z ＝－1＋i ，其虚部为1.]3．已知正项等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝15，若a 1＋2，a 2＋5，a 3＋13成等比数列，则a 10＝( )A ．19B ．20C ．21D ．22C [设等差数列{a n }的公差为d ，则d >0.因为a 1＋a 2＋a 3＝15，所以a 2＝5.因为a 1＋2，a 2＋5，a 3＋13成等比数列，所以(a 2＋5)2＝(a 1＋2)(a 3＋13)，所以(a 2＋5)2＝(a 2－d ＋2)·(a 2＋d ＋13)，所以102＝(7－d )(18＋d )，解得d ＝2，所以a 10＝a 2＋8d ＝5＋8×2＝21.]4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＋x ，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )【导学号：04024196】A ．3B ．2C ．1D ．0B [当x ≤0时，f (x )＝2x －1＋x 是单调递增函数，因为f (0)>0，f (－1)<0，所以f (x )在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f (x )＝－1＋ln x 是单调递增函数，因为f (e)＝0，所以x ＝e 是函数的零点．综上知，函数f (x )有两个零点．]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ＜0，g x ＋1，x ＞0，若f (x )是奇函数，则g (3)的值是( )A ．－4B ．－2C ．－3D ．2C [g (3)＋1＝f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2，所以g (3)＝－3.]6．已知平面直角坐标系中的三点A (1,0)，B (0,1)，C (1,1)，从以这三个点中的任意两点为起点和终点构成的向量中任取一个向量，则这个向量与向量a ＝(－1,1)构成基底的概率为( ) A.56 B.35 C.34D.23D [以A ，B ，C 三个点中的两个点为起点和终点构成的向量有6个，即AB →，BA →，AC →，CA →，CB →，BC →，其中与a ＝(－1,1)不共线的向量有4个，即AC →，CA →，CB →，BC →，所以所求概率为46＝23.]7．若非负实数x ，y 满足ln(x ＋y －1)≤0，则x －y 的最大值和最小值分别是( )A ．2和1B ．2和－1C ．1和－1D ．2和－2D [依题意有⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＋y －1≤1，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示．易求得x －y 的最大值在点C (2,0)处取得，最大值为2；最小值在点A (0,2)处取得，最小值为－2.故选D.]8．把“正整数N 除以正整数m 后的余数为n ”记为N ≡n (mod m )，例如8≡2(mod 3)．执行如图1所示的程序框图后，输出的i 值为( )【导学号：04024197】图1A ．14B ．17C ．22D ．23B [程序运行如下：第1步，i ＝11，i ≡2(mod 3)成立，i ≡2(mod 5)不成立；第2步，i ＝12，i ≡2(mod 3)不成立；第3步，i ＝13，i ≡2(mod 3)不成立；第4步，i ＝14，i ≡2(mod 3)成立，i ≡2(mod 5)不成立；第5步，i ＝15，i ≡2(mod 3)不成立；第6步，i ＝16，i ≡2(mod 3)不成立；第7步，i ＝17，i ≡2(mod 3)成立，i ≡2(mod 5)成立．循环结束，所以输出的i 值为17.]9．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx ，ω＞0，x ∈R ，且其图象上两个相邻最高点的距离为π，则下列说法正确的是( ) A ．ω＝1B ．曲线y ＝f (x )关于点(π，0)对称C ．曲线y ＝f (x )关于直线x ＝π2对称D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增D [f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，依题意知函数f (x )的周期为π，所以T＝2πω＝π，得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.验证知，选项D 正确．] 10．已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f (x )＝log 12x ，则方程f (x )－1＝0在(0,6)内的零点之和为( ) A ．8B ．10C ．12D ．16C [依据题意画出f (x )的图象如图所示，方程f (x )－1＝0在(0,6)内有四个零点，这四个零点之和为2×1＋2×5＝12.]11．已知函数f (x )＝a ln x －x 2，在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p ≠q ，不等式f p －f qp －q＞1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞ C ．[15，＋∞) D ．[1，＋∞)A [由f p －f q p －q＞1可知，函数f (x )＝a ln x －x 2的图象在区间(0,1)内过任意两点的割线的斜率都大于1，等价于函数f (x )的图象在区间(0,1)内的任意一点的切线斜率大于1.由f ′(x )＝a x －2x ，得a x－2x >1恒成立，整理得a >2x 2＋x (x ∈(0,1))，因为当x ∈(0,1)时，2x 2＋x <3，所以a ≥3.]12．已知实数p ＞0，直线4x ＋3y －2p ＝0与抛物线y 2＝2px 和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p24从上到下的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|AC ||BD |的值为( )【导学号：04024198】A.18B.516C.38D.716C [依题意知，直线4x ＋3y －2p ＝0过抛物线焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p24的圆心为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，半径为p 2.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由抛物线定义得|AC |＝|AF |＋|FC |＝p 2＋x 1＋p 2＝x 1＋p ，同理得|BD |＝x 2＋p .将4x ＋3y －2p ＝0代入抛物线方程，整理得8x 2－17px ＋2p2＝0，解得x 1＝p 8，x 2＝2p ，所以|AC ||BD |＝x 1＋p x 2＋p ＝38.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．某单位有员工90人，其中女员工有36人，为做某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为15的样本，则应抽取的男员工人数是________． [解析] 应抽取的男员工人数为90－3690×15＝9.[答案] 914．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为________．图2[解析] 由三视图可知，该几何体是由横放着的三棱柱截去一个三棱锥后得到的，其体积V ＝12×1×1×2－13×12×1×1×1＝56. [答案] 5615．已知a ＝(1，t )，b ＝(t ，－6)，则|2a ＋b |的最小值为________.【导学号：04024199】[解析] |2a ＋b |＝|(2,2t )＋(t ，－6)|＝|(2＋t,2t －6)|＝＋t2＋t －2＝t －2＋4]≥5×4＝25，当且仅当t ＝2时取等号，所以|2a ＋b |的最小值为2 5.[答案] 2 516．如图3所示，在△ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，D 为BC 边上一点．若AB ＝AD ，则△ADC 的周长的取值范围为________．图3[解析] 依题意知，△ABD 是正三角形，所以∠ADC ＝2π3.在△ADC 中，由正弦定理得ACsin2π3＝ADsin C ＝DCsin ∠DAC，即332＝AD sin C ＝DC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，所以AD ＝2sin C ，DC ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，所以△ADC 的周长为AC ＋AD ＋DC ＝2sin C ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ＋3＝sin C ＋3cos C ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π3＋ 3.因为∠ADC ＝2π3，所以0＜C ＜π3，所以32＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3≤1，所以23＜2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＋3≤2＋3，所以△ADC 的周长的取值范围为(23，2＋3]． [答案] (23，2＋3]。