流体力学8

h f
（ ） b E A B （ c ）
过渡流:
紊流:
8.1.2
层流和湍流
1.临界雷诺数
实验结果发现，流动由层流至湍流的转变不仅仅取 决于管内的流速，而是与以下这四个物理量：管内的平 均流速 V 、圆管直径d、流体密度 、以及流体的黏度 组成的无量纲数有关，即
Re V d


Vd
当
当
Re Recr 或 V Vcr 时，流动为层流； Re Recr或 V Vcr 时，流动为湍流。
在工程的实际计算中，由于管路的环境较实验室复 杂，一般临界雷诺数 Recr 取2000。
2.流态和沿程水头损失 为研究不同流态下沿程水头损失的规律，在雷诺 实验的装置中，分别在玻璃管的进口和出口断面处安 装了测压管（图8.1）。 列1-1至2-2断面的伯努利方程，得沿程水头损失
11 p p 2 p R 2 u R2 c2 ，即： u ((R r r22)) 4 l l l 2 4
第二种解法：
2u 2u dp 则： 2 2 ---------------------------------------泊松方程 dx y z
第八章 圆管中的流动
要点：层流概念和运动特性，湍流概念和运动 特性、管道中的水头损失。
难点：雷诺实验、圆管中的层流计算，圆管中 的湍流计算、水头损失计算。
管道流是工程上应用最广泛的流动。在所有管路
中，圆管是最典型的。本章主要叙述流体在圆管中流 动有截然不同的两种流动状态、判别的条件、速度分
布和阻力因数。最后根据粘性流体伯努利方程进行管
由于 p 仅是 x 的函数，而左端 u 仅是 y，z 的函数，若要相等，则只有都等于常数时才能成立，
dp p constant (l 为管道的长度)。 dx l
2u 2u p 上式化为： ，可应用沿半径 r 方向来讨论，得： y 2 z 2 l
8.2.3 圆管断面上的流量
如图8.3 所示，圆管断面上的流量为
Q
将 vmax
R
0
r2 1 2 vmax 1 2 2πrdr πR vmax 2 R
代入 ，得
π Q GR 4 8
G 2 R 4
上式是著名的泊肃叶定律，它表明恒定层流的圆管流
动中，体积流量正比于管半径的四次方和比压降 G ,反 比于流体的黏度。

dp 常数 dx
r O x p
τ r p+ p dx x
工程上称单位流程 （l）上的压强降 称为 p 比压降：
p dp G 常数 l dx
dx
图8 .4 圆管中层流的流体受力
dp G r r dx 2
表明：在圆管中层流，恒定流动时，粘性切应力沿半径方 向为线性分布，在管轴处， r 0 ， 0 ；在管壁处 r R 切应力最大，把它称为管壁切应力，用 0 表示。

这个无量纲数就称为雷诺数。由层流转变为湍流时的 雷诺数称临界雷诺数，一般用 Recr 表示。实验得出，临 界雷诺数 Recr 2300 。
Vcr’>Vcr， 以Vcr为 标准， 层流： V<Vcr。 湍流： V>Vcr。
颜色水
hf
测压管
1 阀门 2 水阀
玻璃管
量筒
层流 Vcr’---上临界速度 过度流 过渡流 Vcr’---下临界速度 湍流
1.0 0.1 Re 98912 2000 6 1.011 10 Vd
水管流为湍流； 当换成油后， 油管流为层流。
Re Vd
油

1.0 0.1 1000 2000 6 100 10
【例8.2】汽轮机的凝汽器中有2 500根铜的冷却水管，
冷却水在管中流动，汽轮机的排汽在铜管外被冷却，
边界条件：r=R 时，u=0，且 u 有界。
(4)．求解： 由(2)，(3)式得，p 与 y，z 无关，故：p=p(x)
1 p 2u 2u (4)式代入(1)式得： ( 2 2 ) x y z
dp -----表示压力 p 沿 x 方向的压力降低 dx
第一种解法：
故设：
计算矩形断面的
2ab 2 0.6 0.4 d h＝ 0.48m ab 0.6 0.4
Q 1.08 V 4.5m / s A 0.6 0.4
4.5 0.48 Re 122727 2000 6 17.6 10 Vd h
风管中的流态呈湍流。
8.2
G R 2
G 1 dp 2 2 2 2 v (R r ) R r 4 4 dx
在管轴中心处 r 0
v vmax
G 2 1 dp 2 R R 4 4 dx
r2 v vmax 1 2 R
故速度分布可写成：
圆管中的层流过流断面上流速呈抛物线分布，这 是层流的重要特征之一。
按牛顿内摩擦定律
dv dy
v r V
r0
其中
y R r ，则
vmax
图8 .3 圆管中层流
dv dr
上式的负号仅表示方向而已 。
8.2.2
速度分布
1．问题：如图示，有一半径为 R，足够长水平放置的圆管，有均质不可压流体在管内沿管轴作单一方向定 常层流运动，R 相对管长不太大，试确定管内流体的速度分布。 z
hf p1 p2


p

当流动为层流时沿程水头损失 hf 为， hf V 1.0；
当流动为湍流时沿程水头损失 hf 为，hf V
1.75～2.0。
因此流态不同，沿程阻力的变化规律是不同的， 要计算管流的沿程水头损失必须判断流态。
3.非圆形管的雷诺数 在工程中经常用的过流断面不是圆截面的管路， 如图8.2所示。
为使冷却效果好，要求管中水的流动雷诺数
6 2 Re 4 104 呈湍流状态。若水 0.9 10 m / s
，铜管直
径 d 20mm ，求冷却水的最小流量。
【解】 为使冷却效果好，一是冷却水管内流态为湍 流，二是冷却水管内流速为最小，以增加热交换的时 间。据此取管中的雷诺数
Re＝ Vd
平均流速 V 的定义为
1 2 πR vmax Q 2 G 2 1 V R vmax 2 A πR 8 2
圆管层流的断面平均流速为最大流速的一半，这是层 流的特征之一。
8.2.4
沿程水头损失的计算
定义圆管管壁处的局部阻力因数为 0 cf 1 V 2 2 式中
0 ——为管壁处的切向应力；
用试解法解泊松方程： 设 u=Ay2+Bz2+C，代入泊松方程得： 2 A 2 B
dp ------------------(5) dx
由边界条件得， u 在边界 r=R( 即 y2+z2=R2) 等于 0 ，则在边界的特殊点 (R ， 0) 和 (0 ， R) 上仍为 0． 0=AR2+C-----------------------------------------(6) 0=BR2+C-----------------------------------------(7) 解(5)、(6)、(7)联立方程得：
层流:
时， 当逐渐加大玻璃管内流速到达某一上临界值 Vcr 随着玻璃管内流速的再增大，颜色水与周围清水混合， 使整个圆管都带有颜色（图8.1 c），表明此时质点的 运动轨迹极不规则，各层质点相互掺混，称这种流动 状态为湍流。而从层流到湍流的转捩阶段称为过渡流， 一般将它作为湍流的初级阶段。
C D （ a ）
路计算，决定沿程损失和局部损失。
8.1
雷诺实验、层流和湍流
英国物理学家雷诺（Reynolds）在1883年经过实 验研究发现，在粘性流体中存在着两种截然不同的流 态，并且测定了流体的能量损失与运动两种状态的关 系。
8.1.1
雷诺实验
雷诺实验的装置如图8.1所示。当管内保持较低的
流速时，表明玻璃管中的水各层质点互不掺混，称这 种流动状态为层流。

4 104
4 104 0.9 106 V 1.8m / s 0.02
Qmin π 2 π d V 2500 0.022 1.8 2500 1.413m3 / s 4 4
【例8.3】矩形（600mm 400mm）通风管道通过温度为 40º C的空气，风量 Q 1.08m3 / s ，试判断流态。 【解】 查表1.4,40º C空气的运动黏度系数 17.6 106 m2 / s
ab rh 2(a b)
，
d h 4rh
2ab ab
【例8.1】有一直径 d 100mm
的直管，水流动以速
度 V 1.0m / s ，水温为20º C，试判断流态。若水换成
s 油，其它条件相同，流态又如何？（油 100 106 m2 / ）
【解】 由表1.3，查得20º C水的运动粘度 1.011106 m2 / s 雷诺数
圆管层流流动
在工程中管中的层流较少出现，仅见于很细的管 道流动，或者低速、高粘度流体的管道流动。
8.2.1
流动特征
层流各流层的质点互不掺混，圆管中的层流各层 质点沿平行管轴线方向运动。其中与管壁接触的一层 流体速度为零，管轴线上流体速度最大，其它各层流 速介于这两者之间，整个管流如同无数个薄壁圆管一 个套着一个滑动 。
A B
dp , 4dx
C
dp 2 R ， 4dx
故： u
dp dp dp 2 ( y 2 z 2 ), A B , C R 4dx 4dx 4dx dp dp 2 (y2 z2 ) R 4dx 4dx