浙江省2019年中考数学复习第三单元函数第13课时二次函数的图像及性质含近9年中考真题试题166

课时训练(十三) 二次函数的图象与性质(一)|夯实基础|1.抛物线y=2x2,y=-2x2,y=x2的共同性质是()A.开口向上B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y随x的增大而增大2.设二次函数y=(x-3)2-4的图象的对称轴为直线l.若点M在直线l上,则点M的坐标可能是()A.(1,0)B.(3,0)C.(-3,0)D.(0,-4)3.[2018·南宁] 将抛物线y=x2-6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为()A.y=(x-8)2+5B.y=(x-4)2+5C.y=(x-8)2+3D.y=(x-4)2+34.[2017·宁波] 抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.[2018·潍坊] 已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或66.[2017·广州] 当x=时,二次函数y=x2-2x+6有最小值.7.[2018·黔三州] 已知二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是.8.已知常数a(a是整数)满足下面两个条件:①二次函数y1=-(x+4)(x-5a-7)的图象与x轴的两个交点位于坐标原点的两侧;②一次函数y2=ax+2的图象在一、二、四象限.(1)求整数a的值;(2)在所给直角坐标系中分别画出y1,y2的图象,并求出当y1<y2时,自变量x的取值范围.图K13-19.[2018·宜宾节选] 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图K13-2,直线y=x 与抛物线交于A,B两点,直线l为y=-1.(1)求抛物线的解析式;(2)在l上是否存在一点P,使P A+PB取得最小值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图K13-210.[2017·温州] 如图K13-3所示,过抛物线y=x2-2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C,已知点A的横坐标为-2.(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D.①连结BD,求BD的最小值;②当点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方时,求直线PD的函数表达式.图K13-3|拓展提升|11.[2017·杭州] 设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a<0)的图象的对称轴, ()A.若m>1,则(m-1)a+b>0B.若m>1,则(m-1)a+b<0C.若m<1,则(m-1)a+b>0D.若m<1,则(m-1)a+b<012.[2018·湖州] 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是.图13-413.[2018·金华、丽水] 如图K13-5,抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.(1)求抛物线的函数表达式.(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.图K13-5参考答案1.B2.B3.D4.A[解析] 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-,-),∵-=--=1>0,-=-=m2+1>0,故此抛物线的顶点在第一象限.故选A.5.B[解析] 抛物线y=-(x-h)2,当x=h时,y有最大值0,而当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h<2或h>5.当h<2时,若2≤x≤5,则y随x的增大而减小,故当x=2时,y有最大值,此时-(2-h)2=-1,解得h1=1,h2=3(舍去),此时h=1;当h>5时,若2≤x≤5,则y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得h1=6,h2=4(舍去),此时h=6.综上可知h=1或6.故选择B.6.15[解析] ∵y=x2-2x+6=(x-1)2+5,∴当x=1时,y最小值=5.7.(3,0)[解析] 由题表可知,抛物线上的点(0,3),(2,3)是对称点,所以对称轴是直线x=1,因为函数图象与x轴的一个交点是(-1,0),所以(3,0)是抛物线与x轴的另一个交点.8.解:(1)由题意可知解得-<a<0,∵a为整数,∴a=-1.(2)y1=-(x+4)(x-2),y2=-x+2,画出图象如图所示.当x<-1或x>2时,y1<y2.9.解:(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,0),设抛物线的解析式为y=a(x-2)2.∵该抛物线经过点(4,1),∴1=4a,解得a=,∴抛物线的解析式为y=(x-2)2=x2-x+1.(2)存在.根据题意,得:-解得或∴点A的坐标为(1,),点B的坐标为(4,1).作点B关于直线l的对称点B',连结AB'交直线l于点P,此时P A+PB取得最小值(如图所示).∵点B(4,1),直线l为y=-1,∴点B'的坐标为(4,-3).设直线AB'的解析式为y=kx+b(k≠0),将A(1,),B'(4,-3)的坐标代入y=kx+b,得--解得∴直线AB'的解析式为y=-x+,当y=-1时,有-x+=-1,解得x=,∴点P的坐标为(,-1).10.[解析] (1)知道抛物线的解析式,求对称轴:直线x=-=4,用待定系数法求出A(-2,5),B(10,5).(2)①利用三角形三边关系可知当且仅当O,D,B三点共线时,BD取得最小值;②根据轴对称和勾股定理求得D,P两点坐标,利用待定系数法求出直线PD的函数表达式.解:(1)由抛物线的解析式y=x2-2x,得对称轴为直线x=-=4.由题意知,点A的横坐标为-2,代入解析式求得y=5,当x2-2x=5时,x1=10,x2=-2,∴A(-2,5),B(10,5).(2)①连结OD,OB,利用三角形三边关系可得BD≥OB-OD,∴当且仅当O,D,B三点共线时,BD取得最小值.由题意知OC=OD=5,OB==5,∴BD最小值为:OB-OD=5-5.②设对称轴与直线AB交于点M,与x轴交于点N,由题得点D在x轴上方的对称轴上,则点P是线段CD的垂直平分线与AB的交点.连结OD.在Rt△ODN中,DN=-=3,∴D(4,3),DM=2.设P(x,5),在Rt△PMD中,(4-x)2+22=x2,得x=,∴P,5.易得直线PD的函数表达式为y=-x+.11.C[解析] ∵直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a<0)的图象的对称轴,∴x=-=1,即2a+b=0,∵a<0,∴2a<0,b>0,当m<1时,(m-1)a>0,则(m-1)a+b>0.故选C.12.-2[解析] 由抛物线y=ax2+bx可知,点C的横坐标为-,纵坐标为-.∵四边形ABOC是正方形,∴-=.∴b=-2.故填-2.13.解:(1)设抛物线的函数表达式为y=ax(x-10).∵当t=2时,AD=4,∴点D的坐标是(2,4).∴4=a×2×(2-10),解得a=-.∴抛物线的函数表达式为y=-x2+x.(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t,∴AB=10-2t.当x=t时,y=-t2+t.∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2--=-t2+t+20=-(t-1)2+.∵-<0,0<1<10,∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值是.(3)连结DB,取DB的中点,记为P,则P为矩形ABCD的中心,由矩形的对称性知,平分矩形ABCD面积的直线必过点P.连结OD,取OD中点Q,连结PQ.当t=2时,点A,B,C,D的坐标分别为(2,0),(8,0),(8,4),(2,4).结合图象知,当点G,H分别落在线段AB,DC上且直线GH过点P时,直线GH平分矩形ABCD的面积.∵AB∥CD,∴线段OD平移后得到线段GH,线段OD的中点Q平移后的对应点是P.∴抛物线的平移距离=OG=DH=QP.在△OBD中,PQ是中位线,∴PQ=OB=4.∴抛物线向右平移的距离是4.。

（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.点式；若已知抛物线与的两个交点坐标，可设交点式.：二次函数的图象与性质图象xyy=ax2+bx+c(a上0)Oxyy=ax2+bx+c(a上0)O开口向上向下对称轴x＝2ba-顶点坐标24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭增减当x>时，y随x的增大而增2ba-当x>时，y随x的增大而减小；2ba-b（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑ax2+bx+c=0的根.当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＜0，无实根抛物线y=ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.例：已经二次函数3x+m(m为常数)轴的一个交点为（关于x的一元二次方程3x+m=0的两个实数根为2,1.。

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第一部分考点研究第三单元函数第13课时二次函数的图像及性质浙江近9年中考真题精选（2009-2017）命题点1抛物线的对称性及对称轴（杭州2017。

9，台州2015。

7，绍兴2016.9）1．(2016衢州7题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)图象上部分点的坐标(x，y)对应值列表如下：x…－3－2－101…y…－3－2－3－6－11…则该函数图象的对称轴是（）A. 直线x＝－3B. 直线x＝－2C. 直线x＝－1D. 直线x＝02．(2015台州7题4分）设二次函数y＝（x－3）2－4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )A. (1,0)B. (3，0) C。

(－3，0) D。

(0,－4）3．（2014宁波12题4分）已知点A（a－2b,2－4ab)在抛物线y＝x2＋4x＋10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为( )A。

（－3，7） B。

(1，7） C。

（－4，10) D. （0，10）4．(2015宁波11题4分)二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x 轴的下方,在6＜x＜7这一段位于x轴的上方,则a的值为（)A。

一、选择题1. （2019山东省济宁市，8，3分）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －1)2－3C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －4)2－2 【答案】D【思路分析】把抛物线y ＝x 2－6x ＋5化成顶点式，再根据“左加右减”方法进行平移．【解题过程】y ＝x 2－6x ＋5＝ (x －3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得y ＝ (x －3－1) 2－4＋2，即y ＝(x －4)2－2． 【知识点】抛物线的平移规律．2. (2019四川巴中,10,4分)二次函数y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论①b 2>4ac,②abc<0,③2a+b －c>0,④a+b+c<0,其中正确的是( ) A.①④ B.②④ C.②③ D.①②③④第10题图 【答案】A【思路分析】根据图象信息,可得开口向下,对称轴为x ＝－1,与x 轴有两个不同的交点,与y 轴交于正半轴,x ＝－3时函数值小于零,据此即可得到有关a,b,c 的信息,从而做出判断.【解题过程】①:因为图象与x 轴有两个不同的交点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,故①正确;②:图象开口向下,故a<0,图象与y 轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为x ＝－1,所以12ba-=-,所以2a ＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③:a<0,b<0,c>0,所以2a+b －c<0,③错误;④当x ＝1时,y ＝a+b+c,由图可得,x ＝－3时,y<0,由对称性可知,当x ＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,选A.【知识点】二次函数的性质,二次函数与一元二次方程的关系,二次函数的对称轴及对称性3. （2019四川达州，题号9，3分）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置， AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合.现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与点B 重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时t 的函数图像大致是( )【答案】C【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.【解题过程】运动过程中，当顶点G 在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为232t y =，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G 在正方形内部时，重合部分为四边形，设xxx运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为343423-2-+=t t y ，函数图像为开口向下的二次函数，故选C【知识点】二次函数的图形与性质4. （2019四川省凉山市，12，4）二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b =0；②b 2-4ac＞0；③5a -2b +c ＞0； ④4b +3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1 B . 2 C . 3 D . 4第12题图【答案】A 【思路分析】根据二次函数的性质和二次函数的图象可以判断题目中各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题． 【解析】根据对称轴232-=-a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与x 轴有两个不同的交点，所以b 2-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观察图像可知a ＜0,c＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x =1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 34+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.故选 A.【知识点】二次函数图象与系数的关系 5. （2019四川攀枝花，9，3分）在同一坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】据参数符号可排除A 、D 选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C ． 【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象6.（2019天津市，12，3分）二次函数y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当21-=x 时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0;(2)-2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c=t 的两个根；（3）0<m+n<320,其中，正确结论的个数是(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【解析】(1)因为当21-=x 时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y 随x 的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线21=x ，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线21=x ，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线21=x 可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当21-=x 时，与其对应的函数值y>0可得38>a ，当x=-1时，m=a -b -2=2a -2>310,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n ，所以m+n>320，故（3）错误，所以答案为C 【知识点】二次函数图像的性质.7. （2019浙江省衢州市，6，3分）二次函数y =（x -1）2+3图象的顶点坐标是（A ） A . （1.3） B .（1，-3） C .（-1.3） D .（-1.-3） 【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y =a （x -h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），所以y =（x -1）2+3的顶点坐标是（1.3），故选A 。