安徽省池州市高三4月联考数学(理)试题 Word版含答案

高三数学（答案在最后）满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出、确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{3,2,0,1,2,M N x y =--==，则M N ⋂=（）A.{3,2,0,1}-- B.{0,1,2}C.{3,2}-- D.{2}【答案】C 【解析】【分析】依题求得y =N ,再利用交集定义即得.【详解】因{{}260(,2][3,)N xy x x x ∞∞===--≥=--⋃+∣∣，而{3,2,0,1,2}M =--，{3,2}M N ∴=-- ．故选：C.2.已知(1i)1i z ⋅+=-，则z z -=（）A.2i -B.2iC.2- D.2【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得i z =-，得到2i z z -=，即可求解.【详解】由复数(1i)1i z ⋅+=-，可得1i (1i)(1i)2ii 1i (1i)(1i)2z ----====-++-，所以i z =，则2i z z -=．故选：B.3.已知向量(1,1),(1,1)a b ==-，若()()a b a b λμ++∥，则下列关系一定成立的是（）A.1λμ=-B.2λμ-= C.0λμ+= D.1λμ=【答案】D 【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标关系可直接求得答案.【详解】(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)a b a b a b λλλμμμ==-∴+=+-+=+-，由()()a b a b λμ++∥可得，(1)(1)(1)(1)λμλμ+⋅-=-⋅+，整理得1λμ=．故选：D .4.已知函数()2()ln f x x ax =-在区间(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.(,1]-∞B.(,2]-∞ C.(0,2]D.[2,)+∞【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合对数型复合函数的单调性的判定方法，列出不等式，即可求解.【详解】由函数ln y x =在()0,+∞上单调递增，因为函数()2()ln f x x ax =-在区间(1,)+∞上单调递增，则有函数22()24a a y x x a x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭在区间(1,)+∞上恒正且单调递增，则满足12a≤且10a -≥，解得1a ≤，所以实数a 的取值范围是(,1]-∞．故选：A.5.某种化学物质的衰变满足指数函数模型，每周该化学物质衰减20%，则经过n 周后，该化学物质的存量低于该化学物质的15，则n 的最小值为（）（参考数据：lg 20.301≈）A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】设该化学物质最初的质量为a ，经过n 周后，该化学物质的存量为45na ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，根据题意可得出4155n⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合指数函数的单调性、换底公式可求得n 的最小值.【详解】设该化学物质最初的质量为a ，经过n 周后，该化学物质的存量为45na ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，由题意可得4155na a ⎛⎫⋅<⋅ ⎪⎝⎭，即4155n⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得41lg lg 55n <，所以，3110lglglg 51lg 210.301527.21451013lg 2130.301lg lg lg 542n -->===≈≈--⨯，故正整数n 的最小值为8.故选：C.6.56()()x y x y +-的展开式中47x y 的系数为（）A.10 B.10- C.20D.20-【答案】A 【解析】【分析】将原式化为()522()x y x y --的形式，再利用二项展开式的通项公式求解可得答案.【详解】()55622()()()x y x y x y x y +-=--，()522x y -展开式的通项公式为102215(1)C (05,)r r r r r T x y r r -+=-≤≤∈N ，3r =时，46410T x y =-，所以47x y 的系数为1(10)10-⨯-=．故选：A .7.已知过点(2,0)A 与圆：22410x y y +--=相切的两条直线分别是12,l l ，若12,l l 的夹角为α，则tan α=（）A.4-B.4C.D.【答案】D 【解析】【分析】由题意可得该圆圆心(0,2)C，半径r =，借助切线定义可得【详解】22410x y y +--= ，即22(2)5x y +-=，可得圆心(0,2)C，半径r =，过点(2,0)A 作圆C 的切线，切点为M ，N，||AC ==||MA ==则15tan 3MAC =∠=，故223tan tan 21MAN MAC ⨯∠=∠==-⎝⎭，故MAN ∠为钝角，则()tan tan πtan MAN MAN α=-∠=-∠=.故选：D.8.下列不等关系中错误的是（）A.ln 2ln 323< B.e e (1)a b b a a b >>> C.131cos432< D.77sinπ22+>【答案】C 【解析】【分析】对于A 项，利用等价转化即得；对于B ,C,D 项都要结合式子特征，通过观察、拼凑构造函数，利用函数的单调性进行判断.【详解】对于A 项，因ln 2ln 33ln 22ln 3ln 8ln 923<⇔<⇔<，故A 项正确；对于B 项，设e (),1x k x x x =>，则2e (1)()0x x k x x-'=>在(1,)+∞上恒成立，故函数()k x 在(1,)+∞上单调递增，因1a b >>，故()()k a k b >，即e e a ba b>，故e e a b b a >，故B 项正确；对于C 项，因21311111cos cos 1143243224⎛⎫<⇔<-=- ⎪⎝⎭，故构造21()cos 1,(0)2f x x x x =-+>，则()sin 0,f x x x '=->则()f x 在(0,+)∞上单调递增，1131cos 04432f ⎛⎫=->⎪⎝⎭，故C 项错误；对于D 项，777777sinπsin πsin ππ222222⎛⎫+>⇔>-⇔->- ⎪⎝⎭，77sin ππ22⎛⎫⇔-<- ⎪⎝⎭，构造函数()sin ,(0,1),f x x x x =-∈则()1cos 0,f x x '=->()f x 单调递增，777π(0)0,πsin π222f f ⎛⎫⎛⎫∴->=->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 项正确．故选：C.【点睛】关键点法点睛：本题主要考查构造函数比较大小问题,属于难题.解决比较大小问题的关键在于将不等式进行等价转化，通过观察特点，拼凑，使其具有相同的结构，构造函数，通过求导得到函数的单调性，利用单调性比较式的大小.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列判断中正确的是（）A.一组从小到大排列的数据1-，1，3，5，6，7，9，x ，10，10，去掉x 与不去掉x ，它们的80%分位数都不变，则10x =B.两组数据123,,,, m x x x x 与123,,,, n y y y y ，设它们的平均值分别为x E 与y E ，将它们合并在一起，则总体的平均值为x ym nE E m n m n+++C.已知离散型随机变量1~8,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则(23)3D X +=D.线性回归模型中，相关系数r 的值越大，则这两个变量线性相关性越强【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，结合百分位数，期望与方程的计算与性质，以及相关系数r 的意义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，数据1-，1，3，5，6，7，9，x ，10，10的80%分位数为102x +，数据1-，1，3，5，6，7，9，10，10的80%分位数为10，所以10x =，选项A 正确；对于B 中，由平均数的公式，可得121()x m x E x x m ++=+ ，121()y n y E y y n=+++ ，则将它们合并在一起，可得()12121,()m n E X Y x x y m n x y y +++++=+++ x y m nE E m n m n=+++，所以B 正确；对于C 中，离散型随机变量1~8,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()2(1138144D X =⨯⨯-=，根据方差的性质，可得2(23)2()6D X D X +=⨯=，所以C 错误；对于D 中，相关系数r 越大，两个变量线性相关性越强，所以D 错误．故选：AB.10.下列函数中均满足下面三个条件的是（）①()f x 为偶函数；②()1f x <；③()f x 有最大值A.()cos f x x= B.1()sin 2f x x =C.||11()2x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭D.||()12x f x =-【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，结合初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足：①()f x 为偶函数；②()1f x <；③()f x 有最大值，对于A 中，函数()cos f x x =，由余弦函数的性质，可得()cos 1f x x =≤，不满足②，所以A 不符合题意；对于B 中，函数1()sin 2f x x =，由11()sin()sin ()22f x x x f x -=-==，满足①；又由11sin 22x ≤，满足②；由函数max 1()2f x =，满足③，所以B 符合题意；对于C 中，函数||11()2x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，由||1||111()()22x x f x f x -++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足①；又由11x +≥，可得||112102x +⎛⎫< ⎪≤⎝⎭，满足②；当0x =时，可得max 1()2f x =，满足③，所以C 符合题意；对于D 中，函数||()12x f x =-，由20x >，可得||()112x f x =-<，无最大值，不满足③，所以D 不符合题意.故选：BC.11.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点，点F 在该正方体的侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE ．下列说法正确的是（）A.点F 轨迹是长度为2的线段B.三棱锥1F A BE -的体积为定值12C.存在一点F ，使得11B F CD ⊥ D.直线BC 与直线1B F 所成角的正弦值的取值范围为15,35⎡⎢⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】设G 为CD 中点，证得11B F //平面1A BE ，12//F F 平面1A BE ，得到平面112//B F F 平面1A BE ，得出点F 的轨迹为线段12F F ，可判定A 正确；由11111F A BE B A BE E A BB V V V ---==，可判定B 错误；当点F 为12F F 中点时，证得11B F CD ⊥，可判定C 正确；当点F 为12F F 中点和点F 与1F 或2F 重合时，分别求得直线1B F 与直线BC 所成角的正弦值可判定D 正确.【详解】设G 为CD 中点，则截面图形是1A BGE 为等腰梯形，12,F F 分别为111,C D C C 的中点，可得11//B F BG 且12//F F EG ，因为11B F ⊄平面1A BE ，12F F ⊄平面1A BE ，且BG ⊂平面1A BE ，EG ⊂平面1A BE ，所以11B F //平面1A BE ，12//F F 平面1A BE ，又因为11121B F F F F = ，且1112,B F F F ⊂平面112B F F ，所以平面112//B F F 平面1A BE ，因为1//B F 平面1A BE ，且点F 在该正方体的侧面11CDD C 上运动，所以点F 的轨迹为线段12F F，且122F F =，所以A 正确；由11111111111326F A BE B A BE E A BB V V V ---===⨯⨯⨯⨯=，所以B 错误；当点F 为12F F 中点时，因为1112B F B F =，可得112B F F F ⊥，因为121//F CD F ，所以11B F CD ⊥，所以C 正确；当点F 为12F F 中点时，在正方体1111ABCD A B C D -，可得11//BC B C ，则直线1B F 与直线BC 所成的角，即为直线1B F 与直线11B C 所成的角，设11C B F θ∠=，在等腰12BF F △中，111212,22B F B F F F ===，可得1B F =，在11B C F △中，可得22211111119112288cos 32321B F B C C F B F B F θ+-+-===⋅，所以1sin 3θ==；当点F 与1F 或2F 重合时，此时直线1B F 与直线BC所成角的正弦值为1111sin 5C F B F θ==，所以直线BC 与直线1B F所成角的正弦值的取值范围为1,35⎡⎢⎣⎦，所以D 正确.故选：ACD.12.已知数列{}n a满足111,n a a +==）A.20242023a a > B.21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列C.211414n n n a a a ++-= D.220241013a <【答案】ACD 【解析】【分析】利用作差法由数列单调性可求得数列{}n a 为递增数列，可得A 正确；再根据10n a ≥>以及复合函数单调性可判断B ，化简整理可判断C 正确，由关系式可得22112n n a a +-<，再利用累加法可判断D 正确.【详解】因为10n n n aa a +-==，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列，可得20242023a a >，选项A 正确；因为数列{}n a 为递增数列且10n a ≥>，则21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列，选项B 错误；因为1n a+=12n n a a +-=两边平方整理得211414n n n a a a ++-=，选项C 正确．因为211414n n n a a a ++-=，整理得1114n n n a a a ++=-，两边平方得22211211111622n n n n a a a a +++=+->-，即22112n na a +-<，可得222222202420232023202221111,,,222a a a a a a -<-<-< ，累加可得22202411(20241)1011.52a a -<⨯-=，即2202411011.5a -<，所以220241012.51013a <<，故D 正确．故选：ACD【点睛】关键点点睛：再判断D 选项时，关键要对表达式整理变形后进行合理放缩可得22211211111622n n n n a a a a +++=+->-，即22112n na a +-<，再利用累加法即可作出判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某校思想品德课教师一天有3个不同班的课，每班一节，如果该校一天共7节课，上午4节，下午3节，该教师的3节课任意两节都不能连着上（第四节和第五节不算连着上），则该教师一天的课所有不同的排法有___________种．【答案】78【解析】【分析】利用分类加法计数原理结合排列知识可直接求得答案.【详解】上午2节不连堂，下午一节，共有3333A 54⨯=种；上午1节，下午2节不连堂，共有334A 24=，故不同的排课方案共有542478+=种．故答案为：78.14.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象如图所示，则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________．【解析】【分析】由图象可得A ，及函数周期，后由图可得06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得ϕ，即可得答案.【详解】由图象可得max ()2A f x ==，函数()y f x =的最小正周期为ππ2π36T ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭，2π2π2πT ω∴===，则()2sin(2)f x x ϕ=+，πππ2sin 22sin 0663f ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，π2π(),3k k ϕ∴-=∈Z ，即π2π()3k k ϕ=+∈Z ，由于ππ||,0,23k ϕϕ<∴==，π()2sin 23f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，故π2π2sin 63f ⎛⎫== ⎪⎝⎭15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线C 上，点B 在y 轴上，1222,2F B F B F A F B ⊥=-，则双曲线C 的离心率为___________．【答案】3【解析】【分析】由题，结合图形可得12F B F B == ，又由222F A F B =-，结合双曲线定义及勾股定理可得答案.【详解】因12F B F B ⊥，122F F c =，点B 在y 轴上，则12F B F B == .又222F A F B =-，则2F A = ，AB =，由勾股定理，1AF == ，由双曲线定义，122AF AF a -==-则523c a ==．故答案为：3.16.现有一个底面边长为，高为4的正三棱柱形密闭容器，在容器中有一个半径为1的小球，小球可以在正三棱柱形容器中任意运动，则小球未能达到的空间体积为___________．【答案】10π3-【解析】【分析】计算边长为移动中所形成的空间几何体的体积，再用正三棱柱体积减去总体积即可得小球未能达到的空间体积.【详解】边长为(221r ==，故该小球恰好与该正三棱柱从侧面相切，球在上下移动中所形成的空间几何体为两个半球+圆柱，其体积为：()2314102π1422π1π233V V +=⨯⨯-+⨯⨯⨯=柱半球，所以剩下体积：(2310104ππ433V =⨯-=．故答案为：10π3-.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin()A B C B -=-．（1）求角C 的大小；（2）若ABC 的面积236S c =，求c b 的值．【答案】（1）π3（22【解析】【分析】（1）由sin sin sin()A B C B -=-，化简得到2cos sin sin 0C B B -=，求得1cos 2C =，即可求解；（2）由ABC 的面积26S c =，求得232c ab =，再由余弦定理列出方程，求得2a b =或2a b =，进而求得cb的值.【小问1详解】解：由题意知sin sin sin()A B C B -=-因为πA B C ++=，可得sin sin()A B C =+，所以sin()sin()sin C B C B B +--=，即sin cos cos sin sin cos cos sin sin C B C B C B C B B +-+=，可得2cos sin sin 0C B B -=，又因为(0,π)B ∈，可得sin 0B >，所以1cos 2C =，因为(0,π)C ∈，所以π3C =.【小问2详解】解：因为ABC的面积26S c =，可得2133sin 246S ab C ab c ===，解得232c ab =，由余弦定理得22232c a b ab ab =+-=，即222520a ab b -+=，解得2a b =或2a b =，当2a b =时，可得2322c b b =⨯⋅，所以cb =；当2a b =时，可得23122c b b =⨯⋅，所以2c b =．18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为()2,241N n n n n S a a S n *+=-∈．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ;（2）令()()1148112n n n n n b a a +++=++，求n b 的前9项之和．【答案】（1）2n S n =（2）511910240【解析】【分析】（1）由2241n n n a a S +=-，得到2111241n n n a a S ---+=-，两式相减，整理得到12n n a a --=，得到数列{}n a 是等差数列，结合等差数列的通项公式和求和公式，即可求解；（2）由（1）得到1112(1)2n n n b n n +=-⋅+⋅，结合裂项法去和，即可求解.【小问1详解】解：正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2241n n n a a S +=-，可得2111241,(2)n n n a a S n ---+=-≥，两式相减可得()221124,(2)n n n n n a a a a a n ---+-=≥，所以()()1120,(2)n n n n a a a a n --+--=≥，因为0n a >，所以12,(2)n n a a n --=≥，又因为2111241a a a +=-，解得11a =，所以数列{}n a 是以首项为1，公差为2的等差数列，则数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，可得2(121)2n b n S n +-==.【小问2详解】解：由（1）知21n a n =-，可得()()11111484(2)2(1)1111222(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n b a a n n n n n n ++++++++-====-++⋅+⋅+⋅⋅+⋅，所以12912231111111))122222322(1)2(((n n b b b n n ++++--++=+-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅ 10115119210210240=-=⨯．19.如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，平面ADE ⊥平面,224,ABCD AB AD EF AE DE =====．（1）求该五面体的体积；（2）请判断在棱BF 上是否存在一点G ，使得AG 与平面BCF所成角的正弦值为15若存在，求BG 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）103（2）存在，BG =【解析】【分析】（1）易证//AB EF ，分别取AB 与CD 的中点M ，N ，连接,,MN MF NF ，则五面体面积分割成棱柱ADE MNF -和棱锥F MBCN -，结合柱体体积公式进而得解；（2）取AD 中点为O ，BC 中点Q ，连接OQ ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OQ 为y 轴，OE 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BCF 的法向量，设BG BF λ= ，求出点G ，得到AG，结合向量夹角公式求出λ，进而求出BG 的长.【小问1详解】因为底面ABCD 是矩形，所以//AB CD ，又因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以//AB 平面CDEF ，又因过AB 的平面ABEF平面CDEF EF =，所以//AB EF ，分别取AB 与CD 的中点M ，N ，连接,,MN MF NF ，则平面FMN 将五面体分割成两部分，几何体ADE MNF -和棱锥F MBCN -，故ADE MNF F MBCN V V V --=+五面体，取AD 中点为O ，2AE ED AD === ，90AED ∴∠=︒，O 为AD 中点，EO AD ∴⊥，平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD AD =，EO ⊂平面ADE ，EO ∴⊥平面ABCD ，又因为4AB CD ==，所以2AM DN EF ===，则几何体ADE MNF -为棱柱，取MN 的中点H ，连接OH ，可得//,OH EF OH EF =，则四边形OEFH 为平行四边形，则//EO FH ，由EO ⊥平面ABCD ，可得FH ⊥平面ABCD ，则FH 为棱锥F MBCN -的高，由1122AE ED AD EO ⋅=⋅可得1AE ED FH EO AD⋅===，则11441333F MBCN MBCN V S FH -=⋅=⨯⨯=，又AM AD ⊥，AM ⊂平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD AD =，平面ADE ⊥平面ABCD ，所以AM ⊥平面ADE ，所以AM 为棱柱ADE MNF -的高，122ADE MNF ADE V S AM -=⋅=⨯=△，103F MBCN ADE MNF V V V --=+=五面体；【小问2详解】取BC 中点Q ，连接OQ ，易得//OQ AB ，,OQ AD ⊥结合（1）可知OA OE OQ 、、两两垂直，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OQ 为y 轴，OE 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系；则(1,4,0),(1,4,0),(1,0,0),(0,0,1),(2,0,0)B C A E BC -=-，2EF = ，(0,2,1),(1,2,1)F BF ∴=--，设平面BCF 的法向量(,,)m x y z =，可得0,0,BC m BF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则20,20x x y z -=⎧⎨--+=⎩，得0x =，令1y =得2z =，解得平面BCF 的一个法向量(0,1,2)m =，G 在BF 上，设(1,2,1)(,2,)BG BF λλλλλ==--=--，[]0,1λ∈，(1,42,)G λλλ∴--，则(,42,)AG λλλ=--，设直线AG 与平面BCF 所成角为θ，sin cos ,m AGAG m m AG θ⋅===15==，23850,1λλλ∴-+=∴=或53λ=（舍去），||||BG BF ∴==故存在G点，当BG =G 与F 重合时，AG 与平面BCF所成角的正弦值为15．20.编号为1，2，3，4的四名同学一周内课外阅读的时间（单位：h ）用()(1,2,3,4)i t i =表示，(1)(2)(3)(4)5,6,7,8t t t t ====，将四名同学的课外阅读时间看成总体，则总体的均值为6.5h ．先后随机抽取两个()i t 值，用这两个值的均值来估计总体均值．（1）若采用有放回的方式抽样（两个()i t 值可以相同），则样本均值的可能取值有多少个？写出样本均值的分布列并求其数学期望；（2）若采用无放回的方式抽样，则样本均值超过总体均值的概率会不会大于0.5？（3）若考虑样本均值与总体均值的差的绝对值不超过0.5的概率，那么采用哪种抽样方法概率更大？【答案】（1）16个，分布列见解析，（2）不会（3）采用无放回的抽样方法概率更大【解析】【分析】（1）根据题意，列出基本事件空间，求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得数学期望；（2）根据题意，列出基本事件空间，求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得数学期望；（3）分别求得有放回的抽样时，5(67)8P t ≤≤=，无放回的抽样时，2(67)3P t ≤≤=，结合5283<，即可求解．【小问1详解】解：有放回抽样会有16个等可能的样本t(1)5t =(2)6t =(3)7t =(4)8t =(1)5t =55.56 6.5(2)6t = 5.56 6.57(3)7t =6 6.577.5(4)8t = 6.577.58可得11313(5),( 5.5),(6),( 6.5),(7)16816416P t P t P t P t P t ==========，11(7.5),(8)816P t P t ====，所以样本均值的分布列为：t5 5.56 6.577.58P116183161431618116则均值1131311()5 5.56 6.577.58 6.516816416816E t =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问2详解】解：无放回抽样会有12个等可能的样本，t(1)5t =(2)6t =(3)7t =(4)8t =(1)5t = 5.56 6.5(2)6t = 5.5 6.57(3)7t =6 6.57.5(4)8t =6.577.5可得11111( 5.5),(6),( 6.5),(7),(7.5)66366P t P t P t P t P t ==========所以样本均值的分布列为：t5.566.577.5P1616131616所以样本均值超过总体均值的概率为1110.5663+=<，所以样本均值超过总体均值的概率不会大于0.5．【小问3详解】解：样本均值与总体均值的误差不超过0.5的概率(67)P t ≤≤，有放回的抽样，5(67)8P t ≤≤=；无放回的抽样，2(67)3P t ≤≤=，因为5283<，故采用无放回的抽样方法概率更大．21.已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点1F 发出的光线，经过两次反射之后回到点1F ，光线经过的路程为8，椭圆C 的离心率为12．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若椭圆C 的右顶点为A ，上顶点为B ，动直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，且始终满足OP OQ ⊥，作OM PQ ⊥交PQ 于点M ，求MA MB ⋅的最大值．【答案】（1）22143x y +=（2）12237+【解析】【分析】（1）根据题意，得到48a =，再由离心率为12，求得1c =，进而求得椭圆的标准方程；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为x my t =+，联立方程组得到1212,y y y y +，结合OP OQ ⋅= ，求得点M 的轨迹方程为22127x y +=，法1、设(,)M m n ，得到2237(1)24MA MB m n ⎛⎫⋅=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，结合圆的性质，即可求解；法2、设()00cos ,sin ,[0,2π)M r r θθθ∈，得到1237)77MA MB θϕ⋅=-+ ，结合三角函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由椭圆的性质可知，左焦点1F 发出的光线，经过两次反射之后回到点1F ，可得光线经过的路程为48a =，解得2a =，又由椭圆的离心率为12，可得12c e a ==，所以1c =，故222413b a c =-=-=，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．【小问2详解】解：椭圆22:143x y C +=，可得2,1a b c ===，则(2,0)A，B ，设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为x my t =+，联立方程组22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2223463120m y mty t +++-=，则()()()222264343120y mt m t +-+->且21212226312,3434mt t y y y y m m --+==++，因为OP OQ ⊥，可得0OP OQ ⋅=，所以()()()()221212121212121x x y y my t my t y y my ymt y y t +=+++=++++()222223126103434t mt m mt t m m --⎛⎫=+⋅++= ⎪++⎝⎭，化简为()227121t m =+，而O 到直线PQ的距离为||7OM ==，即有M 的轨迹方程为22127x y +=；法1、设(,)M m n，则22(2,)()2MA MB m n m n m m n ⋅=--⋅--=-+227(1)24m n ⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭，表示点(,)m n与点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的距离的平方，减去74的差；由点(0,0)与⎛⎝⎭的即离为72，可得M与点⎛ ⎝⎭的距离的最大值为722127+，则MA MB ⋅的最大值为27122747⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭.法2、令0r =，设()00cos ,sin ,[0,2π)M r r θθθ∈，所以()()000000122cos ,sin cos sin 2cos sin 7MA MB r r r r r θθθθθθ⋅=--⋅--=-1212)77θϕ=-+≤+tan 3ϕ=），当且仅当ππ1,tan tan 22tan 2θϕθϕϕ⎛⎫+=-=--== ⎪⎝⎭时，取“等号”．【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.22.已知函数()f x 与()g x 的图象关于直线y x =对称，若()=e x f x ，构造函数()()()p x xf x ag x =+．（1）当1a =时，求函数()p x 在点(1,(1))p 处的切线与坐标轴围成三角形的面积；（2）若()(1)()()r x x f x g x '=+-（其中()g x '为()g x 的导函数），当1a =-时，(1)()()t r t p t +=，证明：5593et <<．（参考数据：ln 3 1.099,ln 5 1.609≈≈）【答案】（1）2(e 1)4e 2++（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题可得()p x 表达式，后由导数知识可得函数()p x 在点(1,(1))p 处的切线方程，即可得相关三角形面积；（2）由（1），当1a =-，(1)()()t r t p t +=()()2ln 1e1(ln )0t t t t t t t +⇔++-++=，由e 1x x ≥+结合分析可得ln 0t t +=，后由零点存在性定理可证明结论.【小问1详解】由题，()ln g x x =，则()()()e ln x p x xf x ag x x a x =+=+，当1a =时，()e ln ,(1)e x p x x x p =+=，则1()e e (1)2e 1x x p x x p x''=++=+，()1e p =.则切线方程为e (2e 1)(1)y x -=+-，又切线与坐标轴的交点为e 1,0,(0,e 1)2e 1A B +⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，则21e 1(e 1)e 122e 14e 2AOB S ++=⋅--=++ ；【小问2详解】当1a =-时，()e ln x p x x x =-，由题意(1)()()t r t p t +=，即1(1)(1)e e ln t tt t t t t ⎡⎤++-=-⎢⎥⎣⎦21(1)e e ln t t t t t t t+⇔+-=-22(1)e (1)e ln t t t t t t t t⇔+-+=-2ln ln (1)e e (1)ln t t t t t t t t t++⇔+-=+-()ln 222e 11ln t t t t t t t t t+⇔++=++--()()()2ln 1e 1(ln )0t t t t t t t +⇔++-++=*构造函数()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-，()()0000h x x h x x ''>⇒><⇒<，，得()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，即()()min 00R e 1xh x h x x ==⇒∀∈≥+，，当且仅当0x =时取等号.则()*式()201(ln 11)(ln )t t t t t t t =≥++++-++()2(ln )1t t t t t =++++2(ln )(1)t t t =++因2(01)t +≥，则ln 0t t +≤，①因0t >，则()ln 0t t t +≤，又结合（*）式，可得()()2ln 01e 1t t t t +≤++-，因22131024t t t ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭则ln e 10ln 0t t t t +-≥⇒+≥，②由①②知ln 0t t +=，构造函数1()ln (0)()10t t t t t t ϕϕ'=+>=+>，，，则()t ϕ在(0,)+∞单调递增，注意到5555ln 52ln 30ln 5ln 310993e 3eϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，由零点存在性定理可知：5593e t <<．【点睛】关键点睛：对于e x 与ln x 同时出现的问题，我们常用指对互化的方法使相关式子产生相同结构，从而简化问题.。

安徽省池州市高考数学四模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）全称命题“”的否定是（）A .B .C .D .2. （2分）给出4个命题：①若x2-3x+2=0，则x=1或x=2；②若，则；③若x=y=0，则x2+y2=0；④若， x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么：（）A . ①的逆命题为真B . ②的否命题为真C . ③的逆否命题为假D . ④的逆命题为假3. （2分）已知数列{an}是公比q的等比数列，给出下列六个数列：（1）{kan}(k) (2){a2n-1}(3){an+1-an} (4){anan+1} (5){nan} (6){an3},其中仍能构成等比数列的个数为（）A . 4B . 5C . 6D . 34. （2分） (2018高一下·濮阳期末) 已知，则函数有零点的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·武邑模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . 36+12πB . 36+16πC . 40+12πD . 40+16π6. （2分）(2017·武邑模拟) 设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A .B .C .D .7. （2分）执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A . 2016B . 1024C .D . ﹣18. （2分）(2017·武邑模拟) 已知P（x0 ， y0）是椭圆C：上的一点，F1 ， F2是C的两个焦点，若，则x0的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·武邑模拟) 在平行四边形ABCD中，，则 |=（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·大庆模拟) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B . 27C .D .11. （2分）(2017·武邑模拟) 已知点F2 ， P分别为双曲线的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若2 |，且，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）= ，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A . （﹣∞，e2+ ]B . （0，e2+ ]C . （e2+ ，+∞]D . （﹣e2﹣，e2+ ]二、填空题 (共4题；共6分)13. （2分）已知z∈C，且|z+3﹣4i|=1，则|z|的最大值为________，最小值为________．14. （1分） (2019高一上·南昌月考) 已知函数，，则的值域为________.15. （2分）(2012·湖南理) 函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．（1）若φ= ，点P的坐标为（0，），则ω=________；（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．16. （1分）(2017·武邑模拟) 直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=16相交于两点M、N，若c2=a2+b2 ， P为圆O上任意一点，则的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2016高一下·内江期末) 已知数列{an}与{bn}，若a1=3且对任意正整数n满足an+1﹣an=2，数列{bn}的前n项和Sn=n2+an ．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{ }的前n项和Tn ．18. （5分）设a1 ， a2 ，…，an为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，fk是集合{ai|ai＜ak ， i ＞k}元素的个数，而gk是集合{ai|ai＞ak ， i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），规定fn=g1=0，例如：对于排列3，1，2，f1=2，f2=0，f3=0（I）对于排列4，2，5，1，3，求（II）对于项数为2n﹣1 的一个排列，若要求2n﹣1为该排列的中间项，试求的最大值，并写出相应得一个排列（Ⅲ）证明=19. （5分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC= BC=1，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD．（Ⅰ）证明：ED∥面PAB；（Ⅱ）若PC=2，PA= ，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20. （5分）(2017·武邑模拟) 已知圆F1：（x+1）2+y2=16，定点F2（1，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点．（Ⅰ）求P点的轨迹C的方程；（Ⅱ）四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上，且对角线EG，FH过原点O，若kEG•kFH=﹣，求证：四边形EFGH的面积为定值，并求出此定值．21. （10分）(2017·武邑模拟) 已知函数f（x）=x﹣ax（a＞0，且a≠1）．（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．22. （10分）(2017·武邑模拟) 将圆为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C．（1）求出C的普通方程；（2）设直线l：x+2y﹣2=0与C的交点为P1 ， P2 ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．23. （10分）(2017·武邑模拟) 已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；（2）设m，n∈{y|y=f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、18-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2023届安徽省池州市贵池区池州市高三4月月考数学试题一、单选题1．若集合{2},{|12}M x x N x x =<=-≤∣，则M N ⋂=（）A ．{14}xx -≤<∣B ．{}13x x -≤≤∣C ．{}03xx ≤≤∣D ．{04}xx ≤<∣【答案】C【分析】先分别求出集合,M N ，再根据交集的定义即可得解.【详解】因为{}{2}{04},{|12}13M x x x x N x x x x =<=≤<=-≤=-≤≤∣∣∣，所以{}03M N xx ⋂=≤≤∣.故选：C.2．若复数z 满足()2i 1i z +=+，则z 的共轭复数．．．．在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据复数的除法运算法则，结合共轭复数的定义、复数在复平面对应点的特征进行判断即可.【详解】由()()()()()1i 2i 1i 2i 2i 13i2i 1i 2i 2i 2i 55z z +⋅-+-++++=+⇒====++-，所以3i55z =-，z 在复平面内对应的点为31(,)55-，它在第四象限，故选：D3．在平行四边形ABCD 中，12BE EC = ，2DF FC = ，设AE a = ，AF b =，则AC = （）A ．6377a b +B ．3677a b+ C ．3143a b + D ．1334a b+ 【答案】B【分析】结合平行四边形的性质及平面向量的基本定理即可求解.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AC AB AD =+ ，BC AD = ，D C AB =，因为12BE EC = ，2DF FC = ，所以13BE BC = ，23DF DC=所以1133B AE AB BE AC AD B AB =+==++ ，2233D AF AD DF A C AB D AD =+==++ ,因为AE a = ，AF b = ，所以1323AB AD a AD AB b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，解得93779677AB a b AD b a⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ，所以939636777777A b C AB A b D a b a a =-=++-=+ ，故选：B.4．已知点()1,1M -和抛物线21:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点.若AM BM ⊥，则k =（）A ．1617B ．1617-C ．12D ．12-【答案】C【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程1y kx =+，然后由直线方程与抛物线方程联立，消去y ，利用根与系数关系，表示出1212,x x x x +，从而可表示出1212,y y y y +，进而由0AM BM ⋅=求出k的值.【详解】抛物线标准形式24x y =，焦点坐标()0,1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程1y kx =+，代入抛物线方程得2440x kx --=，所以216160k ∆=+>，124x x k +=，124x x =-，()21212242y y k x x k +=++=+，2212121116y y x x ==，所以()()()()()()112212121,11,11111AM BM x y x y x x y y ⋅=---⋅---=--+----()()1212121220x x y y x x y y =++-+++=，得2144102k k k -+=⇒=.5．已知正三棱锥-P ABC 的六条棱长均为3,S 是ABC 及其内部的点构成的集合.设集合52T Q S PQ ⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭∣，则T 表示的区域的面积为（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【答案】A【分析】根据三棱锥几何特征求出轨迹圆的面积即可.【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且233332BO =⨯⨯=，故223(3)6PO =-=.因为52PQ =，故12OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，12为半径的圆，而三角形ABC 内切圆的圆心为O ，半径为3293143322⨯⨯=>⨯故S 的轨迹圆在三角形ABC 内部，故其面积为4π.故选：A.6．国古代典籍《周易》又称《易经》，分为经部和传部，其中经部之原名就为《周易》，是用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻（yao ）组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（）A ．516B ．1132C ．1532D ．1564【分析】每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻与阴爻，则共有26种情况；一重卦恰有2个阳爻，则有26C 种情况，进而可求得概率.【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有2个阳爻情况有26C ，所以该重卦恰有2个阳爻的概率为6264C 1526=.故选：D.7．0.110171sin0.1,e , 1.01,,,,,16a b c d a b c d =+===间的大小关系为（）A ．c b a d >>>B ．b c a d >>>C ．b c d a >>>D ．c b d a>>>【答案】B【分析】构造函数()e 1xf x x =--，利用导数与函数单调性的关系证得b c >；利用二项式定理证得10.1c >+，再构造函数()sin g x x x =-证得0.1sin 0.1>，从而得到c a >；构造函数()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，证得1sin 0.116>，从而得到a d >；由此得解.【详解】令()e 1(0)x f x x x =-->，则()0e 1e 10xf x '=->-=，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故()()00e 010f x f >=--=，即e 10x x -->，所以e 1x x >+，则0.01e 0.011 1.01>+=，即0.110e (1.01)>，故b c >；因为10101.01(10.01)c ==+，所以其展开通项公式为1011010C 1(0.01)(0.01)C kkk k kk T -+=⨯=，故()001100.01C 1T =⨯=，()112100.01C 0.1T =⨯=，10k T +>，所以10101.01(10.01)10.1c ==+>+，令()sin (0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x ='-≥，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()00g x g >=，即sin x x >，所以0.1sin0.1>，故10.11sin0.1c >+>+，即c a >；令()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则()5cos 8h x x =-'，因为π06x <<，所以3cos 12x <<，则35cos 28x >>，故()0h x '>，所以()h x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()00h x h >=，即5sin 8x x >，易知π0.10,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以51sin0.10.1816>⨯=，则1171sin0.111616+>+=，即a d >；综上可得b c a d >>>.故选：B8．已知函数()(),f x g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，()()100g x f x -'+=，()()1004g f x x '---=，若()g x 为偶函数，则以下四个命题：①()410f =；()()1320f f += ；③()()13f f -=-；④()()()1223220f f f +++= 中一定成立的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由()g x 是偶函数，得()g x '是奇函数，再由已知等式得(4)()g x g x ''-=-，两者结合得()g x '是周期函数，周期为4，同时得出()f x 是周期函数，周期是4，然后由周期性，奇函数的定义求得(1)(3)g g ''+，()0g '，(1)g '-与(3)g '-的关系，从而得出关于()f x 的相应结论，即可判断各命题．【详解】()()()()100,4100f x g x f x g x +-=---''= ，()()4g x g x -=-''∴又()g x 是偶函数，()()g x g x -=，两边求导得()()g x g x '--='，()'∴g x 是奇函数，()()g x g x ∴=''--，()00g '=，()()4g x g x -=''∴-，即()()4g x g x +'='，()'∴g x 是周期函数，4是它的一个周期，()()400g g ''==，()()10f x g x -'= ，()f x \是周期函数，4是它的一个周期，()()010010f g '=-=，()()4010f f ==，则①正确；()()()()()()13101103201320f f g g g g '+=-+-=+--'=''，则②正确；()g x '是周期为4的周期函数，又是奇函数，()()()()()222,220g g g g g ''''=='--=-=，()()()()()210210,122354030230f g f f f =-=∴=⨯+'++= ，则④不正确；()()()()()()11,31,31g g g g g g -=--==''''-'-'∴- ，()()()()3103,1101f g f g -=--=-''--，因此()()3120f f -+-=，不能得出③()()31f f -=-，则一定正确的有①②，共2个.故选：B.【点睛】结论点睛：（1）()f x 的图象既关于直线x a =对称，又关于点(,0)b 对称，则()f x 是周期函数，4a b -是它的一个周期；（2）()f x 的图象既关于直线x a =对称，又关于直线x b =对称，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；（3）()f x 的图象既关于点(,0)a 对称，又关于点(,0)b 对称，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期．二、多选题9．某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，则下列结论中正确的是（）A ．σ越小，该物理量一次测量结果落在()9.9,10.1的概率越大B ．该物理量一次测量结果落在()9.9,10.2内的概率与落在()10,10.3内的概率相等C ．该物理量一次测量结果小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量一次测量结果大于10的概率是0.5【答案】ACD【分析】通过分析正态分布的性质以及意义，即可得出结论.【详解】由题意，对于2A,σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，∴测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，∵该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，∴一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故B 错误.对于C ，∵正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故D 正确；故选：ACD.10．已知函数()πsin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A ．()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点B ．ω的取值范围是913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()f x 的最小正周期可能是9π10D ．()f x 在区间π0,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD【分析】根据题意，利用整体代换法由[]0,πx ∈，得πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，结合题意可得π5π7ππ,422ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，进而求得ω的范围来判定B 项；分类讨论ππ4ω+的范围可判定A 项；同时由ω的范围可判定周期的范围，判定C 项；利用整体代换法由πππππ0,,1544154x x ωω⎛⎫⎛⎫∈⇒+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合ω的范围可得ππ2π7ππ,0,1545152ω⎡⎫⎛⎫+∈⊆⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，从而判定D 项.【详解】由[]0,πx ∈，得πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，所以5ππ7ππ242ω≤+<，解得91344ω≤<，故B 正确；对于A ，[]ππππ5π7π0,π,,π,π,444422x x ωωω⎡⎤⎛⎫∈∴+∈+∴+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ，当π5π,3π42x ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在区间()0,π上有且仅有2个不同的零点；当π7π3π,42x ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭时，()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点，故A 错误；对于C ，周期2πT ω=，由91344ω≤<，则4148π8π,139139T ω<≤∴<≤，又9π8π109>，所以()f x 的最小正周期不可能是9π10，故C 错误；对于D ，πππππ0,,,1544154x x ωω⎛⎫⎛⎫∈∴+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，又91344ω≤<，ππ2π7ππ,0,1545152ω⎡⎫⎛⎫∴+∈⊆⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，所以()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上一定单调递增，故D 正确.故选：BD.11．设正整数0110113333k kk k n a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯ ，其中{}0,1,2,0,1,,i a i k ∈= ，记()01k n a a a ω=+++ ，则（）A ．()()3n n ωω=B ．()()322n n ωω+=+C ．()()9431n n ωω+=+D ．()312nnω-=【答案】ABD【分析】根据()n ω的定义，对选项中的结果逐个验证.【详解】1110333k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+ ，()112110110333333333k k k k k k k k n a a a a a a a a -+--∴=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅++⋅+⋅ ，()()013k n a a a n ∴=+++= ωω，故A 对.()11103233332k k k k n a a a a --+=⋅+⋅++⋅++ 1211033332k k k k a a a a +-=⋅+⋅++⋅+⋅+ ，()()1103222k k n a a a a n ωω-∴+=+++++=+ ，故B 对.()11109493334k k k k n a a a a --+=⋅+⋅++⋅++ 2132110333331k k k k a a a a ++-=⋅+⋅++⋅+⋅++ ，()()11094112k k n a a a a n ωω-+=++++++=+ ，同理()()311n n ωω+=+，故C 错.()011312333n n --=+++ ，()312222n n ∴-=++= ω，故D 对.故选：ABD.12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，动点P 满足1AP aAC bAA =+，且(),0,1a b ∈．则下列说法正确的是（）A ．当12a =时，三棱锥1A PBB -的体积为13B ．当1a b +=时，1PB PB +的最小值为6C ．若直线BP 与BD 所成角为π4，则动点P 的轨迹长为2π2D ．当21a b +=时，三棱锥-P ABC 外接球半径的取值范围是26,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】BCD 【分析】当12a =时，由平面向量线性运算法则可知点P 在线段1OO 上，利用等体积法求出体积可判断A ；当1a b +=时，由共线定理可得点P 在线段1CA 上，根据对称性将1PB PB +的最值转化成平面几何问题，即可求得最小值；若直线BP 与BD 所成角为π4，可知点P 的轨迹是以O 为圆心，半径为22r =的半圆弧，即可计算出其轨迹长度；当21a b +=时，取1AA 的中点为E ，由共线定理可知,,P C E 三点共线，利用几何法即可找出球心位置，进而写出半径的表达式，利用二次函数的性质求出半径的取值范围.【详解】对于A ，取,AC BD 相交于点11,O AC 的中点为1O ，如下图所示：当12a =时，即()111,0,12AP AC bAA AO bOO b =+=+∈ ，由平面向量线性运算法则可知，点P 在线段1OO 上，又11BB A S = ,11111111132326A PBB P ABB ABB V V S BC --∴==⋅=⨯⨯= ；即A 不正确；对于B ，当1a b +=时，由1AP aAC bAA =+，利用共线定理可得，1,,P C A 三点共线，即点P 在线段1CA 上；由对称性可知，线段1CA 上的点到11,D B 两点之间的距离相等，所以11PB PB PB PD +=+；取平面11A BCD 进行平面距离分析，如下图所示：所以222112116PB PD BD +≥=++=，当且仅当1,,P B D 三点共线时，等号成立，此时点P 为线段1CA 的中点，即1PB PB +的最小值为6，故B 正确；对于C ，由图可知，,BA BC 与BD 所成角都为π4，由1AP aAC bAA =+ 可知，点P 在平面11A ACC 内，若直线BP 与BD 所成角为π4，在线段1OO 上取点1P ，使1OP OB =，则直线1BP 与BD 所成角为π4；则点P 的轨迹是以O 为圆心，半径为22r =，且在平面11A ACC 内的半圆弧1APC ，如下图所示：所以动点P 的轨迹长为2ππ2r =，故C 正确；对于D ，当21a b +=时，取1AA 的中点为E ，即12AA AE =；由12AP a AC b AA a AC b AE =+=+可知，,,P C E 三点共线，即点P 在线段CE 上，如下图所示：易知三棱锥-P ABC 外接球球心在直线1OO 上，设球心为22,O OO h =；作PQ AC ⊥于点Q ，设()0,1PQ x =∈，易知1,2AE AC ==，因为PQ AE ∥，则PQ CQAE AC=，得2CQ x =，则222OQ x =-，设外接球半径为R ，则22222222()22R h x x h ⎛⎫=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，解得322x h -=；所以2223219126224x x x R --+⎛⎫=+=⎪⎝⎭，由二次函数的性质可知，当23x =时，半径最小为22R =；当0x =时，半径最大为62R =；又()0,1x ∈，所以半径的取值范围是26,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，即D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题关键在于根据向量线性运算法则和共线定理的应用，确定点P 的位置，再根据几何体特征利用对称性即可求得距离之和的最小值，利用几何法即可找出球心位置，进而写出半径的表达式，利用二次函数的性质求出半径的取值范围.三、填空题13．若锐角α、β满足()1sin 3αβ-=，π2cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________．【答案】4259+【分析】利用同角三角函数的平方关系求出()cos αβ-、πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的余弦公式可求得πcos 6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】因为π02α<<，π02β<<，则ππ22αβ-<-<，ππ2π663α<+<，由()sin 0αβ->、πcos 06α⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则π02αβ<-<，πππ662α<+<，所以，()()222cos 1sin 3αβαβ-=--=，2ππ5sin 1cos 663αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()()ππππcos cos cos cos sin sin6666βααβααβααβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2225154233339+=⨯+⨯=.故答案为：5429+.14．若函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()12,12f x y f x y f x f y f ++-==，则()()()122023f f f +++=L __________.【答案】12/0.5【分析】根据题意，由赋值法即可得到函数的最小正周期为6，即可得到结果.【详解】因为()()()2()f x y f x y f x f y ++-=，令0,0x y ==，则()()()()00200f f f f +=，即()()20010f f -=⎡⎤⎣⎦，所以()01f =或()00f =，当()00f =时，令0y =，则()()()2200f x f x f ==，即()0f x =，与()112f =矛盾，所以()01f =，令1x y ==，可得()()()()20211f f f f +=，则()122f =-，令2,1x y ==，可得()()()()31212f f f f =+，则()31f =-，令2,2x y ==，可得()()()()40222f f f f +=，则()142f =-，令3,2x y ==，可得()()()()51232f f f f +=，则()152f =，令3x y ==，可得()()()()60233f f f f +=，则()61f =，令4,3x y ==，可得()()()()71243f f f f +=，则()172f =，令4x y ==，可得()()()()80244f f f f +=，则()182f =-，⋯⋯所以()f x 是最小正周期为6的函数，且()()()()()()1234560f f f f f f +++++=，所以()()()()()()()()()()112202333612345612f f f f f f f f f f +++=++++++=⎡⎤⎣⎦L 故答案为：1215．已知22:2210M x y x y +--+= ，直线:220,l x y P ++=为l 上的动点，过点P 作M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为__________.【答案】220x y +-=【分析】由题意分析可得22||1PM AB PM ⋅=-，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，此时求出以MP 为直径的圆的方程，两圆方程联立即可求得直线AB 的方程.【详解】圆的方程可化为22(1)(1)1x y -+-=，则圆心()1,1M ，半径1r =，可得点M 到直线l 的距离为22112125112d ⨯+⨯+==>+，所以直线l 与圆相离，依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB PM ⊥，所以214422||12PAM PM AB S PA AM PA PM ⋅==⨯⨯==-V ，原题意等价于PM 取到最小值，当直线MP l ⊥时，min 5MP d ==，此时PM AB ⋅最小.MP ∴的直线方程为：()21121y x x =-+=-，与l 联立21220y x x y =-⎧⎨++=⎩，解得：01x y =⎧⎨=-⎩，即()0,1P -，则MP 的中点为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，所以以MP 为直径的圆的方程为2221522x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2210x y x +--=，两圆的方程相减可得：220x y +-=，即直线AB 的方程为220x y +-=.故答案为：220x y +-=.16．已知实数,x y 满足13y yx x -=，则36x y --的取值范围是__________.【答案】)66,6⎡-⎣【分析】讨论范围得到图象，根据图象考虑直线与椭圆相切和直线与渐近线重合两种情况，分别计算得到范围.【详解】因为实数,x y 满足13y yx x -=，所以当0,0x y ≥≥时，2213yx -=，其图象是位于第一象限，焦点在x 轴上的双曲线的一部分（含点()1,0)，当0,0x y ><时，2213y x +=其图象是位于第四象限，焦点在y 轴上的椭圆的一部分，当0,0x y <>时，2213y x --=其图象不存在，当0,0x y <<时，2213y x -=，其图象是位于第三象限，焦点在y 轴上的双曲线的一部分，作出椭圆和双曲线的图象，其中13y yx x -=图象如下：任意一点(),x y 到直线360x y --=的距离362x y d --=所以362x y d --=，结合图象知36x y --的范围就是图象上一点到直线360x y --=距离范围的2倍，双曲线22221,133y y x x -=-=其中一条渐近线30x y -=与直线360x y --=平行，通过图形可得当曲线上一点位于P 时，2d 取得最小值，无最大值，2d 小于两平行线30x y -=与360x y --=之间的距离3的2倍，设30(0)x y c c -+=<与2213y x +=其图像在第三象限相切于点P ，联立223013x y c y x ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，得2262330x cx c ++-=，因为()22Δ(23)46306c x c c =-⨯⨯-=⇒=-或6c =（舍去），所以直线360x y --=与直线360x y --=的距离为662-+，此时36266x y d --==-，所以36x y --的取值范围是)66,6⎡-⎣.故答案为：)66,6⎡-⎣.【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的综合应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出图像，根据图像解决最值问题是解题的关键.四、解答题17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*423n n n S a a n =+-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)将数列{}n a 和数列{}2n中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{}n b ，求{}n b 的前100项和.【答案】(1)*21,n a n n =+∈N(2)9089【分析】（1）根据题意，由n a 与n S 的关系，即可得到数列{}n a 是等差数列。

安徽省池州市2017届高三4月联考数学（理科）试卷解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解析】集合,集合,所以或,真子集有,共3个,选B.2．【解析】设,由有,解得,所以,选C.3．4．【解析】因为,,所以大小关系为.5．6．【解析】当此时否,否,是,输出,选B.7．8．9．【解析】当时,画出可行域如下图三角形ABC边界及内部,目标函数,写成直线的斜截式有,当有最大值时,这条直线的纵截距最小,,所以目标函数在A点取得最大值.联立,求得,符合;当时,画出可行域,红色区域,由于可行域是一个向轴负方向敞开的图形,所以不能取到最大值,不合题意,综上所述, ,选A.10．点睛:本题考查了利用外接球的半径求正三棱锥的高,属于中档题. 本题思路: 由已知条件分别求出的表达式,解出之间的关系,再利用外接球的球心到各顶点距离相等,求出的值,再求出正三棱锥的高.11．【解析】抛物线的焦点为,由弦长计算公式有,所以抛物线的标线方程为,准线方程为 ,故双曲线的一个焦点坐标为,即 ,所以,渐近线方程为,直线 方程为,所以点,点P 到双曲线的一条渐近线的距离为 ,选D.点睛: 本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质, 属于中档题. 先由直线过抛物线的焦点,求出弦长,由弦长求出的值,根据双曲线中的关系求出 ,渐近线方程等,由点到直线距离公式求出点P 到双曲线的一条渐近线的距离.12．点睛: 本题主要考查了充分必要条件, 涉及导数的定义与曲线上割线的斜率,属于中档题. 注意当判断命题为假时,可以举出反例.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解析】,显然,所以.14．【解析】因为,且,所以,且,所以.15．【解析】由题意画出事件“”所表示的图象,如图阴影部分,阴影部分的面积为,由几何概型概率公式有事件“”的概率为.16．【解析】设,则在中,由余弦定理有,所以四边形面积,所以当时, 四边形面积有最大值.点睛: 本题主要考查解三角形, 属于中档题. 本题思路: 在中中,已知长,想到用余弦定理求出另一边的表达式,把四边形面积写成这两个三角形面积之和,用辅助角公式化为,当时, 四边形面积有最大值.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【解析】试题分析: (1)设等差数列的公差为,由展开求出公差,再写出数列的通项公式; (2)将化简,分为奇偶,利用裂项相消求出数列的前项和.试题解析:（Ⅰ）设等差数列的公差为，由题意得，即，解得或（舍），所以.（Ⅱ）由，可得，当为偶数时，.当为奇数时，为偶数，于是.18．【解析】试题分析: (1)利用所有矩形的面积和为1,求出;(2)由频率分布直方图求出晋级成功的人数,填表,计算的值,与临界值表中比较,得出结论; (3)求出晋级失败的概率,4人中晋级失败的人数为,则服从二项分布, 再求出分布列和数学期望.试题解析：(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故.由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，故晋级成功的人数为（人），根据上表数据代入公式可得，的把握认为“晋级成功”与性别有关．故的分布列为或（. 19．【解析】试题分析: (1)由面面垂直的判定定理得出证明; (2)以E为原点,建立空间直角坐标系标,设,由,求出,求出平面的一个法向量,由已知条件找出平面的一个法向量,利用公式求出二面角的余弦值.（Ⅱ）以为原点，以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过点作平面的垂线，垂足为，根据对称性，显然点在轴上，设.由题设条件可得下列坐标：，，，，，.，，由于，所以，解得，则点坐标为. 由于，，设平面的法向量，由及得令，由此可得.由于，，则为平面的一个法向量，则，因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为.20．【解析】试题分析: (1)设，直接法求出点的轨迹方程，由轨迹方程判断出轨迹; (2)由已知条件求出曲线E的方程,利用向量坐标运算求出,设直线的斜率为,联立直线的方程和曲线E的方程,利用韦达定理求出,再求出的范围.试题解析:（Ⅰ）过点作，为垂足，设点的坐标为，则，又，所以，故点的轨迹方程为.可化为，显然点的轨迹为焦点在轴上的椭圆.（Ⅱ）时，得到的曲线的方程是，故曲线的方程是.设,，则，由，得，即.当与轴不垂直时，直线的方程为，即，代入曲线的方程并注意到，整理可得，则，即，于是.当与轴垂直时，A点的横坐标为，，显然也成立.同理可得.设直线的方程为，联立，消去y整理得，由及，解得.又，则.故求的取值范围是.点睛:本题考查了轨迹方程的求法以及直线与椭圆相交时相关问题,属于中档题.在(1)中,求轨迹与求轨迹方程不一样,把轨迹方程求出来后,再判断是什么类型的曲线;在(2)中,注意向量坐标运算求出的表达式,再联立直线的方程和椭圆方程求出,进而求出的范围.21．（Ⅱ）由得，而，所以，设函数，于是问题转化为，对任意的恒成立.注意到，所以若，则单调递增，从而.而，所以等价于，分离参数得，由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，于是.当时，设，因为，又抛物线开口向上，所以函数有两个零点，设两个零点为，则，于是当时，，故，所以单调递减，故，这与题设矛盾，不合题意.综上，的取值范围是.点睛:本题主要考查了导数的几何意义及恒成立问题转化为求函数的最小值,属于中档题.在(1)中,导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率,所以本题求切线方程是容易题;在(2)中,注意等价转化,转化为求函数在上为增函数,分离出参数,求的最大值.得到的范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【解析】试题分析: (1)由,将极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)求出直线上的点与圆心之间的距离, 由勾股定理求出切线长,再求出最小值.（Ⅰ）∵，∴，∴圆的直角坐标方程为，即∴圆心的直角坐标为.（Ⅱ）直线上的点向圆引切线，则切线长为，∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为.23．【解析】试题分析：（1）由题意得，，解得，再由已知不等式的解集为，可得到的值；（2）在（1）的条件下，，即，即，求得的最小值为，可得的范围.考点：1.绝对值不等式的解法；2.函数最值的应用.。

安徽省池州市2017届高三数学4月联考试题理（扫描版）理科数学1.B 【解析】因为{}316,xA x x =<∈N {}0,1,2=，{}2540B x x x =-+<={}14x x <<，故{}14B x x x =≤≥R或ð，故(){}0,1A B =R I ð，故()R A B I ð的真子集个数为3，故选B.2.C 【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈，则z a b i =-，又()2z z z i ⋅=+，()()22221a b ab i ∴+=+-+，1,1,a b ∴==故1z i =+.故选C.3.B 【解析】61(2)x x+，展开式中的第1r +项为6261661()(2)2r r r r r r r T C x C x x--+=⋅⋅=⋅⋅， 令260r -=可得3r =，故展开式中的常数项为160．4.D 【解析】100110()()122<<=，即01a <<，同理1b >，而0c <，因此b a c >>．5. C 【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为334446105S =⨯+⨯⨯⨯=+ C.6. B 【解析】开始a =675, b =125;第一次循环：c =50, a =125, b =75;第二次循环：c =50,a =75,b =50;第三次循环：c=25, a =50, b =25; 第四次循环：c =0, a =25, b =0.退出循环，输出a =25.7. D 【解析】 ()2sin 22cos(2)6f x x x x π=-=+图象向左平移(0)t t >个单位得到()2cos(22)6f x x t π=++为奇函数，所以2t 最小值3π,6t π=.选D.8.C 【解析】由分层抽样方法知抽样比例为25:1，故从高一、高三抽取40,24，故a=40,b=24,∴直线80ax by ++=为402480x y ++=，化简为5310x y ++=，圆心(1,1)A -到直线l 的距离为d ，所求的半径为R =，所求的圆的方程为2218(1)(1)17x y -++=.9.A 【解析】不等式组20230x y x y --⎧⎨-+⎩≤≥表示的平面区域如图中直线230x y -+=与直线20x y --=所夹的点A 的左边部分，由于目标函数23z x y =-的最大值是2，作出直线232x y -=见图中虚线，可知点C 是直线20x y --=与232x y -=的交点，从而知点C 是不等式组204230x y ax y x y --⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域的最下方的一个点，直线4ax y +=过定点(0,4)B 又过点(4,2)C ，所以得12a =.10.A 【解析】易知正三棱锥A BCD -中对棱互相垂直，则有AC BD ⊥，因为5A P C QP B Q B==，所以//PQ AC ，而D P P Q ⊥，所以DP AC ⊥，所以AC ⊥平面ABD ，又因为该三棱锥是正三棱锥，所以正三棱锥A BCD -的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥A BCD -补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接球直径，故2R =. 11．D 【解析】由题意得直线l 的方程是2y x a =-，由228y x a y ax=-⎧⎪⎨=⎪⎩得221240x ax a -+=，又由直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，得812162aa +=，得1a =，从而知抛物线1C 的准线方程是 2x =-，由题意可以得双曲线的一个焦点是(2,0)-，即有2c =，222413b c a =-=-=，∴双曲线2C的渐近线方程是y =.又知点(0,2)P -，从而有1d ==，故选D. 12.B 【解析】因为12,x x R ∀∈，且12x x ≠，所以不妨设12x x <，则由1212()()||2017f x f x x x -<-可得1221|()()|20172017f x f x x x -<-，于是12211212()()20172017()()20172017f x f x x x f x f x x x -<-⎧⎨->-⎩，即11221122()2017()2017()2017()2017f x x f x x f x x f x x +<+⎧⎨->-⎩.构造函数()()2017g x f x x =+，则由单调性的定义可知()g x 在R 上单调递增，所以()()2017g x f x ''=+≥在R 上恒成立，即()2017f x '≥-在R 上恒成立，同理可证()2017f x '≤在R 上恒成立，所以P 等价于“x R ∀∈|()|2017f x '≤”，显然Q 是P 的真子集，所以P 推不出Q ，而Q 可以推出P ，所以P 是Q 的必要不充分条件.由cos ,||||⋅<>=a b a b a b ，得1c o s 32π=，从而解得mm =.【解析】因为1cos()cos[()]sin()62333ππππααα+=--=-=，且α为锐角，所以sin()63πα+==. 15.16【解析】在区间[]0,1上随机地取两个数x 、y 构成的区域的面积为1，事件“5y x ≤”发生构成的区域的面积为15610011|66x dx x ==⎰，所以所求概率为16．16.3+,(0,)ABC θθπ∠=∈，则在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos 6AC AB BC AB BC θθ=+-⋅=-， 从而四边形ABCD 的面积1(sin )2ABC ACD S S S AB BC AC CD θ∆∆=+=⋅⋅+⋅， 化简得16)2S θθ=+-32cos )θθ=+-3)θϕ=+-，其中tan 2ϕ=，当sin()1θϕ-=时，S取得最大值3+17.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得2215a a a =，即2(1)14d d +=+，解得2d =或0d =（舍），所以21n a n =-. ………………………………………………4分 （Ⅱ）由21n a n =-，可得11411(1)(1)(1)()(21)(21)2121nn n n n n n n a a n b a a n n n n +++=-=-=-+-+-+，……………6分当n 为偶数时，111111112(1)()()()13355721212121n nS n n n n =--+++--+++=-+=--+++. 当n 为奇数时，1n +为偶数，于是1111111122(1)()()()13355721212121n n S n n n n +=--+++--+-+=--=--+++. ……………………………………………………………………………………………12分18.【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=，故0.005a =.………………………………3分(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=， 故晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人）， 故填表如下根据上表数据代入公式可得22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关． ………………………………7分（III ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 故X 可视为服从二项分布，即3(4,)4X B :，4431()()()(0,1,2,3)44kk k P X k C k -===， ……………………………8分故0044311(0)()()44256P X C ===，1134313(1)()()4464P X C === ， 22243154(2)()()44256P X C === ，331431108(3)()()44256P X C ===， 44043181(4)()()44256P X C ===， 故的分布列为()434E X =⨯= 或（()01234325664256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………………………12分19.【解析】（Ⅰ）因为AE BD ⊥且BE DE =，可得ABD ∆为等腰直角三角形，则AB AD ⊥，又AB CD ⊥，且AD CD ⊂、平面ACD ，AD CD D =，故AB ⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ，所以平面ACD ⊥平面BAD . ………………………………………………………………6分（Ⅱ）以E 为原点，以EC 的方向为x 轴正方向，ED 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过A 点作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，显然G 点在x 轴上，设AG h =.由题设条件可得下列坐标：(0,0,0)E ，(2,0,0)C ，(0,1,0)B -，(0,1,0)D，)A h ， 1(1,,0)2F .(1)BA h =，(2,1,0)DC =-，由于AB CD ⊥，所以2110BA DC⋅==，解得h =则A 点坐标为1(2A. ………………………………………………………………8分 由于1(2BA =，3(1,,0)2BF =，设平面ABF 的法向量(,,)u a b c =， 由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,230,2a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令9a =，由此可得(9,u =-.由于AD AB ⊥，AD AC ⊥，则2(1,DA =-为平面ABC 的一个法向量，则·(2)cos ,21202u DA u DA u DA===因为二面角C AB F --为锐角， 则二面角C AB F --. ……………………………………………12分x20.【解析】（Ⅰ）过点M 作MH l ⊥，H 为垂足， 设点M 的坐标为(,)x y，则|||||OM MH x m ==+，又||||2OM MH =|x m +， 故点M 的轨迹方程为22211022x y mx m +--=. ……………………………………………3分可化为2222()12x m y m m-+=，显然点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆. ………………5分（Ⅱ）1m =时，得到的曲线C 的方程是22(1)12x y -+=，故曲线E 的方程是2212x y +=.…………………………………………………………6分设1122(,),(,)A x y B x y ,33(,)D x y ，则1133(1,),(1,)AF x y FD x y =--=-， 由AF FD α=，得13y y α-=，即13y y α=-. …………………………………7分当AD 与x 轴不垂直时，直线AD 的方程为11(1)1y y x x =--，即111(1)x y y x y -+=，代入曲线E 的方程并注意到221112x y +=， 整理可得221111(32)2(1)0x y y x y y -+--=，则2113132y y y x =--，即11332y x y -=-，于是132x α=-.当AD 与x 轴垂直时，A 点的横坐标为11x =，1α=，显然132x α=-也成立. 同理可得232x β=-. …………………………………………………………………9分 设直线1l 的方程为(2)y k x =+，联立22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 整理得2222(21)8820k x k x k +++-=，由0k ≠及2222(8)4(21)(82)0k k k ∆=-+->，解得2102k <<. 又2122821k x x k +=-+，则121228323262()14(6,10)21x x x x k αβ+=-+-=-+=-∈+.故求αβ+的取值范围是(6,10). ……………………………………………………12分21.【解析】（Ⅰ）当2017a =时，()ln(1)2017(2)f x x x x =---， 则()ln(1)20171x f x x x '=-+--，所以(2)220172015f '=-=-， 又(2)000f =-=，所以曲线()f x 在2x =处的切线方程为02015(2)y x -=--.，即201540300x y +-=. ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）由()0f x ≥得ln(1)(2)0x x a x ---≥，而2x ≥， 所以(2)ln(1)0a x x x ---≥，设函数(2)()ln(1)(2)a x g x x x x-=--≥， 于是问题 转化为()0g x ≥，对任意的2x ≥恒成立. …………………………………6分注意到(2)0g =，所以若()0g x '≥，则()g x 单调递增，从而()(2)0g x g ≥=.而2221(2)2(1)()1(1)ax a x x a x g x x x x x ----'=-=--， 所以()0g x '≥等价于22(1)0x a x --≥， 分离参数得211[(1)2]2(1)21x a x x x ≤=-++--， 由均值不等式可得11[(1)2]221x x -++≥-， 当且仅当2x =时等号成立，于是2a ≤. ……………………………………………9分当2a >时，设2()2(1)h x x a x =--，因为(2)422(2)0h a a =-=->，又抛物线2()2(1)h x x a x =--开口向上，所以函数2()2(1)h x x a x =--有两个零点，设两个零点为12,x x ，则122x x <<，于是当2(2,)x x ∈时，()0h x <，故()0g x '<，所以()g x 单调递减，故()(2)0g x g <=，这与题设矛盾，不合题意.综上，a 的取值范围是(,2]-∞. ………………………………………………………12分22.【解析】（Ⅰ）∵4cos()4πρθθθ=+=-，∴2cos sin ρθθ=-，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-+=，即22((4x y -++=∴圆心的直角坐标为. ………………………………………………………5分（Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为== ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值为…………………………………10分23.【解析】（Ⅰ）由|2|6x a a -+≤得，|2|6x a a -≤-,……………………………1分 ∴626a x a a -≤-≤-,即33a x -≤≤,∴32a -=-,∴1a =. ……………………5分 （Ⅱ）由（1）知()|21|1f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-, ………………………7分则()124,211212124,22124,2n n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，∴()n ϕ的最小值为4，……………9分 ∴实数m 的取值范围是[4,)+∞. …………………………………………………………10分。

A ．B 476．函数()32f x x ax =--A ．B ．1432二、多选题：本题共4小题，每小题求．全部选对的得5分，部分选对的得23i z =+1z =-+A ．圆锥SO 的侧面积为B ．三棱锥S -ABC 体积的最大值为C ．的取值范围是SAB ∠四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(1)证明：平面平面⊥BDF (2)若平面与平面BDF ABG 的距离.DF 20．第22届世界杯于2022(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左门将也会等可能地随机选择球门的左的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数23分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲6．B【详解】由题意，做轴于点，PM x ⊥M 因为四边形是等腰梯形，则1F APQ 1F O 的横坐标为，代入椭圆方程P x a c =-22b ac c -2b PM ac =故选：BD．11．ABC(i i∈【详解】，由抛物线焦半径公式得：FA =，由题意知：直线斜率存在，设l l 得：，24py ykx m =+2440x kx m --=），则可得，12BM MC =1233AM AC AB=+ 22212144cos 33999AM AC AB AC AC AB A ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭.20．(1)分布列见解析；期望为(2)①证明见解析 ；②1010p q <【分析】（1）方法一：先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；。

安徽省池州市葛公中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（）A．甲班同学身高的方差较大B．甲班同学身高的平均值较大C.甲班同学身高的中位数较大D．甲班同学身高在175cm 以上的人数较多参考答案：A逐一考查所给的选项：观察茎叶图可知甲班同学数据波动大，则甲班同学身高的方差较大，A选项正确；甲班同学身高的平均值为：，乙班同学身高的平均值为：，则乙班同学身高的平均值大，B选项错误；甲班同学身高的中位数为：，乙班同学身高的中位数为：，则乙班同学身高的中位数大，C选项错误；甲班同学身高在以上的人数为3人，乙班同学身高在以上的人数为4人，则乙班同学身高在以上的人数多，D选项错误；本题选择A选项. 2. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（）A．x2+y2﹣2x﹣3=0 B．x2+y2+4x=0 C．x2+y2+2x﹣3=0 D．x2+y2﹣4x=0参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆心在x轴的正半轴上设出圆心的坐标（a，0）a大于0，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线3x+4y+4=0的距离，由直线与圆相切得到距离与半径相等列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．得到圆心的坐标，然后根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（a，0）（a＞0），由题意知圆心到直线3x+4y+4=0的距离d===r=2，解得a=2，所以圆心坐标为（2，0）则圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=4，化简得x2+y2﹣4x=0故选D【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准式方程，是一道中档题．3. 已知点为双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是A．B．C．D．参考答案：D4. 已知函数是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3, 且（）高考资源网w。

安徽省池州市2021届新高考数学四月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭， 答案选A 【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 2．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf f D ．以上情况均有可能【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求()f x 在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较．由1(1)()f x f x +=-可得1(2)[(1)1]()(1)f x f x f x f x +=++=-=+，即函数的周期2T =， 因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(1,0)-上单调递减， 根据偶函数的对称性可知，()f x 在(0,1)上单调递增， 因为α，β是锐角三角形的两个内角， 所以1,(0,)2αβπ∈且12αβπ+>即12απβ>-， 所以1cos cos()2απβ<-即0cos sin 1αβ<<<，(cos )(sin )f f αβ<．故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键． 3．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】 执行框图如下： 初始值：0,1S i ==，第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为6i ≤. 故选B 【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型. 4．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直得面面垂直，已知SA ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，可得BC ⊥平面SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率． 【详解】由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有246C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12． 故选：A ． 【点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数．5．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cm D ．175cm【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>， 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．6．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得函数()f x 的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（） ，利用周期性可得函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数． 【详解】∵()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33332222f x f x ∴-++=++（）（） ，可得3f x f x （）（）+=，函数()f x 的周期为3， ∵当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+， 令0fx =（），则211x x -+=，解得0x =或1， 又∵函数()f x 是定义域为R 的奇函数，∴在区间33[]22-，上，有11000f f f -=-==（）（），（）． 由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取0x =，得3322f f -=（）（） ，得33022f f =-=（）（）， ∴33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（）． 又∵函数()f x 是周期为3的周期函数，∴方程()f x =0在区间[]0,6上的解有39012345622，，，，，，，，． 共9个，故选D ． 【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．7．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B．4C．2log D．2【答案】A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数112log ,18()x x f x ⎧+≤<⎪=，所以()f x 在1,1⎡⎫上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.8．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．53π B ．2πC ．52π D ．3π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解． 【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱， 半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1． 则几何体的体积为32145111233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=．故选：A ． 【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．9．已知函数2,0()4,0x x f x x x -⎧⎪=+>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞【答案】B对0x 分类讨论，代入解析式求出0()f x ，解不等式，即可求解. 【详解】函数2,0()0x x f x x -⎧⎪=>，由()02f x <得00220xx -⎧<⎪⎨⎪⎩或02x <>⎪⎩ 解得010-<x . 故选:B. 【点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题.10．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ） A ．14种 B ．15种C ．16种D ．18种【答案】D 【解析】 【分析】采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起 【详解】首先将黑球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种； 情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种. 综上所述，共有14+4=18种. 故选：D 【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题 11．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．3-B ．3 C ．4-D ．4【解析】 【分析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.12．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B． C．⎤⎦D ．[]1,4【答案】D 【解析】 【分析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PF PF +=，利用二次函数的性质可求1214PF PF ≤≤，从而可得1211PF PF +的取值范围. 【详解】由题设有1,b c ==2a =，故椭圆22:14x C y +=，因为点P 为C 上的任意一点，故124PF PF +=.又()12121212111144=4PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ++==-，因为122PF ≤≤，故()11144PF PF ≤-≤，所以121114PF PF ≤+≤. 故选：D.本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，点P 为C 上的任意一点，则有122PF PF a +=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

池州市普通高中2016-2017学年第二学期高三年级教学质量检测卷文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2}A =，2{|540}B x x x =-+<，则()R AC B =（ ）A ．{0,1,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{0,1} 2．已知复数212aiz i+=+，其中a 为整数，且z 在复平面对应的点在第四象限，则a 的最大值等于（ ）A ． 1B ． 2C ．3D ．43．已知(,)2x ππ∈，4tan 3x =-，则cos()2x π--等于（ ） A ．35 B ．35- C ．45- D ．454．若151()2a =，121()5b -=，15log 10c =，则,,a b c 大小关系为（ ）A ． a b c >>B ．a c b >>C ． c b a >>D ．b a c >> 5．如果执行下面的程序框图，且输入4n =，3m =，则输出的p =（ ）A ． 6B ．24C ． 120D ． 7206．如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．93+ B．97+．105+．109+7．将函数2()2sin cos f x x x x =--(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ．3π C ． 2π D ．6π 8．某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本数分别为,a b ，且直线80ax by ++=与以(1,1)A -为圆心的圆交于,B C 两点，且120BAC ∠=，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)1x y -++= B ．22(1)(1)2x y -++= C ． 2218(1)(1)17x y -++=D ．2212(1)(1)15x y -++= 9．已知,x y 满足约束条件204230x y ax y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，目标函数23z x y =-的最大值是2，则实数a =（ ） A ．12 B ．1 C ． 32D ．4 10． 在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得其关，”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程，则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第三天走的路程占全程的18D.此人后三天共走了42里路11．已知正三棱锥A BCD -的外接球半径R =，,P Q 分别是,AB BC 上的点，且满足5AP CQPB QB==，DP PQ ⊥，则该正三棱锥的高为（ ） A ．3 B．3C ．．12．已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的12,[4,8]x x ∈，当12x x <时，都有1212()()0f x f x x x ->-；②(4)()f x f x +=-； ③(4)y f x =+是偶函数；若(6)a f =，(11)b f =，(2017)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．c b a <<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知向量(1,)a m =-，(0,1)b =，若向量a 与b 的夹角为3π，则实数m 的值为 ．14．小明忘记了微信登陆密码的后两位，只记得最后一位是字母,,,A a B b 中的一个，另一位是数字4,5,6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是 ．15．已知椭圆2211612x y +=的右焦点F 到双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线的距，则双曲线E 的离心率的取值范围是 ．16．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，11a =，12(1)(1)n n n a a tn a ++=+，t 为常数，则n a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，c =，且sin sin ()sin a A c C a b B -=-.（1）求角C 的值；（2）若cos (4cos cos )c b A a A B +=+，求ABC ∆的面积.18． 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）． （1）求图中a 的值；（2）估计该次考试的平均分x （同一组中的数据用该组的区间中点值代表）；（3）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19． 如图，三棱柱ABF DCE -中，120ABC ∠=，2BC CD =，AD AF =，AF ⊥平面ABCD .（1）求证：BD EC ⊥；（2）若1AB =，求四棱锥B ADEF -的体积. 20． 已知动点P 到点1(,0)2的距离比它到直线52x =-的距离小2. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）记P 点的轨迹为E ，过点(2,0)S 斜率为1k 的直线交E 于,A B 两点，(1,0)Q ，延长,AQ BQ 与E 交于,C D 两点，设CD 的斜率为2k ，证明：21k k 为定值. 21． 设函数2()(21)xe f x ax a x a e=-+--，其中e 是自然对数的底数. （1）若0a =，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）若当1x ≥时，()0f x ≥，求α的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程是22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos()4πρθ=+．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+．（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围．试卷答案1.D 【解析】略2.C 【解析】略3.C 【解析】因为(,0)2x π∈-，4tan 3x =-，所以4sin 5x =，4cos()cos()sin 225x x x ππ--=+=-=-．4.D 【解析】105110()()122<<=，即01a <<，同理1b >，而0c <，因此b a c >>．5.B 【解析】第一次循环，可得122p =⨯=，第二次循环，可得236p =⨯=， 第三次循环，可得6424p =⨯=，退出循环体，输出24p =.6.A 【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为334446105S =⨯+⨯⨯⨯=+ A.7. B 【解析】 ()2sin 22cos(2)6f x x x x π=-=+图象向左平移(0)t t >个单位得到()2cos(22)6f x x t π=++为奇函数，所以2t 最小值3π,6t π=.选B.8.C 【解析】由分层抽样方法知抽样比例为25:1，故从高一、高三抽取40,244，故40,24a b ==,∴直线1l ：402480x y ++=，化简为5310x y ++=，圆心(1,1)A -到直线l 的距离为d =，所求的半径为R =，所求的圆的方程为2218(1)(1)17x y ++=-. 9.A 【解析】不等式组20230x y x y --⎧⎨-+⎩≤≥表示的平面区域如图中直线230x y -+=与直线20x y --=所夹的点A 的左边部分，由于目标函数23z x y =-的最大值是2，作出直线232x y -=见图中虚线，可知点C 是直线20x y --=与232x y -=的交点，从而知点C 是不等式组204230x y ax y x y --⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域的最下方的一个点，直线4ax y +=过定点(4,0)B B 又过点(4,2)C ，故12a =.10. C 【解析】依题意，设第一天走了1a 里路，则16112378112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，解得1192a =，故296a =，348a =，424a =，125a =，66a =；因为3787.87548=，故C 错误，故选C. 11.A 【解析】易知正三棱锥A BCD -中对棱互相垂直，则有AC BD ⊥，因为5A P C QP B Q B==，所以//PQ AC ，而D P P Q ⊥，所以DP AC ⊥，所以AC ⊥平面ABD ，又因为该三棱锥是正三棱锥，所以正三棱锥A BCD -的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥A BCD -补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接球直径，故2R =. 12. B 【解析】由①得()f x 在[4,8]上单调递增；由得②(8)(4)()f x f x f x +=-+=，故()f x 是周期为8的的周期函数，所以(2017)(25281)(1)c f f f ==⨯+=，(11)(3)b f f ==；再由③可知()f x 的图像关于直线4x =对称，所以(11)(3)(5)b f f f ===，(1)(7)c f f ==.结合()f x 在[4,8]上单调递增可知，(5)(6)(7)f f f <<，即b a c <<.故选B.由cos ,||||⋅<>=a b a b a b ，得1c o s 32π=，从而解得m =m =. 14.112【解析】开机密码的可能有(4,),(4,),(4,),(4,),(5,),(5,),(5,),(5,),A a B b A a B b , (6,),(6,),(6,),(6,),A a B b ,共12种可能,所以小明输入一次密码能够成功登陆的概率是112．15. (1,2)【解析】椭圆2211612x y +=的右焦点为()2,0F <即2243b c <，所以2224()3c a c -<，从而得24e <，进而解得离心率的取值范围是(1,2). 16．21n - 【解析】由题设, ()()1211n n n a a tn a ++=+, 即11n n n a a tS ++=，可得1211n n n a a tS ++++=两式相减得121()n n n n a a a ta +++-=，由于10n a +≠，所以2n n a a t +-=，由题设,()11211,21a a a ta =+=，可得21a t =-，由2n n a a t +-=知,31a t =+. 因为{}n a 是等差数列，所以令2132a a a =+，解得4t =，故24n n a a +-=,由此可得21{}n a -是首项为1,公差为4的等差数列,2143n a n -=-，2{}n a 是首项为3,公差为4的等差数列241n a n =-，所以21n a n =-.17．【解析】（Ⅰ）由正弦定理及sin sin ()sin a A c C a b B -=-可得222a b c ab +=+， 又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得1cos 2C =，所以3C π=； （Ⅱ）由正弦定理及cos (4cos cos )c b A a A B +=+可得sin sin cos 4sin cos sin cos C B A A A A B +=+，从而有sin cos 2sin cos B A A A =，当2A π=时，2b =，ABC S =△2A π≠时，有2b a =，2,4a b ==.1sin 2ABC S ab C ==△综上，ABC △的面积是18.【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=，故0.005a =.(Ⅱ)由频率分布直方图知各小组依次是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]， 其中点分别为55,65,75,85,95,对应的频率分别为0.05,0.30,0.40,0.20,0.05， 故可估计平均分550.05650.3750.4850.2950.0574x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）(Ⅲ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=， 故晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人），故填表如下根据上表数据代入公式可得22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关 19.（I ）【证明】∵已知ABF-DCE 为三棱柱，且AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，ED⊥平面ABCD ；∵BD ⊂平面ABCD ，∴ED BD ⊥；又ABCD 为平行四边形，0120ABC ∠=，故060BCD ∠=， 又2BC CD =，故090BDC ∠=，故BD CD ⊥； ∵EDCD D =，∴BD ⊥平面ECD ；∵EC ⊂平面ECD ，故BD ⊥EC ；（II ）由2BC CD =得2AD AB =；因为1AB =，故2AD =，作BH AD ⊥于H,AF ABCD BH ADEF ⊥∴⊥平面，平面，又120o ABC ∠=，BH ∴=，()122323B ADEF V -∴=⨯⨯⨯=.20.（I ）【解析】由题意可知动点P 到点1(,0)2的距离与它到直线12x =-的距离相等，显然动点P 的轨迹是抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，易知122p =， 所以动点P 的轨迹方程为22y x =.（II ）设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由题意可知直线AB 的方程为1(2)y k x =-，代入抛物线22y x =中，得21240yy k --=， 则1212124y y y y k +==-，. 由直线AC,BD 过点Q （1,0），同理可得13242y y y y ==-， 所以341222,y y y y =-=-， 于是4343122122434343121212()2142112()y y y y y y k k x x y y y y y y y y k ---=====-=-=--++-+， 即212k k =，故21kk 为定值2，命题得证 21.【解析】（Ⅰ）当0a =时，1()x f x e x -=-，则1()1x f x e -'=-，所以(1)110f '=-=，又(1)110f =-=，所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为0y =. （Ⅱ）易知1()221x f x e ax a -'=-+-，1()2x f x e a -''=-.若1()20x f x ea -''=-≥，即12x e a -≤，即12a ≤时，1()221x f x e ax a -'=-+-在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f ''≥=，于是2()(21)xe f x ax a x a e=-+--在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f ≥=，符合题意故12a ≤是原不等式成立的充分条件，下证明其必要性. 当12a >时，令1()20x f x e a -''=-=，得ln(2)1x a =+，所以当(1,ln(2)1)x a ∈+时，''1()20x f x e a -=-<，故()f x '在(1,ln(2)1)x a ∈+上单调递减，故()(0)0f x f ''<=，从而当(1,ln(2)1)x a ∈+时，()f x 单调递减，故()(1)0f x f <=，与题设矛盾，不合题意. 综上，a 的取值范围是1(,]2-∞ 22.【解析】（Ⅰ）∵4cos()4πρθθθ=+=-，∴2cos sin ρθθ=-，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-+=，即22((4x y -++=∴圆心的直角坐标为.（Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为==≥ ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值为23.【解析】（Ⅰ）由|2|6x a a -+≤得，|2|6x a a -≤-, ∴626a x a a -≤-≤-,即33a x -≤≤,∴32a -=-,∴1a = （Ⅱ）由（Ⅰ）知()|21|1f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-, 则124,211()|21||21|24,22124,2n n n n n n n n ϕ⎧-≤⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，∴()n ϕ的最小值为4， ∴实数m 的取值范围是[4,)+∞.文科数学参考答案1.D 【解析】略2.C 【解析】略3.C 【解析】因为(,0)2x π∈-，4tan 3x =-，所以4sin 5x =，4cos()cos()sin 225x x x ππ--=+=-=-．4.D 【解析】105110()()122<<=，即01a <<，同理1b >，而0c <，因此b a c >>．5.B 【解析】第一次循环，可得122p =⨯=，第二次循环，可得236p =⨯=， 第三次循环，可得6424p =⨯=，退出循环体，输出24p =.6.A 【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为334446105S =⨯+⨯⨯⨯=+ A.7. B 【解析】 ()2sin 22cos(2)6f x x x x π=-=+图象向左平移(0)t t >个单位得到()2cos(22)6f x x t π=++为奇函数，所以2t 最小值3π,6t π=.选B.8.C 【解析】由分层抽样方法知抽样比例为25:1，故从高一、高三抽取40,244，故40,24a b ==,∴直线1l ：402480x y ++=，化简为5310x y ++=，圆心(1,1)A -到直线l 的距离为d =，所求的半径为R =，所求的圆的方程为2218(1)(1)17x y ++=-. 9.A 【解析】不等式组20230x y x y --⎧⎨-+⎩≤≥表示的平面区域如图中直线230x y -+=与直线20x y --=所夹的点A 的左边部分，由于目标函数23z x y =-的最大值是2，作出直线232x y -=见图中虚线，可知点C 是直线20x y --=与232x y -=的交点，从而知点C 是不等式组204230x y ax y x y --⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域的最下方的一个点，直线4ax y +=过定点(4,0)B B 又过点(4,2)C ，故12a =.10. C 【解析】依题意，设第一天走了1a 里路，则16112378112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，解得1192a =，故296a =，348a =，424a =，125a =，66a =；因为3787.87548=，故C 错误，故选C.11.A 【解析】易知正三棱锥A BCD -中对棱互相垂直，则有AC BD ⊥，因为5A P C QP B Q B==，所以//PQ AC ，而D P P Q ⊥，所以DP AC ⊥，所以AC ⊥平面ABD ，又因为该三棱锥是正三棱锥，所以正三棱锥A BCD -的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥A BCD -补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接球直径，故2R =正方体的性质可知正方体的体对角线的三分之一即为该正三棱锥的高，所以高为3. 12. B 【解析】由①得()f x 在[4,8]上单调递增；由得②(8)(4)()f x f x f x +=-+=，故()f x 是周期为8的的周期函数，所以(2017)(25281)(1)c f f f ==⨯+=，(11)(3)b f f ==；再由③可知()f x 的图像关于直线4x =对称，所以(11)(3)(5)b f f f ===，(1)(7)c f f ==.结合()f x 在[4,8]上单调递增可知，(5)(6)(7)f f f <<，即b a c <<.故选B.由cos ,||||⋅<>=a b a b a b ，得1c o s 32π=，从而解得m =m =. 14.112【解析】开机密码的可能有(4,),(4,),(4,),(4,),(5,),(5,),(5,),(5,),A a B b A a B b , (6,),(6,),(6,),(6,),A a B b ,共12种可能,所以小明输入一次密码能够成功登陆的概率是112． 15. (1,2)【解析】椭圆2211612x y +=的右焦点为()2,0F<即2243b c <，所以2224()3c a c -<，从而得24e <，进而解得离心率的取值范围是(1,2). 16．21n - 【解析】由题设, ()()1211n n n a a tn a ++=+, 即11n n n a a tS ++=，可得1211n n n a a tS ++++=两式相减得121()n n n n a a a ta +++-=，由于10n a +≠，所以2n n a a t +-=，由题设,()11211,21a a a ta =+=，可得21a t =-，由2n n a a t +-=知,31a t =+. 因为{}n a 是等差数列，所以令2132a a a =+，解得4t =，故24n n a a +-=,由此可得21{}n a -是首项为1,公差为4的等差数列,2143n a n -=-，2{}n a 是首项为3,公差为4的等差数列241n a n =-，所以21n a n =-.17．【解析】（Ⅰ）由正弦定理及sin sin ()sin a A c C a b B -=-可得222a b c ab +=+， 又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得1cos 2C =，所以3C π=； ………………5分 （Ⅱ）由正弦定理及cos (4cos cos )c b A a A B +=+可得sin sin cos 4sin cos sin cos C B A A A A B +=+，从而有sin cos 2sin cos B A A A =，当2A π=时，2b =，ABC S =△2A π≠时，有2b a =，2,4a b ==.1sin 2ABC S ab C ==△.综上，ABC △的面积是……………………………12分18.【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=，故0.005a =. ……………………………3分(Ⅱ)由频率分布直方图知各小组依次是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]， 其中点分别为55,65,75,85,95,对应的频率分别为0.05,0.30,0.40,0.20,0.05， 故可估计平均分550.05650.3750.4850.2950.0574x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分） ………………7分(Ⅲ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=， 故晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人），故填表如下根据上表数据代入公式可得22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关 ………………………………12分 19.（I ）【证明】∵已知ABF-DCE 为三棱柱，且AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，ED⊥平面ABCD ；∵BD ⊂平面ABCD ，∴ED BD ⊥；又ABCD 为平行四边形，0120ABC ∠=，故060BCD ∠=， 又2BC CD =，故090BDC ∠=，故BD CD ⊥； ∵EDCD D =，∴BD ⊥平面ECD ；∵EC ⊂平面ECD ，故BD ⊥EC ； ………………………………………………………8分 （II ）由2BC CD =得2AD AB =；因为1AB =，故2AD =，作BH AD ⊥于H,AF ABCD BH ADEF ⊥∴⊥平面，平面，又120o ABC ∠=，BH ∴=，()1223B ADEF V -∴=⨯⨯=. (12)分20.（I ）【解析】由题意可知动点P 到点1(,0)2的距离与它到直线12x =-的距离相等，显然动点P 的轨迹是抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，易知122p =， 所以动点P 的轨迹方程为22y x =. ………………………………………………4分 （II ）设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由题意可知直线AB 的方程为1(2)y k x =-，代入抛物线22y x =中，得21240yy k --=， 则1212124y y y y k +==-，. …………………………………………………………6分 由直线AC,BD 过点Q （1,0），同理可得13242y y y y ==-， 所以341222,y y y y =-=-， ……………………………………………………………8分于是4343122122434343121212()2142112()y y y y y y k k x x y y y y y y y y k ---=====-=-=--++-+， 即212k k =，故21kk 为定值2，命题得证 ………………………………………………12分 21.【解析】（Ⅰ）当0a =时，1()x f x e x -=-，则1()1x f x e -'=-，所以(1)110f '=-=，又(1)110f =-=，所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为0y =. ……………………4分 （Ⅱ）易知1()221x f x e ax a -'=-+-，1()2x f x e a -''=- (5)分 若1()20x f x ea -''=-≥，即12x e a -≤，即12a ≤时，1()221x f x e ax a -'=-+-在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f ''≥=，于是2()(21)xe f x ax a x a e=-+--在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f ≥=，符合题意 …………………………………………8分故12a ≤是原不等式成立的充分条件，下证明其必要性. 当12a >时，令1()20x f x e a -''=-=，得ln(2)1x a =+，所以当(1,ln(2)1)x a ∈+时，''1()20x f x e a -=-<，故()f x '在(1,ln(2)1)x a ∈+上单调递减，故()(0)0f x f ''<=，从而当(1,ln(2)1)x a ∈+时，()f x 单调递减，故()(1)0f x f <=，与题设矛盾，不合题意. 综上，a 的取值范围是1(,]2-∞ ……………………………………………………12分 22.【解析】（Ⅰ）∵4cos()4πρθθθ=+=-，∴2cos sin ρθθ=-，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-+=，即22((4x y -++=∴圆心的直角坐标为. ……………………………………………………………5分（Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为全优试卷==≥ ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值为……………………………………10分23.【解析】（Ⅰ）由|2|6x a a -+≤得，|2|6x a a -≤-,………………………………1分 ∴626a x a a -≤-≤-,即33a x -≤≤,∴32a -=-,∴1a = ………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()|21|1f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-, ………………………7分 则124,211()|21||21|24,22124,2n n n n n n n n ϕ⎧-≤⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，∴()n ϕ的最小值为4， ……………………9分 ∴实数m 的取值范围是[4,)+∞.……………………………………………………………10分。

1O √n+1 1 + t a n a n m 池州市普通高中高三教学质量统一监测数学（理科）参考答案一、选择题x, y ）（x O O 得y O (x − 1) = y(x O − 1)x O =y+3x –3因为y O = x O + 3，得{ y –x+1y = 4yy –x+1CD 的直线方程为(x O − 1)(x − 1) + y O y = 4 ② 将①代入②得 1 2 1 2 1，所以M 点的轨迹是以(1 ， 1)为圆心， (x − )2 + (y − 2) = 22 2以√2为半径的圆，所以AM 的最大值为3 22注：本题也可先求 CD 过定点，然后再求解. 二、填空题13． [−6,6] 14． 6 15．5n 16． −2 − 2√316．{a }是以π为首项，以π为公差的等差数列，所以a n = n + (n − 1) n，n3 4 3 4由tan(a − a ) = tanan+1–tana n ，可知1+tanan+1tana nn+1 tana n = tana n +1 − tana n S 2O21 = (tana 2 − tana 1) + (tana 3 − tana 2) +⋯ + (tana 2O22 − tana 2O21)= tana 2O22 − tana 1 = −2 − 2√3三、解答题17．解：(Ⅰ)由图可知：A = 2，T= n ，即T = n ， …………………………………………2 分44 根据T = 2n 得m = 2，…………………………………………………………………… 3 分 由f (n) = 2得2 × n + ߮ = n + 2kn ，k ∈ Z ， ……………………………………….…4 分662因为|߮| < n ，∴ ߮ = n函数 f (x ) 的解析式为f (x ) = 2sin (2x + n)． ……………6 分266(Ⅱ) 由f (A ) = 1可得A = 60O , ………………………………………………………………..….7 分因为AD 为∠BAC 的角平分线，所以∠BAD = ∠DAC = 30O又因为S ∆ÆBC = S ∆ÆBD + S ∆ÆCD ，……………………………………………………….. ..9 分1AB ∙ AC ∙ sin ∠BAC = 1 AB ∙ AD ∙ sin ∠BAD + 1AC ∙ AD ∙ sin ∠CAD …………...11 分2 2 2AB = 1, AC = 3代入可得AD = 3√34……………………………………………..12 分即 ①2Æ C Æ Æ Æ 18． 解：（Ⅰ）因为D 、O 分别为线段PA 、AB 的中点，所以BD 和PO 的交点E 为∆PAB 的重心，所以PE= 2 ………………………………………………....2 分EO 因为 EF // 平面 ABC ，EF ⊂ 平面PCO ，平面PCO ∩ 平面ABC = CO 所以 EF // CO ,所以PF= PE = 2 …………………………5 分FCEO （Ⅱ）设BC = 2,则AB = 4, PC = 2, CF = 1,以CA, CB, CP 为x, y, z 轴建立空间直角坐标系，如图F(0,0,1), B(0,2,0), C(0,0,0), E(2√3 , 2 , 2) …………………7 分33 3设平面FBE 的法向量为n ¯˙ = （x 1, y 1, z 1）， 则 {n¯˙ ∙ F n ¯˙ ∙ B ¯B ¯˙= 0 得n ¯˙ = （0，y 1，2y 1） ¯E¯˙ = 0 令y 1 = 1，n ¯˙ = （0，1，2） ……………………………..9 分设平面CBE 的法向量为m ¯˙ = (x 2，y 2，z 2), 则{m ¯˙ ∙ C m ¯˙ ∙ B ¯B ¯˙ = 0 得m ¯˙ = （1，0， − √3）……………….....11 分 ¯E ¯˙ = 0 二面角F − B E − C 的平面角为8，则|cos8| = |cos < n ¯˙, m ¯˙ >| = √155所以sin8 = √1O5………………………………………..…12 分19．解：（Ⅰ）方案一中检测次数£可能取值为 1,2,3,4,5,6． …………………………………1 分当£ = 1,2,3,4,5 时，P = 1 ；当 ξ = 6 时，P = 2…………………………………4 分77£1 2 3 4 5 6P1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 27期望为E (£ + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × + 6 × = ………………...5 分7 7 7 7 7 7 7注：如果写成£ = 1,2,3,4,5,6,7,而当£ = 1,2,3,4,5,时的概率算对了，则给 1 分 （Ⅱ）方案二中化验次数5可能取值为 2,3,4,5 ．C 4 Æ4 C 5 3 P (5 = 2) = 6 ∙ 4 + 6= , ………………………………………………………………...6 分5 557 57 C 4Æ41P (5 = 3) = 6 ∙ 4 = , ……………………………………………………………………....7 分5 5 7 5 C 4Æ4 1 P (5 = 4) = 6 ∙ 4 = , ……………………………………………………………………...8 分5 57 5C 4 C 1Æ42P (5 = 5) = 6 ∙ 2 4 =……………………………………………………………..9 分5 57 5方案一所检测的次数不少于方案二的概率为P = P (£ = 2)P (5 = 2) + P (£ = 3)[P (5 = 2) + P (5 = 3)] + P (£ = 4)[P (5 = 2) + P((5 = 3))+ P (5 = 4)] + P (£ = 5) + P (£ = 6) = 33……………………………………12 分49C C C C 77773k2 2 2x 2 2法二：P = P (5 = 2) [1 − 1] + P (5 = 3) [1 − 1 − 1] + P (5 = 4) [1 − 1 − 1 − 1] + P (5 = 5)777777[1 − 1 − 1 − 1 − 1] = 33…………………………………………………………………12 分77774920．（Ⅰ）因为e = √3, 所以c = √32a 2又|PF | = 1 ，得b 2= 1，解得s 22………………………………..…4 分22 a 2E: 4 + y = 1（Ⅱ）设l 1:y = kx + 1, l 2:y = 1 x + 1,设点M, N 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2) y = kx + 1由{s 2 + y 2 = 1联立得(4k 2 + 1)x 2 + 8kx = 0， ………………………………..….5 分4解得 x 1 –8k4k 2+1 ，y 1 1–4k 24k 2+1 即M ( –8k4k +1 ，1–4k 2) ……………………………........7 分4k +1 用1替代M 坐标中的k ，从而得到N 坐标为（–8k，k 2–4） …………….…………8 分k4+k 21—4k 2–k 2—44+k 22则直线MN 的斜率为 k MN =y 1–y 2=4k 2+1 4+k 2 = − k +1…………………………...9 分s 1–s 2—8k –—8k 3k4k 2+1 4+k 2 所以直线MN 的方程为y − 1–4k 2= − k2+1（x − –8k ）4k 2+13k4k 2+1化简得y = − k2+1x − 5………………………………………………………10 分3k3所以直线MN 恒过定点A （0， − 5 ） ………………………………………………12 分321．(Ⅰ)∀ x > 0, 都有f (x ) > 0，即∀ x > 0, 都有ae s − 1x 2 − x − 1 > 0， 1s 2+s+1即a > (2e x)mas………………………………………………………..…1 分1s 2+s+1–1s 2令ℎ(x ) = 2，则 ℎ′(x ) =e 2 < 0……………………………………….…2 分e 所以 h(x)在（0， + ∞）上单调递减，则ℎ(x) < ℎ(0) = 1 ……………..……….4 分所以a ≥ 1………………………………………………………….5 分（Ⅱ）x > 0时，e s+1–a 关于a 单调递减，1ax 关于a 单调递增，√x 2 + ax + 1关于a 单调递增因此g(x)关于a 单调递减，………………………………………………….….6 分因为0 < a ≤ 1,所以g (x ) ≥ e s − 1 x − √x 2 +x +1 …………………………….8 分由（1）可知e s − 1 x 2 − x − 1 > 0，即e s > 1 x 2 +x + 1…………………………9 分 22所以g (x ) ≥ e s − 1 x − √x 2 +x +1 > 1 x 2 + x + 1 − 1 x − √x 2 +x +122 122221122= 2 (√x + x + 1) − √x +x +1 + 2 = 2 (√x + x + 1 − 1) > 0因此可知对任意x > 0，0 < a ≤ 1，都有g (x ) > 0 成立…………………….…….12 分= = x4b+1 322． （Ⅰ）直线l 的普通方程：y = √3x + √3 ； …………………………2 分曲线 C 的普通方程 x 2 + y 2 = 4…………………………4 分（Ⅱ）已知点 P 在直线l 上，则可设直线l 与曲线C 相交的两点 A 、 B 对应的参数分别为t 1、t 2将直线l 的参数方程和曲线 C 的普通方程联立，得12√32……………………5 分（ 2 t ） + （√3 + 2 t ） = 4化简得 t 2 + 3t − 1 = 0 则t 1 + t 2 = −3，t 1t 2 = −1 < 0 ………6 分所 以 1 + 1= 1 +1=|t 1|+|t 2| =|t 1–t 2| =ƒ(t 1+t 2)2–4t 1t 2= √13…………..…..10 分|PÆ| |PB ||t 1||t 2||t 1t 2||t 1t 2||t 1t 2|−2x − 2, x ≤ −223．（Ⅰ）当a = 0时，f (x ) = |x | + |x + 2| = {2, −2 < x < 02x + 2, x ≥ 0…………………….1 分则f (x ) > 3x + 4等价于{−2x − 2 > 3x + 4或{2 > 3x + 4 或{2x + 2 > 3x + 4...….2 分x ≤ −2 −2 < x < 0 x ≥ 0 解得x < − 2，…………………………………………….…………….4 分3所以不等式f (x ) > 3x + 4的解集为{x|x < − 2}； ………………………………..5 分3（Ⅱ）因为f(x) = |x − a| + |x + 2| ≥ |(x − a) − (x + 2)| = | − a − 2| = a + 2，(当且仅当(x − a)(x + 2) ≤ 0 时等号成立) ………………………………..………...7 分所以f (x )的最小值为a + 2, 因此m = a + 2， 所以m + b = a + 2 + b = 4，即a + b + 1 = 3， 所以3(1 + 1 ) = (1 + 1 )(a +b + 1)……………………………….….……….8 分ab+1ab+1= 2 +b+1+aab+1ab+122故 1+ 1a 4的最小值为 ．…………………………………………………10 分。

安徽省池州市高三下学期数学四月质量调研检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2016高一上·上海期中) 已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=________．2. （1分） (2018高三下·滨海模拟) 已知是虚数单位，则 ________．3. （1分）若a=11时，下面的程序段输出的结果是________.IF a<10 THENy=2* (a-1)ELSEy=a MOD 10END IFPRINT yEND4. （1分） (2019高二上·兴庆期中) 已知样本的平均数是，标准差是，则的值为________5. （1分） (2018高一下·南阳期中) 从区间随机抽取个数，，，，，，，，，构成个数对，，，，其中两数的平方和小于的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为________．6. （1分）如图所示，半径R=2的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于________7. （1分）已知等差数列{an}满足a1+a5+a9=24，则log2（2a6﹣a7）=________．8. （1分）已知点P（1，﹣2）在α终边上，则 =________．9. （1分）(2017·邯郸模拟) 双曲线 =1（a＞0，b＞0）上一点M（﹣3，4）关于一条渐进线的对称点恰为右焦点f2 ，则该双曲线的标准方程为________．10. （1分） (2016高一上·东海期中) 已知，则f[f（2）]=________．11. （1分） (2017高三上·南通期末) 已知，是非零不共线的向量，设 = + ，定义点集M={K| = }，当K1 ，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式| |≤c| |恒成立，则实数c的最小值为________．12. （1分） (2019高三上·浙江月考) 已知非零平面向量不共线，且满足，记，当的夹角取得最大值时，的值为________．13. （1分） (2018高一下·濮阳期末) 已知圆，点的坐标为，其中，若过点有且只有一条直线被圆截得的弦长为，则直线的一般式方程是________．14. （1分） (2019高三上·广东月考) 已知不等式恒成立，则的取值范围是________.二、解答题 (共11题；共115分)15. （10分） (2015高一下·枣阳开学考) 已知f（x）=2sin4x+2cos4x+cos22x﹣3．（1）求函数f（x）的最小正周期．（2）求函数f（x）在闭区间[ ]上的最小值并求当f（x）取最小值时，x的取值集合．16. （10分）(2017·海淀模拟) 如图1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC= CP=2，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥CD．（Ⅰ）若E是PC的中点，求证：AP∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PCD⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣C的大小．17. （10分） (2019高三上·上海月考) 已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1.（1）求、的值及的解析式；（2）设，若不等式在上有解，求实数的取值范围.18. （15分） (2018高二上·梅河口期末) 已知椭圆过两点.（1）求椭圆的方程及离心率.（2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证:四边形的面积为定值.19. （15分）(2017·运城模拟) 已知函数f（x）= ，曲线y=f（x）在点（e2 ， f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的解析式及单调递减区间；（2）若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+ •lnx•f（x）≤a成立，求实数a的取值范围．20. （15分）(2019·浙江模拟) 已知数列，的各项均不为零，若是单调递增数列，且， .（Ⅰ）求及数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，，求数列的前项的和21. （5分） (2017高一下·黄冈期末) 在平面直角坐标系内，已知A（1，a），B（﹣5，﹣3），C（4，0）；（1）当a∈（，3）时，求直线AC的倾斜角α的取值范围；（2）当a=2时，求△AB C的BC边上的高AH所在直线方程l．22. （5分）(2018·肇庆模拟) 在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点），定点，求的面积．23. （10分） (2018高一下·黑龙江期末) 已知，．（1）若，解不等式；（2）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若，解不等式．24. （10分） (2017高一上·咸阳期末) 已知点G（5，4），圆C1：（x﹣1）2+（y﹣4）2=25，过点G的动直线l与圆C1 ，相交于两点E、F，线段EF的中点为C．（Ⅰ）求点C的轨迹C2的方程；（Ⅱ）若过点A（1，0）的直线l1：kx﹣y﹣k=0，与C2相交于两点P、Q，线段PQ的中点为M，l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，求证：|AM|•|AN|为定值．25. （10分） (2015高二下·宜春期中) 已知在（ + ）n的展开式中，前三项的系数成等差数列；（1）求n；（2）求展开式中的有理项．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共11题；共115分)15-1、15-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、23-3、24-1、25-1、25-2、。