概率作业题1-6

一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。

已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。

试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。

二、（12分）设随机变量X的分布列为 .求：（1）参数；（2）；（3）的分布列。

三、（10分）设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，（1）求的联合概率密度（2）求关于、的边缘概率密度（3）判断与的独立性。

四、（12分）设,，且与相互独立，试求和的相关系数（其中a、b是不全为零的常数）。

五、（12分）设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。

六、（12分）设总体的概率密度为是取自总体的简单随机样本。

求：（1）的矩估计量；（2）的方差。

七、（12分）设服从，是来自总体的样本，＋。

试求常数，使得服从分布。

八、（15分）从一批木材中抽取100根，测量其小头直径，得到样本平均数为，已知这批木材小头直径的标准差，问该批木材的平均小头直径能否认为是在以上？（取显著性水平＝0.05）附表一：,,,,一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上。

若每个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？二、(14分)已知随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他,010,2x Ax x f ，求：（1）参数A ；（2）}35.0{<<X P ；（3）}{x X P <。

三、（14分）设随机变量X 和Y 的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量Y X U +=的方差。

四、(12分）已知),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<+=其它,010,10,),(y x y x y x f ． （1）求X 与Y 的相关系数XY ρ；（2）试判断X 与Y 的独立性。

一年级概率练习题
一年级数学练习题：概率
1. 小红有 4 个红苹果和 6 个绿苹果，她从中随机选择一个苹果。

请问小红选择到红苹果的概率是多少？
2. 在一个有 6 个红色球和 4 个蓝色球的袋子里，小明要从中无放回地抽取两个球。

请问他抽到两个红色球的概率是多少？
3. 一只骰子上有 6 个面，分别标有数字 1，2，3，4，5，6。

小刚将骰子抛掷一次，请问小刚得到偶数的概率是多少？
4. 小李有一个装有 10 个糖果的袋子，其中 4 个是巧克力味的，6 个是水果味的。

小李从袋子中随机取出一个糖果，请问他取到巧克力味糖果的概率是多少？
5. 在一副扑克牌中，红桃和方块是红色的，梅花和黑桃是黑色的。

请问从扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红色牌的概率是多少？
6. 一个转盘分为三个区域：红色区域占总面积的 40%，蓝色区域占总面积的 30%，绿色区域占总面积的 30%。

请问转动转盘一次，停留在红色区域的概率是多少？
7. 从数字 1 到 10 中随机选择一个数字。

请问选到的数字是 7 的概率是多少？
8. 在一个有 10 个球的袋子中，有 3 个红球，2 个蓝球，5 个黄球。

小明从袋子中有放回地抽取三次球，请问他连续三次抽到红球的概率是多少？
9. 甲、乙、丙三个人依次抛掷一枚硬币，硬币正面朝上的概率是50%。

请问他们三个人都抛到正面朝上的概率是多少？
10. 今天是周末，小明有 5 本故事书和 2 本游戏书可以选择阅读。

请问他今天选择阅读故事书的概率是多少？
注：以上习题皆为一年级学生的难度水平，旨在提高学生对概率的理解和计算能力。

概率单元测试题及答案大全一、选择题1. 一个袋子里有3个红球和2个蓝球，随机取出一个球，下列哪个事件的概率最大？A. 取出红球B. 取出蓝球C. 取出白球D. 取出黑球答案：A2. 投掷一枚公正的硬币，出现正面的概率是多少？A. 0.2B. 0.5C. 0.8D. 1答案：B3. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)是多少？A. 0.1B. 0.3C. 0.7D. 无法确定答案：C二、填空题4. 一个骰子有6个面，每个面出现的概率是________。

答案：1/65. 如果一个事件的概率为0，那么这个事件是________。

答案：不可能事件6. 一个事件的概率为1，表示这个事件是________。

答案：必然事件三、计算题7. 一个袋子里有5个白球和5个黑球，随机取出2个球，求取出的2个球都是白球的概率。

答案：首先计算取出第一个白球的概率为5/10，然后计算在取出第一个白球后，再取出第二个白球的概率为4/9。

所以，两个都是白球的概率为(5/10) * (4/9) = 2/9。

8. 一个班级有30个学生，其中15个男生和15个女生。

随机选择3个学生，求至少有1个女生的概率。

答案：首先计算没有女生的概率，即选择3个男生的概率为(15/30) * (14/29) * (13/28)。

然后用1减去这个概率，得到至少有1个女生的概率为1 - [(15/30) * (14/29) * (13/28)]。

四、简答题9. 什么是条件概率？请给出一个例子。

答案：条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

例如，如果我们知道一个班级中有50%的学生是左撇子，那么在随机选择一个学生是左撇子的条件下，这个学生是数学专业的学生的概率。

10. 请解释什么是独立事件，并给出一个例子。

答案：独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。

例如，投掷一枚公正的硬币两次，第一次的结果不会影响第二次的结果。

概率论习题全部概率论习题全部1习题⼀习题⼀1. ⽤集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：（1）掷两枚均匀骰⼦，观察朝上⾯的点数，事件A表⽰“点数之和为7”；（2）记录某电话总机⼀分钟内接到的呼唤次数，事件A表⽰“⼀分钟内呼唤次数不超过3次”；（3）从⼀批灯泡中随机抽取⼀只，测试它的寿命，事件A表⽰“寿命在2 000到2 500⼩时之间”.2. 投掷三枚⼤⼩相同的均匀硬币，观察它们出现的⾯.（1）试写出该试验的样本空间；（2）试写出下列事件所包含的样本点：A={⾄少出现⼀个正⾯}，B={出现⼀正、⼆反}，C={出现不多于⼀个正⾯}；（3）如记A={第i枚硬币出现正⾯}（i=1，2，i3），试⽤123A A A表⽰事件A，B，C.,,3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝{取得球的号码是偶数}，B＝{取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码⼩习题⼀ 2 于5}，问下列运算表⽰什么事件：（1）A B ；（2）AB ；（3）AC ；（4）AC ；（5）C A ；（6）B C ；（7）A C -. 4. 在区间上任取⼀数，记112A x x ??=<≤，1342B x x ??=≤≤，求下列事件的表达式：（1）A B ；（2）AB ；（3）AB ，（4）A B .5. ⽤事件A ，B ，C 的运算关系式表⽰下列事件：（1）A 出现，B ，C 都不出现；（2）A ，B 都出现，C 不出现；（3）所有三个事件都出现；（4）三个事件中⾄少有⼀个出现；（5）三个事件都不出现；（6）不多于⼀个事件出现；（7）不多于⼆个事件出现；（8）三个事件中⾄少有⼆个出现.6. ⼀批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设表⽰事件“第次抽到废品”，试⽤的运算表⽰下列各个事件：（1）第⼀次、第⼆次中⾄少有⼀次抽到废品；（2）只有第⼀次抽到废品；（3）三次都抽到废品；]2,0[i A i iA习题⼀3 （4）⾄少有⼀次抽到合格品；（5）只有两次抽到废品.7. 接连进⾏三次射击，设={第i 次射击命中}（i ＝1，2，3），试⽤表⽰下述事件：（1）A ={前两次⾄少有⼀次击中⽬标}；（2）B ={三次射击恰好命中两次}；（3）C ={三次射击⾄少命中两次}；（4）D ={三次射击都未命中}.8. 盒中放有a 个⽩球b 个⿊球，从中有放回地抽取r 次（每次抽⼀个，记录其颜⾊，然后放回盒中，再进⾏下⼀次抽取）.记={第i 次抽到⽩球}（i ＝1，2，…，r ），试⽤{}表⽰下述事件：（1）A ={⾸个⽩球出现在第k 次}；（2）B ={抽到的r 个球同⾊}，其中1k r ≤≤.*9. 试说明什么情况下，下列事件的关系式成⽴：（1）ABC =A ；（2）A B C A =.iA 321,,A A A iA iA习题⼆ 3习题⼆1. 从⼀批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率.2. ⼀⼝袋中有5个红球及2个⽩球.从这袋中任取⼀球，看过它的颜⾊后放回袋中，然后，再从这袋中任取⼀球.设每次取球时⼝袋中各个球被取到的可能性相同.求：（1）第⼀次、第⼆次都取到红球的概率；（2）第⼀次取到红球、第⼆次取到⽩球的概率；（3）两次取得的球为红、⽩各⼀的概率；（4）第⼆次取到红球的概率.3. ⼀个⼝袋中装有6只球，分别编上号码1～6，随机地从这个⼝袋中取2只球，试求：（1）最⼩号码是3的概率；（2）最⼤号码是3的概率.4. ⼀个盒⼦中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样.接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，⼀只是不合格品；（3）⾄少有1只是合格品.4习题⼆5. 从某⼀装配线上⽣产的产品中选择10件产品来检查.假定选到有缺陷的和⽆缺陷的产品是等可能发⽣的，求⾄少观测到⼀件有缺陷的产品的概率，结合“实际推断原理”解释得到的上述概率结果.6. 某⼈去银⾏取钱，可是他忘记密码的最后⼀位是哪个数字，他尝试从0～9这10个数字中随机地选⼀个，求他能在3次尝试之中解开密码的概率.7. 掷两颗骰⼦，求下列事件的概率：（1）点数之和为7；（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数.8. 把甲、⼄、丙三名学⽣随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8⼈，试求这三名学⽣住在不同宿舍的概率.9. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求下列事件的概率：（1）事件A={其中恰有⼀位精通英语}；（2）事件B={其中恰有两位精通英语}；（3）事件C={其中有⼈精通英语}.10. 甲袋中有3只⽩球，7只红球，15只⿊球，⼄袋中有10只⽩球，6只红球，9只⿊球，习题⼆ 5 现从两个袋中各取⼀球，求两球颜⾊相同的概率.11. 有⼀轮盘游戏，是在⼀个划分为10等份弧长的圆轮上旋转⼀个球，这些弧上依次标着0～9⼗个数字.球停⽌在那段弧对应的数字就是⼀轮游戏的结果.数字按下⾯的⽅式涂⾊：0看作⾮奇⾮偶涂为绿⾊，奇数涂为红⾊，偶数涂为⿊⾊.事件A ={结果为奇数}，事件B ={结果为涂⿊⾊的数}.求以下事件的概率：（1）)(A P ；（2）)(B P ；（3）()P A B ；（4）)(AB P .12. 设⼀质点⼀定落在xOy 平⾯内由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的三⾓形内，⽽落在这三⾓形内各点处的可能性相等，即落在这三⾓形内任何区域上的可能性与这区域的⾯积成正⽐，计算这质点落在直线x =的左边的概率. 13. 甲、⼄两艘轮船都要在某个泊位停靠6h ，假定它们在⼀昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中⾄少有⼀艘在停靠泊位时必须等待的概率.14. 已知B A ?，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求：（1）)(),(B P A P ；（2）()P A B ；（3）)(AB P ；（4）)(),(B A P A B P ；（5）)(B A P .316习题⼆15. 设A，B是两个事件，已知P（A）=0.5，P（B）=0.7，()P A B=0.8，试求：P（A-B）与P （B-A）.*16. 盒中装有标号为1~r的r个球，今随机地抽取n个，记录其标号后放回盒中；然后再进⾏第⼆次抽取，但此时抽取m个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有k个标号相同的概率.习题三 5习题三1. 已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .2. ⼀批零件共100个，次品率为10％，每次从中任取⼀个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.3. 某⼈有⼀笔资⾦，他投⼊基⾦的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19.（1）已知他已投⼊基⾦，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投⼊基⾦的概率是多少？4. 罐中有m 个⽩球，n 个⿊球，从中随机抽取⼀个，若不是⽩球则放回盒中，再随机抽取下⼀个；若是⽩球，则不放回，直接进⾏第⼆次抽取，求第⼆次取得⿊球的概率.5. ⼀个⾷品处理机制造商分析了很多消费者的投诉，发现他们属于以下列出的6种类型:习题三6如果收到⼀个消费者的投诉，已知投诉发⽣在保质期内，求投诉的原因是产品外观的概率.6. 给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下⾯四个等式：)()(A P B A P =；)()(A P B A P =；)()(B P A B P =；)()(B P A B P =.7. 已知甲袋中装有6只红球，4只⽩球，⼄袋中装有8只红球，6只⽩球.求下列事件的概率：（1）随机地取⼀只袋，再从该袋中随机地取⼀只球，该球是红球；（2）合并两只⼝袋，从中随机地取1只球，该球是红球.8. 设某⼀⼯⼚有A ，B ，C 三间车间，它们⽣产同⼀种螺钉，每个车间的产量，分别占该⼚⽣产螺钉总产量的25％、35％、40％，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分⽐分别为5％、4％、2％.如果从全⼚总产品中抽取⼀件产品，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是车间A ，B ，C ⽣产的概率.9. 某次⼤型体育运动会有1 000名运动员参加，其中有100⼈服⽤了违禁药品.在使⽤者中，假定有90⼈的药物检查呈阳性，⽽在未使⽤者中也有5⼈检验结果显⽰阳性.如果⼀个运习题三 7 动员的药物检查结果是阳性，求这名运动员确实使⽤违禁药品的概率.10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“—”.由于通信系统受到⼲扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”，⽽是分别以概率0.8和0.2收到信号“*”和“—”.同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“*”.求：（1）收报台收到信号“*”的概率；（2）当收报台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率.*11. 甲袋中有4个⽩球6个⿊球，⼄袋中有4个⽩球2个⿊球.先从甲袋中任取2球投⼊⼄袋，然后再从⼄袋中任取2球，求从⼄袋中取到的2个都是⿊球的概率.12. 设事件B A ,相互独⽴.证明：B A ,相互独⽴，B A ,相互独⽴. 13. 设事件A 与B 相互独⽴，且p A P =)(，q B P =)(.求下列事件的概率：(),(),().P A B P A B P A B14. 已知事件A 与B 相互独⽴，且91)(=B A P ，)()(B A P B A P =.求：)(),(B P A P .15. 三个⼈独⽴破译⼀密码，他们能独⽴译出的概率分别为0.25，0.35，0.4，求此密码被译习题三8 出的概率.16. 设六个相同的元件，如下图所⽰那样安置在线路中.设每个元件不通达的概率为p ，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独⽴的.*17. （配对问题）房间中有n 个编号为1~n的座位.今有n 个⼈（每⼈持有编号为1~n 的票）随机⼊座，求⾄少有⼀⼈持有的票的编号与座位号⼀致的概率.（提⽰：使⽤概率的性质5的推⼴，即对任意n 个事件12,,,n A A A ，有1121111111()()(1)()(1)().)k k n n k k i j k i j n k k n i i n i i i n P A P A P A A P A A P A A =≤<≤=--≤<<<≤??=-+ +-++-∑∑∑ *18. （波利亚（Pólya ）罐⼦模型）罐中有a 个⽩球，b 个⿊球，每次从罐中随机抽取⼀球，观察其颜⾊后，连同附加的c 个同⾊球⼀起放回罐中，再进⾏下⼀次抽取.试⽤数学归纳法证明：第k 次取得⽩球的概率为a a b+（1k ≥为整数）.（提习题三 9 ⽰：记{}k A k 第次取得⽩球，使⽤全概率公式1111()=()()+()()k k k P A P A P A A P A P A A 及归纳假设.）19. 甲⼄两⼈各⾃独⽴地投掷⼀枚均匀硬币n 次，试求：两⼈掷出的正⾯次数相等的概率.20. 假设⼀部机器在⼀天内发⽣故障的概率为0.2，机器发⽣故障时全天停⽌⼯作.若⼀周五个⼯作⽇⾥每天是否发⽣故障相互独⽴，试求⼀周五个⼯作⽇⾥发⽣3次故障的概率.21. 灯泡耐⽤时间在1 000 h 以上的概率为0.2，求：三个灯泡在使⽤1 000 h 以后最多只有⼀个坏了的概率.22. 某宾馆⼤楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T ，各电梯正在运⾏的概率均为0.75，求：（1）在此时刻所有电梯都在运⾏的概率；（2）在此时刻恰好有⼀半电梯在运⾏的概率；（3）在此时刻⾄少有1台电梯在运⾏的概率.23. 设在三次独⽴试验中，事件A 在每次试验中出现的概率相同.若已知A ⾄少出现⼀次的概率等于2719，求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P .10习题三*24. 设双胞胎中为两个男孩或两个⼥孩的概率分别为a及b.今已知双胞胎中⼀个是男孩，求另⼀个也是男孩的概率.25. 两射⼿轮流打靶，谁先进⾏第⼀次射击是等可能的.假设他们第⼀次的命中率分别为0.4及0.5，⽽以后每次射击的命中率相应递增0.05，如在第3次射击⾸次中靶，求是第⼀名射⼿⾸先进⾏第⼀次射击的概率.26. 袋中有2n-1个⽩球和2n个⿊球，今随机（不放回）抽取n个，发现它们是同⾊的，求同为⿊⾊的概率.*27. 3个外形相同但可辨别的球随机落⼊编号1~4的四个盒⼦，（1）求恰有两空盒的概率；（2）已知恰有两空盒，求有球的盒⼦的最⼩编号为2的概率.习题四 8习题四1. 下列给出的数列，哪些可作为随机变量的分布律，并说明理由.（1）15ii p =(0,1,2,3,4,5)i =；（2）6)5(2i p i -=(0,1,2,3)i =；（3）251+=i p i (1,2,3,4,5)i =.2. 试确定常数C ，使i C i X P 2)(== (0,1,2,3,4)i =成为某个随机变量X 的分布律，并求：（1）(2)P X >；（2）1522P X ??<<；（3）(3)F （其中F （·）为X 的分布函数）.3. ⼀⼝袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字.从这⼝袋中任取⼀球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数.4. ⼀袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5.从中随机地取3个，以X 表⽰取出的3个球中最⼤号码，写出X 的分布律和分布函数.5. 在相同条件下独⽴地进⾏5次射击，每次射击时击中⽬标的概率为0.6，求击中⽬标的9习题四次数X的分布律.6. 从⼀批含有10件正品及3件次品的产品中⼀件⼀件地抽取产品.设每次抽取时，所⾯对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为⽌所需次数X的分布律：（1）每次取出的产品⽴即放回这批产品中再取下⼀件产品；（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；（3）每次取出⼀件产品后总以⼀件正品放回这批产品中.7. 设随机变量X),6(==XP，XP(=)1B，已知)5~p(求p与)2P的值.(=X8. ⼀张试卷印有⼗道题⽬，每个题⽬都为四个选项的选择题，四个选项中只有⼀项是正确的.假设某位学⽣在做每道题时都是随机地选择，求该位学⽣未能答对⼀道题的概率以及答对9道以上（包括9道）题的概率.9．市120接听中⼼在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为0.5t的泊松分布，⽽与时间间隔的起点⽆关（时间以⼩时计算）：习题四10 求：（1）某天中午12点⾄下午3点没有收到紧急呼救的概率；（2）某天中午12点⾄下午5点⾄少收到1次紧急呼救的概率.10．某商店出售某种物品，根据以往的经验，每⽉销售量X服从参数4=λ的泊松分布.问在⽉初进货时，要进多少才能以99％的概率充分满⾜顾客的需要？11. 有⼀汽车站有⼤量汽车通过，每辆汽车在⼀天某段时间出事故的概率为0.000 1.在某天该段时间内有1 000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率.12. 设鸡下蛋数X服从参数为λ的泊松分布，但由于鸡舍是封闭的，我们只能观察到从鸡舍输出的鸡蛋.记Y为观察到的鸡蛋数，即Y的分布与给定>0X的条件下X的分布相同，今求Y 的分布律.（提⽰：()(0),1,2,.对于）P Y k P X k X k===>=13. 袋中有n把钥匙，其中只有⼀把能把门打开，每次抽取⼀把钥匙去试着开门.试在：（1）有放回抽取；（2）不放回抽取两种情况下，求⾸次打开门时试⽤钥匙次数的分布律.习题四11 14. 袋中有a 个⽩球、b 个⿊球，有放回地随机抽取，每次取1个，直到取到⽩球停⽌抽取，X 为抽取次数，求()P X n ≥.15. 据统计，某⾼校在2010年上海世博会上的学⽣志愿者有6 000名，其中⼥⽣3 500名.现从中随机抽取100名学⽣前往各世博地铁站作引导员，求这些学⽣中⼥⽣数X 的分布律.16. 设随机变量X 的密度函数为2,()0,x f x ?=??0,x A <<其他,试求：（1）常数A ;（2）)5.00(<17．设随机变量X 的密度函数为()e x f x A -=()x -∞<<+∞，求：（1）系数A ；（2）)10(<（3）X 的分布函数. 18．证明：函数22e ,0,()0,0,xc x x f x c x -??≥=??可作为⼀个密度函数.19. 经常往来于某两地的⽕车晚点的时间X（单位：min ）是⼀个连续型随机变量，其密度函数为23(25),55,()5000,x x f x ?--<X 为负值表⽰⽕车早到了.求⽕车⾄少晚点2min 的概率.习题四 1220. 设随机变量X 的分布函数为0()1(1)e x F x x -?=?-+?,0,,0,x x ≤>求X 的密度函数，并计算)1(≤X P 和)2(>X P .21. 设随机变量X 在(1,6)上服从均匀分布，求⽅程012=++Xt t 有实根的概率.22. 设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，证明：对于0,0,1a b a b ≥≥+≤，()P a X b b a ≤≤=-，并解释这个结果.23. 设顾客在某银⾏的窗⼝等待服务的时间X （单位：min ）是⼀随机变量，它服从51=λ的指数分布，其密度函数为51e ()50x f x -??=,0,,x >其它.某顾客在窗⼝等待服务，若超过10 min ，他就离开.（1）设某顾客某天去银⾏，求他未等到服务就离开的概率；（2）设某顾客⼀个⽉要去银⾏五次，求他五次中⾄多有⼀次未等到服务⽽离开的概率.24. 以X 表⽰某商店从早晨开始营业起直到第⼀个顾客到达的等待时间（单位：min ），X 的分布函数是0.21e ,0,()0,x x F x -?->=??其他.求：（1）X 的密度函数；（2）P （⾄多等待。

概率的练习题概率的练习题概率是数学中的一个重要分支，它研究的是事件发生的可能性。

在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的概率问题，比如抛硬币、掷骰子、抽卡等等。

解决这些问题需要一定的数学知识和技巧，下面我们来看几个概率的练习题。

练习题一：抛硬币假设有一枚公平的硬币，抛掷一次，求出正面朝上的概率。

解答：由于硬币是公平的，正反面朝上的概率是相等的，所以正面朝上的概率为1/2。

练习题二：掷骰子现有一个六面骰子，掷一次，求出点数为偶数的概率。

解答：骰子有六个面，分别是1、2、3、4、5、6。

其中2、4、6为偶数，所以点数为偶数的概率为3/6，即1/2。

练习题三：抽卡某款手机游戏中，有一张稀有卡牌，抽取一次，求出抽到稀有卡牌的概率。

解答：假设游戏中共有100张卡牌，其中只有1张是稀有卡牌。

所以抽到稀有卡牌的概率为1/100。

练习题四：概率的加法定理现有一个装有5个红球和3个蓝球的袋子，从中随机抽取一个球，求出抽到红球或蓝球的概率。

解答：袋子中共有8个球，其中5个红球和3个蓝球。

抽到红球或蓝球的概率可以通过概率的加法定理计算，即红球的概率加上蓝球的概率。

红球的概率为5/8，蓝球的概率为3/8，所以抽到红球或蓝球的概率为5/8 + 3/8 = 8/8 = 1。

练习题五：概率的乘法定理某次考试有选择题和填空题两部分，选择题有5道，填空题有3道。

小明随机回答这些题目，求出他全部回答正确的概率。

解答：选择题每道题有4个选项，小明全部回答正确的概率为(1/4)^5，填空题每道题有10个选项，小明全部回答正确的概率为(1/10)^3。

根据概率的乘法定理，小明全部回答正确的概率为(1/4)^5 * (1/10)^3。

以上是几个概率的练习题，通过解答这些题目可以加深对概率的理解。

在实际生活中，概率问题无处不在，掌握概率的计算方法对我们做出正确的决策和判断非常重要。

希望通过这些练习题的学习，大家能够更好地理解和运用概率知识。

概率测试题及答案一、选择题1. 一个骰子掷出6点的概率是：A. 1/3B. 1/6C. 1/2D. 1答案：B2. 抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的概率相等，这个概率是：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 2/3答案：A3. 如果一个事件的发生不影响另一个事件的发生，这两个事件被称为：A. 互斥事件B. 独立事件C. 必然事件D. 不可能事件答案：B二、填空题1. 概率的基本性质是：概率的值介于________和1之间。

答案：02. 如果事件A和事件B是互斥的，那么P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)，其中P(A∩B) = ________。

答案：0三、简答题1. 什么是条件概率？请给出条件概率的公式。

答案：条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率的公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(B)≠ 0。

四、计算题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。

答案：抽到红球的概率为P(红球) = 5/(5+3) = 5/8。

2. 有3个独立事件A、B、C，它们各自发生的概率分别为P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，P(C) = 0.5。

求事件A和事件B同时发生的概率。

答案：事件A和事件B同时发生的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.3 × 0.4 = 0.12。

五、论述题1. 论述什么是大数定律，并给出一个实际生活中的例子。

答案：大数定律是概率论中的一个概念，它指出随着试验次数的增加，事件发生的相对频率趋近于其概率。

例如，在抛硬币的实验中，随着抛硬币次数的增加，正面朝上的频率会趋近于1/2，即硬币正面朝上的概率。

小学一年级简单概率练习题题目一：请你从一个有10个红球和20个蓝球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。

题目二：小明有一副扑克牌，共有52张牌，其中有4种花色（红桃、黑桃、方块、草花），每种花色有13张牌。

现在小明从中随机抽取一张牌，请你求取到红桃的概率。

题目三：一个骰子有6个面，分别标有1、2、3、4、5、6。

小刚和小明同时投掷一次骰子，他们想知道投掷出的点数之和是偶数的概率。

请你计算这个概率。

题目四：小华从一个有20支铅笔中随机选取一支，从一个有10只黑色铅笔和5只红色铅笔中随机选取一支，他想知道他所选取的铅笔颜色相同的概率。

请你计算这个概率。

题目五：小明要从一个有12个苹果和8个橙子的篮子中随机拿出两个水果，他想知道他拿到两个苹果的概率。

请你计算这个概率。

题目六：小明要从一个有36张牌的扑克牌中随机抽取两张牌，他想知道他抽到两张相同花色的概率。

请你计算这个概率。

题目七：在一盒子里有10张卡片，卡片上写着1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

小明从盒子中随机抽取一张卡片，他想知道他抽到的数字是偶数的概率。

请你计算这个概率。

题目八：小刚和小明按顺序轮流抛一枚硬币。

小刚抛出正面的概率是0.6，小明抛出正面的概率是0.4。

他们想知道按照这个规则进行两次抛硬币后，出现正面的次数是偶数的概率。

请你计算这个概率。

题目九：小红和小蓝各自有一副扑克牌，共有52张牌，他们同时从各自的扑克牌中随机抽取一张牌，他们想知道他们抽到的两张牌花色相同的概率。

请你计算这个概率。

题目十：在一个包包中有6条裙子和4条裤子，小明随机选择两条，他想知道他选择的两条裤子的概率。

请你计算这个概率。

初三概率初步练习题
概率是数学中一个非常重要的概念，它用于描述事物发生的可能性。

在初三数学中，我们需要掌握基本的概率计算方法和相关的概念。

下
面是一些初步练习题，帮助大家加深对初中概率的理解和应用。

1. 掷骰子问题
（1）一个骰子有六个面，上面分别印有1、2、3、4、5、6六个数字。

如果我们掷骰子一次，求出现奇数的概率。

（2）我们再掷三次骰子，求三次均出现偶数的概率。

2. 选班干部问题
班级里有5个男生和10个女生，从中选取2个班干部，求选出的
两位班干部中至少有一位女生的概率。

3. 抽奖问题
一个奖箱里有10张彩票，其中3张是一等奖，7张是二等奖。

如果
我们从中抽取2张彩票，求至少一张是一等奖的概率。

4. 排队问题
某超市推出了一款新产品，只有前10名顾客才可以获得一份赠品。

如果有20名顾客前来购买，求其中至少有一位顾客能获得赠品的概率。

5. 生日问题
在一个班级里，有28名同学。

求至少有两位同学生日相同的概率。

以上是初三概率初步练习题，通过解答这些题目，我们可以加深对概率的理解和运用。

希望大家能够通过这些练习题，更好地掌握初中概率的相关知识。

努力学习，提升自己的数学能力！。

随机概率练习题概率是数学中的一个分支，用于研究各种随机现象的可能性。

在现实生活中，我们经常遇到各种概率问题，例如投掷硬币、掷骰子或者抽取扑克牌等。

本文将提供一些随机概率练习题，帮助读者加深对概率的理解和应用。

问题一：抛掷硬币设想有一个公正的硬币，仅有正反两面。

当我们抛掷硬币时，有一半的机会正面朝上，另一半的机会反面朝上。

现在，将该硬币抛掷三次，请计算以下概率：1. 正反正的出现概率是多少？2. 至少有两次正面朝上的概率是多少？问题二：掷骰子假设我们有一个标准的六面骰子，上面的数字分别是1、2、3、4、5和6。

现在，我们将该骰子投掷两次，请计算以下概率：1. 行程总和为7的概率是多少？2. 至少有一次投掷出3点的概率是多少？问题三：扑克牌一副扑克牌包括52张牌，分为梅花、方块、红桃和黑桃四种花色，并分别标有2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K和A。

现在，我们从这幅牌中随机抽取两张，请计算以下概率：1. 抽取的两张牌都是红色的概率是多少？2. 抽取的两张牌的点数之和为17的概率是多少？问题四：随机事件现在，让我们考虑一个更复杂的概率问题。

假设某公司雇佣了3个销售员，他们的销售额分别为10万元、20万元和30万元。

现在，从这3个销售员中随机选择一个，请计算以下概率：1. 选择的销售员销售额超过20万元的概率是多少？2. 选择的销售员销售额介于10万元和30万元之间的概率是多少？以上提出的随机概率练习题旨在帮助读者巩固概率知识，并通过实际问题的应用来提高解决问题的能力。

通过解答这些问题，读者可以更好地理解和运用概率概念，培养逻辑思维和数学推理能力。

请读者朋友们在解答以上问题时，注意运用概率公式和概率树等工具，准确计算出各项概率。

通过多次实践和练习，相信读者们对概率问题的理解会越来越深入，并能够在实际生活中灵活运用概率知识。

总结：本文提供了一些随机概率练习题，涵盖了抛掷硬币、掷骰子、抽取扑克牌和随机事件等不同情境。

小学一年级概率的应用练习题题一：骰子游戏小明有一个六面骰子，上面的数字从1到6。

他想知道，他投掷这个骰子三次，每次都投出奇数的概率是多少？题二：拼字游戏小红正在参加一个拼字游戏，游戏规则是从一个装有26个字母卡片的袋子里摸出一个字母，然后猜猜这个字母是哪个。

如果小红已经摸了一个字母“R”，那么她再次摸到字母“R”的概率是多少？题三：果汁盒子小亮放进一个装有红色苹果汁和橙色橙汁两种果汁的盒子中。

他从中抽取一瓶果汁，发现是红色苹果汁。

如果他再次从盒子中抽取一瓶果汁，那么他抽到的是红色苹果汁的概率是多少？题四：乘法口诀算式小华正在学习乘法口诀表。

他准备从中随机选取一个算式进行计算，并猜测结果。

如果他猜测结果是正确的，那么他选到的算式中，乘数都是偶数的概率是多少？题五：糖果袋子小李有一个装有红色糖果和蓝色糖果的袋子。

他从袋子中抽取一颗糖果，发现是红色糖果。

如果他再次从袋子中抽取一颗糖果，那么他抽到的是红色糖果的概率是多少？题六：沙滩上的贝壳小明和小红一起在沙滩上寻找贝壳。

他们每人一次可以捡到一个贝壳，并将其放回沙滩上。

小明和小红各自分别捡取了两个贝壳，共四个贝壳。

其中两个贝壳是红色的，两个贝壳是蓝色的。

现在他们通过观察两次捡到的贝壳颜色，猜测下一次捡到贝壳的颜色。

他们的猜测都是基于之前捡到贝壳的颜色。

请问，小明猜测下一次捡到贝壳的颜色是红色的概率是多少？以上是小学一年级概率的应用练习题。

你可以根据学生的年级和能力进行适当调整难易程度和题目思维深度。

希望对你有帮助！。

小学数学概率练习题
一、选择题
1. 下列事件中，属于互斥事件的是：
A. 两个骰子同时掷出的点数之和为奇数
B. 从扑克牌中抽到红桃
C. 抛一枚硬币，正面向上
D. 掷一个骰子，掷出的点数为2
2. 某班级有30人，其中有15人喜欢篮球，12人喜欢足球，3人既喜欢篮球又喜欢足球，那么既不喜欢篮球也不喜欢足球的人数是：
A. 0
B. 3
C. 9
D. 15
二、填空题
1. 设事件A发生的概率为1/3，事件B发生的概率为1/4，且事件A 和事件B的联合事件发生的概率为1/6，那么事件A和事件B的交叉事件发生的概率为______。

2. 一袋中有红、蓝、黄三种颜色的球，红球4个，蓝球3个，黄球2个。

从中任取两个球，不放回去，求两球的颜色都相同的概率为
______。

三、解答题
1. 假设甲、乙、丙三个人依次从1、2、3号球中任取一个，求他们依次取到的号码之和为偶数的概率。

2. 一筐中有6个红球，4个蓝球，3个黄球。

从中逐次取球，不放回。

若先取到红球，再取到蓝球，问概率是多少？
题目答案：
一、选择题
1. A
2. C
二、填空题
1. 1/12
2. 2/9
三、解答题
1. 概率为1/2
2. 概率为2/39
注意：以上只是示例题目和解答，实际题目和答案可能有所不同，仅供参考。

西大2014《概率论》作业答案(6次作业-已整理)西南大学2014年秋季学期《概率论》作业答案（6次作业,已整理）第一次作业1：[判断题]"A∪B∪C”表示三事件A、B、C至少有一个发生。

参考答案：正确2：[判断题]从一堆产品中任意抽出三件进行检查，事件A 表示"抽到的三个产品中合格品不少于2个”，事件B表示"抽到的三个产品中废品不多于2个”，则事件A与B是互为对立的事件。

参考答案：错误3：[判断题]已知：P(A)=0.2, P(B)=0.5, P(AB)=0.1,则P(A∪B)=0.6参考答案：正确4：[判断题]设A、B、C为三事件，若满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P (C),则三事件A、B、C必然相互独立。

参考答案：错误5：[判断题]每一个连续型随机变量均有方差存在。

参考答案：错误6：[判断题]设X、Y是随机变量，若E(XY)=EX•EY,则X 与Y相互独立.参考答案：错误7：[判断题]X为随机变量，a,b是不为零的常数，则E(aX+b)=aEX+b.参考答案：正确8：[判断题]X～N(3,4),则P(X<3)= P(X>3).参考答案：正确9：[判断题]任意随机变量均存在数学期望。

参考答案：错误10：[判断题]一批产品有10件正品，3件次品，现有放回的抽取，每次取一件，直到取得正品为止，假定每件产品被取到的机会相同，用随机变量ξ表示取到正品时的抽取次数，则ξ服从几何分布。

参考答案：正确11：[单选题]设X是随机变量，且EX=DX,则X 服从（）分布。

A：二项B：泊松C：正态D：指数参考答案：B12：[单选题]（）是离散型随机变量的分布。

A：正态分布B：指数分布C：均匀分布D：二项分布参考答案：D13：[填空题]一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）"第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为；（2）"第一卷出现在旁边”的概率为。

概率的练习题概率是数学中的一个分支，用于研究事件发生的可能性。

在现实生活中，我们经常遇到需要计算概率的情况，这些情况往往涉及到随机事件的发生。

本文将通过一些练习题来帮助读者加深对概率的理解和应用。

练习题一：抛硬币假设有一枚均匀的硬币，抛掷结果只有两种可能：正面或反面。

现在，我们进行一系列的抛硬币实验，请回答以下问题：1. 抛掷一次硬币，正反面出现的概率各是多少？2. 抛掷两次硬币，正正面出现的概率是多少？3. 抛掷三次硬币，至少出现一次正面的概率是多少？4. 抛掷四次硬币，正面出现次数等于反面出现次数的概率是多少？练习题二：扑克牌扑克牌是一种常见的玩具牌类游戏，在游戏中常常需要计算牌的概率。

请回答以下问题：1. 从一副标准的扑克牌（52张牌，不包括大小王）中，抽一张牌，这张牌是黑桃的概率是多少？2. 从一副标准的扑克牌中，抽取两张牌，其中至少一张是红心的概率是多少？3. 从一副标准的扑克牌中，连续抽取三张牌，三张牌的花色全部相同的概率是多少？4. 从一副标准的扑克牌中，连续抽取五张牌，其中四张牌的点数相同，剩下一张点数不同的概率是多少？练习题三：篮球比赛在一场篮球比赛中，队伍A和队伍B进行对抗。

现在，根据两队的历史表现和球场状态，我们假设队伍A和队伍B获胜的概率分别为0.6和0.4。

请回答以下问题：1. 队伍A连胜两场的概率是多少？2. 队伍A和队伍B轮流获胜，直到其中一队获得三次胜利的概率是多少？3. 如果比赛进行到平局，需要额外进行两场比赛来分胜负。

在这种情况下，队伍A获胜的概率是多少？4. 比赛进行到第四场时，队伍A已经连续获胜三场。

在这种情况下，队伍A连续获胜四场的概率是多少？以上是关于概率的一些练习题，通过解答这些问题，读者可以巩固对概率的理解，并将其应用于实际问题中。

概率的计算可以帮助我们预测事件的发生可能性，对决策和分析具有重要意义。

希望读者通过这些练习题，能够更加熟练地运用概率的概念和方法。

中考试题专题之概率一、选择题1、（2009呼和浩特）有一个正方体，6个面上分别标有1~6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字是偶数的概率为（ ） A ．13B ．16C ．12D ．142、（2009青海）将三个均匀的六面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体同时掷出，出现的数字分别为a b c 、、，则a b c 、、正好是直角三角形三边长的概率是（ ） A ．1216B ．172C ．112D ．1363、（2009年黄石市）为了防控输入性甲型H1N1流感，某市医院成立隔离治疗发热流涕病人防控小组，决定从内科5位骨干医师中（含有甲）抽调3人组成，则甲一定抽调到防控小组的概率是（ ） A ．35B ．25C ．45D ．15一、填空题1、（2009年枣庄市）13．布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球．．的概率是 ． 2、（2009年佳木斯）甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5、6、7的三张扑克牌中。

随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的积为偶数，则乙获胜，这个游戏 （填“公平”或“不公平”）3、（2009年赤峰市）如右图，是由四个直角边分别是3和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，小亮随机的往大正方形区域内投针一次，则针扎在阴影部分的概率是4、（2009青海）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是 个．5、（2009年龙岩）在3 □ 2 □（－2）的两个空格□中，任意填上“+”或“－”，则运算结果为3的概率是 ．6、（2009年广东省）在一个不透明的布袋中装有2个白球和n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是45，则n __________． 7、（2009年邵阳市）晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为______。

初三概率列表法数学练习题概率是数学中的一个重要概念，初中学生在学习及运用概率时，常常会遇到各种类型的概率问题。

概率列表法是解决某些复杂概率问题的一种有效方法，通过将各种可能性列出来并进行计算，可以得出相应的概率结果。

本文将给出几个适合初三学生练习的概率列表法数学练习题，以帮助学生提高概率计算能力。

练习题一：某班级的学生有30人，其中20人喜欢看电视剧，15人喜欢打篮球，10人同时喜欢看电视剧和打篮球。

现从这30人中随机抽取一人，请回答以下问题：1. 抽到的学生既喜欢看电视剧又喜欢打篮球的概率是多少？2. 抽到的学生只喜欢看电视剧或只喜欢打篮球的概率分别是多少？3. 抽到的学生既不喜欢看电视剧也不喜欢打篮球的概率是多少？解析：1. 从30人中抽取的学生同时喜欢看电视剧和打篮球的人数为10人，因此概率为10/30=1/3。

2. 从30人中抽取的学生只喜欢看电视剧的人数为20-10=10人，只喜欢打篮球的人数为15-10=5人，因此只喜欢看电视剧的概率为10/30=1/3，只喜欢打篮球的概率为5/30=1/6。

3. 从30人中抽取的学生既不喜欢看电视剧也不喜欢打篮球的人数为30-10-10-5=5人，因此概率为5/30=1/6。

练习题二：某班级的学生有40人，其中30人喜欢音乐，25人喜欢画画，20人既喜欢音乐又喜欢画画。

现从这40人中随机抽取一人，请回答以下问题：1. 抽到的学生既喜欢音乐又喜欢画画的概率是多少？2. 抽到的学生只喜欢音乐或只喜欢画画的概率分别是多少？3. 抽到的学生既不喜欢音乐也不喜欢画画的概率是多少？解析：1. 从40人中抽取的学生同时喜欢音乐和画画的人数为20人，因此概率为20/40=1/2。

2. 从40人中抽取的学生只喜欢音乐的人数为30-20=10人，只喜欢画画的人数为25-20=5人，因此只喜欢音乐的概率为10/40=1/4，只喜欢画画的概率为5/40=1/8。

3. 从40人中抽取的学生既不喜欢音乐也不喜欢画画的人数为40-30-25+20=5人，因此概率为5/40=1/8。

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= .(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： .(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： .(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： .2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=BA ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= .2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。

高中传统概率练习题及讲解在高中数学课程中，概率论是统计学和概率论的基础，它涉及到随机事件和其发生的不确定性。

以下是一些传统的高中概率练习题，以及相应的讲解，帮助学生更好地理解和掌握概率的计算方法。

练习题1：掷骰子一个均匀的骰子有6个面，每个面上分别有1到6的点数。

如果掷一次骰子，求掷出3点的概率。

讲解：骰子有6个面，每个面出现的概率是相等的。

因此，掷出3点的概率是1/6。

练习题2：抽牌一副标准的扑克牌有52张，包括四种花色，每种花色有13张牌。

如果从这副牌中随机抽取一张，求抽到红心A的概率。

讲解：一副牌中只有一张红心A，所以抽到红心A的概率是1/52。

练习题3：掷硬币一个公正的硬币有两面，正面和反面。

如果连续掷两次硬币，求至少出现一次正面的概率。

讲解：首先计算没有出现正面的概率，即两次都是反面的概率，为(1/2) *(1/2) = 1/4。

然后用1减去这个概率，得到至少出现一次正面的概率，即1 - 1/4 = 3/4。

练习题4：生日问题在一个有23个学生的班级中，求至少有两个人生日相同的概率。

讲解：这个问题可以通过计算没有两个人生日相同的概率来解决。

第一个学生的生日可以是一年中的任何一天，所以概率是365/365。

第二个学生的生日与第一个不同的概率是364/365，以此类推。

最后用1减去这个概率，得到至少有两个人生日相同的概率。

练习题5：独立事件如果一个事件A发生的概率是0.3，另一个事件B与A是独立的，且B发生的概率是0.4，求A和B同时发生的概率。

讲解：两个独立事件同时发生的概率是它们各自发生概率的乘积。

因此，A和B同时发生的概率是0.3 * 0.4 = 0.12。

通过这些练习题，学生可以更好地理解概率的基本概念，如随机事件、概率的计算以及独立事件的组合概率。

这些基础知识对于进一步学习统计学和概率论至关重要。