大物力学第四章 动能与势能

质点的动能变化定理： 质点的动能变化定理： 的动能变化定理 合外力对质点所作的功等于质点动 能的增量。 能的增量。 推广到质点系：
W +W ＝∑E − ∑E 外 内
i k
i k
初 态
末 态
作用于质点系的外力作功和内力作功的 总和等于质点系动能的增加。
动能定理和动量定理的比较 动能定理 动量定理 都是从牛顿定律推出
W = ∆E k
力对空间的累积作用 标量 惯性系 内力作功不一定为零 合外力为零， 作功不一定为零
v v I = ∆P
力对时间的累积作用 矢量 惯性系 内力冲量为零 合外力为零， 总的冲量一定为零
几种典型力的功 重力作功
h −d θ h
v dr
dr
h1
mg θ h2
v v v dr = dxi + dyj v r dW = m g ⋅ dr v v v = − mg j ⋅ (dxi + dyj ) = − mgdy
功率
•定义：单位时间内完成的功，叫做功率 定义：单位时间内完成的功， 定义
∆W P＝ ∆t
•功率的公式 功率的公式 即时功率） （即时功率） •单位：瓦特(W) 单位：瓦特( ) 单位
dW P＝ ＝ dt
dW＝Pdt
•物理意义：表示作功的快慢 物理意义： 物理意义
v v v v dW F ⋅ dS W＝ = = F ⋅v dt dt
r0
分子间的作用力：O2, H2
σ 12 σ 6 U ( x ) = 4 ∈ − x x
功能原理 机械能守恒定律
质点系的动能定理
设一系统有n个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为： 设一系统有 个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为： 个质点 W1, W2, …, Wn,使各个质点由初动能 k10, Ek20, …, Ekn0,变成 使各个质点由初动能E 使各个质点由初动能 变成 末动能， 末动能，Ek1, Ek2, …, Ekn
θ
m
说明 •功是标量，没有方向，只有大小，但有正负 功是标量， 功是标量 没有方向，只有大小， θ<π/2， 为正值， θ<π ，功W为正值，力对物体作正功； 为正值 力对物体作正功； θ=π /2，功W=0， ， ， 力对物体不作功； 力对物体不作功； 为负值， θ>π /2，功W为负值，力对物体作负功，或 ， 为负值 力对物体作负功， 物体克服该力作功。 物体克服该力作功。 •单位：焦耳(J) 1J=1N·m 单位：焦耳 单位
v v ∫ F ⋅ dr
adb
acb
v v W = ∫ F ⋅ dr = 0
l
物体沿任意闭合路径运行一 周时， 周时，保守力对它所作的功 为零。 为零。 保守力作功与路径无关和 保守力作功与路径无关和保 守力沿任意路径一周所的功 为零——保守力的判据 为零 保守力的判据
势能
在具有保守力相互作用的系统内， 在具有保守力相互作用的系统内，只由质点间的相对位置决 定的能量称为势能， 定的能量称为势能， 其大小为将质点由该处移到势能为零处 保守力做的功。 保守力做的功。
W1 = E k 1 − E k 10 W2 = E k 2 − E k 20 LLLLLLL Wn = E n1 − E n10
n n i ki
+
i =1
∑W = ∑ E
i =1
− ∑ E ki 0
i =1
n
作用于质点系的 内力和外力所作 的功等于系统动 能增量——质点 质点 能增量 系的动能定理
Mm E p = −G r
重力势能曲线
弹性势能曲线
万有引力势能曲线
保守力等于势能函数 r ∂Ep r ∂Ep r ∂Ep r 梯度的负值，负号表 梯度的负值， F = −( i+ j+ k) 示保守力指向势能减 ∂x ∂y ∂z 少的方向
3) 通过势能曲线可以判断物体的平衡位置和平衡状态。 通过势能曲线可以判断物体的平衡位置和平衡状态。 稳定平衡 不稳定平衡
第四章
动能和势能
功，动能, 动能定理 动能 保守力的功和势能 机械能变化和守恒 三种宇宙速度
力对时间的累积作用 力对空间的累积作用
冲量 功
恒力的功
W＝F ∗ r ∗ cosθ
•恒力的功 恒力的功 力对质点所作的功等于该力在位移 方向上的分量与位移大小的乘积
F
F m r
v v W＝Frcosθ = F ⋅ r
W =∫
x2 x1
x
1 2 1 2 − kxdx = kx1 − kx 2 2 2
弹性力作功只与质点的起 始和终了位置有关， 始和终了位置有关，而与 质点所经过的路径无关。 质点所经过的路径无关。
1、保守力与非保守力 、 保守力： 保守力：作功只与初始和终了位置有关而与路径无关这一
特点的力——万有引力、重力、弹性力 万有引力、 特点的力 万有引力 重力、
v v v v F = Fx i + Fy j + Fz k v v v v dr = dxi + dyj + dzk
W＝∫ Fx dx + F y dy + Fz dz
(
)
2.功的计算依赖于参考系的选择： 2.功的计算依赖于参考系的选择： 功的计算依赖于参考系的选择
r v v dr = dr ′ + u dt v v v v v W＝ ∫ F • dr = ∫ F • (dr ′ + u dt )
系统的动能与势 能之和为系统的
W外力＋W非保守内力＝E－E0
质点系的功能原理 质点系的机械能的增量等于外力和非 保守内力对系统所作的功之和。 保守内力对系统所作的功之和。
v v v v v v = ∫ F • dr ′ + ∫ F • u dt = W ′ + ∫ F • u dt
O
S
u S′
Ｐ
v v r r'
O′
3. 功是个过程量。 功是个过程量。 力作功与路径有关， 力作功与路径有关，即力沿不同的路径所作的功可能是不同的 例．一个质点沿如图所示的路径运行，求力 一个质点沿如图所示的路径运行， F=(4-2y)i (SI) 对该质点所作的功，（ ）沿 对该质点所作的功，（ ，（1） ODC；（ ）沿OBC。 ；（2） ；（ 。
B 2
C 2 D
O
•合力的功 合力的功
v v v v v v W＝∫ F ⋅ dS＝∫ ( ∑ Fi ) ⋅ dS = ∑ ( ∫ Fi ⋅ dS ) = ∑ W i
合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。 合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。 质点所作的功
外力对质点系的总功
•变力的功 变力的功 分成许多微小的位移元， 分成许多微小的位移元， 在每一个位移元内， 在每一个位移元内，力所作的功为 Z
v dr
b θ
v F
v v dW = F ⋅ dr = F cosθ dr
总功 O X
a
Y
v v W＝ dW = ∫ F ⋅ dr = ∫ F cosθ dr ∫
说明： 说明： 1. 功的分量表示：
v v EP (Q) = ∫ Fc • dr
Q
0
EP=0 Q
两点势能差：
0 v v v v (E p 2 − E p1 ) = ∫ Fc • dr − ∫ Fc • dr 0 2 1
EP=0 1
＝
∫
2
1
v v Fc • d r
2
2、关于势能的说明 、
•只有对保守力，才能引入势能的概念 只有对保守力， 只有对保守力 •势能是物体状态的函数，与物体运动轨迹和参考系无关。 势能是物体 的函数，与物体运动轨迹和参考系无关。 •势能具有相对性，势能的值与势能的零点有关 势能具有 零点可以任意选择，一般选地面； 重力势能：零点可以任意选择，一般选地面； E p = mgy Mm 零点选在无穷远点； 引力势能：零点选在无穷远点； E p = −G r 1 2 E p = kx 零点选在弹簧的平衡位置。 弹性势能：零点选在弹簧的平衡位置。 2 •势能属于系统，势能是由于系统内各物体间具有保守力作 势能属于 用而产生的。 用而产生的。 重力势能： 重力势能：物体和地球组成的系统 引力势能： 引力势能：两个物体组成的系统 弹性势能： 弹性势能：物体和弹簧 势能
v v 1 2 1 2 ∫ F ⋅ dr＝ 2 mv2 − 2 mv1
定义： 动能：
1 2 Ek = mv 2
说明： 单位：焦耳=千克 千克• 单位：焦耳 千克•米2/秒2 秒 动能是瞬时量 依赖于参考系
动能变化定理
v v 1 2 1 2 ∫ F ⋅ dr＝ 2 mv2 − 2 mv1
W = Ek (b) − Ek (a)
r r
dl
θ
v dl
2
•
θ v r mM v r dr dW = F ⋅ dr = －G 2 er ⋅ dr r mM mM = －G 2 er ⋅ dl cos θ = －G 2 dr r r
mM W = ∫ －G 2 dr ra r 1 1 = GMm − r r a b
势能曲线
势能是物体位置的函数 势能是物体位置的函数 位置
E p = mgy
1 2 E p = kx 2
Mm E p = −G r
重力势能曲线
弹性势能曲线
万有引力势能曲线
说明： 说明： 1) 势能曲线表明势能的空间特性 2) 保守力可以通过势能函数求得。 保守力可以通过势能函数求得。
∆E p = E p ( x + ∆x ) − E p ( x ) =−
x + ∆x
∫ f ( x)dx = − f ( x)∆x
x
∴ f (x) = −
dEp dx
保守力等于势能函数 r ∂Ep r ∂Ep r ∂Ep r 梯度的负值，负号表 梯度的负值， F = −( i+ j+ k) 示保守力指向势能减 ∂x ∂y ∂z 少的方向
E p = mgy
1 2 E p = kx 2
非保守力：作功与路径有关的力——摩擦力 非保守力：作功与路径有关的力 摩擦力 2、保守力判据 、保守力判据
v v W = ∫ F ⋅ dr =
l
v v ∫ F ⋅ dr +
acb
v v ∫ F ⋅ dr
bda
v v v v ∫ F ⋅ dr = − ∫ F ⋅ dr
bda adb
v v ∫ F ⋅ dr =
W外＝ ∑ W外＝ ∑ ∫
i ຫໍສະໝຸດ Baidu i
ri
ri 0
v v Fi • dri
不一定相同
对于不同的质点，
∑∫
i
ri
ri 0
v v v v Fi • dri ≠ ∫ ( ∑ Fi ) • dr
v dri
外力做的总功不等于合外力作的功。
内力作功： 内力作功：
W内 = ∫
v v v v f12 • dr1 + ∫ f 21 • dr2
rb
• v m f r
rb •M
1•
ra
有心力：
v ˆ F = f (r)er
b
如库仑力， 如库仑力，
引力作功只与质点的起始和终了位置有 关，而与质点所经过的路径无关
W = ∫ f (r)dr
a
= φ(b) −φ(a)
3、弹性力作功 、
F o x1 x dx x2
v v F＝－ kxi v v dW = F ⋅ dx v v = − kxi ⋅ dxi = − kxdx
v v Q f12 = − f 21
v v v W = ∫ f12 • (dr − dr2 ) 1 内
内力做功不一定为零 内力作功与参考系选择无关： 内力作功与参考系选择无关：
v v v v dr − dr2 = dr′ − dr2′ 1 1 v v v v v v W = ∫ f12 • (dr − dr2 ) ∫ f12 • (dr′− dr2′) W′ ＝ ＝内 1 1 内
质点系的机械能变化定理
W ＝ W 外力 ＋ W 内＝ W 外＋ W 保守内 ＋ W 非保守内
W = Ek − E k 0
W保守内力 = －( E p − E p 0 )
W 力 W 保守内力＝ k－ k0＋ p − Ep0 E E E 外 ＋ 非 = (Ek＋ p ) − (Ek0 + Ep0 ) E
W = ∫ − mgdy = − (mgy 2 − mgy1 ) = − mg ( y2 − y1 )
y1 y2
o
重力作功只与质点的起始和 终了位置有关， 终了位置有关，而与质点所 经过的路径无关。 经过的路径无关。
W = mgy 1 − mgy 2
万有引力作功
v mM ˆ F = −G 2 er r
简称瓦 ＝焦/秒, 简称瓦
1马力＝735瓦特
动能
一质量为m 的物体在合外力F的作用 一质量为 的物体在合外力 的作用 点运动到B点 下，由A点运动到 点，其速度的大小由 点运动到 v1变成 2。 变成v
v v dW = F ⋅ dr
v dv v 1 2 v v ＝m • v dt = mv • dv = d ( mv ) dt 2