苏科版七年级数学下册 8.2 幂的乘方与积的乘方(2)——积的乘方 (共27张PPT)

第06讲幂的运算(核心考点讲与练)一．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m•a n＝a m+n（m，n是正整数）（2）推广：a m•a n•a p＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．二．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n＝a mn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝a n b n（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．三．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．四．科学记数法—表示较小的数用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律x的取值范围表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整数的位数﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）五．科学记数法—原数（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．六．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．a m÷a n＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．七．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由a m÷a m＝1，a m÷a m＝a m﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．八．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．一．同底数幂的乘法（共6小题）1．（2021•清江浦区一模）a2•a3＝（）A．a2+a3B．a6C．a5D．6a 2．（2021•沙坪坝区校级二模）计算x8•x2的结果是（）A．x4B．x6C．x10D．x163．（2021春•江阴市校级月考）已知：2m＝1，2n＝3，则2m+n＝（）A．2B．3C．4D．64．（2021春•镇江期中）规定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝32，则x的值为（）A．29B．4C．3D．25．（2021春•常熟市期中）计算a2•a2的结果是（）A．a4B．a3C．a2D．a6．（2021春•江都区月考）填空：a•a2＝．二．幂的乘方与积的乘方（共6小题）7．（2021•武进区模拟）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a6C．a2•a3＝a6D．（ab）2＝ab2 8．（2021春•睢宁县月考）计算（0.25）2019×（﹣4）2020等于（）A．﹣1B．+1C．+4D．﹣4 9．（2021•高邮市二模）下列运算正确的是（）A．（﹣a3）2＝a5B．5a2b﹣3a2b＝2C．a4•a2＝a6D．（3ab2）3＝9a3b610．（2021秋•江油市期末）已知2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则24m+10n＝．11．（2021春•宜兴市月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（4，64）＝，（﹣2，4）＝，（，﹣8）＝；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，∴3x＝4，即（3，4）＝x．∴（3n，4n）＝（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．（4，5）+（4，6）＝（4，30）．（3）拓展应用：计算（3，9）×（3，20）﹣（3，5）．12．（2021春•宜兴市月考）（1）若x2n＝2．求（﹣3x3n）2﹣4（﹣x2）2n的值；（2）规定a⊗b＝2a÷2b．①求2⊗（﹣3）的值；②若2⊗（x﹣1）＝16，求x的值．三．科学记数法—表示较小的数（共2小题）13．（2021春•睢宁县月考）2019年末，引发疫情的冠状病毒，被命名为COVID﹣19新型冠状病毒，冠状病毒的平均直径约是新冠病毒的直径为0.00000012m，该数值用科学记数法表示为（）A．1.2×10﹣8m B．1.2×10﹣7m C．12×10﹣7m D．1.2×107m 14．（2021秋•海门市期末）将数0.0002022用科学记数法表示为．四．科学记数法—原数（共2小题）15．（2021•射阳县二模）已知一种细胞的直径约为2.13×10﹣4cm，请问2.13×10﹣4这个数原来的数是（）A．21300B．2130000C．0.0213D．0.000213 16．（2021春•灌云县期末）一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×109，则原数中“0”的个数为个．五．同底数幂的除法（共4小题）17．（2021秋•南通期中）下列计算正确的是（）A．（﹣2）2＝﹣4B．a2+a3＝a5C．（3a2）2＝6a4D．x6÷x2＝x4 18．（2021春•金坛区期末）若2x÷4y＝8，则2x﹣4y+2＝．19．（2021春•仪征市期中）（1）已知10m＝5，10n＝2，求103m+2n的值；（2）已知8m÷4n＝16，求（﹣3）2n﹣3m的值．20．（2021春•睢宁县月考）计算（1）已知a m＝2，a n＝3，求：①a m+n的值；②a2m﹣n的值；（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．六．零指数幂（共3小题）21．（2021•泰州）（﹣3）0等于（）A．0B．1C．3D．﹣322．（2021春•沭阳县期末）已知（a+1）0＝1，则a的取值范围是．23．（2013春•吉州区期末）若（a﹣2）a+1＝1，则a＝．七．负整数指数幂（共6小题）24．（2021春•宜兴市月考）已知a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（）A．a n与b n B．a n与b﹣nC．a2n与（﹣b）2n D．a2n+1与b2n+125．（2021秋•港南区期中）若a＝0.52，b＝﹣5﹣2，c＝（﹣5）0，那么a、b、c三数的大小为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a 26．（2020春•会宁县期末）下列运算正确的是（）A．a5+a5＝a10B．a6×a4＝a24C．a0÷a﹣1＝a D．a4﹣a4＝a0 27．（2021春•射阳县校级期末）若实数m，n满足|m﹣|+（n﹣2021）2＝0，则m﹣2+n0＝．28．（2021春•盐都区月考）定义一种新运算nx n﹣1dx＝a n﹣b n，例如2xdx＝k2﹣m2，若﹣x﹣2dx＝﹣1，则k＝．29．（2021春•盐都区月考）（1）已知a＝2﹣44444，b＝3﹣33333，c＝5﹣22222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．（2）请探索使得等式（2x+3）x+2020＝1成立的x的值．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共5小题）1．（2021春•江都区校级月考）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a5+a3＝a8C．（a3）2＝a5D．a5÷a5＝1（a≠0）2．（2021春•江都区校级期中）计算0.256×（﹣32）2等于（）A．﹣B．C．1D．﹣13．（2021秋•晋州市期末）下列各式中，计算结果为m8的是（）A．m2•m4B．m4+m4C．m16÷m2D．（m2）4 4．（2021春•亭湖区期末）计算的结果是（）A．22021B．C．2D．5．（2021•徐州）下列计算正确的是（）A．（a3）3＝a9B．a3•a4＝a12C．a2+a3＝a5D．a6÷a2＝a3二．填空题（共15小题）6．（2021秋•海安市期中）已知3x+1＝27，则x＝．7．（2021秋•南通期中）已知x，y为正整数且y＝5x，则9x+y÷27y﹣x＝．8．（2021春•广陵区校级期中）若3•9n•27n＝321，则n＝．9．（2021春•江都区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．则：（2，）＝．10．（2021春•海陵区校级期末）若3x+2y﹣3＝0，则8x•4y等于．11．（2021春•射阳县校级期末）若实数m，n满足|m﹣|+（n﹣2021）2＝0，则m﹣2+n0＝．12．（2021春•镇江期末）若（2m）2•2n＝44，其中m，n都是正整数，则符合条件的m，n的值有组．13．（2021春•镇江期末）已知一个正方体棱长是4×103米，则它的体积是立方米．14．（2021春•东海县期末）已知2x+5y＝3，则4x•25y的值是．15．（2021春•靖江市期末）若m，n均为正整数，且2m﹣1×4n＝32，则m+n的所有可能值为．16．（2021春•姜堰区期末）若a x＝4，a y＝2，则a x﹣2y的值为．17．（2021春•高邮市期末）若a m＝3，a n＝，则a m﹣n＝．18．（2021春•仪征市期末）已知a m＝10，b m＝2，则（ab）m＝．19．（2021春•常州期末）已知a+3b﹣2＝0，则4a×82b＝．20．（2021春•常州期末）我们知道，同底数幂的除法法则为：a m÷a n＝a m﹣n（其中a≠0，m、n为整数），类似地，现规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m﹣n）＝h（m）÷h（n）．若h（1）＝2，则h（2021）÷h（2013）＝．三．解答题（共6小题）21．（2021春•江都区校级期中）（1）已知2x+4y﹣3＝0，求4x×16y的值．（2）已知x2m＝2，求（2x3m）2﹣（3x m）2的值．22．（2021春•仪征市期中）（1）已知10m＝5，10n＝2，求103m+2n的值；（2）已知8m÷4n＝16，求（﹣3）2n﹣3m的值．23．（2021春•江都区校级期中）计算：（1）；（2）（﹣2x2）3+x2•x4+（﹣3x3）2．24．（2021春•广陵区校级期中）（1）若x m＝2，x n＝3．求x m+2n的值．（2）若2×8x×16x＝222，求x的值．25．（2021春•江都区期中）已知2m＝3，2n＝5．（1）求23m+2n的值；（2）求22m﹣23n的值．26．（2021春•江都区校级期中）计算：（1）已知|x|＝x+2，求20x20+5x+2的值．（2）已知：9n+1﹣32n＝72，求n的值．题组B 能力提升练一．选择题（共2小题）1．（2021春•盐城期末）计算22021×（）1010的值为（）A．22021B．C．2D．（）20212．（2019春•芮城县期末）“已知：a m＝2，a n＝3，求a m+n的值”，解决这个问题需要逆用幂的运算性质中的哪一个？（）A．同底数幂的乘法B．积的乘方C．幂的乘方D．同底数幂的除法二．填空题（共2小题）3．（2021春•玄武区校级期中）若（2x﹣3）x+3﹣1＝0，则x＝．4．（2019春•溧水区期中）计算：22018•（﹣）2019＝．三．解答题（共16小题）5．（2021春•邗江区月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（5，125）＝，（﹣2，﹣32）＝；②若，则x＝．（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．6．（2021春•毕节市期中）（1）已知3×9m×27m＝311，求m的值．（2）已知2a＝3，4b＝5，8c＝5，求8a+c﹣2b的值．7．（2021春•福田区校级期中）若x＝2m+2，y＝3+4m．（1）请用含x的代数式表示y；（2）如果x＝3，求此时y的值．8．（2021春•商河县校级月考）已知a x•a y＝a4，a x÷a y＝a（1）求x+y与x﹣y的值．（2）求x2+y2的值．9．（2020秋•路北区期中）比较3555，4444，5333的大小．10．（2019秋•杭州期中）已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示0，，b的形式，试求a2n﹣1•a2n（n≥1的整数）的值．11．（2019春•泉山区校级期中）基本事实：若a m＝a n（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x＝222，求x的值；②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．12．（2018秋•武冈市期末）阅读材料：（1）1的任何次幂都为1；（2）﹣1的奇数次幂为﹣1；（3）﹣1的偶数次幂为1；（4）任何不等于零的数的零次幂为1．请问当x为何值时，代数式（2x+3）x+2016的值为1．13．（2018春•东海县期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，25）＝，（5，1）＝，（3，）＝．（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），（3）小明给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：①计算（8，1000）﹣（32，100000）②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）14．（2018春•蚌埠期末）已知（a m）n＝a6，（a m）2÷a n＝a3（1）求mn和2m﹣n的值；（2）求4m2+n2的值．15．（2018春•新区期中）已知常数a、b满足3a×32b＝27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b＝1，求a2+4b2的值．16．（2018春•兴化市期中）尝试解决下列有关幂的问题：（1）若9×27x＝317，求x的值；（2）已知a x＝﹣2，a y＝3，求a3x﹣2y的值；（3）若x＝×25m+×5m+，y＝×25m+5m+1，请比较x与y的大小．17．阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为a n，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a 为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．根据以上材料，解决下列问题：（1）计算以下各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝；（2）根据（1）中的计算结果，写出log24，log216，log264满足的关系式；（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：log a M+log a N＝（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．18．（2017秋•虎林市期末）已知3m＝2，3n＝5．（1）求3m+n的值；（2）32m﹣n的值．19．（2017春•鼓楼区校级期中）若a m＝a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：（1）若3x×9x×27x＝312，求x的值．（2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．20．（2021春•岳麓区月考）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝，D（16）＝．（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．根据运算性质，计算：①若D（a）＝1，求D（a3）；②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）．。

幂的运算1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：()mnm na a am n +⋅=、为正整数同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数注意：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.例1： 计算列下列各题 （1） 34a a ⋅； （2） 23b b b ⋅⋅ ； （3） ()()()24c c c -⋅-⋅-练习：简单 一选择题1. 下列计算正确的是( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m +2m =5mD.ａ2+ａ2=2ａ42. 下列计算错误的是( )A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2B.ａm +ａm =2ａmC.3m +2m =5mD.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m3. 下列四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ5④p 2+p 2+p 2=3p 2正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是( )A.100×102=103B.1000×1010=103C.100×103=105D.100×1000=104二、填空题1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。

2、 b 2·b ·b 7=________。

3、103·_______=10104、(-ａ)2·(-ａ)3·ａ5=__________。

5、ａ5·ａ( )=ａ2·( ) 4=ａ186、(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5=__________。

第八章幂的运算课题：幂的运算的小结与思考教学目标：1、能说出幂的运算的性质；2、会运用幂的运算性质进行计算，并能说出每一步的依据；3、能说出零指数幂、负整数指数幂的意义，能用熟悉的事物描述一些较小的正数，并能用科学记数法表示绝对值小于1的数；4、通过具体例子体会本章学习中体现的从具体到抽象、特殊到一般的思考问题的方法，渗透转化、归纳等思想方法，发展合情推理能力和演绎推理能力。

教学重点：运用幂的运算性质进行计算教学难点：运用幂的运算性质进行证明规律教学方法：引导发现，合作交流，充分体现学生的主体地位一、系统梳理知识：幂的运算：1、同底数幂的乘法2、幂的乘方3、积的乘方4、同底数幂的除法：（1）零指数幂（2）负整数指数幂请你用字母表示以上运算法则。

你认为本章的学习中应该注意哪些问题？二、例题精讲：例1 判断下列等式是否成立：①(-x)2＝-x2，②(-x3)＝-(-x)3，③(x-y)2＝(y-x)2，④(x-y)3＝(y-x)3，⑤x-a-b＝x-(a+b)，⑥x+a-b＝x-(b-a)．解：③⑤⑥成立．例2 已知10m＝4，10n＝5，求103m+2n的值．解：因为103m=(10m)3=43 =64,102n=(10n)2=52=25.所以103m+2n=103m×102n=64×25=1680例3 若x＝2m+1，y＝3+4m，则用x的代数式表示y为______．解：∵2m＝x-1，∴y＝3+4m＝3+22m．＝3+(2m)2＝3+(x-1)2＝x2-2x+4．例4设＜n＞表示正整数n的个位数，例如＜3＞=3，＜21＞=1，＜13×24＞=2，则＜210＞=______．解210=(24)2·22=162·4，∴ ＜210＞=＜6×4＞=4例5 1993+9319的个位数字是( )A．2 B．4C．6 D．8解1993+9319的个位数字等于993+319的个位数字．∵ 993=(92)46·9=8146·9．319=(34)4·33=814·27．∴993+319的个位数字等于9+7的个位数字．则 1993+9319的个位数字是6．三、随堂练习：1、已知a=355，b=444，c=533，则有（）A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜b2、已知3x=a，3y =b，则32x-y等于 ( )3、试比较355，444，533的大小．4、已知a=-0.32,b=-3-2,c=(-1/3)-2d=(-1/3)0,比较a、b、c、d的大小并用“，〈”号连接起来。

初中数学《苏科版》目录七年级上册：第一章我们与数学同行⑶用方程解决问题（102）6数学活动 一元一次方程应用的调 查（111）1⑴生活 数学（6）1 ⑵活动 思考（8）1小结与思考（111）2 复习题（112）第二章 有理数⑴比 0 小的数（12）2 第五章 走进图形世界⑵数轴（16）2⑶绝对值与相反数（20）3 ⑷有理数的加法与减法（26）4 ⑸有理数的乘法与除法（36）3 ⑹有理数的乘方（45）2 ⑺有理数的加减混合运算（50）2 数学活动 算“24”（54）1 小结与思考（54）2 ⑴丰富的图形世界（118）2 ⑵图形的变化（123）2 ⑶展开与折叠（128）2 ⑷从三个方向看（134）2数学活动 设计包装纸箱（139）1 小结与思考（139）1 复习题（140）复习题（55）第六章平面图形认识（一）第三章用字母表示数⑴线段、射线、直线（148）2 ⑵角（152）2⑴字母表示什么数（62）1 ⑵代数式（66）1 ⑶余角、补角、对顶角（158）2 ⑷平等（163）1 ⑶代数式的值（70）2 ⑷合并同类项（75）2 ⑸去括号（79）2⑸垂直（167）1数学活动 测量距离（171）1 小结与思考（171）2 复习题（172）数学活动 正方体涂色（84）1 小结与思考（84）2 复习题（85）课题学习 制作无盖长方体的长方体纸第四章一元一次方程⑴从问题到方程（92）2 ⑵解一元一次方程（95）4盒（175）1数学活动评价表（176）七年级下册：第七章平面图形的认识（二）⑶解二元一次方程组（89）2 ⑷用方程组解决问题（93）3 数学活动（99）1 ⑴探索直线平行的条件（6）2 ⑵探索平行线的性质（11）1 ⑶图形的平移（14）2 ⑷认识三角形（20）2 ⑸三角形的内角和（25）4 数学活动（32）1 小结与思考（99）2 复习题（100）第十一章 图形的全等小结与思考（33）2 ⑴全等图形（104）1 复习题（34）⑵全等三角形（108）1⑶探索三角形全等的条件（111）5 数学活动（125）1 第八章 幂的运算⑴同底数幂的乘法（40）1 ⑵幂的乘方与积的乘方（43）2 ⑶同底数幂的除法（47）3 数学活动（52）1 小结与思考（125）2 复习题（126）第十二章 数据在我们周围小结与思考（52）2 ⑴普查与抽样调查（132）1 ⑵统计图的选用（133）3复习题（52）⑶ 频 数 分 布 表 和 频 数 分 布 直 方 图 第九章 从面积到乘法公式（145）2⑴单项式乘单项式（56）1 ⑵单项式乘多项式（58）1 ⑶多项式乘多项式（61）1 ⑷乘法公式（64）3数学活动（152）1 小结与思考（152）1 复习题（153）第十三章 感受概率⑸单项式乘多项式法则的再认识―― 因式分解（一）（70）1⑹乘法公式的再认识――因式 分解 （二）（72）3⑴确定与不确定（160）1 ⑵可能性（162）2 数学活动（169）1 小结与思考（169）1 复习题（170）数学活动（77）1 小结与思考（78）2 复习题（79）课题学习 丢弃了多少塑料袋（172）1第十章二元一次方程组数学活动评价表（173）⑴二元一次方程（84）1 ⑵二元一次方程组（86）2八年级上册：第一章轴对称图形第四章数量、位置的变化⑴轴对称与轴对称图形（6）1 ⑵轴对称的性质（10）1 ⑶设计轴对称图案（15）1 ⑷线段、角的轴对称性（18）2 ⑸等腰三角形的轴对称性（23）3 ⑹等腰梯形的轴对称性（31）2 数学活动 剪纸（35）1 小结与思考（36）2 ⑴数量的变化（114）2 ⑵位置的变化（120）1 ⑶平面直角坐标系（123）3 数学活动 确定藏宝地（132）1 小结与思考（132）2 复习题（133）第五章 一次函数复习题（37）⑴函数（140）2 ⑵一次函数（147）2 第二章 勾股定理与平方根⑶一次函数的图象（151）2 ⑶一次函数的应用（157）2⑷二元一次方程组的图象解法（161） ⑴勾股定理（44）1 ⑵神秘的数组（48）1 ⑶平方根（51）2 1⑷立方根（55）1 数学活动 温度计上的一次函数（163）1小结与思考（164）2 ⑸实数（57）2⑹近似数与有效数字（62）1 ⑺勾股定理的应用（65）2 数学活动 关于勾股定理的研究（69）1小结与思考（69）2 复习题（165）第六章 数据的集中程度⑴平均数（170）2 复习题（69）⑵中位数与众数（174）2 ⑶用计算器求平均数（179）1 数学活动 你是“普通”学生吗？ 第三章 中心对称图形（一）⑴图形的旋转（74）1（182）1⑵中心对称与中心对称图形（77）2 ⑶设计中心对称图案（82）1 ⑷平行四边形（85）3 小结与思考（183）2 复习题（183）课题学习 ⑸矩形、菱形、正方形（92）5 ⑹三角形、梯形中位线（102）2 数学活动 平面图形的镶嵌（105）1小结与思考（106）2 利用对称图形设计徽标（186）1数学活动评价表（187）复习题（107）第七章一元一次不等式第十章图形的相似⑴生活中的不等式（6） ⑴图上距离与实际距离（82） ⑵黄金分割（85） ⑵不等式的解集（9） ⑶不等式的性质（12） ⑶相似图形（89）⑷解一元一次不等式（15） ⑸用一元一次不等式解决问题（19） ⑹一元一次不等式组（21）⑺一元一次不等式与一元一次方程、 ⑷探索三角形相似的条件（94） ⑸相似三角形性质（105） ⑹图形的位似（110） ⑺相似三角形的应用（113） 数学活动（120） 一次函数（26）数学活动（28） 小结与思考（28） 复习题（29）小结与思考（120） 复习题（120）第十一章图形与证明（一）第八章分式⑴你的判断对吗（126） ⑴分式（34）⑵说理（129） ⑵分式的基本性质（37） ⑶分式的加减法（43） ⑷分式的乘除法（46） ⑸分式方程（54） 数学活动（57） ⑶证明（134） ⑷互逆命题（142） 数学活动（146） 小结与思考（147） 复习题（148）第十二章 认识概率小结与思考（57） 复习题（58）⑴等可能性（154）⑵等可能条件下的概率（一）（157） ⑶等可能条件下的概率（二）（165） 数学活动（168） 第九章 反比例函数⑴反比例函数（62）⑵反比例函数的图象与性质（65） ⑶反比例函数的应用（73） 数学活动（76） 小结与思考（169） 复习题（170）课题学习 小结与思考（77） 游戏公平吗？（173）1复习题（77）数学活动评价表（174）第一章图形与证明（二）第四章一元二次方程⑴等腰三角形的性质与判定（6）1⑴一元二次方程（80）1⑵直角三角形全等的判定（9）2⑶平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（13）8⑵一元二次方程的解法（83）6⑶用一元二次方程解决问题（94）4数学活动矩形绿地中的花圃设计⑷等腰梯形的性质与判定（28）1⑸中位线（30）2（100）1小结与思考（101）2复习题（101）数学活动折纸与证明（34）1小结与思考（36）2第五章中心对称图形（二）复习题（37）⑴圆（106）2第二章数据的离散程度⑵圆的对称性（111）2⑴极差（42）1⑶圆周角（117）2⑵方差与标准差（45）1⑶用计算器求标准差和方差（49）1数学活动估计时间（53）1小结与思考（53）1⑷确定圆的条件（124）1⑸直线和圆的位置关系（127）4⑹圆和圆的位置关系（138）1⑺正多边形与圆（142）1⑻弧长及扇形的面积（145）1⑼圆锥的侧面积和全面积（148）2数学活动制作冰淇淋纸筒（151）复习题（54）第三章二次根式⑴二次根式（58）21⑵二次根式的乘除法（61）4⑶二次根式的加减法（69）2数学活动画画·算算（74）1小结与思考（74）1小结与思考（151）2复习题（152）课题学习制作“动画片”（156）1复习题（75）数学活动评价表（158）第六章二次函数第八章统计的简单应用⑴二次函数（6）1⑴货比三家（66）1⑵二次函数的图象和性质（9）4 ⑶二次函数与一元二次方程（21）2 ⑷二次函数的应用（25）3 数学活动（32）1 ⑵中学生的视力情况调查（70）3 数学活动（77）1 小结与思考（78）1 复习题（79）小结与思考考（32）2 复习题（33）第九章 概率的简单应用⑴抽签方法合理吗（84）1⑵概率帮你做估计（86）1 ⑶保险公司怎样才能不亏本（88）1 数学活动（90）1 第七章 锐角三角函数⑴正切（38）1 ⑵正弦、余弦（41）2 ⑶特殊角的三角函数（46）1 ⑷由三角函数值求锐角（49）1 ⑸解直角三角形（51）1⑹锐角三角函数的简单应用（54）2 数学活动（60）1 小结与思考（91）1 复习题（91）课题学习 探究等周长图形的最大面积（94）小结与思考（60）2 数学活动评价表（95）复习题（61）第六章二次函数第八章统计的简单应用⑴二次函数（6）1⑴货比三家（66）1⑵二次函数的图象和性质（9）4 ⑶二次函数与一元二次方程（21）2 ⑷二次函数的应用（25）3 数学活动（32）1 ⑵中学生的视力情况调查（70）3 数学活动（77）1 小结与思考（78）1 复习题（79）小结与思考考（32）2 复习题（33）第九章 概率的简单应用⑴抽签方法合理吗（84）1⑵概率帮你做估计（86）1 ⑶保险公司怎样才能不亏本（88）1 数学活动（90）1 第七章 锐角三角函数⑴正切（38）1 ⑵正弦、余弦（41）2 ⑶特殊角的三角函数（46）1 ⑷由三角函数值求锐角（49）1 ⑸解直角三角形（51）1⑹锐角三角函数的简单应用（54）2 数学活动（60）1 小结与思考（91）1 复习题（91）课题学习 探究等周长图形的最大面积（94）小结与思考（60）2 数学活动评价表（95）复习题（61）第六章二次函数第八章统计的简单应用⑴二次函数（6）1⑴货比三家（66）1⑵二次函数的图象和性质（9）4 ⑶二次函数与一元二次方程（21）2 ⑷二次函数的应用（25）3 数学活动（32）1 ⑵中学生的视力情况调查（70）3 数学活动（77）1 小结与思考（78）1 复习题（79）小结与思考考（32）2 复习题（33）第九章 概率的简单应用⑴抽签方法合理吗（84）1⑵概率帮你做估计（86）1 ⑶保险公司怎样才能不亏本（88）1 数学活动（90）1 第七章 锐角三角函数⑴正切（38）1 ⑵正弦、余弦（41）2 ⑶特殊角的三角函数（46）1 ⑷由三角函数值求锐角（49）1 ⑸解直角三角形（51）1⑹锐角三角函数的简单应用（54）2 数学活动（60）1 小结与思考（91）1 复习题（91）课题学习 探究等周长图形的最大面积（94）小结与思考（60）2 数学活动评价表（95）复习题（61）。

苏教版七年级数学下册目录课程是（七班级数学）（教育）工作的中心,七班级数学教材是课程的载体。

教材目录是整部数学教材在编排过程中所遵循的一条完整脉络。

下面给大家分享一些苏教版七班级数学下册的目录，大家快来跟一起欣赏吧。

苏教版七班级数学下册课本目录第七章平面图形的认识(二)7.1 探索直线平行的条件7.2 探索平行线的性质7.3 图形的平移7.4 认识三角形7.5 三角形的内角和第八章幂的运算8.1 同底数幂的乘法8.2 幂的乘方与积的乘方8.3 同底数幂的除法第九章从面积到乘法公式9.1 单项式乘单项式9.2 单项式乘多项式9.3 多项式乘多项式9.4 乘法公式9.5 单项式乘多项式法则的再认识------因式分解(一)9.6 乘法公式的再认识------因式分解(二)第十章二元一次方程10.1 二元一次方程10.2 二元一次方程组10.3 解二元一次方程组10.4 用方程组解决问题第十一章图形的全等11.1 全等图形11.2 全等三角形11.3 探索三角形全等的条件第十二章数据在我们身边12.1 普查与抽样调查12.2 统计图的选用12.3 频数分布表和频数分布图第十三章感受概率13.1 确定与不确13.2 可能性苏教版七班级数学下册平行线知识1、同位角、内错角、同旁内角的定义两条线(a,b)被第三条(c)直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角(corresponding angles) 如图：1与8，2与7，3与6，4与5均为同位角。

两条线(a,b)被第三条(c)直线所截，两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。

如图：1与6，2与5均为同位角。

两条线(a,b)被第三条(c)直线所截，两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角(interior angles of thesame side) 。

8.2 幂的乘方与积的乘方-苏科版七年级数学下册教案一、教学内容本节课主要教授幂的乘方与积的乘方的概念及计算方法。

二、教学目标1.了解幂的乘方与积的乘方的概念；2.熟练掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法；3.能够在复杂的算式中加快计算速度。

三、教学重点和难点1.教学重点：幂的乘方与积的乘方的概念及计算方法；2.教学难点：复杂算式的快速计算。

四、教学过程1. 导入新知识•让学生思考以下问题：–2的4次方等于多少？–4的3次方等于多少？•引出幂的乘方及其定义：如果一个数的指数是n，那么这个数的幂就叫做n 的乘方，记作a^n。

•引出积的乘方及其定义：n个数的乘积的乘方等于这n个数的乘方的积，即(a_1 x a_2 x … x a_n)^n = a_1^n x a_2^n x … x a_n^n。

2. 讲解新知识•讲解幂的乘方的计算方法：幂的乘方的计算方法就是先算幂，再算指数。

•举例说明幂的乘方的计算方法：(23)4 = 2^(3x4) = 2^12。

•讲解积的乘方的计算方法：积的乘方的计算方法就是先将各个底数的幂算出来，然后再将它们乘起来。

•举例说明积的乘方的计算方法：(2^3 x 3^2 x 54)2 = 2^(3x2) x 3^(2x2) x5^(4x2) = 2^6 x 3^4 x 5^8。

3. 练习新知识•给学生几个计算题目，让他们自己计算并进行课堂练习。

4. 知识系统化•讲解幂的乘方的性质：a^m x a^n = a^(m+n)，即相同底数、不同指数的幂相乘，底数不变、指数相加。

•举例说明幂的乘方的性质：2^3 x 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。

•讲解积的乘方的性质：(a_1 x a_2 x … x a_n)^m = a_1^m x a_2^m x … x a_n^m。

•举例说明积的乘方的性质：(2^3 x 3^2 x 54)2 = 2^6 x 3^4 x 5^8。

5. 拓展•引导学生思考：4的4次方可以写成4的2次方的乘方形式吗？为什么？•解答：4的4次方可以写成(4的2次方)的2次方，因为4的4次方等于(4的2次方)的2次方。

苏科新版七年级下册《第8章幂的运算》2024年单元测试卷（4）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某款手机芯片的面积大约仅有，将用科学记数法表示正确的是()A.B.C.D.2.下列运算正确的是()A. B. C.D.3.将，，这三个数按从小到大的顺序排列，为()A. B. C.D.4.计算，则括号内应填入的式子为()A. B. C.D.5.计算等于()A. B.C.1D.6.若，则n 的值为() A.B.C.0D.17.a 与b 互为相反数，且都不等于0，n 为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是()A.与B.与C.与D.与8.王老师有一个实际容量为的U 盘，内有三个文件夹，已知课件文件夹占用了的内存，照片文件夹内有32张大小都是的旅行照片，音乐文件夹内有若干首大小都是的音乐，若该U 盘内存恰好用完，则此时文件夹内有音乐首．()A.28B.30C.32D.34二、填空题：本题共11小题，每小题3分，共33分。

9.计算：______.10.比较与的大小，我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法：通过计算比较下列各式中两数的大小：填“>”“<”或“=”①______；②______；③______；④______由可以猜测与正整数的大小关系：当n ______时，；当n______时，根据上面的猜想，则有______填“>”“<”或“=”11.根据数值转换机的示意图，输出的值为，则输入的x值为______.12.计算：______.13.把的结果用科学记数法表示为______.14.若，则______.15.，则______.16.若，则______.17.已知，则______.18.若，，则用x的代数式表示y为______.19.一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点处，第二次从跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为______.三、解答题：本题共6小题，共48分。

苏科版七年级数学下册教学计划（及进度表）一、指导思想：全面贯彻党的教育方针，以七年级数学教学大纲为标准，坚决完成《2022初中数学新课程标准》提出的各项基本教学目标；根据学生的实际情况，从生活入手，结合教材内容，精心设计教学方案。

通过本学期数学课堂教学，夯实学生的基础，提高学生的基本技能，培养学生学习数学知识和运用数学知识的能力，帮助学生初步建立数学思维模式。

最终圆满完成七年级上册数学教学任务。

二、学情分析：本班有学生45人。

大部分的学生学习态度端正，有着纯真，善良的本性。

上课时都能积极思考，能够主动、创造性的进行学习。

个别学生能力较差，计算和应用题都存在困难。

本学年在重点抓好基础知识教学的同时，加强后进生的辅导和优等生的指导工作，全面提高本班的整体成绩。

三、教材分析：苏科版七年级数学下册教材，共六章内容，分别是第7章《平面图形的认识(二)》；第8章《幂的运算》；第9章《整式乘法与因式分解》；第10章《二元一次方程组》；第11章《一元一次不等式》；第12章《证明》；教材每章开始时，都设置了章前图与引言语，激发了学生的学习兴趣与求知欲望。

在教学中，适当安排如“观察与猜想、试验与探究、阅读与思考、信息技术应用”等以及栏目，让我们给学生适当的思考空间，使学生能更好地自主学习。

在教材各块内容间，又穿插安排了综合性、实践性、开放性等等的数学活动，不但扩大了学生知识面，而且增强了学生对数学文化价值的体验与数学的应用意识。

习题设计分为;复习巩固、综合运用、拓广探索三类，体现了满足不同层次学生发展的需要。

整个教材体现了如下特点：1、现代性——更新知识载体，渗透现代数学思想方法，引入信息技术。

2、实践性——联系社会实际，贴近生活实际。

3、探究性——创造条件，为学生提供自主活动、自主探索的机会，获取知识技能。

4、发展性——面向全体学生，满足不同学生发展需要。

5、趣味性——文字通俗，形式活泼，图文并茂，趣味直观。

四、教学重点难点：重点：1、探索并掌握“三角形三个内角之和等于180°”．2、探索多边形内角和公式及公式的运用．3、同底数幂相乘的法则的推理及运用，底数互为相反数时的处理方法。

苏科版数学七年级下册8.2.1《幂的乘方与积的乘方》说课稿一. 教材分析《幂的乘方与积的乘方》是苏科版数学七年级下册第八章第二节的第一课时内容。

本节课主要学习了幂的乘方和积的乘方的性质和运算方法。

这部分内容是初等数学中的基础，对于学生来说，理解掌握这部分内容对于后续学习有重要的意义。

教材中通过引入幂的乘方和积的乘方的概念，引导学生通过观察、分析和归纳，总结出幂的乘方和积的乘方的性质和运算方法。

通过这部分的学习，学生可以培养自己的观察能力、逻辑思维能力和归纳总结能力。

二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经具备了一定的数学基础，例如有理数的乘方、幂的定义等。

但学生对于幂的乘方和积的乘方的理解和运用还需要进一步的引导和培养。

在学习过程中，学生可能对于幂的乘方和积的乘方的概念和性质理解不够深入，对于运算方法的应用可能存在困惑。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、分析和归纳，理解幂的乘方和积的乘方的性质和运算方法，提高学生的观察能力、逻辑思维能力和归纳总结能力。

三. 说教学目标1.理解幂的乘方和积的乘方的概念和性质。

2.掌握幂的乘方和积的乘方的运算方法。

3.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和归纳总结能力。

四. 说教学重难点1.幂的乘方和积的乘方的概念和性质的理解。

2.幂的乘方和积的乘方的运算方法的应用。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，采用讲授法、引导发现法、小组合作学习法等教学方法。

利用多媒体课件、黑板等教学手段，引导学生通过观察、分析和归纳，理解幂的乘方和积的乘方的性质和运算方法。

六. 说教学过程1.引入新课：通过复习有理数的乘方和幂的定义，引出幂的乘方和积的乘方的概念。

2.讲解示范：讲解幂的乘方和积的乘方的性质和运算方法，通过示例引导学生理解和掌握。

3.练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学内容。

4.拓展提高：引导学生通过观察、分析和归纳，发现幂的乘方和积的乘方的性质和运算方法的应用，提高学生的观察能力、逻辑思维能力和归纳总结能力。

《幂的运算》解题策略乘方运算是我们学习了加减乘除运算后的第五种运算，乘方运算的结果称为“幂”，.因此，乘方运算也称为幂的运算。

在初中数学教材《幂的运算》一章的学习过程中，学生感觉困难重重，主要原因有两点:一是对幂的内涵理解不够，导致计算方法(公式)棍淆;二是思路不明确，无从下手.本文将通过对运算法则的归类揭示乘方运算的内涵，从而得出解题的策略一、幂的运算公式及应用幂的运算公式如下表:通过上表可以看出，两个幂的运算公式满足下列三条规律(记住这三条规律，可以避免公式混淆):1.越低级的运算，对幂的要求越高幕的加减运算(一级运算)，要求两个幂的底数和指数都相同;幂的乘除运算，要求两个幂的底数和底数中有一项相同;幂的乘方运算则没有要求. 2.幂的运算过程中，两个幂的相同部分不变幂的加减运算中，底数和指数都不变，系数相加减(即:合并同类项).幂的乘除运算中，底数相同，则底数不变;指数相同，则指数不变. 幂的乘方运算中，底数不变二-3.底数之间的运算，用原运算符号，指数之间的运算，用原运算符号的降级运算符号(各运算之间的降级关系如下表)幂的加法(或减法)运算中，系数处于低层，仍用原运算——加法(或减法)运算.幂的乘法(或除法)运算中，若指数根同，则指数不变，底数仍用原运算——乘法(或除法)运算;若底数相同，则底数不变，指数处于上层，则按下表中的降级规律，用对应的加法(或减法)运算.幂的乘方运算，底数不变，指数降级为乘法运算.疑问:在幂的运算过程中，两个幂不符合上述运算特征怎么办?这是学生在学习幂的运算过程中遇到的最常见的困难，解决的方法是“转化”。

通过转化两个幂的底数或指数，从而使两个幂达到符合相应运算的条件.具体转化方法如下: 1.化为底数相同如果两个幂的底数可以化成同一个数的幂的形式，那么这两个幂就可以用幂的乘方公式()m n mn a a =，把它们化作同底数幂.例1 计算: 12927a a +⨯.分析 因这两个幂不满足相乘的条件，故需要转化.注意到底数9和27分别是3的2和3次幂，说明这两个幂可以把底数都化成3，即: 12213222682927(3)(3)333a a a a a a a ++++⨯=⨯=⨯=.2.化为指数相同(1)当指数相近时，可以反用积的乘方公式m nm n aa a +=g ，把含较大指数的幂写成两个幂的积，并使其中一个幂的指数和指数最小的幂的指数相同. 例 2 计算: 38361010-.分析 因幂的减法运算需要指数和底数皆相同，故需要把它们的指数化的相等.注意到指数38和36很接近，说明可以把它们的指数都化成36.即383623636236371010101010(101)109.910-=⨯-=-⨯=⨯.(2)当指数不相近时，可以反用幂的乘方公式()mnm n a a =，把指数化成它们的最大公约数.例3 计算: 362463÷.分析 因这两个幂不符合相除的特征，故需要转化，注意到它们的底数不具备化成同底数幂的条件，指数又不相近，故可以考虑把指数化成它们的最大公约数.即36243122121212121263(6)(3)2169(2169)27÷=÷=÷=÷=.二、求有关幂的等式中未知数的方法当两个相等的幂的底数相等时，它们的指数也相等，如已知2xa a =，则2x =;当两个相等的幂的指数相等时，它们的底数也相等，如已知3aax =，则3x =.当两个相等的幂的底数和指数都不相同时，则无法直接转化为整式方程求未知数的值，此时需要转化两个幂的底数或指数，使它们相同.当等式两边有多个幂时，需要依据运算符号进行运算，先转化成只有两个幂的等式再进行求解.例4 若m 满足等式: 1124148()2m m --⨯=-，求m 的值.分析 因等式两边有三个幂，且字母m 在指数上，故需要先计算出等号左边的积，使等号两边各保留一个幂，然后再化底数相等，最后用指数相等列等式.∵11221312223623448(2)(2)222m m m m ---+⨯=⨯=⨯=，4441()(2)22m m m --=-=， ∴2344m m +=， ∴17m =.三、比较幂的大小的方法.当两个幂的底数相同时，通过比较他们的指数可以判断它们的大小. 如：201833>，201811()()33<，201811()()33-<-，272311()()33->-.当两个幂的指数相同时，通过比较它们的底数可以判断它们的大小. 如：202053>，202011()()53<，202011()()53-<-，272711()()53->-.当两个幂的指数和底数都不相同时，此时它们不能直接比较大小，必须先要把它们的底数或指数化的相等，然后才能比较大小.例5 比较大小: 553，444，335.分析 因这三个幂底数和指数都不相等，故不能直接比较大小，需要转化.注意到它们的底数3、4 、5不具备化成同底数幂的条件，指数有最大公约数11，故可以考虑把指数 化成它们的最大公约数11.即55511113(3)243==；44411114(4)256==，33311115(5)125==.∵125243256<<， ∴335544534<<.小结 在学习《幂的运算》这一章节内容时，记住公式是解题的基础，熟练掌握转化底数和指数的方法是解题的关键.分析题目中幂的运算所需要的条件，可以明确解题思路;观察幂的底数和指数的特点，可以明确解题的具体过程.北师版七下数学第一章《整式的乘除》幂的运算与乘法公式学习中的技巧性问题探究学习幂的运算性质应注意的几个问题幂的运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据．在学习中应注意以下问题． 1．注意符号问题例1 判断下列等式是否成立： ①(-x )2＝-x 2， ②(-x 3)＝-(-x )3， ③(x -y )2＝(y -x )2，④(x-y)3＝(y-x)3，⑤x-a-b＝x-(a+b)，⑥x+a-b＝x-(b-a)．解：③⑤⑥成立．以上六个等式，是否成立？为什么？这些都应分析清楚．所有这些问题的解决，对今后的学习是否能够顺利进行，都有着重要的意义．2．注意幂的性质的混淆例如：(a5)2＝a7，a5·a2＝a10．产生这样错误的原因是对运算性质发生混淆．只一般地纠正错误是不能彻底解决问题的，有必要从乘方的意义以及性质是怎样归纳得出的，找出产生错误的根源．3．注意幂的运算性质的逆用四个运算性质反过来也是成立的．有创新精神的学生在解题时逆用性质，但大部分学生不会逆用性质或想不到，能正反灵活地运用幂的运算性质会给解题带来很大的帮助．例2 已知10m＝4，10n＝5，求103m+2n的值．解：103m+2n＝(10m)3×(10n)2＝43×52＝1600．例3 试比较355，444，533的大小．解：∵355＝(35)11＝24311，444＝(44)11＝25611，533＝(53)11＝12511，而125＜243＜256，∴533＜355＜444．4．注意幂的意义与幂的运算性质的混淆例如：比较234与243的大小．错解：∵234＝212，243＝212，∴234＝243．产生错误的原因是：对幂的意义与幂的乘方混淆不清，教师要弄清幂的意义．并与幂的性质进行比较．例4 已知a＝234，b＝243，c＝324，d＝432，e＝423，则a、b、c、d、e的大小关系是( )(A)a＝b＝d＝e＜c．(B)a＝b＝d＝e＞c．(C)e＜d＜c＜b＜a．(D)e＜c＜d＜b＜a．解：a＝234＝281，b＝243＝264，c＝324＝316，d＝432＝49＝218，e＝423＝48＝216．而216＜218＜316＜264＜281．∴e＜d＜c＜b＜a．故应选(C)．你会巧用幂的运算法则吗？幂的运算法则是进行整式乘除的基础，在应用中，如能注意以下技巧，常可获得妙解．一、化成同底数幂进行计算例1 若x＝2m+1，y＝3+4m，则用x的代数式表示y为______．解：∵2m＝x-1，∴y＝3+4m＝3+22m．＝3+(2m)2＝3+(x-1)2＝x2-2x+4．二、化成同指数幂进行计算例2 比较3555、4444、5333的大小；解：∵3555＝35×111＝(35)111＝243111，4444＝44×111＝(44)111＝256111，5333＝53×111＝(53)111＝125111，又256＞243＞125，∴5333＜3555＜4444．例3 如果a≠0，b≠0且，(a+b)x＝(a-b)y，(a+b)y＝(a-b)x成立，那么x+y的值是_____．(A)0．(B)1．(C)2．(D)不能确定．解：将已知两等式相乘有(a+b)x+y＝(a-b)x+y．又a≠0，b≠0，∴a+b≠a-b，要使(a+b)x+y＝(a-b)x+y成立，只有x+y＝0，所以选(A)．三、化成已知幂的形式进行计算∴53x+2y＝53x·52y＝(5x)3·(5y)2比较大小A＝1998+1997×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997B＝19981998试比较A与B的大小．分析：(1)把A化简成B．∵1998+1997×1998＝1998×(1+1997)＝19982，这样反用乘法分配律，使1998的指数逐次增加1，和后面再反用乘法分配律，最后就化简成B．(2)把B化成A∵19981998＝1998×19981997＝(1+1997)×19981997＝19981997+1997×19981997这是仅用同底数幂的性质，应用乘法分配律，把此过程继续下去就可由B 得到A．解：方法一A＝1998+1997×1998+1997×19982+…+19981996+1997×19981997＝1998(1+1997)+1997×19982+ …+1997×19981996+1997×19981997＝19982+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997＝19982(1+1997)+…+1997×19981996+1997×19981997＝19983+…+1997×19981996+1997×19981997＝……＝19981996+1997×19981996+1997×19981997＝19981996(1+1997)+1997×19981997＝19981997+1997×19981997＝19981997(1+1997)＝19981998∴A＝B方法二B＝19981998＝1998×19981997＝(1+1997)×19981997＝19981997+1997×19981997＝1998×19981996+1997×19981997＝(1+1997)×19981996+1997×19981997＝19981996+1997×19981996+1997×19981997＝……＝19982+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997＝1998×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997＝(1+1997)×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997＝1998+1997×1998+1997×19982+…+1997×19981996+1997×19981997∴A＝B求值已知：3a·5b·7c·19d+1＝1996，其中a，b，c，d都是自然数，计算：(a+b-c-d)1996之值．分析：∵3a·5b·7c·19d+1＝1996∴3a·5b·7c·19d＝1995．因为3、5、7、19是互质数，所以a、b、c、d的值是唯一确定的，只须把1995分解质因数．1995＝3×5×7×19∴a＝b＝c＝d＝1．此题可解解：∵3a·5b·7c·19d+1＝1996∴3a·5b·7c·19d＝1995∵1995＝3×5×7×19∴a＝b＝c＝d＝1∴(a+b-c-d)1996＝(1+1-1-1)1996＝01996＝0在“整式乘除”教学中培养学生逆向思维义务教育数学教学大纲明确指出：“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心”在初中数学教学中主要是发展学生的逻辑思维能力，包括培养学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理，会准确地阐述自己的思想和观点；形成良好的思维品质．本文仅就在“整式乘除”一章的教学谈谈自己培养学生逆向思维的点滴做法，不妥之处请专家同行指正．在整式乘除运算中，有的运用幂的运算性质运算，有的运用乘法公式运算，大量习题都是直接套用公式计算，但有一部分如果直接运用公式不仅计算很繁，而且很难计算正确．如果把公式反过来使用，就会化繁为简、化难为易．一、在幂的运算性质教学中培养学生逆向思维 1．同底数幂乘法与同底数幂除法互为逆运算． 例1 与a n b 2的积为3a 2n+1b 2n+1的单项式是______．例2 如果M ÷3xy ＝－91x n +1＋181，则M ＝ ．例1是已知积和其中一个因式，求另一个因式；例2是已知除式和商式求被除式，这时可利用乘法与除法的互逆来解答． 例3 已知2a ＝3，2b ＝5，求2a +b ．本题如果想先求出a 、b 的值，再代入2a +b 中求值，是很难办到的，初一学生无法进行，但若将同底数幂乘法的性质反过来用，就得到2a +b ＝2a ·2b ，这样问题就迎刃而解了．2．积的乘方与幂的乘方性质的逆用．例4 计算（－3）1995×（31）1997观察两个幂的底数，－3和31呈互为负倒数关系，积为－1，于是可联想到将积的乘方的性质逆用，但两个幂指数又不一样，怎么办呢？再将同底数幂乘法性质逆用一次，得到（－3）1995×（31）1995×（31）2，这样问题就解决了．该题在学习整式除法这一内容后，还可将负指数幂的性质逆用，也可得解．＝-31995·(3-1)1997 ＝-31995·3-1997 ＝-3-2平方差公式与完全平方公式 一、 公式透析平方差公式：22))((b a b a b a -=-+特点是相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。