最小生成树

最小生成树例题（原创实用版）目录1.最小生成树的概念2.最小生成树的性质3.最小生成树的算法4.最小生成树的应用实例正文1.最小生成树的概念最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称 MST）是一种图论中的算法，用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。

生成树是指一个连通图的生成树是指保留图中所有的节点，但只保留足以保持这些节点连通的边的集合。

最小生成树是一种生成树，其中所有边的权值之和最小。

2.最小生成树的性质最小生成树具有以下性质：（1）一棵生成树包含图中所有的节点；（2）一棵生成树中的边权值之和最小；（3）一棵生成树中的每一条边都是必要的，即移除任意一条边都会导致生成树不再连通。

3.最小生成树的算法常见的最小生成树算法有 Kruskal 算法和 Prim 算法。

Kruskal 算法是一种基于边的算法。

它按照边的权值从小到大的顺序依次选取边，每次选取一条边，判断它是否能够连接两个不连通的子图，如果能够连接，则将这条边加入到生成树中，否则舍弃。

Prim 算法是一种基于节点的算法。

它从一棵包含所有节点的初始树开始，不断地寻找一条能够连接已连接部分和未连接部分的边，将这条边加入到生成树中，直到所有节点都被连接到生成树中。

4.最小生成树的应用实例最小生成树在实际应用中有很多实例，如网络路由、数据压缩、图像处理等。

以网络路由为例，假设有一个网络由多个城市组成，每个城市之间都有一条道路相连，道路的长度代表权值。

我们需要在所有城市之间选择一条路径，使得这条路径的长度最小。

这时，我们可以使用最小生成树算法，找到一棵包含所有城市且边权值之和最小的生成树，这条路径就是最小生成树中的一条简单路径。

最⼩⽣成树---普⾥姆算法（Prim算法）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）最⼩⽣成树的性质：MST性质（假设N=(V,{E})是⼀个连通⽹，U是顶点集V的⼀个⾮空⼦集，如果（u，v）是⼀条具有最⼩权值的边，其中u属于U，v属于V-U，则必定存在⼀颗包含边（u，v）的最⼩⽣成树）普⾥姆算法（Prim算法)思路：以点为⽬标构建最⼩⽣成树1.将初始点顶点u加⼊U中，初始化集合V-U中各顶点到初始顶点u的权值；2.根据最⼩⽣成树的定义：从n个顶点中，找出 n - 1条连线，使得各边权值最⼩。

循环n-1次如下操作：（1）从数组lowcost[k]中找到vk到集合U的最⼩权值边，并从数组arjvex[k] = j中找到该边在集合U中的顶点下标(2)打印此边，并将vk加⼊U中。

（3）通过查找邻接矩阵Vk⾏的各个权值，即vk点到V-U中各顶点的权值，与lowcost的对应值进⾏⽐较，若更⼩则更新lowcost，并将k存⼊arjvex数组中以下图为例#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define MAXVEX 100#define INF 65535typedef char VertexType;typedef int EdgeType;typedef struct {VertexType vexs[MAXVEX];EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];int numVertexes, numEdges;}MGraph;void CreateMGraph(MGraph *G) {int m, n, w; //vm-vn的权重wscanf("%d %d", &G->numVertexes, &G->numEdges);for(int i = 0; i < G->numVertexes; i++) {getchar();scanf("%c", &G->vexs[i]);}for(int i = 0; i < G->numVertexes; i++) {for(int j = 0; j < G->numVertexes; j++) {if(i == j) G->arc[i][j] = 0;else G->arc[i][j] = INF;}}for(int k = 0; k < G->numEdges; k++) {scanf("%d %d %d", &m, &n, &w);G->arc[m][n] = w;G->arc[n][m] = G->arc[m][n];}}void MiniSpanTree_Prim(MGraph G) {int min, j, k;int arjvex[MAXVEX]; //最⼩边在 U集合中的那个顶点的下标int lowcost[MAXVEX]; // 最⼩边上的权值//初始化,从点 V0开始找最⼩⽣成树Tarjvex[0] = 0; //arjvex[i] = j表⽰ V-U中集合中的 Vi点的最⼩边在U集合中的点为 Vjlowcost[0] = 0; //lowcost[i] = 0表⽰将点Vi纳⼊集合 U ，lowcost[i] = w表⽰ V-U中 Vi点到 U的最⼩权值for(int i = 1; i < G.numVertexes; i++) {lowcost[i] = G.arc[0][i];arjvex[i] = 0;}//根据最⼩⽣成树的定义：从n个顶点中，找出 n - 1条连线，使得各边权值最⼩for(int i = 1; i < G.numVertexes; i++) {min = INF, j = 1, k = 0;//寻找 V-U到 U的最⼩权值minfor(j; j < G.numVertexes; j++) {// lowcost[j] != 0保证顶点在 V-U中，⽤k记录此时的最⼩权值边在 V-U中顶点的下标if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min) {min = lowcost[j];k = j;}}}printf("V[%d]-V[%d] weight = %d\n", arjvex[k], k, min);lowcost[k] = 0; //表⽰将Vk纳⼊ U//查找邻接矩阵Vk⾏的各个权值，与lowcost的对应值进⾏⽐较，若更⼩则更新lowcost，并将k存⼊arjvex数组中for(int i = 1; i < G.numVertexes; i++) {if(lowcost[i] != 0 && G.arc[k][i] < lowcost[i]) {lowcost[i] = G.arc[k][i];arjvex[i] = k;}}}int main() {MGraph *G = (MGraph *)malloc(sizeof(MGraph));CreateMGraph(G);MiniSpanTree_Prim(*G);}/*input:4 5abcd0 1 20 2 20 3 71 2 42 3 8output:V[0]-V[1] weight = 2V[0]-V[2] weight = 2V[0]-V[3] weight = 7最⼩总权值: 11*/时间复杂度O(n^2)克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）思路：以边为⽬标进⾏构建最⼩⽣成树在边集中依次寻找最⼩权值边，若构建是不形成环路（利⽤parent数组记录各点的连通分量），则将其添加到最⼩⽣成树中。

最小生成树的概念
在图论中，最小生成树是一个连通图的生成树，其边的权值之和最小。

通俗地说，最
小生成树是指在一个图中找到一棵权值最小的生成树，这个生成树包含了连通图的所有顶点，且边的数量最小。

怎么找到最小生成树呢？有两种常用算法：Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法首先任选一个点作为起点，然后在剩余的点中选择与当前集合距离最短的点加入集合，直到所有点被加入。

在加入每一个点时，找到与当前集合连接的距离最短的边，加入到生成树中。

重复以上步骤，直到所有点都被加入到生成树中。

Kruskal算法则是将边按照权值从小到大排序，选择权值最小的边加入到生成树中，
如果加入当前边后不构成环，则加入，否则继续找下一条权值最小的边。

重复以上步骤，
直到所有点都被加入到生成树中。

最小生成树有很广泛的应用，如在通信、传输、路网规划等领域都有很重要的作用。

在有些应用中，最小生成树不仅要求边的权值之和最小，还要满足一些约束条件，比如边
的数量、每个点的度数等，这时我们需要采用更加复杂的算法来求解问题。

最小生成树的应用非常广泛，比如在计算机网络中，路由协议需要找到最短的数据传
输路径；在城市交通中，规划出最优的交通路径能够有效减少能源的消耗；在电力系统中，设计最短的输电线路可以节省能源成本。

最小生成树的运用如此广泛，它不仅在计算机科
学中有重要作用，也在其他各个领域有着不可替代的作用。

最⼩⽣成树（普⾥姆算法）：所谓⽣成树，就是n个点之间连成n-1条边的图形。

⽽最⼩⽣成树，就是权值（两点间直线的值）之和的最⼩值。

⾸先，要⽤⼆维数组记录点和权值。

如上图所⽰⽆向图：int map[7][7];map[1][2]=map[2][1]=4;map[1][3]=map[3][1]=2;......然后再求最⼩⽣成树。

具体⽅法是：1.先选取⼀个点作起始点，然后选择它邻近的权值最⼩的点（如果有多个与其相连的相同最⼩权值的点，随便选取⼀个）。

如1作为起点。

visited[1]=1;pos=1;//⽤low[]数组不断刷新最⼩权值，low[i](0<i<=点数)的值为：i点到邻近点（未被标记）的最⼩距离。

low[1]=0; //起始点i到邻近点的最⼩距离为0low[2]=map[pos][2]=4;low[3]=map[pos][3]=2;low[4]==map[pos][4]=3;low[5]=map[pos][5]=MaxInt; //⽆法直达low[6]=map[pos][6]=MaxInt;2.再在伸延的点找与它邻近的两者权值最⼩的点。

//low[]以3作当前位置进⾏更新visited[3]=1;pos=3;low[1]=0; //已标记，不更新low[2]=map[1][2]=4; //⽐5⼩，不更新low[3]=2; //已标记，不更新low[4]=map[1][4]=3; //⽐1⼤，更新后为：low[4]=map[3][4]=1;low[5]=map[1][5]=MaxInt;//⽆法直达，不更新low[6]=map[1][6]=MaxInt;//⽐2⼤，更新后为：low[6]=map[3][6]=2;3.如此类推...当所有点都连同后，结果最⽣成树如上图所⽰。

所有权值相加就是最⼩⽣成树，其值为2+1+2+4+3=12。

⾄于具体代码如何实现，现在结合POJ1258例题解释。

最小生成树克鲁斯卡尔算法
最小生成树克鲁斯卡尔算法是一种基于贪心思想的图论算法，主
要用于解决图的最小生成树问题。

该算法精简高效，在实际应用中广
泛使用。

最小生成树问题是指，在一个带权无向图中，选取一些边，使得
它们组成一棵树，且这棵树的所有边的权值之和最小。

这个问题可以
用克鲁斯卡尔算法来解决。

克鲁斯卡尔算法的思想是，首先将所有边按照权值从小到大排序，依次将每条边加入到已选的边集合中，如果加入该边后形成了环路，
则不选择该边。

最终生成的边集合就是该图的最小生成树。

这个算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数。

虽然速度不
如其他复杂度更快的算法，但克鲁斯卡尔算法的代码简洁易懂，并且
适用于边数较小的图，正因为如此，在实际应用中它的使用非常广泛。

在大型计算机网络中，最小生成树算法常用于广域网的拓扑设计
问题。

在城市交通规划中，也可以应用最小生成树算法，来设计更加
合理的交通路线。

需要注意的是，最小生成树仅仅是起到了将所有节点连接起来的
作用，它并不保证任意两个节点之间都有最短路径。

如果需要求解两
点间的最短路径问题，需要使用单源最短路径算法，如Dijkstra算法
和Bellman-Ford算法等。

总之，最小生成树克鲁斯卡尔算法在实际应用中扮演着重要的角色，尤其在计算机网络和城市规划领域的应用非常广泛。

学习并掌握这个算法，对于解决实际问题具有重要的指导意义。

伪代码描述算法算法标题：最小生成树（Prim算法）在图论中，最小生成树是指在一个连通图中找出一棵包含所有顶点且权值最小的树。

Prim算法是一种常用的解决最小生成树问题的算法。

1. 算法思想Prim算法的核心思想是以一个顶点为起点，逐步扩展生成最小生成树。

具体步骤如下：- 首先选取一个起始顶点，将其加入最小生成树的集合中。

- 然后，从与起始顶点相连的边中选择一条权值最小的边，并加入最小生成树的集合中。

- 接着，从已选取的边所连接的顶点中，选择一条权值最小的边，并加入最小生成树的集合中。

- 重复上述步骤，直到最小生成树的集合包含了所有顶点。

2. 算法实现下面通过伪代码来描述Prim算法的实现过程：```Prim(G, s):初始化集合V为图G的所有顶点初始化集合S为空，用于存放最小生成树的顶点集合初始化集合E为空，用于存放最小生成树的边集合将起始顶点s加入集合S中重复以下步骤，直到集合S包含了所有顶点：从集合V-S中选择一条连接到集合S中的顶点的权值最小的边(u, v)将顶点v加入集合S中将边(u, v)加入集合E中返回最小生成树的边集合E```3. 算法示例下面通过一个示例图来演示Prim算法的具体执行过程。

```输入：图G(V, E)，其中V为顶点集合，E为边集合输出：最小生成树的边集合E1. 初始化集合V为{A, B, C, D, E, F, G, H}初始化集合S为空，用于存放最小生成树的顶点集合初始化集合E为空，用于存放最小生成树的边集合2. 将起始顶点A加入集合S中3. 重复以下步骤，直到集合S包含了所有顶点：- 从集合V-S中选择一条连接到集合S中的顶点的权值最小的边(u, v)- 将顶点v加入集合S中- 将边(u, v)加入集合E中第一次循环：- 选择边(A, B)，将顶点B加入集合S中，将边(A, B)加入集合E 中第二次循环：- 选择边(B, D)，将顶点D加入集合S中，将边(B, D)加入集合E 中第三次循环：- 选择边(D, C)，将顶点C加入集合S中，将边(D, C)加入集合E 中第四次循环：- 选择边(C, F)，将顶点F加入集合S中，将边(C, F)加入集合E 中第五次循环：- 选择边(F, E)，将顶点E加入集合S中，将边(F, E)加入集合E 中第六次循环：- 选择边(E, G)，将顶点G加入集合S中，将边(E, G)加入集合E中第七次循环：- 选择边(G, H)，将顶点H加入集合S中，将边(G, H)加入集合E中4. 返回最小生成树的边集合E，即{(A, B), (B, D), (D, C), (C, F), (F,E), (E, G), (G, H)}```4. 算法分析- 时间复杂度：Prim算法的时间复杂度为O(|V|^2)，其中|V|为顶点的数量。

最小生成树算法
1.网络布局问题：在一个连通加权无向图中，最小生成树算法可以帮助找到一个包含所有顶点的最小权重树，从而在地图上实现有效的布局。

2.地图着色问题：在地图着色问题中，最小生成树算法可以用于优化颜色分配，使得相邻区域的颜色不同，同时最小化所需的颜色数量。

3.车辆路径优化问题：在物流和运输行业中，最小生成树算法可以用于优化车辆的行驶路径，使得车辆能够更高效地完成配送任务，降低运输成本。

4.通信网络设计：在通信网络设计中，最小生成树算法可以用于构建高效的数据传输网络，使得数据能够在不同的节点之间快速传输。

5.电力系统设计：在电力系统的设计中，最小生成树算法可以用于构建高效的输电网络，使得电能能够从发电厂传输到各个用户。

请注意，这些应用场景中都需要用到最小生成树算法来寻找最优解。

详解图的应用（最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径）1.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树1.1 问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。

这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。

在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。

n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢?1.2 分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。

对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。

即无向连通图的生成树不是唯一的。

连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。

图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n 个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1 条边。

1.3最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。

最小生成树的性质：假设N=(V,{ E}) 是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。

1.4 解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。

他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。

时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V 为网图中所有顶点的集合，E 为网图中所有带权边的集合。

说说最小生成树（MinimumSpanningTree）minimum spanning tree(MST)转自：/gsky1986/article/details/45149931 最小生成树是连通无向带权图的一个子图，要求能够连接图中的所有顶点、无环、路径的权重和为所有路径中最小的.graph-cut对图的一个切割或者叫切断，会使图分离成为两个不相连的顶点集.它基于树的两个基本属性：为树的任意两个节点间添加一条边，会在树中形成一个环.删去树中的一条边，会将原树分离成两棵不相连的树.crossing edge有了切断的概念，很容易就会问到，被切开的那些边是什么？切断造成了两个不相连的顶点集，而切断的操作施加在这些边上，那么这些边本身就横跨了两个顶点集.prim’s algorithm最常用的一种求MST的算法是普利姆算法它是一种贪心算法.它搜索的方向是从某一个顶点开始，对所有邻接的边进行考察，然后将最轻的边（权重最小的边）加入MST.决定它下一步搜索方向的，是最轻边的另一端的顶点，从这个顶点开始，它重复上一步，直到所有的顶点访问完毕.由于普利姆算法每次都贪心地找当前看来最轻的边，它不会综合考量全局，所以它是一种贪心算法.由于它从最轻边的另一个端点继续它的搜索之旅，所以每一步求出的在MST中的边都会自然地连成一颗树，直到最后长大为MST. PriorityQueue在普利姆算法中，一个重要的操作是挑选最轻边，所以一个优先队列可以对这个操作进行优化支持.优先队列通常基于堆来实现，比如二叉堆.它可以给我们对数级的时间返回队头元素，而这个队头元素具有最高的优先级.如果我们规定越轻的边的优先级越高，那么一个小根堆实现的升序优先队列就可以用在普利姆算法中.lazy prim普利姆算法在找到一条最轻边（v,w）后，这条边就不应该在以后的搜索中成为一个备选，同时点w也被加入了MST，那么优先队列中所有还未访问的但和点w连着的那些边都成了废弃边，它们不应该被再次考察.那么如何处理这种不再备选的边？我们可以删除这些边，但是删除这条边后，边的另一端顶点还没有访问，我们的删除操作会波及那些还没有访问的顶点.那么，一个比较懒而直观的方式是推迟对所有的废弃边的删除操作，任由它们在优先队列中，作为队列一员参与队列的每次调整操作.采取懒惰方式的普利姆算法的时间复杂度是O(ElogE).从这里看出，它对边比较稠密的图来说，是低效的.如果要了解懒惰方式的的普利姆算法，请参考：普利姆算法lazy 实现eager prim以懒惰方式处理不再备选的边，会使得算法多次考察这样的边,影响了效率.有没有方法对它进行改进？考虑一下，我们在找出一条最轻边并将它加入MST后，实际上使得其它的还没有被访问的边被访问的机会增加了.而我们只对最轻边感兴趣，所以在考察一个顶点时，只需要在优先队列中维护一条目前已知的到这个顶点的最短距离或最小权重就可以了.为了不将废弃边加入队列，我们需要以索引方式来组织优先队列.关于索引式的优先队列，请参考：索引式优先队列以积极方式队列废弃边的算法，请参考：普利姆算法eager实现普利姆算法的eager实现的时间复杂度是最差O(ElogV ) kruskal’s algorithm克鲁斯卡尔算法是求MST的另一种常用算法，它非常简单：1.每一步都挑选当前看来最轻的边.如果这条边的两个端点的加入，没有在mst中造成回路，将这条边加入mst.2.对所有的边重复上一步.算法中比较关键的一个操作是判断是否形成回路(cycle)，这可以借助并查集来做，请参考：快速并查集克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(ElogE).这里是一个完成的算法实现，请参考：克鲁斯卡尔算法实现综述最小生成树和最小生成森林（minimum spanning forest）技术，对于连通性考察很有意义.克鲁斯卡尔算法和懒惰方式的普利姆算法形式简单、易于理解，适合处理边不稠密的图.积极方式的普利姆算法,初次接触会不易理解.但它效率高于懒惰方式，平均适用性更好.求MST的贪心算法，都离不开优先队列或堆的支持，堆的操作效率决定了这些算法的效率.如果用斐波那契堆来实现优先队列，则decrease-key操作的摊还代价是O(1 )，普里姆算法将可优化到：O(E+VlogV ).。

最小生成树的两种算法包括：
1. Prim算法：
Prim算法是一种选择点加入树的算法。

首先选择任意一点作为树的第一个节点，然后枚举与它相连的所有点，将两点之间的边权记为这个点到生成树的距离，选择距离最近的点加入生成树，然后枚举与之相邻的节点，用边权更新该节点的距离，使距离等于两个节点之间的边的权重和。

再继续加入当前离生成树最近的点，在更新它相邻的点，以此类推，直到所有点全部加入生成树。

这样就求出了最小生成树。

2. Kruskal算法：
Kruskal算法也称为“加边法”。

首先把图中的所有边按代价从小到大排序，把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林，按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点应该属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。

重复以上步骤，直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。

这样就可以得到最小生成树。

以上信息仅供参考，可以咨询计算机专业人士或者查看专业书籍，
以获取更准确更全面的内容。

数据结构（三⼗三）最⼩⽣成树（Prim、Kruskal） ⼀、最⼩⽣成树的定义 ⼀个连通图的⽣成树是⼀个极⼩的连通⼦图，它含有图中全部的顶点，但只有⾜以构成⼀棵树的n-1条边。

在⼀个⽹的所有⽣成树中，权值总和最⼩的⽣成树称为最⼩代价⽣成树（Minimum Cost Spanning Tree），简称为最⼩⽣成树。

构造最⼩⽣成树的准则有以下3条：只能使⽤该图中的边构造最⼩⽣成树当且仅当使⽤n-1条边来连接图中的n个顶点不能使⽤产⽣回路的边 对⽐两个算法，Kruskal算法主要是针对边来展开，边数少时效率会⾮常⾼，所以对于稀疏图有很⼤的优势；⽽Prim算法对于稠密图，即边数⾮常多的情况会更好⼀些。

⼆、普⾥姆（Prim）算法 1.Prim算法描述 假设N={V,{E}}是连通⽹，TE是N上最⼩⽣成树中边的集合。

算法从U={u0，u0属于V}，TE={}开始。

重复执⾏下⾯的操作：在所有u属于U，v 属于V-U的边(u,v)中找⼀条代价最⼩的边(u0,v0)并加⼊集合TE，同时v0加⼊U，直到U=V为⽌。

此时TE中必有n-1条边，则T=(V,{TE})为N的最⼩⽣成树。

2.Prim算法的C语⾔代码实现/* Prim算法⽣成最⼩⽣成树 */void MiniSpanTree_Prim(MGraph G){int min, i, j, k;int adjvex[MAXVEX]; /* 保存相关顶点下标 */int lowcost[MAXVEX]; /* 保存相关顶点间边的权值 */lowcost[0] = 0;/* 初始化第⼀个权值为0，即v0加⼊⽣成树 *//* lowcost的值为0，在这⾥就是此下标的顶点已经加⼊⽣成树 */adjvex[0] = 0; /* 初始化第⼀个顶点下标为0 */for(i = 1; i < G.numVertexes; i++) /* 循环除下标为0外的全部顶点 */{lowcost[i] = G.arc[0][i]; /* 将v0顶点与之有边的权值存⼊数组 */adjvex[i] = 0; /* 初始化都为v0的下标 */}for(i = 1; i < G.numVertexes; i++){min = INFINITY; /* 初始化最⼩权值为∞， *//* 通常设置为不可能的⼤数字如32767、65535等 */j = 1;k = 0;while(j < G.numVertexes) /* 循环全部顶点 */{if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)/* 如果权值不为0且权值⼩于min */{min = lowcost[j]; /* 则让当前权值成为最⼩值 */k = j; /* 将当前最⼩值的下标存⼊k */}j++;}printf("(%d, %d)\n", adjvex[k], k);/* 打印当前顶点边中权值最⼩的边 */lowcost[k] = 0;/* 将当前顶点的权值设置为0,表⽰此顶点已经完成任务 */for(j = 1; j < G.numVertexes; j++) /* 循环所有顶点 */{if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j]){/* 如果下标为k顶点各边权值⼩于此前这些顶点未被加⼊⽣成树权值 */lowcost[j] = G.arc[k][j];/* 将较⼩的权值存⼊lowcost相应位置 */adjvex[j] = k; /* 将下标为k的顶点存⼊adjvex */}}}}Prim算法 3.Prim算法的Java语⾔代码实现package bigjun.iplab.adjacencyMatrix;/*** 最⼩⽣成树之Prim算法*/public class MiniSpanTree_Prim {int lowCost; // 顶点对应的权值public CloseEdge(Object adjVex, int lowCost) {this.adjVex = adjVex;this.lowCost = lowCost;}}private static int getMinMum(CloseEdge[] closeEdges) {int min = Integer.MAX_VALUE; // 初始化最⼩权值为正⽆穷int v = -1; // 顶点数组下标for (int i = 0; i < closeEdges.length; i++) { // 遍历权值数组，找到最⼩的权值以及对应的顶点数组的下标if (closeEdges[i].lowCost != 0 && closeEdges[i].lowCost < min) {min = closeEdges[i].lowCost;v = i;}}return v;}// Prim算法构造图G的以u为起始点的最⼩⽣成树public static void Prim(AdjacencyMatrixGraphINF G, Object u) throws Exception{// 初始化⼀个⼆维最⼩⽣成树数组minSpanTree，由于最⼩⽣成树的边是n-1，所以数组第⼀个参数是G.getVexNum() - 1，第⼆个参数表⽰边的起点和终点符号，所以是2 Object[][] minSpanTree = new Object[G.getVexNum() - 1][2];int count = 0; // 最⼩⽣成树得到的边的序号// 初始化保存相关顶点和相关顶点间边的权值的数组对象CloseEdge[] closeEdges = new CloseEdge[G.getVexNum()];int k = G.locateVex(u);for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++) {if (j!=k) {closeEdges[j] = new CloseEdge(u, G.getArcs()[k][j]);// 将顶点u到其他各个顶点权值写⼊数组中}}closeEdges[k] = new CloseEdge(u, 0); // 加⼊u到⾃⾝的权值0for (int i = 1; i < G.getVexNum(); i++) { // 注意，这⾥从1开始，k = getMinMum(closeEdges); // 获取u到数组下标为k的顶点的权值最短minSpanTree[count][0] = closeEdges[k].adjVex; // 最⼩⽣成树第⼀个值为uminSpanTree[count][1] = G.getVexs()[k]; // 最⼩⽣成树第⼆个值为k对应的顶点count++;closeEdges[k].lowCost = 0; // 下标为k的顶点不参与最⼩权值的查找了for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++) {if (G.getArcs()[k][j] < closeEdges[j].lowCost) {closeEdges[j] = new CloseEdge(G.getVex(k), G.getArcs()[k][j]);}}}System.out.print("通过Prim算法得到的最⼩⽣成树序列为: {");for (Object[] Tree : minSpanTree) {System.out.print("(" + Tree[0].toString() + "-" + Tree[1].toString() + ")");}System.out.println("}");}} 4.举例说明Prim算法实现过程 以下图为例： 测试类：// ⼿动创建⼀个⽤于测试最⼩⽣成树算法的⽆向⽹public static AdjacencyMatrixGraphINF createUDNByYourHand_ForMiniSpanTree() {Object vexs_UDN[] = {"V0", "V1", "V2", "V3", "V4", "V5", "V6", "V7", "V8"};int arcsNum_UDN = 15;int[][] arcs_UDN = new int[vexs_UDN.length][vexs_UDN.length];for (int i = 0; i < vexs_UDN.length; i++) // 构造⽆向图邻接矩阵for (int j = 0; j < vexs_UDN.length; j++)if (i==j) {arcs_UDN[i][j]=0;} else {arcs_UDN[i][j] = arcs_UDN[i][j] = INFINITY;}arcs_UDN[0][5] = 11;arcs_UDN[1][2] = 18;arcs_UDN[1][6] = 16;arcs_UDN[1][8] = 12;arcs_UDN[2][3] = 22;arcs_UDN[2][8] = 8;arcs_UDN[3][4] = 20;arcs_UDN[3][6] = 24;arcs_UDN[3][7] = 16;arcs_UDN[3][8] = 21;arcs_UDN[4][5] = 26;arcs_UDN[4][7] = 7;arcs_UDN[5][6] = 17;arcs_UDN[6][7] = 19;for (int i = 0; i < vexs_UDN.length; i++) // 构造⽆向图邻接矩阵for (int j = i; j < vexs_UDN.length; j++)arcs_UDN[j][i] = arcs_UDN[i][j];return new AdjMatGraph(GraphKind.UDN, vexs_UDN.length, arcsNum_UDN, vexs_UDN, arcs_UDN);}public static void main(String[] args) throws Exception {AdjMatGraph UDN_Graph = (AdjMatGraph) createUDNByYourHand_ForMiniSpanTree();MiniSpanTree_Prim.Prim(UDN_Graph, "V0");} 输出为：通过Prim算法得到的最⼩⽣成树序列为: {(V0-V1)(V0-V5)(V1-V8)(V8-V2)(V1-V6)(V6-V7)(V7-V4)(V7-V3)} 分析算法执⾏过程：从V0开始：-count为0，k为0，closeEdges数组的-lowCost为{0 10 INF INF INF 11 INF INF INF}，adjVex数组为{V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0}-⽐较lowCost，于是k为1，adjVex[1]为V0，minSpanTree[0]为（V0，V1），lowCost为{0 0 INF INF INF 11 INF INF INF}-k为1，与V1的权值⾏⽐较，得到新的-lowCost为：{0 0 18 INF INF 11 16 INF 12}，adjVex数组为{V0，V0，V1，V0，V0，V0，V1，V0，V1}-⽐较lowCost，于是k为5，adjVex[5]为V0，minSpanTree[1]为（V0，V5），lowCost为{0 0 18 INF INF 0 16 INF 12}-k为5，与V5的权值⾏⽐较，得到新的-lowCost为{0 0 18 INF 26 0 16 INF 12}，adjVex数组为{V0，V0，V1，V0，V5，V0，V1，V0，V1}-⽐较lowCost，于是k为8，adjVex[8]为V1，minSpanTree[2]为（V1，V8），lowCost为{0 0 18 INF INF 0 16 INF 0}... 三、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法 1.Kruskal算法描述 Kruskal算法是根据边的权值递增的⽅式，依次找出权值最⼩的边建⽴的最⼩⽣成树，并且规定每次新增的边，不能造成⽣成树有回路，直到找到n-1条边为⽌。

原题目：解释什么是最小生成树。

最小生成树是图论中的一个重要概念，用于解决连通图的优化
问题。

在连通图中，最小生成树是指包含图中所有顶点且边权值之
和最小的树。

最小生成树可以用来解决多个实际应用场景，例如建立电力网、通信网络或者道路网络等。

它能够帮助我们选取最经济、最有效的
连通方式，以降低成本和提高效率。

有多种算法可以用来计算最小生成树，其中比较经典的算法有Prim算法和Kruskal算法。

- Prim算法适用于稠密图，它从任意一个顶点开始，逐步选择
与当前生成树相连的最短边，直到生成树包含了全部顶点。

- Kruskal算法适用于稀疏图，它将所有边按照权值从小到大进
行排序，然后依次加入生成树，直到生成树包含了全部顶点。

通过这些算法，我们可以得到一个最小生成树，它是一棵树状的图，连接了所有的顶点，且总边权值最小。

最小生成树在计算机科学领域有广泛的应用，例如网络设计、路由优化、聚类分析等。

它不仅能够提供解决问题的最优方案，而且具有较高的可扩展性和效率。

总结起来，最小生成树是一种解决连通图优化问题的方法，通过选择最短的边构成一棵树状图，以达到最优的连通方式。

在实际应用中，我们可以利用Prim算法和Kruskal算法等多种算法来计算最小生成树，从而降低成本、提高效率。

求最小树的计算方法最小生成树是指在一个连通的无向图中，找到一棵生成树，使得这棵生成树的边权之和最小。

最小生成树问题是图论中的经典问题，有着广泛的应用。

目前，最小生成树问题有两种经典的算法：Prim算法和Kruskal算法。

1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，它从一个点开始，每次选择一条最短的边连接到已经选中的点集合中的一个点，直到所有的点都被选中，构成一棵生成树。

具体实现步骤如下：（1）初始化：选定一个起始点，将该点加入已选中的点集合中，将与该点相连的边加入边集合中。

（2）重复以下步骤，直到所有点都被选中：- 从边集合中选出一条权值最小的边，该边所连接的点如果已经被选中，则跳过该边，否则将该点加入已选中的点集合中，将与该点相连的边加入边集合中。

时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边数，V为点数。

2. Kruskal算法Kruskal算法也是一种贪心算法，它从所有边中选取权值最小的边，如果该边所连接的两个点不在同一个连通分量中，则将这两个点所在的连通分量合并，直到所有点都在同一个连通分量中，构成一棵生成树。

具体实现步骤如下：（1）将所有边按照权值从小到大排序。

（2）初始化：将所有点看成一个连通分量。

（3）重复以下步骤，直到所有点都在同一个连通分量中：- 从排好序的边集合中选出一条权值最小的边，如果该边所连接的两个点在同一个连通分量中，则跳过该边，否则将这两个点所在的连通分量合并，将该边加入边集合中。

时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数。

以上就是最小生成树的两种经典算法，它们都是基于贪心策略的，但具体实现方式略有不同。

在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的算法。