北师大版数学高一必修1练习 二次函数的性质

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课时提能演练(十一) / 课后巩固作业(十一)(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.(2018·张掖高一检测)函数f(x)=x2+mx+1的图像关于直线x=1对称,则( )(A)m=-2 (B)m=2(C)m=-1 (D)m=12.二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时，y的值为( )（A）-7 （B）1 （C）17 （D）253.(2018·安溪高一检测）如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间（-∞,4］上是减少的，那么实数a的取值范围是( )（A）a≤-3 （B）a≥-3 （C）a≤5 （D）a≥54.若函数f(x)=x2+ax+b的图像与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)( )(A)在(-∞,2］上是减少的，在［2,+∞)上是增加的(B)在(-∞,3)上是增加的(C)在［1,3］上是增加的(D)单调性不能确定二、填空题（每小题4分，共8分）5.(2018·蚌埠高一检测）函数y=x2+ax+3(0<a<2)在［-1，1］上的最大值是_____,最小值是______.6.已知关于x的函数f(x)=ax2+bx+c（a,b,c为常数），且ab≠0，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则f(x1+x2)的值等于______________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.(2018·淮安高一检测）已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间［2a,a+1］上不单调，求a的取值范围.8.（易错题）某商场以每件42元的价格购进一种服装,根据试营销量得知:这种服装每天的销售量t(t＞0,t∈N)件与每件的销售价x(x＞42,x∈N)元之间可看成是一次函数关系:t=-3x+204.(1)写出商场每天卖这种服装的销售利润y元与每件的销售价x元之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的总销售所得与购进这些服装所花费金额的差);(2)通过对所得函数关系式进行配方,指出:商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?【挑战能力】[:（10分）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数且a≠0)满足条件:f(2)=0且方程f(x)=x有等根.(1)求f(x)的解析式;(2)问是否存在实数m、n（m＜n）使f(x)的定义域和值域分别为［m,n］和［2m,2n］？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选A.函数f(x)=x2+mx+1的图像的对称轴为x=-m2,于是-m2=1,得m=-2,故选A.2.【解析】选D.∵二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=m24⨯,∴m8=-2,∴m=-16,∴f(1)=4×12+16×1+5=25.3.【解析】选A.函数f(x)的对称轴方程为x=-()2a121-⨯=1-a,要使函数f(x)在区间(-∞,4］上是减少的,必须1-a≥4,∴a≤-3.4.【解析】选A.由已知可得该函数的图像的对称轴为x=2,又二次项系数为1＞0,所以f(x)在（-∞,2］上是减少的，在［2,+∞)上是增加的,故选A.5.【解析】函数y=x2+ax+3的对称轴方程为x=-a2,∵0<a<2,∴-1<-a2<0,∴f(x)max=f(1)=4+a,f(x)min=f(-a2)=3-2a4.答案:4+a 3-2 a 46.【解析】∵x1+x2=-ba,∴f(x1+x2)=f(-ba)=a(-ba)2+b(-ba)+c=2ba-2ba+c=c.答案：c7.【解析】（1）∵f(x)为二次函数且f(0)=f(2),∴对称轴为x=1.又∵f(x)最小值为1，∴可设f(x)=a(x-1)2+1(a>0).∵f(0)=3,∴a=2,∴f(x)=2(x-1)2+1,即f(x)=2x2-4x+3.（2）由条件知2a<1<a+1,∴0<a<12.8.【解析】(1)由题意得,每天的销售利润y元与每件的销售价x元之间的函数关系式为y=(x-42)(-3x+204)=-3x2+330x-8 568(42＜x＜68,x∈N).(2)由(1)得y=-3(x-55)2+507(42＜x ＜68,x ∈N)，则当x=55时,y max =507.即当每件的销售价定为55元时,可获得最大的销售利润,每天的最大销售利润为507元.【误区警示】解答本题易漏掉函数的定义域而导致解析过程不完善.【挑战能力】【解题指南】本题是一道求函数解析式、定义域、值域的综合题，应从f(2)=0和f(x)=x 有等根着手，逐个击破.【解析】（1）∵方程ax 2+(b-1)x=0(a ≠0)有等根,∴Δ=(b-1)2-4a ×0=0,∴b=1.又f(2)=0,∴4a+2b=0,∴a=-12. ∴f(x)=-12x 2+x. （2）假设存在所求，∵f(x)=-12(x-1)2+12≤12, ∴2n ≤12,∴n ≤14. 又二次函数f(x)=-12(x-1)2+12的对称轴方程为x=1, ∴当n ≤14时,f(x)在［m,n ］上是增加的， 则()()f m 2m,f n 2n,=⎧⎪⎨=⎪⎩ 即221m m 0m 0m 2,21n n 0n 0n 2.2⎧--=⇒==-⎪⎪⎨⎪--=⇒==-⎪⎩或或 ∵m ＜n ≤14,∴m=-2,n=0. ∴存在实数m=-2,n=0使f(x)的定义域为［-2,0］,值域为［-4,0］.。

安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 邹英 总第 课时备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 2013.9 集体备课 个人空间一、课题：2.4.2二次函数的性质二、学习目标1、掌握研究二次函数常用的方法—配方法；2、会求二次函数在闭区间上的最值（值域）；三、教学过程【温故知新】问题1、如何由2x y =的图象得到)0(2≠=a ax y 的图象？问题2、如何由2ax y =的图象得到k h x a y ++=2)(的图象？【导学释疑】问题1、完成下表函数 二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）性质 a>0a<0 1、抛物线开口1、抛物线开口2、对称轴是 ，顶点坐标是2、对称轴是 ，顶点坐标是3、在区间,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是减函数，在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数 3、在区间 上是增函数，在区间 上是减函数4、抛物线有最低点，当2b x a =-时，y 有最小值，y min = 4、抛物线有最高点，当2b x a=-时，y 有最大值， y max =问题2、0<a 时，二次函数的单调性你能证明吗？【巩固提升】例1、见P 46页例2。

例2、见P 46页例3。

【检测反馈】1、 用配方法求下列函数的对称轴和定点坐标，并作出图像，指出其单调区间。

（1）()f x =x 2+8x+3； （2）()f x =5x 2-4x-3；2、已知二次函数()f x =x2-2x+3，（1）、当[)2,0x ∈-时，求()f x 的最值；（2）、当[)2,3x ∈-时，求()f x 的最值；【学生小结】反思栏。

4．2 二次函数的性质, [学生用书P34])二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质a 的符号 性质a >0a <0函数图像开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a对称轴x ＝－b 2ax ＝－b 2a单调性在区间⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是减少的，在区间⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是增加的在区间⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增加的，在区间⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是减少的1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二次函数的单调性由开口方向和对称轴共同确定．()(2)函数y＝－2x2＋2x＋1的对称轴为x＝－1.()(3)所有的二次函数一定存在最大、最小值．()(4)二次函数在闭区间上既有最大值又有最小值．()★答案☆：(1)√(2)×(3)×(4)√2．函数f(x)＝－x2－2x＋3在[－5，2]上的最小值和最大值分别为()A．－12，－5B．－12，4C．－13，4 D．－10，6解析：选B.f(x)的图像开口向下，对称轴为直线x＝－1.当x＝－1时，f(x)最大＝4，当x＝－5时，f(x)最小＝－12.3．若函数f(x)＝x2－2ax在(－∞，5]上是递减的，在[5，＋∞)上是递增的，则实数a＝________．解析：由题意知，对称轴x＝a＝5.★答案☆：54．函数y＝x2＋1，x∈[－1，2]的值域为________．解析：y＝x2＋1的图像开口向上，对称轴为y轴，当x＝0时，y最小＝1，当x＝2时，y最大＝5.所以函数y的值域为[1，5]．★答案☆：[1，5]二次函数在闭区间上的最值求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[m，n]上的最值一般分为以下几种情况，即：(1)若对称轴x＝－b2a在区间[m，n]内，则最小值为f⎝⎛⎭⎫－b2a，最大值为f(m)，f(n)中较大者(或区间端点m，n中与直线x＝－b2a距离较远的一个对应的函数值为最大值)；(2)若对称轴x＝－b2a<m，则f(x)在区间[m，n]上是增函数，最大值为f(n)，最小值为f(m)；(3)若对称轴x＝－b2a>n，则f(x)在区间[m，n]上是减函数，最大值为f(m)，最小值为f(n)．二次函数的单调性和对称性[学生用书P34](1)若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在区间[－1，2]上是单调的，则实数m 的取值范围是________．(2)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋1对任意实数x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，则f (1)，f (2)的值分别为________．【解析】 (1)函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1＝(x ＋m )2＋1－m 2，其对称轴为x ＝－m ，若函数在[－1，2]上是单调的，说明对称轴不在区间[－1，2]内部，故有－m ≤－1或－m ≥2，得m ≥1或m ≤－2.(2)由题意知，函数关于x ＝2对称，故－b2＝2，得b ＝－4，所以f (x )＝x 2－4x ＋1，所以f (1)＝1－4＋1＝－2，f (2)＝4－8＋1＝－3.【★答案☆】 (1)(－∞，－2]∪[1，＋∞) (2)－2，－3(1)二次函数的单调性由开口方向和对称轴两个因素共同确定；(2)若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )或f (2a －x )＝f (x )，则f (x )的对称轴为x ＝a ；(3)若函数f (x )满足f (a －x )＝f (b ＋x )，则f (x )的对称轴为x ＝a ＋b2.1.(1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －3在(－∞，a ]上是减函数，则实数a 的最大值为________．(2)如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：(1)函数f (x )的对称轴为x ＝－1， f (x )在(－∞，－1]上为减函数， 由题意(－∞，a ]⊆(－∞，－1]， 故a ≤－1，即a 的最大值为－1.(2)因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图像的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2. ★答案☆：(1)－1 (2)(－∞，2]二次函数的最值(值域)[学生用书P35]已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f(x)的最小值．【解】f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2的图像开口向上，且对称轴为直线x＝a.当a≥1时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；当－1<a<1时，函数图像如图(2)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为f(a)＝2－a2；当a≤－1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.综上，当a≥1时，f(x)min＝3－2a；当－1<a<1时，f(x)min＝2－a2；当a≤－1时，f(x)min＝3＋2a.求解二次函数最值问题的关键点(1)二次函数最值问题关键是与图像结合，主要讨论对称轴在区间左、在区间内、在区间右这三种情况．(2)对于已给出最值的问题，求解的关键是借助单调性确定最值点．2.(1)函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是()A．[2，＋∞)B．[0，2]C．(－∞，2] D．[2，4](2)函数f(x)＝1x2－2x＋3，x∈[0，3]的最大值为________．解析：(1)f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1在[0，＋∞)上的图像如图，由题意得2≤m≤4.(2)令g (x )＝x 2－2x ＋3，则g (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2在[0，3]上的最小值为2，最大值为6.故f (x )＝1g （x ）的最大值为12.★答案☆：(1)D (2)12二次函数在实际问题中的应用[学生用书P35]某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋4.2x ，0≤x ≤5，x ∈N ，11，x >5，x ∈N ，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x ， 所以f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，x ∈N ，8.2－x ，x >5，x ∈N .(2)当x >5时，因为函数f (x )单调递减， 所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使赢利最大为3.6万元．(1)解应用题要弄清题意，从实际出发，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题．实际问题要注意确定定义域．(2)分段函数求最值，应先分别求出各段上的最值再比较．3.某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．(1)若存款利率为x，x∈(0，0.048)，试写出存款数量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率x之间的关系式；(2)问存款利率为多少时，银行可获得最大收益？解：(1)由题意知，存款量g(x)＝kx，银行应该支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0，0.048)．(2)设银行可获得的收益为y，则y＝0.048kx－kx2＝－k(x－0.024)2＋0.0242·k，当x＝0.024时，y有最大值．所以存款利率定为0.024时，银行可获得最大收益．(本题满分12分)求函数f(x)＝x2－2ax －1在区间[0，2]上的最大值g(a)和最小值h(a)．【解】f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(2分)(1)当a<0时，由图(1)可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(4分)(2)当0≤a<1时，由图(2)可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(6分)(3)当1≤a≤2时，由图(3)可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.(8分)(4)当a >2时， 由图(4)可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1. (10分)综上可知，函数的最大值g （a ）＝⎩⎨⎧3－4a ，a <1，－1，a ≥1(11分)函数的最小值h (a )＝⎩⎨⎧－1，a <0，－1－a 2，0≤a ≤2，3－4a ，a >2.(12分)(1)4处，漏掉一种情况，扣2分； 若漏掉此处结论，扣1分； 若漏掉此处结论，扣1分．(2)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图像的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据．(3)此处讨论对称轴x ＝a 与区间[0，2]的位置时，由于本题既求最大值，也求最小值，因此需要讨论对称轴相对区间中点的位置关系，此点极易忽视．1．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是() A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[0，2] D ．[－2， 2 ] 解析：选C.因为－x 2＋4x ＝4－（x －2）2∈[0，2]， 所以y ＝2－－x 2＋4x 的值域为[0，2]．2．函数f (x )＝11－x （1－x ）的最大值是( )A.45B.54C.43D.34解析：选C.设g (x )＝1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34∈⎣⎡⎭⎫34，＋∞， 所以f (x )＝11－x （1－x ）的最大值为43.3．若不等式ax 2＋2ax －4<2x 2＋4x 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 均成立， 当a ＝2时，－4<0符合题意； 当a ≠2时，需满足 ⎩⎨⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）＝4（a －2）（a ＋2）<0， 所以－2<a <2，综上，实数a 的取值范围是(－2，2]． ★答案☆：(－2，2]4．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f (x )在[1，2]上的值域．解：因为f (x )在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，所以函数f (x )＝4x 2－mx ＋1的对称轴方程x ＝m8＝－2，即m ＝－16.又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且f (x )在[－2，＋∞)上递增． 所以f (x )在[1，2]上递增，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值f (1)＝4－m ＋1＝21； 当x ＝2时，f (x )取得最大值f (2)＝16－2m ＋1＝49. 所以f (x )在[1，2]上的值域为[21，49]．, [学生用书P111(单独成册)])[A 基础达标]1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋5(0≤x <5)的值域为( ) A ．(0，5] B ．[0，5] C ．[5，9] D ．(0，9]解析：选D.f (x )＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9(0≤x <5)，当x ＝2时，f (x )最大＝9；当x >0且x 接近5时，f (x )接近0，故f (x )的值域为(0，9]．2．已知函数y ＝x 2－6x ＋8在[1，a )上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤3 B ．0≤a ≤3 C ．a ≥3 D ．1<a ≤3解析：选D.函数y ＝x 2－6x ＋8的对称轴为x ＝3，故函数在(－∞，3]上为减函数，由题意[1，a )⊆(－∞，3]，所以1<a ≤3.3．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ， 所以函数f (x )图像的对称轴为x ＝2. 所以f (x )在[0，1]上单调递增．又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2. 所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析：选D.函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图像的对称轴为x ＝12，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D.5．设二次函数f (x )＝－x 2＋x ＋a (a <0)，若f (m )>0，则f (m ＋1)的值为( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．正数、负数或零都有可能解析：选B.由题意可得，f (x )＝－x 2＋x ＋a 的函数图像开口向下，对称轴为x ＝12，又a <0，则函数f (x )的图像与y 轴的交点在y 轴负半轴上，如图所示．设使f (m )>0的m 的取值范围为12－k <m <12＋k ⎝⎛⎭⎫0<k <12，所以1<32－k <m ＋1<32＋k ，所以f (m ＋1)<0，故选B.6．函数y ＝－x 2＋2x ＋3 在区间________上是减少的． 解析：令y ＝u ，u ＝－x 2＋2x ＋3≥0，则x ∈[－1，3]， 当x ∈[－1，1]时，u ＝－x 2＋2x ＋3增加，y ＝u 增加； 当x ∈[1，3]时，u ＝－x 2＋2x ＋3减小，y ＝u 减小． ★答案☆：[1，3]7．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋3－b (a >0)在区间[1，3]上有最大值5和最小值2，则a ＋b ＝__________．解析：依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，函数f (x )在[1，3]上是增函数．故当x ＝3时，该函数取得最大值，即f (x )max ＝f (3)＝5，3a －b ＋3＝5， 当x ＝1时，该函数取得最小值， 即f (x )min ＝f (1)＝2， 即－a －b ＋3＝2，所以联立方程得⎩⎨⎧3a －b ＝2，－a －b ＝－1，解得a ＝34，b ＝14.因此a ＋b ＝1. ★答案☆：18．已知二次函数f (x )的二次项系数a ＜0，且不等式f (x )＞－x 的解集为(1，2)，若f (x )的最大值为正数，则a 的取值范围是________．解析：由不等式f (x )＞－x 的解集为(1，2)， 可设f (x )＋x ＝a (x －1)(x －2)(a ＜0)，所以f (x )＝a (x －1)(x －2)－x ＝ax 2－(3a ＋1)x ＋2a＝a ⎝⎛⎭⎫x －3a ＋12a 2－（3a ＋1）24a ＋2a ，其最大值为－（3a ＋1）24a＋2a ，若－（3a ＋1）24a＋2a ＞0，可得8a 2＜(3a ＋1)2，即a 2＋6a ＋1＞0，解得a ＜－3－22或a ＞－3＋2 2.★答案☆：(－∞，－3－22)∪(－3＋22，0) 9．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )在 [2，＋∞)上是增加的，求a 的取值范围． 解：(1)因为函数的值域为[0，＋∞)， 所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，即2a 2－a －3＝0，所以a ＝－1或a ＝32.(2)函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6在[－2a ，＋∞)上是增加的，要使函数f (x )在[2，＋∞)上是增加的，只需－2a ≤2，所以a ≥－1，故a 的取值范围是[－1，＋∞)．10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：(1)确定x 与y )；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎨⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162.又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30，54]，x ∈N . (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860，x ∈[30，54]，x ∈N . 配方得，P ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．[B 能力提升]11．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)<f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定解析：选B.因为x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，a >0，所以f (x 1)－f (x 2)＝ax 21＋2ax 1＋4－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 21－x 22)＋2a (x 1－x 2)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝2a (x 1－x 2)<0， 所以f (x 1)<f (x 2)． 12．若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0，2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，求实数m 的取值范围．解：由于f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (2)>f (0)，解得a <0.又因f (x )图像的对称轴为x ＝－－4a2a＝2.所以f (x )在[0，2]上的值域与在[2，4]上的值域相同，所以满足f (m )≥f (0)的m 的取值范围是0≤m ≤4.13．已知函数f (x )＝x 2－x ＋a ＋1.(1)若f (x )≥0对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )在区间[a ，a ＋1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：因为f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋a ＋34，所以f (x )min ＝a ＋34.(1)若f (x )≥0对一切x ∈R 恒成立，所以a ＋34≥0，所以a ≥－34.(2)f (x )在区间[a ，a ＋1]上是单调函数，所以a ≥12或a ＋1≤12，即a ≥12或a ≤－12.14．(选做题)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R 的最小值为g (t )，试写出g (t )的函数表达式．解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图像如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图像如图(2)所示，最小值为g (t )＝f (1)＝1；当t >1时，函数图像如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可得g (t )＝⎩⎨⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.。

第二章 4.2 二次函数的性质 教材内容解析：二次函数是高中数学最常用的函数，在全国各地的高考中是常考内容，考题形式多变。

本节内容是北师大版高中数学必修一第二章第四节“二次函数的性质”。

它是学生在初中学习了二次函数的基础上，用数学语言通过实例具体分析、观察、归纳更深层次的刻画二次函数的性质。

在学习过程中结合二次函数的图像展开思维，突破难点，使学生更好的理解并应用二次函数的性质解决问题。

教学三维目标：知识与技能：掌握二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像的顶点坐标、对称轴方程、单调区间和最值的求法；培养学生的观察分析能力，由特殊到一般的归纳能力，引导学生学会用数形结合的方法研究问题。

过程与方法：用数形结合的方法总结二次函数的性质，并灵活应用分类讨论解决含参问题，引导学生思考、探索，在解决问题中建构新知。

情感、态度与价值观：通过新旧知识的认识，激发学生的求知欲；在合作学习过程中培养 学生团结协作的思想品质。

学生学情分析：高一学生在初中已经初步认识并学习了二次函数的图像与性质，具备了一定的观察、分析及概括能力，为二次函数性质的再次学习奠定了基础。

但是高中数学与初中数学相比，知识的难易程度有很大的提高，所以学生在语言表述、解题过程的书写、知识的灵活应用、从直观到抽象的转变等，对他们来说有很大的困难。

教学策略分析与设计：在教学中本着“问题——探究——反思——提高”的过程，开展所要学习的内容。

1、在自主学习的问题情境中，通过旧知识再现分析、观察，归纳直观到抽象的规律，并在从易到难的教学过程中学以致用。

2、在开放的情境中，独学、群学相结合。

通过生生互动、师生互动，鼓励每个学生动口、动手、动脑，让每个学生积极主动参与到整个课堂的知识构建中，在展现获取知识和方法的思维过程中，突出探究、合作，提高学生学习的兴趣和热情，使学生由“学会”变成“会学”和“乐学”。

教学过程：板书设计《二次函数的性质》课堂检测编写人：审核人：编写时间：周次：_____班_____组姓名：__________ 组评：_________ 师评：__________ A1、函数)2()(--=x x x f 的单调增区间为________________。

2-4-2 二次函数的性质基 础 巩 固一、选择题1．函数y ＝－x 2＋1在下列哪个区间上是增加的( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(0，＋∞) D ．(－∞，＋∞)[答案] B[解析] y ＝－x 2＋1中二次项系数小于0，图像开口向下，易知递增区间为(－∞，0]．2．二次函数y ＝－2(x ＋1)2＋8的最值情况是( ) A ．最小值是8，无最大值 B ．最大值是－2，无最小值 C ．最大值是8，无最小值 D ．最小值是－2，无最大值 [答案] C[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x ＝－1时，函数有最大值8，无最小值．3．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc ＝( )A ．－6B ．11C ．－14 D.14 [答案] C[解析] ∵f (x )图像过点(0,2)，∴c ＝2. 又顶点为(4,0)，∴－b2a ＝4，8a －b 24a ＝0. 解得：b ＝－1，a ＝18，∴abc ＝－14.4．若f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)[答案] A[解析] ∵对称轴x ＝1－a3，又开口向上，在(－∞，1]上是减函数．∴1－a3≥1，∴a ≤－2.5．二次函数y ＝f (x )的图像过原点，且顶点为(－2,8)，则f (x )＝( )A ．－2x 2－8xB ．2x 2－8xC ．2x 2＋8xD ．－2x 2＋8x [答案] A[解析] 由题意设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋8，又∵函数图像过原点，∴4a ＋8＝0，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2－8x .6．二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )在[0,2]上是增函数，且f (a )≥f (0)，那么实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，－0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞) [答案] C[解析] 此函数图像的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x 2＝2，在[0,2]上递增，如图所示，正确答案为C.二、填空题7．(2012·石家庄高一检测)已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在[2,10]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．[答案] k ≤16或k ≥80[解析] 函数f (x )的对称轴为x ＝k 8， ∴k 8≤2或k8≥10， ∴k ≤16或k ≥80.8．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．[答案] (－14，14)[解析] 把(1,4)的坐标代入y ＝ax 2与y ＝kx ＋1中得a ＝4，k ＝3.所以由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x 2，y ＝3x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14，y ＝14.三、解答题9．(2012·九江高一检测)已知二次函数y ＝－4x 2＋8x －3. (1)画出它的图像，并指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)求函数的最大值；(3)写出函数的单调区间．(不必证明)[解析] (1)图像如图所示，该图像开口向下；对称轴为直线x ＝1；顶点坐标为(1,1)．(2)y ＝－4(x －1)2＋1，故函数的最大值为1. (3)函数的单调增区间是(－∞，1]， 单调减区间是[1，＋∞).能 力 提 升一、选择题1．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( )A ．f (1)≥25B ．f (1)＝25C ．f (1)≤25D ．f (1)>25[答案] A[解析] f (x )＝4x 2－mx ＋5在[m8，＋∞)上是增加的，故[－2，＋∞)⊆[m8，＋∞)，即－2≥m8，∴m ≤－16. ∴f (1)＝9－m ≥25.2．某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速自动注水(即t 分钟自动注水2t 2升)，当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供________人洗浴．( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 设t 分钟后水箱内的水量为y 升，则由题设，知y ＝200－34t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1722＋200－2892(t >0)，当t ＝172＝8.5分钟时，y 取最小值，此时共放浴用水34×8.5＝289升，而28965＝42965，故一次至多可供4人洗浴．二、填空题3．已知抛物线y ＝－2x 2＋8x －9顶点为A ，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点A ，且与x 轴交于B (0,0)、C (3,0)两点，则这个二次函数的解析式为________．[答案] y ＝12x 2－32x[解析] ∵y ＝－2x 2＋8x －9＝－2(x －2)2－1，∴A (2，－1)．设所求二次函数的解析式为y ＝ax (x －3)，则由题意知－1＝a ×2(2－3)，即a ＝12.∴所求解析式为y ＝12x 2－32x .4．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为________．[答案] 3或－1[解析] 由图像知f (3)＝0， ∴m ＝3.由－x 2＋2x ＋3＝0得x 2－2x －3＝0， ∴x ＝3或－1. 三、解答题5．根据下列条件，求二次函数的解析式． (1)图像过A (0,1)、B (1,2)、C (2，－1)三点； (2)图像顶点是(－2,3)，且过点(－1,5)；(3)图像与x 轴交于(－2,0)、(4,0)两点，且过点(1，－92)． [解析] (1)设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知函数的图像经过(0,1)、(1,2)、(2，－1)三点．得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1a ＋b ＋c ＝24a ＋2b ＋c ＝－1，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝3c ＝1，∴函数的解析式为y ＝－2x 2＋3x ＋1.(2)设二次函数的解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，其顶点的坐标是(h ，k )，∵顶点的坐标是(－2,3)，∴y ＝a (x ＋2)2＋3. 又∵图像过点(－1,5)，∴5＝a (－1＋2)2＋3. ∴a ＝2，∴y ＝2(x ＋2)2＋3， ∴y ＝2x 2＋8x ＋11.即函数的解析式为y ＝2x 2＋8x ＋11.(3)设二次函数的解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)， 因为二次函数的图像交x 轴于(－2,0)、(4,0)两点，且过点(1，－92)，设y ＝a (x ＋2)(x －4)， 则有－92＝a (1＋2)(1－4)，∴a ＝12. ∴所求的函数解析式为y ＝12(x ＋2)(x －4)， 即y ＝12x 2－x －4.6．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图像与x 轴总有交点．(1)求m 的取值范围；(2)若函数图像与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值．[解析] (1)当 m ＋6＝0即m ＝－6时， 函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点； 当m ＋6≠0即m ≠－6时，有Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m ≤－59，即当m ≤－59且m ≠－6时，抛物线与x 轴有一个或两个交点， 综上可知，当m ≤－59时，此函数的图像与x 轴总有交点． (2)设x 1、x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根， 则x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2(m －1)m ＋1＝－4，解得m ＝－3，当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意，∴m 的值是－3.7．设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，且f (x )在闭区间[－2,2]上恒取非负数，求a 的取值范围．[解析] f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a －a 24，f (x )≥0在x ∈[－2,2]恒成立的充分条件是f (x )在x ∈[－2,2]上的最小值非负．(1)当－a2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上是增函数，最小值为f (－2)＝7－3a ，由7－3a ≥0，得a ≤73，这与a >4矛盾，此时a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )在[－2,2]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24，3－a －a24≥0⇒a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2. 结合－4≤a ≤4，可知此时－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上是减函数，最小值为f (2)＝7＋a ，由7＋a ≥0，得a ≥－7.∵a <－4，∴－7≤a <－4.由(1)(2)(3)可知，a 的取值范围是[－7,2]．。

1.二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时,y的值为()A.-7B.1C.17D.25解析:由已知得-=-2,所以m=-16,这时y=4x2+16x+5.因此当x=1时,y=4×12+16×1+5=25.答案:D2f(x)=ax2+2(a-3)x+1在区间(-2,+∞)上是减少的,则a的取值范围是() A.[-3,0] B.(-∞,-3]C.[-3,0)D.[-2,0]解析:当a=0时,f(x)=-6x+1显然成立;当a≠0时,要使f(x)在(-2,+∞)上是减少的,需满足解得-3≤a<0.综上可知,a的取值范围是[-3,0].答案:A3.已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是()A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2]D.(-∞,2]解析:由于y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其图像如图所示,且f(0)=3,f(1)=2,f(2)=3.结合图像可知m的取值范围是[1,2].答案:C4.已知二次函数f(x)=ax2-6ax+1,其中a>0,则下列关系中正确的是()A.f()<f()B.f(2π)>f(π)C.f()<f(3)D.f(-1)<f(1)解析:函数f(x)=ax2-6ax+1的对称轴为x=3,其图像开口方向向上,离对称轴越近,对应的函数值越小.∵2π-3>π-3,∴f(2π)>f(π).故选B.答案:B5.(探究题)由于被墨水污染,一道数学题仅能见到下列文字:“已知二次函数y=x2+bx+c的图像过(1,0)……求证这个二次函数的图像关于直线x=2对称”.根据以上信息,题中的函数图像不具有的性质是()A.过点(3,0)B.顶点为(2,2)C.在x轴上截得的线段长为2D.与y轴交点为(0,3)解析:若顶点为(2,2),可设为y=a·(x-2)2+2,将点(1,0)代入得0=a+2,∴a=-2.即y=-2(x-2)2+2,与y=x2+bx+c中的a=1矛盾.答案:B6.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为了降低消耗,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示).当截取的矩形面积最大时,矩形两边的长x,y应为()A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=14解析:结合图形,可得,得y=24-,矩形面积S=xy=x=-+24x,所以当x=-=15时,S最大,此时y=24-×15=12,故选A.答案:A7.(2016江苏淮安高中联考)如果二次函数y=mx2+5x+4在区间(-∞,2]上是增函数,在区间[2,+∞)上是减函数,则m的值是.解析:由题意可知,-=2,则m=-.答案:-8.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),又f(x)在[0,2]上是增加的,且f(a)≥f(0),那么实数a 的取值范围是.解析:此函数的对称轴为x==2,且f(x)在[0,2]上是增加的,如图所示,由f(0)=f(4),f(a)≥f(0),知0≤a≤4.答案:[0,4]9.将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为.解析:设正方形周长为x,则边长为,圆周长为(1-x),圆的半径为(0<x<1),依题意得,面积之和为+π,当x=时,有最小值,即正方形周长为.答案:10.求二次函数y=x2-6x+7在区间[-2,4]上的最大值和最小值.解法一:y=x2-6x+7=(x-3)2-2,故函数在区间[-2,3]上是减函数,在[3,4]上是增函数.①当-2≤x≤3时,y最大=23,y最小=-2;②当3≤x≤4时,y最大=-1,y最小=-2.综上可知,函数y=x2-6x+7的最小值为-2,最大值为23.解法二:(数形结合)令f(x)=y=x2-6x+7.对称轴:x=3,f(x)最大=f(-2)=23;f(x)最小=f(3)=-2.∴f(x)的最大值为23,最小值为-2.11f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图像恒在y=2x+2m+1的图像上方,试确定实数m的取值范围.解:(1)由f(0)=f(2)知,二次函数f(x)的图像关于x=1对称.又f(x)的最小值为1,故可设f(x)=a(x-1)2+1,因为f(0)=3,得a=2,故f(x)=2x2-4x+3.(2)要使函数f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则2a<1<a+1,则0<a<.即实数a的取值范围是0<a<.(3)由已知,即2x2-4x+3>2x+2m+1,化简得x2-3x+1-m>0.设g(x)=x2-3x+1-m,则只要g(x)min>0,因为x∈[-1,1]时,g(x)是减少的,所以g(x)min=g(1)=-1-m,因此有-1-m>0,得m<-1.即实数m的取值范围是m<-1.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

第六节二次函数考点串串讲1．二次函数的基本知识(1)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫作二次函数，它的定义域为R；如果b＝c＝0，则函数变为y＝ax2(a≠0)，它的图象是一条原点为顶点的抛物线，y轴为图象的对称轴，其解析式有三种表示形式：一般式、顶点式、双根式．求二次函数解析式的方法：待定系数法．根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或双根式中的一种来求．(ⅰ)已知三个点坐标时，宜用一般式；(ⅱ)已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式；(ⅲ)若已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用双根式求f(x)更方便．(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是一条抛物线，对称轴方程为x＝－b2a，顶点坐标是(－b2a，4ac－b24a)．其中b与a决定着函数的对称轴及奇偶性，c决定着抛物线与y轴的交点位置．①当a＞0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－b2a]上递减，在[－b2a，＋∞)上递增；当x＝－b2a时，[f(x)]min＝4ac－b24a.②当a＜0时，抛物线开口向下，函数在(－∞，－b2a]上递增，在[－b2a，＋∞)上递减；当x＝－b2a时，[f(x)]max＝4ac－b24a.③当c＝0时，抛物线过原点；当c>0时，交点位于x轴上方；当c<0时，交点位于x轴下方．(3)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac＞0时，图像与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝Δ|a|.2．二次函数在闭区间上的最值(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在区间[m，n]上的最值问题．一般情况下，需要分－b2a＜m，m≤－b2a≤n和－b2a＞n三种情况讨论解决．(2)对二次函数f(x)＝a(x－k)2＋h(a＞0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论：①若k∈[m，n]，则y min＝f(k)＝h，y max＝max{f(m)，f(n)}；②若k∉[m，n]，则y min＝min{f(m)，f(n)}，y max＝max{f(m)，f(n)}，(a＜0时可仿此讨论)．(3)一般来说，讨论二次函数在闭区间上的最值，主要是看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上，从而应用单调性求最值．3．一元二次方程实数根的分布(见下表)设ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，令f(x)＝ax2＋bx＋c.4．解题中要注意掌握二次不等式的转化策略：①二次不等式f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是(－∞，α]∪[β，＋∞)⇔a ＜0且f (α)＝f (β)＝0.②当a ＞0时，f (α)＜f (β)⇔|α＋b2a|＜|β＋b 2a |；当a ＜0时，f (α)＜f (β)⇔|α＋b2a |＞|β＋b 2a |.(|α＋b 2a |，|β＋b2a|表示横坐标为α，β的点到对称轴x ＝－b2a的距离，距离的远近决定对应函数值的大小)③当a ＞0时，二次不等式f (x )＞0在[p ，q ]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＜p ，f (p )＞0或⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－b 2a ＜q ，f (－b 2a)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ≥q ，f (q )＞0.④f (x )＞0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c ＞0；f (x )＜0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0.典 例 对 对 碰题型一 求二次函数解析式例1已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数．解析 解法一：利用二次函数一般式． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：利用二次函数顶点式． 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.即m ＝12.又根据题意函数有最大值为n ＝8，∴y ＝f (x )＝a (x －12)2＋8.∵f(2)＝－1，∴a(2－12)2＋8＝－1.解之得a＝－4.∴f(x)＝－4(x－12)2＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三：利用双根式．由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)．即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值y max＝8，∴4a(－2a－1)－a24a＝8.解之得a＝－4或a＝0(舍)．∴所求函数解析式为f(x)＝－4(x－12)2＋8＝－4x2＋4x＋7.变式迁移1已知二次函数f(x)同时满足条件：①f(1＋x)＝f(1－x)；②f(x)的最大值为15；③f(x)＝0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式．解析依条件，设f(x)＝a(x－1)2＋15，即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15，∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋15 a.而x31＋x32＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)＝23－3·2·(1＋15 a)＝2－90 a，∴2－90a＝17，则a＝－6.∴f(x)＝－6x2＋12x＋9.题型二根与系数的关系例2已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－3,2)时，f(x)＞0，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)＜0.(1)求f(x)在[0,1]内的值域；(2)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．解析 (1)由题设知－3、2是ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的根，且a ＜0，从而⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧8－ba＝－1，－a －aba ＝－6，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，于是f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3(x ＋12)2＋754. ∴f (x )在[0,1]上是减函数，故f (x )max ＝f (0)＝18，f (x )min ＝f (1)＝12.因此，f (x )在[0,1]上的值域为[12,18]． (2)ax 2＋bx ＋c ≤0，即－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，则Δ＝25＋12c≤0⇔c≤－2512.变式迁移2已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1,3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．解析(1)∵f(x)＋2x＞0的解集为(1,3)，∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a＜0.因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①由方程f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②因为方程②有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，即5a2－4a－1＝0.解得a＝1或a＝－1 5.由于a＜0，舍去a＝1.将a＝－15代入①得f(x)＝－15x2－65x－35. (2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1－2a a 2－a 2＋4a ＋1a ， 及a ＜0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0， 解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0. 故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).题型三 二次函数的单调性例3已知函数f (x )＝|x －a |，g (x )＝x 2＋2ax ＋1(a 为正常数)，且函数f (x )与g (x )的图像在y 轴上的截距相等．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＋g (x )的单调递增区间．解析(1)由题意，f(0)＝g(0)，|a|＝1，又a＞0，所以a＝1.(2)f(x)＋g(x)＝|x－1|＋x2＋2x＋1，当x≥1时，f(x)＋g(x)＝x2＋3x，它在[1，＋∞)上单调递增；当x＜1时，f(x)＋g(x)＝x2＋x＋2，它在[－12，1)上单调递增．综上，结合f(x)＋g(x)的图像知：f(x)＋g(x)的单调递增区间是[－12，＋∞).变式迁移3函数f(x)＝ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞)上递减，则a的取值范围是________．答案a≤－1 2解析∵f(x)的对称轴为x＝－2(a＋1)a(a≠0)，且f(x)在[2，＋∞)上递减．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，－2(a ＋1)a ≤2. 解得a ≤－12. 题型四 二次函数的最值例4已知f (x )＝x 2＋3x －5，x ∈[t ，t ＋1]，若f (x )的最小值为h (t )，写出h (t )的表达式．分析 所求二次函数解析式固定，区间变动，可考虑区间在变动过程中，二次函数的单调性，从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值．解析 如图所示，∵函数图像的对称轴为x ＝－32，①当t ＋1≤－32，t ≤－52时，即h (t )＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2＋3(t ＋1)－5，即h (t )＝t 2＋5t －1(t ≤－52)． ②当t ≤－32＜t ＋1，即－52＜t ≤－32时， h (t )＝f (－32)＝－294. ③当t ＞－32时，h (t )＝f (t )＝t 2＋3t －5. 综上可得h (t )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ t 2＋5t －1(t ≤－52)，－294(－52＜t ≤－32)，t 2＋3t －5(t ＞－32).点评 二次函数区间最值主要有三种类型：轴定区间定，轴定区间动和轴动区间定.变式迁移4求函数y ＝x 2－2ax －1在[0,2]上的值域．解析 结合二次函数的图像，观察对称轴x＝a与区间[0,2]的位置关系，得①当a＜0时，y min＝f(0)＝－1，y max＝f(2)＝3－4a，∴y∈[－1,3－4a]；②当0≤a≤1时，y min＝－(a2＋1)，y max ＝f(2)＝3－4a，∴y∈[－(a2＋1)，3－4a]；③当1＜a≤2时，y min＝－(a2＋1)，y max ＝f(0)＝－1，∴y∈[－(a2＋1)，－1]；④当a＞2时，y min＝f(2)＝3－4a，y max ＝f(0)＝－1，∴y∈[3－4a，－1].题型五二次方程的实根分布问题例5(1)方程x2－2ax＋4＝0的一根大于1，一根小于1，则实数a的取值范围是________．(2)方程x2－2ax＋4＝0的一根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，则实数a的取值范围是________．解析(1)解法一：利用根与系数的关系，设方程x2－2ax＋4＝0的两根为x1、x2，则⎩⎪⎨⎪⎧(x 1－1)(x 2－1)＜0，Δ＞0，解之得a ＞52. 解法二：利用二次函数图像的特征， 设f (x )＝x 2－2ax ＋4，则f (1)＜0，解之得a ＞52. (2)利用二次函数图像的特征，设f (x )＝x 2－2ax ＋4， 则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ f (0)＞0，f (1)＜0，f (6)＜0，f (8)＞0，解之得103＜a ＜174. 答案 (1)a >52 (2)103<a <174点评 不等式与函数有着千丝万缕的联系，通过适当的转化，可以使问题的表述更接近于我们熟悉的知识，从而得解．二次函数的实根分布问题是高考的一个热点问题，判断二次函数的零点分布的关键在于作出二次函数的图像的草图，根据草图通常从判别式、对称轴的位置、特殊点的函数值这三个角度列出不等式组求解.变式迁移5方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，求实数a 的取值范围．解析 解法一：运用韦达定理设x 1，x 2为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根，则有x 1＋x 2＝2a ，x 1·x 2＝4 ①要使原方程x 2－2ax ＋4＝0的两根x 1，x 2均大于1， 则需满足⎩⎪⎨⎪⎧ (x 1－1)＋(x 2－1)＞0(x 1－1)(x 2－1)＞0Δ≥0将①代入上述不等式，解之得2≤a ＜52. 解法二：运用二次函数的图像设f (x )＝x 2－2ax ＋4，则图像如图所示，由图可知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ Δ≥0f (1)＞0－－2a 2＞1⇒2≤a ＜52.题型六 二次函数的综合应用例6对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称点(x 0，x 0)为函数f (x )的不动点．(1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)有不动点(1,1)和(－3，－3)，求a ，b 的值；(2)若对于任意实数b ，函数f (x )＝ax 2＋bx －b 总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；(3)若定义在实数集R上的奇函数g(x)存在(有限的)n个不动点，求证：n必为奇数．解析(1)由不动点定义有f(x)－x＝0，∴ax2＋(b－1)x－b＝0.①把x＝1代入①式，有a＋b－1－b＝0，∴a＝1.把a＝1，x＝－3代入①式，得9－3(b－1)－b＝0，∴b＝3.(2)对任意实数b，f(x)＝ax2＋bx－b总有两个相异的不动点，即对任意实数b，方程f(x)－x＝0总有两个相异的实数根，即有ax2＋(b－1)x－b＝0中Δ＝(b－1)2＋4ab ＞0恒成立．即b2＋(4a－2)b＋1＞0恒成立，∴Δ′＝(4a－2)2－4＜0，∴4·4a(a－1)＜0，∴0＜a＜1.故当0＜a＜1时，对任意实数b，f(x)总有两个相异的不动点．(3)证明：∵g(x)是R上的奇函数．∴g(－0)＝－g(0)，∴g(0)＝0.∴(0,0)是函数g(x)的不动点．若g(x)有异于(0,0)点的不动点为(x0，x0)，则g(x0)＝x0.又g(－x0)＝－g(x0)＝－x0，∴(－x0，－x0)也是g(x)的不动点．∴g(x)的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，有2k个(k∈Z)，加上原点，共n＝2k＋1个．∴n为奇数.变式迁移6已知f(x)＝ax2＋2bx＋4c(a，b，c∈R)．(1)若a＋c＝0，f(x)在[－2,2]上的最大值为23，最小值为－12，求证：|b a |≤2； (2)当b ＝4，c ＝34时，对于给定的负数a ，有一个最大的正数M (a )使得x ∈[0，M (a )]时，都有|f (x )|≤5，问a 为何值时，M (a )最大，并求出这个最大值M (a )．解析 (1)证明：若a ＝0，则c ＝0， ∴f (x )＝2bx ，当x ∈[－2,2]时，有f (x )max ＝4|b |＝23，f (x )min ＝－4|b |＝－12，这是不可能的，∴a ≠0. 若|b a |＞2，则区间[－2,2]在对称轴x ＝－b a的左侧或右侧，f (x )在[－2,2]上是单调函数，∴f (x )max ＝4|b |＝23，f (x )min ＝－4|b |＝－12也是不可能的．综上可得|b a |≤2.(2)当b ＝4，c ＝34时， f (x )＝ax 2＋8x ＋3＝a (x ＋4a )2＋3－16a .∵a ＜0，∴f (x )max ＝3－16a .①当3－16a ＞5，即－8＜a ＜0时(如图所示)，此时0＜M (a )＜－4a ，∴M (a )是方程ax 2＋8x ＋3＝5的较小根，∴M (a )＝－8＋64＋8a 2a ＝216＋2a ＋4＜24＝12. ②当3－16a ≤5，即a ≤－8时(如图所示)，此时M (a )＞－4a ，∴M (a )是方程ax 2＋8x ＋3＝－5的较大根，∴M (a )＝－8－64－32a 2a ＝44－2a －2≤420－2＝5＋12，当且仅当a＝－8时，等号成立．又5＋12＞12，∴当且仅当a＝－8时，M(a)取得最大值5＋12.方法路路通1．求二次函数解析式时，要根据问题的条件，选取恰当的形式，用待定系数法求解．2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在区间[p，q]上的最值问题，一般情况下，需要分－b2a＜p，p≤－b2a≤q和－b2a＞q三种情况讨论解决．3．二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区间根问题，一般情况下需要从三个方面考虑：(1)判别式；(2)区间端点函数值的正负；(3)对称轴x＝－b2a与区间端点的关系．4．二次方程根的分布问题，可借助二次函数的图像，列不等式组求解．5．要注意讨论二次项函数为0时是否满足题意．6．三个二次的问题，即二次方程问题、二次不等式问题和二次函数问题，它们是中学数学中三个基础问题，以二次函数为核心，三者密切相连.正 误 题 题 辨例已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围．错解 当m ＜0时，抛物线y ＝f (x )的开口向下，故它与x 轴的两交点必在坐标原点的两侧，即m ＜0符合题设要求．当m ＞0时，抛物线开口向上，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(m －3)2－4m ≥0，－b 2a ＝3－m 2m＞0，解得0＜m ≤1.综上知，m 的取值范围是m ＜0或0＜m ≤1.点击 原条件没有说明函数f (x )是二次函数，所以二次项系数m 有可能为0.错误原因是没有考虑m ＝0的情况是否满足题意．正解 (1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1和x 轴有交点(13，0)，适合题意； (2)①当m ≠0时，Δ＝(m －3)2－4m ＝m 2－10m ＋9＝(m －9)(m －1)≥0，∴m ≥9或m ≤1，且m ≠0.②当m ＜0时，∵f (0)＝1，∴此时f (x )与x 轴的交点必有一个在原点右侧．③当0＜m ≤1或m ≥9时，可以从反面考虑，与x 轴右侧无交点，则对称轴x ＝3－m 2m ≤0，得m ≥3或m＜0，∴若与x轴右侧有交点，则0＜m＜3，∴0＜m≤1.由(1)(2)可知m的取值范围为(－∞，1].。

4.2 二次函数的性质课后篇巩固提升1.已知二次函数y=4x 2-mx+5图像的对称轴为x=-2,则当x=1时,y 的值为( )A.-7 B .1 C .17 D .25 解析:由已知得--m 2×4=-2,所以m=-16,这时y=4x 2+16x+5.因此当x=1时,y=4×12+16×1+5=25. 答案:D2.已知函数f (x )=ax 2+2(a-3)x+1在区间(-2,+∞)上是减少的,则a 的取值范围是( )A.[-3,0]B.(-∞,-3]C.[-3,0)D.[-2,0]解析:当a=0时,f (x )=-6x+1显然成立;当a ≠0时,要使f (x )在(-2,+∞)上是减少的,需满足{a <0,-2(a -3)2a ≤-2,解得-3≤a<0. 综上可知,a 的取值范围是[-3,0].答案:A3.已知函数y=x 2-2x+3在区间[0,m ]上有最大值3,最小值2,则实数m 的取值范围是( )A.[1,+∞) B .[1,2)C .[1,2]D .(-∞,2]解析:由于y=x 2-2x+3=(x-1)2+2,其图像如图所示,且f (0)=3,f (1)=2,f (2)=3.结合图像可知m 的取值范围是[1,2].答案:C4.已知函数f (x )=x 2+bx+c 的图像的对称轴为直线x=1,则( )A .f (-1)<f (1)<f (2)B .f (1)<f (2)<f (-1)C .f (2)<f (-1)<f (1)D .f (1)<f (-1)<f (2)解析:∵函数f (x )=x 2+bx+c 的图像开口向上,且对称轴为x=1,∴f (x )在(-∞,1)内递减,在(1,+∞)内递增,∴f (1)<f (2)<f (-1).答案:B5.已知函数f (x )=-x 2+2x+4在区间[0,m ]上有最大值5,最小值-1,则m 的值等于( )A.-1B.1C.2D.3解析:因为函数f (x )=-x 2+2x+4=-(x-1)2+5,故函数在区间(-∞,1]上单调递增;在区间(1,+∞)上单调递减. 若m ≤1,则函数在区间[0,m ]上单调递增,其最小值为f (0)=-02+2×0+4=4>-1,显然不合题意. 若m>1,则函数在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,m ]上单调递减,故函数的最大值为f (1)=5. 而f (0)=-02+2×0+4=4>-2.令f (m )=1,即-m 2+2m+4=1,也就是m 2-2m-3=0,解得m=-1或m=3. 又因为m>1,所以m=3.故选D .答案:D6.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为了降低消耗,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示).当截取的矩形面积最大时,矩形两边的长x ,y 应为( )A.x=15,y=12 B .x=12,y=15C .x=14,y=10D .x=10,y=14 解析:结合题中图形,可得x 20=24-y 24-8,得y=24-4x 5,矩形面积S=xy=x (24-4x 5)=-4x 25+24x ,所以当x=-242×(-45)=15时,S 最大,此时y=24-4×15=12,故选A . 答案:A7.若二次函数y=mx 2+5x+4在区间(-∞,2]上是增加的,在区间[2,+∞)上是减少的,则m 的值是 .解析:由题意可知,-52m =2,则m=-54.答案:-548.已知二次函数f (x )满足f (2+x )=f (2-x ),又f (x )在[0,2]上是增加的,且f (a )≥f (0),则实数a 的取值范围是 .解析:此函数图像的对称轴为x=2+x+2-x 2=2,且f (x )在[0,2]上是增加的,如图所示,由f (0)=f (4),f (a )≥f (0),知0≤a ≤4.答案:[0,4]9.导学号85104040将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为 .解析:设正方形周长为x ,则边长为x 4,圆周长为(1-x ),圆的半径为1-x 2π(0<x<1),依题意得,面积之和为x 216+π(1-x 2π)2=(4+π)x 2-8x+416π,当x=12·84+π=44+π时,有最小值,即正方形周长为44+π. 答案:44+π 10.求二次函数y=x 2-6x+7在区间[-2,4]上的最大值和最小值.解法一y=x 2-6x+7=(x-3)2-2,故函数在区间[-2,3]上是减少的,在[3,4]上是增加的.①当-2≤x ≤3时,y 最大=23,y 最小=-2;②当3≤x ≤4时,y 最大=-1,y 最小=-2.综上可知,函数y=x 2-6x+7的最小值为-2,最大值为23.解法二(数形结合)令y=f (x )=x 2-6x+7.对称轴:x=3,f (x )最大=f (-2)=23;f (x )最小=f (3)=-2.∴f (x )的最大值为23,最小值为-2.11.已知函数f (x )=x 2-2x+2.(1)求f (x )在区间[-2,3]上的最大值和最小值;(2)若g (x )=f (x )-mx 在[-1,2]上是单调递增函数,求m 的取值范围.解:(1)因为f (x )=x 2-2x+2=(x-1)2+1,而x ∈[-2,3],所以当x=1时,f (x )取得最小值,最小值为f (1)=1.又f (-2)=(-2-1)2+1=10,f (3)=(3-1)2+1=5,故f (-2)>f (3),所以函数f (x )在区间[-2,3]上的最大值为10.(2)因为g (x )=f (x )-mx=x 2-(m+2)x+2,其对称轴为x=m+22.由函数在区间[-1,2]上单调递增可得m+22≤-1,解得m ≤-4.故m的取值范围是(-∞,-4].由Ruize收集整理。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作课后训练基础巩固1．函数y ＝x 2的图像向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为( )．A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝x 2＋1D ．y ＝x 2－12．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像大致是( )．3．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc 等于( )． A ．－6 B ．11 C ．14-D ．14 4．函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的最大值和最小值分别为( )．A ．5，－4B ．3，－7C ．无最大值D ．7，－45．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )，且f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )．A ．0B ．3C ．6D ．不能确定6．如果一条抛物线的形状与2123y x =+的形状相同，且顶点是(4，－2)，则它的解析式是____________________．7．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试确定此二次函数的表达式．能力提升8．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a ＝( )．A ．－1B ．1C ．2D ．－29．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )．A ．45.606万元B ．45.56万元C ．45.6万元D ．45.51万元10．二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )在[0,2]上是增函数，且f (a )≥f (0)，那么实数a 的取值范围是( )．A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)11．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为________．12．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是________． 13．已知函数f (x )＝212x x -+在区间[m ，n ]上的值域是[3m,3n ]，则m ＝______，n ＝______. 14．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P 和Q (万元)，它们与投入的资金x (万元)的关系有公式：15P x =，35Q x =，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，设投入乙的资金为x 万元，获得的总利润为y (万元)．(1)用x 表示y ，并指出函数的定义域；(2)x 为何值时，y 有最大值，并求出这个最大值．参考答案1．C 点拨：将函数y ＝x 2的图像向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位，得到函数y ＝x 2＋k 的图像．2．C 点拨：选项A ，y ＝ax ＋b 中，a ＞0而y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，矛盾；选项B ，y ＝ax ＋b 中，a ＞0，b ＞0，与二次函数的对称轴02b x a=->，矛盾； 选项D ，y ＝ax ＋b 中，a ＜0，b ＜0，但y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，矛盾．3．C 点拨：∵图像过(4,0)，∴16a ＋4b ＋c ＝0.①又过点(0,2)，∴c ＝2.②由顶点坐标为(4,0)可知 42b x a=-=.③ 由①②③可解得18a =，b ＝－1，c ＝2， ∴abc ＝14-. 4．A 点拨：f (x )＝(x －1)2－4的图像开口向上，对称轴为直线x ＝1，函数f (x )在区间[－2,1]上是减少的，在区间[1,4]上是增加的，所以函数的最小值为f (1)＝－4.又因为f (－2)＝5，f (4)＝5，所以函数的最大值为f (－2)＝f (4)＝5.5．C 点拨：由f (3＋x )＝f (3－x )知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝3对称，应有122x x +＝3⇒x 1＋x 2＝6.6．21810333y x x =-+或21822333y x x =-+- 点拨：∵顶点是(4，－2)，∴可设抛物线解析式为y ＝a (x －4)2－2. 又∵与2123y x =+的形状相同， ∴13a =或13-. ∴y ＝13(x －4)2－2或y ＝13-(x －4)2－2， 即21810333y x x =-+或21822333y x x =-+-. 7．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)＝－1，f (x )最大值是8， ∴2421,1,48.4a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.8．B 点拨：由函数的单调性可知，函数f (x )的最大值应在区间[0,2]的端点处取得，所以，f (0)＝1或f (2)＝1，即－a ＝1或22－2a －a ＝1，解得a ＝－1，或a ＝1，经检验，当a＝－1时不符合题意，故a ＝1.9．C 点拨：设该公司在甲地销售了x 辆车，在乙地销售了(15－x )辆车，获得的总利润为y ，由题意得y ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(0≤x ≤15，x ∈N )．此函数的图像开口向下，对称轴为直线x ＝10.2，∴当x ＝10时，y 取得最大值45.6，即获得的最大利润为45.6万元．10．C 点拨：此函数图像的对称轴为x ＝222x x ++-＝2，在[0,2]上递增，如图所示，正确答案为C. 11．－1,3 点拨：由图知抛物线的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标是(3,0)，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－1,0)．所以关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为x 1＝－1，x 2＝3.12．[25，＋∞) 点拨：函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的图像开口向上，对称轴为直线8m x =，若函数f (x )在区间[－2，＋∞)上是增函数，则8m ≤－2，即m ≤－16.∴f (1)＝9－m ≥25. 13．－4 0 点拨：f (x )＝212x x -+的对称轴为x －1，则其最大值为1(1)2f -，于是11326n n ≤⇒≤，这样对称轴x ＝1在区间[m ，n ]的右侧，则函数f (x )＝212x x -+在区间[m ，n ]上是增加的，故221()3,21()3,2,f m m m m f n n n n n m ⎧=-+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪>⎪⎪⎩∴4,0.m n =-⎧⎨=⎩ 14．解：(1)13(3)55y x x =-+(0≤x ≤3)． (2)令t x =，则x ＝t 2(0≤t ≤3)， ∴213(3)55y t t =⨯-+ 2133555t t =-++ 213215220t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.根据函数性质，当32t=时，y取得最大值2120.故当94x=时，y有最大值，最大值为2120.。

4.2 二次函数的性质问题导学一、二次函数的对称性和单调性活动与探究1已知函数f (x )＝－2x 2－4x ＋c . (1)求该函数图像的对称轴； (2)若f (－5)＝4，求f (3)的值．迁移与应用若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (－2)＝f (4)． (1)求f (x )图像的对称轴； (2)比较f (－1)与f (5)的大小．1．二次函数图像的对称轴通常有以下三种求法：(1)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝－b2a .(2)若二次函数f (x )对任意x 1，x 2∈R 都有f (x 1)＝f (x 2)，则对称轴为x ＝x 1＋x 22.(3)若二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x 都有f (a ＋x )＝f (a －x )，则对称轴为x ＝a (a 为常数)．2．利用对称性，结合开口方向，可以比较二次函数函数值的大小． (1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小； (2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大．二、二次函数在某区间上的最值(值域)活动与探究2已知函数f (x )＝－x 2＋kx ＋k 在区间[2,4]上具有单调性，求实数k 的取值范围．迁移与应用已知二次函数f (x )＝x 2＋2(m －2)x ＋m －m 2，若函数在区间[2，＋∞)上为增加的，求m 的取值范围．(1)利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的范围，这是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴，通过集合间的关系建立变量之间的关系，进而求解参数的取值范围．(2)函数在区间(a ，b )上单调与函数的单调区间是(a ，b )的含义不同，注意区分．前者只能说明(a ，b )是相应单调区间的一个子集；而后者说明a ，b 就是增减区间的分界点，即函数在a ，b 两侧具有相反的单调性．活动与探究3已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)用a 表示出函数f (x )在区间[－5,5]上的最值．迁移与应用1．函数y ＝3x 2－6x ＋1，x ∈[0,3]的最大值是__________，最小值是__________． 2．设f (x )＝x 2－4x －4，x ∈[t ，t ＋1](t ∈R )，求函数f (x )的最小值g (t )的解析式．求二次函数在某区间上的最值问题，要注意：(1)考虑二次函数的对称轴在该区间的两侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；(2)当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．三、二次函数的实际应用问题活动与探究4某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？迁移与应用某动物园为迎接大熊猫，要建造两间一面靠墙的大小相同且紧挨着的长方形熊猫居室，若可供建造围墙的材料长30米，那么宽为__________米时，所建造的熊猫居室面积最大，最大面积是__________平方米．解实际应用问题的方法步骤当堂检测1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则()．A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝12．函数y＝x2＋bx＋c在x∈[0，＋∞)上是递增的，则()．A．b≥0 B．b≤0C．b＞0 D．b＜03．函数f(x)＝－2x2＋4x－1在区间[－1,4]上的最大值与最小值分别是()．A．1，－7 B．1，－17C．－7，－17 D．－7，－164．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为( )．A ．10件B ．15件C ．20件D ．30件 5．已知函数y ＝f (x )＝3x 2＋2x ＋1.(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)求函数的最小值；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫－23＝1，不计算函数值，求f (0)； (4)不直接计算函数值，试比较f ⎝⎛⎭⎫－34与f ⎝⎛⎭⎫154的大小．答案：课前预习导学 【预习导引】上 下 －b 2a ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞ 低 －b 2a 4ac －b 24a 高 －b 2a 4ac －b 24a 预习交流1 (1)提示：二次函数的单调区间主要取决于其开口方向(与a 有关)和对称轴(与－b2a有关)．(2)提示：二次函数在一个闭区间上一定同时存在最大值与最小值，并且最值都是在该闭区间的端点或二次函数的对称轴处取到．预习交流2 提示：直线x ＝a . 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)通过配方可得对称轴方程；(2)可先由f (－5)＝4求得c 的值，确定解析式后再计算f (3)的值，也可直接利用对称性计算．解：(1)由于f (x )＝－2x 2－4x ＋c ＝－2(x ＋1)2＋c ＋2. 所以其图像的对称轴为x ＝－1.(2)方法一：由f (－5)＝4可得－2×(－5)2－4×(－5)＋c ＝4， 于是c ＝34，因此f (x )＝－2x 2－4x ＋34. 所以f (3)＝－2×32－4×3＋34＝4.方法二：由于f (x )的图像关于x ＝－1对称， 又－5和3关于x ＝－1对称，所以f (－5)＝f (3)，而f (－5)＝4，故f (3)＝4.迁移与应用 解：(1)由于f (－2)＝f (4)，而－2和4关于x ＝1对称，所以f (x )图像的对称轴是x ＝1.(2)函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 图像的开口向上，对称轴为x ＝1，所以离对称轴越近，函数值越小．而|－1－1|＝2，|5－1|＝4， 所以f (－1)＜f (5)．活动与探究2 思路分析：首先求出f (x )的单调区间，要使f (x )在[2,4]上具有单调性，须使区间[2,4]为f (x )单调区间的子集．从而建立不等式求解k 的取值范围．解：f (x )＝－x 2＋kx ＋k ＝－⎝⎛⎭⎫x －k 22＋k 2＋4k 4， f (x )的图像是开口向下的抛物线，对称轴是直线x ＝k 2.要使f (x )在区间[2,4]上具有单调性，须[2,4]⊆⎝⎛⎦⎤－∞，k 2或[2,4]⊆⎣⎡⎭⎫k2，＋∞. 即k 2≥4或k2≤2， 解得k ≥8或k ≤4.迁移与应用 解：由题意知：函数图像开口向上且对称轴x ＝－2(m －2)2，函数在区间[2，＋∞)上是增加的，故－2(m －2)2≤2，解得m ≥0.活动与探究3 思路分析：(1)将a ＝－1代入→配方→写最值 (2)配方→写对称轴→分类讨论→结论 解：(1)当a ＝－1时， f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. 因为1∈[－5,5]，故当x ＝1时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f (1)＝1； 当x ＝－5时，f (x )取得最大值， 且f (x )max ＝f (－5)＝(－5－1)2＋1＝37.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2的图像开口向上，对称轴为直线x ＝－a . 当－a ≤－5，即a ≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f (x )max ＝f (5)＝27＋10a ， f (x )min ＝f (－5)＝27－10a .当－5＜－a ≤0，即0≤a ＜5时，函数图像如图(1)所示．由图像可得f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2， f (x )max ＝f (5)＝27＋10a .当0＜－a ＜5，即－5＜a ＜0时，函数图像如图(2)所示，由图像可得f (x )max ＝f (－5)＝27－10a ，f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2.当－a ≥5，即a ≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减少的，所以f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ，f (x )max ＝f (－5)＝27－10a .迁移与应用 1．10 －2 解析：y ＝3(x －1)2－2，该函数的图像如图所示．从图像易知：f (x )max ＝f (3)＝10，f (x )min ＝f (1)＝－2.2．解：由f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8，x ∈[t ，t ＋1]，知对称轴为直线x ＝2. 当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8；当t ＋1＜2，即t ＜1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减少的，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7. 当t ＞2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增加的， g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4.综上，可得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7，t <1，－8，1≤t ≤2，t 2－4t －4，t >2.活动与探究4 思路分析：解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价，先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值可得汽车合适的销售单价．解：(1)因为y ＝29－25－x ，所以y ＝－x ＋4(0≤x ≤4)． (2)z ＝⎝⎛⎭⎫8＋x0.5×4y ＝(8x ＋8)(－x ＋4)＝－8x 2＋24x ＋32(0≤x ≤4)． (3)由(2)知，z ＝－8x 2＋24x ＋32＝－8(x －1.5)2＋50(0≤x ≤4)，故当x ＝1.5时，z max ＝50. 所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元． 迁移与应用 5 75 解析：设长方形的宽为x 米，则每个长方形的长为30－3x 2米，其中0＜x ＜10.故所求居室面积S ＝x (30－3x )＝3(10x －x 2)＝－3(x －5)2＋75(0＜x ＜10)，所以当x ＝5时，S max ＝75(平方米)．即当宽为5米时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，为75平方米． 【当堂检测】1．A 解析：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像的对称轴为x ＝－m2，且只有一条对称轴，所以－m2＝1，即m ＝－2.2．A 解析：函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b2；要使该函数在x ∈[0，＋∞)上递增，须－b2≤0，所以b ≥0.3．B 解析：由于f (x )＝－2x 2＋4x －1＝－2(x －1)2＋1，图像的对称轴为x ＝1，开口向下，所以当x ＝1时，f (x )取最大值1，当x ＝4时，f (x )取最小值－17.4．B 解析：由二次函数解析式y ＝－3x 2＋90x ＝－3(x －15)2＋675可知，当x ＝15时，y 取最大值．5．解：y ＝f (x )＝3x 2＋2x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋132＋23. (1)顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23，对称轴是直线x ＝－13. (2)当x ＝－13时，y min ＝23.(3)∵函数图像关于直线x ＝－13对称，∴f ⎝⎛⎭⎫－13－x ＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋x . ∴f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋13＝f ⎝⎛⎭⎫－13－13＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝1. (4)∵f ⎝⎛⎭⎫－34＝f ⎝⎛⎭⎫－13－512＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋512＝f ⎝⎛⎭⎫112， 而函数在⎣⎡⎭⎫－13，＋∞上是增加的，112＜154， ∴f ⎝⎛⎭⎫112＜f ⎝⎛⎭⎫154，即f ⎝⎛⎭⎫－34＜f ⎝⎛⎭⎫154. 或⎪⎪⎪⎪－34－⎝⎛⎭⎫－13＜⎪⎪⎪⎪154－⎝⎛⎭⎫－13. ∴f ⎝⎛⎭⎫－34＜f ⎝⎛⎭⎫154.。

二次函数的图像与性质考点1 二次函数的概念1．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（ ）A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1B ．图像的对称轴在y 轴的右侧C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为-3【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的性质，对每个选项进行逐一分析判断即可.【详解】∵y =2x 2+4x -1=2（x +1）2-3，∴当x =0时，y =-1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x =-1，故选项B 错误，当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误，当x =-1时，y 取得最小值，此时y =-3，故选项D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，属基础题.2、已知二次函数()222y x k x =+--，则下列说法不正确的是（ ） A ．其图象开口向上，且始终与x 轴有两个不同的交点B ．无论k 取何实数，其图象始终过定点()0,2-C ．其图象对称轴的位置没有确定，但其形状不会因k 的取值不同而改变D ．函数的最小值大于2-【答案】D【解析】【分析】利用判别式∆的符号可判断出A 选项的正误；令0x =求出y 值，可判断出B 选项的正误；根据抛物线的形状由首项系数决定可判断出C 选项的正误；求出二次函数的最小值，利用不等式的性质可判断出D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数对应的二次方程()2220x k x +--=，其判别式()2280k ∆=-+>恒成立，故抛物线始终与x 轴有两个不同的交点，故A 选项正确；对于B 选项，当0x =时，函数值2y =-，故B 选项正确；对于C 选项，抛物线的形状只与二次项系数a 有关，无论k 取何实数，该函数图象的形状都与2y x 的图象形状相同，故C 选项正确； 对于D 选项，函数的最小值()2min 824k y---=，其中()2828k ---≤-，所以min 2y ≤-，故D 选项错误.故选：D.【点睛】 本题考查二次函数基本性质相关命题的判断，解题时要熟悉二次函数的基本性质，考查推理能力，属于中等题.考点2 二次函数的图像3、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③【答案】B【解析】【分析】 根据二次函数的图像可以得到图像与x 轴有两个不同的交点且开口向下，故判别式为正，0a <，因对称轴为1x =-，故图像与x 轴的另一交点为()1,0且2b a =，从这些信息可判断出正确结论的序号为①④．【详解】因为图象与x 轴交于两点，所以240b ac ->，即24b ac >，①正确． 对称轴为1,1,202b x a b a=--=--=，②错误． 结合图象，当1x =-时，0y >，即0a b c -+>，③错误．由对称轴为1x =-知，2b a =.又函数图象开口向下，所以0a <，所以52a a <，即5a b <，④正确．故选B ．【点睛】一般地，给定了二次函数的图像，我们可以从图像中扑捉下列信息：（1）开口方向；（2）判别式的正负；（3）对称轴；（4）特殊点的函数值的正负．4、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．a>0B ．当x>1时，y 随x 的增大而增大C ．c<0D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根【答案】D【解析】【分析】根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图像，对选项一一判断得出结果.【详解】由二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，开口向下，得a<0,所以A错，对称轴x=1，当x>1时，y随x的增大而减少，所以B错.当x=0时，c>0，所以C错，所以D正确.故选：D【点睛】本题考查的是从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像上可以得出开口方向，对称轴及单调性，与y轴的交点，属于基础题.考点3 二次函数与一元二次不等式5、不等式2x2－x－1>0的解集是（）A．112x x⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B．{x|x＞1}C．{x|x<1或x＞2} D．12x x⎧<-⎨⎩或}1x>【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】解析∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－12，∴不等式的解集为12x x⎧<-⎨⎩或}1x>.故选：D【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.6、已知不等式210ax bx -+>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则不等式20bx x a -+<的解集是（ ） A ．{}23x x -<< B ．{}32x x -<<C ．322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D ．1132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】【分析】根据不等式210ax bx -+>的解集求出a 、b 的值，再求不等式20bx x a -+<的解集.【详解】解：不等式210ax bx -+>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以方程210ax bx -+=的根是12-和13，且0a <； 由根与系数的关系，知112311123b a a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得6a =-，1b =；所以不等式20bx x a -+<化为260x x --<，即()()023x x +-<，解得23x -<<. 所以不等式的解集是{}23x x -<<.故选： A.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，属于基础题.考点4 利用二次函数单调性求参数X 围7、若二次函数()21x mx m f x =-+++在区间()1,+∞上单调递减，则实数m 的取值X 围是（）A ．()2,+∞B ．(),2-∞C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的开口方向及对称轴,即可求得当在区间()1,+∞上单调递减时m 的取值X 围.【详解】二次函数()21x mx m f x =-+++在区间()1,+∞上单调递减 二次函数开口向下,则满足对称轴位于1x =左侧, 即12m -≤- 所以解得2m ≤,即(],2m ∈-∞故选:C【点睛】本题考查了二次函数的对称轴与单调性关系,属于基础题.8．已知函数2()21f x x mx =-+-在区间[1,)+∞上单调递减，则m 取值的集合为 A ．{}4B ．{}|4m m <C ．{}|4m m ≤D ．{}|4m m ≥【答案】C【解析】 分析：首先求出函数的对称轴，以及函数的单调递减区间，根据题意可知[)1,+∞是函数单调递减区间的子集. 详解：函数的对称轴是4m x =，因为是开口向下的抛物线，所以单调递减区间是,4m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，若函数在区间[)1,+∞上单调递减，所以[)1,,4m ⎡⎫+∞⊆+∞⎪⎢⎣⎭，即14m≤，解得4m ≤，故选C. 点睛：本题考查了利用函数的单调性求参数的取值X 围，意在考查学生转化与化归的能力，属于基础题型. 考点5 二次函数的最值9、已知函数2()1f x x x =++，30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值情况为（ ） A ．有最大值34，但无最小值 B ．有最小值34，有最大值1 C ．有最小值1，有最大值194 D ．无最大值，也无最小值【答案】C【解析】【分析】 利用二次函数的图象与性质，得到二次函数的单调性，即可求解最值，得到答案.【详解】 由题意，函数2213()1()24f x x x x =++=++， 可得函数()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以当0x =时，函数取得最小值，最小值为(0)1f =， 当32x =时，函数取得最小值，最小值为19(0)4f =， 故选：C.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及其应用，其中解答中熟练利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10、函数()[]243,1,4f x x x x =-+∈，则()f x 的最小值为（ ） A ．-1B ．0C ．3D ．-2【答案】A【解析】【分析】 由题意结合二次函数的性质可得函数()f x 在[]1,4x ∈上的单调性，即可得解.【详解】由二次函数的性质可得函数2()43f x x x =-+的图象开口朝上，对称轴为2x =，所以函数()f x 在[1,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增，所以当[]1,4x ∈时，min ()(2)4831f x f ==-+=-.故选：A.【点睛】本题考查了利用二次函数的单调性求二次函数在区间上的最值，考查了运算求解能力，属于基础题. 考点6 二次函数的动轴定区间问题11、如果函数224423y x ax a a =-+-+在区间[]0,2上有最小值3，那么实数a 的值为_________. 【答案】0或8【解析】【分析】由题得抛物线的对称轴为2a x =，再对a 分三种情况讨论，结合二次函数的单调性分析得解. 【详解】由题得抛物线的对称轴为2a x =， 当02a <即0a <时，2min ()(0)233,0f x f a a a ==-+=∴=或2a =， 因为0a <，所以舍去；当即04a ≤≤时，22min 16(23)16()()3,0216a a a a f x f a -+-===∴=； 当22a >即4a >时，2min ()(2)168233,2f x f a a a a ==-+-+=∴=或8a =， 因为4a >，所以8a =.综上所述，0a =或8a =.故答案为：0或8.【点睛】本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.考点七 二次函数的定轴定区间12、若函数()21242f x x x =-+的定义域、值域都是[]2,2(1),b b >则（ ） A ．2b =B ．2b ≥C ．()1,2b ∈D ．()2,b ∈+∞ 【答案】A【解析】结合二次函数的性质，函数()21242f x x x =-+的对称轴为2x =， 结合题意和二次函数的性质可得：()22f b b =， 即：()21222422b b b ⨯-⨯+=， 整理可得：2320b b -+=，解方程有：2b =或1b =(舍去)，综上可得2b =.本题选择A 选项.易错专攻（易错点提醒：忽略换元后参数X 围而致错）13、已知1()425,[2,2]x x f x x -=-+∈-．求()f x 的值域．【答案】[4,5]【解析】【分析】利用换元法，将函数转化为关于t 的二次函数，根据t 的取值X 围求得函数()f x 的值域．【详解】令2x t = []2,2x ∈-1,44t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦原函数变为：()()221152444g t t t t =-+=-+1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()[]4,5g t ∴∈()f x ∴的值域为[]4,5.。

课时分层作业（十) 二次函数的性质（建议用时:60分钟)［合格基础练］一、选择题1．二次函数f(x）＝ax2＋bx＋c满足f（2)＝f(3)，则( )A．f（1）>f（4)B．f(1)＝f(4)C．f（1）<f（4)D．f(1)与f（4）的大小关系不能确定B[由f（2)＝f（3）,得f(x）的图像关于直线x＝错误!对称，又错误!－1＝4－错误!,则f(1)＝f（4)．]2．已知函数y＝－x2＋4ax－a2在区间[1，3]上单调递减,则实数a的取值范围是( ) A。

错误!B．错误!C。

错误!D．错误!∪错误!A[∵y＝－x2＋4ax－a2＝－(x－2a）2＋3a2，∴其递减区间是[2a，＋∞)，∴［1，3］⊆[2a，＋∞），∴2a≤1，解得a≤错误!。

］3．已知函数y＝x2＋bx＋c在［1,＋∞）上是单调函数，则( ）A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥－2 D．b≤－2C[y＝x2＋bx＋c＝错误!2－错误!＋c.依题意，－错误!≤1,解得b≥－2.］4．若函数f（x)＝2x2－x＋1，x∈［－2，2］，则（)A．函数有最小值错误!,最大值7B．函数有最小值错误!，最大值11C．函数有最小值7，最大值11D．函数有最小值错误!，最大值7B[∵f(x)＝2x2－x＋1＝2错误!2＋错误!,且错误!〉错误!，∴f(x)max＝f（－2)＝11，f(x)min＝错误!。

］5．函数y＝2－－x2＋4x（x∈［0,4])的值域是（)A．[0,2］B．[1,2］C．[－2,2] D．［－错误!，错误!］A[∵y＝2－错误!,∴y min＝0，y max＝2。

∴其值域是[0,2］．］二、填空题6．函数y＝－x2＋2x＋3在区间________上是减少的．[1，3]［令y＝错误!,u＝－x2＋2x＋3≥0，则x∈［－1,3]，当x∈［－1,1]时，u＝－x2＋2x＋3增加,y＝u增加；当x∈［1，3]时,u＝－x2＋2x＋3减少,y＝错误!，减小．］7．若二次函数y＝8x2－（m－1)x＋m－7的值域是[0，＋∞），则m＝________。