高三数学 对数与对数函数专题复习 教案

对数与对数函数［考试要求］1。

理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2。

理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10,错误!的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型。

4.了解指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N,那么数b叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．提醒：指数式与对数式的关系2．对数的性质、换底公式与运算性质（1)对数的性质：①log a1＝0；②a log a N＝N；③log a a b＝b（a＞0，且a≠1)．(2）换底公式：log a b＝log c blog c a(a，c均大于0且不等于1，b＞0）．(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a错误!＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R）．3．对数函数的定义、图像与性质定义函数y＝log a x（a＞0且a≠1）叫做对数函数图像a＞10＜a＜1性质定义域:(0,＋∞)值域：R当x＝1时,y＝0，即过定点(1，0）当0＜x＜1时,y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在（0,＋∞)上为增函数在（0，＋∞）上为减函数4．反函数指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1）与对数函数y＝log a x（a＞0,且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．错误!1．换底公式的三个重要结论（1）log a b＝错误!；(2）log am b n＝错误!log a b；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d.2．对数函数的图像与底数大小的关系如图，作直线y＝1,则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数,故0＜c＜d＜1＜a ＜b。

第8讲模块复习：对数与对数函数教案第8讲：《对数与对数函数》教案一、教学目标1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型． 二、知识梳理[来源:] 1．对数的定义如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________.(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________； ②log a MN ＝____________； ③log a M n ＝__________(n ∈R )； ④log a m M n ＝nm log a M . 3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图 象性质(1)定义域：________[来源:学|科|网][来源:][来源:ZXXK][来源:学。

科。

网](2)值域：____(3)过点________，即x ＝____时，y ＝____ (4)当x >1时，______； 当0<x <1时，______ (5)当x >1时，______； 当0<x <1时，______ (6)是(0，＋∞)上的__函数(7)是(0，＋∞)上的__函数4. 指数函数y ＝a x 与对数函数y =log a x ，它们的图象关于直线______对称． 三、题型突破题型一 对数式的化简与求值例1 计算：(1)222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++； (2) 5log 3333322log 2log log 859-+-. 变式迁移1 计算： (1)2lg 2lg 2lg 50lg 25+⋅+； (2) 3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+. 题型二 含对数式的大小比较 例2 比较下列各组数的大小． (1)32log 3与56log 5； (2) 1.1log 0.7与 1.2log 0.7；(3)已知111222log log log b a c <<，比较2,2,2a b c 的大小关系．变式迁移2 已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则,,a b c 的大小关系是______________．题型三 对数函数的图象与性质例3 已知()log (0,1)a f x x a a =>≠，如果对于任意的1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()1f x ≤成立，试求a 的取值范围．变式迁移3 (1)已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围为______________．(2)已知函数()log a f x x =在()0,+∞上单调递增，则(2)f -________(1)f a +．(填写“<”“＝”“>”)四、针对训练(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．设[)(]{}21(),0,,log ,0,12x M y y x N y y x x ⎧⎫==∈+∞==∈⎨⎬⎩⎭，则集合M N U ＝________.2．设2212log ,log ,a b c πππ-===，则,,a b c 的大小关系是________．3．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是________． 4．函数1()ln(2)1axf x a ax+=≠-为奇函数，则实数a =________． 5．已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[]1,2上的最大值与最小值之和为log 26a +，则a 的值为________．6．若函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围为______________．7．对任意实数,a b ，定义运算“*”：()*()a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，则函数122()log (32)*log f x x x =-的值域为________．8．下列命题：①若函数2lg()y x x a =++为奇函数，则1a =；②若0a >，则方程lg 0x a -=有两个不相等的实根； ③方程lg sin x x =有且只有三个实数根； ④对于函数()lg f x x =，若120x x <<，则1212()()()22x x f x f x f ++<. 以上命题为真命题的是________．(将所有真命题的序号填在横线上) 二、解答题(共42分)9．(14分)已知[]3()2log ,1,9f x x x =+∈，求22()()y f x f x =+的最大值及y 取最大值时x 的值．10．(14分)已知函数()log (1)log (1),0a a f x x x a =+-->且1a ≠. (1)求()f x 的定义域；(2)判断()f x 的奇偶性并予以证明； (3)若1a >时，求使()0f x >的x 的解集． 11．(14分)已知函数()lg()(10)x x f x a b a b =->>>． (1)求()f x 的定义域；(2)在函数()f x 的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴；(3)当,a b 满足什么条件时，()f x 在()1,+∞上恒取正值． 五、参考答案 二、知识梳理1．a b ＝N (a >0，且a ≠1) b ＝log a N a N 2.(1)①N ②0 ③N ④1 (2)①log c Nlog c a ②log a d (3)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③n log a M 3.(1)(0，＋∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y >0 y <0 (5)y <0 y >0(6)增 (7)减 4.y ＝log a x y ＝x 三、题型突破例1 解题导引 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．解 (1)原式=22lg52lg 2lg5(lg 4lg5)lg 2++++22lg 5(2lg 2lg 5)lg 2=+++(2) 原式＝log 34－log 3329＋log 38－3＝log 3(4×932×8)－3＝log 39－3＝2－3＝－1．变式迁移1 解 (1)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.（2）原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．解 (1)∵log 323<log 31＝0， 而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565. (2)方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log 0.71.1>log 0.71.2. ∴1log 0.71.1<1log 0.71.2，由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方法二 作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象， 如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7. (3)∵y ＝12log x 为减函数，且111222log log log b a c <<，∴b >a >c .而y ＝2x 是增函数，∴2b >2a >2c . 变式迁移2 c >a >b解析 0<a ＝132-<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213>log 1212＝1，即0<a <1，b <0，c >1，所以c >a >b .例3 解题导引 本题属于函数恒成立问题，即对于x ∈[13，2]时，|f (x )|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a 为参数，需对a 分类讨论．解 ∵f (x )＝log a x ， 则y ＝|f (x )|的图象如图．由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1， 只需|f (13)|≤1， 即－1≤log a 13≤1， 即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)． 变式迁移3 (1)(3，＋∞) (2)<解析 (1)画出函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示． ∵0<a <b ，f (a )＝f (b )，∴0<a <1，b >1， ∴lg a <0，lg b >0. 又∵f (a )＝f (b )， ∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1. ∴a ＋2b ＝a ＋2a ，易证μ＝a ＋2a 在(0,1)上单调递减，∴μ>3. 即a ＋2b >3.(2)∵f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，∴a >1.∴a ＋1>2.∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)<f (a ＋1)． 四、针对训练 1．(－∞，1]解析 ∵x ≥0，∴y ＝(12)x ∈(0,1]，∴M ＝(0,1]．当0<x ≤1时，y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]． ∴M ∪N ＝(－∞，1]． 2．a >c >b解析 ∵a ＝log 2π>1，b ＝log 12π<0,0<c ＝1π2<1∴b <c <a . 3．[32，4)解析 y ＝ln t 是单调递增函数，则只需研究函数t ＝4＋3x －x 2的单调递减区间，并注意t >0的限制．t ＝4＋3x －x 2的单调递减区间为[32，＋∞)，当x ≥4时，t ≤0，所以区间[32，4)符合题意．4．－2解析 依题意有f (－x )＋f (x )＝ln 1－ax 1－2x ＋ln 1＋ax1＋2x ＝0，即1－ax 1－2x ·1＋ax1＋2x ＝1，故1－a 2x 2＝1－4x 2， 所以a 2＝4，又a ≠2，故a ＝－2. 5．2解析 当x >0时，函数a x ，log a x 的单调性相同，因此函数f (x )＝a x ＋log a x 是(0，＋∞)上的单调函数，f (x )在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a 2＋a ＋log a 2，由题意得a 2＋a ＋log a 2＝6＋log a 2.即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．6．(－1,0)∪(1，＋∞)解析 ①当a >0时，f (a )＝log 2a ，f (－a )＝12log a ，f (a )>f (－a )，即log 2a >12log a ＝log 21a ，∴a >1a ，解得a >1.②当a <0时，f (a )＝12log ()a -，f (－a )＝log 2(－a )，f (a )>f (－a )，即12log ()a ->log 2(－a )＝121log a-， ∴－a <1－a ，解得－1<a <0，由①②得－1<a <0或a >1.7．(－∞，0]解析 在同一直角坐标系中画出y ＝log 12(3x －2)和y ＝log 2x 两个函数的图象，由图象可得f (x )＝⎩⎨⎧log 2x (0<x ≤1)log 12(3x －2) (x >1)，值域为(－∞，0]．8．①②③解析 ①∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0.∴lg(－x ＋x 2＋a )＋lg(x ＋x 2＋a )＝lg[(x 2＋a )－x 2]＝lg a ＝0，∴a ＝1. ②|lg x |－a ＝0，∴|lg x |＝a .作出y ＝|lg x |，y ＝a 的图象可知，当a >0时有两个交点． ∴方程有两个不等实根． ③作出y ＝lg x ，y ＝sin x 的图象， 可知在y 轴右侧有三个交点． 故方程有三个实根．④对于f (x )＝lg x ，如图，当0<x 1<x 2时，应有y A >y B ，即f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2. 9．解 ∵f (x )＝2＋log 3x ，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2 ＝log23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.……………………………………………………(5分)∵函数f (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，……………………………………………………………………………………………(10分)∴6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13. ∴当x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)取最大值13.……………………………………(14分)10．解 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )] ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．………………………………………………………………(9分)(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x的解集是{x |0<x <1}．…………………………………(14分)11．解 (1)由a x－b x>0，得(a b )x >1，且a >1>b >0，得ab >1，所以x >0，即f (x )的定义域为(0，＋∞)．……………………………………………………………………………………(4分)(2)任取x 1>x 2>0，a >1>b >0，则ax 1>ax 2>0，bx 1<bx 2，所以ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0，即lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)．故f(x1)>f(x2)．所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分)假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴．…………(10分)(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．这样只需f(1)＝lg(a －b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………………(14分)。

对数与对数函数复习教学案一、基础知识：1．对数的概念：（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ；（2）指数式与对数式的转化关系：a b =N ⇔log a N= （a ＞0，a ≠1，N ＞0）．两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化．2．对数运算性质（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1）①log a （MN ）= ； ②log aM N = ；③log a M n = ．3．对数换底公式： N ＞0，a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，则log b N= ．4．几个常用的结论：（N ＞0，a ＞0，a ≠1）（1）log a a= ；log a 1= ．（2）log N a a = ；log a N a = ．5．对数函数的定义函数 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 ．6．对数函数的性质①定义域： ；②值域： ；③过点 ，即当x= 时，y= ；④当a ＞1时，在（0，+∞） 上 是 函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是 函数。

二、经典例题：○题型一 对数的运算例1 计算求值：（1）2221log log 12log 4212--； （2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)++．变式训练1：计算：（1）18lg 7lg 37lg214lg -+-；⑵ 5log 3333322log 2log log 859-+-．．变式训练2：已知324941log 7log 9log log 2a =，求a 的值．○题型二 对数的性质应用 例2 已知,,x y z 为正数，且346x y z ==，（1）求使2x py =的p 的值；（2）比较3,4,6x y z 的大小．变式训练：已知35a b c ==，且112a b+=，求c 的值．○题型三 对数函数的图象与性质例3 在函数)32(log )(221+-=ax x x f 中，（1）若函数的定义域为),1[+∞-，求实数a 的取值范围；（2）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围．变式训练：已知函数)10(log )21(≠>==a a x y y a x 且与函数两者的图象相交于点),,(00y x P 如果a x 那么,20≥的取值范围是．例4 已知()log ()(1)x a f x a a a =->(1)求函数()f x 的定义域和值域； (2)判断函数在定义域上的单调性．四、巩固练习：1．2log 510＋log 50．25＝2．设554a log 4b log c log ===25，（3），，则则a ，b ，c 的大小是 ．3．函数y =log 2x 的图象大致是下列图象中的 ． (1) (2) (3) (4) 4．若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是5.已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________．五、课后作业：1．2log 2= ．2．若2log a ＜0，1()2b ＞1，则a ，b 的取值范围是 ．3．已知函数23()log log 2f x a x b x =-+，若1()42011f =，则(2011)f 的值为 ． 4．设25a b m ==，且112a b+=，则m = ． 5．设2lg ,(lg ),lg ,a e b e c e ===则,,a b c 的大小关系是 ．6．函数y=3.0log (2x -2x)的单调递减区间为 ．7．若函数2()lg(1)f x mx mx =++的定义域为R ，则m 的取值范围是 ．8．已知log (3)a y ax =-在[0，2]上是x 的减函数，则实数a 的取值范围为_____________． 9.计算（1）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+；（2）1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅．10．已知函数y=log 2a (x 2-2ax-3)在(-∞，-2)上是增函数，求a 的取值范围．11．设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x )的最大、最小值．。

写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间，教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力，才能更好地帮助学生提高学习效果，下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇，感谢您的参阅。

对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。

2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。

3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。

二、识技能目标1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。

2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。

三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的.学习兴趣。

2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

教学重点难点：1对数函数的定义、图象和性质。

2对数函数性质的初步应用。

教学工具：多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。

对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。

它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。

高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。

将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。

其理论依据为建构主义学习理论。

它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。

2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。

一、课题：对数函数复习二、教学目标：1、知识与技能（1）梳理知识网络，建构知识体系．（2）熟练掌握指数、对数的运算性质，并进行化简计算．（3）熟练掌握对数函数的定义、图像与性质．（4）熟练运用对数函数的图像和性质解答问题．2、过程与方法（1）让学生通过复习对对数函数有一个总体认识，能够形成知识网络．（2）对于公式性质要熟练掌握，．（3）通过掌握函数的图像和性质,懂得解决函数问题要做到数形结合．3、情感．态度与价值观使学生通过复习对数函数的运算、图像和性质，增强代数运算能力，培养研究函数问题的思维方法,．三、教材分析：1、重点:对数函数的运算、图像与性质2、难点：对数函数的性质．四、教学的基本流程：五、教学过程：1、建构知识网络2、对数函数的图像与性质：函 数 a y log x = （a>1）a y log x = （0<a<1）图 像定义域 （0，+∞）（0，+∞）值 域 R R 单调性 增函数 减函数 过定点（1，0）（1，0）对数函数对数函数的图像与性质对数函数的图像对数函数的性质3、例题讲解：A 、对数概念及对数式与指数式的互化例1．（P 81）将下列指数式写成对数式：（1）4525=； （2）61264-=； （3）327a =； （4）1 5.373m⎛⎫= ⎪⎝⎭．解：（1）5log 6254=； （2）21log 664=-；（3）3log 27a =； （4）13log 5.37m =． 例2．（P 81）将下列对数式写成指数式：（1）12log 164=-； （2）2log 1287=； （3）lg 0.012=-； （4）ln10 2.303=．解：（1）41162-⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）72128=； （3）2100.01-=； （4） 2.30310e =．例3．（1）计算： 9log 27， 625．解：设x =9log 27 则 27x a=， 2333x =, ∴32x =；令x =625， ∴625x=, 44355x =, ∴5x =．（2）求 x 的值：①33log 4x =-；②()2221log 3211x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-=．解：①343x -==； ②22232121200,2xx x x x x x +-=-⇒+=⇒==-但必须：2222102113210x x x x ⎧->⎪-≠⎨⎪+->⎩， ∴0x =舍去 ，从而2x =-．（3）求底数：①3log 35x =-， ②7log 28x =． 解：①3535353(3)x---== ∴533x -=；②77888722x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==, ∴2x =．B 、对数函数的运算、图象、性质及其应用例4：例5、例6．例7．求函数251-⎪⎭⎫⎝⎛=xy 和函数22112+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。

对数与对数函数的教学设计一、教学内容分析：1、对数是学生在高一学过概念，时间比较长，计算的形式具有一定的复杂性.2、以对数作为基础的对数函数是高中函数学生最不易掌握的函数类型。

3、函数是高中十分重要的概念. 其中关于定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等函数的性质应有一个整体的认识，这在学习、解决函数问题的过程中显得十分重要，应在适当的时机对学生这种函数的整体观念加以培养，这节课的学习过程是一个可以把握的机会。

二、学生分析：1、学生高一到高三年级接触到了一些函数和研究函数的一些方法。

2、学生对于信息技术的使用有一定的熟练程度（主要指作函数图象）。

3、学生在学习了反函数之后，有了研究新函数的一种新方法。

三、教学目标：1、知识与技能（1）熟练掌握对数的运算性质，并进行化简计算．（2）熟练掌握对数函数的定义、图像与性质．（3）熟练运用对数函数的图像和性质解答问题．2、过程与方法（1）让学生通过复习对对数函数有一个总体认识，能够形成知识网络．（2）对于公式性质要熟练掌握，．（3）通过掌握函数的图像和性质,懂得解决函数问题要做到数形结合．3、情感．态度与价值观使学生通过复习对数函数的运算、图像和性质，增强代数运算能力，培养研究函数问题的思维方法,．四、教学重点：1、理解对数运算；2、理解研究函数图像和性质的方法；3、能准确画对数函数的图像，理解对数函数的性质。

4、利用对数函数的性质及图像初步解决一些有关求函数定义域、比较两个数的大小等。

五、教学难点：1、对数函数图像的准确作图及应用；2、准确得到对数函数的性质，并利用对数函数的性质解决一些简单的问题。

六、教学活动：教学过程师生活动设计意图 时间分配 一、回顾对数的定义及有关运算性质1.如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N的对数，记作x ＝log a N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nmlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)． (2)对数的性质①a log a N＝ N ；②log a a N ＝ N (a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质 a >1 0<a <1 图象性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0 (5)当x >1时，y <0 对数定义、性质的问答，简单题目的运算.对于对数这一学生不熟希的概念和运算加以复习，为研究对数函数扫除不必要的障碍.为对数函数的研究作一方面的准备从整体的角度思考、研究函数的性质5分 7分 9分当0<x <1时，y <0当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线 y ＝x 对称．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( × ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )(5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ ) (6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )题型一 对数式的运算 例1 (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100解析 (1)∵2a ＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ . 解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64学生回答，回顾函数和反函数的有关问题师生讨论加深对对数及对数函数的理解学生自主完成感受这是一个非常重要的环节，是全面认识函数性质的不可缺少的辨析阶段.回顾复习对数运算14分32分＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.题型二 对数函数的图象及应用例2 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2) 解析方法一 构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1. 方法二 ∵0<x ≤12，∴1<4x ≤2， ∴log a x >4x >1，∴0<a <1，排除选项C ，D ；取a ＝12， x ＝12，则有412＝2，log 1212＝1， 显然4x<log a x 不成立，排除选项A.设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2<0B ．x 1x 2＝1C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1 解析 构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示． 因为x 1，x 2是10x ＝|lg(－x )|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2<－1，－1<x 1<0，则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)，因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)，因为10x 2－10x 1<0，所以lg(x 1x 2)<0，让学生上黑板试着画图即复习了对数函数图像又回顾了作图的相关方法应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区40分45分即0<x 1x 2<1，故选D.题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小 例3 （1）设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c 答案 D解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D.(2)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5a b c ＝，＝，＝，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知： log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数，∴52log 3.4>310log 35>54log 3.6. 即52log 3.4>3log 0.31()5>54log 3.6，故a >c >b . 跟踪训练3(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．会利用性质和找中间量比较大小1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大六、小结1．对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，logab>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，logab<0.2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．七、板书设计八、教学反思：上完这节课，我觉得构建知识网络进行系统复习这点是比较好的，但在例题设计方面，题量有点多，学生反应不大好。

对数函数复习(教案)1. 引言对数函数是高中数学中的重要知识点，也是解决复杂计算问题的常用工具。

本教案旨在帮助学生对对数函数有一个全面的复与理解。

2. 复内容2.1 对数的定义对数是数学中一个重要的概念，用来描述指数运算的逆运算。

本部分将回顾对数的定义及其基本属性，如对数的底数、指数和对数运算法则。

2.2 常用对数函数常用对数函数，即以10为底的对数函数，常用符号是log。

本部分将复常用对数函数的特点，包括定义、图像和性质。

2.3 自然对数函数自然对数函数，即以常数e为底的对数函数，常用符号是ln。

本部分将复自然对数函数的定义、图像和性质，并介绍自然对数函数与常用对数函数之间的换底公式。

2.4 对数函数的应用对数函数在实际问题中有广泛的应用。

本部分将通过一些实例，复对数函数在指数增长、复利计算、震级计算等方面的应用。

3. 教学方法与活动设计3.1 教学方法本节课采用讲授与互动相结合的教学方法，旨在激发学生的研究兴趣和思维能力。

引导学生主动参与讨论与思考，提高对对数函数的理解和运用能力。

3.2 活动设计- 活动1: 小组讨论- 将学生分组，每组选择一个实际问题，设计如何利用对数函数解决该问题，并向全班展示解决方案。

- 活动2: 探究实验- 引导学生通过实际测量与观察，探究对数函数的特点和性质。

- 活动3: 应用练- 提供一些对数函数应用的练题，让学生巩固和应用所学知识。

4. 教学评价与总结4.1 教学评价本节课的教学评价主要采用多种方式，包括小组展示评价、实验报告评价和练题评价等。

通过综合考量学生的研究表现，对学生的对数函数理解和运用能力进行评价。

4.2 总结通过本节课的复与活动设计，学生能够全面回顾对数函数的定义、性质和应用，提高对对数函数的理解和运用能力，为进一步研究数学打下坚实的基础。

以上是本次对数函数复习的教案内容，希望能够对学生们的学习有所帮助。

对数函数复习教案标题：对数函数复习教案教学目标：1. 复习对数函数的基本概念和性质；2. 掌握对数函数的运算规则；3. 理解对数函数在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教材：对数函数相关章节的教材；2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔/马克笔、计算器；3. 学具：练习册、习题集。

教学过程：一、引入（5分钟）1. 利用一个实际问题引入对数函数的概念，例如：某种细菌的数量以指数形式增长，如何用对数函数来表示细菌的增长情况。

二、知识点讲解与讨论（15分钟）1. 回顾对数函数的定义：对于任意正数a和大于1的实数x，记作y=logₐx，其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。

2. 讲解对数函数的性质：对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合；对数函数的图像特点等。

3. 探讨对数函数的运算规则：对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法则等。

三、例题演练（20分钟）1. 给出一些简单的对数函数运算例题，引导学生独立完成，并进行讲解和讨论。

2. 针对一些常见的对数函数应用问题，例如：解决指数增长问题、计算酸碱度的pH值等，引导学生运用对数函数进行解答。

四、巩固练习（15分钟）1. 分发练习册或习题集，让学生在课堂上独立完成一些对数函数的练习题。

2. 收集学生的答案并进行讲解，解答学生的疑问。

五、拓展应用（10分钟）1. 提供一些对数函数在实际问题中的应用案例，例如：解决复利计算问题、解决天文学中的测距问题等。

2. 引导学生思考如何运用对数函数的知识解决这些实际问题，并进行讨论。

六、总结与反思（5分钟）1. 总结对数函数的基本概念、性质和运算规则；2. 让学生回顾本节课所学内容，反思自己的学习情况，并提出问题和困惑。

教学延伸：1. 鼓励学生通过自主学习，进一步探究对数函数的更多应用领域；2. 提供一些挑战性的对数函数题目，激发学生的学习兴趣和思维能力。

教学评估：1. 课堂练习中的学生答题情况；2. 学生对于对数函数概念和运算规则的理解程度；3. 学生在实际问题中应用对数函数的能力。

专题09 对数与对数函数1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图 象性质(1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0(5)当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．高频考点一 对数式的运算例1、(1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________．【答案】 (1)A (2)－20【方法规律】(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．(3)a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．【变式探究】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8(2) lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________．【解析】 (1)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.(2)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1. 【答案】 (1)A (2)－1高频考点二 对数函数的图象及应用例2、(1)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是________．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点． 【答案】 (1)B (2)a >1【方法规律】(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【变式探究】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 【答案】 (1)C (2)B高频考点三 对数函数的性质及应用例3、(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c<bcD ．c a >c b【解析】 由y ＝x c与y ＝c x的单调性知，C 、D 不正确． ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确．log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定． 【答案】 B【方法规律】(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行． (2)如果需将函数【解析】式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【变式探究】已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，某某数a 的取值X 围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数．∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 高频考点四 和对数函数有关的复合函数 例4、已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，某某数a 的取值X 围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．(2)t(x)＝3－ax ，∵a>0，∴函数t(x)为减函数． ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat 为增函数，∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a ，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a>0，loga 3－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a<32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 【感悟提升】在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【变式探究】(1)设a ＝log32，b ＝log52，c ＝log23，则( ) A ．a>c>b B ．b>c>a C ．c>b>aD ．c>a>b(2)若f(x)＝lg(x2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值X 围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) (3)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，log 12－x ，x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 【答案】 (1)D (2)A (3)C⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，a≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a≥1，解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A. (3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12－a >log2－a ，解得a>1或－1<a<0.高频考点五、比较指数式、对数式的大小例5、(1)设a ＝，b ＝0.30.5，c ＝log0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c<b<a B ．a<b<c C ．b<a<cD ．a<c<b(2)设a ＝log2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( ) A ．a>b>c B ．b>a>c C ．a>c>bD ．c>b>a(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5a b c ＝，＝，＝，则( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b由图象知：log23.4>log3103>log43.6.方法二 ∵log3103>log33＝1，且103<3.4，∴log3103<log33.4<log23.4.∵log43.6<log44＝1，log3103>1，∴log43.6<log3103.∴log23.4>log3103>log43.6.由于y ＝5x 为增函数，∴52log 3.4>310log 35>54log 3.6.即52log 3.4>3log 0.31()5>54log 3.6，故a>c>b.【答案】 (1)C (2)C (3)C【感悟提升】(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.【2016·某某卷】已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．【答案】 4 2【2015高考某某，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.【2015高考某某，理12】若4log 3a =，则22aa-+=．【答案】334. 【解析】∵3log 4=a ，∴3234=⇒=aa，∴33431322=+=+-aa . （2014·某某卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3【答案】D（2014·某某卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. （2014·某某卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是( )图1­1A BC D 【答案】B【解析】由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不正确．（2014·某某卷）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________． 【答案】50（2014·某某卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 【答案】C【解析】因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .（2014·某某卷）函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 【答案】D【解析】要使f (x )单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x <0，解得x <－2.（2014·某某卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D 【答案】D（2014·某某卷）函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．【答案】－14【解析】f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x ·(1＋log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，所以当x ＝22时，函数f (x )取得最小值－14. （2013·某某卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x⎪⎪⎪ )x<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－lg 2}B ．{x|－1<x<－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2} 【答案】D【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<12，故－1<10x <12，解得x<－lg 2.（2013·某某卷）定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ； ②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 【答案】①③④④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln ＋()a ＋b ＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b≥1，ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝lna ＋b2， 又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b，a ，b 至少有1个大于1，∴ln a ＋b 2≤ln a 或ln a ＋b 2≤ln b，即有ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝lna ＋b 2≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确． （2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 【答案】D【解析】a －b ＝log 36－log 510＝(1＋log 32)－(1＋log 52)＝log 32－log 52>0， b －c ＝log 510－log 714＝(1＋log 52)－(1＋log 72)＝log 52－log 72>0， 所以a>b>c ，选D.（2013·某某卷）已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y)＝2lg x·2lg yC ．2lg x·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy)＝2lg x·2lg y【答案】D【解析】∵lg(xy)＝lg x ＋lg y ，∴2lg(xy)＝2lg x ＋lg y＝2lgx 2lgy，故选择D.1．设a ，b 为正实数，则“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的( ) A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A2．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c【解析】 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c＝log 32<log 33＝1. 【答案】 B3．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )【解析】 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符．故选B. 【答案】 B4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72【解析】 由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5. 【答案】 A5．知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0【答案】 D7．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b【解析】 函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数， ∴f (x )在[0，＋∞)为增函数，∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，1<20.3<2<log 25，∴c >b >a . 【答案】 B8．已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值X 围是________．【解析】 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，149．设f (x )＝log ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值X 围是________．【答案】 (－1，0)10．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝________． 【解析】 由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )＝1＋12·l og 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 【答案】 3211．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．13．设x ∈[2，8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2，8]，∴a ∈(0，1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]，符合题意，∴a ＝12.。

2.6 对数与对数函数典例精析题型一 对数的运算【例1】计算下列各题： (1)2(lg 2)2＋lg 2•lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1；(2)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40. 【解析】(1)原式＝2×(12lg 2)2＋12lg 2lg 5＋(lg 2－1)2 ＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg 2＝1. (2)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1. 【点拨】运用对数的运算性质以及式子的恒等变形.【变式训练1】已知log89＝a ，log25＝b ，用a ，b 表示lg 3为 .【解析】由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=b a 2 lg 2 lg 1,2 lg 33 lg 2⇒lg 3＝3a 2＋2b. 题型二 对数函数性质的应用【例2】设函数f(x)＝loga(x －2) (a ＞0，且a≠1).(1)求函数f(x)经过的定点坐标；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)解不等式log3(x －2)＜1.【解析】(1)当x ＝3时，loga1＝0恒成立，所以函数f(x)所经过的定点坐标为(3,0).(2)当a ＞1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递增函数；当0＜a ＜1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递减函数.(3)不等式log3(x －2)＜1等价于不等式组⎩⎨⎧<->-,32,02x x解得2＜x ＜5，所以原不等式的解集为(2,5).【变式训练2】已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>≤--1,log ,1,1)2(x x x x a a 若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为 .【解析】要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.若f(x)＝(a －2)x －1在区间(－∞，1]上单调递增，则a －2＞0，即a ＞2.若f(x)＝logax 在区间(1，＋∞)上单调递增，则a ＞1.另外要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a －2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a 的取值范围为2＜a≤3.题型三 对数函数综合应用【例3】已知函数f(x)＝loga(3－ax).(1)当x ∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 【解析】(1)由题设知3－ax ＞0对一切x ∈[0,2]恒成立，a ＞0，且a≠1.因为a ＞0，所以g(x)＝3－ax 在[0,2]上为减函数，从而g(2)＝3－2a ＞0，所以a ＜32， 所以a 的取值范围为(0,1)∪(1，32). (2)假设存在这样的实数a ，由题设知f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，所以a ＝32， 此时f(x)＝23log (3－32x). 当x ＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在.【点拨】这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立.【变式训练3】给出下列四个命题：①函数f(x)＝ln x －2＋x 在区间(1，e)上存在零点；②若f′(x0)＝0，则函数y ＝f(x)在x ＝x0处取得极值；③若m ≥－1，则函数y ＝21log (x2－2x －m)的值域为R ；④“a ＝1”是“函数f(x)＝a －ex 1＋aex在定义域上是奇函数”的充分不必要条件. 则其中正确的序号是 (把全部正确命题的序号都填上).【解析】因为f(1)＝ln 1－2＋1＝－1＜0，f(e)＝ln e －2＋e ＝e －1＞0，故函数f(x)在区间(1，e)上存在零点，命题①正确；对于函数f(x)＝x3来说，f′(x)＝3x2，显然有f′(0)＝0，但f(x)在定义域上为增函数，故x ＝0不是函数的极值点，命题②错误；令t ＝x2－2x －m ，若m≥－1，则Δ＝(－2)2－4×1×(－m)＝4＋4m≥0，所以t ＝x2－2x －m 可以取遍所有的正数，所以函数y ＝21log (x2－2x －m)的值域为R ，命题③正确；由f(－x)＝－f(x)，可得a －e －x 1＋ae －x ＝－a －ex 1＋aex，解得a ＝±1，即函数f(x)为奇函数的充要条件为a ＝±1，故 “a ＝1”是“函数f(x)＝a －ex 1＋aex为奇函数”的充分不必要条件，所以命题④正确.综上所述，正确的命题为①③④.总结提高1.熟练运用对数的运算公式是解决对数运算的基础和前提，运用对数的运算法则，要注意各字母的取值范围，同时，不要将积、商、幂、方根的对数与对数的积、商、幂、方根混淆起来.2.研究对数问题时，要尽量化成同底，另外，研究对数问题时要注意对数的底数与真数的限制条件.3.对数函数的重要性质是单调性，比较大小是单调性的重要运用，在比较时，通常利用函数的单调性或借助于中间量－1,0,1来比较，但要注意分类讨论.4.利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些函数的应用问题是常考题型，应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法的灵活运用.。

2019-2020学年高考数学一轮复习 对数和对数函数教案教学内容学习指导 即使感悟 【学习目标】1、理解对数的概念及其运算性质。

2、理解对数函数的概念和性质。

并能利用对数函数的图像研究性质。

3、使学生形成“自主学习”与“合作学习”的良好习惯。

【学习重点】对数函数的图形和性质。

x【学习难点】对数函数的图像和性质及应用。

【回顾预习】 一回顾知识： 1、对数(1)定义：一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做 ，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 ． （2）、几种常见对数 对数形式 特点 记法一般对数 以a (a ＞0，且a ≠1)为底的对数自然对数 以 为底的对数常用对数 以 为底的对数（3）对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN )＝ ②nma log ＝ ； ③log a M n ＝ (n ∈R )；④nm b a log ＝ ⑤=n a a log ；⑥log a a N ＝ ⑦换底公式：=N M log 2、对数函数图像 1>a 10<<a定义域 值域过定点 单调性回顾知识3、对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)和指数函数互为反函数，它们的图象在同一坐标系中关于直线 对称． 基础自测：1．以下等式(其中a ＞0，且a ≠1；x ＞y ＞0)：①log a 1＝0；②log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；③log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y ；④log a a ＝1⑤()yaxa y x alog log log =-⑥()y x a yxa -=log log 其中正确命题的个数是 ( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．(2009年湖南卷)若log 2a ＜0，121>⎪⎭⎫⎝⎛b则 ( D )A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜03已知111222log log log b a c <<,则 ( A )A.222b a c >>B.222a b c >>C.222c b a >>D.222c a b>> 4、()2321log -=x y 函数的定义域是 ⎥⎦⎤⎝⎛1，32【自主合作探究】 例1、计算：（1）222(lg 2)lg 2lg5(lg 2)lg 21++-+； =1（2）321lg5(lg8lg1000)(lg 2)lg lg 0.066++++. =1例2、已知函数1()log 1axf x x+=-(0,1)a a >≠(1)求()f x 的定义域; (2)讨论()f x 的单调性;(3)求使()0f x 的x 的取值范围.解析：（1）(1+x)/(1-x)>0 (x+1)/(x-1)<0 ∴-1<x<1定义域为(-1,1)（2）f(x)+f(-x)=loga[(1+x)/(1-x)+loga[(1-x)/(1+x)] =loga[(1+x)/(1-x)*(1-x)/(1+x)] =loga(1)=0 ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数t=(1+x)/(1-x)=[2-(1-x)]/(1-x) =-1+2/(1-x)=x ∈(-1,1)时，x 增大，1-x 递减， 1/(1-x)递增，-1+1/(1-x)递增 ∴t=(1+x)/(1-x)是增函数 当a>1时，y=logat 递增，f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是增函数 当0<a<1时，y=logat 是减函数∴ f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是减函数 例3、已知f (x )＝log 4(2x ＋3－x 2)，求： (1)求函数的定义域（2）求函数f (x )的单调区间； 解：（1）∵∴-1＜x ＜3∴函数f （x ）的定义域为（-1，3）（2）函数f （x ）在（-1，1）上单调递增；函数f （x ）在（1,3）上单调递减。

芯衣州星海市涌泉学校三仓中学2021届高三数学对数与对数函数专题复习教案导学目的：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或者者常用对数；理解对数在简化运算中的作用；②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点；③知道对数函数是一类重要的函数模型；④理解指数函数xay=与对数函数xyalog=的互相关系()1,0≠>aa.自主梳理1.对数的概念〔1〕对数的定义假设___________，那么就称b是以a为底N的对数，记作____________，其中______叫做对数的底数，_________叫做真数.〔2〕几种常见对数常用对数，底数为；自然对数，底数为。

对数的性质与运算法那么〔1〕对数的性质：①log a Na=______；②log Naa=________(01)a a>≠且.〔2〕对数的重要公式：①换底公式：logloglogabaNNb=〔,a b均大于零且不等于1〕；②1loglogabba=.(3)对数的运算法那么：〔01,0,0 a a M N>≠>>且〕①log ()a MN =_____________;②log aM N=_______________;③log na M=____________(n R ∈);④log log m n a a nM M m =.3.对数函数的图象与性质1a > 01a <<图象性质〔1〕定义域：___________ 〔2〕值域：____________〔3〕过点_____，即x =____时，y =____〔4〕当x ＞1时，________ 当0＜x ＜1时，__________ 〔4〕当x ＞1时，_________ 当0＜x ＜1时，__________ 〔5〕是〔0，+∞〕上的______ 〔5〕是〔0，+∞〕上的______自我检测1．=125log 5；=+2lg 5lg ；29log 2log 33+。

第三节 对数及对数函数一、复习目标：1、理解和掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。

2、综合运用对数函数的图像与性质解决问题。

二、重难点：重点：掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。

难点：综合运用对数函数的图像与性质解决问题。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳。

四、教学过程（一）、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。

学生阅读复资P19教师讲评，增强目标与参与意识。

（二）、知识梳理整合，方法定位。

（学生完成复资P18填空题，教师准对问题讲评）1、对数的概念如果b N a =（a ＞0，a≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log N b a = b N a =⇔log N b a =（a ＞0，a ≠1，N ＞0）。

2、对数的运算性质：()loglog log MN M N a a b =+。

()log log log M N M N a a b =-. log log n b b n a a =.（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）。

3、对数换底公式：log N b log log N b aa =（a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.4、对数函数的图像及性质：①函数log x y a =（a ＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下②对数函数的性质：定义域：（0，+∞）； 值域：R ； 过点（1，0），即当x=1时，y=0. 当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数。

5、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =互为反函数，它们的图像关于直线y=x 对称.。

6、重难点问题探析：（1）、对数函数性质的拓展（Ⅰ）同底数的两个对数值)(log x f a 与)1,0)((log ≠>a a x g a 的大小比较若0)(,0)(,1>>>x g x f a ，则0)()()(log )(log >>⇔>x g x f x g x f a a若0)(,0)(,10>><<x g x f a ，则)()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <<⇔< （Ⅱ）同真数的对数值大小关系如图对应关系为（1）x y a log =，（2）x y b log =，（3）x y c log =，（4）x y d log =则作直线1=y 得b a d c <<<<<10，即图象在x 轴上方的部分自左向右底数逐渐增大。

对数运算和对数函数要求层次 重难点对数的概念及其运算性质 B 理解对数的概念掌握当底数1a >与01a <<时，对数函数的不同性质掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题换底公式A 对数函数的概念B 对数函数的图象和性质C指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数（0a >且1a ≠）B版块一：对数的定义和相关概念（一）知识内容<教师备案>在指数函数x y a =中，对于每个y +∈R ，存在唯一的x 与之对应，幂指数x 叫做以a 为底的y 的对数，这样从y 到x 的对应是指数运算的一个相反运算，让同学思考由函数的定义，判断这是否可以定义一种新的函数？这种运算和对应的函数有什么样的性质呢？1．对数：一般地，如果x a y =(0a >，且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底y 的对数，记作log a x y =，其中a 叫做对数的底数，y 叫做真数．关系式a xy指数式 x a y =底数(0,1)a a >≠ 指数(R)x ∈ 幂（值）(R )y +∈知识精讲高考要求对数与对数函数对数恒等式及对数的性质，对数log (0,1)a N a a >≠满足： ⑴零和负数没有对数； ⑵1的对数是零，即log 10a =； ⑶底的对数等于1，即log 1a a =．2．常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N ．3．自然对数：在科学技术中常使用以无理数 2.71828e =L 为底的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并且把log e N 记为ln N ．4．对数与指数间的关系：当0,1a a >≠时，log x a a N x N =⇔=． 5．指数和对数的互化：log b a a N N b =⇔=．log a N a N =，log N a a N =版块二：对数的运算性质和法则（一）知识内容1．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log(...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈⑷1log log a a N n=（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）<教师备案>以性质⑴为例进行证明如下：已知log a M ，log a N （M 、0N >），求log ()a MN设log a M p =，log a N q =，根据对数的定义，可得p M a =，q N a = 由p q MN a a =⋅p q a +=∴log ()log log a a a MN p q M N =+=+2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>）<教师备案>证明：法一：根据指数的运算性质推导 设log b N x =，则x b N =．两边取以a 为底的对数，得log log a a x b N =， 所以log log a a N x b =，即log log log a b a NN b=． 法二：根据对数恒等式及对数的运算性质推导由对数恒等式得：log log log log ()log b N b a a a N b b N ⋅==， 所以有log log log a b a NN b=． 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的．<教师备案>常见错误：log ()log log a a a M N M N ±=±；log ()log log a a a MN M N =⋅；log log log a aa MM N N=． 3．关于对数的恒等式①log a N a N =②log n a a n =③1log log a b b a =④log log n n a a M M =⑤log log log log a b a b M M N N=版块三：对数函数1．对数函数：我们把函数log (0a y x a =>且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞，值域为实数集R ．2．对数函数的图象和性质：一般地，对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象和性质如下表所示：<教师备案>因为对数函数与指数函数密切相关，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处与指数函数相对照．如：指数函数的值域(0,)+∞，变成了对数函数的定义域；而指数函数的定义域为实数集R ，则变成了对数函数的值域；同底的指数函数与对数函数的图象关于直线y x =对称等．【例1】 计算：26666[(1log 3)log 2log 18]log 4-+⋅÷ 【解析】 1；<教师备案>计算的前提是化简，运用对数的运算性质时，各部分变形要化到最简形式，同时注意分子和分母的联系【例2】 计算：24892(log 3log 9log 27...log 3)log 32()n n n n *++++⋅∈N【解析】 52；【例3】 计算：lg 0.5lg30153⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【解析】 从对数的定义和对数的运算性质出发，结合对数恒等式可求设lg30lg0.515()3x ⋅=，则lg30lg0.511lg lg[5()]lg30lg5lg lg0.533x =⋅=⋅+⋅(1lg3)lg5lg3(lg51)lg5lg3lg15=+--=+= 所以，15x =，即lg30lg0.515()153⋅=【例4】 （04-北京-模拟）已知18log 9a =，185b =． 用,a b 表示36log 45 【解析】 ∵ 18log 9a =，18log 5b =∴1818181818361818181818log 45log 9log 5log 9log 5log 4518log 36log 18log 22log 18log 9a ba+++====+-+【备选】 解方程： 2(lg )lg 10100x x x ⋅=【解析】 两边同时取对数：2(lg )lg lg lg100x x x +⋅=例题精讲22(lg )2x = ∴lg 1x =± ∴10x =或0.1x =<教师备案>将此题变为 “2(lg )lg 1020x x x +=”让学生思考作答，观察2(lg )lg 2lg10lg (lg )x x x x == 2(lg )lg lg lg 102201010x x x x x x x x ⇒=⇒=⇒=⇒=或0.1x =【例5】 已知6lg lg A p q =+，其中,p q 为素数，且满足29q p -=，求证：34A << 【解析】 由于,p q 为素数，其差29q p -=为奇数，∴2,31p q ==6lg lg lg1984A p q =+=，1000198410000<< 故34A <<【备选】 （2004-3121log 202x +>的解集为_______【解析】 原不等式等价于223331log 0222log 1000x x x x -++>⎪-⎨⎪>⎪>⎪⎩≥t =，则有23122t t t ⎧-+>⎪⎨⎪≥⎩ 解得01t <≤ ，即20log 11x -<≤ ∴24x <≤板块二：对数函数及其性质1．理解对数函数的概念，底数大于０且不等于１，真数为正．根据对数的性质可知：当底数和真数同在)1,0(　上或),1(∞+　上时，对数为正；当真数为１时，对数为０；当底数和真数一个在)1,0(　上另一个在),1(∞+　上时，对数为负．这在对数的大小和比较中有重要应用．2．理解对数函数与指数函数互为反函数，其图象关于x y =对称，单调性一致． 3．对数函数恒过点)0,1(　，要注意这个条件的灵活应用．即这个点是与底数a 无关的，不随a 的变化而变化．例如，函数1)2(log 2-+-=x x y a 0(>a 且)1≠a 恒过一定点，则该点的坐标为 ．我们知道01log =a ，这是与a 无关的一个等式，于是12=-x 则3=x ，从而8132=-=y ，故定点为)8,3(　4．掌握对数函数性质，在1>a 时，函数为增函数；在10<<a 时，函数减函数． 5．掌握对数函数图象的性质，在第一象限，沿着逆时针方向，a 逐渐变小．6．在对数函数的大小比较中，常见的方法是作差法、中间量法，在含绝对值的对数函数的大小比较时，还经常用到作商法和求和法（利用实数的性质），注意结合第1、第4、第五点进行大小比较时的灵活应用． 7．形如)(log 2b ax x y a ++=的函数定义域为R 或值域为R 时的等价转换．【备选】 已知函数log ()x a y a a =-，其中1a >，求它的定义域和值域． 【解析】 0x x a a a a ->⇒<，又1,x a a >Q 是增函数，1x ∴<∵x a a <，且0x a >，∴x a a a -<，log ()1x a a a ∴-<∴函数log ()x a y a a =-的定义域与值域分别是{|1}x x <，{|1}y y <<教师备案>求函数定义域、值域是一个复杂的问题，一定要引起足够的重视，求定义域时，观察、思考问题要全面，把限制条件要摆全、勿遗漏，对数函数的底、真数的允许值范围要记熟；求函数值域时，千万不要忘记函数的定义域．【例6】 已知5log 5log n m >，试确定m 和n 的关系．【解析】 这是一个真数相同底数不同的比较大小问题，应分各种情况予以讨论．令5log 1m y =，5log 2n y =，由于5log 5log n m >，它的函数图象可能有如下三种情况，如图在图⑴中n m <<1，在图⑵中10<<<n m ，在图⑶中1>m ，10<<n ．<教师备案>这类题型应数形结合，充分利用函数图象的直观性．【例7】 设10<<x ，0>a 且1≠a ，试比较|)1(log |x a -与|)1(log |x a +的大小． 【解析】 这是一道典型的比较大小的题目，其中a 与1的大小未确定，对数双在绝对值内，这就增加了解题的难度和解法的灵活性，此题解法较多．下面主要介绍作差法，平方法和作比法．解法1 作差法：∵10<<x ，∴211<+<x ，110<-<x ， 当10<<a 时，0)1(log >-x a ，0)1(log <+x a ， ∴)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |x x x x a a a a ++-=+-- )1(log )]1)(1[(log 2x x x a a -=+-=． ∵10<<x ， ∴1102<-<x ． 故0)1(log 2>-x a ． 因此 |)1(log ||)1(log |x x a a +>-．当1>a 时，0)1(log <-x a ，0)1(log >+x a ，∴)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |x x x x a a a a +---=+-- 0)1(log )]1)(1[(log 2>--=+--=x x x a a ． 因此|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．综上所述，当10<<x ，0>a 且1≠a 时，总有|)1(log ||)1(log |x x a a +>-． 解法2平方法：∵)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |2222x x x x a a a a +--=+--)]1(log )1()][log 1(log )1([log x x x x a a a a ++-+--=)1(log 11log 2x xxa a-⋅+-= ∵10<<x ，∴1102<-<x ，10 1.1xx-<<+ 对于任意0>a 且1≠a ，)1(log 2x a -总与xxa +-11log 同号． 因此|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．解法3 作比法： ∵10<<x ，211<+<x ，110<-<x ，xx x x x x x x a a -=--=-=+-+++11log )1(log |)1(log ||)1(log ||)1(log |1111)1(log 11log 121=+>-+=++x x xx x． 因此|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．<教师备案>对于此题尽管同样是作差法、作比法，但过程却可千变万化，各具特色，巧妙之处常在某些“灵活”的处理上．如解析3中判断(1)1log 1x x+-与1的大小关系，处理得比较巧妙，避免了一系列的讨论．【例8】 设01a <<，,x y 满足：log 3log log 3a x x x a y +-=，如果y，求此时a 和x 的值．【解析】 由已知条件得22log 333log 3log log 3log 3(log )log log 24a a a a a a a a y x y x x x x x +-=⇒=-+=-+当3log 2a x =时，log a y 有最小值34∵01a << ∴y 有最大值34a ．依题意得33334224112()()24a -===∴14a =，此时332211()48x a ===．【例9】 当a为何值时，不等式215log 1)log (6)log 30a ax ax ⋅+++≥有且只有一解【解析】 易知：0a >且1a ≠，设25u x ax =++，原不等式可化为5331log (1)0log u a++≥⑴ 当01a <<时，原不等式为35log 1)log (1)1u ⋅+≥ ⑴由于当0u ≥时，3log 1)与5log (1)u +均为单调增函数，所以它们的乘积35()log 1)log (1)f u u =+⋅+也是单增函数因为35(4)log (21)log (41)1f =+⋅+=所以⑴等价于4u ≥，即254x ax ++≥此不等式有无穷多解 ⑵当1a >时，不等式化为35log 1)log (1)1u ⋅+≤⑵ 由(4)1f =知，⑵等价于04u ≤≤，即2054x ax ++≤≤从上式可知，只有当254x ax ++=有唯一解即240a ∆=-=时，不等式2054x ax ++≤≤有唯一解1x =-综上所述，当2a =时原不等式有且只有一个解．【备选】 （00-京皖春季-理T21）设函数()|lg |f x x =，若0a b <<，且()()f a f b >，证明：1ab <【解析】 证法一：由已知 lg ,[1,)()|lg |lg ,(0,1)x x f x x x x ∈+∞⎧==⎨-∈⎩∵0,()()a b f a f b <<> ∴,a b 不能同时在区间[1,)+∞上． 又由于0a b <<，故必有(0,1)a ∈若(0,1)b ∈，显然有1ab <． 若[1,)b ∈+∞，由()()0f a f b -> 有lg lg 0a b -->，故lg 0ab < 1ab ∴<证法二：有题设()()f a f b >，即|lg ||lg |a b >，上式等价于22(lg )(lg )a b >(lg lg )(lg lg )0a b a b +->，lg()lg0aab b> 由已知0b a >>，1a b ∴< lg 0ab∴<，lg()0,01ab ab ∴<<<【备选】 设124()min(3log ,log )f x x x =+，其中min(,)p q 表示p 、q 中的较小者，求()f x 的最大值【解析】 易知()f x 的定义域为(0,)+∞因为1143log y x =+在(0,)+∞上是减函数，22log y x =在(0,)+∞上是增函数，而当12y y =，即1243log log x x +=时，4x =，所以由1143log y x =+和22log y x =的图象可知1423log ()log x f x x+⎧⎪=⎨⎪⎩ (4)(04)x x <<≥ 故当4x =时，得()f x 的最大值是2 另解：1241()3log 3log 2f x x x =+=-⑴2()log f x x = ⑵⑴×2+⑵消去2log x ，得()2f x = 又(4)2f =，故()f x 的最大值为2板块三：指数函数与对数函数<教师备案>1． 复习指数函数、对数函数的概念2． 反函数的概念：一般地，函数()y f x =中x 是自变量，y 是x 的函数，设它的定义域为A ，值域为C ，由()y f x =可得()x y φ=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过()x y φ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么()x y φ=就表示x 是自变量y 的函数． 这样的函数()x y φ=，y C ∈叫函数()y f x =的反函数，记作：1()x f y -=． 习惯上，用x 表示自变量，y 表示函数，因此()y f x =的反函数1()x f y -=2y x =通常改写成：1()y f x -=注：①明确反函数存在的条件：当一个函数是一一映射时函数有反函数，否则如等均无反函数② ()y f x =与1()y f x -=互为反函数③()y f x =的定义域、值域分别是反函数1()y f x -=的值域、定义域3． 奇函数若有反函数，则反函数仍是奇函数，偶函数若存在反函数，则其定义域为{0}；若函数()y f x =是增（减）函数，则其反函数1()y f x -=是增（减）函数． 4． 求反函数的步骤：由()y f x =解出1()x f y -=，注意由原函数定义域确定单值对应；交换,x y ，得1()y f x -=；根据()y f x =的值域，写出1()y f x -=的定义域．【备选】 求下列函数的反函数：①31()y x x =-∈R ； ②31()y x x =+∈R ；③1(0)y x =+≥； ④23(,1)1x y x x x +=∈≠-R 【解析】 略．【铺垫】函数2()log 2f x x =-，则1()f x -的定义域是（ ） A ．R B ． [)2,-+∞ C ．[)1,+∞ D ．()0,1 【解析】 A ;即函数2()log 2f x x =-的值域．【例10】 求函数11x x e y e +=-，()0,x ∈+∞的反函数．【解析】 ∵ 12111x e y x x e e +==+--，∴211x e y =+-， 即11x y e y +=-，∴1ln 1y x y +=-，∵0x >,∴1x e >．∴2111x y e =+>－． ∴11x x e y e +=-，()0,x ∈+∞的反函数为1ln 1x y x +=-()1x >．【例11】 已知函数21()21x f x x ⎧-=⎨-⎩，求它的反函数.【解析】1()12f x x -=⎨+⎪⎩ 11x x -<-≥<教师备案>分段函数的反函数仍是分段函数，在求其反函数时，要在每一段上分别求出它的反函数，然后分段写出，要特别注意定义域的限制作用．【例12】 已知xa x f =)(，x x gb log )(-=，且0lg lg =+b a ，1≠a ，1≠b ．则)(x f y =与)(x g y =的图象 （ ）A ．关于直线0=+y x 对称；B ．关于直线0=-y x 对称；C ．关于y 轴对称；D ．关于原点对称．【解析】 此题可以采用的方法有：①分情况讨论a 和b ；②给a 和b 赋特殊值；③求出两个函数的解析式．下面给出③的解析过程． 由0lg lg =+b a 得1=ab ，∴x x x x g a a b log log log )(1=-=-=-．∴)(x f y =与)(x g y =的图象关于直线0=-y x 对称，故选B ．<教师备案>由0lg lg =+b a 去掉a 或者b ，再进行比较，关于直线0=+y x 对称的两点坐标为(,)x y ，),(x y --　；关于直线0=-y x 对称的两点坐标为(,)x y 和(,)y x ．【备选】 （04-全国-理15）已知函数()y f x =是奇函数，当0x ≥时，()31x f x =-，设()f x 的反函数是()yg x =，则(8)g -=【解析】 由奇函数得当0x <时，()31x f x --=-+即31()31xx f x -⎧-⎪=⎨-+⎪⎩ 00x x <≥又由()y f x =与()y g x =互为反函数，可知求(8)g -即求()8f x =-时的x ．由()31x f x =-(0)x ≥知值域为[0,)+∞ 由()31x f x -=--(0)x <知值域为(,0]-∞故(8)g -即为求318x ---=-，2x ∴=-，即(8)2g -=-【备选】 已知实数0,1a a ≠≠，函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠ 求证：函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a ≠的图象关于直线y x =成轴对称图形． 【解析】 要证明函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠的图象关于直线y x =成轴对称图形，只要证明该函数的反函数是其自身，即该函数与它的反函数是同一个函数．由1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠，得(1)1y ax x -=- (1)1ay x y ∴-=- 若10ay -=，则1y a=，代入11x y ax -=-，得111x a ax -=-从而1ax a ax -=-1a ∴=，与已知矛盾，故10ay -≠ 于是，由(1)1ay x y -=-，得11()1y x y ay a -=≠-（1y a≠可通过变量分离法直接得到）∴函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a ≠的反函数为1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠，即为自身故函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠的图象关于直线y x =成轴对称图形【例13】 设,a b 分别是方程2log 30x x +-=和230x x +-=的根，求a b +及2log 2b a + 【解析】 在直角坐标系内分别作出函数2x y =和2log y x =的图象，再作直线y x =和3y x =-+，由于2x y =和2log y x =互为反函数，故它们的图象关于直线y x =对称，方程2log 30x x +-=的根a 就是直线3y x =-+与对数曲线2log y x =的交点A 的横坐标，方程230x x +-=的根b 就是直线3y x =-+与指数曲线2x y =的交点B 的横坐标设3y x =-+与y x =的交点为M ，则点M 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以23M a b x +== 2log 223b M a y +==习题1. 已知()2x f x =，则方程11(1)()1f x f x ---+=的解集为_________． 【解析】 12()log f x x -=，所以方程11(1)()1f x f x ---+=，即22log (1)log 1x x -+=，即(1)2x x -=，解得2x =或1x =-．又0x >，故2x =．习题2. 已知函数()3x f x =，且1(18)2f a -=+，()34ax x g x =-． ⑴求a 的值；⑵求()g x 的表达式；⑶当[1,1]x ∈-时，()g x 的值域并判断()g x 的单调性． 【解析】 ⑴13()log f x x -=，3log 182a =+，3log 2a ∴=⑵3log 2()(3)4(3)424a x x x x x x g x =-=-=-⑶令2x u =，∵11x -≤≤，则122u ≤≤，2211()()()24g x u u u u φ==-=--+当12u =时，max 1()4u φ=；当2u =时，min ()2u φ=－．∴()g x 的值域为1[2,]4-当11x -≤≤时，122u ≤≤，()u φ为减函数，而2x u =为增函数．∴ ()g x 在[1,1]-上为减函数．习题3. 2(lg 27lg8lg 1000)lg 3lg91+--+【解析】 32-习题4. 已知,,x y z R +∈，346x y z ==家庭作业（1）求证：1112z x y-=；（2）比较3,4,6x y z 的大小；【解析】 设346x y z t ===，由0,x >知1t >故取以t 为底的对数，可得 log 3log 4log 61t t t x y z === 1log 3t x ∴=，1log 4t y =，1log 6t z = ⑴易证：1112z x y-=⑵64lg8134lg 0lg3lg 4x y t -=⋅<⋅Q 34x y ∴< 又2lg 46(lg36lg64)0lg 4lg6ty z -=-<⋅46y z ∴< 346x y z ∴<<习题5. 已知)(log )(x a a a x f -=)1(>a ，⑴求)(x f 的定义域和值域； ⑵判断函数的单调性并证明；⑶解不等12(2)()f x f x -->【解析】 ⑴(),1-∞，(),1-∞ ；⑵减函数；⑶11x -<<习题6. 如图曲线是对数函数x y a log =的图象，已知a 的取值4313,,,3510，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是 ．【解析】 C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次是4313,,,3510．习题7. 设0,1,(),()x x x x a a f x a a g x a a -->≠=-=+且()()4,()()8f x f y g x g y ==．求,x y 的值【解析】 2222222211(2)(2)1611(2)(2)64x yx y x y x y a a a a a a a a ⎧+-+-=⎪⎪⎨⎪++++=⎪⎩令222211,x yx ym a n a a a=+=+ 解得6m n == ，即log (21)a x y ==±习题8. 设}1,0{　=M ，}2lg 11{a a a N a，，　，　-=，是否存在a 的值，使}1{=N M I ． 【解析】 不存在a 的值，使}1{=N M I1. 解方程：2lg [lg ]20x x --= （其中[]x 表示不大于实数x 的最大整数） 【解析】 由[]x 的定义知，[]x x ≤，故原方程可变为不等式：2lg lg 20x x --≤即1lg 2x -≤≤当1lg 0x -<≤时，[lg ]1x =-，于是原方程为2lg 1x =，lg 1x =-，110x =当0lg 1x <≤时，[lg ]0x =，原方程为2lg 2x =，lg 2x =均不符合[lg ]0x = 当1lg 2x <≤时，[lg ]1x =，原方程为2lg 3x =，所以lg 3x =，310x =当lg 2x =时，100x = 所以原方程的解为1110x =，3210x =，3100x =2. 方程x x 3)3(log 2=+有多少个实数根．【解析】 可用数形结合的办法，作出函数2log (3)y x =+及3x y =的图象，如图可知，两交点A 、B 的横坐标即为原方程的解，故个数为2个．3. 设]1)(2[log 225.0+-+=xx x b ab a y ，a ，b 都是正实数，求使y 取负值时x 的取值范围．【解析】 依据01log =a ，当)1,0(　∈a ，1>t ，0log <=t y a ，将对数式转化为指数不等式；再将指数式转化为一元二次不等式来求解．要使0<y ，须使11)(222>+-+x x x b ab a ，即 0)(222>-+x x x b ab a ． 又因a 、b 均为正数，两边同除以x b 2，则01)(2)(2>-+x x ba b a．由ab +∈R ，所以12)(->x ba ．若0>>b a ，则1>b a，)),12((log ∞+-∈　ba x ． 月测备选若0>=b a ，则1=ba，不等式恒成立．所以x ∈R ． <教师备案>通常对于较复杂的对数，指数运算，一方面要注意互化，另一方面还要注意等价转化，对含有字母的式子，要注意对底数的讨论．4. 设0,1,(),()x x x x a a f x a a g x a a -->≠=-=+且()()4,()()8f x f y g x g y ==．求,x y 的值．【解析】 2222222211(2)(2)1611(2)(2)64x yx y x y x y a a a a a a a a ⎧+-+-=⎪⎪⎨⎪++++=⎪⎩令222211,x yx ym a n a a a =+=+解得6m n ==，即log 1)a x y ==5. 设函数21()2ax y f x x b+==-的图象关于直线y x =对称，求,a b 应满足的条件． 【解析】 由已知得，函数21()2ax y f x x b+==-的反函数就是它自身，可以利用系数对应相等，或给x 附值法． 比较系数得2b a =，此即,a b 所满足的关系．6. 已知0a >且1a ≠，试求使方程22)log ()a x ak x a -=-有解的k 的取值范围 【解析】 原方程即log ()log a a x ak -=即0x ak <-<分别解关于xa 的不等式、方程得：212x k k a k +<= （0k ≠时）所以212k k k+<，解得1k <-或01k <<又当0k =时，代入原式可推出0a =与已知矛盾，故k 的取值范围为(,1)(0,1)-∞-U。

对数与对数函数1．对数的定义如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)：①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N . (2)对数的换底公式基本公式：log a b ＝log c blog c a (a ，c 均大于0且不等于1，b >0)．(3)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， ②log a MN ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的图像与性质a >10<a <1图像定义域 (0，＋∞)值域 R 定点 过点(1,0)单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 函数值正负当x >1时，y >0； 当0<x <1，y <0当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >04．反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M >0. 2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围． [试一试]1．(2013·苏中三市、连云港、淮安二调)“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．2．(2014·常州期末)函数f (x )＝log 2(4－x 2)的值域为________．1．对数值的大小比较的基本方法(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较． 2．明确对数函数图像的基本点(1)当a >1时，对数函数的图像“上升”； 当0<a <1时，对数函数的图像“下降”．(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图像只在第一、四象限． [练一练]1．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图像经过定点A ，则A 点坐标是________．2．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为________．考点一对数式的化简与求值计算下列各题：(1)lg 37＋lg 70－lg 3－(lg 3)2－lg 9＋1；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245[类题通法]对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考点二对数函数的图像及应用[典例] (1)(2014·南通期末)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是________．若本例(2)变为：若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________.[类题通法]应用对数型函数的图像可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． [针对训练]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， 0<x ≤10，⎪⎪⎪⎪－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．考点三对数函数的性质及应用[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[类题通法]求复合函数y ＝f (g (x ))的单调区间的步骤(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )； (3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”． [针对训练]已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．[课堂练通考点]1．(2014·深圳第一次调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________.2．(2013·广东高考改编)函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域是________．。

§2.8对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理1．对数的概念在表达式a b ＝N (a >0且a ≠1，N ∈(0，＋∞))中，当a 与N 确定之后，只有唯一的b 能满足这个式子，此时，幂指数b 称为以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中a 称为对数的底数，N 称为对数的真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N .以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N .2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ).(3)对数换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；b >0；c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域(0，＋∞)值域R性过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0质当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数一般地，如果在函数y ＝f(x )中，给定值域中任意一个y 的值，只有唯一的x 与之对应，那么x 是y 的函数，这个函数称为y ＝f (x )的反函数．常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log m nab ＝n m log a b .2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N .(×)(2)函数y ＝log a 2x (a >0，且a ≠1)是对数函数．(×)(3)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．(√)教材改编题1．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域是[0,1]，则函数f (x )的值域为()A ．[0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)答案A解析根据复合函数单调性同增异减可知f (x )在[0,1]上单调递增，因为0≤x ≤1，所以1≤x ＋1≤2，则log 21≤log 2(x ＋1)≤log 22，即f (x )∈[0,1]．2．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过点________．答案(3,2)解析∵log a 1＝0，令x －2＝1，∴x ＝3，y ＝2，∴函数的图象过定点(3,2)．3．e ln 2＋log 202216log 20224＝________.答案4解析e ln 2＋log 202216log 20224＝2＋log 416＝2＋2＝4.题型一对数式的运算例1(1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b 的值是()A ．－1 B.12C.710D ．1答案D解析由2a ＝5b ＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5，∴1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.(2)计算：log 535＋122log －log 5150－log 514＝________.答案2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋212log ＝log 535150×14＋12log 2＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2.思维升华解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)(2022·保定模拟)已知2a ＝3，b ＝log 85，则4a－3b＝________.答案925解析因为2a ＝3，所以a ＝log 23，又b ＝log 85，所以b ＝13log 25，所以a －3b ＝log 235，4a －3b ＝232log 52＝925.(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋12lg 4－log 34×log 23＝________.答案－1解析原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋12lg 4－2lg 2lg 3×lg 3lg 2＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是()A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1答案A解析由函数图象可知，f (x )为增函数，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上，0<a －1<b <1.(2)(2023·佛山模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析f (x )＝|ln x |的图象如图，因为f (a )＝f (b )，所以|ln a |＝|ln b |，因为0<a <b ，所以ln a <0，ln b >0，所以0<a <1，b >1，所以－ln a ＝ln b ，所以ln a ＋ln b ＝ln(ab )＝0，所以ab ＝1，则b ＝1a ，所以a ＋2b ＝a ＋2a ，令g (x )＝x ＋2x (0<x <1)，则g (x )在(0,1)上单调递减，所以g (x )>g (1)＝1＋2＝3，所以a ＋2b >3，所以a ＋2b 的取值范围为(3，＋∞)．思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝1log bx的图象可能是()答案B解析∵lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，∴ab ＝1，∴a ＝1b，∴g (x )＝1log bx ＝log a x ，函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝1log bx 互为反函数，x的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．log∴函数f(x)＝a x与g(x)＝1b(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝a x的图象如图所示，则函数f(x)＝log a(－x＋1)的部分图象大致为()答案D解析由函数y＝a x的图象可得a>1.当a>1时，y＝log a x经过定点(1,0)，为增函数．因为y＝log a x与y＝log a(－x)关于y轴对称，所以y＝log a(－x)经过定点(－1,0)，为减函数．而f(x)＝log a(－x＋1)可以看作y＝log a(－x)的图象向右平移一个单位得到的，所以f(x)＝log a(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例3(2023·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是() A．a<b<c B．b<a<cC．a<c<b D．c<a<b答案C解析a＝log30.5<log31＝0，即a<0；b＝log3π>log33＝1，即b>1；0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1，∴a<c<b.命题点2解对数方程、不等式例4若log a(a＋1)<log a(2a)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．答案解析由题意log a(a＋1)<log a(2a)<log a1，>1，＋1<2a <1a <1，＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3对数函数的性质及应用例5(2023·郑州模拟)设函数f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|，则f (x )()A ．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减B ．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减C ．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增D ．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增答案A解析函数f (x )的定义域为{x |x ≠±3}，f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|＝ln|x 2－9|，令g (x )＝|x 2－9|，则f (x )＝ln g (x )，函数g (x )的单调区间由图象(图略)可知，当x ∈(－∞，－3)，x ∈(0,3)时，g (x )单调递减，当x ∈(－3,0)，x ∈(3，＋∞)时，g (x )单调递增，由复合函数单调性同增异减得单调区间．由f (－x )＝ln|(－x )2－9|＝ln|x 2－9|＝f (x )得f (x )为偶函数．思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)(2023·开封模拟)已知函数f (x )＝log a (6－ax )(a >0，且a ≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a 的取值范围是()A ．(1,3]B ．(1,3)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案A解析令t (x )＝6－ax ，因为a >0，所以t (x )＝6－ax 为减函数．又由函数f (x )＝log a (6－ax )在(0,2)上单调递减，可得函数t (x )＝6－ax >0在(0,2)上恒成立，且a >1，>1，－2a ≥0，解得1<a ≤3.(2)(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log 2－ax a >0，且a ≠1)有最小值，则实数a 的取值范围是________．答案(1，2)解析令u (x )＝x 2－ax ＋12＝＋12－a 24，则u (x )有最小值12－a 24，欲使函数f (x )＝log 2－ax ，－a 24>0，解得1<a <2，即实数a 的取值范围为(1，2)．课时精练1．函数f (x )＝log 0.5(2x －1)的定义域为()1 B.12，－∞，12D ．[1，＋∞)答案A解析由题意，要使函数f (x )＝log 0.5(2x －1)有意义，则满足log 0.5(2x －1)≥0，所以0<2x －1≤1，解得12<x ≤1，即函数f (x )1.2．若函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f (log 28)等于()A ．－1B ．1C ．2D ．3答案B解析依题意，函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数，即函数y ＝a x 的图象过点(1,3)，则a ＝3，f (x )＝log 3x ，于是得f (log 28)＝log 3(log 28)＝log 33＝1，所以f (log 28)＝1.3．函数f (x )＝log 2(|x |－1)的图象为()答案A解析函数f (x )＝log 2(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B ，C ；由f (－x )＝log 2(|－x |－1)＝log 2(|x |－1)＝f (x )，可知函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D.4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C (单位：Ah)，放电时间t (单位：h)与放电电流I (单位：A)之间关系的经验公式：C ＝I n ·t ，其中n 为Peukert 常数，为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流I ＝20A 时，放电时间t ＝20h ；当放电电流I ＝30A 时，放电时间t ＝10h ．则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为()(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)A.43B.53C.83D ．2答案B解析根据题意可得C ＝20n ·20，C ＝30n ·10，两式相比得20n ·2030n ·10＝1，即23n ＝12，所以n ＝23321log log 22＝lg 2lg 32＝lg 2lg 3－lg 2≈0.30.48－0.3＝53.5．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－|x |，则不等式f (x )>0的解集是()A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．∅答案B解析不等式f (x )>0⇔log 2(x ＋1)>|x |，分别画出函数y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象，由图象可知y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知log 2(x ＋1)>|x |的解集是(0,1)，即不等式f (x )>0的解集是(0,1)．6．(多选)已知函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，下列说法正确的是()A ．函数f (x )的图象恒过定点(0,0)B ．函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减C ．函数f (x )在区间－12，1上的最小值为0D ．若对任意x ∈[1,2]，f (x )≥1恒成立，则实数a 的取值范围是(1,2]答案ACD解析将(0,0)代入函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，成立，故A 正确；当x ∈(0，＋∞)时，x ＋1∈(1，＋∞)，又a >1，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)，由复合函数单调性可知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)单调递增，故B 错误；当x ∈－12，1时，x ＋1∈12，2，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|≥log a 1＝0，故C 正确；当x ∈[1,2]时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知log a 2≥1，解得1<a ≤2，故D 正确．7．(2023·淮北模拟)2＋log 4＝______.答案10解析2＋4log 2log 2422＝＋＝4＋2＋4＝10.8．函数f (x )＝()log 2x 的最小值为________．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x 2x －14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.9．已知f (x )＝()213log 5.x ax a －＋(1)若a ＝2，求f (x )的值域；(2)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解(1)当a ＝2时，f (x )＝()213log 210x x －＋，令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9，∴t ≥9，f (x )≤13log 9＝－2，∴f (x )的值域为(－∞，－2]．(2)令u (x )＝x 2－ax ＋5a ，∵y ＝13log u (x )为减函数，∴u (x )＝x 2－ax ＋5a 在(1，＋∞)上单调递增，1，4a >0，解得－14<a ≤2，∴a －14，2.10．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )＝log 3(9x ＋1)＋kx 是偶函数．(1)求k ；(2)解不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)．解(1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 3(9－x ＋1)－kx ＝log 3(9x ＋1)＋kx 对任意x ∈R 恒成立，∴2kx ＝log 3(9－x ＋1)－log 3(9x ＋1)＝log 39－x ＋19x ＋1＝log 33－2x ＝－2x ，∴k ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log 3(9x ＋1)－x ＝log 3(9x ＋1)－log 33x＝log 39x ＋13x ＝log 3(3x ＋3－x )，则不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)等价于3x ＋3－x ≥7·3x －1>0，由7·3x －1>0，解得x >－log 37；由3x ＋3－x ≥7·3x －1，得6·(3x )2－3x －1≤0，得0<3x ≤12，即x ≤－log 32，综上，不等式的解集为(－log 37，－log 32]．11．若非零实数a ，b ，c 满足2a ＝3b ＝6c ＝k ，则()A.1a ＋1b ＝1c B.2a ＋2b ＝1cC.1a ＋1b ＝2cD.2a ＋1b ＝2c答案A 解析由已知，得2a ＝3b ＝6c ＝k ，得a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，c ＝log 6k ，所以1a ＝log k 2，1b ＝log k 3，1c＝log k 6，而2×3＝6，所以1a ＋1b ＝1c.12．(多选)关于函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )，下列说法正确的是()A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )在区间(0,2)上为增函数C ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称D ．f (x )的图象关于点(2,0)对称答案BC 解析函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)，当x ＝2时，4x －x 2取到最大值4，故此时f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )取到最大值log 24＝2，A 错误；f (x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)可以看作是由函数y ＝log 2u ，u ＝－x 2＋4x (0<x <4)复合而成，而y ＝log 2u 是定义域上的增函数，u ＝－x 2＋4x (0<x <4)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，故f (x )在区间(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，故B 正确；因为函数f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )，故f (x )的图象关于直线x ＝2对称，C 正确；因为f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )≠－f (x )，故f (x )的图象不关于点(2,0)对称，D 错误．13．已知函数f (x )的定义域为R ，图象恒过点(0,1)，对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)的解集为()A ．(ln 2，＋∞)B ．(－∞，ln 2)C ．(ln 2,1)D ．(0，ln 2)答案D 解析因为f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，不妨设x 1>x 2，则f (x 1)－x 1>f (x 2)－x 2，令g (x )＝f (x )－x ，则g (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)，等价于f (ln(e x －1))－ln(e x －1)<1＝f (0)－0，即g (ln(e x －1))<g (0)，所以ln(e x －1)<0，则0<e x －1<1，解得0<x <ln 2.14．(多选)已知函数f (x )2x |，0<x <2，2－8x ＋13，x ≥2，若f (x )＝a 有四个解x 1，x 2，x 3，x 4且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是()A ．0<a <1B ．x 1＋2x 2∈(3，＋∞)C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4D ．x 4∈[4，＋∞)答案AC解析作函数f (x )2x |，0<x <2，2－8x ＋13，x ≥2的图象如图所示，f (x )＝a 有四个解，即y ＝a 与y ＝f (x )的图象有4个交点x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，可得0<a <1，故选项A 正确；由图象可得x 1·x 2＝1，则1x 1＝x 2，∴x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1，∵12<x 1<1，且1<x 2<2，对勾函数y ＝x ＋2x 在区间上单调递减，故当12<x 1<1时，x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1∈B 错误；x 1＋x 2＝1x 1＋x 1，∵12<x 1<1，∴1x 1＋x 1∵x 3＋x 4＝8，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4C 正确；令x2－8x＋13＝0，解得x＝4±3，由图象可知x4∈(4＋3，6)，故选项D错误．。

学案9 对数与对数函数【导学引领】 （一）考点梳理 1．对数 (1)对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的(2)常用对数与自然对数通常将log 10N 叫做常用对数，记作自然对数：通常将以无理数e ＝2.718 28 …为底的对数叫做自然对数，记作 (3)对数的性质①零和负数没有对数；②log a 1＝ (a >0，且a ≠1)；③log a a ＝ (a >0，且a ≠1)；④a log a N ＝ (a >0，且a ≠1，N >0)⑤log a a m＝m (a ＞0，a ≠1)． 2．对数的运算法则如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么(1)log a (MN )＝ ；(2)log a MN＝ ；(3)log a M n＝ (n ∈R )；(4)log a M ＝log c Mlog c a(c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质a ＞1 0＜a ＜1图象性质定义域： 值域：过定点 ，即x ＝1时，y ＝0当x ＞1时， 当x ＞1时， 当0＜x ＜1时， 当0＜x ＜1时， 在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比较 【自学检测】1．已知2a ＝5b＝10，则1a ＋1b＝________.2．函数y ＝log 0.54x 2－3x 的定义域是________．3．已知f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是________． 4．已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________． 5．已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数，则k 的值为________．【合作释疑】对数式的化简与求值 【训练1】 (1)计算lg 2＋lg 5－lg 8lg50－lg40；(2)设3a ＝4b＝36，求2a ＋1b的值．【训练2】 计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；(2)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．对数函数图象及其应用【训练1】 (1)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m ＜n 且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别为________．(2)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为________．【训练2】已知函数f (x )＝|lg x |，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是________．对数函数的性质及其应用【训练1】 (1)若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递增，则a 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．【训练2】 已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)对任意的x ∈[2，＋∞)，恒有|f (x )|≥1成立，则a 的取值范围为________．【当堂达标1． (log 29)·(log 34)＝________.2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x，x ≤0，则f (f (－2))＝________.3．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围为________．4．已知函数f (x )＝lg(x ＋1)．(1)当0<f (1－2x )－f (x )<1，求x 的取值范围；(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的值域．【课后作业】1．已知函数f (x )＝log 12(3x －a )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________. 3．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，b ＝0.3－2，c ＝log 122，则a ，b ，c 的大小关系为________．4．函数y ＝ln(1－x )的图象大致为________．5．若实数x 满足log 3 x ＝1＋sin θ，则|x －1|＋|x －9|的值为________． 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜0.若f (3－2a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围为________．7．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．8．已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程f (x )－m ＝0有解，求m 的取值范围．。