苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试(一)数学试题

2012届苏州高三教学调研测试（1）语文卷参考答案及评分建议另外有免费的课件讲评，搜索“2012届苏州高三教学调研测试”1．D（3分）（“勒、壳、露”同）2．B（3分）（A项，呼之欲出，形容人物画得逼真或描写得生动，好像一叫就会走出来。

B项，风口浪尖，风浪最大的地方。

比喻斗争最尖锐激烈的地方。

C 项，不绝如缕，如同只有一根细线连着，几乎要断。

形容形势危急或声音细微悠长。

D项，方兴未艾，正在兴起发展，一时不会终止。

形容事物正处在蓬勃发展的阶段。

不用于贬义。

）3．市场需求（或“市场”，1分），技术创新（或“技术”，1分），企业的定位和决策（2分，“定位”和“决策”分别给1分）。

4．采用了双关手法（1分），倡导不弃用纸张的另一面，又指这样做不丢脸（2分）；语言简短风趣，整齐上口（2分，说“表达通顺准确”给1分）5．C（3分）（报：答复）6．D（3分）（①是说富弼科举考试成绩优异，③不是直接表现，⑤表现富弼待人谦恭有礼）7．A（3分）（“怀其文”所省略的主语为富弼，“妻之”的主语是晏殊。

）8．（1）即使不能恢复皇后身份（或“使皇后恢复身份”），也应召回范仲淹（或“让范仲淹官复原职”），用来招纳忠言。

（“纵”“还”“来”各1分，所在分句句意不通不得分。

）（2）（黄德和）依仗势力诬陷他人，希望用这种办法来免除自己的罪过，应该彻查他的案件。

（“怙”、“冀”、“竟”、“狱”各1分，所在分句句意不通不得分。

）（3）收到家信，不打开（或“启封”“拆封”）就烧掉了，说：“只是扰乱我的心意罢了。

”（“发”、“徒”、“乱人意”各1分，所在分句句意不通不得分。

）9．（1）①总领全词（或“领起上片写景”，“为下片的怀古伏笔”；②点明登临季节（“晚秋”）；③为全诗写景抒怀奠定基调。

（3分，一点1分）（2）①运用了比喻、拟人（“如簇”是好似争相聚集在一起之意，应属拟人手法）、借代等修辞手法（写出一种修辞即可）；②远近结合（或“由远而近”）；③动静结合（或“静中有动”）；④注意描画景物的色彩。

苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试试题及答案详解2012.5数学I （正题）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在相应位置上。

1.设集合(]1,1-=A ，()2,0=B ，则=B A .2.若复数z 满足)1(2i i z +=-（i 为虚数单位），则=z .3.已知双曲线)0(1322>=-m y m x 的一条渐近线方程为x y 23=，则m 的值为 . 4.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差=2s .5.如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆.向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为 .6.已知4张卡片（大小，形状都相同）上分别写有1，2，3，4，从中任取2张，则这2张卡片中最小号码是2的概率为 .7.等比数列{}n a 中，若33=a ，246=a ，则8a 的值为 .8.已知钝角α满足53cos -=α，则)42tan(πα+的值为 . 9.已知函数⎩⎨⎧>≤+=-,2,3,2),1()(x x x f x f x 则)2(log 3f 的值为 . 10.已知点P 在ABC ∆所在平面内，若3432=++，则PAB ∆与PBC ∆的面积的比值为 .11.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：（1）若βα//，β⊂m ，α⊂n ，则n m //；（2）若βα//，β⊥m ，α//n ，则n m ⊥；（3）若βα⊥，α⊥m ，β//n ，则n m //；（4）若βα⊥，α⊥m ，β⊥n ，则n m ⊥.上面命题中，所有真命题的序号为 .12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在曲线)0(1>=x xy 上，点P 在x 轴上的射影为M .若点P 在直线0=-y x 的下方，当MPOM OP -2取得最小值时，点P 的坐标为 .13.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB 的中点为M ，若022≥+∙，则该椭圆离心率的取值范围为 . 14.设实数6≤n ，若不等式08)2(2≥--+n x xm 对任意[]2,4-∈x 都成立，则n m n m 344-的最小值为 .二．解答题：本大题共六小题，共计90分。

2012~2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）物理2013.3注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项1. 本试卷包含选择题和非选择题两部分．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．本次考试时间为100分钟，满分值为120分．2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号（考试号）用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔将对应的数字标号涂黑．3. 答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置答题一律无效．4. 如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗画清楚．一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个．．．．选项符合题意．1．关于家庭照明电路所用的交流电，下列说法正确的是（1.69）（A）电流方向每秒钟改变50次（B）电压表达式为u=220sin50πt(V)（C）额定电压为220V的灯泡可以直接接入使用（D）耐压为220V的电容器可以直接接入使用2．2012年10月25日23时33分，我国在西昌卫星发射中心成功发射一颗北斗导航卫星，与先期发射的15颗北斗导航卫星组网运行，这标志着我国正式拥有了完全自主的卫星导航能力．已知这颗卫星是一颗地球静止轨道卫星，则该卫星(2.12)（A）不可能从我国上空经过（B）运行速度大于近地卫星的运行速度（C）向心加速度大于近地卫星的向心加速度（D）运行周期等于近地卫星周期3．在xOy平面内，一质点仅在恒力F作用下由原点O运动到A点，其轨迹及在O点、A点的速度方向如图所示，则F的方向可能沿(2.82)（A）y轴正方向（B）y轴负方向（C）x轴正方向（D）x轴负方向4．如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，一质量为m的带正电小球在外力F的作用下静止于图示位置，小球与弹簧不连接，弹簧处于压缩状态．现撤去F，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力、弹簧弹力对小球做功分别为W1、W2和W3，不计空气阻力，则上述过程中(1.56)（A）小球与弹簧组成的系统机械能守恒（B）小球重力势能的变化为W1（C）小球动能的变化为W1＋W2+ W3（D）小球机械能的变化为W1＋W2+ W35．如图所示，质量为m 1的木块和质量为m 2的长木板叠放在水平地面上. 现对木块施加一水平向右的拉力F ，木块在长木板上滑行，而长木板保持静止状态. 已知木块与长木板间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面间的动摩擦因数为μ2，且最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则(1.73,依据新考纲，考查分析推理能力) （A ）μ1>μ2（B ）μ1<μ2（C ）若改变F 的大小，当212()F m m g m >+时，长木板将开始运动（D ）若将F 作用于长木板，当1212()()F m m g m m >++时，长木板与木块将开始相对滑动二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共计16分．每小题有多个选项符合题意．全部选对得4分，选对不全得2分，错选或不答的得0分． 6．回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电极相连接的两个D 形金属盒，两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D 形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示. 要使带电粒子射出时的动能增大，则可以(2.24) （A ）增大磁场的磁感应强度 （B ）增大加速电压（C ）增大D 形金属盒的半径 （D ）减小狭缝间的距离7．在平直公路上有甲、乙两辆汽车同时从同一位置沿着同一方向做匀加速直线运动，它们速度的平方随位移变化的图象如图所示，则(2.53)（A ）甲车的加速度比乙车的加速度大（B ）在x =0.5m 处甲乙两车的速度相等（C ）在x =0.5m 处甲乙两车相遇（D ）在x =1.0m 处甲乙两车相遇8．如图所示，M 、N 为处在匀强磁场中的两条位于同一水平面内的光滑平行长金属导轨，一端串接电阻R ，磁场沿竖直方向．一金属杆ab 可沿导轨滑动，杆和导轨的电阻都不计．现垂直于ab 方向对杆施一水平恒力F ，使杆从静止开始向右运动．在以后的过程中，杆速度的大小v 、加速度的大小a 以及R 上消耗的总能量E 随时间t 变化的图象可能正确的是(2.01)（A ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）9．如图所示，小物块在竖直平面内的拉力F 作用下沿倾角为θ的斜面向下运动，若重力做的功与克服拉力F 做的功相等．则(1.25，受力分析，状态分析) （A ）小物块可能加速下滑（B ）若斜面光滑，则小物块一定匀速下滑 （C ）若斜面粗糙，则小物块一定减速下滑 （D ）F 与斜面的夹角α不可能大于()2p q三、简答题：本题分必做题（第10、11题）和选做题（第12题）两部分，共计42分．请将解答填写在答题卡相应的位置．10．（8分）为较准确地测定一个量程为3V 、内阻约6kΩ的电压表V 0的内阻， 现设计了如图甲、乙两种电路． （1）应选择 ▲ 电路较为合理．在该合理的电路中，若定值 电阻阻值为R 0，电压表V 0的读数为U 0，电压表V 的读数为U ，则待测电压表的内阻为 ▲ ．（2）除待测电压表外，另有器材如下：A ．电动势为6V 的电源；B ．量程为3V 的电压表；C ．量程为15V 的电压表；D ．电阻值为20Ω的定值电阻；E ．电阻值为2kΩ的定值电阻； F ．滑动变阻器R ；G ．电键、导线若干．在这些器材中电压表应选用 ▲ ，定值电阻应选用 ▲ . (填器材序号)（5.09）11．（10分）“物体所受的合力减小，物体的运动速度就一定减小吗？”某同学设计了如图甲所示的实验装置研究这一问题：先调节斜面倾角，使小车不受拉力时可近似做匀速运动，然后将一根橡皮筋一端固定，另一端系在小车上，将小车拉到靠近打点计时器的位置．启动打点计时器并从静止起释放小车，得到如图乙所示的纸带．打点计时器的打点周期为T ，纸带上各点为连续打出的点，纸带上某点P 与其相邻点间距离分别为x 1、x 2．（1）该同学用 来计算打点P 时小车速度的大小，可以这样计算的理由是：▲ ．这样计算得到的结果与真实值相比 ▲ （选填“偏大” 或“偏小”）． （2）从纸带上选取若干点进行测量和计算，得出这些点对应的速度v 和时刻t ，如下表：请根据实验数据作出小车的v-t 图像。

2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学Ⅰ试题2013.5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知i 是虚数单位，复数31iz i+=+对应的点在第 象限． 2．设全集U R =，集合{}|13A x x =-≤≤，{}|1B x x =>，则A ∩C U B=3．已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，则数据1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的方差为 ． 4．“3x >”是“5x >”的 条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）．5．若双曲线221(0)y x a a-=>的一个焦点到一条渐近线的距离等于3，则此双曲线方程为 ．6．根据右图所示的流程图，输出的结果T 为 ．7．在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为 ．8．在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为 ． 9． 在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则22cos cos 1αβ+=．类比到空间中一个正确命题是：在长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有 ．10．已知圆22:()()1(0)C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于P ，Q 两点，若090PCQ ∠=，则实数a = ．Y结束输出T4n ≤开始1T ←2n ←1n n ←+1(1)nT T n←--N11．分别在曲线x y e =与直线1y ex =-上各取一点M 与N ，则MN 的最小值为 ．12．已知向量a ，b 满足2a = ，1b = ，且对一切实数x ，a xb a b +≥+恒成立，则a 与b的夹角大小为 ．13．已知x ，y 均为正数，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足sin cos x y θθ=，222222cos sin 103()x y x y θθ+=+ 则xy的值为 ． 14．已知a 为正的常数，若不等式2112x x x a+≥+-对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为 ． 15．如图，在ABC ∆中，4B π=，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设BAD α∠=，5sin 5α=． （1）求sin BAC ∠和sin C ；（2）若BC BA ⋅=28，求AC 的长．16．已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAB 是等边三角形，侧面SCD 是以CD 为斜边的直角三角形，E 为CD 的中点，M 为SB 的中点．（1）求证：//CM 平面SAE ；（2）求证：SE ⊥平面SAB ；（3）求三棱锥S AED -的体积．D A B CEMS D C BA17．已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，且237a a =，246a a a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求满足2200n n S a -->的所有正整数n 的集合．18．如图，设A ，B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段AB 于点M （异于点A ，B ），交椭圆于C ，D 两点（点C 在第一象限内），ABC ∆和ABD ∆的面积分别为1S 与2S ．（1）若M 是线段AB 的中点，直线OM 的方程为13y x =，求椭圆的离心率； （2）当点M 在线段AB 上运动时，求12S S 的最大值．OMDACxBy19．如图所示，有两条道路OM 与ON ，060MON ∠=，现要铺设三条下水管道OA ，OB ，AB （其中A ，B 分别在OM ，ON 上），若下水管道的总长度为3km ，设()OA a km =，()OB b km =．（1）求b 关于a 的函数表达式，并指出a 的取值范围；（2）已知点P 处有一个污水总管的接口，点P 到OM 的距离PH 为34km ，到点O 的距离PO 为74km ，问下水管道AB 能否经过污水总管的接口点P ？若能，求出a 的值，若不能，请说明理由．20．已知a 为正的常数，函数2()ln f x ax x x =-+．（1）若2a =，求函数()f x 的单调增区间； （2）设()()f x g x x=，求函数()g x 在区间[]1,e 上的最小值．B AbO PaMNH2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学II （附加题）21． B ．（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分） 已知(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C 在矩阵a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦　对应变换的作用下，得到的对应点分别为(0,0)A '，(3,1)B '，(0,2)C ',求矩阵M .C ．已知曲线C 的参数方程2cos ,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的极坐标方程：sin()14πρθ-=．直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长．D.（选修4—5：不等式选讲） （本小题满分10分）已知常数a 满足11a -<<，解关于x 的不等式：11ax x ++≤．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内． 22．（本小题满分10分）已知抛物线21:1C y x =+和抛物线22:C y x a =--在交点处的两条切线互相垂直，求实数a 的值． 23．（本小题满分10分） 已知数列{}n b 满足112b =，112(2,*)n nb n n N b -+=≥∈． （1）求2b ，3b ，猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设n n x b =，1n n y b +=，比较xx 与y y 的大小．答案：。

201X 年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．23 23. 24. 0 5．37 6．2 7．（2）（4） 89．[102-,] 10． 2940n n -+ 11．5212. 1或2 13. 0 14. 7二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1） ∵2222cos a b c bc A =+-=22426105c c -⨯=218c ，∴a =． …………………………………2分 ∵4cos 5A =，0πA <<， ∴3sin 5A =．∵sin sin a cA C=， ∴sin sin c A C a =3c ⨯=10． ……………………………5分 （2）∵c a <，∴C 为锐角，∴cos C ==∵3424sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=，2167cos22cos 1212525A A =-=⨯-=， ………………………8分 ∴sin(2)A C +=sin 2cos cos2sin A C A C +=2472525+=………………………10分 （3）∵5b c =， ∴sin 5sin B bC c==，sin 5sin B C =．∴23153sin sin sin 2220B C C ==． ……………12分又∵S =2213sin 2212a bc A c ==，∴231220a =，∴a ． ……………………14分 16．证明：（1）取PC 中点F ，连结EF ，BF ，∵E 为PD 中点，∴EF ∥DC 且EF =12DC ．………2分∵AB ∥DC 且12AB DC =， ∴EF ∥AB 且EF =AB ．……………4分 ∴四边形ABFE 为平行四边形． ∴AE ∥BF ． …………………6分 ∵AE ⊄平面PBC ，BF ⊂平面PBC ， ∴AE ∥平面PBC . ………………8分 （2）∵PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，PBBD B =，∴AC ⊥平面PBD ． ∵PD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥PD ． …………………………………………10分 ∵AP AD =，E 为PD 的中点，∴PD AE ⊥． …………………………………………12分 ∵AEAC A =，∴PD ⊥平面ACE . …………………………………………14分17．解：（1）由已知，得22,39,2c a a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ……………………………………2分解得3,2.a c =⎧⎨=⎩ ∴ 229,5.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩………………………………4分∴椭圆C 的标准方程为22195x y +=．………………………………6分（2）设点11(,)P x y （123x -<<），点M 29(,)2y ，∵点F 、P 、M 三点共线，12x ≠-， ∴1211322y y x =+，121132(2)y y x =+， ∴点M 11139(,)22(2)y x +． ……………………………………………8分FP E A BCD（第16题图）∵1113y k x =-，121133(2)y k x =+， ∴12k k ⋅=11111333(2)y y x x ⨯-+=2111133(2)(3)y x x +-． ……………………10分 ∵点P 在椭圆C 上， ∴2211195x y +=， ∴22115(9)9y x =--．∴12k k ⋅=2111513()(9)93(2)(3)x x x ⨯--+-=11365272x x +-⨯+=1651(1)272x -⨯++．……………12分∵123x -<<， ∴12269k k ⋅<-． ∴12k k ⋅的取值范围是26(,)9-∞-． ……………………………………14分 18．解：（1）39xAM x =-(1030)x ≤≤． …………………………………2分 （2）2222229(9)x MN AN AM x x =+=+-． …………………………4分∵:16:9MN NE =， ∴916NE MN =． ∴2222999[]1616(9)x S MN NE MN x x =⋅==+-． …………………6分定义域为[10,30]． ……………………………8分 （3）224918(9)9(218)[2]16(9)x x x x S x x ---'=+-=339[(9)81]8(9)x x x --⨯-，………11分 令0S '=，得0x =（舍），9x =+…………………13分当109x <+≤时，0,S '<S 关于x 为减函数；当930x +<≤时，0,S '>S 关于x 为增函数；∴当9x =+S 取得最小值． …………………15分 答：当AN长为9+时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小．…16分19．解: (1) ∵25,A =21B =-,∴22211115,1,a a q a a q ⎧+=⎨-=-⎩ ∴12,1,2a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩或11,2.a q =⎧⎨=⎩ ………………2分∴21()2n n a -=-，或12n n a -=. ……………………………………4分(2) ∵222112()n n n n a a q a a ++===常数， 2111(1)(1)(1)n n n n n na a q a a ++++-=-⨯=--=常数， ∴数列2{}na ，1{(1)}n n a +-均为等比数列，首项分别为21a ，1a ，公比分别为2q ，q -． ………………………………6分①当n 为奇数时，当1q =时, 1n S na =，21n A na =，1n B a =, ∴21n n n B S na A ==.当1q =-时, 1n S a =，21n A na =，1n B na =,∴21n n n B S na A ==. ……………………………………8分 当1q ≠±时, 设21()n k k *=-∈N ，21121(1)1k k a q S q ---=-，222122*********[1()](1)(1)11k k k k a q a q q A q q ------+==--，21211121[1()](1)11k k k a q a q B q q-----+==++,∴212121k k k B S A ---=．综上所述，当n 为奇数时，n n n B S A =. ……………………10分 ②当n 为偶数时， 存在常数121a qλ=+，使得等式()0n n n B S A λ-+=恒成立． ……11分 ∵1q ≠，∴1(1)1n n a q S q -=-，2212(1)1n n a q A q -=-，1(1)1n n a q B q -=+．∴()n n n B S A λ-+=221112(1)(1)(1)[]111n n n a q a q a q q q q λ----++--222211122(1)(1)(1)111n n n a q a q a q q q q λ---=-+---21122(1)(1)11n n a q a q q qλ--=---=11(1)2()11n a q a q q λ---+ ． ………………………………14分 由题设，11(1)2()011n a q a q q λ--=-+对所有的偶数n 恒成立，又1(1)01n a q q-≠-， ∴121a qλ=+． ………………………………16分 ∴存在常数121a qλ=+，使得等式()0n n n B S A λ-+=恒成立． 20．解：（1）当230n m +=时，22()3ln f x x mx m x =+-．则222323(23)()()2m x mx m x m x m f x x m x x x +-+-'=+-==． 令()0f x '=，得32mx =-（舍），x m =．…………………3分①当m >1时，∴当x m =时, 2223ln ()min m x m f m -=．令2223ln 0m m m -=，得23m =e ． ……………………………5分 ②当01m <≤时，()f x '≥0在[1,)x ∈+∞上恒成立，()f x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，当1x =时, min ()1f x m =+．令10m +=，得1m =-（舍）．综上所述，所求m 为23e m =． ……………………………7分 (2) ∵对于任意的实数[1,2]a ∈，1b a -=，()f x 在区间(,)a b 上总是减函数，则对于x ∈(1,3)，22()2n x mx nf x x m x x++'=++=＜0，∴()0≤f x '在区间[1,3]上恒成立． ……………………9分 设g (x )=22x mx n ++，∵0x >，∴g (x )≤0在区间[1,3]上恒成立． 由g (x )二次项系数为正，得(1)(3)g g ⎧⎨⎩≤0,≤0, 即2318m n m n ++⎧⎨++⎩≤0,≤0, 亦即23n m nm -⎧⎪⎨⎪⎩≤-,≤-.-6 ………12分 ∵ (2)n --(6)3n ---=224(6)33n n -=--，∴ 当n ＜6时，m ≤3n--6， 当n ≥6时，m ≤2n --， ……………………………14分∴ 当n ＜6时，h (n )= 63n--，当n ≥6时，h (n )= 2n --， 即 6.6,6,()32,n n h n n n ⎧--<⎪=⎨⎪--⎩≥ ……………………………16分。

苏锡常镇四市2012届高三调研测试(一)1. {3} 解析：∵ A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4}，∴ A ∩B ＝{3}．2. －3－4i 解析：z 2＝(1－2i)2＝1－4i ＋(2i)2＝－3－4i.3. 必要不充分条件 解析：綈p ：直线a ，b 平行或异面．4. 48 解析：(0.1＋0.14)³2³100＝48.5. 4 解析：此伪代码对应的函数为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －1（x ≥0），log 2（x ＋5）（x ＜0）. ∵ 输出值为3，显然只能由当x ≥0时，得到3.∴ x 2－3x －1＝3，解得x ＝4或－1(舍)，∴ x ＝4.6. 11π67. log a x ＋1(答“1”也对) 解析：此题答案不唯一． 8. x 2＋y 2＋26x ＋25＝0 解析：双曲线的焦点为(±5，0)，设M(x ，y)，由题意得（x ＋5）2＋y 2（x －5）2＋y2＝23，得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0. 9. 1336解析：∵ m 2＋n 2＜25，∴ 满足题意的向量为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，(1，4)，(4，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(2，4)，(4，2)，(3，3)共13种．而所有向量有36种，概率为1336. 10. (－∞，7] 解析：∵ a 8≥15，a 9≤13，∴ d ≤－2.∴ a 12＝a 9＋3d ≤13－6≤7，∴ a 12∈(－∞，7]．11. －32解析：令g(x)＝ax 3＋bx ，∴ f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．∴ 在[0，1]上，f(1)＝4，即a ＋b ＋2＝4，故a ＋b ＝2.而在[－1，0]上，f(x)min ＝f(－1)＝－a －b ＋12＝－2＋12＝－32. 12. －12解析：将二次函数的图象向右平移到点C 落到y 轴上，则y ＝ax 2＋bx ＋2，设A(x 1，0)，B(x 2，0)，∵ AC ⊥BC ，∴ x 1x 2＋4＝0.又∵ x 1x 2＝2a ，∴ 2a ＝－4，∴ a ＝－12. 13. 2 解析：通过探究会发现每10个为一循环组，前10项之和为S 10＝0，∴ S 2 012＝a 2 011＋a 2 012＝a 1＋a 2＝0＋2＝2.14. π3解析：由题意知，函数y ＝－x 2＋2x ＋3－3(x ∈[0，2])的图象为圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝4(x ∈[0，2])的一部分．∵ 图象旋转后所得曲线仍是一个函数图象，∴ 当θ最大时，圆与y 轴相切，圆心为(2，0)．此时θ角即为圆心由点(1，－3)绕原点逆时针旋转到(2，0)处形成的夹角，可得此夹角为π3. 15. 解：(1) ∵ m ⊥n ，∴ m·n ＝0.则2cos 2C 2－2sin 2C ＝0.(2分) ∵ C ∈(0，π)，∴ cos C 2＞0，sinC ＞0.∴ cos C 2＝sinC.(4分) 则sin C 2＝12.(6分) 又C 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ C 2＝π6.则C ＝π3.(8分) (2) ∵ C ＝π3，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－ab. 又∵ a 2＝2b 2＋c 2，∴ a 2＝2b 2＋a 2＋b 2－ab.则a ＝3b.(10分)由正弦定理，得sinA ＝3sinB.(11分)∵ C ＝π3，∴ sinA ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A .(12分) 即sinA ＝－33cosA.(13分)∵ cosA ＝0上式不成立，即cosA ≠0，∴ tanA ＝－3 3.(14分)16. (1) 证明：∵ AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，∴ ∠ACB ＝60°.∵ CD 为∠ACB 的平分线，∴ ∠BCD ＝∠ACD ＝30°.∴ CD ＝2 3.(2分)∵ CE ＝4，∠DCE ＝30°，∴ DE ＝2.则CD 2＋DE 2＝EC 2.∴ ∠CDE ＝90°.∴ DE ⊥DC.(4分)在右图中，又∵ 平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，DE 平面ACD ， ∴ DE ⊥平面BCD.(7分)(2) 解：∵ EF ∥平面BDG ，EF 平面ABC ，平面ABC ∩平面BDG ＝BG ，∴ EF ∥BG.(9分)∵ 点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点，∴ AE ＝EG ＝CG ＝2.作BH ⊥CD 交于H.∵ 平面BCD ⊥平面ACD ，∴ BH ⊥平面ACD.(11分)由条件得BH ＝32.(12分) S △DEG ＝13S △ACD ＝13³12AC ²CD ²sin30°＝ 3.(13分) V BDEG ＝13S △DEG ²BH ＝13³3³32＝32.(14分) 17. 解：(1) 以O 1为坐标系的原点，O 1O 2所在直线为x 轴，如图所示建立直角坐标系．当点A 到达最高点时，点A 绕O 1转过π6， 则点C 绕O 2转过π3.(2分) 此时A(0，2r)，C ⎝⎛⎭⎫92r ，32r .(4分) ∴ AC ＝⎝⎛⎭⎫92r 2＋⎝⎛⎭⎫2r －32r 2＝25－23r.(5分) (2) 由题意，设大飞轮转过的角度为θ，则小飞轮转过的角度为2θ，其中θ∈[0，2π]．此时B(2rcos θ，2rsin θ)，C(4r ＋rcos2θ，rsin2θ)，(6分)记点B ，C 高度差为d ，则d ＝|2rsin θ－rsin2θ|.即d ＝2r|sin θ－sin θcos θ|.(7分)设f(θ)＝sin θ－sin θcos θ，θ∈[0，2π]， 则f′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)．(8分)令f′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)＝0，得cos θ＝－12或1.(9分) 则θ＝23π，43π，0或2π.(10分) 列表：θ 0 0， 23π 23π， 43π 43π， 2π23π 43π 2πf ′(θ) ＋ 0 － 0 ＋f(θ) 0 极大值 f ⎝⎛⎭⎫23π 极小值f ⎝⎛⎭⎫43π 0 ∴ 当θ＝23π时，f(θ)取得极大值为334； 当θ＝43π时，f(θ)取得极小值为－334. ∴ 点B ，C 在传动中高度差的最大值d max ＝332r.(14分) 18. 解：(1) A(0，5)，B(－6，－4)，C(6，－4)，(2分)S 四边形ABCP ＝S △ABC ＋S △ACP ＝78.(4分)(2) 要使四边形ABCP 为梯形，当且仅当CP ∥AB.(5分)∵ k AB ＝32，∴ 直线CP 的方程为y ＋4＝32(x －6)． 即y ＝32x －13. ①(6分) 又x 2100＋y 225＝1，即x 2＋4y 2－100＝0. ② 由①②，得5x 2－78x ＋288＝0.(8分)即(x －6)(5x －48)＝0.∴ x ＝6或485. ∵ 点C(6，－4)，∴ 点P ⎝⎛⎭⎫485，75.(10分)(3) BA →＝(6，9)，BC →＝(12，0)，BP →＝(x ＋6，y ＋4)，∵ BP →＝m·BA →＋n·BC →，∴ x ＋6＝6m ＋12n ，y ＋4＝9m.则m ＝y ＋49，n ＝3x －2y ＋1036，m ＋n ＝3x ＋2y ＋2636.(12分) 令3x ＋2y ＝t ，∵ x 2＋4y 2－100＝0，∴ x 2＋(t －3x)2－100＝0，即10x 2－6tx ＋t 2－100＝0.(13分)由Δ≥0，得36t 2－40(t 2－100)≥0，即t 2≤1 000.∴ －1010≤t ≤1010.(14分)t 的最大值为1010，此时x ＝310，y ＝102.(15分) ∴ m ＋n 的最大值为1010＋2636.(16分) 19. 解：(1) ∵ a 1＝1，a 2＝2，数列{a n }是等差数列，∴ a n ＝n.(2分)则b 1＝b 3＝b 5＝1，b 2＝5，b 4＝9，b 6＝13.∴ S 6＝b 1＋b 2＋…＋b 6＝30.(4分)(2) ∵ b 1＝a 2－a 1＝2－1＝1，数列{b n }是公差为2的等差数列，∴ b n ＝2n －1. ∵ b 2n －1＝a 2n －a 2n －1，b 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ，∴ a 2n －a 2n －1＝4n －3，a 2n ＋1＋a 2n ＝4n －1.∴ a 2n ＋1＋a 2n －1＝2.(6分)则a 2n ＋3＋a 2n ＋1＝2.∴ a 2n ＋3＝a 2n －1.(*)∵ a 1＝1，∴ a 3＝1.则a 4n －3＝a 1＝1，a 4n －1＝a 3＝1.∴ a 2n －1＝1.(8分)则a 2n ＝4n －2.∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（n 为奇数），2n －2（n 为偶数）.(10分) (3) ∵ b 2n －b 2n －1＝0，b 2n ＋1＋b 2n ＝62n ，n ∈N *，而b 2n －1＝a 2n －a 2n －1，b 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ，b 2n ＋1＝a 2n ＋2－a 2n ＋1，∴ a 2n ＋1＝－a 2n －1，a 2n ＋2＋a 2n ＝62n (n ∈N *)．(12分) ∵ a 1＝1，∴ a 2n －1＝(－1)n ＋1.(13分)∵ a 2＝2，由a 2n ＋2＋a 2n ＝62n 知数列{a 2n }唯一确定， 而a 2n ＝42n 时满足要求，∴ a 2n ＝42n .(15分) 则T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝92－4³⎝⎛⎭⎫12n －12(－1)n .(16分)20. 解：(1) 曲线C 的左端点为(－1，1)，经过左端斜率为－1的直线为y ＝－x.曲线C 的右端点为(2，7)，经过右端点斜率为－1的直线为y ＝－x ＋9.又y′＝4x ，由y′＝－1，得x ＝－14，切点为⎝⎛⎭⎫－14，－78，所以斜率为－1的曲线C 的切线方程为y ＝－x －98.(3分) 因此曲线C 被夹在直线y ＝－x －98与直线y ＝－x ＋9之间．∴ d(－1)＝⎪⎪⎪⎪－98－91＋1＝81216.(5分) (2) 设曲线C′：y ＝x 3－x(x ∈R )，则y′＝3x 2－1.∴ 曲线C′在点A(－1，0)处的切线斜率为2.在点B(2，6)处的切线斜率为11.(7分)设斜率为k 且过点A 的直线为l 1：y ＝kx ＋k ，过点B 的直线为l 2：y ＝kx －2k ＋6，P(x 0，y 0)为曲线C′上斜率为k 的切线的切点．① 当k ≥11时，由k ＝3x 20－1≥11，得x 0≤－2或x 0≥2.∵ 曲线C ：y ＝x 3－x(－1≤x ≤2)，∴ 切点P 不在曲线C 上．则曲线C 上的所有点都在l 1，l 2之间．d(k)＝|k －（－2k ＋6）|1＋k 2＝3k －61＋k 2.(9分) ② 当2＜k ＜11时，由2＜3x 20－1＜11，得－2＜x 0＜－1或1＜x 0＜2.∵ 曲线C ：y ＝x 3－x(－1≤x ≤2)，∴ 有且只有一条斜率为k 的直线与曲线C 相切．由k ＝3x 20－1，得x 0＝k ＋13. 切线方程为l 3：y ＝(3x 20－1)(x －x 0)＋x 30－x 0，即y ＝kx －239(1＋k)32.(11分) 设l 1，l 2，l 3在y 轴上的截距分别为b 1，b 2，b 3，则b 1＝k ，b 2＝6－2k.∵ 2＜k ＜11，∴ b 1＞b 2.(12分)∵ b 3＝－239(1＋k)32，b 2－b 3＝6－2k ＋239(1＋k)32， 令t ＝1＋k(2＜k ＜11)，则k ＝t －1(3＜t ＜12)．∴ b 2－b 3＝239t 32－2t ＋8. 设g(t)＝239t 32－2t ＋8(3＜t ＜12)， ∵ g ′(t)＝33t 12－2，3＜t ＜12，∴ g′(t)＜0. 则函数g(t)在(3，12)上是单调减函数．∵ g(12)＝0，∴ g(t)＞0在(3，12)恒成立．∴ b 2＞b 3.(14分) 则曲线C 上的所有点都在l 1，l 3之间．d(k)＝k ＋239（1＋k ）321＋k 2＝9k ＋23（1＋k ）3291＋k 2.(15分) 综上所述，d(k)＝⎩⎪⎨⎪⎧3k －61＋k 2，k ≥11，9k ＋23（1＋k ）3291＋k 2，2≤k ＜11.(16分)。

专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1） a , b € R, a 2 + b 2>2ab ,当且仅当a = b 时取等号.(2) a , b € R +, a + b > 2 ab ,当且仅当a = b 时取等号.2 . 2 .a +b a + b 2「? r(3) a , b € R, —w (—T )2，当且仅当2 2上述三个不等关系揭示了 a + b , ab , a + b 三者间的不等关系.其中，基本不等式及其变形： a , b € R , a + b >2 ab (或 ab w ( 2 ))，当且仅当 a =b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值•禾U 用基 本不等式求最值：一正、二定、三等号 【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015— 2016学年度第一学期期末• 11）已知a >b >1且则1 的最小值为2 log a b 3log b a 7 a 1a2b 1log a b 3 ,••• a > b >1log a b2,a 1a 111 3.小值为 解析：由 log 2x+log 2y=1 可得 log 2xy=1=log 22,则有 xy=2，那么==（x — y ） +>2=4,当且仅当（x — y ）=，即x=+1, y= — 1时等号成立，故的最小值为 4. 2. （苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数 x,y 满足1 3 1 xy 3x 3(0 x)，贝U 的最小值为 _______________ 2 x y 3a =b 时取等号.【解析】••• a > b >1 且 2 log ab 3log ba 7 二 2log a b3 log a b 7，解得log a b 1 或21 b2 1练习：1.（南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟・10）若实数满足, 且，则的最3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知 a 0,b 0,c 2 ,且a b 2 ,则ac c c 二的最小值为 .b ab 2c 2【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟・12）已知x , y 为正实数，则+ - 4x + y x + y的最大值为 _______ •2 2解析：由于 电 + 丄=4x （x y ） y （4x y ）=4x 28xy y ?4x + y x + y（4x y ）（x y ） 4x 5xy y当且仅当4彳=丫，即y=2x 时等号成立.y x【典例3】若正数a 、b 满足aba b 3,则a b 的最小值为解析 :由a,b R ,得 ab ab a3 ( 2b 2 2 ),(a b) 4(ab) 12 0 ,解得a b 6（当且仅当 a b 且 ab ab 3,即a b 3时，取等号）.变式： 1.若 a, b R ,且满足2a b 2 a b ,则a b 的最大值为解析： 因为a,b R,所以由2a b 2 a b a b a 2 b 2 (a?)2.(ab)222（a b ） 0,解得0 a b 2（当且仅当a b 且a 2 b 2 a b ,即a b 1时，取等号）•2. 设x 0, y 0 , x 2y 2xy 8，则x 2y 的最小值为 _____________________ 43. 设x, y R , 4x y xy 1，则2x y 的最大值为 __________________54. （苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州） 2017届高三上学期期中）已知正数a ,b 满1 9—足ab 5，则ab 的最小值为 _________a b【题型二】含条件的最值求法【典例 4】（苏州市 2017届高三上期末调研测试）已知正数x, y 满足x y 1，则=1 +4x 2 3xy5xy_4=3，51 的最小值为x 2 y 1练习1.（江苏省镇江市高三数学期末・1 14）已知正数x, y 满足一 x14x 11，则9y y 1 y x 1 的最小值为 .解析：对于正数x , 1丄1彳y ，由于一 + 一=1, x y则知 x>1 , y>1,那么4xx 1 4y + y 1 4x =(4xx 1+ 4y ) y1 1 1(1+1— 1 —)=(4x + 4y)(x 1+ y 1 )》(4xx 1 + .4y y 1) x yx 1 y 1 xy:x 1 x y 1 y2=25,当且仅当 竺• 口=空•时等号成立.x 1 y y 1 x2. （ 2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一） • 11）已知正数满足，则的最小值为 _______ .解析：，当且仅当时，取等号•故答案为：9.3•（南通市2015届高三第一次调研测试・12）已知函数y a x b （b 0）的图像经过点4 1P （1,3），如下图所示，贝U 的最小值为a 1 b4 11 4 11解析：由题可得 a+b=3,且 a>1 ,那么------------- + — = — ( a — 1+b ) ( ----- + —)=-b 2 a 1 b 29 a 1 4b-，当且仅当二」=」^时等号成立.2 b a 112） 己知a , b 为正数，且直线与直线互相平行，则2a+3b 的最小值为 ____________ .那么 2a+3b= (2a+3b ) • = (2a+3b ) (+) =++13》2+13=25,当且仅当=，即卩 a=b 时等号成立.答案：64;（考查基本不等式的应用）.(4+a 1+ 4b+1)b a 1> 1 ( 2 a 1 4b +5) 22b a 1+5)【解析】由于直线 ax+by — 6=0 与直线 2x+ (b — 3) y+5=0互相平行，则有 =，即 3a+2b=ab , 5.常数a,b 和正变量x,y 满足ab = 16,a + x2b 1 7=若x + 2y 的最小值为 64,则 a b =4.（江苏省苏北四市 2015届高三第一次模拟考试・1 2 161答案:【题型三】代入消元法最小值为2.(苏州市2014届高三调研测试・13)已知正实数x , y 满足，则x + y 的最小值为 _____________ 解析：•••正实数 x , y 满足 xy+2x+y=4 , ■'■( 0 v x v 2) . x+y=x+== ( x+1) + - 3，当且仅当时取等号.••• x+y 的最小值为•故答案为：.3. (南通市2014届高三第三次调研测试・9)已知正实数x,y 满足(x 1)(y 1) 16，则x y 的最小值为 _________正实数 x , y 满足(x - 1 ) ( y+1 ) =16 , • x6.已知正实数a,b 满足2a b b2b a a1，则ab 的最大值为【典例5】(苏州市2016届高三调研测试・14) 已知aba,b (0,1)，则」解析：由 ab4b4b4b 1 2 T~ 4b 2 12b 2 4b 2 5b 1 令7b 17b 2~4b 25b 149t 24t 227t 184t49 18 27t7b 1 4b 2 5b 1 4.23 当且仅当t 3^223j 142等号成立.练习1.(江苏省扬州市2015届高三上学期期末x 2 + y 2的最小值是_________________ . 12)设实数x , y 满足x 2+ 2xy — 1= 0,则2x + 2xy — 1 = 0 可得 1 x 2y=2x，那么2 2(1 x 2 )25 212 = x+ 2 4x 4 4x 21 4x 211，当且仅当 2—x 2= 1-，即x 4=^时等号成立.4 4x 25 解析：由解法二 :由b c a 得-1a，令bax,-c c ccy ，则x 1 y /亠cabx+y= 16 y 1 2 y 1168，当且仅当 y=3, (x=5)时取等号.二 x+y 的最y 1V y 1小值为8.故答案为：8.414. (扬州市2017届高三上学期期中)若 a 0,b 2，且a b 3，则使得4取a b 2得最小值的实数a= ________ 。

2012年江苏各地高考数学模考试题汇编第1部分 集合 苏教版
（2012年兴化）已知集合,集合，
则集合中所有元素之和为______▲______. 答案：
（苏锡常二模）.设集合，，则 .
答案：（-1,2）
（盐城二模）已知集合, , 若, 则整数=▲ .
答案：0
（南京二模）1.已知集合,若,则实数的取值范围是_______________
答案：(－∞，0]
（天一）2.已知全集，集合，，则集合=▲ .
答案：
（南京三模）1．已知集合A＝，B＝，且，则实数a的值是 ▲ ． 答案:1
（常州期末）1、已知集合，若,则实数的值为 。

（南通三模）已知集合，那么=▲ .
解析：考查集合中元素的互异性、集合的并集运算。

答案：。

（苏锡常一模）已知集合，集合，则 .
答案：
（南通一模）设全集Z，集合，则 ▲ （用列举法表示）.
答案：{0，1}。

苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试（一）2012.31.已知集合{}3,2,1=A ，集合{}4,3=B ，则=B A .2.已知复数i z 21-=（i 为虚数单位），则=2z .3.已知命题:p 直线a ，b 相交，命题:q 直线a ，b 异面，则p ⌝是q 的 条件.4.某公司为了改善职工的出行条件，随机抽取100名职工，调查了他们的居住地与公司间的距离d （单位：千米）.由其数据绘制的频率分布直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司间的距离不超过4千米的人数为 .5.如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值=x .Read xIf 0≥x Then 13)(2--←x x x f Else)5(l o g )(2+←x x f End If Print )(x f6.已知角α（πα20<≤）的终边过点)32cos,32(sin ππP ，则=α .7.写出一个满足1)()()(-+=y f x f xy f （x ，0>y ）的函数=)(x f .8.已知点M 与双曲线191622=-yx的左，右焦点的距离之比为3:2，则点M 的轨迹方程为 .9.先后投掷一颗质地均匀的骰子两次，得到其向上的点数分别为m ，n ，设向量),(n m a =，则满足5<的概率为 .10.等差数列{}n a 中，已知158≥a ，139≤a ，则12a 的取值范围是 .11.已知a ，b 为正实数，函数x bx ax x f 2)(3++=在[]1,0上的最大值为4，则)(x f 在[]0,1-上的最小值为 .12.如图，已知二次函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为实数，0≠a ）的图象过点)2,(t C ，且与x 轴交于A ，B 两点，若BC AC ⊥，则a 的值为 .13.设)(n u 表示正整数n 的个位数，)()(2n u n u a n -=，则数列{}n a 的前2012项和等于 .14.将函数3322-++-=x x y （[]2,0∈x ）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为 .∙ 解析 这是一个什么函数？我们先对它的解析式等价转化，让其露出“庐山真面目”：由得，即. 函数的图象是以C(1，－)为圆心，半径为2的圆吗？回顾函数的定义！对于定义域内的任意x 值，与之对应的y 是唯一确定的. 圆显然不能做到这一点. 我们注意到≥0，从而y≥－，即取圆的上半部；又[0，2]，所以函数的图象是[0，2]的圆弧，如图1.“对于每一个旋转角，曲线C 都是一个函数的图象”，言外之意，旋转圆弧后也有可能就不是函数图象了——当然还是解析几何的曲线. “是”与“不是”的判断标准就是函数的定义：对于定义域内的任意x 值，与之对应的y 是唯一确定的. 如图2，是；如图3，不是.三个图的显著区别是圆心位置，当然，随圆心位置变化的是过原点的圆C 的切线. 在图3中，由于切线逆时针转过了y 轴，此时，y 轴与圆弧有两个交点，即与x ＝0对应的y 不唯一.结合三个图可知，当切线从起始位置l0逆时针转至y 轴时，都能保证曲线C 是一个函数的图象，所以，所求的最大值是l0的倾斜角的余角，其正切值是.二．解答题：本大题共6小题，共90分。

0.1 （第4题）2012届高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题 2012．3注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合A = {1，2，3}，集合B = {3，4}，则A I B = ▲ ．2． 已知复数12i z =-（i 为虚数单位），则z 2 = ▲ ．3． 已知命题p ：直线a ，b 相交，命题q ：直线a ，b 异面，则p ⌝是q 的 ▲ （从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中，选出适当的一种填空）．4． 某公司为了改善职工的出行条件，随机抽取100名职工，调查了他们的居住地与公司的距离d (单位：千米)，由其数据绘制的频率分布直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过4千米的人数为 ▲ ．5． 如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x = ▲ ．6． 已知角α（0≤α <2π）终边上的一点坐标为2π2π(sin,cos )33，则α = ▲ ．7． 写出一个满足()()()1(,0)f xy f x f y x y =+->的函数f (x ) = ▲ ．8． 已知点M 与双曲线221169x y -=的左、右焦点的距离之比为2︰3，则点M 的轨迹方程为 ▲ ．9． 先后投掷一颗质地均匀的骰子两次，得到其向上的点数分别为,m n ，设向量a (),m n =，则满足 | a |5<的概率为 ▲ ．10．等差数列{a n }中，已知a 8≥15，a 9≤13，则a 12的取值范围是 ▲ ．11．已知a ，b 为正实数，函数3()2x f x ax bx =++在[0，1]上的最大值为4，则()f x 在[-1，0]上的最小值为 ▲ ．12．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为实数，0a ≠）的图象过点C （t ，2），且与x 轴交于A ，B 两点，若AC ⊥BC ，则a 的值为 ▲ ．分析: 从语气中看出a 的值为定值，而固定量是AC ⊥BC ，C 点的纵坐标为2， 思考1. 满足上述条件的特殊点，C （0，2），A （-4，0），B （1，0）（第5题）（第12题）满足上述条件的特殊点，C （0，2），A （-2，0），B （2，0）13．思考2如图，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为实数，0a ≠）的图象过点C （0，2），且与x 轴交于A ，B 两点，若AC ⊥BC ，则a 的值为 ▲ ．从x 轴交于A ，B 两点可以看出重新设二次函数()()12y a x x x x =--，由图象过点C （0，2），AC ⊥BC ，由射影定理得到12x x =2OC -=4-, ∴ C （0，2）在抛物线上，还有()()12200a x x =--, ∴ a = -12思考3从x 轴交于A ，B 两点可以看出重新设二次函数()()12y a x x x x =--， 由图象过点C （t ，2），AC ⊥BC ，得到 1AC BC k k =-, ∴12221t x t x =---，C （t ，2）在抛物线上，还有()()122a t x t x =--a = -1214．设u (n )表示n 的个位数，a n = u (n 2) - u (n )，则数列{a n }的前2012项的和等于 ▲ ．数列问题如果有困难就先采取列举法：15．将函数y x ∈[0，2]）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为 ▲ ．动态问题先慢慢的动一动，观察一下二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m (2cos sin )2C C =-，，n =(cos 2sin )2CC ，，且m ⊥n ． （1）求角C 的大小；（2）若2222a b c =+，求tan A 的值．16．（本小题满分14分）如图1所示，在Rt △ABC 中，AC = 6，BC = 3，∠ABC = 90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE = 4．如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连结AB ，点F 是AB 的中点． （1）求证：DE ⊥平面BCD ； （2）若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B - DEG 的体积．17．（本小题满分14分）如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮O 1的半径为2r （r 为常数），小飞轮O 2的半径为r ，O 1O 2 = 4r ．在大飞轮的边缘上有两个点A ，B ，满足∠BO 1A =π3，在小飞轮的边缘上有点C ．设大飞轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点B ，C 在水平直线O 1O 2上．（1）求点A 到达最高点时点A ，C 间的距离； （2）求点B ，C 在传动过程中高度差的最大值．AC BDEF（第16题图2）BA CDE（第16题图1）（第17题）18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆22:110025x y E +=的上顶点为A ，直线y = - 4交椭圆E 于点B ，C （点B 在点C 的左侧），点P 在椭圆E 上．（1）若点P 的坐标为（6，4），求四边形ABCP 的面积；（2）若四边形ABCP 为梯形，求点P 的坐标；（3）若BP m BA n BC =⋅+⋅u u r u u r u u u r（m ，n 为实数），求m + n 的最大值． 19．（本小题满分16分）数列{a n }中，a 1 = 1，a 2 = 2．数列{b n }满足1(1)n n n n b a a +=+-，n *∈N ． （1）若数列{a n }是等差数列，求数列{b n }的前6项和S 6；（2）若数列{b n }是公差为2的等差数列，求数列{a n }的通项公式；（3）若b 2n - b 2n - 1 = 0，21262n n nb b ++=，n *∈N ，求数列{a n }的前2n 项和T 2n ． 20．（本小题满分16分）若斜率为k 的两条平行直线l ，m 经过曲线C 的端点或与曲线C 相切，且曲线C 上的所有点都在l ，m 之间（也可在直线l ，m 上），则称l ，m 的距离为曲线C 在“k 方向上的宽度”，记为()d k ．（1）若曲线C ：()22112y x x =--≤≤，求()1d -；（2）已知k > 2，若曲线C ：()312y x x x =--≤≤，求关于k 的函数关系式()d k ．（第18题）数学Ⅱ（附加题）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，3题或4题均答的按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．本卷考试结束后，上交答题卡． 4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作．．答．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 - 1：几何证明选讲 （本小题满分10分）如图，正△ABC 外接圆的半径为1，点M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，延长MN 与△ABC 的外接圆交于点P ，求线段NP 的长．B ．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将点（1，- 1）与（- 2，1）分别变换成点（- 1，- 1）与（0，-2）．设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x - y = 4，求直线l 的方程．A（第21 - A 题）C ．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：πcos()4ρθ+=C 2：24,4x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）交于两个不同点A ，B ．求证：OA ⊥OB ．D ．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）设实数,,x y z 满足237x y z +-=，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某地区选拔篮球运动员，先初试再复试．初试进行四项测试，若选手通过其中两项测试，则可直接进入复试，不再进行剩余项测试；若选手三项测试均不通过，则不进行第四项测试．假设选手甲在初试中通过每项测试的概率都是23，且每项测试是否通过互相独立． （1）求选手甲最多参加三项测试就进入复试的概率； （2）设选手甲参加初试测试的次数为X （X ≥2），求X 的分布列及X 的数学期望．23．（本小题满分10分） 从函数角度看，组合数rn C 可看成是以r 为自变量的函数f (r )，其定义域是{ r |r ∈N ，r ≤n }．（1）证明：1()(1)n r f r f r r-+=-；（2）利用（1）的结论，证明：当n 为偶数时，()n a b +的展开式中最中间一项的二项式系数最大．。

常州市教育学会学业水平监测高三数学试题2012年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{102}{2}a A B =-=，，，，若B A ⊆，则实数a 的值为 ． 2．若152i 4z z z ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z = ． 3．已知双曲线2221(0)9x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为3π，则b 的值为 ．4．用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人．若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为 人．5．用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是 ．6．函数()cos()cos()26f x x x ππ=+⋅+的最小正周期为 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，M为线段AB 的中点，若30MOA ∠=，则该椭圆的离心率的值为 ．8．已知等比数列{}n a 的各均为正数，且212437234a a a a a +==，，则数列{}n a 的通项公式为 ．9．设m ∈R ，已知函数22()2(12)32f x x mx m x m =--+-+-，若曲线()y f x =在0x =处的切线恒过定点P ，则点P 的坐标为 ． 10．对于函数()()y f x x =∈R ，给出下列命题：（1）在同一直角坐标系中，函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线0x =对称； （2）若(1)(1)f x f x -=-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称； （3）若(1)(1)f x f x +=-，则函数()y f x =是周期函数；（4）若(1)(1)f x f x -=--，则函数()y f x =的图象关于点（0，0）对称． 其中所有正确命题的序号是 ．11．设函数()y f x =在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数()()()()k f x f x k f x k f x k ⎧=⎨⎩≤，，，，>若函数3()log ||f x x =，则当13k =时，函数()k f x 的单调减区间为 ． 12．已知△ABC 中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2AC BC AB BC AC BC AC++⋅的最大值为 ． 13．已知函数()2()x f x x =∈R ，且()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数．若不等式2()(2)0a g x h x ⋅+≥对任意[12]x ∈，恒成立，则实数a 的取值范围是 ．14．已知a b c ，，均为正实数，记11max a M b bc c ac a b ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭，，，则M 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知m 、x ∈R ，向量()((1))x m m x x =-=+，，，a b ． （1）当0m >时，若||||<a b ，求x 的取值范围；（2）若1m ->a b 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围． 16．（本小题满分14分）如图，斜三棱柱111A B C ABC -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 是菱形，160A AC ∠=，E 、F 分别是11A C 、AB 的中点．求证： （1）EF ∥平面11BB C C ； （2）平面CEF ⊥平面ABC ． 17．（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2843()n n n S a a n *=++∈N ，且127a a a ，，依次是等比数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）是否存在常数0a >且1a ≠，使得数列{log }()n a n a b n *-∈N 是常数列？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221x y +=与x 轴正半轴的交点为F ，AB 为该圆的一条弦，直线AB 的方程为x m =．记以AB 为直径的圆为⊙C ，记以点F 为右焦点、短半轴长为b （0b b >，为常数）的椭圆为D ． （1）求⊙C 和椭圆D 的标准方程；（2）当1b =时，求证：椭圆D 上任意一点都不在⊙C 的内部； （3）已知点M 是椭圆D 的长轴上异于顶点的任意一点，过点M 且与x 轴不垂直的直线交椭圆D 于P 、Q 两点（点P 在x 轴上方），点P 关于x 轴的对称点为N ，设直线QN 交x 轴于点L ，试判断OM OL 是否为定值？并证明你的结论．A119．（本小题满分16分）如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD 是边长为2a 的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O 为正方形的中心，G 为AD 的中点，点P 在直线OG 上，弧AD 是以P 为圆心、PA 为半径的圆的一部分，OG 的延长线交弧AD 于点H ．设弧AD 的长为l ，3()44APH θθππ∠=∈，，．（1）求l 关于θ的函数关系式；（2）定义比值OPl为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角θ满足：tan()4θθπ=-时，招贴画最优美．20．（本小题满分16分）设a 为实数，函数2()||f x x x a =-．（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[11]-，上的最大值和最小值；（2）求函数()f x 的单调区间．常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题） 2012年1月21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．， 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，延长BC 边上的高AD 交⊙O 于点E ，H 为△ABC 的垂心．求证：DH =DE ．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）求矩阵2411⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的特征值及对应的特征向量． C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）AH DG POBC在极坐标系中，O 为极点，求过圆C ：6cos()3ρθπ=-的圆心C 且与直线OC 垂直的直线l 的极坐标方程．D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x y ，均为正实数，求证：1144x y +≥1x y+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．http22．已知斜率为(0)k k ≠的直线l 过抛物线24C y x =:的焦点F 且交抛物线于A 、B 两点． 设线段AB 的中点为M ． （1）求点M 的轨迹方程；（2）若21k --<<时，点M 到直线340l x y m '+-=:（m 为常数，13m <）的距离总不小于15，求m 的取值范围．23．已知正项数列{}n a 中，1111()1nn na a a n a *+==+∈+N ，．用数学归纳法证明：1()n n a a n *+∈N <．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．1 2．12i 2-+ 3．．700 5．23 6．π 7．32n 9．31(,)22-10．（3）（4） 11．(,-∞（开区间也对） 12．．1712a ≥-14． 2 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（1）222x m =+a ， 2222(1)m x x =++b ， ……………………4分因为<a b ，所以22<a b ． 从而22222(1)x m m x x +<++．因为0m >，所以22()1m x m <+， …………………………6分 解得1m x m <-+或1mx m >+． …………………………8分 （2）2(1)m x mx ⋅=+-a b ． ………………………10分 由题意，得2(1)1m x mx m +->-对任意的实数x 恒成立， 即2(1)10m x mx m +-+->对任意的实数x 恒成立． 当10m +=，即1m =-时，显然不成立，从而210,4(1)(1)0.m m m m +>⎧⎨-+-<⎩……………………………12分解得1,m m m >-⎧⎪⎨><⎪⎩或所以m ． ………………………14分 16．（本小题满分14分）证明：（1）取BC 中点M ，连结FM ，1C M ．在△ABC 中，因为F ，M 分别为BA ，BC 的中点，所以FM ∥12AC ． ………………………………2分 因为E 为11A C 的中点，AC ∥11A C ，所以FM ∥1EC ． 从而四边形1EFMC 为平行四边形，所以1EF C M ∥． …………………………………………4分 又因为1C M ⊂平面11BB C C ，EF ⊄平面11BB C C ，所以EF ∥平面11BB C C ． ………………………6分 （2） 在平面11AA C C 内，作1AO AC ⊥，O 为垂足． 因为∠160A AC =，所以11122AO AA AC ==，从而O 为AC 的中点．……8分所以1OC A E ∥，因而1A1EC A O ∥． …………………10分因为侧面11AA C C ⊥底面ABC ，交线为AC ，1AO AC ⊥，所以1A O ⊥底面ABC ． 所以EC ⊥底面ABC ． …………………………………………12分 又因为EC ⊂平面EFC ，所以平面CEF ⊥平面ABC ． …………………………………………14分 17．（本小题满分14分）解：（1） n =1时，2111843a a a =++，11a =或13a =． ………………………2分当2n ≥时，2111843n n n S a a ---=++，221111(44)8n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，从而11()(4)0n n n n a a a a --+--=．因为{}n a 各项均为正数，所以14n n a a --=． ………………………6分 所以，当11a =时，43n a n =-；当13a =时，41n a n =-． 又因为当11a =时，127,,a a a 分别为1，5，25，构成等比数列， 所以43n a n =-，15n n b -=．当13a =时，127,,a a a 分别为3，7，27，不构成等比数列，舍去．………10分（2）满足条件的a 存在，a = ………………………12分 由（1）知，43n a n =-，15n n b -=，从而1log 43log 543(1)log 5n n a n a a a b n n n --=--=---=(4log 5)3log 5a a n --+．由题意，得4log 50a -=，所以a =． ………………………14分 18．（本小题满分16分）解：（1）圆心(,0)C m (11)m -<< ，则⊙C 的半径为r =．从而⊙C 的方程为222()1x m y m -+=-． ………………………………2分椭圆D 的标准方程为222211x y b b +=+． ………………………4分（2）当1b =时，椭圆D 的方程为2212x y +=．设椭圆D 上任意一点11(,)S x y ，则221112x y +=，221112x y =-．因为2222222111111()()1(2)122x SC x m y x m x m m =-+=-+-=-+- ………6分≥21m -2r =，所以SC r ≥．从而椭圆D 上的任意一点都不在在⊙C 的内部． ………………………8分 （3）21OM OL b ⋅=+为定值． ……………………………………9分 证明如下：设点P （1x ，1y ），Q （2x ，2y ），则由题意，得N （1x ，－1y ），12x x ≠，12y y ≠±． 从而直线PQ 的方程为21212112()()0y y x x x y x y x y ---+-=． 令y ＝0，得122121M x y x y x y y -=-．又直线QN 的方程为21212112()()0y y x x x y x y x y +----=． 令y ＝0，得211221L x y x y x y y +=+． ………………………………13分因为点P ，Q 在椭圆D 上，所以22112211x y b b +=+，22222211x y b b +=+，从而222211211b x b y b +=+-，222222211b x b y b+=+-，所以222222222221221222212222212111(1)(1)(1)()1M L b b b y y b y y b y y b b x x b y y y y +++--+-+-⋅===+-- ． 所以21M L OM OL x x b ⋅=⋅=+=定值． ……………………16分 19． （本小题满分16分）解：（1）当ππ(,)42θ∈时，点P 在线段OG 上，sin a AP θ=；当π3π(,)24θ∈时，点P 在线段GH 上，sin(π)sin a a AP θθ==-；当 π2θ=时，AP a =．综上所述，sin a AP θ=，π3π(,)44θ∈． …………………………2分 所以，弧AD 的长22sin a l AP θθθ=⋅=，故所求函数关系式为2sin a l θθ=，π3π(,)44θ∈．…4分（2）当ππ(,)42θ∈时，cos tan sin a a OP OG PG a a θθθ=-=-=-；当π3π(,)24θ∈时，cos tan(π)tan sin a a a OP OG GH a a a θθθθ=+=+=-=--；当 π2θ=时，OP a =． 所以，cos sin a OP a θθ=-，π3π(,)44θ∈． ………………………6分 从而，sin cos 2OP l θθθ-=． …………………………………8分 记sin cos ()2f θθθθ-=，π3π(,)44θ∈．则2(cos sin )(sin cos )()2f θθθθθθθ+--'=． 令()0f θ'=，得(cos sin )sin cos θθθθθ+=-． …………………………10分因为π3π(,)44θ∈，所以cos sin 0θθ+≠，从而sin cos cos sin θθθθθ-=+．显然π2θ≠，所以sin cos tan 1πtan()cos sin tan 14θθθθθθθθ--===-++．…………………………12分 记满足πtan()4θθ=-的0θθ=，下面证明0θ是函数()f θ的极值点．设()(cos sin )(sin cos )g θθθθθθ=+--，π3π(,)44θ∈．则()g θ'=(cos sin )0θθθ-<在π3π(,)44θ∈上恒成立，从而()g θ在π3π(,)44θ∈上单调递减． ……………………………14分所以，当0π(,)4θθ∈时，()0g θ>，即()0f θ'>，()f θ在0π(,)4θ上单调递增；当03π(,)4θθ∈时，()0g θ<，即()0f θ'<，()f θ在03π(,)4θ上单调递减． 故 ()f θ在0θθ=处取得极大值，也是最大值．所以，当θ满足πtan()4θθ=-时，函数()f θ即OPl 取得最大值，此时招贴画最优美． ……………………………………………………16分 20．（本小题满分16分）解：（1）当1a =时，因为[1,1]x ∈-，所以3()f x x x =-+．则2()313(f x x x x '=-+=-．令()0f x '=，得x x = …………………………………2分 列表：（2）（ⅰ）当0a =时，3()f x x =，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞； (7)分 （ⅱ）当a <0时，3()f x x ax =-．因为2()30f x x a'=->恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，从而()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞； …………9分（ⅲ） 当a >0时，①当x 或x≤时，3()f x x ax =-．因为2()33(f x x a x x '=-=，>所以当x x -≤时，()0f x '>，从而()f x 的单调增区间为(,-∞及)+∞． ……………………11分 ②当x <时，3()f x x ax =-+． 2()33(f x x a x x '=-+=--， 令()0f x '=，得x x == ……………………13分 列表：． ……………………………………………………15分 综上所述，当a ≤0时 ，函数()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；当0a >时， 函数()f x 的单调增区间为(,-∞，)+∞ ，(， ()f x 的单调减区间为(，． …………………………16分常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．若答题超过2题，则以所做题的前两题计分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 解：连结CE ，CH ．因为H 为△ABC 的垂心，所以，∠ECD =∠BAD =090ABC -∠，∠HCD =090ABC -∠，从而∠ECD =∠HCD ． ………………………………4分 又因为CD ⊥HE ，CD 为公共边，所以△HDC ≌△EDC ， …………8分 所以DH =DE ． …………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换 解：矩阵M 的特征多项式为224()6(3)(2)11f λλλλλλλ--==--=-+-+， ……2分 令()0f λ=，得到M 的特征值13λ=，22λ=-． …………………………4分 当13λ=时，矩阵M 的一个特征向量为41⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ……………………………7分当22λ=-时，矩阵M 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． …………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解： 圆心C 的极坐标为π(3,)3， …………………………………6分设直线l 上任意一点(,)P ρθ，则πcos()33ρθ-=，即为直线l 的极坐标方程． ……………………………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲 证明：因为,x y 均为正实数，所以x y +≥11x y +≥x y =时等号成立（下同）． ……6分从而11()()4x yx y++≥，…………………………………8分所以11144x y x y++≥．…………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．解：（1）焦点(0,1)F，直线AB方程为(1)y k x=-，因为0k≠，所以1yxk=+．由21,4yxky x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2440y yk--=．设112200(,),(,),(,)A x yB x y M x y，显然△>0恒成立，则1222y yyk+==．……3分又01yxk=+，消去k，得2002(1)y x=-，所以点M的轨迹方程为22(1)y x=-．……………………5分（2）由（1）知，点222(1,)Mk k+．因为13m<，所以221681683(3)55d m mk k k k=+-+=+-+．………………7分由题意，得21681(3)55mk k+-+≥，2682mk k++≤对21k-<<-恒成立．因为21k-<<-时，2682k k++的最小值是23-，所以23m≤-．……………10分23．解：当1n=时，1213112aaa=+=+，12a a<，所以1n=时，不等式成立；………4分假设当()n k k*=∈N时，1k ka a+<成立，显然0ka>．则当1n k=+时，112111111(1)111k k kk k kk k ka a aa a aa a a+++++++-=+-=+-++++=11111k ka a+-++11(1)(1)k kk ka aa a++-=>++，………………………………………7分所以1n k=+时，不等式成立．…………………8分综上所述，不等式1()n na a n*+<∈N成立．………………………………10分。

江苏苏锡常镇四市2012届高三3月教学调研测试（一）英语2012.3第一卷（共85分）第一部分听力（共两节，满分20分）做题时，先将答案标在试卷上，录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍．1. When is the man's birthday?A. April 1st.B. April 2nd.C. April 3rd.2. What's probably the man’s job?A. A shop assistant.B. A visitor.C. A waiter.3. What does the man think of his car?A. Satisfactory.B. Cheap.C. Old.4. What are the speakers talking about?A. Exam results.B. Time for the exam.C. Change of class hours.5. How did the woman learn to drive?A. She learned it by herself.B: Her school offered driving lessons.C. Her father taught her to drive.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白，每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A. B, C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置．听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题给出5秒钟的作答时间，每段对话或独白读两遍。

2024届苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2320A x x x =++>∣，集合{}04B xx =≤≤∣，则（）A. A B ⋂=∅B. A B =RC. A B ⊆D. BA ⊆2. 设5250125(12)x a a x a x a x +=++++ ，则125a a a +++= （ ）A. 2-B. 1-C. 242D. 2433. 已知平面向量,,a b c满足0,1,a b c a b c ++==== a 与b 的夹角为（ ）A.π4B.π3C.2π3D.3π44. 青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：cm ）近似服从正态分布()2172,N σ，且身高在168cm 到176cm 之间的人数占样本量的75%，则样本中身高不低于176cm 的约有（ ） A. 150人B. 300人C. 600人D. 900人5. 函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,2π内的零点个数为（ ） A 2B. 3C. 4D. 56. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，以OA 为直径的圆与.C 的一条渐近线交于另一点M ，若12AM b =，则C 的离心率为（ ）A.B. 2C. D. 47. 莱莫恩()Lemoine 定理指出：过ABC 的三个顶点,,A B C 作它的外接圆的切线，分别和BC,CA,AB 所在直线交于点,,P Q R ，则,,P Q R 三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine 线.在平面直角坐标系xOy 中，若三角形的三个顶点坐标分别为()()()0,1,2,0,0,4A B C -，则该三角形的Lemoine 线的方程为（ ）A. 2320x y --=B. 2380x y +-=C. 32220x y +-=D. 23320x y --=8. 已知正项数列{}n a 满足()*1223111121n n n n a a a a a a n ++++=∈+N ，若5627a a -=，则1a =（ ） A13B. 1C.32D. 2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数123,,z z z ，下列说法正确的有（ ） A. 若1122z z z z =，则12=z z B. 若22120z z +=，则120z z == C. 若1213z z z z =，则10z =或23z z = D. 若1212z z z z -=+，则120z z =10. 已知函数()sin 2cos2xf x x=-，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. ()f x 的图象关于点()π,0对称C. 不等式()f x x >无解D. ()f x11. 如图，在棱长为2正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，点F 满足()11101A F A B λλ=≤≤，则（ ）.的A. 当0λ=时，1AC ⊥平面BDFB. 任意[]0,1λ∈，三棱锥F BDE -的体积是定值C. 存在[]0,1λ∈，使得AC 与平面BDF 所成的角为π3D. 当23λ=时，平面BDF 截该正方体的外接球所得截面的面积为56π19三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知变量,x y 的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y 与x 之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为ˆˆ0.8yx a =+，据此模型预测当10x =时ˆy 的值为__________. x5 6 7 8 9 ˆy3.54566.513. 已知()(),0,11,a b ∈+∞ ，4log log 4a b b a +=，则2ln ab b+的最小值为__________. 14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1P -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 交于,A B 两点.记线段AB 的中点为M ，若线段MP 的中点在C 上，则k 的值为__________；AF BF ⋅的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 1cB a+=. （1）证明：2B A =；（2）若sin A b ==ABC 的周长.16. 如图，在四棱锥E ABCD -中，EC ⊥平面ABCD ，DC BC ⊥，//AB DC ，22DC AB ==，CB CE =，点F 在棱BE 上，且12BF FE =.（1）证明：//DE 平面AFC ；（2）当二面角F AC D --135 时，求CE .17. 我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为45，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为12，击中目标两次起火点被扑灭的概率为23，击中目标三次起火点必定被扑灭. （1）求起火点被无人机击中次数分布列及数学期望； （2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点50,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上顶点A 作两条动直线()112212:1,:10l y k x l y k x k k =+=+<<分别与C 交于另外两点,M N .当1k =时，AM PM =. （1）求a 的值； （2）若1291,8MN k k NP==，求1k 和2k 的值. 19. 已知函数()24e 2(0)x f x x x x-=->，函数()()2233g x x ax a a a =-+--∈R .（1）若过点()0,0O 的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，与曲线()y g x =相切于点Q.为的①求a 的值；②当,P Q 两点不重合时，求线段PQ 的长；（2）若01x ∃>，使得不等式()()00f x g x ≤成立，求a 的最小值.参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2320A x x x =++>∣，集合{}04B xx =≤≤∣，则（）A. A B ⋂=∅B. A B =RC. A B ⊆D. BA ⊆【答案】D 【解析】【分析】求出集合A ，利用集合间的关系即可判断.【详解】由题可得：{2A xx =<-∣或{}1},04x B x x >-=≤≤∣，则B A ⊆.故选：D.2. 设5250125(12)x a a x a x a x +=++++ ，则125a a a +++= （ ）A. 2-B. 1-C. 242D. 243【答案】C 【解析】【分析】利用赋值法，分别令0,1x =可得.【详解】令0x =，则051a =，01a ∴=；令1x =，则50123453a a a a a a =+++++；51234531242a a a a a ∴++++=-=.故选：C.3. 已知平面向量,,a b c满足0,1,a b c a b c ++==== a 与b 的夹角为（ ）A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】B【解析】【分析】根据向量的加减运算以及数量积的运算律求出a b ⋅ ，继而利用向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】由题意知平面向量,,a b c满足0,1,a b c a b c ++==== 故a b c +=-r r r ，所以22()a b c +=，所以2223a a b b +⋅+= ，所以12a b ⋅= ，则1cos ,2a b a b a b ⋅==，,[0,π]a b ∈ ，故π,3a b = ， 故选：B.4. 青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：cm ）近似服从正态分布()2172,N σ，且身高在168cm 到176cm 之间的人数占样本量的75%，则样本中身高不低于176cm 的约有（ ） A. 150人 B. 300人C. 600人D. 900人【答案】A 【解析】【分析】利用正态分布的性质，计算出(172176)P X <<和(176)P X >即可求解. 【详解】因为()2172,X N σ~，(168176)0.75P X <<=，所以(172176)0.375P X <<=则()1760.50.3750.125P X ≥=-=，所以样本中身高不低于176cm 的约有0.1251200150⨯=人. 故选：A.5. 函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,2π内的零点个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数的性质求解即可. 【详解】令()πsin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得π2π3x k +=，则ππ,62k x k =-+∈Z ；故π51,;2,π36k x k x ====，4113,π;4,π36k x k x ====，所以()f x 在()0,2π共有4个零点， 故选： C.6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，以OA 为直径的圆与C 的一条渐近线交于另一点M ，若12AM b =，则C 的离心率为（ ）A.B. 2C. D. 4【答案】B 【解析】【分析】由渐近线方程和OM ⊥AM 求出12OM a =，由勾股定理得到223b a =，从而求出离心率. 【详解】由题意得，OM ⊥AM ，双曲线的一条渐近线方程为by x a=，故tan bAOM a∠=，即AM b OM a =， 又12AM b =，所以12OM a =，由勾股定理得222OM AM OA =+，即2221144a b a +=，解得223b a =，2c e a ===,故选：B.7. 莱莫恩()Lemoine 定理指出：过ABC 的三个顶点,,A B C 作它的外接圆的切线，分别和BC,CA,AB 所在直线交于点,,P Q R ，则,,P Q R 三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine 线.在平面直角坐标系xOy 中，若三角形的三个顶点坐标分别为()()()0,1,2,0,0,4A B C -，则该三角形的Lemoine 线的方程为（ ）A. 2320x y --=B. 2380x y +-=C. 32220x y +-=D. 23320x y --=【答案】B【解析】【分析】待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在,A C 处的切线方程，进而求出,P R 的坐标，得到答案.【详解】ABC 的外接圆设为220x y Dx Ey F ++++=，104201640E F D F E F ++=⎧⎪∴++=⎨⎪-+=⎩，解得034D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩， ∴外接圆方程为22340x y y ++-=，即2232524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 易知外接圆在A 处切线方程为1y =，又:124x y BC +=-，令1y =得，52x =，,152P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 在()0,4C -处切线方程为4y =-， 又:12xAB y +=，令4y =-得10x =，()10,4R ∴-， 则三角形的Lemoine 线的方程为410514102y x +-=+-，即2380x y +-= 故选：B.8. 已知正项数列{}n a 满足()*1223111121n n n n a a a a a a n ++++=∈+N ，若5627a a -=，则1a =（ ） A.13B. 1C.32D. 2【答案】D 【解析】【分析】由已知和式求出通项11n n a a +的通项，从而得出561199a a =，再由已知条件5627a a -=，从而求出5a ，类似的往前推，求出1a 即可.【详解】1n =时，1211;3a a =2n ≥时，21111212141n n n n a a n n n +-=-=+-- ()56665611,99,2799,99a a a a a a =∴=∴+=， 6511,18,2a a ∴== 454763,2a a a =∴=34335,10,a a a =∴=232315,,2a a a =∴=1213, 2.a a a =∴=故选：D .二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数123,,z z z ，下列说法正确的有（ ） A. 若1122z z z z =，则12=z z B. 若22120z z +=，则120z z == C. 若1213z z z z =，则10z =或23z z = D. 若1212z z z z -=+，则120z z =【答案】AC 【解析】【分析】A 项，由复数的性质2zz z =可得；BD 项，举特例即可判断；C 项，先证明命题“若120z z =，则10z =，或20z =”成立，再应用所证结论推证可得. 【详解】选项A ，1122z z z z ⋅=，则221212,z z z z =∴=，故A 正确；选项B ，令21i,1z z ==，满足条件2212110z z +=-+=，但12z z ≠，且均不为0，故B 错误； 选项C ，下面先证明命题“若120z z =，则10z =，或20z =”成立. 证明：设1i,,z a b a b =+∈R ，2i,,z c d c d =+∈R ，若120z z =，则有(i)(i)()()i 0a b c d ac bd ad bc ++=-++=，故有00ac bd ad bc -=⎧⎨+=⎩，即ac bd ad bc=⎧⎨=-⎩，两式相乘变形得，()220a b cd +=，则有220a b +=，或0c =，或0d =， ①当220a b +=时，0a b ==，即10z =； ②当220a b +≠，且0c =时，则0bd ad ==， 又因为,a b 不同时为0，所以0d =，即20z =；③当220a b +≠，且0d =时，则0ac bc ==，同理可得0c =，故20z =； 综上所述，命题“若120z z =，则10z =，或20z =”成立. 下面我们应用刚证明的结论推证选项C ，1213z z z z = ，()1230z z z ∴-=，10z ∴=，或230z z -=，即10z =或23z z =，故C 正确；选项D ，令12,1i 1i z z =+=-， 则12122z z z z -=+=，但()()211i 1i 2z z =+-=，12z z 不为0，故D 错误. 故选：AC . 10. 已知函数()sin 2cos2xf x x=-，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. ()f x 的图象关于点()π,0对称C. 不等式()f x x >无解D. ()f x 【答案】BD 【解析】【分析】对于选项A:验证()()πf x f x +=是否成立即可判断；对于选项B:验证()()2πf x f x -=-是否成立即可判断；对于选项C:利用()π0πf -=>-即可验证()f x x >有解；对于选项D:利用二倍角公式，结合基本不等式即可判断.【详解】对于选项A:()()()()sin πsin π,π2cos2π2cos2x xf x f x x x+-+==≠∴-+-不是()f x 的周期，故A 错误;对于选项B:()()()()()sin 2πsin 2π,2cos22π2cos2x xf x f x f x x x---===-∴---关于()π,0对称，故B 正确；对于选项C:()()π0π,f f x x -=>-∴>有解，故C 错误； 对于选项D:()()22sin sin 2sin 1212sin x xf x x x==+--，若sin 0x ≤，则()0f x ≤， 若sin 0,x >则()112sin sin f x x x=≤=+，当且仅当12sin sin x x =，即sin x =D 正确. 故选:BD.11. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，点F 满足()11101A F A B λλ=≤≤，则（ ）A. 当0λ=时，1AC ⊥平面BDFB. 任意[]0,1λ∈，三棱锥F BDE -的体积是定值C. 存在[]0,1λ∈，使得AC 与平面BDF 所成的角为π3D. 当23λ=时，平面BDF 截该正方体的外接球所得截面的面积为56π19【答案】ACD 【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A ，0λ=时，F 与1A 重合，故只需验证1AC ⊥面1BDA 是否成立即可，对于B ，由11A B 不与平面BDE 平行，即点F 到面BDE 的距离不为定值，由此即可推翻B ，对于C ，考虑两种极端情况的线面角，由于F 是连续变化的，故AC 与平面BDF 所成的角也是连续变化的，由此即可判断；对于D ，求出平面BDF 的法向量，而显然球心坐标为()1,1,1O ，求出球心到平面BDF 的距离，然后结合球的半径、勾股定理可得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积.【详解】如图所示建系，()()()()()110,0,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,2D B A A C ，所以()()()112,2,0,2,0,2,2,2,2DB DA AC ===-，从而111440,440AC DB AC DA ⋅=-+=⋅=-+=，所以111,AC DB AC DA ⊥⊥，又11,,DB DA D DB DA ⋂=⊂面1BDA ， 所以1AC ⊥面1BDA ，0λ=时，F 与1A 重合，平面BDF 为平面1BDA ，因为1AC ⊥面1BDA ，1AC ∴⊥平面BDF ，A 对.11A B 不与平面BDE 平行，F ∴到面BDE 的距离不为定值，∴三棱锥F BDE -的体积不为定值，B 错.设面1BDA 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111111220220n DB x y n DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =，解得111,1=-=-y z ，即可取()11,1,1n =--， 而()2,2,0AC =-，所以AC 与平面BDF所成角的正弦值为111cos ,AC n AC n AC n ⋅===⋅ ， 又()()12,2,0,0,0,2BD BB =--=，所以1440,0AC BD AC BB ⋅=-=⋅=， 所以1,AC BD AC BB ⊥⊥，又11,,BD BB B BD BB =⊂ 面1DBB ， 所以AC ⊥面1DBB ，当F 在1A 时，AC 与平面BDF<，此时AC 与平面BDF 所成角小于π3， 当F 在1B 时，AC 与平面BDF 所成角为ππ23>， 所以存在[]0,1λ∈使AC 与平面BDF 所成角为π3，C 正确.()()()0,0,0,2,2,0,2,2,2D B F λ，设平面BDF 的法向量为()0220,,,,22200n DB x y n x y z x y z n DF λ⎧⋅=+=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩ ，不妨设1x =，则()()1,1,1,1,1,2,2,0y z n AC λλ=-=-=--=-.23λ=，则42,,23F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，平面BDF 的法向量11,1,3n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，显然球心()1,1,1O ，O 到面BDF的距离OD n d n ⋅===R == ∴截面圆半径的平方为2225619r R d =-=，所以256ππ19S r ==，D 对. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是利用向量法求出球心到截面BDF 的距离，由此即可顺利得解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知变量,x y 的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y 与x 之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为ˆˆ0.8yx a =+，据此模型预测当10x =时ˆy 的值为__________. x5 6 7 8 9 ˆy3.54566.5【答案】7.4 【解析】【分析】经验回归直线方程 ˆy bx a =+ 过样本点的中心()x y ，所以把()x y 代入ˆˆ0.8y x a =+求得ˆa 的值，再代入10x =求解即可.【详解】由已知得7,5x y ==，即样本点中心()75,，因为经验回归直线方程ˆˆ0.8yx a =+过样本点的中心()75,， 所以5ˆ0.87a=⨯+，解得ˆ0.6a =-. 所以，当10x =时，0.8100.67.4ˆy=⨯-=. 故答案为：7.4.13. 已知()(),0,11,a b ∈+∞ ，4log log 4a b b a +=，则2ln ab b+的最小值为__________. 【答案】ln21+##1ln 2+ 【解析】【分析】依题意可得2a b =，则22ln ln a b b b b +=+，令()2ln f x x x=+，利用导数求出()f x 的最小值，即可得解.【详解】4log log 4a b b a += ，()(),0,11,a b ∈+∞ ，14log 4log a a b b ∴+=，1log 2a b ∴=，b ∴=， 即2a b =，所以2222ln ln ln a b b b b b b b+=+=+，令()2ln f x x x=+，()0,x ∈+∞，则()22122x f x x x x='-=-， 所以当02x <<时()0f x '<，当2x >时()0f x '<， 所以()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， 所以()min ()2ln21f x f ==+，所以min 2ln ln 21a bb ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当2,b a ==.故答案：ln 21+14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1P -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 交于,A B 两点.记线段AB 的中点为M ，若线段MP 的中点在C 上，则k 的值为__________；AF BF ⋅的值为__________.【答案】 ①. 2②. 5【解析】【分析】设():1AB y k x =-，与抛物线联立，由韦达定理得124y y k+=，12242x x k +=+，从而得到M的坐标，以及线段MP 的中点坐标，代入抛物线方程，即可求出k 的值，得到AF BF ⋅的值. 【详解】令()11,A x y ，()22,B x y ，():1AB y k x =-，线段PM 的中点为N联立()214y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消x 可得2440y y k --=，则124y y k +=，124y y =-,所以12122422y y x x k k++=+=+，即222(1,)M k k +，所以线段MP 的中点2111(,2N k k +，由于线段MP 的中点N 在抛物线上，则22114()2kk +=，解得2k =或6k =-（舍去），即2k =，为由于在抛物线中11AF x =+，21BF x =+，所以()()()22222121212121221111144164y y y y y y y y AF BF x x +-⎛⎫⎛⎫⋅=++=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭164815164+=++=. 故答案：2 ；5.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 1cB a+=. （1）证明：2B A =； （2）若sin A b ==ABC 的周长. 【答案】（1）证明见解析（2）7+【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角结合角范围可证； （2）利用倍角公式求得sin C ，然后利用正弦定理可得 【小问1详解】()()2cos 1sin sin sin sin cos cos sin B A C A B A B A B +==+=+()sin sin cos cos sin sin A B A B A B A ⇒=-=-因为()(),0,π,π,πA B B A ∈∴-∈-A B A ∴=-或()πA B A +-=（舍），2B A ∴=. 【小问2详解】由sin A =1）知()30,πA B A +=∈，则π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得cos A ===sin sin22sin cos 2B A A A ====， 为213cos cos212sin 1284B A A ==-=-⨯=，()3sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B ∴=+=+=+==， 由正弦定理得25sin sin sin a a b c c A B C =⎧==⇒==⇒⎨=⎩ABC ∴的周长为7a b c ++=+.16. 如图，在四棱锥E ABCD -中，EC ⊥平面ABCD ，DC BC ⊥，//AB DC ，22DC AB ==，CB CE =，点F 在棱BE 上，且12BF FE =.（1）证明：//DE 平面AFC ；（2）当二面角F AC D --为135 时，求CE . 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面AFC 的法向量()11,2,n m =-- ，根据10DE n ⋅=得到证明；（2）求出平面ACD的法向量，根据二面角的大小列出方程，求出CE =【小问1详解】因为EC ⊥平面ABCD ，,BC CD ⊂平面ABCD ， 所以,BC CD EC EC ⊥⊥，又DC BC ⊥，以C 为坐标原点，CB,CE,CD 所在直线分别为,,x y z 轴，，建立空间直角坐标系， 设BC m =， ∵22DC AB ==，()()()()21,0,1,0,0,0,0,0,2,0,,0,,,033A m C D E m F m m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，()()21,0,1,,,0,0,,2,33CA m CF m m DE m ⎛⎫===- ⎪⎝⎭设平面AFC 的一个法向量为()1,,n x y z =，则()()()11,,,0,102121,,,,003333n CA x y z m mx z n CF x y z m m mx my ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎩， 令1x =得2,y z m =-=-，故()11,2,n m =--1220DE n m m ∴⋅=-+=，故//DE 平面AFC ； 【小问2详解】平面ACD 的一个法向量()20,1,0n =，1212cos135n n m n n ⋅∴=-==⇒=⋅CE \=.17. 我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为45，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为12，击中目标两次起火点被扑灭的概率为23，击中目标三次起火点必定被扑灭. （1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； （2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 【答案】（1）分布列见解析，125（2）102125【解析】【分析】（1）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得； （2）根据条件概率以及全概率公式求解可得 【小问1详解】起火点被无人机击中次数X 的所有可能取值为0,1,2,3()()32131141120,1C 512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()232341484642C ,3551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. X ∴的分布列如下： X123P1125121254812564125()44123,,3555X B E X ⎛⎫~∴=⨯= ⎪⎝⎭.【小问2详解】击中一次被扑灭的概率为121134116C 552125P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭击中两次被火扑灭的概率为222341232C 553125P ⎛⎫=⋅⨯⨯=⎪⎝⎭击中三次被火扑灭的概率为334645125P ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴所求概率63264102125125125125P =++=. 18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点50,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上顶点A 作两条动直线()112212:1,:10l y k x l y k x k k =+=+<<分别与C 交于另外两点,M N .当1k =时，AM PM =. （1）求a 的值； （2）若1291,8MN k k NP==，求1k 和2k 的值. 【答案】（1）2 （2）112k =，22k = 【解析】【分析】（1）联立直线直线AM 和椭圆的方程，求出M 点坐标，根据AM PM =列出关于a 的方程，即可求得答案.（2）联立直线和椭圆方程，求出点,M N 的坐标的表达式，即可求得PM k ，PN k 的表达式，结合121k k =，可推出PMPN k k =，即,,P M N 三点共线，结合98MNNP =，可得178M N x x =，由此即可取得答案. 【小问1详解】由题意得5(0,1),0,3A P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AM的方程为1y x =+，联立22222221102a y x x x x a y a ⎧⎛⎫=+⎪∴+=⎨ ⎪⎝⎭⎪+=⎩，解得0x =或x =，代入1y x =+，得2222a y a -=+，2222a M a ⎫-∴⎪⎪+⎭由AM PM =得，22222212a a ⎛⎫-+-=+ ⎪+⎝⎭2222523a a ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭， 解得24a =， 21,a a >∴= ；【小问2详解】由（1）知椭圆方程为2214x y +=，联立122144y k x x y =+⎧⎨+=⎩， 得2211(41)80k x k x ++=，解得0x =或121841k x k =-+， 即121841M k x k =-+，则2121114141M y k k k x =+=-+，即2112211814(,)4141k k M k k --++， 同理可得2222222814(,4141k k N k k --++， 则21211112114541311()8341PMk k k k k k k -++==-+-+，22222222214541311(8341PN k k k k k k k -++==-+-+， 由于121k k =，故121k k =，故PM PN k k =，即,,P M N 三点共线， 又98MN NP =，故917,088N M M N N x x x x x -=∴=-， 又121841M k x k =-+，2112221211888141441N k k k x k k k ⨯=-=-=-++⨯+，故12112184117884M N k x k k x k -+==-+，解得2114k =，由于120k k <<， 故121,22k k == 【点睛】难点点睛：本题考查了直线和椭圆位置关系的应用问题，解答的难点在于计算比较复杂，并且都是有关字母参数的运算，计算量较大，需要有较强的计算能力..19. 已知函数()24e 2(0)x f x x x x-=->，函数()()2233g x x ax a a a =-+--∈R . （1）若过点()0,0O 直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，与曲线()y g x =相切于点Q .①求a 的值；②当,P Q 两点不重合时，求线段PQ 的长；（2）若01x ∃>，使得不等式()()00f x g x ≤成立，求a 的最小值.【答案】（1）①15或1（2）1【解析】【分析】（1）利用导数求()f x 的切线，再由切线与()g x 也相切，利用判别式即可求出a ；根据a 确定点Q ，即可求PQ ；（2）转化为原命题的非命题，利用单调性及恒成立探索1a <时非命题成立，可得当1a ≥时原命题成立，再验证1a =能取得即可得解.【小问1详解】 ①()222e e 42x x x f x x --⋅-=⋅-'，设020004e ,2x P x x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭ ()()0022000002004e 2e 1422x x OPx x x k f x x x x ----∴===⋅-⇒='， ∴切点()2,2,1P k -=-.l ∴方程()22y x +=--，即y x =-，.的联立()2222133033y x x a x a a y x ax a a=-⎧⇒-+++=⎨=-+--⎩， 由()()()22Δ(13)4305110a a a a a =+-+=⇒--=，可得15a =或1； ②当1a =时，2Q x =，此时()2,2,,Q P Q -重合，舍去. 当15a =时，45Q x =，此时44,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时PQ == 【小问2详解】令()()()2224e 233x F x f x g x x x ax a a x-=-=-+-++， ()()()224e 1223x x F x x a x x φ-'-=-+-=，则()()223e 22420x x x x x φ--+'=⋅+>，所以()F x '在()1,+∞上单调递增，若对1x ∀>，均有()()0f x g x ->成立，即()0F x >恒成立，()2222446303201F a a a a a a ∴=-+-++>⇒-+>⇒<或2a >，对1x ∀>，当1a <时，设()222222()4e 4e 233332x x x x ax a a a x x h a x a x x---+-++++==+--， 若3312x -<，即513x <<时，()()222334e 24x x h x x xα---≥+-+224e 510904x x x x --+-=+>， 若3312x -≥，即53x ≥时，22224e 4e ()1332540x x h a x x x x x x x-->+-+-+=+-+≥， 11,x a ∴∀><均有()0F x >.因为1x ∀>，均有()()0f x g x ->的否定为01x ∃>，使得不等式()()00f x g x ≤成立，所以由01x ∃>，使得不等式()()00f x g x ≤成立，可得1a ≥，其中包含2a >情况，而1a =时，()()()224e 1223,x x F x x F x x ---+-'='单调递增，注意到()20F '=.()F x ∴在()1,2上递减，在()2,+∞上递增，()min ()200F x F ==≤成立，符合.综上：a 的最小值为1.【点睛】关键点点睛：本题第二问条件为存在性问题，利用命题与命题的否定之间的真假关系，转化为研究恒成立问题是本题关键点之一，其次证明1,1x a ∀><均有()0F x >时，变换主元，转为关于a 的二次函数，利用二次函数分类讨论，是解决问题的关键所在.。

2013年江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）（2013•镇江一模）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U（A∩B）= {2，4，6} ．2．（5分）（2013•镇江一模）若实数a满足，其中i是虚数单位，则a= 2 ．，∴2+ai=2i（3．（5分）（2013•镇江一模）已知m为实数，直线l1：mx+y+3=0，l2：（3m﹣2）x+my+2=0，则“m=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）．，4．（5分）（2013•镇江一模）根据如图的伪代码，输出的结果T为100 ．∵T=1+3+5+7+…+19==1005．（5分）（2013•镇江一模）已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．其中真命题的序号是②．（填上你认为正确的所有命题的序号）6．（5分）（2013•镇江一模）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字恰好是2，0，1，3，0，3的概率为．分别可得概率为，朝下的概率为，P=×故答案为：7．（5分）（2013•镇江一模）已知，则cos（30°﹣2α）的值为．，再利用二倍角的余弦公式可得解：∵已知，，，．8．（5分）（2012•黑龙江）已知向量夹角为45°，且，则= 3．由已知可得，|==可求解：∵，=∴|2==解得3|=9．（5分）（2013•镇江一模）已知S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且=，（n∈N+）则+= ．由等差数列的性质，知=，由此能够求出结果．=，+==．故答案为：．10．（5分）（2013•镇江一模）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为+1 ．c 解：设双曲线的方程为=﹣e=+1故答案为：+111．（5分）（2013•镇江一模）在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y=e x的图象与y轴的交点为B，P为函数y=e x图象上的任意一点，则的最小值 1 ．由题意可得向量的坐标，进而可得，构造函数=），所以，=，的最小值为：12．（5分）（2013•镇江一模）若对于给定的正实数k，函数的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是（0，）．）∵|OC|=≥，＜，））13．（5分）（2013•镇江一模）已知函数，则= 8 ．++，++++++）+）+）+）∵﹣+（﹣﹣∴f（﹣+﹣）14．（5分）（2013•镇江一模）设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为．结合题意可得由题意可得，故答案为：二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）（2013•镇江一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若=﹣，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．∴B=•=，﹣ac=，即∵b=a+c=2﹣（cosC+sinC=，cosC∈（﹣，的取值范围是（﹣，16．（14分）（2013•镇江一模）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，已知E，F，G分别为棱AB，AC，A1C1的中点，∠ACB=90°，A1F⊥平面ABC，CH⊥BG，H为垂足．求证：（1）A1E∥平面GBC；（2）BG⊥平面ACH．，17．（14分）（2013•镇江一模）已知实数a，b，c∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx满足f（1）=0，设f（x）的导函数为f′（x），满足f′（0）f′（1）＞0．（1）求的取值范围；（2）设a为常数，且a＞0，已知函数f（x）的两个极值点为x1，x2，A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），求证：直线AB的斜率．的不等式，进而化为关于的二次不等式即可求得的取值范围；则，，＞1，则，，∴k=（=a[（）（﹣）（﹣（﹣+（﹣+）t=）得，k=+3t]=（﹣，﹣，∴k∈（﹣，﹣18．（16分）（2013•镇江一模）某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R（米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托，，，所在圆的圆心都是O、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h（米），且h＞R；灯脚FA1，FB1，FC1，FD1是正四棱锥F﹣A1B1C1D1的四条侧棱，正方形A1B1C1D1的外接圆半径为R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米（元），其中R，h，a都为常数．设该灯架的总造价为y（元）．（1）求y关于θ的函数关系式；（2）当θ取何值时，y取得最小值？=，且，﹣，）=．，所以时，，其中，∴，∴时，答：当19．（16分）（2013•镇江一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，圆x2+y2=4上有一动点P，P在x轴的上方，C（1，0），直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB．（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面积S；（2）设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范围．=上，∴联立①②得，消去，解得．代入椭圆方程解得的方程为，代入椭圆的方程得到，，∴化为，则的方程得，，=，，20．（16分）（2013•镇江一模）设数列{a n}的各项均为正数，其前n项的和为S n，对于任意正整数m，n，恒成立．（1）若a1=1，求a2，a3，a4及数列{a n}的通项公式；（2）若a4=a2（a1+a2+1），求证：数列{a n}成等比数列．q=得②÷①得：．记④．③﹣④得，中，令，得．中，令．⑤中，令⑥．得：也适合上式，∴．）在中，令，得中，令．，∴．代入三．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（2013•镇江一模）（选修4﹣1 几何证明选讲）如图，已知CB是⊙O的一条弦，A是⊙O上任意一点，过点A作⊙O的切线交直线CB于点P，D为⊙O上一点，且∠ABD=∠ABP．求证：AB2=BP•BD．，∴AB22．（2013•镇江一模）（选修4﹣2：矩阵与变换）已知矩阵A=的一个特征值为λ1=﹣1，其对应的一个特征向量为，已知，求A5β．﹣，∴…（，属于特征值的一个特征向量为=2+35523．（2013•镇江一模）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知直线l的参数方程（t为参数），圆C的极坐标方程：ρ+2sinθ=0．（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．﹣x+1+2=，=取得最小值，﹣）24．（2013•镇江一模）（选修4﹣5：不等式选讲）已知a，b，c都是正数，且a+2b+3c=6，求的最大值．（（（≤3，当且仅当3四、[必做题]每小题0分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内．25．（2013•镇江一模）如图，圆锥的高PO=4，底面半径OB=2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE．（1）求异面直线EF与BD所成角的余弦值；（2）求二面角O﹣DF﹣E的正弦值．）建立如图所示的空间直角坐标系，利用⇔，，，∴又∵，取，∴．==．所成角（锐角）的余弦值为；，得，则，．的法向量为，则，得，．====的正弦值为26．（2013•镇江一模）（1）山水城市镇江有“三山”﹣﹣金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望；（2）某城市有n（n为奇数，n≥3）个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这n个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．×2××2××2×=n=2，+=2==1×+3×=++=+×2××2××2×=2×）+…+（）（0×+2×+…+=2×）×+2k×+…+（[0×+…+=n=2×{）×[）×[=2×）×[（）﹣（+ =2×）×．．。