上海中学2015学年第一学期期末考试高一数学试题(含答案)

2014-2015学年上海市闸北区高一（上）期末数学试卷一．填空题（本大题共8题，每题5分，满分40分）1．（5.00分）函数y=（a2﹣3a+1）•a x是指数函数，则a等于．2．（5.00分）已知ab＞0，下面四个等式中，正确的命题为．①lg（ab）=lga+lgb；②lg=lga﹣lgb；③lg（）2=lg；④lg（ab）=．3．（5.00分）若函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，则实数a的取值范围是．4．（5.00分）已知函数y=2|x|．若给出下列四个区间：①[2，4]；②[﹣4，4]；③（0，+∞）；④（﹣∞，0），则存在反函数的区间是．（将所有符合的序号都填上）5．（5.00分）函数y=log0.5（﹣x2+6x﹣5）在区间（a，a+1）上递减，则实数a的取值范围是．6．（5.00分）若函数f（x）=的值域是[﹣1，1]，则函数f﹣1（x）的值域为．7．（5.00分）已知函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）有下列命题：①y=f（x）的图象关于y轴对称；②当x＞0时，当x＜0时，y=f（x）是减函数；③y=f（x）的最小值是lg2．其中正确的命题是．8．（5.00分）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y=a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是．二．解答题（本大题共5题，满分60分），9．（10.00分）设集合A={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，集合B={y|y=3﹣|x|}．（1）求A∩B和A∪B；（2）若C={x|4x+p＜0}，C⊆A，求实数p的取值范围．10．（10.00分）若2x+4y﹣4=0，z=4x﹣2•4y+5，求z的取值范围．11．（12.00分）已知函数f（x）=|lgx|．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，并根据草图求出满足f（x）＞1的x的集合；（Ⅱ）若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），求证：ab＜1．12．（14.00分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？13．（14.00分）已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若m=﹣1时，判断函数f（x）在上的单调性，并说明理由；（2）若对于定义域内一切x，f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，求实数m的值；（3）在（2）的条件下，当时，f（x）的取值恰为，求实数a，b的值．2014-2015学年上海市闸北区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题共8题，每题5分，满分40分）1．（5.00分）函数y=（a2﹣3a+1）•a x是指数函数，则a等于3．【解答】解：根据题意，得；，解得a=3．故答案为：3．2．（5.00分）已知ab＞0，下面四个等式中，正确的命题为③．①lg（ab）=lga+lgb；②lg=lga﹣lgb；③lg（）2=lg；④lg（ab）=．【解答】解：对于①lg（ab）=lga+lgb，当a＞0、b＞0时成立，a＜0、b＜0时不成立，所以①不正确；对于②lg=lga﹣lgb，当a＞0、b＞0时成立，a＜0、b＜0时不成立，所以②不正确；对于③lg（）2=lg，当＞0时成立，＜0时不成立，由ab＞0可得：＞0，所以③正确；对于④当ab≠1时，lg（ab）=，当ab=1时，不成立，所以④不正确．故答案为：③3．（5.00分）若函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，则实数a的取值范围是﹣＜a＜﹣．【解答】解：①当a=0时，﹣2x+1=0，故x=；②当a＜0时，函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1的零点一正一负，故f（﹣2）•f（﹣1）=（6a+5）（2a+3）＜0，故﹣＜a＜﹣；③当a＞0时，ax2﹣（a+2）x+1=0的两根为正值，故函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1在区间（﹣2，﹣1）上没有零点，综上所述，﹣＜a＜﹣．故答案为：﹣＜a＜﹣．4．（5.00分）已知函数y=2|x|．若给出下列四个区间：①[2，4]；②[﹣4，4]；③（0，+∞）；④（﹣∞，0），则存在反函数的区间是①③④．（将所有符合的序号都填上）【解答】解：由函数y=2|x|的性质知，其在[2，4]上单调递增，在[﹣4，4]上先减后增；在（0，+∞）上单调递增；在（﹣∞，0）上单调递减，故存在反函数的区间是①③④；故答案为：①③④．5．（5.00分）函数y=log0.5（﹣x2+6x﹣5）在区间（a，a+1）上递减，则实数a的取值范围是[1，2] ．【解答】解：由﹣x2+6x﹣5＞0解得1＜x＜5，即函数的定义域为{x|1＜x＜5}，设t=﹣x2+6x﹣5，则函数y=log0.5t为减函数，根据复合函数单调性之间的关系可知函数f（x）的单调递减区间，即是函数t=﹣x2+6x﹣5的递增区间，∵t=x2﹣6x﹣7，递减增间为（1，3]，∴函数f（x）的递减区间为（1，3]，∵函数y=log0.5（﹣x2+6x﹣5）在区间（a，a+1）上递减，∴，解得1≤a≤2，故答案为：[1，2]6．（5.00分）若函数f（x）=的值域是[﹣1，1]，则函数f﹣1（x）的值域为[，] ．【解答】解：∵函数f（x）=为减函数又∵函数f（x）=的值域是[﹣1，1]，∴函数f（x）=的定义域为[，]∴函数f﹣1（x）的值域[，]故答案为：[，]7．（5.00分）已知函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）有下列命题：①y=f（x）的图象关于y轴对称；②当x＞0时，当x＜0时，y=f（x）是减函数；③y=f（x）的最小值是lg2．其中正确的命题是①③．【解答】解：函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y 轴对称，命题①正确；当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，命题②错误；由②知，f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，f （x）在（0，+∞）上的最小值为f（1）=lg2，由函数f（x）为偶函数，则f（x）在（﹣∞，0）上的最小值为lg2，则y=f（x）的最小值是lg2，命题③正确．故答案为：①③．8．（5.00分）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y=a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是①②．【解答】解：由图象知，t=2时，y=4，∴a2=4，故a=2，①正确；当t=5时，y=25=32＞30，②正确，当y=4时，由4=2t1知，t1=2，当y=12时，由12=2t2知，t2=log212=2+log23．t2﹣t1=log23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．故答案为：①②．二．解答题（本大题共5题，满分60分），9．（10.00分）设集合A={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，集合B={y|y=3﹣|x|}．（1）求A∩B和A∪B；（2）若C={x|4x+p＜0}，C⊆A，求实数p的取值范围．【解答】解：（1）x2﹣x﹣2＞0∴（x﹣2）（x+1）＞0∴x＞2或x＜﹣1∴A={x|x＜﹣1或x＞2}y=3﹣|x|≤3∴B={x|x≤3}∴A∩B={x|x＜﹣1或2＜x≤3}A∪B=R．（2）∵C≤A∴∴p≥4∴p的取值范围为[4，+∞）10．（10.00分）若2x+4y﹣4=0，z=4x﹣2•4y+5，求z的取值范围．【解答】解：∵2x+4y﹣4=0，∴z=4x﹣2•4y+5=（2x）2﹣2（4﹣2x）+5=（2x）2+2•2x ﹣3=（2x+1）2﹣4．令2x =t，则z=（t+1）2﹣4．再根据4y=4﹣2x＞0，可得0＜2x＜4，即0＜t＜2．根据z=（t+1）2﹣4在（0，2）上单调递增，可得﹣3＜z＜21．11．（12.00分）已知函数f（x）=|lgx|．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，并根据草图求出满足f（x）＞1的x的集合；（Ⅱ）若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），求证：ab＜1．【解答】解：（Ⅰ）画出函数y=f（x）的草图，如图所示：令f（x）=1，可得x=10，或x=．故满足f（x）＞1的x的集合为（0，）∪（10，+∞）．（Ⅱ）证明：若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），可得|lga|＞|lgb|，故有﹣lga＞lgb，即lga+lgb＜0，化为lgab＜0，∴0＜ab＜1．12．（14.00分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【解答】解：（1）f（x）=k 1x，，，，（x≥0），（x≥0）（2）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．（0≤x≤20）令，则==所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，y max=3万元．13．（14.00分）已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若m=﹣1时，判断函数f（x）在上的单调性，并说明理由；（2）若对于定义域内一切x，f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，求实数m的值；（3）在（2）的条件下，当时，f（x）的取值恰为，求实数a，b的值．【解答】解：（1），任取x2＞x1＞2，记，∴，∴ϕ（x）单调递减．当a＞1时，f（x）在单调递减，当0＜a＜1时，f（x）在单调递增．…（4分）（2）由f（1+x）+f（1﹣x）=0恒成立，可得+=0，得﹣m2x2=﹣x2，m=±1．…（8分）∵当m=1时，f（x）=无意义，∴m=﹣1，f（x）=．…（10分）（3）由于f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪，若（b，a）⊆（﹣∞，0），与a＞0矛盾，不合题意．…（12分）若（b，a）⊆，∴2≤b＜a，由（1）知f（x）为减函数．故值域即为，∴b=2…（15分）又，得a=3．…（16分）………………………………………………………………………………………………………………………………………………………第11页（共11页）。

上海市高一年级第一学期数学学科期末考试卷（考试时间：90分钟 满分：150分 ）一、填空题（每题4分，共56分）1．若全集R U =，{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ，则=B C A U _____________． 2．已知1>a ，则12-+a a 的最小值为__________． 3．幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,81，则=)(x f ____________． 4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________． 5．已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()απ-cos =______________． 6．函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是 ． 7．已知31cos =α，且παπ32<<，则2sin α= _____．8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________． 9．若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集，则实数a 的取值范围是______．10．已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那 么a 的取值范围 ． 11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是_______．12．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则0m ≤；④若1l =题的是__________．13．如图所示，已知函数()2log 4y x =图像上的两点 ,A B 和函数2log y x =上的点C ，线段AC 平行于y 轴，三角形ABC 为正三角形时点B 的坐标为(),p q ，则22qp +的值为14．若点A 、B 同时满足以下两个条件：（1）点A 、B 都在函数()y f x =上；（2）点A 、B 关于原点对称； 则称点对(),A B 是函数()f x 的一个“姐妹点对”．已知函数()()()24020x x f x x xx -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()f x 的“姐妹点对”是 ． 二、选择题（每题5分，共20分）15．“3log 2<x ”是“1218>⎪⎭⎫⎝⎛-x ”的……………………………………（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件16．若2{|21},{|}M x y x N y y x ==+==-，则集合N M ,两的关系是（ ） A ．{(1,1)}MN =-B ．M N ＝∅C ．M N ⊆D ．N M ⊆17．已知()f x 是R 上的偶函数， 当0x >时()f x 为增函数， 若120,0x x <> 且12||||x x <， 则下列不等式成立的是…………………………………( ) A ．12()()f x f x ->- B ．12()()f x f x -<- C ．12()()f x f x ->- D ．12()()f x f x -<-18．函数()2()0f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a=-对称．据此可以推测，对 任意的非零实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程[]2()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是………………………………………………………………（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,4 C ．{}1,2,3,4 D ．{}1,4,16,64三、解答题（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域 内写出必要的步骤）19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分 ） 记关于x 的不等式01x ax -≤+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（1）若3a =，求出集合P ； （2）若Q P ，求实数a 的取值范围．20．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分 ）某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y (万元)与年产量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为230400010x y x =-+． （1）当该产品的年产量为多少时，每吨的平均成本P 最低，并求每吨最低成本；（2）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时可获得最大利润，并求出最大年利润Q ．21．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分 ）关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-，其中a 是实数． （1）当2a =时，解上述方程；（2）根据a 的不同取值，讨论上述方程的实数解的个数．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分） 设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f xx且是定义域为R 的奇函数．（1）求k 值；（2）若()10f <，试判断函数单调性并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的t 的取值范围； （3）若()312f =，且()x mf aa x g xx 2)(22-+=-在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：在定义域内存在0x ，使得()()()1100f x f x f +=+成立．（1）函数()xx f 1=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数()M x ax f ∈+=1lg 2，求a 的取值范围；（3）设函数xy 2=图像与函数x y -=的图像有交点，证明：函数()M x x f x∈+=22．高一年级数学试卷答案一、填空题（每题4分，共56分）1．若全集R U =，{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ，则=B C A U _____________．]5,2( 2．已知1>a ，则12-+a a 的最小值为__________．3．幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,81，则=)(x f ____________．31-x4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________．2 5．已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()απ-cos =______________．35-6．函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是_(2 1)--，_．7．已知31cos =α，且παπ32<<，则2sin α= _____．33-8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________．)2,2(-9．若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集，则实数a 的取值范围是______． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,010．已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那 么a 的取值范围__11[,)62__． 11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是_______．(2]-∞，12．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m ≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =.其中正确命题的是__________． ①②③④13．．()()()1,3,1,3-- 二、选择题（每题5分，共20分）15．A 16．D 17．B 18．D三、解答题：（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤）19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分 ） 解（1）若3a =，由不等式301x x -≤+，即(3)(1)0x x -+≤且1x ≠-，……… 4分 解得集合{|13,}.P x x x R =-<≤∈ ……………………………… 6分 （2）由不等式|1|1x -≤，解得{|02,}.Q x x x R =≤≤∈ …………………8分由不等式01x ax -≤+，得()(1)0x a x -+≤且1x ≠-，…………………9分 当1a >-时，{|1,}P x x a x R =-<≤∈， 又因为Q P ⊆，所以2a ≥；当1a <-时，{|1,}P x a x x R =≤<-∈，Q P 不成立；当1a =-时，P =∅，QP 也不成立．因此，求实数a 的取值范围是[)2,.+∞（可以不讨论直接判断得出）… 12分20．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分 ） 解（1）()400030,150,25010x P x x=+-∈………………………………3分3010≥=……………………………………………5分()4000200150,25010x x x=⇒=∈ ……………………………6分 当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．………7分（2）()216304000,150,25010x Q x x x =-+-∈………………………10分 ()212301290129010x =--+≤ ……………………………12分 ()230150,250x =∈……………………………………………13分 生产230吨时，最大年利润1290Q =万元．…………………14分 21．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分 ）解（1）1030(1)(3)2x x x x x ->⎧⎪->⎨⎪--=-⎩…………………………………………3分x ⇒=2分 （2）原方程可化为1030(1)(3)x x x x a x ->⎧⎪->⎨⎪--=-⎩，……………………………6分即21353x x x a<<⎧⎨-+-=⎩，………………………………………………8分 作出253(13)y x x x =-+-<<及y a =的图像． 当1x =时1y =，当3x =时3y =，当52x =时134y =．由图像知： ① 413>a 或1≤a 时，两曲线无公共点，故原方程无解；………………10分 ② 当131≤<a 或413=a 时，两曲线有一个公共点，故原方程有一个实数解；…12分③ 当4133<<a 时，两曲线有两个公共点，故原方程有两个实数解．…………14分22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分） 解(1)∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()()001102f k k =⇒--=⇒= ……………………………… 4分 （2）),10()(≠>-=-a a a a x f xx且1(1)0,0,0,1,01f a a a a a<∴-<>≠∴<<又且……………………………5分x y a =在R 上递减，x y a -=在R 上递增，故()f x 在R 上单调递减． …6分不等式化为)4()(2-<+x f tx x f 04)1(,422>+-+->+∴x t x x tx x即恒成立，………………………… 8分016)1(2<--=∆∴t ，解得53<<-t ．………………………………… 9分(3)∵()312f =，231=-∴a a ，即,02322=--a a122a a ∴==-或（舍去）………………………………………………………10分 ∴()()22222)(2222+--+=-+=---x x x x x xm a a x mf a ax g ．令xxaa x f t --==)(由(1)可知xxaa x f --=)(为增函数∵1x ≥，∴()312t f ≥=……………12分 令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2 (32t ≥)……………………………13分 若32m ≥，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2……………… 14分 若32m <，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去…15分 综上可知m ＝2． ……………………………………………16分23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 解（1）若()xx f 1=M ∈，则在定义域内存在0x ， 使得01111102000=++⇒+=+x x x x ， ∵方程01020=++x x 无解，∴()xx f 1=M ∉．……………………… 4分 ()()()()2222(2)lglg lg lg 2221011211a a a a f x M a x ax a x x x =∈⇒=+⇒-++-=++++………………………………………………………………………………6分 当2=a 时，21-=x ；……………………………………………………7分 当2≠a 时，由0≥∆，得[)(]53,22,530462+⋃-∈⇒≤+-a a a ，……9分∴[]53,53+-∈a ． ………………………………………………10分()()()()()00002112000000311212322(1)221x x x x f x f x f x x x x +-⎡⎤+--=++---=+-=+-⎣⎦（），……………………………………………………………………………………13分又∵函数xy 2=图像与函数x y -=的图像有交点，设交点的横坐标为a ，则()01202010=-+⇒=+-x a x a，其中10+=a x ，…………………16分∴()()()1100f x f x f +=+，即()M x x f x∈+=22 ．…………………18分。

上海市嘉定区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）函数的定义域是．2．（3分）函数y=x﹣2的单调增区间是．3．（3分）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示lg6=．4．（3分）若函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，则实数a的取值范围是．5．（3分）若函数f（x）=（x＞0）是减函数，则实数m的取值范围是．6．（3分）已知函数f（x）=（x≥0），记y=f﹣1（x）为其反函数，则f﹣1（2）=．7．（3分）若函数f（x）=x2+（a是常数）是偶函数，则a=．8．（3分）已知函数y=x2﹣2ax在区间上的最大值比最小值大，则a=．11．（3分）若函数在区间（a，b）上的值域是（2，+∞），则log a b=．12．（3分）若函数y=|a x﹣1|（a＞0，且a≠1）的图象与函数y=的图象有两个公共点，则a的取值范围是．二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分.13．（3分）下列四组函数中，函数f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．B．C ．f（x）=x0，g（x）=1 D．14．（3分）函数f（x）=（）A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是奇函数，又是偶函数15．（3分）若关于x的方程2x=a2有负实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞） C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）16．（3分）已知函数f（x）对于任意的x∈R都有f（x）＜f（x+1），则f（x）在R上（）A．是单调增函数B．没有单调减区间C．可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间D．没有单调增区间三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知集合，集合B={x||x﹣1|≤4}，求A∩B．18．（10分）已知函数f（x）=（a2﹣a+1）x a+2为幂函数，且为奇函数，设函数g（x）=f（x）+x．（1）求实数a的值及函数g（x）的零点；（2）是否存在自然数n，使g（n）=900？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是R（x）=（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=总收益﹣总成本）20．（10分）已知函数f（x）=k•2x+2﹣x（k是常数）．（1）若函数f（x）是R上的奇函数，求k的值；（2）若对于任意x∈，不等式f（x）＜1都成立，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=﹣（x∈（0，+∞））．（1）求证：函数f（x）是增函数；（2）若函数f（x）在上的值域是（0＜a＜b），求实数m的取值范围；（3）若存在x∈（1，+∞），使不等式f（x﹣1）＞4x成立，求实数m的取值范围．。

2015-2016学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（每题4分）1．（4.00分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“ｆ（x），g（x）均为偶函数”是“ｈ（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件2．（4.00分）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+8）函数为偶函数，则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）3．（4.00分）已知函数y=log2x的反函数是y=f﹣1（x），则函数y=f﹣1（1﹣x）的图象是（）A．B．C．D．4．（4.00分）方程3x+4x=6x解的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．（4.00分）设函数f（x）=﹣（x∈R），区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个6．（4.00分）对于定义在D上的函数f（x），点A（m，n）是f（x）图象的一个对称中心的充要条件是：对任意x∈D都有f（x）+f（2m﹣x）=2n，现给出下列三个函数：（1）f（x）=x3+2x2+3x+4（2）（3）这三个函数中，图象存在对称中心的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（每题3分）7．（3.00分）若函数y=a x（a＞0，a≠1）在区间x∈[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为．8．（3.00分）设g（x）=，则g（g（））=．9．（3.00分）已知函数y=f（x+1）的定义域为[1，3]，则f（x2）的定义域为．10．（3.00分）函数y=的值域是．11．（3.00分）幂函数f（x）=（t3﹣t+1）x3t+1是偶函数，且在（0，1）上单调递增，则f（2）=．12．（3.00分）设f（x）=log3（x+6）的反函数为f﹣1（x），若〔f﹣1（m）+6〕〔f﹣1（n）+6〕=27，则f（m+n）=．13．（3.00分）函数y=|x|﹣的值域是．14．（3.00分）已知函数，若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．15．（3.00分）函数的单调递增区间是．16．（3.00分）已知f（x）=在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．17．（3.00分）已知a，b∈R，函数f（x）=|x﹣a|+|a﹣|是偶函数，则2015﹣3ab2的取值范围是．18．（3.00分）若实数x0满足f（x0）=x0，称x0为函数f（x）的不动点．有下面三个命题：（1）若f（x）是二次函数，且没有不动点，则函数f（f（x））也没有不动点；（2）若f（x）是二次函数，则函数f（f（x））可能有4个不动点；（3）若f（x）的不动点的个数是2，则f（f（x））的不动点的个数不可能是3．它们中所有真命题的序号是．三、解答题（8+6+8+8+10）：。

2015年上海市徐汇区高一上学期数学期末考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1. 设全集U=1,3,5,7，集合M=1,a−5，∁U M=5,7，则a的值为．2. 函数f x=lg2x−4的定义域为．3. 方程lg2x+1+lg x=1的解集为．4. 函数f x=x2x≥1的反函数f−1x=．5. 已知幂函数f x的图象过2,22，则f4=．6. 已知log163=m，则用m表示log916=．7. 已知函数f x=a x−4a+3的反函数的图象经过点−1,2，那么a的值等于．8. 函数y=2x−12x+1的值域是．9. 一片人工林地，目前可采伐的木材有10万立方米，如果封山育林，该森林可采伐木材的年平均增长率为8%，则经过年，该片森林可采伐的木材将增加到50万立方米．（结果保留整数）10. 已知函数f x=x2+2x+3在m,0上的最大值为3，最小值为2，则实数m的取值范围是．11. 若关于x的不等式−x2+2x<lg t恒成立，则实数t的取值范围是．12. 已知函数f x=x+a,x≤0x+4x+a,x>0，若f0是该函数的最小值，则实数a的取值范围是．二、选择题（共4小题；共20分）13. 下列函数中，既是奇函数又在0,+∞上单调递增的是 A. y=x2B. y=x−1C. y=x 12 D. y=x1314. 命题“若x>1，则x>a”是真命题，则实数a的取值范围是 A. a>1B. a<1C. a≥1D. a≤115. 设a，b为正实数，则“a<b”是“a−1a <b−1b”成立的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件16. 最近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮着的水葫芦便会迅速增长，严重影响了市容景观，为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关，如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦面积与时间的函数关系图象，假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30 m2；③设水葫芦面积蔓延至2 m2，3 m2，6 m2所需要的时间分别为t1，t2，t3，则有t1+t2=t3；其中正确的说法有 A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③三、解答题（共5小题；共65分）17. 设集合A=x x−a<2，B= x2x−1x+2<1，若A⊆B，求实数a的取值范围．18. 已知a是实数，函数f x=x2+ax+4x是奇函数，求f x在0,+∞上的最小值及取到最小值时x的值．19. 某公司为生产某种产品添置了一套价值20000元的设备，而每生产一台这种产品所需要的原材料和劳动力等成本合计100元，已知该产品的年销售收入R（元）与年产量x（台）的关系是R x=500x−12x2,0≤x≤500 125000,x>500，x∈N．（1）把该产品的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该产品的年利润最大?最大年利润为多少元?（注：利润=销售收入−总成本）20. 已知函数f x=x+mx−1，其中m∈R．（1）当m=2时，判断f x在区间−∞,0上的单调性，并用定义证明；（2）讨论函数f x零点的个数．21. 已知集合M是满足下列性质的函数f x的全体，在定义域内存在x0，使得f x0+1=f x0+f1成立．（1）指出函数f x=kx（k≠0，k为常数）与集合M的关系?请说明理由；（2）证明：函数f x=12x+38x2∈M．答案第一部分1. 2 或 8【解析】由 U = 1,3,5,7 ，且 ∁U M = 5,7 ，得 M = 1,3 ，又因为集合 M = 1, a −5 ，所以 a −5 =3．所以实数 a 的值为 2 或 8．2. x x >2【解析】要使函数有意义，则 2x −4>0，解得 x >2，所以函数的定义域为 x x >2 ．3. 2【解析】因为 lg 2x +1 +lg x =1，所以 lg x 2x +1 =lg10，所以 x >0,2x +1>0,x 2x +1 =10,解得：x =2． 4. x x ≥1【解析】由 y =x 2 x ≥1 ，解得 x = y y ≥1 ，把 x 与 y 互换可得：y = x ，所以 f x =x 2 x ≥1 的反函数 f −1 x = x x ≥1 ．5. 12 【解析】设幂函数 f x =x a ，因为幂函数 f x 的图象过 2,22 ， 所以 22=2a ，解得 a =−12，所以 f x =x −1，故 f 4 =4−12=12． 6. 12m【解析】因为 log 163=m ， 所以 log 916=log 3216=12log 316=12m ．7. 2【解析】依题意，点 −1,2 在函数 f x =a x −4a +3 的反函数的图象上，则点 2,−1 在函数 f x =a x −4a +3 的图象上．将 x =2，y =−1，代入 y =a x −4a +3 中，解得 a =2．8. −1,1【解析】y =2x +1−22+1=1−22+1，因为x∈R，所以2x>0，所以0<22+1<2，所以−1<1−22+1<1，所以函数的值域为−1,1．9. 21【解析】设经过n年该片森林可采伐的木材将增加到50万立方米，由题意得：101+8%n=50，解得：n≈21．10. −2,−1【解析】函数f x=x2+2x+3的图象是开口朝上，且以直线x=−1为对称轴的抛物线，当x=−1时，函数取最小值2，令f x=x2+2x+3=3，则x=0或x=−2，若函数f x=x2+2x+3在m,0上的最大值为3，最小值为2，则m∈−2,−1．11. 10,+∞【解析】函数y=−x2+2x的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故当x=1时，取最大值1，若关于x的不等式−x2+2x<lg t恒成立，则1<lg t，解得：t∈10,+∞．12. −2,0【解析】因为f0是该函数的最小值，所以当x≤0时，x+a ≥ a，所以a≤0；又因为x+4x+a≥24+a=4+a（当且仅当x=2时，等号成立）；所以a ≤4+a，即−a≤4+a，故a≥−2；故实数a的取值范围是−2,0．第二部分13. D 【解析】A．函数y=x2为偶函数，在0,+∞上单调递增，不满足条件．B．y=x−1是奇函数，在0,+∞上单调递减，不满足条件．C．函数y=x 12为非奇非偶函数，在0,+∞上单调递增，不满足条件．D．函数y=x 1为奇函数，在0,+∞上单调递增，满足条件．14. D 【解析】“若x>1，则x>a”是真命题，则1,+∞⊆a,+∞，即a≤1，即实数a的取值范围是a≤1．15. C【解析】因为a，b为正实数，a<b，所以1a >1b，所以−1a <−1b，所以a−1a <b−1b，所以前者是后者的充分条件，当a−1a <b−1b时，a−b ab+1<0，因为a，b为正实数，所以a<b，所以后者是前者的必要条件．16. D 【解析】由图得其关系为指数函数，①．因图象过4,16点，所以指数函数的底数为2，故①正确；②．当t=5时，s=32>30，故②正确；③．由图得t1=log22=1，t2=log23，t3=log26，则t1+t2=t3，故③正确，综上可知①②③正确．第三部分17. 由x−a<2，得a−2<x<a+2，所以A=x a−2<x<a+2．由2x−1x+2<1，得x−3x+2<0．即−2<x<3，所以B=x−2<x<3．因为A⊆B，所以a−2≥−2,a+2≤3.解得0≤a≤1．18. 因为函数f x=x2+ax+4x是奇函数，所以x 2−ax+4−x=−x2+ax+4x，所以a=0，所以f x=x+4x，因为x>0，所以f x=x+4x ≥2 x⋅4x=4，当且仅当x=2时，f x在0,+∞上的最小值为4．19. （1）由题意y=R x−100x−20000，当0≤x≤500时，y=500x−12x2−100x−20000=−12x−4002+60000，当x>500时，y=125000−100x−20000=105000−100x，所以y=−12x−4002+60000,0≤x≤500 105000−100x,x>500．（2）当0≤x≤500时，y=−12x−4002+60000，显然当x=400时，y取最大值60000元；当x>500时，y=105000−100x，显然y随着x的增大而减小，y<105000−100⋅500=55000，所以每年生产400台时，该产品的年利润最大，最大利润为60000元．20. （1）当m=2时，f x=x+2x−1，当x<0时，f x=−x+2x−1，设x1<x2<0，则f x1−f x2=−x1+21−1− −x2+22−1=x2−x1+21−22=x2−x1x1x2+2 x1x2,因为x1<x2<0，所以x2−x1>0，x1x2>0，所以f x1−f x2>0，则f x1>f x2，即f x在区间−∞,0上的单调递减．（2）由f x=x+mx −1=0，则mx=1− x，即m=x1− x x≠0，设ℎx=x1− x=x1−x,x>0 x1+x,x<0，作出函数ℎx的图象如图：由图象得到当m>14或m<−14时，m=ℎx有1个零点，当m=−14或14或0时，m=ℎx有2个零点，当−14<m<0或0<m<14时，m=ℎx有3个零点．21. （1）f x0+1=kx0+1，f x0+f1=kx0+k，因为kx0+1=kx0+k，所以无解，故f x∉M．（2）f1=78，f2=74=78+78，故令x0=1时，满足题意，所以函数f x=12x+38x2∈M．。

2015—2016上海市高一数学期末试卷一、选择题：1. 集合{1，2，3}的真子集共有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 2. 已知角α的终边过点P (－4,3) ，则2sin cos αα+ 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．52-D ． 253. 已知扇形OAB 的圆心角为rad 4，其面积是2cm 2则该扇形的周长是( )cm.A ．8B ．6C ．4D ．2 4. 已知集合{}2,0x M y y x ==>，{})2lg(2x x y x N -==，则MN 为( )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．[)+∞,2D ．[)+∞,16. 函数 )252sin(π+=x y 是 （ ） A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 7. 右图是函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为( )A ．)32sin(2π+=x y B ．)322sin(2π+=x yC ．)32sin(2π-=x y ) D ．)32sin(2π-=x y8.已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间[2，+∞)上是增函数， 则a 的取值范围是( )A ．（]4,∞-B ．（]2,∞-C ．（]4,4-D ．（]2,4-9. 已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2(3),(1)f x f x f y f x ++==-的图象关于点(1,0)对称,则(2013)f =（ ）A ．10B ．5-C ．5D ．010. 已知函数21(0)(),()(1)(0)x x f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1)-∞C ．[0,1)D ．[0,)+∞二、填空题:11.sin 600︒= __________.12. 函数()lg 21y x =+的定义域是__________.13. 若2510a b ==，则=+ba 11__________.14. 函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数是__________.15. 函数()f x 的定义域为D ,若存在闭区间[,]a b D ⊆,使得函数()f x 满足:①()f x 在[,]a b 内是单调函 数;②()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ,则称区间[,]a b 为()y f x =的“倍值区间”.下列函数中存在 “倍值区间”的有________①)0()(2≥=x x x f ;②()()xf x e x =∈R ; ③)0(14)(2≥+=x x xx f ; ④()sin 2()f x x x R =∈三、解答题16. 已知31tan =α， （1）求：ααααsin cos 5cos 2sin -+的值（2）求：1cos sin -αα的值3讨论关于x 的方程m x f =)(解的个数。

绝密★启用前2015-2016学年上海市宝山区高一上学期期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：162分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、（2015秋•宝山区期末）给出以下命题： （1）函数f （x ）=与函数g （x ）=|x|是同一个函数；（2）函数f （x ）=a x +1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点（0，1）；（3）设指数函数f （x ）的图象如图所示，若关于x 的方程f （x ）=有负数根，则实数m 的取值范围是（1，+∞）；（4）若f （x ）=为奇函数，则f （f （﹣2））=﹣7；（5）设集合M={m|函数f （x ）=x 2﹣mx+2m 的零点为整数，m ∈R}，则M 的所有元素之和为15．其中所有正确命题的序号为（）A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（5） C．（2）（4）（5） D．（1）（3）（4）2、（2015秋•宝山区期末）“x＞y＞0，m＜n＜0“是“xm＜ny”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件3、（2015秋•宝山区期末）函数f（x）=x2﹣1（2＜x＜3）的反函数为（）A．f﹣1（x）=（3＜x＜8）B．f﹣1（x）=（3＜x＜8）C．f﹣1（x）=（4＜x＜9）D．f﹣1（x）=（4＜x＜9）4、（2015秋•宝山区期末）若f（x）=2x3+m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5、（2015秋•宝山区期末）记min{a，b，c}为实数a，b，c中最小的一个，已知函数f （x）=﹣x+1图象上的点（x1，x2+x3）满足：对一切实数t，不等式﹣t2﹣t﹣2 +4≤0均成立，如果min{﹣x1，﹣x2，﹣x3}=﹣x1，那么x1的取值范围是．6、（2015秋•宝山区期末）设常数a∈（0，1），已知f（x）=log a（x2﹣2x+6）是区间（m，m+）上的增函数，则最大负整数m的值为．7、（2015秋•宝山区期末）设log23=t，s=log672，若用含t的式子表示s，则s= ．8、（2015秋•宝山区期末）已知f（x）=x2+1是定义在闭区间[﹣1，a]上的偶函数，则f （a）的值为．9、（2015秋•宝山区期末）设命题α：x＞0，命题β：x＞m，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是．10、（2015秋•宝山区期末）若函数f（x）=x2﹣mx+3在R上存在零点，则实数m的取值范围是．11、（2015秋•宝山区期末）设常数a＞1，则f（x）=﹣x2﹣2ax+1在区间[﹣1，1]上的最大值为．12、（2015秋•宝山区期末）设x1和x2是方程x2+7x+1=0的两个根，则+x= ．13、（2015秋•宝山区期末）已知正数x，y满足xy=1，则x2+y2的最小值为．14、（2015秋•宝山区期末）函数y=x﹣2的单调增区间是．15、（2015秋•宝山区期末）函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为．16、（2015秋•宝山区期末）设集合P={﹣3，0，2，4]，集合Q={x|﹣1＜x ＜3}，则P∩Q= ．三、解答题（题型注释）17、（2015秋•宝山区期末）设函数f （x ）=|f 1（x ）﹣f 2（x ）|，其中幂函数f 1（x ）的图象过点（2，），且函数f 2（x ）=ax+b （a ，b ∈R ）．（1）当a=0，b=1时，写出函数f （x ）的单调区间；（2）设μ为常数，a 为关于x 的偶函数y=log 4[（）x +μ•2x ]（x ∈R ）的最小值，函数f （x ）在[0，4]上的最大值为u （b ），求函数u （b ）的最小值；（3）若对于任意x ∈[0，1]，均有|f 2（x ）|≤1，求代数式（a+1）（b+1）的取值范围．18、（2015秋•宝山区期末）设函数f （x ）是2x 与的平均值（x≠0．且x ，a ∈R ）．（1）当a=1时，求f （x ）在[，2]上的值域；（2）若不等式f （2x ）＜﹣2x ++1在[0，1]上恒成立，试求实数a 的取值范围；（3）设g （x ）=，是否存在正数a ，使得对于区间[﹣，]上的任意三个实数m 、n 、p ，都存在以f （g （m ）、f （g （n ））、f （g （p ））为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由．19、（2015秋•宝山区期末）设函数f （x ）=log 2（x ﹣a ）（a ∈R ）． （1）当a=2时，解方程f （x ）﹣f （x+1）=﹣1；（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1，当a=1时，试在该坐标系中作出函数y=|f （x ）|的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．20、（2015秋•宝山区期末）某公司欲制作容积为16米3，高为1米的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米1000元，侧面造价是每平方米500元，记该容器底面一边的长为x米，容器的总造价为y元．（1）试用x表示y；（2）求y的最小值及此时该容器的底面边长．21、（2015秋•宝山区期末）解不等式组：．参考答案1、D2、A3、B4、D5、6、﹣27、8、29、（﹣∞，0]10、m≥2或m≤﹣211、2a12、4713、214、（﹣∞，0）15、{x|x＜1}16、{0，2}17、（1）函数的单调增区间为：[1，+∞），单调减区间：[0，1）．（2）．（3）代数式（a+1）（b+1）的取值范围：[0，]．18、（1）[2，]；（2）a＜﹣5；（3）a的取值范围是{a|＜a＜}．19、（1）方程的解集为{3}．（2）函数的单调递减区间为为（1，2），函数的单调递增区间为[2，+∞）．20、（1）y=16000+1000（x+），x＞0；（2）该容器的最低总价是24000元，该容器的底面边长为4m．21、原不等式组的解集为（1，2）．【解析】1、试题分析：（1）根据同一函数的定义和性质进行判断．（2）根据指数函数过定点的性质进行判断．（3）根据指数函数的图象和性质先求出函数的解析式，结合指数函数的取值范围进行求解即可．（4）根据函数奇偶性的性质，利用转化法进行求解．（5）根据根与系数之间的关系进行判断即可．解：（1）函数f（x）==|x|，函数g（x）=|x|，则两个函数是同一个函数；正确．（2）∵f（0）=a0+1=1+1=2，∴函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（0，2）；故（2）错误，（3）设指数函数f（x）的图象如图所示，则设f（x）=a x，由f（1）=4得a=4，即f（x）=4x，若关于x的方程f（x）=有负数根，则当x＜0时，0＜f（x）＜1，由0＜＜1，即，即，得，即m＞1，则实数m的取值范围（1，+∞）；故（3）正确，（4）若f（x）=为奇函数，则f（0）=0，即1+t=0，即t=﹣1，即当x≥0时，f（x）=2x﹣1．则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22﹣1）=﹣3，则f（f（﹣2））=f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（23﹣1）=﹣7；故（4）正确，（5）∵函数f（x）=x2﹣mx+2m的零点为整数，∴判别式△=m2﹣8m≥0，解得m≥8或m≤0，x1+x2=m，x1x2=2m，则此时无法确定m的取值，即M的所有元素之和为15不正确，故（6）错误．故所有正确命题的序号为（1）（3）（4）．故答案为：（1）（3）（4）．考点：命题的真假判断与应用．2、试题分析：根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若x＞y＞0，m＜n＜0，则x＞y＞0，﹣m＞﹣n＞0，则﹣mx＞﹣ny＞0，得xm＜ny＜0，则xm＜ny成立，若x=3，y=2，m=n=﹣1，明显xm＜ny，但m＜n＜0不成立，即必要性不成立，即“x＞y＞0，m＜n＜0“是“xm＜ny”的充分不必要条件，故选：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．3、试题分析：用y表示出x，互换x，y得出解析式，反函数的定义域为f（x）的值域．解：∵2＜x＜3，∴f（2）＜f（x）＜f（3），即3＜f（x）＜8．∴f﹣1（x）的定义域是（3，8）．∵x＞0，由y=x2﹣1得x=，∴f﹣1（x）=，故选：B．考点：反函数．4、试题分析：由解析式求出函数的定义域，由奇函数的结论：f（0）=0，代入列出方程求出m．解：∵f（x）=2x3+m为奇函数，且定义域是R，∴f（0）=0+m=0，即m=0，故选：D．考点：函数奇偶性的性质．5、试题分析：函数f（x）=﹣x+1图象上的点（x1，x2+x3），可得x2+x3=﹣x1+1．由于min{﹣x1，﹣x2，﹣x3}=﹣x1，可得﹣x2＞﹣x1，﹣x3≥﹣x1，可得x1．对一切实数t，不等式﹣t2﹣t﹣2+4≤0均成立，可得△≤0，化为：≤0，解出即可得出．解：函数f（x）=﹣x+1图象上的点（x1，x2+x3），∴x2+x3=﹣x1+1．∵min{﹣x1，﹣x2，﹣x3}=﹣x1，∴﹣x2＞﹣x1，﹣x3≥﹣x1，∴x2≤x1，x3≤x1，∴﹣x1+1≤2x1，解得x1．对一切实数t，不等式﹣t2﹣t﹣2+4≤0均成立，∴△=+4（4﹣2）≤0，化为：≤0，∴≤﹣，或≥﹣，∵x2+x3=﹣x1+1，∴2（）≥=，∴≤﹣≤3﹣，及x1，解得≤x1≤．或≥﹣，则++﹣3≥+﹣3≥0，及x1，解得．综上可得：x1的取值范围是．故答案为：．考点：不等式比较大小．6、试题分析：根据对数函数的单调性结合函数单调性的关系，转化为一元二次函数的性质，进行求解即可．解：设t=x2﹣2x+6，则t=（x﹣1）2+5＞0，则函数的定义域为（﹣∞，+∞），∵a∈（0，1），∴y=log a t为增函数，若f（x）=log a（x2﹣2x+6）是区间（m，m+）上的增函数，则等价为t=x2﹣2x+6是区间（m，m+）上的减函数，则m+≤1，即m≤1﹣=﹣，∵m是整数，∴最大的整数m=﹣2，故答案为：﹣2考点：复合函数的单调性；对数函数的图象与性质．7、试题分析：利用换底公式以及导数的运算法则化简S，然后求出结果．解：log23=t，s=log672===．故答案为：．考点：对数的运算性质．8、试题分析：根据偶函数的对称性可知a=1，代入解析式计算即可．解：∵f（x）=x2+1是定义在闭区间[﹣1，a]上的偶函数，∴a=1．∴f（a）=f（1）=2．故答案为：2．考点：二次函数的性质．9、试题分析：根据不等式的关系结合充分条件的定义进行求解即可．解：若α是β的充分条件，则m≤0，故答案为：（﹣∞，0]考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．10、试题分析：可转化为x2﹣mx+3=0有解，从而解得．解：∵函数f（x）=x2﹣mx+3在R上存在零点，∴x2﹣mx+3=0有解，∴△=m2﹣4×3≥0，解得，m≥2或m≤﹣2，故答案为：m≥2或m≤﹣2．考点：函数零点的判定定理．11、试题分析：根据a的范围判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，利用单调性求出最大值．解：f（x）的图象开口向下，对称轴为x=﹣a＜﹣1，∴f（x）在[﹣1，1]上是减函数，∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（﹣1）=2a．故答案为2a．考点：二次函数的性质．12、试题分析：由韦达定理可得x1+x2=﹣7，x1•x2=1，再由+x=（x1+x2）2﹣2x1•x2，可得答案．解：∵x1和x2是方程x2+7x+1=0的两个根，∴x1+x2=﹣7，x1•x2=1，∴+x=（x1+x2）2﹣2x1•x2=49﹣2=47，故答案为：47考点：根与系数的关系．13、试题分析：由x，y＞0，xy=1，可得x2+y2≥2xy，即可得到所求最小值．解：正数x，y满足xy=1，则x2+y2≥2xy=2，当且仅当x=y=1时，取得最小值，且为2．故答案为：2．考点：基本不等式在最值问题中的应用．14、试题分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．解：函数y=x﹣2为偶函数，在（0，+∞）内为减函数，则在（﹣∞，0）内为增函数，故函数的增区间为（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）考点：函数的单调性及单调区间．15、试题分析：要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义，只需对数的真数大于0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式．解：要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义则1﹣x＞0即x＜1∴函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}故答案为：{x|x＜1}考点：对数函数的定义域．16、试题分析：由P与Q，找出两集合的交集即可．解：∵P={﹣3，0，2，4]，集合Q={x|﹣1＜x＜3}，∴P∩Q={0，2}，故答案为：{0，2}考点：交集及其运算．17、试题分析：（1）求出幂函数的解析式以及一次函数的解析式，化简函数f（x），然后求解单调区间．（2）利用偶函数求出μ，求出最小值a，求出函数的最大值的表达式，然后再求解最大值的表达式的最小值．（3）利用已知条件，转化求出b的范围，然后通过基本不等式以及函数的最值，通过分类讨论求解即可．解：（1）幂函数f1（x）的图象过点（2，），可得，a=．f1（x）=，函数f2（x）=1．函数f（x）=|﹣1|=，函数的单调增区间为：[1，+∞），单调减区间：[0，1）．（2）y=log4[（）x+μ•2x]是偶函数，可得log4[（）x+μ•2x]=log4[（）﹣x+μ•2﹣x]，可得μ=1．∴y=log4[（）x+2x]，（）x+2x≥2，当且仅当x=0，函数取得最小值a=．f1（x）=，函数f2（x）=+b．函数f（x）=|f1（x）﹣f2（x）|=|﹣b|，x∈[0，4]，令h（x）=﹣b，x∈[0，4]，h′（x）=，令=0，解得x=1，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0函数是增函数，当x∈（1，4）时，h′（x）＜0，函数是减函数．h（x）的极大值为：h（1）=，最小值为h（0）=h（4）=﹣b，函数f（x）在[0，4]上的最大值为u（b）=，函数u（b）的最小值：．（3）对于任意x∈[0，1]，均有|f2（x）|≤1，即对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，当a＞0时，显然b≥1不成立，①当1＞b≥0时，对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，0≤a≤1，可得0＜a+b≤1，则（a+1）（b+1）≤≤，此时a=b=．（a+1）（b+1）∈[1，]．②b∈[﹣，0），对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，转化为：0≤a+b≤1，则（a+1）（b+1）∈[，2），a=1，b=0时（a+1）（b+1）取最大值2．a=，b=﹣，（a+1）（b+1）取得最小值．③b∈[﹣1，﹣），对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，转化为：x=0，|b|≤1恒成立．﹣1＜a+b≤1，（a+1）＞0，（b+1）＞0，则（a+1）（b+1）≤，≤≤，则（a+1）（b+1）∈[，]，④当b＜﹣1时，对于任意x∈[0，1]，|ax+b|≤1，不恒成立．当a=0时，可得|b|≤1，（a+1）（b+1）∈[0，2]．当a＜0时，如果|b|＞1，对于任意x∈[0，1]，不恒有|ax+b|≤1，则|b|≤1，当0≤b≤1时，a∈[﹣1，0）对于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，a+1∈[0，1），b+1∈[1，2]．（a+1）（b+1）∈[0，2）．﹣1＜b＜0，可得|a+b|≤1．可得﹣1≤a+b≤1，a+1∈[0，1），b+1∈（0，1）．（a+1）（b+1）∈（0，1）．综上：代数式（a+1）（b+1）的取值范围：[0，]．考点：利用导数研究函数的单调性；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；函数与方程的综合运用；导数在最大值、最小值问题中的应用．18、试题分析：（1）当a=1时，f（x）=x+，结合对勾函数的图象和性质，可得f（x）在[，2]上的值域；（2）若不等式f（2x）＜﹣2x++1在[0，1]上恒成立，即a＜﹣2（2x）2+1+2x在[0，1]上恒成立，令t=2x，则t∈[1，2]，y=﹣2t2+t+1，结合二次函数的图象和性质，求出函数的最小值，可得实数a的取值范围；（3）换元，原问题等价于求实数a的范围，使得函数在给定的区间上，恒有2y min＞y max 解：（1）∵函数f（x）是2x与的平均值，∴f（x）=x+，当a=1时，f（x）=x+，在[，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数，∴当x=，或x=2时，函数最最大值，当x=1时，函数取最小值2，故f（x）在[，2]上的值域为[2，]；（2）若不等式f（2x）＜﹣2x++1在[0，1]上恒成立，即2x+＜﹣2x++1在[0，1]上恒成立，即a＜﹣2（2x）2+1+2x在[0，1]上恒成立，令t=2x，则t∈[1，2]，y=﹣2t2+t+1，由y=﹣2t2+t+1的图象是开口朝下，且以直线t=为对称轴的抛物线，故当t=2，即x=1时，函数取最小值﹣5，故a＜﹣5；（3）设t=g（x）==，∵x∈[﹣，]，∴t∈[，1]，则y=t+；原问题转化为求实数a的取值范围，使得y在区间[，1]上，恒有2y min＞y max．讨论：①当＜a≤时，y=t+在[，]上单调递减，在[，1]上单调递增，∴y min=2，y max=max{3a+，a+1}=a+1，由2y min＞y max得7﹣4＜a＜7+4，∴＜a≤；②当＜a＜1时，y=t+在[，]上单调递减，在[，1]上单调递增，∴y min=2，y max=max{3a+，a+1}=3a+，由2y min＞y max得＜a＜，∴＜a＜1；③当a≥1时，y=t+在[，1]上单调递减，∴y min=a+1，y max=3a+，由2y min＞y max得a＜，∴1≤a＜；综上，a的取值范围是{a|＜a＜}．考点：函数恒成立问题；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．19、试题分析：（1）当a=2，根据对数方程的性质解方程即可得到结论．（2）根据对数函数的性质，结合对数函数的性质进行求解即可．解：（1）当a=2时，f（x）=log2（x﹣2），则方程f（x）﹣f（x+1）=﹣1等价为log2（x﹣2）﹣log2（x﹣1）=﹣1，即1+log2（x﹣2）=log2（x﹣1），即log22（x﹣2）=log2（x﹣1），则2（x﹣2）=x﹣1，即x=3，此时log2（3﹣2）﹣log2（3﹣1）=0﹣1=﹣1，方程成立．即方程的解集为{3}．（2）当a=1时，f（x）=log2（x﹣1），则y=|log2（x﹣1）|=，则对应的图形为，则函数的定义域为（1，+∞），函数的值域为[0，+∞），函数为非奇非偶函数，函数的单调递减区间为为（1，2），函数的单调递增区间为[2，+∞）．考点：对数函数的图象与性质．20、试题分析：（1）设长方体容器的长为xm，宽为zm；从而可得xz=16，从而写出该容器的造价为y=1000xz+500（x+x+z+z）；（2）利用基本不等式，可得x+≥2，即可得到所求的最值和对应的x的值．解：（1）由容器底面一边的长为x米，设宽为zm，则x•z•1=16，即xz=16，即z=，则该容器的造价y=1000xz+500（x+x+z+z）=16000+1000（x+z）=16000+1000（x+），x＞0；（2）由16000+1000（x+）≥16000+1000×2=16000+8000=24000．（当且仅当x=z=4时，等号成立）故该容器的最低总价是24000元，此时该容器的底面边长为4m．考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法．21、试题分析：由条件利用分式不等式、绝对值不等式的解法，等价转化，求得x的范围．解：不等式组，即，即，求得1＜x＜2，即原不等式组的解集为（1，2）．考点：其他不等式的解法．。

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上海市浦东新区2014—2015学年高一上学期期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分)本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分,否则一律得零分。

1．已知集合A=｛﹣1，1，2，4｝,B={﹣1，0,2}，则A∪B=________．2．“若，则”是（真或假）命题________．3．函数的定义域为________．4．命题“若x≠3且x≠4，则x2﹣7x+12≠0”的逆否命题是________．5．已知f（x）=x，g(x)=,则f（x）•g（x）=________．6．若幂函数f(x）的图象经过点，则f（x）=________．7．若函数f（x)=（）x+m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是________．8．设函数y=f（x）在区间［﹣2，a]上是奇函数，若f（﹣2）=11，则f（a）=________．9．设x＞0，则x+的最小值为________．10．已知y=f（x）是R上的偶函数,且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a)≥f(2)，则a的取值范围是________．11．已知关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集为｛x|1＜x＜2｝,则不等式c（2x+1）2+b（2x+1)+a ＞0的解集为________．12．近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮在大片的水葫芦，严重影响了黄浦江的水利、水质、航运和市容景观．为了解决这个环境问题,科研人员进行科研攻关．如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30m2;③水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3;其中正确的说法有________．（请把正确的说法的序号都填在横线上）．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得3分,不选、错选或者选出的代号超过一个（不论代号是否都写在圆括号内)，一律得零分.13．下列命题中正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞b C．若，则a＞b D．若,则a＞b14．设命题甲为:0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件15．若集合M={y|y=2﹣x｝，P=｛y｜y=}，则M∩P=（）A．{y|y＞1} B．｛y|y≥1｝C．｛y｜y＞0｝D．｛y｜y≥0}16．函数的图象是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．解不等式组．18．已知函数，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19．设集合A=｛x|x2+4x=0，x∈R｝，B={x|x2+2(a+1）x+a2﹣1=0，x∈R｝，（1）若A∩B=A∪B，求实数a的值;（2）若A∩B=B,求实数a的取值范围．20．将长为12米的钢筋截成12段，做成底面为正方形的长方体水箱骨架，设水箱的高h，底面边长x，水箱的表面积（各个面的面积之和)为S．（1）将S表示成x的函数；(2)根据实际需要，底面边长不小于0。

上师大附中2015学年第一学期期末考试高一年级 数学学科（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 若函数()()2=-af x a x 是幂函数，则a =__________．【答案】3 【解析】 【分析】根据幂函数定义,即可求得a 的值.【详解】函数()()2=-af x a x 是幂函数由幂函数定义可知21a -= 所以3a = 故答案为:3【点睛】本题考查了幂函数定义,由幂函数定义求参数,属于基础题.2. 已知集合{}|3,=∈R ≤A x x x ，{}|10,=-∈N ≥B x x x ，则A B =∩__________． 【答案】{}1,2,3 【解析】 【分析】先表示出集合B,根据交集运算即可求得解.【详解】集合{}|3,=∈R ≤A x x x ,{}|10,=-∈N ≥B x x x 所以{}|1,B x x x =≤∈N所以由交集运算可得{}1,2,3A B =∩ 故答案为: {}1,2,3【点睛】本题考查了交集的简单运算,注意集合中对数集的特殊要求,属于基础题.3. 已知函数()2,1,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()2f x =，则x =__________．【分析】根据分段函数,分类讨论即可解方程求得x 的值,注意舍去不符合要求的解.【详解】函数()2,1,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩,若()2f x = 当1x ≤时,()2xf x =,即22x =,解得1x =,符合题意;当1x >时,()f x x =-,即2x -=,解得2x =-,不符合题意; 综上可知,1x = 故答案为:1【点睛】本题考查了分段函数的简单应用,根据函数值求自变量,属于基础题. 4. 已知函数()2log f x x =，若4a b =，则()()-=f a f b __________． 【答案】2 【解析】 【分析】将,a b 代入解析式作差,结合4a b =及对数运算,化简即可得解. 【详解】函数()2log f x x =,若4a b = 由对数的运算可得()()f a f b -2222log log log 4log a b b b =-=-24log bb= 2log 42==故答案:2【点睛】本题考查了对数的简单运算,属于基础题.5. 函数y =____________________． 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦求得函数定义域,再根据互为反函数时两个函数定义域与值域关系,即可得反函数的值域.【详解】函数y =的定义域满足120x -≥, 解得12x ≤,即定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦根据互为反函数的两个函数定义域与值域关系可知,函数y =y =的定义域所以函数y =1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故答案为: 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了反函数的性质及简单应用,属于基础题.6. 已知()y f x =是奇函数. 若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=_______. 【答案】3 【解析】 【分析】【详解】()y f x =是奇函数，则(1)(1)f f -=-，(1)(1)(1)(1)44g g f f +-=+-+=, 所以(1)4(1)3g g -=-=.7. 方程3log 30x x +-=的解所在区间是()(),1k k k +∈Z ，则k =__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据方程与函数关系,构造函数()3log 3f x x x =+-.结合零点存在定理及函数单调性,即可求得零点所在的相邻整数区间,进而求得k 的值. 【详解】方程3log 30x x +-=令函数()3log 3f x x x =+-则()332log 223log 210f =+-=-<()33log 33310f =+-=>而函数()3log 3f x x x =+-在()0,∞+内单调递增 根据零点存在定理可知,函数零点在()2,3内 所以由题意可得2k = 故答案为:2【点睛】本题考查了函数与方程的关系,函数零点存在定理的简单应用,注意需判断函数的单调性,才能确定零点的唯一性,属于基础题.8. 方程13313x x-+=+的解是______________________ 【答案】1x =- 【解析】 【分析】对等式左边分子分母上下乘以3x ，然后去分母，解方程求得x 的值.【详解】等式左边分子分母上下乘以3x得231333x x x+=+，即2313333x x x +=⋅+⋅，即2332310x x⋅+⋅-=，()()331310xx ⋅-+=，即113310,33,13x x x -⋅-====-. 【点睛】本小题主要考查指数运算，考查因式分解，考查指数方程的解法，属于基础题. 9. 下列命题中的真命题的序号为_________ ①函数1y x=的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞；②当0n >时，幂函数ny x =是定义域上的增函数； ③函数21(1)y ax a =+>的值域是(0,)+∞；④222log 2log x x =；⑤若函数()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 【答案】⑤【解析】 【分析】根据函数的性质对各个选项进行逐一分析，找出其中正确的选项即可. 【详解】①函数1y x =的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞，,在定义域内函数1y x=不是单调函数,所以①不正确.②当0n >时，幂函数n y x =是(0,)+∞上的增函数，例如2=3n 时函数n y x =在(,0)-∞上是减函数，所以②不正确.③ 函数21(1)y ax a =+>的值域是[1,)+∞,所以③不正确.④ 当0x <时，2222log =2log ()log x x x -≠，所以④不正确.⑤根据函数图象的对称性结论可得：()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以⑤正确. 故答案：⑤.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及函数的概念和性质，属于基础题.10. 稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为_________元． 【答案】2800 【解析】试题分析：由题可知，当纳税280元时，代入第一个计算公式中，可得出，此时每次收入额为2800元，因为2800<4000，故满足题意，而代入到第二个计算公式中，得到，此时每次收入额为2500元，因为2500<4000，故不满足题意，舍去； 考点：分段函数的取值范围11. 定义区间(),c d ，[),c d ，(],c d ，[],c d 的长度均为d c -，其中.d c >已知函数21xy =-的定义域为[],a b ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差______．【答案】1 【解析】 【分析】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=12，x=﹣1或322log ，求出区间[a ，b ]长度的最大值与最小值，即可得出结论．【详解】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=12，x=﹣1或322log ，故[a ，b ]的长度的最大值为322log ﹣（﹣1）=322log+1，最小值为322log﹣0=322log，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1，故答案为1．【点睛】考查学生理解掌握指数函数定义域和值域能力，运用指数函数图象增减性解决数学问题的能力．12. 函数()2xf x =和()3g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x <．若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且a ，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12b ∈，则a b +=__________．【答案】10 【解析】 【分析】根据解析式与图像,判断12,C C 分别对应的解析式.根据零点存在定理,可判断两个交点所在的整数区间,即可求得,a b 的值,进而求得+a b .【详解】根据函数()2xf x =过定点0,1,所以2C 对应函数()2xf x =;函数()3g x x =过()0,0,所以1C 对应函数()3g x x =因为()()()(),2211g f g f <> 所以由图像可知[]11,2x ∈,故1a = 因为()()()()9900,11g f g f >< 所以由图像可知[]29,10x ∈,故9b = 所以10a b += 故答案为:10【点睛】本题考查了指数函数与幂函数的图像与性质应用,数形结合思想的应用,函数零点存在定理的应用, 13. 已知函数()y f x =存在反函数()1y fx -=，若函数()1=+y f x x的图像经过点()1,2，则函数()11y f x x-=-的图像经过点__________．【答案】()1,0 【解析】【分析】根据函数图像过点()1,2,可求得函数()y f x =过的定点.结合反函数性质即可求得反函数过的定点.再令1x =,代入函数()11y f x x-=-,即可确定所过定点坐标.【详解】函数()1=+y f x x的图像经过点()1,2代入可得()211f =+,解得()11f =,即函数()y f x =过()1,1 根据互为反函数的图像与性质,可知()1y f x -=经过()1,1,即()111f -=所以当1x =时,代入()11y f x x-=-可得()1110y f -=-= 即()11y fx x-=-过点()1,0 故答案为: ()1,0【点睛】本题考查了反函数的性质与应用,函数所过定点的求法,属于基础题.14. 已知()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，其中a 是方程lg 4x x +=的解，b 是方程104x x +=的解，如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ，2x ，…，n x ，记121==+++∑ni n i x x x x ，则1nii x==∑__________．【答案】1- 【解析】 【分析】根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解.【详解】a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像交点的横坐标因为lg y x =和10xy =互为反函数,所以函数lg y x =和10xy =图像关于y x =对称所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像的两个交点也关于y x =对称所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩根据中点坐标公式可得4a b +=所以函数()242,02,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩当0x ≤时,()242f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++=解得2,1x x =-=-当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x = 所以()()12121ni i x ==-+-+=-∑故答案为:1-【点睛】本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的人号超过一个，一律得零分．15. 4个孩子在黄老师的后院玩球，突然传来一阵打碎玻璃的响声，黄老师跑去察看，发现一扇窗户玻璃被打破了，老师问：“谁打破的？”宝宝说：“是可可打破的．”可可说：“是毛毛打破的．”毛毛说：“可可说谎．”多多说：“我没有打破窗子．”如果只有一个小孩说的是实话，那么打碎玻璃的是（ ） A. 宝宝 B. 可可C. 多多D. 毛毛【答案】C【解析】 【分析】根据题意,分别假设四个人打碎玻璃,结合他们的对话,得矛盾,即可得解.【详解】假设是宝宝打碎玻璃,则宝宝说谎话,可可说谎话,毛毛说实话,多多说实话,与题意只有一个小孩说实话矛盾,所以假设不成立,即宝宝没有打碎玻璃;假设是可可打碎玻璃,则宝宝说实话,可可说谎话,毛毛说实话,多多说实话,与题意只有一个小孩说实话矛盾,所以假设不成立,即可可没有打碎玻璃;假设是多多打碎玻璃,则宝宝说谎话,可可说谎话,毛毛说实话,多多说谎话,与题意只有一个小孩说实话相符,所以假设成立,即多多打碎玻璃;假设是毛毛打碎玻璃,则宝宝说谎话,可可说实话,毛毛说谎话,多多说实话,与题意只有一个小孩说实话矛盾,所以假设不成立,即毛毛没有打碎玻璃; 综上可知,是多多打碎玻璃 故选:C【点睛】本题考查了推理的简单应用,假设问题并推出矛盾,属于基础题.16. 幂函数1y x -=，y x =及直线1y =，1x =将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么幂函数32y x-=的图像在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A. Ⅳ和ⅦB. Ⅳ和ⅧC. Ⅲ和ⅧD. Ⅲ和Ⅶ【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的图像与性质,结合当指数变化时的规律,即可判断出32y x -=的图像在第一象限中经过的“卦限”【详解】在直线1x =左侧,幂函数的指数越大月接近y 轴.因为312-<-,所以32y x -=在1x =左侧部分位于1y x -=的右侧,即Ⅲ 内;在直线1x =右侧,幂函数的指数越小越接近x 轴,因为312-<-,所以32y x -=在1x =右侧部分位于1y x -=的下方侧,即Ⅶ 内; 综上可知, 函数32y x -=的图像在第一象限中经过的“卦限”是Ⅲ 和Ⅶ故选:D【点睛】本题考查了幂函数的图像与性质,幂函数的图像与指数的变化关系,属于中档题.17. 下列四类函数中，具有性质“对任意的0x >，0y >，函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=”的是（ ） A. 幂函数B. 对数函数C. 指数函数D. 正比例函数【答案】C【解析】【分析】根据四种函数的运算性质,设出解析式,代入即可判断是否满足等式()()()f x y f x f y +=.【详解】设幂函数()f x x α=,则()()f x y x y α+=+,()f y y α=.则()()()f x f y x y xy ααα=⋅=所以()()()f x y f x f y +≠,故A 错误;设对数函数()log a f x x =,(0a >且1a ≠)则()()log a f x y x y +=+,()log a f y y =,则()()log log a a f x f y x y =⋅,所以()()()f x y f x f y +≠,故B 错误;设指数函数()xf x a = (0a >且1a ≠),则()x y f x y a ++=,()y f y a =,则()()x y f x f y a +=,所以()()()f x y f x f y +=,所以C 正确;设正比例函数为()f x kx =(0k ≠),则()()f x y k x y +=+,()f y ky =,()()2f x f y kx ky k xy =⨯=,所以()()()f x y f x f y +≠,故D 错误.综上可知,正确的为C故选:C【点睛】本题考查了函数的性质与运算律的判断,注意区分各种函数的性质,属于基础题.18. 如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数(0,1)x y a a a =>≠且及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A. 1a b <<B. 1b a <<C. 1b a >>D. 1a b >>【答案】A【解析】【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解.【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数x y a =，即1313a =，解得127a =， 把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19. 已知关于x 的不等式230-+>ax bx 的解集为()3,1-（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）解关于x 的不等式：()1log 212-≤b ax ． 【答案】（Ⅰ）1,2a b =-= （Ⅱ）15,22⎛⎤⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（Ⅰ）根据不等式与方程关系,结合韦达定理,即可求得a ,b 的值;（Ⅱ）将a ,b 的值代入,结合对数函数的图像与性质解不等式即可.【详解】（Ⅰ）不等式230-+>ax bx 的解集为()3,1-即方程230ax bx -+=的两个根为3,1x x =-=由韦达定理可得233b a a-⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 解得12a b =-⎧⎨=⎩即1,2a b =-=（Ⅱ）将1,2a b =-=代入不等式可得()211log 212x --≤ 即()2log 212x -≤,变形为()22log 21log 4x -≤由对数的图像与性质可得210214x x ->⎧⎨-≤⎩ 解得1522x <≤ 即不等式的解集为15,22⎛⎤⎥⎝⎦ 【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系,对数不等式的解法,属于基础题.20. 已知函数()()()f x x x a a =⋅+∈R 的奇函数．（Ⅰ）求a 的值．（Ⅱ）设0b >，若函数()f x 在区间[],b b -上最大值与最小值的差为b ，求b 的值．【答案】（Ⅰ）0a =；（Ⅱ）12b =. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由奇函数的定义()() f x f x -=-求解得0a =； （Ⅱ）判断函数()f x 在R 上为单调增函数，进而有()()f b f b b --=，代入求解即可.试题解析：（Ⅰ）∵()f x 奇函数，∴()()()()f x x a x f x x x a -=-⋅-=-=-⋅+，∴a x x a -=--，∴0a =．（Ⅱ）∵()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，∴()f x 在R 上为单调增函数，又∵0b >，∴()()f b f b b --=，∴()2f b b =，即22b b =， ∴12b =． 21. 今有一长2米宽1米的矩形铁皮，如图，在四个角上分别截去一个边长为x 米的正方形后，沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱(接口连接问题不考虑)．(Ⅰ)求水箱容积的表达式()f x ，并指出函数()f x 的定义域；(Ⅱ)若要使水箱容积不大于34x 立方米的同时，又使得底面积最大，求x 的值．【答案】(1) {x |0＜x ＜12} (2)13 【解析】【分析】【详解】(Ⅰ)由已知该长方体形水箱高为x 米，底面矩形长为(2－2x )米，宽(1－2x )米．∴该水箱容积为f (x )＝(2－2x )(1－2x )x ＝4x 3－6x 2＋2x其中正数x 满足220{120x x ->->∴0＜x ＜12. ∴所求函数f (x )定义域为{x |0＜x ＜12}． (Ⅱ)由f (x )≤4x 3，得x ≤ 0或x ≥13， ∵定义域为{x |0＜x ＜12}，∴13≤x ＜12.此时的底面积为S (x )＝(2－2x )(1－2x )＝4x 2－6x ＋2(x ∈[13，12))．由S (x )＝4(x －34)2－14， 可知S (x )在[13，12)上是单调减函数， ∴x ＝13.即满足条件的x 是13. 22. 设函数2()log f x x =.(1) 解不等式(1)()1f x f x -+>；(2) 设函数()(21)x g x f kx =++，若函数()g x 为偶函数，求实数k 的值；(3) 当[2,3]x t t ∈++时，是否存在实数t （其中01t <<），使得不等式1()(3)1f f x t x t --≤-恒成立？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）(2,)+∞：（2）12k =-；（3）不存在t ． 【解析】试题分析:（1）根据对数运算法则以及单调性将不等式转化为二次不等式，注意对数真数大于零限制条件，解得不等式解集，（2）根据偶函数性质以及对数运算法则解得k ，（3）先化简不等式，根据对数单调性画出一元二次不等式恒成立问题，再根据二次函数最值转化为关于t 的不等式，解得t 的集合为空集，即不存在. 试题解析：（1）()22log log 12x x +->，()22log 1log 2x x ∴->，则()01012x x x x ⎧>⎪->⎨⎪->⎩，解得2x >，即()()11f x f x -+>的解集为()2,+∞；（2） ()()g x g x -=，即()()22log 21log 21x x kx kx -+-=++， 整理，得()210k x +=，12k =-； （3）()()()2221log log 3log 31x t x t x t x t--=--≤-， 等价于()()()1322h x x t x t ≤=--≤恒成立， 解()()()()max min 132,22h x h t h x h t =+≤=+≥，得77,86t t ≤≥， 综上，不存在t 符合题意.23. 如果存在非零常数C ，对于函数()y f x =定义域上的任意x ，都有()()+>f x C f x 成立，那么称函数为“Z 函数”．（Ⅰ）若()2x g x =，()2h x x =，试判断函数()g x 和()h x 是否是“Z 函数”？若是，请证明：若不是，主说明理由：（Ⅱ）求证：若()()y f x x =∈R 是单调函数，则它是“Z 函数”；（Ⅲ）若函数()3223=++f x ax x 是“Z 函数”，求实数a 满足的条件．【答案】（Ⅰ）()2x g x =是“Z 函数”, ()2h x x =不是“Z 函数”.理由见解析;（Ⅱ）证明见解析;（Ⅲ）0a ≠ 【解析】【分析】（Ⅰ）根据定义,代入解析式解不等式,分析是否存在C 使得不等式恒成立,即可判断是否是“Z 函数”.（Ⅱ）讨论函数()f x 单调递增与单调递减两种情况,结合函数单调的性质即可证明()f x 是 “Z 函数”； （Ⅲ）根据题意可知()f x 为单调函数.代入()()+>f x C f x 后变形,可得关于x 的一元二次不等式,结合二次函数恒成立的解法,即可求得a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）()2x g x =是“Z 函数”, ()2h x x =不是“Z 函数”.理由如下: 若()2xg x =是“Z 函数” 则满足()()g x C g x +>即22x C x +>,所以x C x +>解得0C >,即存在0C >使()2xg x =是“Z 函数” 若()2h x x =是“Z 函数” 则满足()()h x C h x +>即()22x C x +>,化简得220Cx C +>当0C >时,20x C +>不能恒成立当0C <时,20x C +<不能恒成立,综上可知,()2h x x =不是“Z 函数”（Ⅱ）证明:因为()()y f x x R =∈是单调函数,则为单调递增函数或单调递减函数.若()()y f x x R =∈是单调递增函数,则当0C >时,都有()()+>f x C f x 成立,函数()y f x =为“Z 函数” 若()()y f x x R =∈是单调递减函数,则当0C <时,都有()()+>f x C f x 成立,函数()y f x =为“Z 函数” 综上可知,当()()y f x x =∈R 为单调函数时,则它是“Z 函数”（Ⅲ）若函数()3223=++f x ax x 是“Z 函数”,由()()+>f x C f x ，则()()32322323a x C x C ax x ++++>++化简可得()()223233420aCx aC C x aC C ++++>恒成立 由二次函数性质可知满足()()223230341220aC aC C aC aC C >⎧⎪⎨∆=+-+<⎪⎩解得03aC aC >⎧⎪⎨>⎪⎩所以0a C >⎧⎪⎨>⎪⎩0a C <⎧⎪⎨<⎪⎩即0a ≠时,总存在C 满足函数()3223=++f x ax x 是“Z 函数”所以a 满足的条件为0a ≠【点睛】本题考查了函数单调性的证明与性质综合应用,新定义形式在函数中的考查,二次函数恒成立问题的应用,属于中档题.。

2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一年级上学期期末考试数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．函数写出命题“若00x y >>且，则220x y +>”的否命题 【答案】若00022≤+≤≤y x y x ，则或 2．已知集合{}1,A x =，{}21,B x =且A B =，则x =【答案】0【解析】2x x =，则0x =或1x =-(舍，由于不符合集合互异性) 3．若集合{}2M x x =<，{}lg(1)N x y x ==-，则M N =I【答案】)2,1(【解析】{}22M x =-＜＜ }{N=1x ＞4．已知实数,a b 满足222a b +=，则ab 的最大值为 【答案】1【解析】2222ab a b ≤+= 1ab ∴≤ 5．函数31()lg 1xf x x x-=++的奇偶性为 【答案】奇函数 【解析】先求定义域101xx-+＞ 11x ∴-＜＜ 又()()()()()2311lglg 11x xf x xx f x x x----=-+=--=-+-+Q()f x ∴为奇函数6． 函数()2234x x x f --⎪⎭⎫ ⎝⎛=π的单调递增区间是【答案】（-3,-1）【解析】014πQ ＜＜且定义域为2320x x --＞，即31x -＜＜∴增区间为（-3，-1）7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0 的x 的取值范围是 【答案】)2,2(-【解析】Q ()f x 为偶函数 ()20f ∴-= 又](,0-∞Q 是减 ](2,0∴-上()0f x ＜由于关于y 轴对称，()0,2∴上()0f x ＜8．已知关于x 的方程265x x a -+=有四个不相等的实数根，则a 的取值范围是 【答案】)4,0( 【解析】9．函数133,0()31,0x x x f x x ⎧⎪+≤=⎨⎪+>⎩，若()2f a >，则实数a 的取值范围是【答案】()-1∞，+【解析】130321x x x ≤+>>-当时，解得012x x >+>当时，3恒成立()1,x ∈-+∞综上，10．若函数2x by x -=+在(,4)(2)a b b +<-上的值域为(2,)+∞，则b a += 【答案】6- 【解析】2(2)2()122x b bf x y x x +-++===-++ ()2,+∞在上单调递减2,(4)24a f b b ∴=-+==-解得6a b ∴+=-11．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩ð，这里U A ð表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合U B A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 （1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()UA A f x f x =-ð（3）()()()A B A B f x f x f x =⋅I （4）()()()A B A B f x f x f x =+U 【答案】（1）（2）（3） 【解析】12．对任意的120x x <<，若函数12()f x a x x b x x =-+- 的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的 射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的 条件是 【答案】0,0=+>-b a b a 【解析】(1),()()1()()0()()0,()1()()()()(1)1,(2)()1(),(2)0,(3)()U A B U A B U A B A B A B U C A A A B A B x A x B f x f x x A x B x C B f x f x x A x B x C A B f x f x f x f x f x f x x C Af x f x x A f x ⋂⊆∈∈==∉∉∈==∉∈∈⋂==≤≤∈⎧==-⎨∈⎩Q 分类讨论：①当，则，此时，②当，且，即此时，③当，且，即时，，此时，综合有，故正确。

上海市行知中学2015—2016学年第一学期期末考试高一年级 数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分。

1、已知全集U R =，集合()1,A =+∞，则U C A =________________________2、终边落在x 轴负半轴的角的全体组成的集合________________________3、函数2log y x =的零点是________________________4、方程2121x -=的解为________________________5、函数()()lg 1,2y x x =->的反函数是________________________6、已知{}2,1,3m ∈-，若函数()222m m f x x +-=是偶函数，则m =________________________7、函数()()2lg 2f x x x =-+的最大值是________________________8、设lg 2a =，lg3b =，则5log 12=________________________（用a 、b 表示）9、已知实数x 、y 满足21x y +=，则24x y +的最小值是________________________10、方程()()332log 3log 5x x -=-的解为________________________11、已知函数()214x f x x x +=++，则()f x 在区间()1,-+∞上的最大值为________________________ 12、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2lg f x x x =+，则当0x <时，()f x =________________________13、已知集合[]0,M t =，若集合{}[]223,2,3y y x x x M =-+∈=，则实数t 的取值范围是________________________14、对于定义域为正整数集的函数()f x ，若存在一个函数()g x ，使得对于任意的x Z +∈ ，均有()()f x g x ≥，则称()g x 为()f x 的“弱正离散函数”。

一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 函数2(1)y log x =-的定义域为 ．2. 设全集U R =，集合{|1}S x x =≥-，则U S =ð ．3. 设关于x 的函数(2)1y k x =-+是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是 ．4. 已知75x log =，用含x 的式子表示7625log ，则7625log = ．5. 函数()4y x x =-的最大值为 ．6. 若函数2()31xf x a =-+是奇函数，则实数a 的值为 ． 7. 若不等式20x mx n -+<（m n R ∈，）的解集为()23，，则m n -= ．8. 设α：01x ≤≤，β：25m x m ≤≤+，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是 ．9. 设a b ，均为正数，则函数22()()f x a b x ab =++的零点的最小值为 ． 10. 给出下列命题：①直线x a =与函数()y f x =的图象至少有两个公共点； ②函数2y x -=在()0+∞，上是单调递减函数； ③幂函数的图象一定经过坐标原点；④函数2()x f x a -=（01a a >≠，）的图象恒过定点()21，．⑤设函数()y f x =存在反函数，且()y f x =的图象过点(12)，，则函数1()1y f x -=-的图象一定过点(20)，． 其中，真．命题的序号为 ． 11. 设函数()f x （x R ∈）满足22211()13x f x x ⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭，且2222()13x f x x ⎛⎫-≤ ⎪+⎝⎭．则 (0)f = ．12. 若[]()()()()()F x a f x g x b f x g x c =⋅+⋅++（a b c ，，均为常数），则称()F x 是由函数()f x 与函数()g x 所确定的“a b c →→”型函数．设函数1()1f x x =+与函数22()36f x x x =-+，若()f x 是由函数11()1f x -+与函数2()f x 所确定的“105→→” 型函数，且实数m n ，满足1()()62f m f n ==,则m n +的值为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13. “1a >”是“0a >” 的………………………………………………………………（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件14. 函数4(0)y x x x=+>的递减区间为 ………………………………………………（ ） （A ）(]04， （B ）[]24， （C ）[)2+∞， （D ）(]02，15. 如图为函数()a f x t log x =+的图象（a t ，均为实常数），则下列结论正确的是 ……………………………（ ） （A ）010a t <<<， （B ）010a t <<>，（C ）10a t ><， （D ）10a t >>，16. 设()(2)g x f x m x =+-，()f t 为不超过实数t 的最大整数，若函数()g x 存在最大值，则正实数m 的最小值为 ……………………………………………………………（ ）（A ）116 （B ）112 （C ）18 （D ）14三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. （本题满分8分）解不等式组：2310011x x x x ⎧+-<⎪⎨+>⎪⎩．18. （本题满分8分）本题共有2个小题，第1题满分4分，第2题满分4分．某“农家乐”接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．（不考虑其他因素）（1）设每间客房日租金提高4x 元（20x N x *∈<，），记该中心客房的日租金总收入为y ，试用x 表示y ；（2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？19. （本题满分10分）本题共有2个小题，第1题满分3分，第2题满分7分．已知()f x x a =+（2a >-）的图象过点(21)，． （1）求实数a 的值；（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1．试在该坐标系中作出函数()()f x a ay f x -+=的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．20. （本题满分12分）本题共有3个小题，第1题满分3分，第2题满分3分，第3题满分6分．设函数()(1)(1)m m f x log mx log mx =+--（0m >，且1m ≠）． （1）判断()f x 的奇偶性；（2）当2m =时，解方程(6)1x f =；（3）如果()1f u u =-，那么，函数2()g x x ux =-的图象是否总在函数()1h x ux =-的图象的上方？请说明理由．21. （本题满分14分）本题共有3个小题，第1题满分3分，第2题满分5分，第3题满分6分．对于四个正数x y z w ，，，，如果xw yz <，那么称()x y ，是()z w ，的“下位序对”． （1）对于23711，，，，试求()27，的“下位序对”； （2）设a b c d ，，，均为正数，且()a b ，是()c d ，的“下位序对”，试判断c a a cd b b d++，，之间的大小关系；（3）设正整数n 满足条件：对集合{|02014}t t <<内的每个m N *∈，总存在k N *∈，使得()2014m ，是()k n ，的“下位序对”，且()k n ，是()12015m +，的“下位序对”．求正整数n 的最小值．宝山区2014学年度第一学期期末高一数学质量监测试卷参考答案三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17．（本题满分8分） 解：原不等式组可化为(5)(2)0110x x x x +-<⎧⎪+⎨->⎪⎩，……………………………………………………………………（2'） 解得5210x x-<<⎧⎪⎨>⎪⎩，…………………………………………………………………………………………………（4'） 即520x x -<<⎧⎨>⎩，……………………………………………………………………………………………………（6'）从而有02x <<， …………………………………………………………………………………………………（7'）所以，原不等式的解集为()02，． ………………………………………………………………………………（8'）18．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1题满分4分，第2题满分4分． 解：（1）若每间客房日租金提高4x 元，则将有10x 间客房空出，……………………………………………（2'） 故该中心客房的日租金总收入为(404)(20010)y x x =+-，…………………………………………………（3'）即40(10)(20)y x x =+-（这里20x N x *∈<，）． …………………………………………………………（4'） （2）40(10)(20)y x x =+-2(10)(20)402x x ++-⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦40225=⋅9000=，……………………………（6'）当1020x x +=-即5x =时，9000max y =， …………………………………………………………………（7'）即每间客房日租金为404560+⨯=（元）时，该中心客房的日租金总收入最高，其值为9000元．……（8'）………………………………………………………………………………………………………………（6'） 定义域：()()11-∞+∞，，，…………………………………………………………………………………………（7'） 值 域：[]11-，，………………………………………………………………………………………………………（8'） 奇偶性：非奇非偶函数，…………………………………………………………………………………………………（9'）单调（递减）区间：(]0-∞，．…………………………………………………………………………………………（10'）20．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1题满分3分，第2题满分3分，第3题满分6分．解：（1）由已知条件可得函数()f x 的定义域为11m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，关于原点对称；……………………………………（1'） 又()(1)(1)()m m f x log mx log mx f x -=--+=-，即()f x f x-=-，…………………………………………（2'） 故()f x 为定义域11m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上的奇函数．……………………………………………………………………………（3'） （2）当2m =时，22()(12)(12)f x log x log x =+--，由(6)x f =得22(126)(126)1x x log log +⋅--⋅=，…（4'）去对数得1262126x x+⋅=-⋅，…………………………………………………………………………………………………（5'）解得166x=，从而1x =-．经检验，1x =-为原方程的解．…………………………………………………………（6'）注意到(0)10F =>，1(1)(1)01mmF f log m+==<-，所以函数()F x 在(01)，上存在唯一零点，即满足()1f u u =-的(01)u ∈，（且u 唯一），故21u <．综上所述，21u <．………………………………………………………（10'）于是()()()2222()()1110g x h x x ux ux x u u u -=---=-+-≥->，即()()0g x h x ->，…………………（11'）也就是说，对于任一x R ∈，均有()()g x h x >，故函数2()g x x ux =-的图象总在函数()1h x ux =-图象的上方．………………………………………………………………………………………………………………………（12'）方法二：注意到()f x 的定义域为11m m ⎛⎫-⎪⎝⎭，．21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1题满分3分，第2题满分5分，第3题满分6分． 解：（1）37112⋅<⋅，……………………………………………………………………………………………………（1'）()27∴，的下位序对是()311，．………………………………………………………………………………………（3'） （2）()a b ，是()c d ，的“下位序对”，∴ad bc <，……………………………………………………………（5'）注意到+a b c dR∈，，，，故()0a c a bc ad b d b b d b+--=>++，即0a c ab d b +->+，所以a c ab d b+>+；…………………（6'） 同理a cb d+<+．…………………………………………………………………………………………………………（7'） 综上所述，a a c cb b d d+<<+．……………………………………………………………………………………………（8'）（3）依题意，得2014(1)2015mn k m n k <⎧⎨+>⎩，……………………………………………………………………………………（9'）注意到m ，n ，k 均为正整数，故12012015m n k m n n k +≤⎧⎨+-≥⎩，……………………………………………………………（11'） 于是2014(1)201420152015(1)mn n k mn +-≥⨯≥+，可得40292014n m≥-，该式对集合{|02014}t t <<的每个正整数m 都成立，故4029402920142013n ≥=-．……………………………………………………………………（12'）注意到120142015m k m n +<<，据（2）可得(1)12014201420152015m m m m +++<<+，…………………………………………（13'） 即211201440292015m m m ++<<，于是对{|02014t t <<内的每个m N *∈，总存在21k m =+N *∈，使得()2014m ，是()k n ，的“下位序对”，且()k n ，是()12015m +，的“下位序对”，因此，正整数n 的最小值为4029．……（14'）。

2x +1 的值域是 B. y = x −1 C. y = x 2 D. y = x 32015 年上海市徐汇区高一上学期数学期末考试试卷一、填空题（共 12 小题；共 60 分）1. 设全集 U = 1,3,5,7 ，集合 M = 1, a − 5，∁U M = 5,7 ，则 a 的值为．2. 函数 f x = lg 2x − 4 的定义域为．3. 方程 lg 2x + 1 + lg x = 1 的解集为．4. 函数 f x = x 2 x ≥ 1 的反函数 f −1 x =．5. 已知幂函数 f x 的图象过 2, 2 ，则 f 4 =．26. 已知 log 16 3 = m ，则用 m 表示 log 916 =． 7. 已知函数 f x = a x − 4a + 3 的反函数的图象经过点 −1,2 ，那么 a 的值等于．8. 函数 y = 2x−1．9. 一片人工林地，目前可采伐的木材有 10 万立方米，如果封山育林，该森林可采伐木材的年平均增长率为 8%，则经过年，该片森林可采伐的木材将增加到 50 万立方米．（结果保留整数）10. 已知函数 f x = x 2 + 2x + 3 在 m , 0 上的最大值为 3，最小值为 2，则实数 m 的取值范围是．11. 若关于 x 的不等式 −x 2 + 2x < lg t 恒成立，则实数 t 的取值范围是．x + a , x ≤ 012. 已知函数 f x = x + 4 + a ,x > 0 ，若 f 0 是该函数的最小值，则实数x是．二、选择题（共 4 小题；共 20 分）13. 下列函数中，既是奇函数又在 0, +∞ 上单调递增的是 a 的取值范围A. y = x 21 114. 命题“若 x > 1，则 x > a ”是真命题，则实数 a 的取值范围是 A. a > 1B. a < 1C. a ≥ 1D. a ≤ 115. 设 a ，b 为正实数，则“a < b ”是“a − 1 < b − 1”成立的 abA. 充分不必要条件C. 充要条件B. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件16. 最近几年，每年 11 月初，黄浦江上漂浮着的水葫芦便会迅速增长，严重影响了市容景观，为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关，如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦面积与时间的函数关系图象，假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法： ①此指数函数的底数为 2；②在第 5 个月时，水葫芦的面积会超过 30m 2；③设水葫芦面积蔓延至 2m 2，3m 2，6m 2 所需要的时间分别为 t 1，t 2，t 3，则有 t 1 + t 2 = t 3； 其中正确的说法有 17.设集合A=x x−a<2，B=x<1，若A⊆B，求实数a的取值范围．x是奇函数，求f x在0,+∞上的最小值及取到最小值时22+3x2∈M．A.①②B.②③C.①③D.①②③三、解答题（共5小题；共65分）2x−1x+218.已知a是实数，函数f x=x2+ax+4x的值．19.某公司为生产某种产品添置了一套价值20000元的设备，而每生产一台这种产品所需要的原材料和劳动力等成本合计100元，已知该产品的年销售收入R（元）与年产量x（台）的关系是500x−1x2,0≤x≤500R x=，x∈N．125000,x>500（1）把该产品的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该产品的年利润最大?最大年利润为多少元?（注：利润=销售收入−总成本）20.已知函数f x=x+m−1，其中m∈R．x（1）当m=2时，判断f x在区间−∞,0上的单调性，并用定义证明；（2）讨论函数f x零点的个数．21.已知集合M是满足下列性质的函数f x的全体，在定义域内存在x，使得f x0+1=f x+f1成立．（1）指出函数f x=k（k≠0，k为常数）与集合M的关系?请说明理由；x （2）证明：函数f x=1x82=2a，所以f x=x−2，故f4=4−2=1．2m ．2答案第一部分1.2或8【解析】由U=1,3,5,7，且∁U M=5,7，得M=1,3，又因为集合M=1,a−5，所以a−5=3．所以实数a的值为2或8．2.x x>2【解析】要使函数有意义，则2x−4>0，解得x>2，所以函数的定义域为x x>2．3.2【解析】因为lg2x+1+lg x=1，所以lg x2x+1=lg10，x>0,所以2x+1>0,解得：x=2．x2x+1=10,4.x x≥1【解析】由y=x2x≥1，解得x=y y≥1，把x与y互换可得：y=x，所以f x=x2x≥1的反函数f−1x=x x≥1．5.12【解析】设幂函数f x=x a，因为幂函数f x的图象过2,2，2所以2解得a=−1，21126.12m【解析】因为log163=m，所以log916=log3216=1log316=17.2【解析】依题意，点−1,2在函数f x=a x−4a+3的反函数的图象上，则点2,−1在函数f x=a x−4a+3的图象上．将x=2，y=−1，代入y=a x−4a+3中，解得a=2．8.−1,1【解析】y=2x+1−222x+1<2，所以−1<1−2x+1<1，C．函数y=x2为非奇非偶函数，在0,+∞上单调递增，不满足条件．D．函数y=x3为奇函数，在0,+∞上单调递增，满足条件．因为x∈R，所以2x>0，所以0<22所以函数的值域为−1,1．9.21【解析】设经过n年该片森林可采伐的木材将增加到50万立方米，由题意得：101+8%n=50，解得：n≈21．10.−2,−1【解析】函数f x=x2+2x+3的图象是开口朝上，且以直线x=−1为对称轴的抛物线，当x=−1时，函数取最小值2，令f x=x2+2x+3=3，则x=0或x=−2，若函数f x=x2+2x+3在m,0上的最大值为3，最小值为2，则m∈−2,−1．11.10,+∞【解析】函数y=−x2+2x的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故当x=1时，取最大值1，若关于x的不等式−x2+2x<lg t恒成立，则1<lg t，解得：t∈10,+∞．12.−2,0【解析】因为f0是该函数的最小值，所以当x≤0时，x+a≥a，所以a≤0；又因为x+4+a≥24+a=4+a（当且仅当x=2时，等号成立）；x所以a≤4+a，即−a≤4+a，故a≥−2；故实数a的取值范围是−2,0．第二部分13.D【解析】A．函数y=x2为偶函数，在0,+∞上单调递增，不满足条件．B．y=x−1是奇函数，在0,+∞上单调递减，不满足条件．1114.D【解析】“若x>1，则x>a”是真命题，则1,+∞⊆a,+∞，即a≤1，即实数a的取值范围是a≤1．15.Cx 是奇函数，2【解析】因为 a ，b 为正实数，a < b ，所以 1 > 1， ab所以 − 1 < − 1， ab所以 a − 1 < b − 1，ab所以前者是后者的充分条件，当 a − 1 < b − 1 时， a − b ab + 1 < 0，ab因为 a ，b 为正实数，所以 a < b ，所以后者是前者的必要条件．16. D 【解析】由图得其关系为指数函数，①．因图象过 4,16 点，所以指数函数的底数为 2，故①正确；②．当 t = 5 时，s = 32 > 30，故②正确；③．由图得 t 1 = log 22 = 1，t 2 = log 23，t 3 = log 26， 则 t 1 + t 2 = t 3，故③正确， 综上可知①②③正确．第三部分17. 由 x − a < 2，得 a − 2 < x < a + 2，所以 A = x a − 2 < x < a + 2 ．由 2x−1 < 1，得 x−3 < 0．x +2x +2即 −2 < x < 3，所以 B = x− 2 < x < 3 ．因为 A ⊆ B ，所以a − 2 ≥ −2, a + 2 ≤ 3.解得 0 ≤ a ≤ 1．18. 因为函数 f x = x2 +ax +4所以 x2−ax +4−x= −x 2+ax+4，x所以 a = 0，所以 f x = x + 4，x因为 x > 0，所以 f x = x + 4 ≥ 2 x ⋅ 4 = 4，xx当且仅当 x = 2 时，f x 在 0, +∞ 上的最小值为 4．19. （1） 由题意 y = R x − 100x − 20000，当 0 ≤ x ≤ 500 时，y = 500x − 1 x 2 − 100x − 20000 = − 1 x − 400 2 + 60000，22当 x > 500 时，y = 125000 − 100x − 20000 = 105000 − 100x ，− 1 x − 400 2 + 60000, 0 ≤ x ≤ 500 所以 y =．105000 − 100x ,x > 500（2） 当 0 ≤ x ≤ 500 时，y = − 1 x − 400 2 + 60000，f x1−f x2=−x1+2x1x2=x2−x1+−=x2−x1,设ℎx=x1−x=，x0+1，显然当x=400时，y取最大值60000元；当x>500时，y=105000−100x，显然y随着x的增大而减小，y<105000−100⋅500=55000，所以每年生产400台时，该产品的年利润最大，最大利润为60000元．20.（1）当m=2时，f x=x+2−1，x当x<0时，f x=−x+2−1，x设x1<x2<0，则2−1−−x2+−122x1x2x1x2+2x1x2因为x1<x2<0，所以x2−x1>0，x1x2>0，所以f x1−f x2>0，则f x1>f x2，即f x在区间−∞,0上的单调递减．（2）由f x=x+m−1=0，则m=1−x，x x即m=x1−x x≠0，x1−x,x>0x1+x,x<0作出函数ℎx的图象如图：由图象得到当m>1或m<−1时，m=ℎx有1个零点，44当m=−1或1或0时，m=ℎx有2个零点，44当−1<m<0或0<m<1时，m=ℎx有3个零点．4421.（1）f x+1=kf x+f1=kx0+k，因为kx0+1=kx0+k，所以无解，故f x∉M．（2）f1=7，f2=7=7+7，8488故令x0=1时，满足题意，所以函数f x=1x8+3x2∈M．2。