复合函数的单调性及应用

复合函数单调性
复合函数的单调性法则是“同增异减”。

具体内涵为，假设一个复合函数的解析式为y=f(u(x))，则其外层函数为y=f(u)，内层函数为u=u(x)。

（1）如果在一个区间上以u为变量的外层函数y=f(u)和以x为变量的内层函数的单调性相同（同增或同减），则y=f(u(x))为这个区间上的增函数。

（2）如果在一个区间上以u为变量的外层函数y=f(u)和以x为变量的内层函数的单调性相反（“内增外减”或“内减外增”），则y=f(u(x))为这个区间上的减函数。

上面复合函数的增减，可以用数学式子和符号简化为下图所示四种情况：
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系。

这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

复合函数单调性一般地，设函数)(x g =ω在区间M 上有意义，函数)(ωf y =在区间N 上有意义，且当M x ∈时，N ∈ω有以下四种情况：（1）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数；（2）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（3）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（4）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数。

注意：内层函数)(x g =ω的值域是外层函数)(ωf y =的定义域的子集。

规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。

即我们所说的“同增异减”规律。

求y=122)21(--x x 的单调区间.解 ： 设y=u)21(.由u ∈R,u=x 2－2x －1,解得原复合函数的定义域为x ∈R.因为y=u)21(在定义域R 内为减函数,二次函数u=x 2－2x －1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x 2－2x －1=(x －1)2－2在x ≤1时单调减，由x ∈R, (复合函数定义域)x ≤1， (u 减)解得x ≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间. y=x17.0;((－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.)y=232x -;(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间) y=3)31(+x ,((－∞，+∞)为单调减区间.)y=227x x -；((－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.)指数运算和指数函数1.根式的性质（1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a n n(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠=-N p a a ap p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m n m且(5)负分数指数幂 n mn ma a 1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义3.有理指数幂的运算性质(1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>=(3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>⋅=4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数。

复合函数的概念及复合函数的单调性1．复合函数的概念如果y 是ω的函数，ω又是x 的函数，即)(ωf y =，)(x g =ω，那么y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函数)(ωf y =和)(x g =ω的复合函数，其中ω是中间变量，自变量为x ，函数值y 。

例如：函数xx y 22)31(-=是由μ)31(=y ，x x 22-=μ复合而成立。

2．复合函数单调性 一般地，定理：设函数)(x g =ω在区间M 上有意义，函数)(ωf y =在区间N 上有意义，且当M x ∈时，N ∈ω 有以下四种情况：（1）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数； （2）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数； （3）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数； （4）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数。

即：同增异减注意：内层函数)(x g =ω的值域是外层函数)(ωf y =的定义域的子集。

例1、讨论下列函数的单调性（注意：要求定义域） （1）xx y 22)31(-= （2）)43lg(2x x y -+=【答案】解：（1）定义域：x R ∈令22t x x =-，则13ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，对称轴：1x =，∴22t x x =-在(),1-∞上递减，()1,+∞上递增，又13ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上递减， 221()3x x y -∴=在(),1-∞上递增，()1,+∞上递减.（2）定义域：2340x x +->，解得22x -<+(2x ∴∈令234t x x +=-，则lg y t =，对称轴：2x =，∴234t x x +=-在()2-上递增，(2,2+上递减，又lg y t =在定义域上递增，2lg(34)y x x ∴=+-在()2上递增，(2,2上递减.练习1：1．求下列函数的单调区间。

复合函数的性质文／董裕华复合函数是函数知识的综合和拓展，在高中数学教学中已经涉及到许多这方面知识，在国内外数学竞赛中复合函数问题也频频出现，但现行中学数学教材中没有作出系统研究．本文拟讨论形如ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的复合函数的性质及其应用．一、基础知识1．定义．设函数ｙ＝ｆ（ｕ），当ｕ∈Ｐ时，ｆ（ｕ）∈Ｑ；ｕ又是ｘ的函数，ｕ＝ｇ（ｘ），当ｘ∈Ｍ时，ｕ∈Ｐ．从集合Ｍ中每一个给定的ｘ，通过Ｐ中唯一的元素ｕ与集合Ｑ中唯一的元素ｙ相对应，则ｙ也是ｘ的函数，称为这两个函数的复函数，记为ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］．其中ｙ＝ｆ（ｕ）叫做复合函数的外函数，ｕ＝ｇ（ｘ）叫做复合函数的内函数，集合M叫做这个复合函数的定义域．形如ｆｎ（ｆｎ－1（ｆｎ－2（…ｆ2（ｆ1（ｘ））…）））的函数叫做多重复合函数，它可以看成是函数ｕ＝ｆｎ－i（ｆｎ－i－1（…ｆ2（ｆ1（ｘ））…））与ｙ＝ｆｎ（ｆｎ－1…ｆｎ－i＋1（ｕ）…）的复合函数．2．单调性．函数ｕ＝ｇ（ｘ）在集合Ｍ上有定义，ｕ∈Ｐ；ｙ＝ｆ（ｕ）在Ｐ上有定义．如果ｇ（ｘ）在M上递增，ｆ（ｕ）在Ｐ上递增（减），那么ｆ［ｇ（ｘ）］在Ｍ上也递增（减）；如果ｇ（ｘ）在Ｍ上递减，ｆ（ｕ）在Ｐ上递增（减），那么ｆ［ｇ（ｘ）］在Ｍ上递减（增）．3．奇偶性．如果ｕ＝ｇ（ｘ）为奇函数，ｙ＝ｆ（ｕ）为奇（偶）函数，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为奇（偶）函数；如果ｕ＝ｇ（ｘ）为偶函数，ｙ＝ｆ（ｕ）有意义，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］必为偶函数．4．反函数．如果内函数ｕ＝ｇ（ｘ）和外函数ｙ＝ｆ（ｕ）都分别是其定义域到值域上一一对应的函数，那么复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的反函数为ｙ＝ｇ－1［ｆ－1（ｘ）］．证明见文［1］．5．周期性．函数ｕ＝ｇ（ｘ）是集合Ｒ上的周期函数，ｕ∈Ｍ；ｆ（ｕ）在Ｍ上有定义，则复合函数ｆ［ｇ（ｘ）］也是Ｒ上的周期函数．内函数为周期函数，复合函数必为周期函数；若外函数为周期函数，复合函数却未必是周期函数．例如1975年加拿大第七届中学生数学竞赛第7题，问ｓｉｎ（ｘ2）是周期函数吗?回答显然是否定的．综合复合函数的周期性、单调性、奇偶性，不难发现复合函数还有以下性质：6．若内函数ｕ＝ｇ（ｘ）的最小正周期为Ｔ0，ｕ∈Ｄ，外函数ｙ＝ｆ（ｕ）是Ｄ上的单调函数，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］也是最小正周期为Ｔ0的周期函数．7．若函数ｆ（ｕ）的最小正周期为Ｔ0，ｇ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ（ａ≠0），则复合函数ｆ［ｇ（ｘ）］也为周期函数，最小正周期为Ｔ0／｜ａ｜．8．若ｇ（ｘ）为奇函数，当ｆ（ｘ）与φ（ｘ）均为偶函数时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）为周期函数，2ａ是它的一个周期；当ｆ（ｘ）与φ（ｘ）奇偶性相异时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）也为周期函数，4ａ是它的一个周期．9．若ｇ（ｘ）为偶函数，ｆ（ｘ）在Ｒ上有定义，当φ（ｘ）为偶函数时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）为周期函数，2ａ是它的一个周期；当φ（ｘ）为奇函数时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ ≠0）也为周期函数，4ａ是它的一个周期．现证明一种情形．ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ）、φ（ｘ）均为偶函数时，由φ（－ｘ）＝ｆ［ｇ（－ｘ＋ａ）］＝ｆ［ｇ（ｘ－ａ）］，又φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］，得ｆ［ｇ（ｘ－ａ）］＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］，即φ（ｘ－2ａ）＝φ（ｘ）．φ（ｘ）为周期函数，2ａ是它的一个周期．其余情形类似可证．例1 Ｐ（ｘ）和Ｑ（ｘ）为二实系数多项式，它们对一切实数ｘ满足恒等式Ｐ［Ｑ（ｘ）］＝Ｑ［Ｐ（ｘ）］，若方程Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）无实数解，证明：方程Ｐ［Ｐ（ｘ）］＝Ｑ［Ｑ（ｘ）］亦无实数解．导析：学生观察题目后，容易闪现出一个念头，即设出多项式Ｐ（ｘ）和Ｑ（ｘ），但Ｐ［Ｐ（ｘ）］、Ｑ［Ｑ（ｘ）］等难以表示．思维受阻后，学生转而考虑反证法．假设Ｐ［Ｐ（ｘ）］＝Ｑ［Ｑ（ｘ）］有解，设其解为ａ，则由Ｐ［Ｐ（ａ）］＝Ｑ［Ｑ（ａ）］很难确定下一步证题方向，同样无功而返．这时教师可提醒学生：Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）无实数解的实质是什么?学生很快想到Ｐ（ｘ）－Ｑ（ｘ）或者恒为正，或者恒为负．不妨设Ｐ（ｘ）＞Ｑ（ｘ），由此Ｐ［Ｐ（ｘ）］＞Ｑ［Ｐ（ｘ）］，Ｐ［Ｑ（ｘ）］＞Ｑ［Ｑ（ｘ）］．又Ｐ［Ｑ（ｘ）］＝Ｑ［Ｐ（ｘ）］，得Ｐ［Ｐ（ｘ）］＞Ｑ［Ｑ（ｘ）］．这已是学生熟悉的问题，可由学生整理完成．例2 已知ｆ（ｘ＋1）＝｜ｘ－1｜－｜ｘ＋1｜，如果ｆ［ｆ（ａ）］＝ｆ（1993）＋1，求ａ．导析：从条件看，多数同学会想到ｆ（1993）＝ｆ（1992＋1）＝－2，由此ｆ（ａ）＝｜ａ－2｜－｜ａ｜，ｆ［ｆ（ａ）］＝｜｜ａ－2｜－｜ａ｜－2｜－｜｜ａ－2｜－｜ａ｜｜．现在要去掉绝对值符号，就非常困难了．教师适时引导学生：如果先去绝对值符号呢?ｆ（ｘ）＝｜ｘ－2｜－｜ｘ｜=由于ｆ［ｆ（ａ）］＝ｆ（1 993）＋1＝－2＋1＝－1，学生便会想到此时0≤ｆ（ａ）≤2，从而2－2ｆ（ａ）＝－1，ａ＝1／4．例3函数ｆ（ｘ）在Ｒ上有定义，且满足：①ｆ（ｘ）是偶函数，ｆ（0）＝993；②ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ－1）是奇函数．试求ｆ（1992）的值．导析：学生很容易想到ｆ（1992）＝ｇ（1993）＝－ｇ（－1993）＝－ｆ（1994）．本来求ｆ（1992）就很烦，化成ｆ（1994）更显繁，不少学生畏难而退．能否找出函数变化规律呢?也就是说把数据一般化，能否证得ｆ（ｘ）＝－ｆ（ｘ＋2）呢?学生会恍然大悟，ｆ（ｘ）是周期为4的函数!至此思路已经畅通．由特殊到一般，再由一般到特殊，这是人类认识世界、改造世界的规律，也是解竞赛题的常用策略．本题也可直接用基础知识8，只要令φ（ｘ）＝ｘ，则ｆ（ｘ）＝ｇ［φ（ｘ＋1）］即可求解．二、综合应用复合函数是单一函数的整合与拓展，它以代数式、数列、几何等知识为支撑，以方程、不等式等形式为载体，以函数的性质为纽带，加之应用广泛，在竞赛命题中自然就颇受青睐．复合函数问题常通过换元法、待定系数法、特殊值法变形求解，与自然数有关的命题也可通过数学归纳法获证．例4是否存在函数ｆ∶Ｒ→Ｒ；ｇ∶Ｒ→Ｒ，使得对所有的ｘ∈Ｒ，都有ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｘ2，ｇ［ｆ（ｘ）］＝ｘ3？导析：既然对所有ｘ∈Ｒ，都有这两个函数关系，学生首先想到用特殊值去验证．根据本题特点选择0和1，得ｆ［ｇ（0）］＝0，ｇ［ｆ（0）］＝0；ｆ［ｇ（1）］＝1，ｇ［ｆ（1）］＝1．现在问题转化为要求ｆ（0）、ｆ（1）、ｇ（0）、ｇ（1）．经过一番“折腾”，学生摸索出ｆ（0）＝ｆ｛ｇ［ｆ（0）］｝＝［ｆ（0）］2，ｆ（1）＝ｆ｛ｇ［ｆ（1）］｝＝［ｆ（1）］2．那么ｆ（0）究竟等于0还是1?ｆ（1）又等于几?ｆ（ｘ）表达式又是什么?这时学生能够推得ｆ（ｘ3）＝ｆ｛ｇ［ｆ（ｘ）］｝＝［ｆ（ｘ）］2，这是一个一般性结论，学生还能观察出ｆ（－1）＝［ｆ（－1）］2．这样ｆ（0）、ｆ（1）、ｆ（－1）的值都只能在0和1中选择，因此ｆ（0）、ｆ（1）、ｆ（－1）至少有两个相等，究竟又是哪两个相等呢?正当“山穷水尽”之时，再揣摩一下题目中的“是否存在”，这是不是意味着上述结论不一定成立?至此问题的解决进入最后阶段，由于ｇ［ｆ（0）］、ｇ［ｆ（1）］、ｇ［ｆ（－1）］不等，故ｆ（0）、ｆ（1）、ｆ（－1）也互不相等．更一般地，对于任意ｘ1≠ｘ2，ｆ（ｘ1）≠ｆ（ｘ2），因此满足条件的函数关系不存在．例5确定所有的函数ｆ：Ｒ→Ｒ，其中Ｒ是实数集，使得对任意ｘ，ｙ∈Ｒ，恒有ｆ［ｘ－ｆ（ｙ）］＝ｆ［ｆ（ｙ）］＋ｘｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）－1成立．（1999年第四十届IMO试题）导析：和上题一样，先用特殊值代入验算．学生自然先考虑ｘ＝ｙ＝0的情形．得出ｆ［－ｆ（0）］＝ｆ［ｆ（0）］＋ｆ（0）－1．ｆ（0）的值又如何求呢?学生仍然会考虑特殊情况，再令ｘ＝ｆ（ｙ），得ｆ（0）＝2ｆ（ｘ）＋ｘ2－1，从而ｆ（0）＝1．容易验证ｆ（ｘ）＝1－ｘ2／2符合题意．这是从特殊情形推出的结果，现在还需要解决的问题是有没有满足条件的其他函数?不妨设函数ｆ像的集合为Ａ．我们的目标是求ｆ（ｘ）表达式．令ｙ＝0，则ｆ（0）∈Ａ且为常数，记为ｍ，则ｆ（ｘ－ｍ）－ｆ（ｘ）可以表示为ｘ的一次函数：ｆ（ｘ－ｍ）－ｆ（ｘ）＝ｍｘ＋ｆ（ｍ）－1．也就是说对任意ｘ∈Ｒ，ｍｘ＋ｆ（ｍ）－1∈Ｒ，ｆ（ｘ－ｍ）－ｆ（ｘ）∈Ｒ．换句话讲对任意ｘ∈Ｒ，都存在ｙ1，ｙ2∈Ａ，使得ｘ＝ｙ1－ｙ2．因此ｆ（ｘ）＝ｆ（ｙ－ｙ2）＝ｆ（ｙ1）＋ｆ（ｙ2）＋ｙ1ｙ2－1．①那么ｆ（ｙ1）、ｆ（ｙ2）又如何表示?由上述1分析知只要令ｘ＝ｆ（ｙ），便得ｆ（ｘ）＝（－ｘ2＋ｍ＋1）／2．② 把ｆ（ｙ1）、ｆ（ｙ）表达式代入①，即可求得ｆ（ｘ）＝ｍ－ｘ2／2．再令ｘ＝0，则ｍ＝1．从而对任意ｘ∈Ｒ，2都有ｆ（ｘ）＝1－ｘ2／2．例6设ｎ为自然数集合，ｋ∈Ｎ，如果有一个函数ｆ：Ｎ→Ｎ是严格递增的，且对于每一个ｎ∈Ｎ，都有ｆ［ｆ（ｎ）］＝ｋｎ．求证：对每一个ｎ∈Ｎ，都有2ｋｎ／（ｋ＋1）≤ｆ（ｎ）≤（ｋ＋1）ｎ／2．导析：条件是关于复合函数的等式，结论却是关于ｆ（ｘ）的不等式，学生首先能考虑寻找ｆ（ｎ）与ｆ［ｆ（ｎ）］之间的关系．由已知，ｆ（ｎ）≥ｎ，则ｆ［ｆ（ｎ）］≥ｆ（ｎ）≥ｎ，故ｋ≥1，而2ｋｎ／（ｋ＋1）＝ｎ／（1／2＋1／2ｋ）≥ｎ，这对证题没有帮助．再回到已知“ｆ严格递增且取自然数值”，就是说ｆ（ｎ＋1）≥ｆ（ｎ）＋1，进而对任意ｍ∈Ｎ，都有ｆ（ｎ＋ｍ）≥ｆ（ｎ）＋ｍ．既然ｆ（ｎ）≥ｎ，不妨设ｆ（ｎ）＝ｎ＋ｍ（ｍ是非负整数），则ｆ［ｆ（ｎ）］≥ｆ（ｎ）＋ｍ＝ｆ（ｎ）＋ｆ（ｎ）－ｎ，从而ｆ（ｎ）≤（ｋ＋1）ｎ／2．对于左式，实质是要证明ｆ［ｆ（ｎ）］≤（ｋ＋1）ｆ（ｎ）／2，这已是水到渠成的事情．本题多次运用换元思想，进行“换位思考”，这也是解复合函数竞赛试题的常用手段．例7设ｆ（ｎ）为一个在所有正整数集合Ｎ上有定义且在Ｎ上取值的函数．证明：如果对每一个ｎ，ｆ（ｎ＋1）＞ｆ［ｆ（ｎ）］，则对每一个ｎ，ｆ（ｎ）＝ｎ．导析：本题和上题恰好相反，是由不等关系推相等关系．根据所求，学生较易想到的是反证法．假设ｆ（ｎ）≠ｎ，不妨先考虑ｆ（ｎ）＞ｎ的情形，得ｆ［ｆ（ｎ）］＞ｆ（ｎ），而ｆ（ｎ＋1）≥ｆ（ｎ）＋1，至此已别无它法．调整思路，比较本题和上题，上题已知ｆ是Ｎ→Ｎ上严格增函数，本题结论函数ｆ也是单调增函数．所以可以尝试先证明ｍ≥ｎ时，ｆ（ｍ）≥ｆ（ｎ）．由于是与自然数有关的命题，可以考虑用数学归纳法证明．当ｎ＝1时，ｆ（2）＞ｆ［ｆ（1）］，而ｆ［ｆ（1）］≥ｆ（1）又怎么证?这又回到上面老路上．退一步讲，对任意ｍ≥ｎ，欲证ｆ（ｍ）≥ｆ（ｎ）比较困难，能否证得ｆ（ｍ）≥ｎ？事实上如果证得ｆ（ｍ）≥ｎ，则ｆ（ｎ）≥ｎ也必定成立，这离ｆ（ｎ）＝ｎ反而更接近．当ｎ＝1时结论显然成立．设ｎ＝ｋ（ｋ∈Ｎ）时结论成立，即ｍ≥ｋ时，ｆ（ｍ）≥ｋ．则当ｎ＝ｋ＋1，即ｍ≥ｋ＋1时，ｍ－1≥ｋ，ｆ（ｍ－1）≥ｋ，从而ｆ（ｍ）＞ｆ［ｆ（ｍ－1）］≥ｋ．由于ｆ（ｍ）取值为正整数，因此ｆ（ｍ）≥ｋ＋1，命题成立．这样ｆ（ｎ）≥ｎ．现在证明ｆ（ｎ）＞ｎ不可能．若ｆ（ｎ）＞ｎ，即ｆ（ｎ）≥ｎ＋1，则ｆ［ｆ（ｎ）］≥ｆ（ｎ＋1），这与已知矛盾．接下来，就由学生对上述思路进行梳理、整合．三、强化训练1．若＝ｘ，求Ｆ（ｘ）．2．已知ｆ（ｘ）＝｜1－2ｘ｜，ｘ∈［0，1］，求方程ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝＝（1／2）ｘ的解的个数．3．若ａ＞0，ａ≠1，Ｆ（ｘ）为Ｒ上的奇函数，判定函数Ｇ（ｘ）＝的奇偶性．4．设ｆ（ｘ）＝（1＋ｘ）／（1－3ｘ），ｆ1（ｘ）＝ｆ［ｆ（ｘ）］，ｆ2（ｘ）＝ｆ［ｆ1（ｘ）］，…，ｆn（ｘ）＝ｆ［ｆn－1（ｘ）］，…，求ｆ1991（4．7）．5．设ｙ＝ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的函数，且对任意ａ，ｂ∈Ｒ，都有ｆ［ａｆ（ｂ）］＝ａｂ，求ｆ（2000）．6．设ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的函数，Ｍ＝｛ｘ｜ｆ（ｘ）＝ｘ｝，Ｎ＝｛ｘ｜ｆ［ｆ（ｘ）］＝ｘ｝．（1）求证ＭＮ；（2）若ｆ（ｘ）在Ｒ上是增函数，判断Ｍ＝Ｎ是否成立，并证明你的结论．7．全体正整数集是两个不相交子集｛ｆ（1），ｆ（2），…，ｆ（ｎ），…｝与｛ｇ（1），ｇ（2），…，ｇ（ｎ），…｝的并集，其中ｆ（1）＜ｆ（2）＜…＜ｆ（ｎ）＜…，ｇ（1）＜ｇ（2）＜…＜ｇ（ｎ）＜…，且对于所有ｎ＞1，有ｇ（ｎ）＝ｆ［ｆ（ｎ）］＋1，求ｆ（240）．参考答案与提示1．（1－ｘ）／（1＋ｘ）．提示：用换元法．2．8个．提示：分类讨论．先分两类：ｆ（ｘ）＝对于ｆ［ｆ（ｘ）］，也可类似分成四个区间讨论，因为ｆ（ｘ）在上述两区间值域仍为［0，1］．至于ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝要分八个区间分别求解．3．奇函数．提示：可先证明是奇函数．4．4．7．提示：由ｆ1（ｘ）＝（ｘ－1）／（3ｘ＋1），ｆ2（ｘ）＝ｘ，ｆ3（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ4（ｘ）＝ｆ1（ｘ），由此可以类推，归纳出规律，ｆ3ｍ＋k（ｘ）＝ｆk（ｘ）（ｍ，），从而ｆ1991（4．7）＝ｆ3×663＋2（4．7）＝ｆ2（4．7）＝4．7．5．±2000．提示：用特殊值法．先令ａ＝1，得ｆ［ｆ（ｂ）］＝ｂ；再令ａ＝ｆ（ｂ），得ｆ［ｆ2（ｂ）］＝ｂｆ（ｂ）．而ｆ［ｂｆ（ｂ）］＝ｂ2＝ｆ｛ｆ［ｆ2（ｂ）］｝＝ｆ2（ｂ），故｜ｆ（ｂ）｜＝｜ｂ｜．6．（1）对任一ｘ∈Ｍ，ｆ（ｘ）＝ｘ，于是ｆ［ｆ（ｘ）］＝ｆ（ｘ）＝ｘ，即ｘ∈Ｎ，故ＭＮ．（2）成立．设ｆ（ｘ）为增函数，若ｘＭ，则ｆ（ｘ）＞ｘ或ｆ（ｘ）＜ｘ；前者导出ｆ［ｆ（ｘ）］＞ｆ（ｘ）＞ｘ，后者导出ｆ［ｆ（ｘ）］＜ｆ（ｘ）＜ｘ，故总有ｘＮ，因此ＮＭ．结合（1），Ｍ＝Ｎ．7．388．解答见文［2］．参考文献1．甘大旺．复合函数的反函数．中学数学，2000，22．单土尊．数学奥林匹克题典．南京：南京大学出版社，1995（本期“高中竞赛初级讲座”特邀编辑刘康宁）。

求解复合函数单调性【引理证明】已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. 【方法技巧】1．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。

为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 2．复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。

ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。

【例题演练】例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则)32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数. ∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。

复合函数的概念及复合函数的单调性一、知识点内容和要求：理解复合函数的概念，会求复合函数的单调区间二、教学过程设计（一）复习函数的单调性引例：函数y=f（x）在上单调递减，则函数（a＞0，且a≠1）增减性如何？（二）新课1、复合函数的概念如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）] 叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。

例如：函数是由复合而成立。

函数是由复合而成立，a是中间变量。

2、复合函数单调性由引例：对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。

对任意，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。

∵当a＞1时，∵y=f（u）是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地，当0＜a＜1时，是单调递增函数一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。

有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。

即：同增异减。

注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。

例1、讨论函数的单调性（1）（2）解：①又是减函数∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。

②x∈（-1，3）令∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。

∵是增函数∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。

注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间。

1、（1）减区间，增区间；（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；（3）减区间，增区间；（4）减区间，增函数。

有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k (k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 ：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。

复合函数的单调性
例1.（1）判断y=单调性。

解：判断函数y 的定义域，易知定义域为R 设u=,y= (将原函数分解为内函数和外函数) 由u==知u 在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞)在上为增函数， y=为减函数 （分别判断内外函数的单调性） ∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞）
（2）判断32x y -=单调性
小结：求指数型复合函数单调性步骤：
第一步，确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量x 的限制，然后解不等式，求交集。

第二步，将原函数分解为初等函数y=f(u),g(x)的形式，
第三步，分别y=f(u),g(x)的单调区间
第四步，根据“同增异减”给出原函数的单调区间。

练习1.
（1）函数y=的单调递增区间为（ ）
A,(-∞,0] B[0,+∞) C(-∞,-1] D[1,+∞)（2 ) 函数y=2(x 3)2+的单调递增区间为____________________
（3）求函数y=232x
x a -++的单调区间
例2.求y=的单调区间
2412x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +12u ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +2
(x 2)4+-12u
⎛⎫ ⎪⎝⎭
2112x -⎛⎫ ⎪⎝
⎭
练习2.
求12y ⎛=
⎪⎝⎭
例3.求函数y=的单调区间与值域
练习3.求函数y=的单调区间与值域
21223x x +-+x 11242x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

课题：函数的单调性(二)之阳早格格创做复合函数单调性北京二十二中刘青教教目标1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理.2.会供复合函数的单调区间.3.必须粗确复合函数单调区间是定义域的子集.教教沉面与易面1.教教沉面是教会教死应用本节的引理供出所给的复合函数的单调区间.2.教教易面是务必使教死粗确复合函数的单调区间是定义域的子集.教教历程安排师：那节课咱们将道复合函数的单调区间，底下咱们先复习一下复合函数的定义.死：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AÍB，则y关于x函数的y=f［g(x)］喊搞函数f与g的复合函数，u 喊中间量.师：很佳.底下咱们再复习一下所教过的函数的单调区间.(西席把所教过的函数均写正在乌板上，中间留出写问案的场合，当教死回问得粗确时，由西席将粗确问案写正在对付应题的下边.)(西席板书籍，可适合略写.)例供下列函数的单调区间.1.一次函数y=kx+b(k≠0).解当k＞0时，(－∞，+∞)是那个函数的单调删区间；当k＜0时，(－∞，+∞)是那个函数的单调减区间.2.反比率函数y=x k (k≠0). 解 当k ＞0时，(－∞，0)战(0，+∞)皆是那个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)战(0，+∞)皆是那个函数的单调删区间.3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b2)是那个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调删区间；当a ＜1时(－∞，－a b2)是那个函数的单调删区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是那个函数的单调删区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是那个函数的单调减区间.5.对付数函数y=logax(a ＞0，a≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是那个函数的单调删区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.师：咱们还教过幂函数y=xn(n 为有理数)，由于n 的分歧与值情况，可使其定义域分几种情况，比较搀纯，咱们无妨逢到简直情况时，再简直分解.师：咱们瞅瞅那个函数y=2x2+2x+1，它隐然是复合函数，它的单调性怎么样?死：它正在(－∞，+∞)上是删函数.师：尔猜您是那样念的，底等于2的指数函数为删函数，而此函数的定义域为(－∞，+∞)，所以您便得到了以上的问案.那种搞法隐然忽略了二次函数u=x2+2x+1的存留，不思量那个二次函数的单调性.咱们不易预测复合函数的单调性应由二个函数共共决断，但是一时猜禁绝论断.底下咱们引出并道明一些有关的预备定理.(板书籍)引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)正在区间(a,b)上是删函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)正在区间(c,d)上是删函数，那么，本复合函数y=f［g(x)］正在区间(a,b)上是删函数.(本引理中的启区间也不妨是关区间或者半启半关区间.)道明正在区间(a,b)内任与二个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.果为u=g(x)正在区间(a,b)上是删函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).果为函数y=f(u)正在区间(c,d)上是删函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］正在区间(a,b)上是删函数.师：有了那个引理，咱们能不克不迭办理所有复合函数的单调性问题呢?死：不克不迭.果为并不是所有的简朴函数皆是某区间上的删函数.师：您回问得很佳.果此，还需减少一些引理，使得供复合函数的单调区间更简单些.(西席不妨根据教死情况战时间决断引理2是可正在引理1的前提上搞些改换即可.提议引理2的道明也是改换引理1的部分道明历程便止了.)引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)正在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)正在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］正在区间(a,b)上是删函数.道明正在区间(a,b)内任与二个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.果为函数u=g(x)正在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).果为函数y=f(u)正在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］正在区间(a,b)上是删函数.师：咱们明黑了上边的引理及其道明以去，剩下的引理咱们自己也能写出了.为了影象便当，咱们把它们归纳成一个图表.(板书籍)师：您准备何如记那些引理?有顺序吗?(由教死自己归纳出顺序：当二个函数的单调性相共时，其复合函数是删函数；当二个函数的单调性分歧时，其复合函数为减函数.)师：由于中教的教教央供，咱们那里只钻研y=f(u)为u 的单调函数那一类的复合函数.搞例题前，齐班先计划一道题目.(板书籍).例1 供下列函数的单调区间：y=log4(x2－4x+3)师：咱们第一次交触到供解那种典型问题，由于对付它的解题步调、书籍写要领皆不太领会，咱们先把它写正在草稿纸上，待计划出粗确的论断后再往条记本上写.师：底下谁道一下自己的问案?死：那是由y=log4u与u=x2－4x+3形成的一个复合函数，其中对付数函数y=log4u正在定义域(0，+∞)上是删函数，而二次函数u=x2－4x+3，当x∈(－∞，2)时，它是减函数，当x∈(2，+∞)时，它是删函数，.果此，根据即日所教的引理知，(－∞，2)为复合函数的单调减区间；(2，+∞)为复合函数的单调删区间.师：大家是可皆共意他的论断?另有不分歧的论断?尔不妨报告大家，他的论断不粗确.大家再计划一下，粗确的论断该当是什么?死：……死：尔创造，当x=1时，本复合函数中的对付数函数的真数等于整，于是那个函数出意思.果此，单调区间中不该含本函数不意思的x的值.师：您道得很佳，何如才搞搞到那面呢?死：先供复合函数的定义域，再正在定义域内供单调区间.师：非常佳.咱们钻研函数的所有本量，皆该当最先包管那个函数蓄意思，可则，函数皆不存留了，本量便更无从道起了.刚刚才的第一个论断之所以错了，便是果为出思量对付数函数的定义域.注意，对付数函数惟有正在蓄意思的情况下，才搞计划单调性.所以，当咱们供复合函数的单调区间时，第一步该当怎么搞?死：供定义域.师：佳的.底下咱们把那道题动做例1写正在条记本上，尔正在乌板上写.(板书籍)u＞0,u=x2－4x+3，解得本复合函数的定义域为x＜1或者x＞3.师：那步咱们大家皆很认识了，是供复合函数的定义域.底下该供它的单调区间了，何如供解，才搞包管单调区间降正在定义域内呢?死：利用图象.师：那种要领真足不妨.不过再道领会一面，利用哪个函数的图象?可咱们并出教过绘复合函数的图象啊?那个问题您念怎么样办理?死：……师：尔去助您一下.所有的共教皆念念，供定义域也佳，供单调区间也佳，是供x的与值范畴仍旧供复合函数的函数值的与值范畴?或者是供中间量u的与值范畴?死：供x的与值范畴.师：所以咱们只需绘x的范畴便止了，本去不要绘复合函数的图象.(板书籍)师：当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u 为删函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为删函数y=log4u为删函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调删区间.师：除了那种办法，咱们还不妨利用代数要领供解单调区间.底下先供复合函数单调减区间.(板书籍)u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或者x＜1，(复合函数定义域)x＜2 (u减)解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.由于y=log4u正在定义域内是删函数，所以由引理知：u=(x－2)2－1的单调性与复合函数的单调性普遍，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.底下咱们供一下复合函数的单调删区间.(板书籍)u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或者x＜1，(复合函数定义域)x＞2 (u删)解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调删区间.师：底下咱们再瞅例2.(板书籍)例2 供下列复合函数的单调区间：1(2x－x2)y=log3师：先正在条记本上准备一下，几分钟后咱们再所有瞅乌板，尔再边道边写.(板书籍)1解设y=log3u＞0u=2x－x2解得本复合函数的定义域为0＜x＜2.1u正在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，本由于y=log3复合函数的单调性与二次函数u=2x－x2的单调性正佳好异.0＜x＜2 （复合函数定义域）x≤1，(u删)解得0＜x≤1,所以(0，1］是本复合函数的单调减区间.又u=－(x－1)2+1正在x≥1时单调减，由x＜2，(复合函数定义域)x≥1，(u减)解得0≤x＜2,所以[0，1＝是本复合函数的单调删区间.师：以上解法中，让定义域与单调区间与大众部分，进而包管了单调区间降正在定义域内.师：底下咱们再瞅一道题目，仍旧自己先准备一下，便依照乌板上第一题的要领写.(板书籍)例3 供y=2-的单调区间.x-67x(几分钟后，西席找一个搞得对付的或者基础搞对付的教死，由他心述他的局部解题历程，西席正在乌板上写，所有皆写完后，西席边道边肯定或者建改教死的搞法，以使所有共教再认识一遍解题思路以及要领央供.)解设y=u,u=7－6x－x2,由u≥0,u=7－6x －x2解得本复合函数的定义域为－7≤x≤1.果为y=u 正在定义域［0+∞］内是删函数，所以由引理知，本复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相共.易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16正在x≤-3时单调减少.由 -7≤x≤1,（复合函数定义域）x≤-3,（u 删）解得-7≤x≤-3.所以[-7，3]是复合函数的单调删区间.易知u=－x2－6x+7=－(x+3)2+16正在x≥－3时单调减，由－7≤x≤1 (复合函数定义域) x≥－3， (u 减)解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.师：底下咱们瞅末尾一道例题，那道题由大家独力天搞正在条记本上，尔喊一个共教到乌板上去搞.(板书籍)例4 供y=122)21(--x x 的单调区间.(教死板书籍) 解 设y=u )21(.由u ∈R,u=x2－2x －1,解得本复合函数的定义域为x ∈R.果为y=u )21(正在定义域R 内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x2－2x －1的单调性与复合函数的单调性好异.易知,u=x2－2x －1=(x －1)2－2正在x≤1时单调减，由 x ∈R, (复合函数定义域)x≤1， (u 减)解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调删区间.共理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.师：乌板上那道题搞得很佳.请大家皆与乌板上的所有解题历程对付一下.师：底下尔小结一下那节课.本节课道的是复合函数的单调性.大家注意：单调区间必须是定义域的子集，当咱们供单调区间时，必须先供出本复合函数的定义域.其余，咱们刚刚刚刚教习复合函数的单调性，搞那类题目时，一定要按央供搞，不要跳步.(做业均为补充题)做业供下列复合函数的单调区间.1.y=log3(x2－2x);(问：(－∞，0)是单调减区间，(2，+∞)是单调删区间.)2.y=log 21(x2－3x+2)；(问：(－∞，1)是单调删区间，(2，+∞)是单调减区间.) 3.y=652-+-x x ,(问：［2，25是单调删区间，］［25，3］是单调减区间.) 4.y=x 17.0;(问：(－∞，0)，(0，+∞)均为单调删区间.注意，单调区间之间不不妨与并集.)5.y=232x -;(问(－∞，0)为单调删区间，(0，+∞)为单调减区间) 6.y=3)31(+x ,(问(－∞，+∞)为单调减区间.)7.y=x 2log 3；(问：(0，+∞)为单调减区间.) 8.y=)4(1log 2x x -π；(问：(0，2)为单调减区间，(2，4)为单调删区间.)9.y=426x x -；(问：(0，3)为单调减区间，(3，6)为单调删区间.)10.y=227x x -；(问(－∞，1)为单调删区间，(1，+∞)为单调减区间.)课堂教教安排道明1.复习提问简朴函数的单调性.2.复习提问复合函数的定义.3.引出并道明一个引理，用表格的形式给出所有的引理.4.对付于例1，西席要戴着教死分解，着沉超过单调区间必须是定义域的子集.例2中的第一题，仍旧以西席道解为主.例2中的第二题，过度到以教死道述自己解法为主.例2中的第三题，以教死独力完毕为主.5.小结，做业.尔为什么要采与那几个关节呢?果为从往常的体味瞅，当央供教死供复合函数的单调区间时，他往往不思量那个函数的定义域，而那种过失又很顽固，短佳纠正.为此，本节课尔正在廛为什么央供复合函数的定义域，以及定义域与单调区间的关系上，加进了较大的粗力.力供使教死搞到，设念粗确，步调浑晰.为了安排教死的主动性，超过课堂的主体是教死，尔把四道例题分了条理，第一道由西席带领、逐步逐层导出解题思路，由西席写出解题的齐历程；第二题，思路由教死提供，要领仍旧再由西席写一遍，那样，既让教死有了赢得新知识的快乐，又不必果对付解题要领的不认识而烦恼；后二道例题是以中上等的教死自己独力解问为主的.每搞完一道题，由西席简朴天小结、建改，以使佳教死掌握得更完备，较好的教死不妨跟得上.。