001集合

集合子集个数求法推导1. 引言在数学中，集合是由一组元素组成的对象。

集合的子集是指一个集合中的部分元素所构成的集合。

求解一个集合的所有子集个数是一个常见且重要的问题，它在组合数学、离散数学、算法设计等领域都有广泛的应用。

本文将从基础概念开始，逐步推导出求解一个集合的所有子集个数的方法，并给出具体的实现代码。

2. 基础概念在开始推导之前，我们先来回顾一下与本文相关的一些基础概念。

2.1 集合集合是由一组确定元素所构成的整体。

通常用大写字母表示，如A、B等。

元素可以是任意类型，但同一个集合中不能有重复元素。

2.2 子集设A和B为两个集合，如果A中的所有元素都同时也是B中的元素，则称A为B的子集。

用符号表示为A⊆B。

2.3 空集不包含任何元素的集合称为空集，用符号{}表示。

2.4 幂集对于一个给定的集合A，它包含了A所有可能子集构成的全体集合称为A的幂集。

幂集中包含了空集和A本身，因此幂集的元素个数为2^n，其中n为A中元素的个数。

3. 求解子集个数的方法3.1 枚举法最直观的方法是使用枚举法来求解子集个数。

对于一个给定的集合A，我们可以枚举所有可能的子集，然后计算其个数。

假设A中有n个元素，则对于每一个元素，它可以选择出现或者不出现在子集中。

因此，对于每一个元素来说，有两种选择：出现或者不出现。

由于每个元素都有这两种选择，所以总共的子集个数为2^n。

使用递归算法可以方便地实现上述思想：def subsets(nums):res = []dfs(sorted(nums), [], res)return resdef dfs(nums, path, res):res.append(path)for i in range(len(nums)):dfs(nums[i+1:], path+[nums[i]], res)上述代码中，nums表示输入的原始集合，path表示当前正在构建的子集，res用于存储所有生成的子集。

一集合A的子集个数1 n个元素每个都有两种选择，即有或没有，那么n个元素就有2^n种2 有n个元素，每个元素进行一次判断要不要把它选出来放进子集里，。

这样子判断n 次，产生了2^n种不同子集二若集合A有n个元素，则集合A的子集个数为2^n（即2的n次方）真子集个数是什么非空真子集个数是什么并证明最佳答案2^n - 1, 2^n - 2证：设元素编号为1, 2, ... n。

每个子集对应一个长度为n的二进制数, 数的第i位为1表示元素i在集合中，0表示元素i不在集合中。

00...0(n个0) ~ 11...1(n个1) [二进制]一共有2^n个数，因此对应2^n个子集，去掉11...1(即全1，表示原来的集合A)则有2^n-1个真子集，再去掉00...0(即全0，表示空集）则有2^n-2个非空真子集比如说集合{a, b, c}元素编号为a--1, b--2, c--3111 <--> {a, b, c} --> 即集合A110 <--> {a, b, } --> 元素1(a), 元素2(b)在子集中101 <--> {a, , c} --> 元素1(a), 元素3(c)在子集中... ...001 <--> { , , c}000 <--> { , , } --> 即空集如果你学过排列组合，可以有更简单的证明。

三关于含有n个元素的集合的真子集个数问题最近发现这么一类问题，让你求对于含有n个元素的集合，其含有m个元素真子集的个数是多少？（n>m）这里有一道例题：1个集合里有10个元素，那么他有3个元素的子集是多少个？首先，我们来逐步解决这个问题。

引入一：1个集合里有10个元素，那么他有1个元素的子集是多少个？答：这个貌似不用说都知道吧。

10个。

这个小学生都会做。

即有n个引入二：1个集合里有10个元素，那么他有2个元素的子集是多少个？答：这个就有一些难度了，但并不很难，这里有一个思路：先定住一个元素，然后另一个元素逐渐往后移动，可能我说不清楚，请看图解：（◎定住元素★移动元素☆其他元素，下同）◎★☆☆☆☆☆☆☆☆下一步是：◎☆★☆☆☆☆☆☆☆就像这样，发现什么了么？对，定住一个之后，问题就化简了，变成了：1个集合里有9个元素，那么他有1个元素的子集是多少个？之后向后移动定住元素，像那样再次化简问题，如图所示：◎☆☆☆☆☆☆☆☆★下一步是：☆◎★☆☆☆☆☆☆☆结果就出来了：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个发现什么了么？这好像高斯定理啊，那么这个公式就是n(n-1)/2其实，这个小问题是著名的握手问题，即10人相互握手，既不重复，又不落空，总共要握多少次？答案依然为45个。

中职数学集合教学大纲(完整版)中职数学集合教学大纲中职数学课程主要内容包括：集合与集合运算、简易逻辑、函数、数列、不等式、指数与指数幂、对数、三角函数、向量、复数、排列组合、概率与统计初步、极限、导数和积分等。

在能力要求方面，认知性、理解性和应用性水平的要求依次递增，但无论是哪种要求，都需要一定的计算和推理能力。

此外，对实际问题的处理能力也被列为重要的要求之一，要求学生能够分析实际问题中蕴含的数学关系，选择适当的数学方法加以处理。

在知识点要求方面，中职数学大纲涵盖了集合运算、逻辑推理、函数解析式、数列极限、指数和对数、三角函数、向量坐标等方方面面的内容，大纲内容突出体现了中职数学的基础性和应用性，旨在为学生后续学习和步入社会打好基础。

总体来说，中职数学集合教学大纲注重学生的基础数学能力和应用能力的培养，强调实际问题的处理能力，大纲内容突出体现了中职数学的基础性和应用性。

中职学校数学教学大纲中职数学课程的教学内容分为基础模块、职业模块和拓展模块三个部分。

基础模块是必修内容，包括整数运算、代数式及其运算、方程及其解法、不等式及其解法、数列、排列组合、概率与统计等。

职业模块是为相关专业设置的与专业相关的数学课程，包括电工数学、机械基础、财经数学、电子数学等。

拓展模块是为有兴趣学习的学生设置的，包括趣味数学、数学建模、奥林匹克数学等。

每个部分都有明确的教学目标和内容要求，同时也规定了所用教材的编写要求。

总之，中职数学大纲力求体现数学是基础文化课程，它在日常生产、生活中应用广泛，对培养学生的科学思维方式和创新精神、创新能力有重要作用。

中职数学历年教学大纲以下是部分中职数学历年教学大纲：__2018年教育部重新制定了教学大纲，分为基础模块和职业模块两个部分。

基础模块适用于各类中等职业学校的学生，包括初中毕业生、未升学的高中毕业生以及职业高中、成人中专、技工学校等。

职业模块则适用于对口高职的学生。

__2019年的教学大纲包括基础模块、职业模块和数学拓展模块。

集合的概念及运算编号:001 一、考纲要求（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系.②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.②在具体情境中，了解全集与空集的含义.（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③能使用韦恩（V enn）图表达集合的关系及运算.二、复习目标了解集合的含义；集合包含与相等的含义，能识别给定集合的子集（不要求证明集合的相等关系、包含关系）；全集与空集的含义。

理解两个集合的并集与交集的含义；会求两个简单集合的并集与交集。

理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集。

会用Venn图表示集合的关系及运算。

三、重点难点1、集合的子、交、并、补运算2、V enn图和数轴在解决集合问题时的应用四、要点梳理1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Aa∈；若b不是集合A的元素，记作Ab∉；（2）集合中的元素必须满足、、。

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，与顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或韦恩图法；列举法：把集合中的元素出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1：集合的概念一、【新情境·激趣入题】军训期间，我们经常会听到教官在高喊：（*）连的全体同学集合！听到口令，咱们班的全体同学会从四面八方聚集到教官的身边，而那些不是咱们班的同学就会自动走开。

这样一来，教官的一声“集合”（动词）就“把一些能够确定的不同的对象构成一个整体了”。

数学中“集合”这一概念并不是教官所用的动词意义下的概念，而是一个名词性质的概念，同学们在教官的集合口令下形成的整体即是数学中集合的涵义。

集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只是描述性的说明。

某些确定的不同的对象对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。

二、【新知识·导学探究】【新知导学】1.集合：一般地，把一些能够⑴对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），通常用⑵来表示。

2.元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的⑶（或⑷），通常用⑸来表示。

3.元素与集合的关系：如果⑹的元素，就说a属于A。

记作⑺。

如果⑻的元素，就说a不属于A，记作⑼。

4.空集：⑽，记作⑾。

5.集合的分类：含有有限个元素的集合叫做⑿，含有无限个元素的集合叫做⒀。

答案：⑴确定的不同的⑵英语大写字母A,B,C…⑶元素⑷成员⑸英语小写字母a,b,c …⑹a是集合A ⑺a∈A ⑻a不是集合A ⑼ a ∉ A ⑽把不含任何元素的集合叫做空集⑾Φ⑿有限集⒀无限集⒁ N ⒂N*或N+ ⒃ Z ⒄ Q ⒅R【问题探究】（1）本节有那些概念？是如何定义的？答案：集合，元素，空集。

集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）；元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）；空集：把不含任何元素的集合叫做空集。

（2）思考与讨论：元素与集合之间用∈和∉来表示，∈和∉开口方向向着谁呢？答案：∈ 和∉ 开口方向向着集合。

1 / 6离散数学（1）复习题一、填空题1、集合S={n 100 | n ∈N}的基数为（ 0ℵ ）。

2、设R 是集合A 上的二元关系，则R 是对称的，当且仅当其关系矩阵（ 为对称矩阵 ）。

3、集合P={Ф，{a}}的幂集ρ(P)=（ {Ф,{Ф},{a}, {Ф，{a}} } ）。

4、设A={1,2,7,8}，B={i │i ∈N 且i 2<50}，则A —B=（ {8} ）。

5、设(A ，≤)是一个有界格，只要满足（ 每个元素均有补元 ），它也是有补格。

6、设S 为非空有限集，代数系统（ρ(S)，Y ，I ）中，ρ(S)对Y 的零元为（ S ），ρ(S)对I 的单位元为（ Ф ）。

7、重言式的否定式是（ 矛盾 ）。

8、设A=φ，B={φ，{φ}}，则B －A=（ {}{}φφ， ）。

9、集合A={1，2，…，10}上的关系R={（x ，y ）│x+y=10且x 、y ∈A}，则R 的性质为（ 对称的 ）。

10、有界格（P ，∧，∨）对于“∧”运算的零元为（ 0 ）。

11、设P ：张三可以做这件事，Q ：李四可以做这件事。

则命题“张三或李四可以做这件事”符号化为（ P Q ∨ ）。

12、设M={x| f 1（x ）=0}，N={x| f 2（x ）=0}，则方程f 1（x ）·f 2（x ）=0的答案为（ M N U ）。

13、设 |A|=m ，|B|=n ，则 |ρ(A ×B) | 等于（ 2m n ⨯ ）。

二、计算与证明题1、设A={0，1}，B={a ，b}，求：（1）A ×B ；（2）B ×A答：（1）()()()(){}0,,0,,1,,1,A B a b a b ⨯=（2）()()()(){},0,,0,,1,,1B A a b a b ⨯=2、（1）叙述幂集的定义；（2）求集合P={Ф，{a}}的幂集ρ(P)．。

必修1 《集合》专题复习★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：属于不属于4.常见集合的符号表示 中的元中至少有一元素不是空集是任何集合的子集，是任，（）三：集合的基本运算①两个集合的交集:= ; ②两个集合的并集: =; ③设全集是U,集合,则AB A ⊆φφB φ≠B A B {}x x A x B ∈∈且A B {}x x A x B ∈∈或A U ⊆U C A ={}x x U x A ∈∉且★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征[例1]定义集合运算：．设，则集合的所有元素之和为（）A ．0；B ．2；C ．3；D ．6题型2：集合间的基本关系[例2]．数集与之的关系是（） A ．；B ．； C ．；D ．[巩固练习]1．第二十九届夏季奥林匹克运动会于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）A ． B. C. D.2．定义集合运算:,设集合,,则集合的所有元素之和为3．设和是两个集合，定义集合，如果{}03P x x =<<，{}11Q x x =-<<,那么等于考点二：集合的基本运算[例1] 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，求集合()U C A B .{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈{}{}1,2,0,2A B ==A B *{}Z n n X ∈+=,)12(π{}Z k k Y ∈±=,)14(πXY Y X Y X =Y X ≠B A ⊆C B ⊆C B A = A C B = {}B y x xy y x B ∈∈+==⊗A,,z A 22{}1,0A ={}3,2=B B ⊗A P Q =-Q P {}Q x P x x ∉∈且,|Q P -[例2]设集合， （1） 若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围.[巩固练习]1.设集合{|20}A x x =+=,集合2{|40}B x x =-=,则右图中阴影部分表示的集合为( )(A){2}- (B){2} (C){2,2}- (D)2．已知集合，，那么集合为（）A.；B.；C.；D.3.已知集合{11}A x x =-≤≤，{}B x x a =>，且满足A B φ= ，则实数a 的取值范围是.4.经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为.5.已知集合2{|0}A x x px q =++=，2{|20}B x x px q =--=，且{1}A B =- ，求A B ．6.集合,,且,求实数的值.{}0232=+-=x x x A {}0)5()1(222=-+++=a x a x x B {}2=B A a A B A = a {}2),(=+=y x y x M {}4),(=-=y x y x N N M 1,3-==y x )1,3(-{}1,3-{})1,3(-{|10}A x ax =-={}2|320B x x x =-+=A B B =a。

1．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}.若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A.0B.1C.2D.4答案：D解析：∵A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，2164a a ⎧=⎨=⎩∴a =4 题干评注：集合的基本概念及表示方法问题评注：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合2．设全集I ＝{1,2a －4，a 2－a －3}，A ＝{a －1,1}，∁I A ＝{3}，则a 的值为 ( )A.－2B.3C.－2或3D.72答案：B解析：解⎩⎨⎧=---=-331422a a a a 或⎩⎨⎧-=--=-133422a a a a题干评注：集合的基本概念及表示方法问题评注：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合3．已知集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B ，且log x y ∈N *}，则中元素个数是 ( )A.9B.8C.3D.4答案：D解析：∵log x y ∈N *，∴x ＝2时，y ＝2，或4，或8；x ＝4时，y ＝4.∴共有(2,2)，(2,4)，(2,8)，(4,4)四个点.即C 中元素个数是4.题干评注：集合的基本概念及表示方法问题评注：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合4．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素.若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为 ( )A.mnB.m ＋nC.n －mD.m －n答案：D解析：∵(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素，如图所示阴影部分，又∵U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素题干评注：集合的基本概念及表示方法问题评注：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合5．设集合A＝{x|y＝x2－4}，B＝{y|y＝x2－4}，C＝{(x，y)|y＝x2－4}，则下列关系：①A∩C＝∅；②A＝C；③A＝B；④B＝C.其中不．正确的共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解析：集合A是数集，它是二次函数y＝x2－4的自变量组成的集合，即A＝R，集合B也是数集，它是二次函数y＝x2－4的值域，即B＝{y|y≥－4}；而集合C是点集，是二次函数图象上所有点组成的集合.因此②、③、④都不正确.题干评注：集合的基本概念及表示方法问题评注：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合6．对任意两个集合M、N，定义：M－N＝{x|x∈M且x∉N}，M*N＝(M－N)∪(N－M)，设M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sin x，x∈R}，则M*N＝()A.(－∞，－3)∪(0,3]B.[－3,0)∪(3，＋∞)C.(－3,0)∪(3，＋∞)D.[－3,0)∪[3，＋∞)答案：B解析：依题意有M＝[0，＋∞)，N＝[－3,3]，所以M－N＝(3，＋∞)，N－M＝[－3,0)，故M*N＝(M－N)∪(N－M)＝[－3,0)∪(3，＋∞).题干评注：集合的基本概念及表示方法问题评注：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合7．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝.A{2} B{4，6} C{2，4，6，8} D{4，6，8}答案：C解析：A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}题干评注：集合的基本概念及表示方法问题评注：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合8．已知集合A＝{a，b,2}，B＝{2，b2,2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝.A.a=0B.a=2C.a=14 D. a＝0或14答案：D解析：由A∩B＝A∪B知A＝B，又根据集合元素的互异性，所以有22a a b b a b =⎧⎪=⎨⎪≠⎩或⎪⎩⎪⎨⎧≠==b a a b b a 22，解得⎩⎨⎧==10b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141b a ， 故a ＝0或14 题干评注：集合的基本概念及表示方法问题评注：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合9．设集合A ＝{x 2,2x －1，－4}，B ＝{x －5,1－x,9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B . A{-8，-4，-7} B{-8，-4，4，-7，9} C{-7，9} D{4，9}答案：B解析：由9∈A ，可得x 2＝9，或2x －1＝9，[来源:状元源]解得x ＝±3，或x ＝5.当x ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2,9}，B 中 元素重复，故舍去；当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8,4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－ 7，－4，－8,4,9}； 当x ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去.综上所述，A ∪B ＝{－8，－4,4，－7,9}.题干评注：集合的基本概念及表示方法问题评注：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合10．设P ＝{x |12＋x －x 2≥0}，Q ＝{x |m －1≤x ≤3m －2}，若Q ⊆P ，求实数m 的取值范围A m ≤2B m ≥2C m ＜2D m ＞2答案：A解析：由已知得，P ＝{x |x 2－x －12≤0}＝{x |(x ＋3)(x －4)≤0}＝{x |－3≤x ≤4}.由Q ⊆P ，分两种情况：①由Q ≠∅时，－3≤m －1≤3m －2≤4，解得12≤m ≤2； ②当Q ＝∅时，m －1>3m －2，解得m <12.综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤2} 题干评注：集合的基本概念及表示方法问题评注：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合。

将集合转为字符串的方法在日常编程中，我们经常需要将集合转换为字符串的形式进行输出或处理。

集合是一种包含多个元素的数据结构，而字符串是由字符组成的序列。

将集合转为字符串可以方便地进行数据的传递、展示和处理。

本文将介绍几种常用的将集合转为字符串的方法，并分别进行详细的步骤说明和示例演示。

一、集合直接转字符串第一种方法是直接将集合对象转为字符串。

在Python中，可以使用str()函数将对象转为字符串。

1. 创建一个集合对象。

2. 使用str()函数将集合对象转为字符串。

# 创建一个集合对象s = {1, 2, 3, 4, 5}# 将集合对象转为字符串s_str = str(s)# 输出转换后的字符串print(s_str){1, 2, 3, 4, 5}二、使用join()方法拼接字符串第二种方法是使用join()方法拼接字符串。

join()方法是字符串对象的方法，可以通过指定分隔符将一个可迭代对象的元素连接在一起。

1. 创建一个集合对象。

2. 使用join()方法将集合的元素转为字符串，并指定分隔符。

# 创建一个集合对象s = {1, 2, 3, 4, 5}# 使用join()方法将集合的元素转为字符串，并指定分隔符s_str = ', '.join(str(x) for x in s)# 输出转换后的字符串print(s_str)1, 2, 3, 4, 5三、使用列表推导式转换为字符串第三种方法是使用列表推导式将集合的元素转换为字符串，并使用字符串对象的join()方法拼接字符串。

1. 创建一个集合对象。

2. 使用列表推导式将集合的元素转为字符串列表。

3. 使用join()方法将字符串列表拼接为字符串。

# 创建一个集合对象s = {1, 2, 3, 4, 5}# 使用列表推导式将集合的元素转为字符串列表，并使用join()方法拼接字符串s_str = ', '.join([str(x) for x in s])# 输出转换后的字符串print(s_str)1, 2, 3, 4, 5本文介绍了将集合转为字符串的三种常用方法，包括直接转字符串、使用join()方法拼接字符串以及使用列表推导式转换为字符串。

一一映射的例子(一)一一映射的例子及详解什么是一一映射？一一映射是数学中关于集合的概念，指的是集合A中的每一个元素都与集合B中的唯一元素相对应。

换句话说，每个A中的元素都有一个B中的元素与之对应，并且每个B中的元素也有一个A中的元素与之对应。

例子1: 英文名字和中文名字•集合A：英文名字。

例如，{“John”, “Emily”, “Michael”}•集合B：中文名字。

例如，{“约翰”, “艾米丽”, “迈克尔”}对于这个例子，集合A中的每个元素与集合B中的唯一元素一一对应。

例如，“John”对应”约翰”，“Emily”对应”艾米丽”，“Michael”对应”迈克尔”。

同时，集合B中的每个元素也有与之对应的集合A中的元素。

例子2: 身份证号码和个人信息•集合A：身份证号码。

例如，{““,”“,”“}•集合B：个人信息。

例如，{“张三”, “李四”, “王五”}在这个例子中，集合A中的每个身份证号码与集合B中的唯一个人信息一一对应。

例如，““对应”张三”，““对应”李四”，““对应”王五”。

同样地，集合B中的每个个人信息也有与之对应的集合A中的身份证号码。

例子3: 学生和学号•集合A：学生。

例如，{“小明”, “小红”, “小李”}•集合B：学号。

例如，{“001”, “002”, “003”}在这个例子中，集合A中的每个学生与集合B中的唯一学号一一对应。

例如，“小明”对应”001”，“小红”对应”002”，“小李”对应”003”。

同样地，集合B中的每个学号也有与之对应的集合A中的学生。

例子4: 邮箱地址和用户•集合A：邮箱地址。

例如，{““,”“,”“}•集合B：用户。

例如，{“John”, “Emily”, “Michael”}在这个例子中，集合A中的每个邮箱地址与集合B中的唯一用户一一对应。

例如，““对应”John”，““对应”Emily”，““对应”Michael”。

同样地，集合B中的每个用户也有与之对应的集合A中的邮箱地址。

元素个数和子集数目的关系首先，让我们明确一下什么是子集。

对于一个集合S，它的子集是指包含S中部分或全部元素的集合。

例如，对于集合S={a,b,c}，它的子集包括{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}和{a,b,c}。

显然，集合S本身也是它的一个子集。

现在，我们来看看一个有趣的问题：对于一个包含n个元素的集合，它的子集有多少个？一种简单的思路是，对于每个元素，它都可以选择出现或者不出现在子集中，这样子集的数目就是2的n次幂。

这是因为，对于n个元素，每个元素都有两种可能状态（出现或者不出现），所以总共会有2^n个子集。

例如，对于一个只包含一个元素的集合，它的子集有2个：空集和包含这个元素的集合本身。

对于一个包含两个元素的集合，它的子集有4个：空集、两个单元素的集合、还有一个包含两个元素的集合本身。

对于一个包含三个元素的集合，它的子集有8个：空集、三个单元素的集合、三个两个元素的集合和一个包含三个元素的集合本身。

这个结果其实也可以通过数学归纳法来证明。

假设对于一个包含k个元素的集合，它的子集数目是2^k。

那么对于一个包含k+1个元素的集合，我们可以将它中的一个元素去掉，得到一个包含k个元素的集合。

根据归纳假设，这个集合的子集数目是2^k，然后对于这个元素，它可以选择出现或者不出现在子集中，所以总共会有2^k*2=2^(k+1)个子集。

通过数学归纳法的证明，我们可以得到对于任意个元素的集合，它的子集数目都是2的n次幂。

除了上面的直观解释和数学归纳法的证明之外，还有一种有趣的方法可以解释子集数目和元素个数之间的关系，那就是使用二进制数。

对于一个包含n个元素的集合，我们可以用一个长度为n的二进制数来表示每个元素是否出现在子集中。

例如，对于集合{a,b,c}，我们可以用000来表示空集，001来表示{a}，010来表示{b}，011来表示{a,b}，依此类推。

显然，我们可以通过计算从0到2^n-1的所有二进制数来得到所有子集。

高一数学序号001 高一年级班教师方雄飞学生课题集合的概念学习目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）掌握常用数集及其记法、集合元素的三个特征.学习重点：集合的含义和特征.学习难点：集合的含义和特征.学习过程：一、学前准备：预习教材23P P-，找出疑惑之处，并思考下面的问题.（1）集合的含义是什么？元素与集合有何关系？（2）集合是否与实数一样有大小、相等之分？能分类吗？（3）你认为怎样表示一个集合？常用数集有那些（含字母表示）？一般集合它有什么特征？二、探究活动：（一）新知导入【问题1】考察下列问题，解决思考1：（1）1～10之间的所有偶数；（2）立德中学今年入学的全体高一学生；（3）所有的正方形；（4）到直线l的距离等于定长d的所有点;（5）方程2320x x的所有实数根；（6）地球上的四大洋。

【思考1】（1）实例中的每组对象的全体能组成集合吗？（2）把研究对象看作元素，每个集合的元素是什么？（3）构成集合元素的对象可以是什么？（二）集合集合的概念：（1）一般地，我们把研究对象统称为，把一些元素组成的叫做集合(简称为集)．（2）我们通常用表示集合，用表示集合中的元素．【思考2】（1）所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？（2）由1,3,0,5,︱-3 ︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？由此说明什么？（3）高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？（4）如果两个集合中，元素完全一样，那么这两集合相等，这种说法正确吗？（5）由以上思考题，可以得到集合有什么特性？【做一做】下列对象能组成集合的是()A．2的所有近似值B．某个班级中学习好的所有同学C．2021年全国高考数学试卷中所有难题D．屠呦呦实验室的全体工作人员（三）元素与集合的关系【思考3】已知下面的两个实例：（1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.（2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学.思考：那么a，b与集合A分别有什么关系?1.元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说a 集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a集合A，记作.2.例1 下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②6∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1B．2C．3 D．4【巩固练习1】已知集合A中的元素x满足x－1<3，则下列各式正确的是()A．3∈A且－3∉A B．3∈A且－3∈AC．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A（四）集合的表示【思考4】（1）地球上的四大洋组成的集合如何表示？（2）方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何表示呢？（3）通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的特点吗？1.列举法：把集合的所有元素，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．【探究】集合,,,是否是相等的集合？例2.用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合.（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.【巩固练习2】用列举法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于3.1小于12.8的整数的全体；(3)方程x－2＋|y＋1|＝0的解集；(4)正奇数组成的集合．【思考5】（1）能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗？（2）能否用列举法表示不等式x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？（3）不能用列举法表示的集合怎样表示？2.描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．【探究2】集合,,是否是相等的集合？例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合.(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合.(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.【巩固练习3】用描述法表示下列集合：(1)不等式2x－3＜1的解组成的集合A；(2)被3除余2的正整数的集合B；(3)C＝{2,4,6,8,10}；(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.例4. 用适当的方法表示下列集合：①绝对值小于5的全体实数组成的集合；②所有正方形组成的集合；③除以3余1的所有整数组成的集合；④构成英文单词mathematics的全体字母．【巩固练习4】设集合B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x∈N⎪⎪62＋x∈N.(1)试判断元素1和2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B.课堂小结1.通过这节课，你学到了什么知识？2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？高一数学序号001 高一年级班教师方雄飞学生课题集合的概念【课后作业】1．设不等式3-2x<0的解集为M，下列正确的是（）A.0∈M，2∈MB. 0∉M，2∈MC.0∈M，2∉MD. 0∉M，2∉M2.由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有________个元素．( ) A．1 B．2 C．3 D．43.（多选）（2020秋•农安县月考）下面四个说法中错误的是（）A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}C．方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1，1}D．0与{0}表示同一个集合4.（多选）若集合A具有以下性质：（1）0∈A，1∈A；（2）若x∈A，y∈A；则x﹣y∈A，且x≠0时，A x∈1．则称集合A是“好集”．下列命题中正确的是（）A．集合B＝{﹣1，0，1}是“好集”B．有理数集Q是“好集”C．整数集Z不是“好集”D．设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x+y∈A5．方程x2-3x-3=0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a + b= 。