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函数的最大（小）值教学设计2 函数的最大（小）值我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f(x0)更大（小）的值.但是在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.如果x0在某个区间上函数y=f(x) 的最大（小）值点，那么f(x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值图5.3-13是函数y=f(x)，x∈[a,b]的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？观察图象，我们发现，f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y=f(x)的极小值，f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y=f(x)的极大值.探究进一步地，你能找出函数y=f(x)在区间[a, b]上的最小值，最大值吗？从图5.3-13可以看出，函数y=f(x)在区间[a, b]上的最小值是f(x3)，最大值是f(a).在图5.3-14、图5.3-15中，观察[a, b]上的函数y=f(x)和g=f(x)的图象，它们在[a, b]上有最小值，最大值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？一般地，如果在区间[a, b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.结合图5.3-14、图5.3-15，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.x3−4x+4在区间[0,3]例 6 求函数f(x)=13上的最大值与最小值.解：由例5可知，在[0,3]上，x3−4x+4有极小值，当x=2时，函数f(x)=13.并且极小值为f(2)=−43又由于f(0)=4，f(3)=1，x3−4x+4在区间[0,3]上所有，函数f(x)=13的最大值是4，最小值是−43.上述结论可以从函数f(x)=13x3−4x+4在区间[0,3]上的图象（图5.3-16）得到直观验证.规律方法一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数y=f(x)在区间（a, b）上的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.证明：当x>0时，1−1x≤ln x①证明：将不等式①转化为1x−1+ln x≥0设s(x)=1x−1+ln x，那么s′(x)=−1x2+1x=x−1x2令s′(x)=0，解得x=1.当x变化时，s′(x)，s(x)的变化情况如下表所当x<-1时，f(x)<0；当x>-1时，f(x)>0.所以，f(x)的图象经过特殊点A(−2,−1),B(−1,0),C(0,1).e2当x→−∞时，与一次函数相比，指数函数y=e−x呈爆炸性增长，→0；从而f(x)=x+1e−x当x→+∞时，f(x)→+∞,f′(x)→+∞.根据以上信息，我们画出f(x)的大致图象如图5.3-17所示.（3）方程f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数.由（1）及图5.3-17可得，当x=-2时，f(x)有.最小值f(−2)=−1e2所以，关于方程f(x)=a(a∈R)的解的个数有如下结论：时，解为0个；当a<−1e2或a≥0时，解为1个；当a=−1e2<a<0时，解为2个.当−1e2由例7可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质.通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象：当半径r>2时，f′(r)>0，f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r<2时，f′(r)<0，f(r)单调递减，即半径越大，利润越低.（1）半径为6 cm时，利润最大.（2）半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值.换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)的图象（图 5.3-18）上观察，你有什么发现？从图象上容易看出，当r=3时，f(3)=0，即瓶子的半径是3 cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r>3时，利润才为正值.当r∈(0,2)时，f(r)是减函数，你能解释它的实际意义吗？通过此问题的解决，我们很容易回答开始时的问题.请同学们自己作出回答.课堂练习：1判断正误（1）所有的单调函数都有最值.（2）函数f(x)在区间[a, b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得.。
第二课时 函数的最大(小)值课标要求素养要求1.能利用导数求某些函数的在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.区别函数的极值和最大(小)值，借助于求函数的最大(小)值的运算，提升学生的数学运算和直观想象素养.新知探究观察如图所示的函数y ＝f (x )，x ∈[－3，2]的图象，回忆函数最值的定义，回答下列问题：问题1 图中所示函数最值点与最值分别是什么？提示 最大值点是x ＝2，最大值是3；最小值点是x ＝0，最小值是－3.问题2 图中所示函数的极值点与极值分别是什么？提示 极大值点是x ＝－2，极大值是2；极小值点是x ＝0，极小值是－3.问题3 一般地，函数的最值与函数的极值有什么关系？提示 函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值.1.函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值 函数的最大值与最小值最多只有一个，极大值与极小值则可能有多个(1)函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得.(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2.最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.拓展深化[微判断]1.函数的最大值不一定是函数的极大值.(√)2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(×)提示 也可能在极值点处取到.3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(×)提示 有极值的函数不一定有最值，如图所示，导函数f(x)有极值，但没有最值.4.函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，则f (x )在区间[a ，b ]上一定有最值，但不一定有极值.(√)[微训练]1.连续函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( )A.极大值一定比极小值大B.极大值一定是最大值C.最大值一定是极大值D.最大值一定大于极小值解析 由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值.答案 D2.(多空题)函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋6在[－4，4]上的最大值为________，最小值为________.解析 f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )>0，得x <－1或x >3，令f ′(x )<0，得－1<x <3，故f (x )在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，故f (x )的极大值为f (－1)＝233，极小值为f (3)＝－3，又f (－4)＝－583，f (4)＝－23，故f (x )的最大值为f (－1)＝233，最小值为f (－4)＝－583.答案 233 －583[微思考]1.若函数的最大值与最小值所构成的集合为A ，则A 中的元素个数可能是多少？提示 可能为0，1，2.2.在开区间内的连续函数f (x )在此开区间上只有一个极值点，那么这个极值是最值点吗？提示 是.题型一 求函数的最值【例1】 求下列各函数的最值.(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1，1]；(2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0，2π].解 (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1，1]内恒大于0，∴f (x )在[－1，1]上为增函数.故当x ＝－1时，f (x )min ＝－12；当x ＝1时，f (x )max ＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0，2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3，计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f (2π3)＝π3＋32，f(4π3)＝2π3－32.所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0；当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.规律方法 求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f ′(x )＝0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.【训练1】 求下列函数的最值：(1)f (x )＝2x 3－6x 2＋3，x ∈[－2，4]；(2)f (x )＝e －x －e x ，x ∈[0，a ]，a 为正实数.解 (1)f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2).令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表x －2(－2，0)0(0，2)2(2，4)4f ′(x )＋0－0＋f (x )－37↗极大值3↘极小值－5↗35∴当x ＝4时，f (x )取最大值35.当x ＝－2时，f (x )取最小值－37.即f (x )的最大值为35，最小值为－37.(2)f ′(x )＝(1e x)′－(e x )′＝－1e x－e x ＝－1＋e 2xe x.当x ∈[0，a ]时，f ′(x )＜0恒成立，即f (x )在[0，a ]上是减函数.故当x ＝a 时，f (x )有最小值f (a )＝e －a －e a ；当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0.即f (x )的最小值为e －a －e a ，最大值为0.题型二 含参数的函数的最值问题【例2】 已知f (x )＝ax －ln x ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)是否存在实数a ，使f (x )在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∴所求切线的斜率为f ′(2)＝12，切点为(2，2－ln 2)，∴所求切线的方程为y －(2－ln 2)＝12(x －2)，即x －2y ＋2－2ln 2＝0.(2)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]有最小值3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递减，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a ；②当0<1a <e ，即a >1e时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a ，e )上单调递增，故f (x )min＝f(1a )＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2，满足条件；③当1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a .综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，f (x )有最小值3.规律方法 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.【训练2】 已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[0，2]上的最大值.解 f ′(x )＝3x 2－2ax .令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.(1)当2a 3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0，2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .(2)当2a 3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0，2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0.(3)当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在[0，2a 3]上单调递减，在[2a 3，2]上单调递增，从而f (x )max ＝{8－4a （0<a ≤2），0 （2<a <3），综上所述，f (x )max ＝{8－4a （a ≤2），0 （a >2）.题型三 由函数的最值求参数问题【例3】 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]时，f(x)的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数，与题设矛盾.∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).(1)当a>0时，列表如下：x－1(－1，0)0(0，2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b b －16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得最大值.∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得最小值f(0)＝－29，∴b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.规律方法 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.【训练3】 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k 的取值范围.解 ∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)h ′(x )＋0－0＋h (x )28－4当x ＝－3时，取极大值28；当x ＝1时，取极小值－4.而h (2)＝3<h (－3)＝28，如果h (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则k ≤－3.所以k 的取值范围为(－∞，－3].一、素养落地1.通过学习函数最值的概念及求解方法，培养数学抽象和数学运算素养.2.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.3.已知最值求参数时，可先用参数表示最值，有时需分类讨论.二、素养训练1.函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( )A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.答案 D2.函数y ＝x －sin x ，x ∈[π2，π]的最大值是( )A.π－1B.π2－1C.πD.π＋1解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈[π2，π]时，y ′>0，则函数在区间[π2，π]上为增函数，所以y的最大值为y max＝π－sin π＝π，故选C.答案 C3.已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )A.20B.18C.3D.0解析 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3，2]，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，－1]上单调递增.f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3，2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故选A.答案 A4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________.解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.答案 －715.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.解析 f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.答案 －4基础达标一、选择题1.已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A.f (a )－g (a ) B.f (b )－g (b )C.f (a )－g (b )D.f (b )－g (a )解析 令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a ).答案 A2.函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A.[0，1) B.(0，1)C.(－1，1)D.(0，12)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0，1)，∴0<a <1，故选B.答案 B3.函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间[－π2，0]上的最小值是( )A.－π2B.2C.π6＋ 3 D.π3＋1解析 f ′(x )＝1－2sin x ，因为x ∈[－π2，0]，所以sin x ∈[－1，0]，所以－2sin x ∈[0，2].所以f ′(x )＝1－2sin x ＞0在[－π2，0]上恒成立.所以f (x )在[－π2，0]上单调递增.所以f (x )min ＝－π2＋2cos (－π2)＝－π2.答案 A4.若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( )A.2B.1C.233D.0解析 ∵f (x )在x ＝π3处有最值，∴x ＝π3是函数f (x )的极值点.又∵f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x ，∴f ′(π3)＝a cos π3＋cos π＝0，解得a ＝2.答案 A5.关于函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.下列说法中：①它的极大值为283，极小值为－43；②当x ∈[3，4]时，它的最大值为283，最小值为－43；③它的单调减区间为[－2，2]；④它在点(0，4)处的切线方程为y ＝－4x ＋4，其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 ∵函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)·(x ＋2).由f ′(x )＝(x －2)(x ＋2)>0，得x >2或x <－2，此时函数单调递增；由f ′(x )＝(x －2)(x ＋2)<0，得－2<x <2，此时函数单调递减，∴③正确；当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝283，当x ＝2时，函数f (x )取得极小值f (2)＝－43，∴①正确；x ∈[3，4]时，f (x )单调递增，它的最大值为f (4)＝433－4×4＋4＝283，最小值为f (3)＝333－4×3＋4＝1，∴②错误；f ′(0)＝－4，f (0)＝4，∴它在点(0，4)处的切线方程为y ＝－4x ＋4，∴④正确，故选C.答案 C二、填空题6.(多空题)设函数f (x )＝ln x x，x ∈[1，4]，则f (x )的最大值为________，最小值为________.解析 由f (x )＝ln x x 得f ′(x )＝1－ln x x 2，令f ′(x )>0，则1－ln x >0，解得0<x <e ；令f ′(x )<0，则1－ln x <0，解得x >e.∴函数f (x )在[1，e]上单调递增，在[e ，4]上单调递减，且f (1)＝0，f (4)＝ln 44>0，∴f (x )的最大值为f (e)＝ln e e ＝1e ，f (x )的最小值为f (1)＝0.答案 1e 07.已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间(－2，－1)上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m 2.由题意得m 2∈(－2，－1)，故m ∈(－4，－2).答案 (－4，－2)8.已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________.解析 ∵f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3＝－2(x －a )2＋3＋2a 2，∴f ′(x )max ＝3＋2a 2＝5，∵a >0，∴a ＝1.∴f ′(x )＝－2x 2＋4x ＋3，f ′(1)＝－2＋4＋3＝5.又f (1)＝－23＋2＋3＝133，∴所求切线方程为y －133＝5(x －1).即15x －3y －2＝0.答案 15x －3y －2＝0三、解答题9.已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切.(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )在[1e ，e ]上的最大值.解 (1)f ′(x )＝a x－2bx (x >0).由曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，得{f ′（1）＝0，f （1）＝－12，即{a －2b ＝0，－b ＝－12，解得{a ＝1，b ＝12.(2)由(1)，得f (x )＝ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x .令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )在[1e，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在[1e ，e ]上的最大值为f (1)＝－12.10.已知函数f (x )＝2e x (x ＋1).(1)求函数f (x )的极值；(2)求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值.解 (1)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得x >－2；由f ′(x )<0，得x <－2.∴f (x )在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.∴f (x )的极小值为f (－2)＝－2e －2，无极大值.(2)由(1)，知f (x )在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.∵t >－3，∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2)上单调递减，在(－2，t ＋1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2.②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)，∴f (x )min ＝{－2e －2，－3<t <－2，2e t （t ＋1），t ≥－2.能力提升11.已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________.解析 由题意知，当x ∈(0，2)时，f (x )的最大值为－1.令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f(1a )＝－ln a －1＝－1.解得a ＝1.答案 112.已知函数f (x )＝ln x ＋a x .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值.解 函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax 2＝x －a x 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上是增加的.∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞).(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )是单调递增，其最小值为f (1)＝a ≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )是减少的，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )是增加的，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.③当a ≥e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e ≥2，与最小值是32相矛盾.综上所述，a 的值为 e.创新猜想13.(多选题)下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是( )A.f (x )>0的解集是{x |0<x <2}B.f (－2)是极小值，f (2)是极大值C.f (x )没有最小值，也没有最大值D.f (x )有最大值无最小值解析 由f (x )>0得0<x <2，故A 正确.f ′(x )＝(2－x 2)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，当x <－2或x >2时，f ′(x )<0，当－2<x <2时，f ′(x )>0，∴当x ＝－2时，f (x )取得极小值，当x ＝2时，f (x )取得极大值，故B 正确.当x →－∞时，f (x )<0，当x →＋∞时，f (x )<0，且f (2)>0，结合函数的单调性可知，函数f (x )有最大值无最小值，故C 不正确，D 正确.答案 ABD14.(多选题)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则下列结论正确的是( )A.函数f (x )存在两个不同的零点B.函数f (x )既存在极大值又存在极小值C.当－e<k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D.若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为2解析 A.令f (x )＝0，解得x ＝－1±52，所以A 正确；B.f ′(x )＝－x 2－x －2e x ＝－（x ＋1）（x －2）e x ，当f ′(x )>0时，－1<x <2，当f ′(x )<0时，x <－1或x >2，(－∞，－1)，(2，＋∞)是函数的单调递减区间，(－1，2)是函数的单调递增区间，所以f (－1)是函数的极小值，f (2)是函数的极大值，所以B 正确.C.当x →＋∞时，y →0，根据B 可知，函数的最小值是f (－1)＝－e ，再根据单调性可知 ，当－e<k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根，所以C 正确；D.由图象可知，t 的最大值是2，所以不正确.故选ABC.答案 ABC。
第2课时 函数的最大(小)值刷新题夯基础题组一 求函数的最大(小)值1.函数f (x )在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值,最大值分别是 ( )A.f (-2),0B.0,2C.f (-2),2D.f (2),22.(2021北京房山高一上期中)函数y =2x 2-2x -1在区间[-1,1]上的最小值为 ( ) A.-12B.-1C.-32D.-23.函数y ={x +3,x <1,-x +6,x ≥1的最大值是 ( )A.3B.4C.5D.64.(2021北京丰台高一上期中)已知x >2,函数y =4x -2+x 的最小值是 ( )A.5B.4C.6D.85.(2020北京石景山高一上期末)已知函数f (x )=2x -3x+1. (1)判断函数f (x )在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明; (2)求函数f (x )在区间[2,9]上的最大值与最小值.题组二函数最大(小)值在实际问题中的应用6.某商场经营一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系:x45 50y27 12(1)确定x与y的一个一次函数关系式y=f(x)(注明函数的定义域);(2)若日销售利润为P(单位:元),根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,能获得最大的日销售利润.7.(2020山东济南历城二中高一上期末)有一批材料,可以建成长为240 m的围墙.如图,如果用这批材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形,怎样围才能使矩形场地的面积最大?最大面积为多少?题组三函数最大(小)值在求参中的应用8.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是()A.2B.-2C.2或-2D.09.(2021山东淄博高一上期中)若函数f(x)=x2+(m+1)x+3在区间(3,5)内存在最小值,则m的取值范围是()A.(5,9)B.(-11,-7)C.[5,9]D.[-11,-7]10.(2021江苏南通如东高一上期中)设f(x)=x2-2ax+1,x∈[0,2],当a=3时, f(x)的最小值是,若f(x)的最小值为1,则a的取值范围为.11.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a.(1)若a=2,求函数f(x)在区间[0,3]上的最小值;(2)若函数f(x)在区间[0,1]上有最大值3,求实数a的值.题组四函数的最大(小)值在方程与不等式中的应用12.若∀x∈(0,12],都有不等式-x+a+1≥0成立,则a的最小值为()A.0B.-2C.-52 D.-1213.已知函数f(x)=-x2+4x+m,若∃x∈[0,1],f(x)=0,则m的取值范围是()A.[-4,+∞)B.[-3,+∞)C.[-3,0]D.[-4,0]14.(2021天津南开学校高一上期中)若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围为.15.已知函数f(x)=x-1,x∈[3,5].x+2(1)判断函数f(x)的单调性并证明;(2)若不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,求实数a的取值范围;(3)若不等式f(x)>a在[3,5]上有解,求实数a的取值范围.16.(2021安徽合肥八中高一上期中)已知二次函数f(x)满足f(x)-f(x-1)=2x+1,且f(x)的图象经过点(2,-4).(1)求f(x)的解析式;(2)若x∈[-3,2],不等式f(x)≤mx恒成立,求实数m的取值范围.刷新题培素养题组一求函数的最大(小)值1.(2020天津滨海高一上期末,)给定函数f(x)=x2,g(x)=x+2,∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},则M(x)的最小值为()A.-1B.1C.2D.42.(2020河北承德一中高一上月考,)函数f(x)=2x-√x+1的最小值为()A.-178B.-2 C.-198D.-943.(多选)(2021江苏徐州六县高一上期中,)已知函数y=11-x-x(x>1),则该函数 () A.最大值为-3 B.最小值为1C.没有最小值D.最小值为-34.(2021山西太原高一上期中,)若函数f(x)=|x-2|-|x+1|的最大值为m,最小值为n,则m+n=.5.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)=x2+2ax-1,x∈[-1,1].(1)若a=12,求函数f(x)的最值;(2)若a∈R,记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a)关于a的函数解析式.题组二函数最大(小)值的综合应用6.(2020河南洛阳一中高一上月考,)若函数y=f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-254,-4],则m的取值范围是()A.(0,4]B.[32,4] C.[32,3] D.[32,+∞)7.()已知函数f(x)={-x 3+2,x<0,-x+3,x≥0,g(x)=kx+5-2k(k>0),若对任意的x1∈[-1,1],总存在x2∈[-1,1]使得f(x1)≤g(x2)成立,则实数k的取值范围为() A.(0,2] B.(0,23] C.(0,3] D.(1,2]8.(多选)()已知函数f (x )=-2x +1(x ∈[-2,2]),g (x )=x 2-2x (x ∈[0,3]),则下列结论正确的是( )A.∀x ∈[-2,2], f (x )>a 恒成立,则a 的取值范围是(-∞,-3)B.∃x ∈[-2,2], f (x )>a ,则a 的取值范围是(-∞,-3)C.∃x ∈[0,3],g (x )=a ,则a 的取值范围是[-1,3]D.∀x ∈[-2,2],∃t ∈[0,3],f (x )=g (t ) 9.(多选)(2020山东济南高一上期末,)一般地,若函数f (x )的定义域为[a ,b ],值域为[ka ,kb ],则称[a ,b ]为f (x )的“k 倍跟随区间”.特别地,若函数f (x )的定义域为[a ,b ],值域也为[a ,b ],则称[a ,b ]为f (x )的“跟随区间”.下列结论正确的是 ( ) A.若[1,b ]为f (x )=x 2-2x +2的跟随区间,则b =3 B.函数f (x )=2-3x 不存在跟随区间C.若函数f (x )=m -√x +1存在跟随区间,则m ∈(-14,0] D.二次函数f (x )=-12x 2+x 存在“3倍跟随区间” 10.(2020天津河西高一上期末,)设f (x )={(x -a )2,x ≤0,x +1x +a ,x >0.若f (0)是f (x )的最小值,则实数a 的取值范围为 . 11.(2021北京房山高一上期中,)定义在实数集R 上的函数f (x ),如果存在函数g (x )=Ax +B (A ,B 为常数),使得f (x )≥g (x )对一切实数x 都成立,那么称g (x )为函数f (x )的一个承托函数.(1)判断函数g (x )=x 是不是函数f (x )=2x 2的一个承托函数,并说明理由; (2)请写出函数f (x )=|x |的一个承托函数;(3)若函数g (x )=2x -a 为函数f (x )=ax 2的一个承托函数,求实数a 的取值范围.答案全解全析刷新题夯基础1.C 由题图可知,此函数的最小值是f (-2),最大值是2. 2.C 因为y =2x 2-2x -1的图象开口向上,对称轴为直线x =12, 所以在区间[-1,1]上,当x =12时,函数取得最小值-32.故选C .3.C 当x <1时,函数y =x +3单调递增,有y <4,无最大值;当x ≥1时,函数y =-x +6单调递减,在x =1处取得最大值5.所以该函数的最大值为5.4.C 已知x >2,则x -2>0,y =4x -2+x =4x -2+(x -2)+2 ≥2√4x -2·(x -2)+2=6,当且仅当4x -2=x -2,即x =4时等号成立, ∴函数的最小值是6.故选C .5.解析 (1)函数f (x )在区间[0,+∞)上是增函数. 证明如下:任取x 1,x 2∈[0,+∞),且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=2x 1-3x 1+1-2x 2-3x 2+1=(2x 1-3)(x 2+1)(x 1+1)(x 2+1)-(2x 2-3)(x 1+1)(x 1+1)(x 2+1)=5(x 1-x 2)(x1+1)(x 2+1).∵x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,又x 1,x 2∈[0,+∞), ∴(x 1+1)(x 2+1)>0,∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2). ∴函数f (x )在区间[0,+∞)上是增函数. (2)由(1)知函数f (x )在区间[2,9]上是增函数, 故函数f (x )在区间[2,9]上的最大值为f (9)=2×9-39+1=32,最小值为f (2)=2×2-32+1=13.6.解析 (1)因为f (x )是一次函数,所以设f (x )=ax +b (a ≠0). 由题中表格可得{45a +b =27,50a +b =12,解得{a =-3,b =162,所以y =f (x )=-3x +162.又y≥0,所以30≤x≤54,故所求函数关系式为y=f(x)=-3x+162,x∈[30,54].(2)由题意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4 860=-3(x-42)2+432,x∈[30,54].所以当x=42时,P max=432,即当销售单价为42元时,能获得最大的日销售利润.7.信息提取①一批材料可以建成长为240米的围墙;②用这批材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地;③中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形.数学建模以建造矩形场地为背景构建函数模型,利用基本不等式求解问题.解析设每个小矩形与墙垂直的一边长为x m,其邻边长为y m,其中x>0,y>0,依题意可知4x+3y=240,则0<x<60.故矩形场地的面积S=3xy=x(240-4x)=4x·(60-x)≤4×(x+60-x2)2=3 600,当且仅当x=30时取等号,所以当x=30时,矩形场地的面积最大,为3 600 m2.8.C由题意知a≠0,当a>0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递增,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递减,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上知,a=±2.9.B由题意可得3<-m+12<5,解得-11<m<-7.故选B.10.答案-7;(-∞,0]解析当a=3时, f(x)=x2-6x+1在x∈[0,2]上单调递减,∴f(x)min=f(2)=-7.由函数的解析式知f(0)=1,若f(x)的最小值为1,则f(x)在x∈[0,2]上单调递增,而f(x)=x2-2ax+1的图象开口向上,对称轴为直线x=a,∴a≤0,即a的取值范围是(-∞,0].11.解析(1)若a=2,则f(x)=-x2+4x-1=-(x-2)2+3,该函数的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=2,∴函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,在区间[2,3]上单调递减,又f(0)=-1, f(3)=2,∴f(x)min=f(0)=-1.(2)易知函数f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=a,①当a≤0时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,则f(x)max=f(0)=1-a=3,解得a=-2;②当0<a<1时,函数f(x)在区间[0,a]上单调递增,在区间[a,1]上单调递减,则f (x )max =f (a )=a 2-a +1=3,解得a =2或a =-1,均不符合，舍去;③当a ≥1时,函数f (x )在区间[0,1]上单调递增,则f (x )max =f (1)=-1+2a +1-a =3,解得a =3. 综上所述,a =-2或a =3.12.D 设f (x )=-x +a +1,由不等式-x +a +1≥0对任意x ∈(0,12]都成立,可得f (x )min ≥0.因为f (x )在(0,12]上是减函数,所以当x ∈(0,12]时, f (x )min =a +12,所以a +12≥0,即a ≥-12,所以a min =-12.故选D .13.C ∵函数f (x )=-x 2+4x +m 的图象开口向下,对称轴方程为x =2,∴函数f (x )在区间[0,1]上单调递增,∴f (x )max =f (1)=3+m , f (x )min =f (0)=m ,即函数f (x )的值域为[m ,m +3]. 由方程f (x )=0有解,知0∈[m ,m +3],因此m ≤0,且m +3≥0,解得-3≤m ≤0.故选C. 14.答案 [15,+∞)解析 ∵x >0,∴xx 2+3x+1>0,根据题意知a >0. ∴x 2+3x+1x≥1a ,∴1a ≤x +1x +3.∵x >0,∴x +1x +3≥2√x ·1x +3=5(当且仅当x =1时取等号), ∴1a ≤5,∴a ≥15.15.解析 (1)f (x )在[3,5]上为增函数. 证明:任取x 1,x 2∈[3,5],且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1-1x 1+2-x 2-1x 2+2=3(x 1-x 2)(x1+2)(x 2+2).∵3≤x 1<x 2≤5,∴x 1-x 2<0,(x 1+2)(x 2+2)>0, ∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), ∴f (x )在[3,5]上为增函数.(2)由不等式f (x )>a 在[3,5]上恒成立,知f (x )min >a. 由(1)知f (x )在[3,5]上为增函数, ∴f (x )min =f (3)=25,∴25>a ,即a <25, 故实数a 的取值范围是(-∞,25).(3)由不等式f (x )>a 在[3,5]上有解,知f (x )max >a. 由(1)知f (x )在[3,5]上为增函数, ∴f (x )max =f (5)=47,∴47>a ,即a <47,故实数a 的取值范围是(-∞,47). 16.解析 (1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f (x -1)=a (x -1)2+b (x -1)+c =ax 2+(-2a +b )x +a -b +c , 所以f (x )-f (x -1)=2ax -a +b , 又因为f (x )-f (x -1)=2x +1, 所以{2a =2,-a +b =1,解得{a =1,b =2,所以f (x )=x 2+2x +c.因为f (x )的图象过点(2,-4), 所以-4=22+2×2+c ,解得c =-12, 所以f (x )=x 2+2x -12.(2)由题意知,x 2+2x -12≤mx ,x ∈[-3,2], 所以x 2+(2-m )x -12≤0,x ∈[-3,2]. 记g (x )=x 2+(2-m )x -12,x ∈[-3,2]. 则g (x )max ≤0,由g (x )的图象开口向上,知函数g (x )的最大值是g (2)或g (-3), 所以{g (2)≤0,g (-3)≤0,即{-4-2m ≤0,-9+3m ≤0, 解得-2≤m ≤3,所以m ∈[-2,3].刷新题培素养1.B 在同一直角坐标系中,作出函数f (x )=x 2,g (x )=x +2的图象,由M (x )的定义知,函数M (x )的图象如图中实线部分所示.由图象知,当x =-1时,M (x )取得最小值1.故选B .2.A 设t =√x +1(t ≥0),则x =t 2-1(t ≥0),所以g (t )=2(t 2-1)-t =2t 2-t -2(t ≥0).易知函数g (t )=2t 2-t -2在[0,14]上单调递减,在[14,+∞)上单调递增,∴f (x )min =g (t )min =g (14)=-178,故选A . 3.AC ∵x >1,∴y =11-x -x =-(1x -1+x -1)-1≤-2√1x -1·(x -1)-1=-2-1=-3,当且仅当1x -1=x -1,即x =2时取等号,∴函数的最大值为-3,无最小值,故选AC .4.答案 0解析 当x <-1时, f (x )=-x +2+x +1=3,当-1≤x ≤2时, f (x )=-x +2-x -1=-2x +1,此时f (x )min =f (2)=-3, f (x )max =f (-1)=3,当x >2时, f (x )=x -2-x -1=-3.综上, f (x )的最大值m =3,最小值n =-3,所以m +n =0,故答案为0.5.解析 (1)当a =12时,f (x )=x 2+x -1,x ∈[-1,1],其图象开口向上,且对称轴方程为x =-12, ∴函数y =f (x )在[-1,-12]上单调递减,在[-12,1]上单调递增,∴f (x )的最小值为f (-12)=-54,又f (-1)=-1, f (1)=1,∴f (x )的最大值为f (1)=1,最小值为f (-12)=-54.(2)函数f (x )=x 2+2ax -1的图象开口向上,且对称轴方程为x =-a ,当-a ≤-1,即a ≥1时,y =f (x )在[-1,1]上单调递增,∴f (x )min =f (-1)=-2a ;当-1<-a <1,即-1<a <1时,y =f (x )在[-1,-a ]上单调递减,在[-a ,1]上单调递增,∴f (x )min =f (-a )=-a 2-1;当-a ≥1,即a ≤-1时,y =f (x )在[-1,1]上单调递减,∴f (x )min =f (1)=2a.综上可得,g (a )={-2a ,a ≥1,-a 2-1,-1<a <1,2a ,a ≤-1.6.C ∵y =f (x )=x 2-3x -4=(x -32)2-254,∴f (32)=-254,且f (0)=f (3)=-4, 由已知及二次函数的图象可知,m 的值最小为32,最大为3,即m 的取值范围是[32,3],故选C .7.A 在函数f (x )中,当x ∈[-1,0)时, f (x )是减函数,因此, f (x )∈(2,3];当x ∈[0,1]时, f (x )也是减函数,因此, f (x )∈[2,3].∴当x ∈[-1,1]时, f (x )∈[2,3],即f (x )max =3.在函数g (x )中,由k >0知,g (x )在[-1,1]上单调递增,∴g (x )max =g (1)=k +5-2k =5-k.若∀x 1∈[-1,1],总存在x 2∈[-1,1]使得f (x 1)≤g (x 2),则3≤5-k ,解得k ≤2,又k >0,∴0<k ≤2.故选A .8.AC 在A 中,因为f (x )=-2x +1(x ∈[-2,2])是减函数,所以当x =2时,函数取得最小值,最小值为-3,因此a <-3,A 正确;在B 中,因为f (x )=-2x +1(x ∈[-2,2])是减函数,所以当x =-2时,函数取得最大值,最大值为5,因此a <5,B 错误;在C 中,g (x )=x 2-2x =(x -1)2-1(x ∈[0,3]),∴当x =1时,函数取得最小值,最小值为-1,当x =3时,函数取得最大值,最大值为3,故函数的值域为[-1,3],由g (x )=a 有解,知a ∈[-1,3],C 正确;在D 中,∀x ∈[-2,2],∃t ∈[0,3], f (x )=g (t )等价于f (x )的值域是g (t )的值域的子集,而f (x )的值域是[-3,5],g (t )的值域是[-1,3],故D 错误.故选AC . 解题模板 不等式恒成立(有解)等问题的求解,常将问题转化为最大(小)值问题,记住下列转化有利于解题:①f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ;②f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ;③f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ;④ f (x )<a 有解⇔f (x )min <a.9.BCD 对于A,因为f (x )=x 2-2x +2在区间[1,b ]上为增函数,故其值域为[1,b 2-2b +2],若[1,b ]为f (x )=x 2-2x +2的跟随区间,则b 2-2b +2=b ,解得b =1或b =2,因为b >1,所以b =2.故A 错误. 对于B,因为函数f (x )=2-3x 在区间(-∞,0)与(0,+∞)上均为增函数,所以若f (x )=2-3x 存在跟随区间[a ,b ],则有{a =2-3a ,b =2-3b ,即a ,b 为2-3x =x 的两根. 因为x 2-2x +3=0无解,所以函数f (x )=2-3x 不存在跟随区间.故B 正确.对于C, 因为f (x )=m -√x +1为减函数,所以若函数f (x )=m -√x +1存在跟随区间[a ,b ],则{b =m -√a +1,a =m -√b +1,则a -b =√a +1-√b +1,a <b , 所以(a -b )(√a +1+√b +1)=(a +1)-(b +1)=a -b ,因为a ≠b ,所以√a +1+√b +1=1.易得0≤√a +1<√b +1≤1.所以a =m -√b +1=m -(1-√a +1),令t =√a +1,则t 2-t -m =0,同理t =√b +1也满足t 2-t -m =0,即t 2-t -m =0在区间[0,1]上有两个不相等的实数根,故{1+4m >0,-m ≥0,解得m ∈(-14,0],故C 正确. 对于D,若f (x )=-12x 2+x 存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[a ,b ],值域为[3a ,3b ].当a <b ≤1时,易得f (x )=-12x 2+x 在区间[a ,b ]上单调递增,此时易得a ,b 为方程-12x 2+x =3x 的两根,解得x =0或x =-4.故存在定义域为[-4,0],使得值域为[-12,0].故D 正确.故选BCD . 10.答案 [0,2]解析 当x >0时, f (x )=x +1x +a ≥2·√x ·1x +a =2+a ,当且仅当x =1x ,即x =1时,等号成立,此时f (x )有最小值2+a.因为f (0)是f (x )的最小值,所以当x ≤0时, f (x )=(x -a )2单调递减,故a ≥0,此时最小值f (0)=a 2,故2+a ≥a 2,解得-1≤a ≤2,又a ≥0,所以0≤a ≤2.故实数a 的取值范围为[0,2].11.解析 (1)函数g (x )=x 不是函数f (x )=2x 2的一个承托函数,当x =14时,g (x )=14, f (x )=18,此时f (x )<g (x ),不满足承托函数的定义, 故函数g (x )=x 不是函数f (x )=2x 2的承托函数.(2)根据承托函数的定义可得函数f (x )=|x |的一个承托函数是g (x )=12x.(答案不唯一)(3)若函数g (x )=2x -a 为函数f (x )=ax 2的一个承托函数,则ax 2≥2x -a 对一切实数x 都成立,即ax 2-2x +a ≥0对一切实数x 都成立,当a =0时,g (x )=2x , f (x )=0,此时g (x )不是f (x )的承托函数,当a ≠0时,要满足题意,则有{a >0,4-4a 2≤0,解得a ≥1,故实数a 的取值范围为[1,+∞).。
第2课时函数的最大(小)值学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．导语同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气概，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值．一、极值与最值的关系问题1如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．你能找到函数的最大值和最小值吗？提示最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在．问题2开区间上的连续函数有最值吗？提示如图．容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到．知识梳理函数最值的定义(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件．例1如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值．解由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b)．反思感悟最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．跟踪训练1设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是()A．f(x)的极值点一定是最值点B．f(x)的最值点一定是极值点C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点答案C解析根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D 都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C 正确．二、求函数的最值例2求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；(2)f(x)＝1x＋sin x，x∈[0,2π]．2解(1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，所以f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝ 2.因为f (－2)＝8，f (3)＝18，f (2)＝－82，f (－2)＝82，所以当x ＝2时，f (x )取得最小值－82；当x ＝3时，f (x )取得最大值18.(2)f ′(x )＝12＋cosx ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0,2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.因为f (0)＝0，f (2π)＝π，f ＝π3＋32，f ＝2π3－32.所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0；当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.反思感悟求函数最值的步骤(1)求函数的定义域．(2)求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)求极值、端点处的函数值，确定最值．注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．跟踪训练2求下列函数的最值：(1)f (x )＝2x 3－6x 2＋3，x ∈[－2,4]；(2)f (x )＝x －1e x .解(1)f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.又f (0)＝3，f (2)＝－5，f (4)＝35，f (－2)＝－37，∴当x ＝4时，f (x )取最大值35.当x ＝－2时，f (x )取最小值－37.即f (x )的最大值为35，最小值为－37.(2)函数f (x )＝x －1e x的定义域为R .f ′(x )＝1·e x －e x (x －1)(e x )2＝2－xe x ，当f ′(x )＝0时，x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示.x (－∞，2)2(2，＋∞)f ′(x )＋0－f (x )单调递增1e 2单调递减∴f (x )在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，∴f (x )无最小值，且当x ＝2时，f (x )max ＝f (2)＝1e 2.三、利用最值证明不等式例3已知函数f (x )＝e x －e(ln x ＋1)，求证f (x )≥0恒成立．解由题意知f ′(x )＝e x －e x＝x ex－e x，设F (x )＝x e x －e(x >0)，则F (x )在(0，＋∞)上单调递增，且F (1)＝0.当x ∈(0，1)时，F (x )<0，∴f ′(x )＝F (x )x <0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，F (x )>0，∴f ′(x )＝F (x )x >0，f (x )单调递增．f (x )的最小值为f (x )min ＝f (1)＝0，∴f (x )≥0恒成立．反思感悟证不等式恒成立，用导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式直接构成函数，利用导数的方法，通过分类讨论研究函数的最值，即可得到结果．跟踪训练3已知函数f (x )＝12x 2＋ln x ．求证：在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．证明设F (x )＝g (x )－f (x )，即F (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则F ′(x )＝2x 2－x －1x＝(x －1)(2x2＋x ＋1)x.当x >1时，F ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，从而F (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴F (x )>F (1)＝16>0.∴当x>1时，g(x)－f(x)>0，即f(x)<g(x)，故在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝23x3的图象的下方．1．知识清单：(1)函数最值的定义．(2)求函数最值．(3)函数最值的应用．2．方法归纳：转化化归、分类讨论．3．常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系．1．下列结论正确的是()A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值答案D解析函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．2．函数y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是()A．π－1 B.π2－1C．πD．π＋1答案C解析y′＝1－cos x，当x∈π2，π时，y′>0，则函数在区间π2，π上单调递增，所以y的最大值为y max＝π－sinπ＝π. 3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)() A．有最值，但无极值B．有最值，也有极值C．既无最值，也无极值D．无最值，但有极值答案C解析f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,1)上单调递减，无最大值和最小值，也无极值．4．函数f (x )＝(x ＋1)e x 的最小值是________．答案－1e2解析f (x )＝(x ＋1)e x ⇒f ′(x )＝(x ＋2)e x ，当x >－2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x <－2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，因此当x ＝－2时，函数有最小值，最小值为f (－2)＝(－2＋1)e －2＝－1e2.课时对点练1．设M ，m 分别是函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值，若M ＝m ，则f ′(x )()A ．等于0B ．小于0C ．等于1D ．不确定答案A解析因为M ＝m ，所以f (x )为常函数，故f ′(x )＝0，故选A.2．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间－π2，0上的最小值是()A ．－π2B ．2C.π6＋3 D.π3＋1答案A解析f ′(x )＝1－2sin x ，因为x ∈－π2，0，所以sin x ∈[－1,0]，所以－2sin x ∈[0,2]．所以f ′(x )＝1－2sin x ＞0在－π2，0上恒成立．所以f (x )在－π2，0上单调递增．所以f (x )min ＝－π2＋＝－π2.3．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是()A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－19答案C解析f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.又f (－3)＝－27＋9＋1＝－17，f (0)＝1，f (－1)＝－1＋3＋1＝3,1∉[－3,0]．所以函数f (x )的最大值为3，最小值为－17.4．当0<x <1时，f (x )＝ln xx，则下列大小关系正确的是()A ．f 2(x )<f (x 2)<f (x )B ．f (x 2)<f 2(x )<f (x )C ．f (x )<f (x 2)<f 2(x )D ．f (x 2)<f (x )<f 2(x )答案D解析根据0<x <1得到0<x 2<x <1，而f ′(x )＝1－ln xx 2，所以根据对数函数的单调性可知，当0<x <1时，1－ln x >0，从而可得f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以f (x 2)<f (x )<f (1)＝0，而f 2(x )>0，所以有f (x 2)<f (x )<f 2(x ).5．函数f (x )＝13x 3－x 2＋a ，函数g (x )＝x 2－3x ，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f (x )的图象始终在函数g (x )图象的上方，那么实数a 的取值范围是()A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)－43，＋∞答案A解析设h (x )＝f (x )－g (x )＝13x 3－x 2＋a －x 2＋3x ，则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，所以当x∈[1,3)时，h(x)单调递减；当x∈(3，＋∞)时，h(x)单调递增．当x＝3时，函数h(x)取得极小值也是最小值．因为f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，所以h(x)min>0，即h(3)＝a>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．6．(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)e x的判断正确的是()A．f(x)>0的解集是{x|0<x<2}B．f(－2)是极小值，f(2)是极大值C．f(x)没有最小值，也没有最大值D．f(x)有最大值无最小值答案ABD解析由f(x)>0得0<x<2，故A正确．f′(x)＝(2－x2)e x，令f′(x)＝0，得x＝±2，当x<－2或x>2时，f′(x)<0，当－2<x<2时，f′(x)>0，∴当x＝－2时，f(x)取得极小值，当x＝2时，f(x)取得极大值，故B正确．当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，且f(2)>0，结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确．7．若函数f(x)＝x3－3x在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m＋n＝________.答案16解析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)．f(1)＝－2.又f(0)＝0，f(3)＝18，所以m＝18，n＝－2，m＋n＝16.8．设0<x<π，则函数y＝2－cos xsin x的最小值是________．答案3解析y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos x sin 2x.因为0<x <π，所以当π3<x <π时，y ′>0；当0<x <π3时，y ′<0.所以当x ＝π3时，y min ＝3.9．求下列函数的最值：(1)f (x )＝sin x ＋cos x ，x ∈－π2，π2；(2)f (x )＝ln(1＋x )－14x 2，x ∈[0,2]．解(1)f ′(x )＝cosx －sin x .令f ′(x )＝0，即tan x ＝1，且x ∈－π2，π2，所以x ＝π4.又因为f ＝2，f 1，f 1，所以当x ∈－π2，π2时，函数的最大值为f ＝2，最小值为f 1.(2)f ′(x )＝11＋x －12x ，令11＋x －12x ＝0，化简为x 2＋x －2＝0，解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝1.当0≤x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当1<x ≤2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (1)＝ln 2－14为函数f (x )的极大值．又f (0)＝0，f (2)＝ln 3－1>0，f (1)>f (2)．所以f (0)＝0为函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在[0,2]上的最小值，f (1)＝ln 2－14为函数在[0,2]上的最大值．10．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )在1e ，e上的最大值．解(1)f ′(x )＝ax－2bx (x >0)．由曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，(1)＝0，1)＝－12，－2b ＝0，b ＝－12，＝1，＝12.(2)由(1)，得f (x )＝ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x.令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )在1e ，(1，e]上单调递减，所以f (x )在1e ，e 上的最大值为f (1)＝－12.11．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为()A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )答案A解析令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a )．12．已知函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是()A ．20B ．18C ．3D ．0答案A 解析因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，x ∈[－3,2]，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，在[1,2]和[－3，－1]上单调递增．f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19，又由题设知在[－3,2]上|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝20，所以t ≥20，故选A.13．已知函数f (x )＝ln x －ax ，其中x ∈[1，＋∞)，若不等式f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围为()A.[1，＋∞)1－1e C.1e ，＋∞ D.[0，＋∞)答案C 解析当x ∈[1，＋∞)时，不等式f (x )≤0恒成立等价于a ≥ln x x在[1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2.当0<x <e 时，g ′(x )>0；当x >e 时，g ′(x )<0；所以g (x )max ＝g (e)＝1e ，所以a ≥1e.故选C.14．已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．答案15x －3y －2＝0解析∵f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3＝－2(x －a )2＋3＋2a 2，∴f ′(x )max ＝3＋2a 2＝5，∵a >0，∴a ＝1.∴f ′(x )＝－2x 2＋4x ＋3，f ′(1)＝－2＋4＋3＝5.又f (1)＝－23＋2＋3＝133，∴所求切线方程为y －133＝5(x －1)．即15x －3y －2＝0.15．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间(－2，－1)上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．答案(－4，－2)解析f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m 2.由题意得m 2∈(－2，－1)，故m ∈(－4，－2)．16．已知函数f (x )＝e x －x 2－ax .(1)当a ＝－1时，求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当x >0时，f (x )≥1－x 恒成立，求实数a 的取值范围．解(1)f ′(x )＝e x －2x ＋1，f ′(1)＝e －1，f (1)＝e ，切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋1.(2)当x >0时，f (x )≥1－x ，即a ≤e x x －x －1x＋1，令g (x )＝e x x －x －1x＋1(x >0)，a ≤g (x )min 成立，g ′(x )＝(x －1)(e x －x －1)x 2.设F (x )＝e x －x －1，F ′(x )＝e x －1，x ∈(0，＋∞)，F ′(x )＝e x －1>0，所以F (x )min >0，所以当x ∈(0，1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，故g (x )min ＝g (1)＝e －1，所以a ∈(－∞，e －1].。
