合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试卷(文科)答案

合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题（文科）参考答案及评分标准、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 12 答案B C B B D CBADCAD、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 2e 216.①②④ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17. （本小题满分12分）解：（1）由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数在区间90,110内的天数为空气质量等级为优或良，即空气质量指数不超过100,•某市民在这个月内，有27天适宜进行户外体育运动.18. （本小题满分12分）解：（1） •••四边形AACG 是菱形，• AC // AG.又••• AC 平面 ABC ，AC , 平面ABC ，• AG /平面ABC .同理得，BG //平面ABC.••• AG ，B 1C 1 平面 A 1B 1C 1，且 AG I BG C ， •平面ABC //平面A BQ. 又••• AB 平面 AB1G ， •- AB 1 //平面 ABC .......................................... 5分⑵ T AC // AC 1， B 1C 1 // BC ，• AC 1B 1ACB 60°.307 7 11300 600 100 60020 30 2 天,•••在这30天中随机抽取一天，其空气质量等级是优或良的概率为P1 1 30 1415（2）由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有7 7 1300 600 1002030 27 （天），12分T AG AC 2 , 2BG BC 2,…SA 1B1C1由⑴知，平面ABC //平面ABC , •••点B 到平面ABC 的距离为C 1M 齐.又T •点B 到平面A ACG 的距离为BM <3，连接BC ，则 V VB AB 1C 1 VB 州 ACS19. (本小题满分12分)2k解：(1)由已知得2k ( k Z )，解得2x⑵由题意得,x 0,…sin x —4• g x 的值域为1, 2 .20. (本小题满分12分)解：设点 P x °, y , A 为，％ , B X 2, y 2 . (1) T 直线l 经过坐标原点，• x 2x 1, y 2y 1.在菱形AACG 中，T AC3AC i ,o _ACC160 ， SY /AACC 122¥ 23.T 平面ABC 丄平面ACC , 取AC 的中点为M ，连接BM , CM ,••• BM 丄平面 ACC , CM 丄平面ABC .12分12分2• • X)72同理得，y i21X_.•直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值.UU U • OAUUU UUU OB OP r o ， UUU • OP UUir 2OQ ，则 X o y o 2x 2y将Xo2x代入 2X o y 1得, 2 X4y 2 1,y o 2y ~4•线段AB 的中点Q 的轨迹方程为X 2 4y 2 1.同理，线段AP 和线段BP 中点的轨迹方程也为X 2 4y 21.21. (本小题满分12分) 解：(1) F X e X e X a .当a 2时，F xe X e X a 2 a o 恒成立，F X 在R 上单调递增.当 a 2 时，由 F x o 得，e X aa―4 ,••• X In?-― . 2 2 F x在 ，m a - 4和In 」^ 4，上单调递增，2 2在S 十，n 十上单调递减.ne Xn按题意有，f X ng X n 1，即 e Xn e Xn2X n 1，• X n 1 - ——2注意到x 1，2y o22xx2 21 —1y。

合肥市2020年高三第三次教学质量检测文科综合试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B A D D C B D B C 题号12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 答案 C A B D A B C B C D C 题号23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 答案 A D D C D B A B A B C 题号34 35答案 B C第Ⅱ卷非选择题36.（24分）（1）阿联酋属热带沙漠气候，全年降水少，晴天多，光照充足，日照时间较长；纬度较低，正午太阳高度角大，太阳辐射强。

（每点3分，答两点得6分）（2）靠近人口密集、经济发达的大城市，电力消费市场广阔；布局在城市郊区，输电距离近；城市周边基础设施较完善；靠近海港，便于运输太阳能电站建设所需的物资；地表平坦开阔，可用于建设太阳能电站的荒地面积广，地价低。

（每点2分，任答三点得6分）（3）阿联酋太阳能资源丰富且开发条件好，开发太阳能使能源供应更充足；改变单一以油气资源为主的能源结构，实现能源结构的多元化；油气为非可再生资源，太阳能为可再生资源，长远来看利于保障阿联酋国家能源安全；太阳能是清洁能源，利于保护生态环境。

（每点2分，任答三点得6分） （4）中国企业有人才、技术优势，设计水平高；中国企业资金充足，太阳能相关产业链完整，零部件采购方便，缩短建设工期；中国企业太阳能电站施工经验丰富，可保证工程的质量；工程总承包可节约投资成本；中阿两国关系友好，保障工程顺利实施。

（每点2分，任答三点得6分）37.（22分）（1）古城北部山地较高，阻挡寒冷的冬季风；古城南部为嘉陵江和低矮的山地，夏季风从南边吹来，利于古城通风散热；古城位于山地阳坡且南部无高大山地遮挡，光照条件好；古城三面环水，对气候具有调节作用。

（每点2分，任答三点得6分）（2）濒临嘉陵江，水运便利；三面环水、北面靠山，便于军事防御，为区域重要的军事中心；古城为区域政治中心和商业中心，城市发展的腹地较广。

2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知复数z=3−i−1+i，则在复平面内，z的对应点位于()A. 第一象限内B. 第二象限内C. 第三象限内D. 第四象限内2.已知R为实数集，集合A={x|x>1}，B={x|x⩾2}，则(C R B)∩A=()A. (1,2)B. (1,2]C. (−∞,1]D. [2,+∞)3.如图所示，当输入x为2006时，输出的y=()A. 28B. 10C. 4D. 24.设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知S7=49，a6=11，则a1等于()A. −1B. 1C. −2D. 25.已知向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=()A. √2B. √3C. √5D. √76.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)−1最小正周期为2π3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是()A. x=π9B. x=π6C. x=π3D. x=π27.已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列说法正确的是()A. 若b//a，a⊂α，则b//αB. 若α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b⊥βC. 若a⊥c，b⊥c，则a//bD. 若a∩b=A，a⊂α，b⊂α，a//β，b//β，则α//β8.若a是从区间[0,10]中任取的一个数，则方程x2−ax+1=0无实数解的概率是()A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.49.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，cosA=sinB=12，b=√3，△ABC的面积为()A. 4B. 32√3 C. 2 D. √310.已知直线l:ax+y−2=0与圆C:(x−1)2+(y−a)2=4相交于A、B两点，M是圆C上一点，使得∠AMB=30∘，则实数a的值为()A. 3±4√2B. 8C. 1D. 4±√1511.两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的316，则这两个圆锥的体积之比为()A. 2:1B. 5:2C. 1:4D. 3:112.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(−1,0)，则△ABC的面积等于()A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0)，则p=______ ．14.若点(1,1)在不等式组{m−nx+y≥02mx−ny−4≤0nx≥3y−3m所表示的平面区域内，则m2+n2的取值范围是______ ．15.函数f(x)=x+2x−3的零点为___________．16.已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，那么f(x)的最大值为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.己知{a n}是递增的等比数列，a 2+a 3=4，a 1a 4=3．(1)求数列{a n)的通项公式；(2)令b n=na n，求数列{b n)的前n项和S n．18.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生抽样调查了100人，统计结果为：80名南方学生中喜欢吃甜品的有60人，北方学生中不喜欢吃甜品的有10人．(Ⅰ)根据所给样本数据完成下面2×2列联表；附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)的饮食习惯方面有差异”？19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2AB =4，点M 为PD 的中点．(1)若N 为AB 上任意一点，求证：PD ⊥MN ； (2)求三棱锥M −PAB 的体积．20. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1的左、右焦点，点M(√2,1)在椭圆C 上，且MF 2⊥F 1F 2．(Ⅰ)求椭圆 C 的方程；(Ⅱ) 与直线y =−x 垂直的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.已知函数f(x)=ae x+x(a≠0,e是自然对数的底数).．x(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若a>2，判断函数F(x)=f(x)−lnx−1在区间(0,+∞)上的零点个数，并说明理由．e222.在平面直角坐标系xOy中，曲线C：为参数，φ∈[0,2π))，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C的普通方程；(2)若点B是射线l：θ=α(ρ≥0,α∈[0,π))与曲线C的公共点，当|OB|=3√3时，求α的值及点B的直角坐标．23.已知函数f(x)=|x−1|．(Ⅰ)解不等式f(x−1)+f(x+3)≥6；)．(Ⅱ)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内所对应的点的坐标得答案．【解答】解：∵z=3−i−1+i =(3−i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−2−i，∴在复平面内z的对应点的坐标为(−2,−1)，位于第三象限．故选：C．2.答案：A解析：【分析】本题考查交集和补集的混合运算，是基础题．由题意，先求出C R B，再求(C R B)∩A即可．【解答】解：∵集合A={x|x>1}，B={x|x⩾2}，∴(C R B)∩A={x|x>1}∩{x|x<2}=(1,2)．故选A．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=−2时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10.【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2006，x=2004满足条件x≥0，x=2002满足条件x≥0，x=2000…满足条件x≥0，x=0满足条件x≥0，x=−2不满足条件x≥0，y=10输出y的值为10．故选B．4.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列通项公式和前n项求和公式，是基础题．【解答】由题意知S7=7a1+7×62d=49，a6=a1+5d=11，求得a1=1,d=2．故选B．5.答案：A解析：【分析】利用向量的模的运算法则，通过向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．【解答】解：向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=√(a⃗|a⃗ |)2+2a⃗ ⋅b|a⃗ |+b⃗ 2=√1+1=√2．故选：A．6.答案：A解析：【分析】本题是基础题，考查三角函数的解析式的求法，对称轴方程的求法，考查计算能力．通过函数的周期求出ω，利用正弦函数的对称性，求出对称轴方程，得到选项．【解答】解：因为函数f(x)=sin(ωx+π6)−1最小正周期为2π3，T=2πω=2π3，∴ω=3，所以3x+π6=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ3+π9，k∈Z，当k=0时，x=π9，是一条对称轴方程．故选A．7.答案：D解析：解：由α，β为平面，a，b，c为直线，知：在A中，若b//a，a⊂α，则b//α或b⊂α，故A错误；在B中，若α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b与β相交、平行或b⊂β，故B错误；在C中，若a⊥c，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故C错误；在D中，若a∩b=A，a⊂α，b⊂α，a//β，b//β，则由面面平行的判定定理得α//β，故D正确．故选：D．在A中，b//α或b⊂α；在B中，b与β相交、平行或b⊂β；在C中，a与b相交、平行或异面；在D中，由面面平行的判定定理得α//β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．8.答案：B解析：【分析】本题考查长度型几何概型，属于基础题．【解答】解：方程x2−ax+1=0无实数解则Δ=a2−4<0⇒−2<a<2，若a是从区间[0,10]中任取的一个数，则方程x2−ax+1=0无实数解的概率P=210=15=0.2．故选B．9.答案：B解析：解：cosA=sinB=12，可得A=60°，B=30．那么：C=90°∵b=√3，则c=2√3，a=3△ABC的面积S=12ba=3√32故选：B．根据cosA=sinB=12，求解A，B，结合正余弦定理即可求解本题考查了三角形的内角和定理和计算能力．属于基础题．10.答案：D解析：【分析】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．由已知得到C到AB的距离为√3，通过点到直线的距离公式，得到a的方程，解得a的值．【解答】解：因为∠AMB=30∘，所以，所以三角形ABC为等边三角形，所以C到AB的距离为√3，即√a2+1=√3，解得a=4±√15．故答案为4±√15．11.答案：D解析：【分析】本题考查了圆锥的体积计算，球与内接旋转体的关系，属于基础题．设球半径为r，则根据圆锥底面与球面积的关系得出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出球心到圆锥底面的距离，得到两圆锥的高度．【解答】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr2=316×4πR2=3πR24，∴r=√32R．∴球心到圆锥底面的距离为√R2−r2=R2．∴圆锥的高分别为R2和3R2．∴两个圆锥的体积比为3R2：R2=3：1．故选D．12.答案：C解析：【分析】本题考查三角形的面积，解答本题的关键是利用将△ABC的面积转化．先找出△ABC的位置，△ABC的面积转化为三角形ACE与梯形AEDB的面积减去三角形CDB的面积可得出答案．【解答】解：如图，△ABC的面积转化为三角形ACE与梯形AEDB的面积减去三角形CDB的面积，则S△ABC=S△CAE+S AEDB−S△CDB=12×3×2+12(1+3)×2−12×4×1=5．故选C．13.答案：2解析：解：∵抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0)，∴p2=1，∴p=2，故答案为：2．由抛物线的性质可知，知p2=1，可知p的值．本题考查抛物线的简单性质，属于基础题．14.答案：[910,61]解析：解：根据题意，点(1,1)适合不等式组{m−nx+y≥02mx−ny−4≤0 nx≥3y−3m，将坐标代入，得关于m、n的不等式组：{m−n+1≥0 2m−n−4≤0 n≥3−3m在mon坐标系中，作出符合上不等式组表示的平面区域，如下图m2+n2表示点P(m,n)到原点的距离的平方，根据图形得当P点与点B(5,6)重合时，这个平方和最大，即(m2+n2)max=52+62=61而P到直线AC的距离平方的最小值，即(m2+n2)min=(√12+32)2=910因此，m2+n2的取值范围是[910,61]将点(1,1)的坐标代入不等式组{m−nx+y≥02mx−ny−4≤0nx≥3y−3m，就可以得到一个关于m、n的不等式组，再在平面直角坐标系中作出符合这个不等式组的区域图形，将m2+n2的取值范围问题转化为区域内的点到原点距离平方的取值范围问题，最终可得答案．平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15.答案：1和2解析：【分析】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于基础题．令f(x)=0，得x+2x−3=0，解得即可．【解答】解：令f(x)=x+2x−3=0，得x=1或x=2，所以函数f(x)=x+2x−3的零点为1和2．故答案为1和2．16.答案：1+√2解析： 【分析】本题考查函数的最值，三角函数的定义域和值域，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用.由题可得f(x)=1+√2sin (2x −π4)，进而得出f(x)的最大值． 【解答】解：f(x)=2sinx(sinx +cosx)=2sin 2x +2sinxcosx =1−cos2x +sin2x =1+√2(√22sin2x −√22cos2x)=1+√2(sin2xcosπ4−cos2xsin π4) =1+√2sin (2x −π4)． ∴1−√2≤f (x )≤1+√2． 即f(x)的最大值为1+√2． 故答案为1+√2．17.答案：解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2+a 3=4,a 1a 4=3,， 所以{a 1q +a 1q 2=4,a 1⋅a 1q 3=3解得{a 1=9,q =13,或{a 1=13,q =3. 因为{a n }是递增的等比数列， 所以a 1=13,q =3．所以数列{a n}的通项公式为a n=3n−2.(2)由(1)知．b n=n×3n−2.则S n=1×3−1+2×30+3×31+⋯+n×3n−2,①在①式两边同时乘以3得，3S n=1×30+2×31+3×32+⋯+n×3n−1②①−②得−2S n=3−1+30+31+⋯+3n−2−n×3n−1,即−2Sn =13(1−3n)1−3−n×3n−1,所以S n=14(2n−1)×3n−1+112.解析：本题考查等比数列的通项公式及等差数列的前n项和公式，考查了学生的计算能力，培养了学生的综合能力．(1)设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；(2)把(1)中求得的a n代入b n=na n，得到数列{b n}的通项公式，再采用错位相减法即可求出．18.答案：解：(Ⅰ)K2=100×(60×10−20×10)270×30×80×20=10021≈4.762．由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．解析：(Ⅰ)根据统计结果为：80名南方学生中喜欢吃甜品的有60人，北方学生中不喜欢吃甜品的有10人，由此可得列联表；(Ⅱ)计算出K2，结合临界值表可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.答案：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD且PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD.又∵PA=AD，M为PD的中点，∴AM⊥PD，又AM∩AB=A，∴PD⊥平面ABM，又MN⊂面ABM，∴PD⊥MN．(2)解：由(1)知AB ⊥平面PAD ，．解析：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．(1)先证明线面垂直，然后根据性质可得线线垂直； (2)根据等体积法，转化顶点，进而求出体积．20.答案：解：(I)∵点M(√2,1)在椭圆C 上，且MF 2⊥F 1F 2．∴2a 2+1b 2=1，c =√2，又a 2−b 2=2， ∴a 2=4，b 2=2， ∴椭圆方程为：x 24+y 22=1．(II)设直线l 的方程为：y =x +m ，代入椭圆方程得：3x 2+4mx +2m 2−8=0， △=16m 2−12(2m 2−8)=−8m 2+96>0， ∴−2√3<m <2√3，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−4m 3，x 1x 2=2m 2−83，∴y 1y 2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2， ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4m 2−163−4m 23+m 2=m 2−163． ∵−2√3<m <2√3， ∴−163≤m 2−163<203．即OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−163,203).解析：(I)由题意可知c =√2，把M 点坐标代入椭圆方程得出a ，b 的值即可求出椭圆的方程； (II)设直线l 的方程为：y =x +m ，根据直线与椭圆有两个交点求出m 的范围，根据根与系数的关系得出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于m 的函数式，从而得出结论． 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)f(x)=ae x +x x=ae x x+1，f′(x)=a ⋅ e x x−e xx 2=a(x−1)e xx 2，①当a >0时，若x <0，f′(x)<0，f(x)在区间(−∞,0)上单调递减， 若0<x <1，f′(x)<0，f(x)在区间(0,1)上单调递减， 若x >1时，f′(x)>0，f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，故当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)，②当a<0时，若x<0，f′(x)>0，f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，若0<x<1，f′(x)>0，f(x)在区间(0,1)上单调递增，若x>1时，f′(x)<0，f(x)在区间(1,+∞)上单调递减，故当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,0)，(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)．(Ⅱ)由题意可知，则F′(x)=a(x−1)e xx2−1x=1x2[a(x−1)e x−x]，当0<x≤1时，F′(x)<0，F(x)单调递减，F(x)≥F(1)=ae>0，当x>1时，F′(x)=a(x−1)x2[e x−xa(x−1)]，令G(x)=e x−xa(x−1)，则G′(x)=e x+1a(x−1)2>0，又G(2)=e2−2a>0，当x趋向于1时，G(x)趋向于负无穷．故G(x)存在唯一的零点x0∈(1,2)，即F(x)有唯一的极值点且为极小值点x0∈(1,2)，又，且G(x0)=e x0−x0a(x0−1)=0，即e x0=x0a(x0−1)，故，令，x∈(1,2)，因为φ′(x)=−1(x−1)2−1x<0，故φ(x)是(1,2)上的减函数，所以F(x0)>φ(2)=1−ln2>0，所以F(x)>0，综上所述，函数F(x)在区间(0,+∞)上无零点．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与零点问题．(Ⅰ)求出导数，分类讨论a的正负求解即可;(Ⅱ)研究F(x)的单调性及极值求解即可．22.答案：解：(1)∵曲线C：为参数，φ∈[0,2π))，∴(x −3)2+y 2=(3cosφ)2+(3sinφ)2=9， ∴曲线C 的普通方程为(x −3)2+y 2=9， 即x 2+y 2−6x =0．(2)由(1)知曲线C 的方程为(x −3)2+y 2=9，是圆，令圆心为C ， |OB|=ρB =2|CB|cosθ=2×3cosθ=6cosθ， 若|OB|=3√3，则6cosθ=3√3，解得cosθ=√32，∴θ=π6，即α=π6，∴点B 的横坐标是3√3cosα=3√3cos π6=92， 点B 的纵坐标是3√3sinα=3√3sin π6=3√32， ∴点B 的直角坐标为(92,3√32).解析：本题考查曲线的普通方程的求法，考查点的直角坐标的求法，考查参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，属于简单题．(1)曲线C 的参数方程消去参数，能求出曲线C 的普通方程．(2)由|OB|=ρB =2|CB|cosθ=2×3cosθ=6cosθ，若|OB|=3√3，则cosθ=√32，从而θ=π6，由此能求出α的值及点B 的直角坐标．23.答案：解：(Ⅰ)由题意知原不等式可化为|x −2|+|x +2|≥6，当x ≥2时，2x ≥6，解得x ≥3； 当−2<x <2时，4≥6，无解； 当x ≤−2时，−2x ≥6，解得x ≤−3， 所以不等式的解集是(−∞,−3]∪[3,+∞)． (Ⅱ)证明：要证f(ab)>|a|f(ba )， 只要证|ab −1|>|b −a|， 只需证(ab −1)2>(b −a)2， 因为|a|<1，|b|<1，所以(ab −1)2−(b −a)2=a 2b 2−a 2−b 2+1=(a2−1)(b2−1)>0，从而原不等式成立．解析：【分析】本题考查含绝对值的不等式的解法、不等式的证明，考查考生的运算求解能力以及推理论证能力．(Ⅰ)利用零点分区间讨论法求解；(Ⅱ)利用分析法证明不等式．。

合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题(文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}13A x x =-<<，集合{}22B x x =-<<，则A B =I ( )A.()2 2-，B.()1 2-，C.()2 3-，D.()1 3-， 2.已知i 是虚数单位，则复数12i1iz -=+在复平面上所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为( )A.16B.13C.12D.234.若x y R ∈，，则22x y >是1xy>成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数()1x x f x a a=-(1a >)，则不等式()()2210f x f x +->的解集是( )A.()112⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，，B.()112⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，，C.1 12⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.11 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，6.已知向量a r ，b r 满足2a b a b +=-r r r r，其中b r 是单位向量，则a r 在b r 方向上的投影是( ) A.1 B.34C.12D.147.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米( )A.10101010887⨯-斗B.9101010887⨯-斗C.8101010887⨯-斗 D.91070881⨯-斗 8.在ΑΒC ∆中，若11112sin sin tan tan A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则 A.C 的最大值为3π B.C 的最大值为23πC.C 的最小值为3πD.C 的最小值为6π9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p v f ϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm (91nm 10m -=)，测得某时刻频移为99.03010⨯(1/h)，则该时刻高铁的速度约等于( )A.320km/hB.330km/hC.340km/hD.350km/h10.经过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则4AF BF +的最小值为( ) A.92B.5C.9D.1011.点P 是正方体1111ABCD A B C D -的侧面11DCC D 内的一个动点，若APD ∆与BCP ∆的面积之比等于2，则点P 的轨迹是( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分12.若关于x 的不等式()22ln a x x a x +≤+在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(e 为自然对数的底数)上有实数解，则实数a 的最大值是( )A.1-B.()121ee e -+C.()31e e e --D.()21e e e --二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.设函数()()222 log 5x e x e f x x x e ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，，(其中e 为自然对数的底数)，则()()3f f 的值等于 . 14. 年级 性别高一 高二 高三男生 592 563 520女生528517a= . 15.已知数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21n n S =-.若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <对于*n N ∀∈都成立，则实数M 的最小值等于 .16.已知长方体1111ABCD A B C D -的棱12AA =，3AD =，点E ，F 分别为棱BC ，1CC 上的动点.若四面体11A B EF 的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的编号)①存在点E ，使得1EF A F ⊥； ②不存在点E ，使得11B E A F ⊥； ③当点E 为BC 中点时，满足条件的点F 有3个； ④当点F 为1CC 中点时，满足条件的点E 有3个；⑤四面体11A B EF 四个面所在平面，有4对相互垂直.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月(30天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：⑵根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动.试问：该市民在这30天内，有多少天适宜进行户外体育运动?空气质量指数(0，50] (50，100] (100，150] (150，200] (200，300] 300以上空气质 量等级一级 (优)二级 (良)三级 (轻度污染) 四级 (中度污染) 五级 (重度污染) 六级 (严重污染)人数如图，边长为2的等边ABC ∆所在平面与菱形11A ACC 所在平面互相垂直，且11//BC B C ，112BC B C =，113AC AC =. ⑴求证：11A B ∥平面ABC ；⑵求多面体111ABC A B C -的体积V .19.(本小题满分12分)已知函数()()2sin f x x ωϕ=+(0 2πωϕ><，)的部分图象如图所示.⑴求函数()f x 的解析式； ⑵将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[]0π，上的值域.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：2214x y +=上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点.⑴若直线l 经过坐标原点，证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；⑵若0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r，证明：ABP ∆三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程.已知函数()()x x f x e e g x ax -=-=，(e 为自然对数的底数)，其中a R ∈. ⑴试讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；⑵当2a =时，记函数()f x ，()g x 的图象分别为曲线1C ，2C .在2C 上取点n P (n n x y ，)作x 轴的垂线交1C 于n Q ，再过点n Q 作y 轴的垂线交2C 于1n P +(11n n x y ++，)(*n N ∈)，且11x =. ①用n x 表示1n x +；②设数列{}n x 和{}ln n x 的前n 项和分别为n n S T ，，求证：1ln 2.n n S T n +->请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，0απ≤<).以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线E 的极坐标方程为2+2cos 30ρρθ-=，直线m 与曲线E 交于A ，C 两点.⑴求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；⑵过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()221f x x x =--+的最小值为m .⑴求m 的值；⑵若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++≥.合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.22e 14.480 15.4 16.①②④三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分)解：(1)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数在区间[)90 110，内的天数为 77113020302300600100600⎡⎤⎛⎫-+++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦天，空气质量等级为优或良，即空气质量指数不超过100，∴在这30天中随机抽取一天，其空气质量等级是优或良的概率为111413015P +=-=. ………………………6分(2)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有771203027300600100⎡⎤⎛⎫++⨯⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(天)， ∴某市民在这个月内，有27天适宜进行户外体育运动. ………………………12分18.(本小题满分12分)解：(1)∵四边形11A ACC 是菱形，∴AC ∥11A C . 又∵AC ⊂平面ABC ，11AC ⊄平面ABC ，∴11A C ∥平面ABC . 同理得，11B C ∥平面ABC .∵11A C ，11B C ⊂平面111A B C ，且11A C 111B C C =I ， ∴平面ABC ∥平面111A B C . 又∵11A B ⊂平面111A B C ，∴11A B ∥平面ABC . ………………………………5分(2)∵AC ∥11A C ，11B C ∥BC ，∴11160AC B ACB ∠=∠=o. ∵112AC AC ==，1122BC BC ==， ∴111133122A B C S ∆=⨯⨯=在菱形11A ACC 中，∵113AC AC =， ∴160ACC ∠=o ，1132223A ACC S =⨯=Y . ∵平面ABC ⊥平面1ACC ，取AC 的中点为M ，连接1BM C M ，，∴BM ⊥平面1ACC ，1C M ⊥平面ABC . 由(1)知，平面ABC ∥平面111A B C ， ∴点B 到平面111A B C 的距离为13C M =又∵点B 到平面11A ACC 的距离为3BM =1BC ， 则1111113523332B A B C B A ACC V V V --=+=⨯⎝. ………………………………12分19.(本小题满分12分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B B D C B A D C AD解：(1)由已知得24282k k πϕππωϕππϕ⎧=-⎪⎪⎪⋅+=⎨⎪⎪<⎪⎩(k Z ∈)，解得24ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ……………………………6分(2)由题意得，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵[]0x π∈，，∴5444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴sin 14x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ∴()g x的值域为1⎡-⎣. ……………………………12分20.(本小题满分12分)解：设点()00P x y ，，()11A x y ，，()22B x y ，. (1)∵直线l 经过坐标原点，∴2121x x y y =-=-，.∵022014x y +=，∴022014x y =-. 同理得，122114x y =-.∴0011010101012222220101222222010*********PA PBx x x x y y y y y y k k x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⋅=⋅====--+---，∴直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值. ……………………………6分(2)设线段AB 的中点为()Q x y ，，则2.OA OB OQ +=u u u r u u u r u u u r∵0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r ，∴2OP OQ =-u u u r u u u r ，则0022x xy y=-⎧⎨=-⎩.将0022x x y y=-⎧⎨=-⎩代入022014x y +=得，2241x y +=，∴线段AB 的中点Q 的轨迹方程为2241x y +=.同理，线段AP 和线段BP 中点的轨迹方程也为2241x y +=.∴ABP ∆三边的中点在同一个椭圆2241x y +=上. ……………………………12分21.(本小题满分12分) 解：(1)()x x F x e e a -'=+-.当2a ≤时，()20x x F x e e a a -'=+-≥-≥恒成立，()F x 在R 上单调递增. 当2a >时，由()0F x '=得，xe =，∴x =.∴()F x在 ⎛ -∞ ⎝⎭，和 ⎛⎫ ⎪+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在 ⎛ ⎝⎭上单调递减. …………………………………5分 (2)①由(1)知，当1x ≥时，()()10F x F ≥>，即当1x ≥时，曲线1C 恒在2C 上方.按题意有，()()1n n f x g x +=，即12nnx x n e ex -+-=，∴12n nx x n e e x -+-=. ②由①知122n n nx x x n e e e x -+-=<. 注意到11x =，∴1112121222n n x x x n n n n e e e x x x x x x x -++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅L L L ，∴1112112n n n x x x n n x x x x e -++++⎛⎫⋅⋅⋅⋅<⋅ ⎪⎝⎭L L ，两边同取自然对数得，()121111ln ln ln ln ln 2n n n n x x x x n x x x +-++++<++++L L ， 即1ln 2n n S T n +->. …………………………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线E 的直角坐标方程为()22+14x y +=，直线m 的极坐标方程为θα=(R ρ∈). ………………………………5分 (2)设点A ，C 的极坐标分别为()1ρα，，()2ρα，.由2=+2cos 30θαρρθ⎧⎨-=⎩得，2+2cos 30ρρα-=， ∴122cos ρρα+=-，123ρρ=-，∴12AC ρρ=-=同理得，BD =∵221cos 3sin 372ABCD S AC BD αα=⋅=+++=， 当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即344ππα=或时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7. ………………………………10分23.(本小题满分10分)(1)()3 122113113 1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--≤<⎨⎪-≥⎩，，，，根据函数图象得，()f x 的最小值为-2，∴2m =-. ………………………………5分 (2)由(1)知，2a b c ++=，∴()()()()()()22222222121111112119a b c a b c a b c ⎡⎤+-++⋅++≥⋅+-⋅++⋅=+++=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，∴()()222123a b c +-++≥，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， ∴2222420a b c b c ++-++≥. ………………………………10分。

2020届安徽省高三3月调研考试文科数学试题全卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学生号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡指定的位置，书写要工整清晰。

3．考试结束后，5分钟内将答题卡拍照上传到考试群中。

第I 卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.设全集U 是实数集R ，已知集合{}22A x x x =， ()2{|log 10}B x x =-≤，则()U C A B ⋂=（ ）A. {|12}x x <<B. {|12}x x ≤<C. {|12}x x <≤D.{|12}x x ≤≤2.设i 为虚数单位，若复数()12az i a R i=+∈-的实部与虚部互为相反数，则a =（ ）A. 53-B. 13-C. 1-D. 5-3.已知52log 2a =， 1.12b =， 0.812c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. b c a <<C. a b c <<D. a c b <<4.已知O 为坐标原点，平面向量()13OA =u u u v ，， ()35OB =u u u v ，， ()12OP =u u u v ，，且OC kOP=u u u v u u u v（k 为实数）.当·2CACB =-u u u v u u u v时，点C 的坐标是（ ）A. ()24--，B. ()24，C.()12--，D. ()36， 5.已知偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当[]0,1x ∈时， ()1f x x =-+，则关于x 的方程()()lg 1f x x =+在[]0,9x ∈上实根的个数是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 106.已知数列{}n a 为等比数列，若52a =，则数列{}n a 的前9项之积9T 等于（ ）A. 512B. 256C. 128D. 647.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 128.执行如图的程序框图，那么输出S 的值是( )A. -1B. 12C. 2D. 19.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是（ ）A. 14B. 12C.2 D.3 10.函数sin y x x =⋅在[],ππ-的图像大致为（ ）11.若函数()f x 与()g x 的图象有一条相同的对称轴，则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中，与()212f x x x =-互为同轴函数的是（ ） A. ()()cos 21g x x =- B. ()sin g x x π= C. ()tan g x x = D. ()cos g x x π=12.已知函数()22ln 3f x x ax =-+，若存在实数[],1,5m n ∈满足2n m -≥时，()()f m f n =成立，则实数a 的最大值为（ ）A.ln5ln38- B. ln34C. ln5ln38+D. ln43第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.欧阳修《卖油翁）中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌漓沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为4 cm 的圆，中间有边长为l cm 的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油（设油滴整体落在铜钱上）．则油滴（设油滴是直径为0．2 cm 的球）正好落入孔中（油滴整体落入孔中）的概率是_________．14.若,x y 满足约束条件0,{20, 0,x y x y y -≥+-≤≥则34z x y =-的最小值为__________．15.已知0ω>，在函数sin y x ω=与cos y x ω=的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2，则ω=__________.16.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， E ， F ， M 分别是线段AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(01)A P A Q x x ==<<．设平面MEF ∩平面MPQ l =，现有下列结论： ①l ∥平面ABCD ； ②l ⊥AC ；③直线l 与平面11BCC B 不垂直； ④当x 变化时， l 不是定直线．其中成立．．的结论是________．(写出所有成立结论的序号) 三、解答题(本大题共6小题,共70分。

合肥市高三第三次教学质量检测数学试题（文）（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷 （满分50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．集合{|39},{3,5,7,8},A x N x B =∈<<=则A B U 中的元素的个数有（ ）A ．0B ．2C ．4D ．62．复数11i i +-在复平面内对应的点的坐标是（ ）A ．（0，1）B ．（0，-1）C ．（1，0）D ．（-1，0）3．已知函数()sin()(0)f x x ωφω=+>的部分图像如图所示，则ω=（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．π4．已知各项均为实数的数列{}n a 为等比数列，且满足122412,1,a a a a +==则1a =（）A ．9或116 B ．19或16 C ．19或116 D ．9或165．已知某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．12C ．13D ．166．0a <且10b -<<是0a ab +<的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．执行如图程序，输出的结果为（ ）A ．89100 B ．68100 C ．68110 D ．891448． 已知点P (2,)y 在抛物线24y x =上，则P 点到焦点F 的距离为（ ） A ．2 B ．3 C 3 D 29．三角形ABC 中，A B C 、、所对的边分别是a b c 、、，30A =o ，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a b 、，则满足条件的三角形有两个解的概率是（ ）A ．16 B ．13 C ．12 D ．3410．已知函数32(),f x x ax bx c =+++若()f x 在区间（-1，0）上单调递减，则22a b +的取值范围（ ）．A ．9[,)4+∞B ．9(0,]4C ．9[,)5+∞D ．9(0,]5第II 卷（满分100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置）11．函数()cos(2)6f x x π=+的周期为 ．12．已知P 在直线250x y +-=上，点Q 在221x y +=上任意一点，则||PQ 的最小值为 ．13．设函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[0，100]上至少有个 零点．14．在ABC ∆中，,6,4,AB AC AB AC ⊥==D 为AC 的中点，点E 在边AB 上，且3,AE AB =BD 与CE 交于点G ，则AG u u u r ·BC uuu r = ．15．如图，在直角梯形ABCD 中，,,BC DC AE DC ⊥⊥M 、N 分别是AD 、BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起。

安徽省合肥市2020届高三下学期第三次教学质量检测数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．若集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，集合B ＝{x |﹣2＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣2，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，3）D ．（﹣1，3）2．已知i 是虚数单位，则复数121iz i-=+在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．234．若,x y R ∈，则22x y >是1xy>成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()11()x x a a f x a =->，则不等式()()2210f x f x +->的解集是（ ） A ．1(,1),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭6．已知向量a →，b →满足|||2|a b a b →→→→+=-，其中b →是单位向量，则a →在b →方向上的投影是（ ） A ．1B ．34C ．12D ．147．公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米（ ）A ．10101010887⨯-斗 B ．9101010887⨯-斗C ．8101010887⨯-斗 D ．91070881⨯-斗8．在△ABC 中，若11112sin sin tan tan ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭A B A B ，则（ ） A ．C 的最大值为3π B ．C 的最大值为23πC ．C 的最小值为3πD ．C 的最小值为6π9．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移p 2sin f νϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm （1nm ＝10﹣9m ），测得某时刻频移为9.030×109（1/h ），则该时刻高铁的速度约等于（ ）A ．320km/hB ．330km/hC ．340km/hD ．350km/h10．经过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则4AF BF +的最小值为（ ） A ．92B ．5C ．9D ．1011．点P 是正方体1111ABCD A B C D -的侧面11DCC D 内的一个动点，若APD △与BCP 的面积之比等于2，则点P 的轨迹是（ ）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分12．若关于x 的不等式（a +2）x ≤x 2+a ln x 在区间[1e，e ]（e 为自然对数的底数）上有实数解，则实数a 的最大值是（ ） A ．﹣1B ．12(1)-+ee eC ．(3)1--e e e D ．(2)1--e e e 13．设函数()()222,5,x e x ef x log x x e ⎧<⎪=⎨-⎪⎩（其中e 为自然对数的底数），则f （f （3））的值等于_____．14．某高中各年级男、女生人数统计如表：按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a ＝_____．15．已知数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21nn S =-．若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <对于n N *∀∈都成立，则实数M 的最小值等于_____．16．已知长方体1111ABCD A B C D -的棱12AA =，4,3AB AD ==，点E ，F 分别为棱BC ，1CC 上的动点.若四面体11A B EF 的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是__________.（写出所有正确命题的编号） ①存在点E ，使得1EF A F ⊥； ②不存在点E ，使得11B E A F ⊥；③当点E 为BC 中点时，满足条件的点F 有3个； ④当点F 为1CC 中点时，满足条件的点E 有3个； ⑤四面体11A B EF 四个面所在平面，有4对相互垂直.17．某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：（1）在这30天中随机抽取一天，试估计这一天空气质量等级是优或良的概率；（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动．试问：该市民在这30天内，有多少天适宜进行户外体育运动？ 18．如图，边长为2的等边ABC 所在平面与菱形11A ACC 所在平面互相垂直，且11//BC B C ，112BC B C =,11AC ．（1）求证：11//A B 平面ABC ；（2）求多面体111ABC A B C -的体积V ．19．已知函数())0,||2f x x πωφωφ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[]0,π上的值域．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：24x +y 2＝1上的动点，不经过点P的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点．（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值； （2）若0OA OB OP ++=，证明：△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．21．已知函数()()xxf x e eg x ax -=-=,（e 为自然对数的底数），其中a R ∈.（1）试讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；（2）当2a =时，记函数()f x ，()g x 的图象分别为曲线1C ，2C .在2C 上取点n P （,n n x y ）作x 轴的垂线交1C 于n Q ，再过点n Q 作y 轴的垂线交2C 于1n P +（11n n x y ++,）（*n N ∈），且11x =.①用n x 表示1n x +；②设数列{}n x 和{}ln n x 的前n 项和分别为,n n S T ，求证：1ln 2.n n S T n +->22．在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0，直线m 与曲线E 交于A ，C 两点． （1）求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；（2）过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值．23．已知函数()|22||1|f x x x =--+的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++．参考答案1．B【解析】【分析】直接用交集运算求解.【详解】作示意图如图所示：则(1,2)A B=-.故选：B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2．C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，从而可得结果. 【详解】由于复数()()()()12112131112i ii izi i i-----===++-，在复平面的对应点坐标为13,22⎛⎫--⎪⎝⎭.∴在第三象限.故选：C.【点睛】主要考查复数的概念及复数的运算．属于容易题. 3．B【解析】【分析】基本事件总数336n A ==，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数1112112m C C C ==,由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区的概率.【详解】由题意，基本事件总数336n A ==，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数1112112m C C C ==，∴每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为2163m P n ===, 故选：B 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 4．B 【解析】 【分析】根据()100x x y y x y y y->⇔>⇔->，解出不等式可得：22x y >成立；反之，举例可知不成立． 【详解】由于()0,1000y x x y y x y x y y y >⎧->⇔>⇔->⇔⎨->⎩或00y x y <⎧⎨-<⎩ ， 所以22x y >， 反之不成立， 例如2,1x y ==-，满足22x y >，而1xy >不成立．所以22x y >是1xy>成立的必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．D 【解析】 【分析】首先判断()f x 的单调性和奇偶性，由此化简不等式，求得不等式的解集. 【详解】()f x 的定义域为R ，且()()1x x f x a f x a-=-=-，所以()f x 为奇函数， 由于1a >，所以()f x 在R 上递减. 由()()2210f xf x +->，得()()()2211f x f x f x >--=-，所以221x x <-，()()2212110x x x x +-=-+<，解得112x -<<.所以不等式的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题. 6．C 【解析】 【分析】由条件|||2|a b a b →→→→+=-平方求出a b →→⋅，利用向量在向量上的投影公式计算即可. 【详解】|||2|a b a b →→→→+=-，222a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎭⎝-⎪⎝⎭+，2222244a a b b a a b b ∴+⋅+=-⋅+，b →是单位向量，12a b →→∴⋅=， a →∴在b →方向上的投影为12||a bb →→→⋅=， 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，向量在向量上的投影公式，属于中档题. 7．B【解析】【分析】直接根据等比数列的求和公式求解即可．【详解】由题意可知，每人所得玉米数构成公比为78的等比数列；且数列的前10项和为10；设首项为a；则1071810718a⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝=-⎭-；∴910101010110108878718a⨯⨯==--.故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 8．A【解析】【分析】由商数关系，可得11cos cos2sin sin sin sinA BA B A B⎛⎫⎪⎝++⎭=，结合辅助角公式，化简整理为sin sin2sinB A C+=，于是2b a c+=，由均值不等式可知，()224a bab c+≤=，由余弦定理知，222cos2a b cCab+-=，将所得结论代入进行运算可得1cos2C≥，结合三角形内角关系，即可求解．【详解】由题可知，1111cos cos 22sin sin tan tan sin sin A B A B A B A B ⎛⎫+=+=⎛⎫ ⎪⎝+ ⎪⎝⎭⎭， 所以()()sin sin 2sin cos cos sin 2sin 2sin B A B A B A A B C +=+=+=， 由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C== ，所以2b a c +=， 由均值不等式可知，()224a b ab c +≤=，由余弦定理知，222222232331cos 1122222a b c c ab c c C ab ab ab c +--===-≥-=，因为()0,C π∈，所以03C π<≤，即C 的最大值为3π． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合运用，采用了角化边的思维，还用到了同角三角函数的商数关系、辅助角公式和均值不等式等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题． 9．D 【解析】 【分析】先计算sin ϕ，再根据所给公式计算v 即可. 【详解】3sin ϕ-==故99.03010⨯=即9.03=故349982.48v =≈米/小时350km /h ≈，故选：D【点睛】本题考查了新定义问题，直角三角形中三角函数的计算，考查了运算能力，属于难题. 10．C 【解析】 【分析】利用抛物线的弦长公式得到2121444522p p AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭，当直线AB 斜率不存在时，易得410AF BF +=，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()1y k x =-，与抛物线方程联立，然后结合基本不等式求解.【详解】由题意得：2121444522p p AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭， 当直线AB 斜率不存在时，211x x ==，410AF BF +=， 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()1y k x =-，由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得 ()2222240k x k x k -++=，由韦达定理得 211x x ⋅=，所以2144559AF BF x x +=++≥=， 当且仅当214x x =，即211,22x x ==时，取等号， 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．A 【解析】 【分析】先根据条件APD △与BCP 的面积之比等于2，可得2PDPC=，然后建立平面直角坐标系求出点P 的轨迹方程，即可判断. 【详解】如图正方体1111ABCD A B C D -中，可知AD ⊥平面11DCC D ，BC ⊥平面11DCC D ， 则,ADPD BC PC ，12212APD BCPAD PD S SBC PC ，即2PDPC=, 以D 为原点，DC 为x 轴，1DD 为y 轴建立平面直角坐标系， 设正方体棱长为a ，设(),P x y ，则0,0,,0D C a ，22222x y x ay ，整理得22284033a xy x a ，∴点P的轨迹是圆的一部分，故选：A. 【点睛】本题考查动点轨迹的判断，解题的关键是找出与动点相关的等量关系，利用轨迹方程或曲线的定义判断. 12．D【分析】先对2(2)ln a x x a x +≤+化简，2(ln )2a x x x x -≤-，用导数判断ln x x -在x ∈1[,]e e的符号为正，可转化为22ln -≤-x x a x x，在x ∈1[,]e e 有解，设()f x = 22ln x xx x --，利用导数求函数()f x 的最大值max ()f x ，则a max ()f x ≤，即实数a 的最大值为max ()f x . 【详解】由2(2)ln a x x a x +≤+，得2(ln )2a x x x x -≤-，令()g x = ln x x -，x ∈1[,]e e ，则1()1g x x '=-，则()g x 在1[,1)e递减，在(1,]e 递增，则()(1)10g x g ≥=>， 即由2(ln )2a x x x x -≤-，得22ln -≤-x x a x x ，x ∈1[,]e e 有解， 设()f x = 22ln x x x x--，x ∈1[,]e e ， 则()f x '=221(22)(ln )(1)(2)(ln )x x x x x x x x ------2(1)(22ln )(ln )x x x x x -+-=-， 令()22ln u x x x =+-，x ∈1[,]e e ，则2()1u x x'=-，故()u x 在1[,2)e递减，在(2,]e 递增，故()(2)42ln 20u x u ≥=->，故()f x 在1[,1)e 递减，在(1,]e 递增，又1()f e =2120e e e -<+，22()1e ef e e -=-0>， 故2max2()()1e e f x f e e -==-，故a ≤221e ee --， 即实数a 的最大值为221e ee --. 故选：D. 【点睛】本题考查了不等式有解的问题，并多次利用导数研究函数的单调性求最值，考查了学生的转化能力，逻辑思维能力，运算能力，难度较大.【解析】 【分析】直接根据分段函数解析式计算可得； 【详解】解：因为()222,()105,x e x ef xg x x e ⎧<⎪=⎨-⎪⎩ 所以()()223log 352f =-=，所以()()()2322f f f e==故答案为：22e 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题. 14．480； 【解析】 【分析】根据分层抽样满足每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果. 【详解】根据题意，由分层抽样方法得8027592528563517520563517a =++++++，解得480a =， 故答案为：480. 【点睛】该题考查的是有关分层抽样的问题，涉及到的知识点有分层抽样中按照成比例建立等量关系式求参数，属于基础题目. 15．4 【解析】 【分析】由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，12n n b -=，则112n n n a n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，利用错位相减法得到12442n n n T -+=-<，即可得出结论.由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，当2n ≥时，有()()11121212nn n n n n b S S ---=-=---=，当1n =时，有11211S b =-==也适合上式， 故12n nb -=，n a n =，112n n n a n b -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭，()0121111112312222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12311111123222222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()()12-得：1231111111111211222222212nn n nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ()1222nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，即12442n n n T -+=-<. 又n T M <对于n N *∀∈都成立， 所以4M ≥,故实数M 的最小值等于4. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查数列求通项公式和数列求和问题.属于中档题. 16．①②④ 【解析】 【分析】在长方体1111ABCD A B C D -中，根据线面位置关系，逐个分析即可得解. 【详解】因为四面体11A B EF 的四个面都是直角三角形，所以1B EF ∠为直角或1B FE ∠为直角， （若1EB F ∠为直角，则1A EF ∆为直角必为锐角三角形）若1B EF ∠为直角时，因为11A B ⊥平面1B EF ，则推得EF ⊥平面11A B E因此平面11A B F ⊥平面1B EF ，平面11A B E ⊥平面1B EF ，平面1A EF ⊥平面11A B E ，即仅有三对平面相互垂直，同理，1B FE ∠为直角时亦然，故⑤错误，对①，在四面体11A B EF 中，有11A B ⊥平面1B EF ，所以根据三垂线定理及其逆定理得1EF B F ⊥1EF A F ⇔⊥，故存在，①正确； 对②，若11B E A F ⊥，又因为111A B B E ⊥， 则有1B E ⊥平面11A B F ，就有11B E B F ⊥， 此时E F 、分别和1B C 、重合，则1A EF 不是直角三角形，不符题意，故不存在，②正确；对③，E 为BC 中点时，若1B EF ∠为直角，则满足条件的F 只有一个， 若1B FE ∠为直角，因为113351522242B E B E +==∴=<，即满足条件的F 不存在，即③错；对④，根据题意，若1B EF ∠为直角，因为1111222B F B E +===>,即满足条件的E 有2个，若当1B FE ∠为直角时有一解，故E 有1个，故④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了空间线面的关系，考查了线线、线面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和推理能力，需要较强的空间感，属于难题. 17．（1）1415；（2）27【解析】 【分析】（1）先根据频率分布直方图求出各组的频率，列表表示，再由空气质量等级是优或良，则空气质量指数为(0,100]，求出概率；（2）由（1）中频率表，计算空气质量指数高于90的频率，求出频数. 【详解】（1）由频率分布直方图，列出分组和对应的频率：由7731130151030m ++++=，得115m =，空气质量等级是优或良，则空气质量分数为(0,100]， 故P =114130215m --=，即估计一天空气质量等级是优或良的概率为1415. （2）由空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动， 则适宜进行户外体育运动的天数为130(1)2730m ⨯--=天. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的理解与应用，属于基础题. 18．（1）证明见详解；（2）52. 【解析】 【分析】（1）先利用已知条件得到线面平行，再证面//ABC 面111A B C ，即可得出结论；（2）利用已知条件分别求出三棱锥111B A B C -和四棱锥11B A ACC -的体积，相加即为多面体111ABC A B C -的体积.【详解】 （1）四边形11A ACC 是菱形，∴11//AC A C ，又AC ⊂面ABC ,11A C ⊄面ABC ，11//A C 面ABC ,同理得，11//B C 面ABC ，1111,AC B C ⊂面111A B C ，且11111AC B C C =，∴面//ABC 面111A B C ，又11A B ⊂面111A B C ，11//A B ∴平面ABC ；（2）1111111//,//,60AC AC BC B C AC B ACB ∴∠=∠=︒，11112,22AC AC B C BC ====，111112222A B C S=⨯⨯⨯=， 在菱形11A ACC 中，113AC =，160ACC ∴∠=︒，1122A ACC S=⨯=面ABC ⊥面1ACC ，取AC 的中点M ，连接1,BM C M ，∴BM ⊥面1ACC ，1C M ⊥面ABC ，由（1）知，面//ABC 面111A B C ，∴ 点B 到面111A B C 的距离为1C M =又点B 到面11A ACC 的距离为BM =，连接1BC ，则111111532B A B C B A ACC V V V --=+=⨯=⎝. 【点睛】本题主要考查线面和面面平行以及垂直的判定定理和性质定理，求多面体的体积问题.属于中档题.19．（1）()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭；（2）⎡-⎣. 【解析】 【分析】（1）先根据图象得到()01f =-，从而可求出φ的值，再根据08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可求ω的值，从而得到()f x 的解析式.（2）根据图象变换求出()g x 的解析式，再根据正弦函数的性质可求()g x 在区间[]0,π上的值域． 【详解】（1）由图象可得()01f =-可得sin 2φ=-，又||2πφ<，故4πφ=-，又08f π⎛⎫=⎪⎝⎭，故84k ωπππ⨯-=即82k ω=+，其中k ∈N . 因为()f x 在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故82T π≤即4T π≥，所以08ω<≤，所以2ω=，故()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭.（2）将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，所得图象对应的解析式为24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象， 则()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 当[]0,x π∈时，5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故sin 42x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 故()g x的值域为⎡-⎣.【点睛】本题考查正弦型函数的图象与值域，从局部图象求解析式时，注意根据图象的特点如零点、特殊点等构建关于参数的方程组，另外，求值域时需用整体法结合正弦函数的性质来考虑.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析，椭圆的方程为2241x y +=.【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --，再将PA PB k k ⋅表示出来，根据,A B 在椭圆上化简，证得直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=，再得到AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --，又223314x y +=，则2233()4()122x y -+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，得证.【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --，则PA PB k k ⋅2212122122121221y y y y y y x x x x x x ----=⋅=----， 又222214x y +=，221114x y +=，相减得222221211()4y y x x -=--， 得PA PB k k ⋅14=-，即直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值，定值为14-.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=，AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --， 又223314x y +=，则2233()4()122x y -+-=，知D 在椭圆2241x y +=上， 同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，即△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，这个椭圆的方程为2241x y +=.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及结构特征，考查了学生观察、分析能力，运算能力，属于中档题.21．（1）当2a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当2a >时，()f x 在,ln ⎛-∞ ⎝⎭和ln 2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在ln 22a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）①12n nx x n e e x -+-=；②证明见解析. 【解析】【分析】（1）求导得到()x x F x e e a -'=+-，分2a ≤，2a >讨论求解.（2）①由（1）知，当1≥x 时，()()10F x F ≥>，即当1≥x 时，曲线1C 恒在2C 上方，则由()()1n n f x g x +=求解.②由①知122n n nx x x n e e e x -+-=<.注意到11x =,则1112121222n n x x x n n n n e e e x x x x x x x -++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅，即1112112n n n x x x n n x x x x e -++++⎛⎫⋅⋅⋅⋅<⋅ ⎪⎝⎭，然后两边同取对数求解.【详解】（1）()x x F x e e a -'=+-.当2a ≤时，()20x x F x e e a a -'=+-≥-≥恒成立，()F x 在R 上单调递增.当2a >时，由()0F x '=得，2x a e ±=，∴ln 2a x ±=.∴()F x 在⎛-∞ ⎝⎭，和ln ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在22a a ln ln ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）①由（1）知，当1≥x 时，()()10F x F ≥>，即当1≥x 时，曲线1C 恒在2C 上方. 按题意有，()()1n n f x g x +=，即12n n x x n e e x -+-=，∴12n n x x n e e x -+-=. ②由①知122n n nx x x n e e e x -+-=<. 注意到11x =， ∴1112121····222n n x x x n n n n e e e x x x x x x x -++⋅⋯=⋅⋯⋅<⋅⋅⋅， ∴1112112n n n x x x n n x x x x e -++++⎛⎫⋅⋅⋅⋅<⋅ ⎪⎝⎭，两边同取自然对数得，()121111ln ln ln ln ln 2n n n n x x x x n x x x +-++++<++++，即1ln 2n n S T n +->.【点睛】 本题主要考查导数与函数的单调性，数列与不等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．（1）()2214x y ++=，()R θαρ=∈；（2）7 【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．【详解】（1）曲线E 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=，所以曲线E 的直角坐标方程为()2214x y ++=，因为直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<） 所以tan y x α=⋅，所以直线m 的极坐标方程为()R θαρ=∈ ．（2）设点,A C 的极坐标分别为()()12,,,ραρα．由22cos 30θαρρθ=⎧⎨+-=⎩ 可得22cos 30ρρα+-=， 12122cos ,3ρραρρ∴+=-=-，12AC ρρ∴-＝＝；同理得BD =设四边形ABCD 面积为S ，221cos 3sin 372S AC BD αα=⋅=≤+++=， 当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即4πα=或3 4π时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7．【点睛】 本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．（1）2m =-；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；（2）结合（1）可得2a b c ++=，然后配凑柯西不等式证明2222420a b c b c ++-++．【详解】（1）解：3,1()22113,113,1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--<⎨⎪-⎩，作出函数的图象如图：根据函数图象得，()f x 的最小值为2-，2m ∴=-；（2）证明：由（1）知，2a b c ++=，22222222[(1)(2)](111)[1(1)1(2)1](1)9a b c a b c a b c ∴+-+++++-++=+++=， 222(1)(2)3a b c ∴+-++，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， 2222420a b c b c ∴++-++．【点睛】本题考查分段函数最值的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用柯西不等式求最值，属于中档题．。

合肥市2020届高三调研性检测 数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.0 14.－2 15.1326 16.[]35-，三、解答题：17.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)()1cos 22cos 222f x x x x =+-1sin 2cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. ∴ 函数()f x 的最小正周期T π=. …………………………5分 (Ⅱ)由222262k x k πππππ-≤+≤+(k Z ∈)，解得36k x k ππππ-≤≤+，∴函数()f x 的单调递增区间为36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k Z ∈).∵[]0x π∈，∴ 所求单调递增区间是0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，和23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. …………………………10分18.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)茎叶图如右图所示，这10件作品成绩的平均数为657477909682728584958210x +++++++++==.………………5分(Ⅱ)得分在平均分以上的作品共有5件，分别记作a b c d e ，，，，，其中e 代表得分为96的作品.从中任意抽取2件，所有结果有},{b a ，},{c a ，},{d a ，},{e a ，},{c b ，},{d b ，},{e b ，},{d c ，},{e c ，},{e d 共10种情况，且每种结果出现的可能性相等，其中作品e 被取到的情况有4种，所以所求概率42105P ==. ……………………12分19.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)证明：∵ 11122n n n a a +=+，∴ 11222n n n n a a ++-=.又∵ 112a =， ∴ 112=1a ⋅，∴ {}2n n a 是首项为1，公差为2的等差数列. ……………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知221nn a n =-，∴ ()1212nn a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴()121111321222nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()231111113212222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A C A C B A D D B A两式相减得：()231111111*********n n n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴()012111123121322222n nnn n S n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. …………………………12分20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)连接1AC 交1A C 于N ，连结MN . ∵1//BC 平面1A MC ，1BC ⊂平面1ABC ， 平面1ABC 平面1A MC MN =， ∴1//BC MN .由三棱柱111ABC A B C -知，四边形11ACC A 为平行四边形.∴N 为1AC 的中点.∴M 为AB 的中点，即AM BM =. …………………………5分 (Ⅱ)连接1,A B∵ABC ∆是等边三角形，1AB AA =，1160A AB A AC ∠=∠= ∴ABC ∆、1AA B ∆、1AA C ∆是全等的等边三角形由(Ⅰ)知：M 为AB 的中点，∴1A M AB CM AB ⊥⊥，. ∵1A M CM M = ，∴AB ⊥平面1A MC .设2AB a =，则112A M CM A C a ===，，∴1A MC ∆的面积为2122a ⋅==2a =，即2=AM ，∴1113A MC A A MC V S AM ∆⋅⋅=棱锥－＝，从而11116ABC A B C A A MC V V ⋅棱柱－棱锥－＝＝分21.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由P (0x ，4)是抛物线上一点得，1620=px ①.由四边形AFPN 的周长为16得：042162p p x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，即60=+p x ②.由①②可解得：4=p 或2=p .∵2p >，∴4p =. …………………………5分(Ⅱ)设()()1122A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为2x my =-，代入抛物线方程为()282y my =-得，28160y my -+=.由264640m ∆=->得，21m >，且1212816y y my y +=⎧⎨=⎩.∴()()()()()()()12211212121212121244240222222y my y my my y y y y yk k x x x x x x -+--++=+===------.…………………………12分22.(本小题满分10分)解：(Ⅰ) ()f x 的定义域是R ，且()x f x e m '=-. ①当0m ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增；②当0m >时，令()0f x '>，则ln x m >，即函数()f x 的递增区间是()ln m +∞，. 同理，由()0f x '<得函数()f x 的递减区间是() ln m -∞，. …………………………5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，当0m ≤时，函数)(x f 单调递增，与条件不符.当0m >时，函数)(x f 在()ln ,m +∞上单调递增，在)ln ,(m -∞上单调递减，A BC MA 1B 1C 1N∴)ln 1()(ln )(min m m m f x f -==. 由条件得，(1ln )0m m -<，解得m e >.又∵(0)10f =>，∴)(x f 在)ln ,0(m 上存在唯一零点，)ln 2(ln 2)ln 2(2m m m m m m m f -=-=.令m m m g ln 2)(-=，则()21g m m'=-， ∴当m e >时，)(m g 单调递增，()()0g m g e >>.∴2(2ln )2ln (2ln )0f m m m m m m m =-=->，即)(x f 在),(ln +∞m 上存在唯一零点. 综上得， m ＞e . …………………………12分。

安徽省合肥市2020届高三下学期第三次教学质量检测数学(文)试题一、单选题(★) 1. 若集合 A＝{ x|﹣1＜ x＜3}，集合 B＝{ x|﹣2＜ x＜2}，则A∩ B＝（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣1，3）(★) 2. 已知 i是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★★) 3. 在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内 A， B， C三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为（）A．B．C．D．(★★) 4. 若，则是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 5. 已知函数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影是（）A．1B．C．D．(★★) 7. 公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米（）A．斗B．斗C．斗D．斗(★★★) 8. 在△ ABC中，若，则（）A．C的最大值为B．C的最大值为C．C的最小值为D．C的最小值为(★★★★) 9. 某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中 v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1550nm（1nm＝10 ﹣9m），测得某时刻频移为9.030×10 9（1/h），则该时刻高铁的速度约等于（）A．320km/h B．330km/h C．340km/h D．350km/h(★★★) 10. 经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（）A．B．5C．9D．10(★★★) 11. 点是正方体的侧面内的一个动点，若与的面积之比等于2，则点的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分(★★★★) 12. 若关于 x的不等式（ a+2）x≤ x 2+ aln x在区间[ ， e]（ e为自然对数的底数）上有实数解，则实数 a的最大值是（）A．﹣1B．C．D．二、填空题(★★) 13. 设函数（其中 e为自然对数的底数），则 f（ f（3））的值等于_____．(★★) 14. 某高中各年级男、女生人数统计如表：年级人数性别高一高二高三男生592563520女生528517a按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中 a＝_____．(★★★) 15. 已知数列中，数列的前 n项和．若数列的前项和对于都成立，则实数的最小值等于_____．(★★★★★) 16. 已知长方体的棱，，点，分别为棱，上的动点.若四面体的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是__________.（写出所有正确命题的编号）①存在点，使得；②不存在点，使得；③当点为中点时，满足条件的点有3个；④当点为中点时，满足条件的点有3个；⑤四面体四个面所在平面，有4对相互垂直.三、解答题(★★) 17. 某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：空气质量指数（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]300以上空气质量等级一级（优）二级（良）三级（轻度污染）四级（中度污染）五级（重度污染）六级（严重污染）（1）在这30天中随机抽取一天，试估计这一天空气质量等级是优或良的概率；（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动．试问：该市民在这30天内，有多少天适宜进行户外体育运动？(★★★) 18. 如图，边长为的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，且，, ．（1）求证：平面；（2）求多面体的体积．(★★★) 19. 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求函数在区间上的值域.(★★★) 20. 在平面直角坐标系 xOy中，已知点 P是椭圆 E：+ y 2＝1上的动点，不经过点P的直线 l交椭圆 E于 A， B两点．（1）若直线 l经过坐标原点，证明：直线 PA与直线 PB的斜率之积为定值；（2）若，证明：△ ABP三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．(★★★) 21. 已知函数（为自然对数的底数），其中.（1）试讨论函数的单调性；（2）当时，记函数，的图象分别为曲线，.在上取点（）作轴的垂线交于，再过点作轴的垂线交于（）（），且.①用表示；②设数列和的前项和分别为，求证：(★★) 22. 在平面直角坐标系中，直线 m的参数方程为（ t为参数，0≤ α＜π）．以坐标原点为极点，以 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线 E的极坐标方程为ρ2+2 ρcos θ﹣3＝0，直线 m与曲线 E交于 A， C两点．（1）求曲线 E的直角坐标方程和直线 m的极坐标方程；（2）过原点且与直线 m垂直的直线 n，交曲线 E于 B， D两点，求四边形 ABCD面积的最大值．(★★★) 23. 已知函数的最小值为．（1）求的值；（2）若，证明：．。

数学试题（文）（考试时间： 120 分钟 满分： 150 分）nn( x i x)( y y)x i y i nx y参照公式：①b i1i 1nn 2x) 2x i 2( x inxi 1i1a y bx第Ⅰ卷（满分 60 分）一、选择题（本大题共有 12 个小题，每题5 分，共 60 分；在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1、 设全集 U={0 ， 1， 2， 3， 4，5， 6，7} ， A= {0 ， 2，4} ，B={1 ， 3， 5， 7}, 则 A I (C U B) A 、{2，4}B 、{0 ， 2，6}C 、{0， 2，4}D 、 {6}2、 复数 z3ai , a R 且 z 2 13i ，则 a 值为22 2A 、 1B 、 2C 、112D 、1 ,43、已知 sin() ( , ) ，则 tan32A 、22 2 2 2 D 、24B 、C 、3 434、已知数列 { a n } 中， a 1 1,a n 1a n则a 3 =2a n 3A 、1081C 、 161D 、1B 、1611085、以下命题正确的选项是v vv v v vA 、“ a b ”是“ a c b cgg ”的必需条件B是平面， a平面 ， “ l // a”是“l //”的充要条件、 a,l 是直线，C 、在△ ABC 中，“ a b ”是“ sin A sin B ”充足非必需条件D 、“ x R, x4 m ”恒建立的充要条件是m3x 216、棱锥 A — BCD 中，侧棱 AB 、AC 、AD 两两垂直，△ ABC 、△ ACD 、△ ADB 的面积分别为2 、3 、6。

则三棱锥 A —BCD 的外接球的体积为2 2 2A 、 6 B、2 6 C、3 6 D、467 f ( x) log 2 (3x 1 2)，则 f (x) 的值域为、、已知函数A 、( , 2) B、( 2,2) 3xC、( , )D、[0, )8、在 2020 年春节时期，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品的一天销售量及其价钱进行检查，五个商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据以下表所示：价钱9 9.5 10 10.5 11 销售量11 10 8 6 5经过剖析，发现销售量 y 对商品价钱 x 拥有线性有关关系，则销售量 y 对商品的价钱x 的回归直线方程为A 、y 3.2 x 24 B、y 3.2x 40 C、 y 3x 22 D 、y 3x 38不等式 | x 2 | | x 1| 5 的解集为A 、( , 2) U (3, ) B、( , 1) U (2, ) C、( 2,4) D 、( 2,3)6、从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者，此中起码有 1 名女生的选择共有A、30种B、36 种C、42 种D、60 种7、对随意x (m, ) ，不等式 log 2 x x2 2x都建立，则m的最小值为A 、 2B 、3 C、 4 D 、 58、在极坐标系中，直线( R) 截圆2cos( ) 所得弦长是6 6A 、 3B 、 2 C、 5 D、 3x2 y2y 1(a b 0) 的 A9、已知F1, F2分别为椭圆 C：b2a2左右焦点，过 F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于 A、B F1 F2 x 两点，若△ ABF 2 为锐角三角形，则椭圆 C 的离心率 e B的取值范围为A 、(0, 2 1)B 、 (0, 3 1)C 、( 2 1,1)D 、 ( 3 1,1)x y 1、设点 （ ， ）知足不等式组 x y 1 0，则 f (x, y) x y 10的最大值和最小值10 P x yy 0分别为A 、—11，—9B 、— 11 2，—9C 、 11 2, 9 2D 、9 2, 1111、已知函数 y f (x)( x R) 的图像如右图y所示，则不等式 xf / (x)0的解集为A 、 ( , 1 1) U ( ,2)2 21O1123xB 、 (12,0) U(, 2)2C 、 (, 11)D 、 (, 1)) U ( , ) U(2,2 2212、对随意 x 1 , x 2(0, ), x 2x 1, y 11sin x1, y 21 sin x2 ，则2x 1x 2A 、 y 1 y 2B 、 y 1 y 2C 、 y 1 y 2D 、 y 1 , y 2 的大小关系不可以确立第Ⅱ卷（满分90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分，共 46 分）13、如图是 CBA 篮球赛中，甲乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，则均匀得分高的 运动员是 ________________.甲乙lg x1的定义域为80 814、函数 y6 5 0 1 2 478 9x 176 5 3 22 1 7 8 9_________________________23、三角形 中 为uuuvuuuv uuuv uuuv。